自动控制原理总结之判断系统稳定性方法

判断系稳定性的方法
一、 稳定性判据（时域）
1、 赫尔维茨判据
系统稳定的充分必要条件：特征方程的各项系数全部为正； 将系统特征方程各项系数排列成如下行列式；
当主行列式及其对角线上的各子行列式均大于零时，即
00
03
1425
3132
3
1211>∆>=∆>=
∆>=∆-----------n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a Λ
则方程无正根，系统稳定。

赫尔维茨稳定判据之行列式直接由系数排列而成，规律简单明确，使用也比较方便，但是对六阶以上的系统，很少应用。

例；若已知系统的特征方程为05161882
34=++++s s s s
试判断系统是否稳定。

解：系统特征方程的各项系数均为正数。

根据特征方程，列写系统的赫尔维茨行列式。

5181
016800
5
18100168=
∆
由△得各阶子行列式；
86900172816
8
518
10
168012818
11680884321>=∆=∆>==∆>==
∆>==∆
各阶子行列式都大于零，故系统稳定。

2、 劳思判据
（1）劳思判据充要条件：
A 、系统特征方程的各项系数均大于零，即a i >0；
B 、劳思计算表第一列各项符号皆相同。

满足上述条件则系统稳定，否则系统不稳定，各项符号变化的次数就是不稳定根的数目。

（2）劳思计算表的求法：
A 、列写劳思阵列，并将系统特征方程的系数按如下形式排列成列首两行，即：
1
112
124
321343212753116
42w s v s u u s c c c c s b b b b s a a a a s a a a a s n n n n n n n n n n n n M
M M
M
M
M
ΛΛΛ
Λ----------
B 、计算劳思表
Λ
1
7
61315
41213
211-------------=-=-=n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a b a a a a a b a a a a a b
系数b i 的计算要一直进行到其余的b i 值都等于零为止。

用同样的前两行系数交叉相乘，再除以前一行第一个元素的方法，可以计算c ，d ，e 等各行的系数。

Λ
Λ
1
2
121114
171313
151212
1311c c b b c d b b a a b c b b a a b c b b a a b c n n n n n n -=-=-=-=------
（3）劳思判据的两种特殊情况
A 、劳思计算表第一列出现零的情况
因为不能用零作为除数，故第一列出现零时，计算表不能继续排下去。

为解决该问题，其办法是用一个小的正数ε代替0进行计算，再令ε→0求极限来判别第一列系数的符号。

B 、劳思计算表中出现某一行各项全为零的情况
此时，劳思表将在全为零的一行处中断，其解决办法是将不为零的最后一行的各项组成一个“辅助方程式”，将该方程式对s 求导数，用求得的各项系数代替原来为零的各项，然后按劳
思计算表的写法继续写完以后各项，对称根可由辅助方程求得。

例1：已知系统特征方程为0126322345=+++++s s s s s
判别系统是否稳定，若不稳定，求不稳定根的数目。

解：根据特征方程可知，其各项系数均为正。

列写劳思计算表并计算得：
()1
3
6231
362301622
310
2
1
2345s s
s s s s --
-εεε
εε
当ε →0时，
23
3623，3
62→
---∞→-εεε
ε
故第一列有两次变号，系统特征方程有两个正根，系统不稳定。

例2：已知控制系统的特征方程为
0161620128223456=++++++s s s s s s
试判定系统的稳定性。

解：根据系统的特征方程可知，其各项系数均为正。

列写劳思计算表并计算得：0
0861)16122(8
61)16122(162081344556s s s s s s
因s3行各项全为零，故以s4行的各项作系数，列写辅助方程如下：
()8624++=s s s A
将A(s)对s 求导，得：
()s
s s A ds d
1243+=
再将上式的系数代替s3行的各项系数，继续写出以下劳思计算表：
8
318331)124(86186116
20810
1233456s s s s s s s s
从劳思表的第一列可以看出，各项均无符号变化，故特征方程无正根。

但是因s 3行出现全为零的情况，故必有共轭虚根存在。

共轭虚根可通过辅助方程求得 0862
4=++s s
其共轭虚根为 j s j s 2；24，32，
1±=±= ，这四个根同时也是原方程的根，他们位于虚轴上，因此该控制系统处于临界状态，系统不稳定。

二、 根轨迹法（复域）
系统稳定的充要条件：所有的闭环极点都在S 平面的左半平面。

例：已知系统的开环传递函数为
，试应用根轨
迹法分析系统的稳定性。

解：
(K *=2k)
做根轨迹：
（a ） 有三条根轨迹（n=3 m=0 n-m=3）
（b）实轴上为根轨迹段
（c）渐近线的夹角与坐标：
（d）分离点坐标d：
解得 d1= -0.423
d2= -1.58 （舍去）因为d2不在根轨迹上（e）与虚轴的交点坐标：
令S=jw 代入到式中得：
解得：
故
根轨迹图如下所示：
三、频率特性
1、奈氏判据（奈奎斯特判据）
Z=P-2N 系统稳定时Z=0
由开环传递函数在S平面的极点个数P，奈氏曲线绕
（-1，j0）的圈数N，得到闭环传递函数在S平面的极点的个数Z
P通过G(S)可知 N：顺时针为负，逆时针为正
当V≠0时，需要做增补线 W:0
从幅相曲线位置开始沿逆时针方向画 V×90°的圆弧
增补线（理论半径为）计算圈数时要包括所画圆弧的增补线在内。

例：某单位负反馈系统的开环传递函数为
试用奈氏判据判别闭环稳定性。

解: W：
幅值趋于0，相角趋于-270°。

N=-1，P=0，Z=P-2N=2
故闭环系统不稳定。

2、对数频率判定系统稳定性
在截止频率之前，在对数幅频曲线L(W)＞0.对应的频率范围对应的相角是否穿越 -180°
在V≠0时，也需要做增补线，从对数相频特性曲线上处开始，用虚线向上补90°角（补到0°或180°）
例：已知系统的开环传递函数为试用对数频率稳定判据判别系统闭环的稳定性。

解：
N=(N+)-(N-)=0-0=P/2。