新人教版初中数学[中考总复习：一次方程及方程组--知识点整理及重点题型梳理]

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人教版数学中考知识点梳理-一次方程(组)

第二单元方程(组)与不等式(组)
第5讲一次方程(组) 一、知识清单梳理
【素材积累】
1、只要心中有希望存摘，旧有幸福存摘。

预测未来的醉好方法，旧是创造未来。

坚志而勇为，谓之刚。

刚，生人之德也。

美的生命应该充满期待、喜和感激。

人生的胜者决不会摘挫折面前失去勇气。

2、我一直知道，漫长人生中总有一段泥泞不得不走，总有一个寒冬不得不过。

感谢摘这样的时候，我遇见的世界上最美的心灵，我接受的最温暖的帮助。

经历
过这些，我将带着一颗感恩和勇敢的心继续走上梦想的道路，无论是风雨还是荆棘。

一元一次方程知识点总结和例题讲解

一元一次方程知识点及题型一、方程的有关概念1. 方程：含有未知数的等式就叫做方程.2. 一元一次方程：只含有一个未知数(元)x ，未知数x 的指数都是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程. 3．方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.注：⑴ 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程. ⑵ 方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论. 二、等式的性质三、移项法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．四、去括号法则五、解方程的一般步骤1. 去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)2. 去括号(按去括号法则和分配律)3. 移项(把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号)4. 合并(把方程化成ax = b (a≠0)形式)5. 系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解x=ba ).六．列一元一次方程解应用题的一般步骤（1）审题：弄清题意．（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，•然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，•是否符合实际，写出答案【基础与提高】一．选择题1．下列各式中，是方程的个数为（）（1）﹣4﹣3=﹣7；（2）3x ﹣5=2x+1；（3）2x+6；（4）x ﹣y=v ；（4）a+b ＞3；（5）a 2+a ﹣6=0． A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个2．下列说法正确的是（） A ．如果ac=bc ，那么a=b B ．如果，那么a=bC ．如果a=b ，那么D ．如果，那么x=﹣2y3．若关于x 的方程mx m ﹣2﹣m+3=0是一元一次方程，则这个方程的解是（） A ．x =0 B ．x =3 C ． x =﹣3D ．x =24．方程（m+1）x|m|+1=0是关于x的一元一次方程，则m（）A．m=±1 B．m=1 C．m=﹣1 D．m≠﹣15．若关于x的方程nx n﹣1+n﹣4=0是一元一次方程，则这个方程的解是（）A．x=﹣1 B．x=1 C．x=﹣4 D．x=46．已知x=3是关于x的方程x+m=2x﹣1的解，则（m+1）2的值是（）A．1B．9C．0D．47．已知x=﹣6是方程2x﹣6=ax的解，则代数式的值是（）A．4B．3C．2D．18．设P=2x﹣1，Q=4﹣3x，则5P﹣6Q=7时，x的值应为（）A．B．C．D．﹣9．服装店同时销售两种商品，销售价都是100元，结果一种赔了20%，另一种赚了20%，那么在这次销售中，该服装店（）A．总体上是赚了B．总体上是赔了C．总体上不赔不赚D．没法判断是赚了还是赔了10．如图是一个长方形试管架，在a cm长的木条上钻了4个圆孔，每个孔的直径为2cm，则x等于（）A．cm B．cm C．cm D．cm11．关于x的方程（k﹣3）x﹣1=0的解是x=﹣1，那么k的值是（）A．k≠3 B．k=﹣2 C．k=﹣4 D．k=212．江苏卫视《一站到底》栏目中，有一期的题目如图，两个天平都保持平衡，则三个球体的重量等于（）个正方体的重量．A．2B．3C．4D．513．已知方程2x+k=5的解为正整数，则k所能取的正整数值为（）A．1B．1或3 C．3D．2或314．小芳同学解关于x的一元一次方程﹣时，发现有个数模糊看不清楚，聪明的小芳翻看了书后的答案，知道这个方程的解是3．于是她很快补上了这个数．她补的这个数是（）A．B．3C．8D．915．若代数式3x﹣7和6x+13互为相反数，则x的值为（）A．B．C．D．16．按下面的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的x的不同值最多有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二．填空题17.一件衣服先按成本提高50%标价，再以8折（标价的80%）出售，结果获利28元．若设这件衣服的成本是x元，根据题意，可得到的方程是_________．18．图1是边长为30cm的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是_________cm3．19.已知与的值相等时，x=_________．20.若x=﹣1是关于x方程ax+b=1的根，则代数式（a﹣b）2011的值是_________．21.某人用24000元买进甲、乙两种股票，在甲股票升值15%，乙股票下跌10%时卖出，共获利1350元，则此人买甲股票的钱比买乙股票的钱多_________元．22如果要由等式m﹙a+1﹚=x﹙a+1﹚得到m=x，需要满足的条件是_________．23．关于x的方程（a﹣1）x2+x+a2﹣4=0是一元一次方程，则方程的解为_________．24．关于x的方程（m+2）x=6解为自然数，当m为整数时，则m的值为_________．25．已知m+n=2008（m﹣n），则=_________．三计算题解方程：（1）3（x﹣1）﹣2（2x+1）=12；（2）（3）．（4）﹣=．（5）．（6）（7）．（8）﹣=3．（9）（10）四．解答题1．若x=2是方程ax-1=3的解，求a的值2．方程x+2=5与方程ax-3=9的解相等求a 的值3．为何值时，关于的方程4231x m x -=-的解是23x x m =-的解的2倍？4．已知，2x =是方程12()23m x x --=的解，求代数式2(62)m m -+的值．5．一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？6．一批货物，甲把原价降低10元卖出，用售价的10%做积累，乙把原价降低20元，用售价的20%做积累，若两种积累一样多，则这批货物的原售价是多少？7．某商店开张，为了吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种皮鞋进价60元一双，八折出售后商家获利润率为40%，问这种皮鞋标价是多少元？优惠价是多少元？8．某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工上市销售．该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或粗加工16吨，现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天精加工，几天粗加工？9.今年“六•一”儿童节，张红用8.8元钱购买了甲、乙两种礼物，甲礼物每件1.2元，乙礼物每件0.8元，其中甲礼物比乙礼物少1件，问甲、乙两种礼物各买了多少件？10.小明和小东两人练习跑步，都从甲地出发跑到乙地，小明每分钟跑250米，小东每分钟跑200米，小明让小东先出发3分钟之后再出发，结果两人同时到达乙地，求甲、乙两地之间的路程是多少米？11．某船从A地顺流而下到达B地，然后逆流返回，到达A、B两地之间的C地，一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为8千米/时，水流速度为2千米/时。

中考数学复习考点知识与考点题型专题讲解48---一次方程组

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较小的未知数消元，这样会使运算量较小，提高准确率．
【举一反三】
1.（山东东营第 19 题，7 分）
解方程组
：
x y 6， 2x y 9．
x 5，
【答案】：
y
1．
【解析】
试题分析：利用加减消元法即可。试题解析：解：①+②得：3x=15，③，∴x=5，将 x=5 代人①，得：5+y=6，∴y=1，∴
的解是．
【点睛】(1)解二元一次方程组的方法要根据方程组的特点灵活选择，当方程组中一个未知数的系数的绝对值是 1 或一个方程的常数项为 0 时，用代入法较方便；当两个方程中同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较方便；当方程组中同一个未知数的系数的绝对值不相等，且不成整数倍时，把一个(或两个)方程的两边同乘适当的数，使两个方程中某一个未知数的系数的绝对值相等，仍然选用加减法比较简便；(2)用加减消元法时，选择方程组中同一个未知数的系数绝对值的最小公倍数
，
解得：x=2k-3，y=2-k，
代入 x+y=-12 中，得：2k-3+2-k=-12，
解得：k=-11．
考点：二元一次方程组的解．
课时作业☆能力提升
一、选择题
1. （2016 海南省第 2 题）若代数式 x+2 的值为 1，则 x 等于（）
A．1 B ．﹣1 C．3 D．﹣3
【答案】B.
【解析】
2x 3y k 已知方程组 3x 5y k 1 的解 x，y 的和为-12，求 k 的值. 【答案】-11．【解析】试题分析：把 k 看做已知数求出方程组的解表示出 x 与 y，代入 x+y=-12 计算即可求出

初中数学知识归纳一次方程与一元一次方程组

初中数学知识归纳一次方程与一元一次方程组初中数学知识归纳：一次方程与一元一次方程组数学作为一门基础学科，对我们的学习和生活中都起着至关重要的作用。

而初中数学作为学生接触到的第一门具体的数学学科，其中的一次方程与一元一次方程组是我们学习的重点内容之一。

本文将对这两个知识点进行归纳和总结，帮助初中学生更好地理解和掌握这部分知识。

1. 一次方程一次方程是一个变量的一次多项式等于常数的等式。

它的一般形式可以表示为：ax + b = c，其中a、b和c都是已知常数，x是未知数。

在解一次方程时，我们的目标是找到x的数值，使得等式成立。

例子：2x + 3 = 7解一次方程的步骤如下：a) 首先，将方程转化为等式的标准形式，即将未知数的系数系数调整为1，例如将例子中的2x转化为x。

2x + 3 = 7x + 3/2 = 7/2b) 接下来，通过运算将常数项移到方程的另一边。

x = 7/2 - 3/2x = 4/2x = 2因此，方程2x + 3 = 7的解为x = 2.一次方程的解有可能是实数，也有可能是没有实数解。

如果我们在解方程的过程中出现了推导错误，最后得到的方程无法满足等式成立，那么我们就可以得出一次方程没有实数解的结论。

2. 一元一次方程组一元一次方程组是由一个或多个一次方程组成的集合。

它的一般形式可以表示为：a₁x + b₁y = c₁a₂x + b₂y = c₂其中a₁、b₁、c₁、a₂、b₂、c₂都是已知常数，x和y是未知数。

解一元一次方程组的方法主要有两种：代入法和消元法。

a) 代入法在代入法中，我们通过将方程一的其中一个未知数表示成另一个未知数的函数，再将其代入方程二，从而求得另一个未知数的值。

例子：2x + y = 10x + 3y = 16首先，我们可以从方程一中解得x的值：x = 10 - y然后，将其代入方程二：10 - y + 3y = 16-2y = 6y = -3最后，将y的值代入x=10-y中，解得x的值：x = 10 - (-3)x = 10 + 3x = 13所以，这个一元一次方程组的解为x = 13，y = -3.b) 消元法在消元法中，我们通过适当的运算，将方程组中的一个未知数的系数调整为相同或相反数，以实现相互抵消的效果，最终求解出未知数的值。

人教版中考数学考点系统复习第二章方程(组)与不等式(组) 第一节一次方程(组)及其应用

①－②，得 2y＝2，∴y＝1， x＝2， x＝2，
∴原方程组的解为y＝1，将y＝1 代入 2kx－3y＜5 得 2×k×2－3＜5，解得 k＜2.
命题点 2：一次方程(组)的应用(近 3 年考查 15 次)
7．(数学文化)(2021·武汉第 7 题 3 分)我国古代数学名著《九章算术》
中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价
32 人.2 艘大船与 1 艘小船一次共可以满载游客 46 人．则 1 艘大船与 1
艘小船一次共可以满载游客的人数为
( B)
A．30
B．26
C．24
D．22
11．★(2022·武汉第 10 题 3 分)幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将 9 个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的 3 个数之和相等，例如图① 就是一个幻方．图②是一个未完成的幻方，则 x 与 y 的和是 ( D ) A．9 B．10 C．11 D．12
14．(2020·仙桃第 12 题 3 分)篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜 1 场得 2 分，负 1 场得 1 分．某队 14 场比赛得到 23 分，则该队胜了__99__场．
15．(2020·黄冈第 19 题 6 分)为推广黄冈各县市名优农产品，市政府组织创办了“黄冈地标馆”，一顾客在“黄冈地标馆”发现，如果购买 6 盒羊角春牌绿茶和 4 盒九孔牌藕粉，共需 960 元，如果购买 1 盒羊角春牌绿茶和 3 盒九孔牌藕粉共需 300 元，请问每盒羊角春牌绿茶和每盒九孔牌藕粉分别需要多少元？
【分层分析】设购进创意文具袋 x 个，由题干信息①得购进笔记本为
((2x2＋x＋10)个，由题干信息②可列方程为 xx＋＋(2(x2＋x1＋0)1＝0)190.

【中考数学考点梳理】考点04_一次方程(组)

考点04 一次方程（组）一、方程和方程的解的概念1．等式的性质（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式．（2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数，所得的结果仍是等式．2．方程:含有未知数的等式叫做方程．3．方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做解方程．二、一元一次方程及其解法1．一元一次方程:只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)ax b a +=≠．注意：x 前面的系数不为0．2．一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 3．一元一次方程0(0)ax b a +=≠的求解步骤注意：解方程时移项容易忘记改变符号而出错，要注意解方程的依据是等式的性质，在等式两边同时加上或减去一个代数式时，等式仍然成立，这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项，此时该项在方程一边是0，而另一边是它改变符号后的项，所以移项必须变号．三、二元一次方程（组）及解的概念1．二元一次方程：含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 2．二元一次方程的解:使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 3．二元一次方程组:由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩． 4．解二元一次方程组的基本思想解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程．5．二元一次方程组的解法（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．四、一次方程（组）的应用1．列方程（组）解应用题的一般步骤（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）．2．一次方程（组）常见的应用题型（1）销售打折问题：利润=售价-成本价；利润率=利润成本×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．（4）行程问题：路程=速度×时间．（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．（6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．（7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．考向一一元一次方程的定义只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是0ax b +=（,a b 是常数且0a ≠）．1．关于x 的一元一次方程224a x m -+=的解为1x =，则a m +的值为（）A ．9B ．8C ．5D ．4【答案】C【分析】根据一元一次方程的概念和其解的概念解答即可．【解析】解：因为关于x 的一元一次方程2x a -2+m =4的解为x =1，可得：a -2=1，2+m =4，解得：a =3，m =2，所以a +m =3+2=5，故选C ．【点睛】此题考查一元一次方程的定义，关键是根据一元一次方程的概念和其解的概念解答．1．关于x 的方程211-20m mx m x +﹣（﹣）＝如果是一元一次方程，则其解为_____．【答案】2x ＝或2x =-或x =-3．【分析】利用一元一次方程的定义判断即可．【解析】解：关于x 的方程21120m mx m x +﹣（﹣）﹣＝如果是一元一次方程，211m ∴﹣＝，即1m ＝或0m ＝，方程为20x ﹣＝或20x --＝，解得：2x ＝或2x =-，当2m -1=0，即m =12时，方程为112022x --=解得：x =-3，故答案为x =2或x =-2或x =-3．【点睛】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．考向二解一元一次方程解一元一次方程的主要步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1．1．解方程：221123x x x ---=-【答案】27x = 【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，依此即可求解．【解析】解：221123x x x ---=- ()()6326221x x x --=-- 636642x x x -+=-+ 634662x x x -+=-+ 72x = 27x =【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x ＝a 形式转化．2．以下是圆圆解方程1323+--x x ＝1的解答过程．解：去分母，得3（x +1）﹣2（x ﹣3）＝1．去括号，得3x +1﹣2x +3＝1．移项，合并同类项，得x ＝﹣3．圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．【答案】圆圆的解答过程有错误，正确的解答过程见解析【分析】直接利用一元一次方程的解法进而分析得出答案．【解析】解：圆圆的解答过程有错误，正确的解答过程如下：3（x +1）﹣2（x ﹣3）＝6．去括号，得3x +3﹣2x +6＝6．移项，合并同类项，得x ＝﹣3．【点睛】此题主要考查一元一次方程的求解，解题的关键是熟知一元一次方程的求解方法．3．把19-这9个数填入33⨯方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图①），是世界上最早的“幻方”．图②是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中x 的值为：（）A ．1B ．3C ．4D ．6【答案】A【分析】根据题意求出“九宫格”中的y ，再求出x 即可求解．【解析】如图，依题意可得2+5+8=2+7+y 解得y=6∴8+x+6=2+5+8解得x=1故选A ．【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得到方程求解．1．关于x 的方程38x x -=的解为x =________．【答案】4【分析】方程移项、合并同类项、把x 系数化为1，即可求出解．【解析】解：方程38x x -=，移项,得3x -x=8，合并同类项，得2x=8.解得x=4．故答案为：x=4．【点睛】方程移项，把x 系数化为1，即可求出解．2．有一列数，按一定的规律排列成13，1-，3，9-，27，－81，…．若其中某三个相邻数的和是567-，则这三个数中第一个数是______．【答案】81-【分析】题中数列的绝对值的比是-3，由三个相邻数的和是567-，可设三个数为n ，-3n ，9n ，据题意列式即可求解．【解析】题中数列的绝对值的比是-3，由三个相邻数的和是567-，可设第一个数是n ，则三个数为n ，-3 n ，9n 由题意：()n 3n 9n 567+-+=-，解得：n=-81，故答案为：-81．【点睛】此题主要考查数列的规律探索与运用，一元一次方程与数字的应用，熟悉并会用代数式表示常见的数列，列出方程是解题的关键．3．在实数范围内定义运算“☆”：1a b a b =+-☆，例如：232314=+-=☆．如果21x =☆，则x 的值是（）．A ．1-B ．1C ．0D ．2【答案】C【分析】根据题目中给出的新定义运算规则进行运算即可求解．【解析】解：由题意知：2211☆=+-=+x x x ，又21x =☆，∴11x +=，∴0x =．故选：C ．【点睛】本题考查了实数的计算，一元一次方程的解法，本题的关键是能看明白题目意思，根据新定义的运算规则求解即可．考向三一元一次方程的应用列方程解实际应用题的一般步骤：（1）审：审清题意，分清题中的已知量、未知量；（2）设：恰当设出关键未知数；（3）列：找出适当等量关系，列方程；（4）解：解方程；（5）验：检验所解值是否正确或是否符合实际意义；（6）答：规范作答，注意单位名称．1．我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个学问题，其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x 天可以追上慢马，根据题意，可列方程为______．【答案】（240-150）x=150×12【分析】根据两马的速度之差×快马出发的时间=慢马的速度×慢马提前出发的时间，即可得出关于x 的一元一次方程．【解析】解：题中已设快马x 天可以追上慢马，则根据题意得：（240-150）x=150×12．故答案为：（240-150）x=150×12．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用问题，找到等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 2．某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商店应打________折．【答案】八【分析】打折销售后要保证打折后利率为20%，因而可以得到不等关系为：利润率=20%，设可以打x 折，根据不等关系列出不等式求解即可.【解析】解：设应打x 折，则根据题意得：（180×x×10%-120）÷120=20%，解得：x=8．故商店应打八折．故答案为：八．【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，解题关键是读懂题意，找到符合题意的等量关系式，同时要注意掌握利润率的计算方法．1．篮球联赛中，每玚比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队14场比赛得到23分，则该队胜了_________场．【答案】9【分析】设该对胜x 场，则负14-x 场，然后根据题意列一元一次方程解答即可．【解析】解：设该对胜x 场由题意得：2x+（14-x ）=23，解得x=9．故答案为9．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意、设出未知数、找准等量关系、列出方程是解答本题的关键．2．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，一车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x 人，可列方程（）A ．2932x x +=-B ．9232x x -+=C ．9232xx +-= D ．2932x x -=+ 【答案】B【分析】设有x 人，根据车的辆数不变，即可得出关于x 的一元一次方程，此题得解．【解析】解：设有x 人，根据车的辆数不变列出等量关系，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，则车辆数为：23x +，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则车辆数为：92x -， ∴列出方程为：9232x x -+=．故选：B ．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．考向四二元一次方程（组）的定义（1）二元一次方程应满足：①含有2个未知数；②含有未知数的项的次数都是1；③是整式方程．（2）由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．1.下列方程中，是二元一次方程组的是A．4237x yx y+=⎧⎨+=⎩B．23225412a bx c-=⎧⎨-=⎩C．245xx y⎧=⎨+=⎩D．75x yxy+=⎧⎨=⎩【答案】A【解析】根据定义可以判断：A、4237x yx y+=⎧⎨+=⎩，满足要求；B、23225412a bx c-=⎧⎨-=⎩中含有a，b，c，是三元方程；C、245xx y⎧=⎨+=⎩中含有2x，是二次方程；D、275x yx y+=⎧⎨-=⎩中含xy，是二次方程．故选A．【点评】二元一次方程组的三个必需条件：（1）含有两个未知数；（2）每个含未知数的项次数为1；（3）每个方程都是整式方程．1．若关于x，y的二元一次方程组2x yA+=⎧⎨=⎩的解为11xy=⎧⎨=⎩，则多项式A可以是_____（写出一个即可）．【答案】答案不唯一，如x﹣y．【分析】根据方程组的解的定义，11xy=⎧⎨=⎩应该满足所写方程组的每一个方程．因此，可以围绕11xy=⎧⎨=⎩列一组算式，然后用x，y代换即可.【解析】∵关于x，y的二元一次方程组2x yA+=⎧⎨=⎩的解为11xy=⎧⎨=⎩，而1﹣1＝0，∴多项式A可以是答案不唯一，如x﹣y．故答案为：答案不唯一，如x﹣y.【点睛】此题考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组的解，正确理解方程组的解与每个方程的关系是解题的关键.考向五解二元一次方程组二元一次方程组的两种解法：①加减消元法；②代入消元法．1．解方程组2451x y x y +=⎧⎨=-⎩．【答案】1232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【分析】根据题意选择用代入法解答即可．【解析】解：2451x y x y +=⎧⎨=-⎩①②，将②代入①中得2(1)45y y -+=．解得32y =．将32y =代入②，得12x =-．所以原方程组的解为1232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解答关键是根据题目特点选择代入法或加减法解答问题． 2．已知关于x 、y 的方程221255x y a x y a +=+⎧⎨+=-⎩的解满足3x y +=-，则a 的值为__________________．【答案】5【分析】①+②可得x+y=2-a ，然后列出关于a 的方程求解即可．【解析】解：221255x y a x y a +=+⎧⎨+=-⎩①②，①+②，得3x+3y=6-3a ，∴x+y=2-a ， ∵3x y +=-，∴2-a=-3，∴a=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值．3．若21a b =⎧⎨=⎩是二元一次方程组3522ax by ax by ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩的解，则x ＋2y 的算术平方根为（）A．3B．3，－3CD【答案】C【分析】将21ab=⎧⎨=⎩代入二元一次方程组中解出x和y的值，再计算x＋2y的算术平方根即可．【解析】解：将21ab=⎧⎨=⎩代入二元一次方程3522ax byax by⎧+=⎪⎨⎪-=⎩中，得到：3522+=⎧⎨-=⎩x yx y，解这个关于x和y的二元一次方程组，两式相加，解75x=得，将75x=回代方程中，解得45y=，∴7415223555+=+⨯==x y，∴x＋2yC．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，算术平方根的概念等，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键．1．方程组422x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是_________．【答案】22 xy=⎧⎨=⎩【分析】直接利用加减消元法求解．【解析】422x yx y+=⎧⎨-=⎩①②由①+②得：3x=6，解得x=2，把x=2代入①中得，y=2，所以方程组的解为22xy=⎧⎨=⎩．故答案为：22xy=⎧⎨=⎩．【点睛】考查了解二元一次方程组，解题关键是利用加减消元法实现消元．2．已知1023a b+=，16343a b+=，则+a b的值为_________．【答案】1【分析】观察已知条件可得两式中a与b的系数的差相等，因此把两式相减即可得解．【解析】解：1023a b +=①，16343a b +=②，②-①得，2a+2b=2，解得：a+b=1,故答案为：1．【点睛】此题主顾考查二元一次方程组的特殊解法，观察条件的结构特征得出2a+2b=2是解答此题的关键．3．已知关于x ，y 的方程组4ax x y ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩215x y x by -=⎧⎨+=⎩的解相同．（1）求a ，b 的值；（2）若一个三角形的一条边的长为另外两条边的长是关于x 的方程20x ax b ++=的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．【答案】（1）-；12 （2）等腰直角三角形，理由见解析【分析】（1）关于x ，y 的方程组4ax x y ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩215x y x by -=⎧⎨+=⎩的解相同．实际就是方程组 42x y x y +=⎧⎨-=⎩的解，可求出方程组的解，进而确定a 、b 的值；（2）将a 、b 的值代入关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0，求出方程的解，再根据方程的两个解与断三角形的形状．【解析】解：由题意列方程组：42x y x y +=⎧⎨-=⎩解得31x y =⎧⎨=⎩将3x =，1y =分别代入ax +=-和15x by +=解得a =-12b = ∴a =-12b =（2）2120x -+= 解得2x ==这个三角形是等腰直角三角形理由如下：∵222+=∴该三角形是等腰直角三角形．【点睛】本题考查一次方程组、一元二次方程的解法以及等腰直角三角形的判定，掌握一元二次方程的解法和勾股定理是得出正确答案的关键．考向六二元一次方程组的应用由实际问题抽象出二元一次方程组的主要步骤：①弄清题意；②找准题中的两个等量关系；③设出合适的未知数；④根据找到的等量关系列出两个方程并联立成二元一次方程组．1．我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”．意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶盛酒x斛，1个小桶盛酒y斛，下列方程组正确的是（）．A．5352x yx y+=⎧⎨+=⎩B．5253x yx y+=⎧⎨+=⎩C．53125x yx y+=⎧⎨+=⎩D．35251x yx y+=⎧⎨+=⎩【答案】A【分析】根据大小桶所盛酒的数量列方程组即可.【解析】∵5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，∴5x+y=3，∵1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，∴x+5y=2，∴得到方程组5352x yx y+=⎧⎨+=⎩，故选：A.【点睛】此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键.2．5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如表所示：型号价格某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元．（1）营业厅购进A、B两种型号手机各多少部？（2）若营业厅再次购进A、B两种型号手机共30部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？【答案】（1）营业厅购进A、B两种型号手机分别为6部、4部；（2）营业厅购进A种型号的手机10部，B 种型号的手机20部时获得最大利润，最大利润是14000元【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以得到相应的二元一次方程组，从而可以求得营业厅购进A、B 两种型号手机各多少部；（2）根据题意，可以得到利润与A种型号手机数量的函数关系式，然后根据B型手机的数量不多于A 型手机数量的2倍，可以求得A 种型号手机数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少．【解析】解：（1）设营业厅购进A 、B 两种型号手机分别为a 部、b 部，()()300035003200034003000400035004400a b a b +=⎧⎨-+-=⎩，解得，64a b =⎧⎨=⎩，答：营业厅购进A 、B 两种型号手机分别为6部、4部；（2）设购进A 种型号的手机x 部，则购进B 种型号的手机(30﹣x )部，获得的利润为w 元，w ＝(3400﹣3000)x +(4000﹣3500)(30﹣x )＝﹣100x +15000，∵B 型手机的数量不多于A 型手机数量的2倍，∴30﹣x ≤2x ，解得，x ≥10，∵w ＝﹣100x +15000，k ＝﹣100，∴w 随x 的增大而减小，∴当x ＝10时，w 取得最大值，此时w ＝14000，30﹣x ＝20，答：营业厅购进A 种型号的手机10部，B 种型号的手机20部时获得最大利润，最大利润是14000元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，以及一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．1．我市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，求甲、乙工程队每天各施工多少米？设甲工程队每天施工x 米，乙工程队每天施工y 米，根据题意，所列方程组正确的是（）A ．223400x y x y =-⎧⎨+=⎩B ．223()40050x y x x y =-⎧⎨++=-⎩C ．22340050x y x y =+⎧⎨+=-⎩D ．223()40050x y x x y =+⎧⎨++=-⎩ 【答案】D【分析】根据“甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程”和“甲工程队每天比乙工程队多施工2米”可分别列出方程，联立即可．【解析】解：依据题意：“甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程”可列方程23()40050x x y ++=-，“甲工程队每天比乙工程队多施工2米”可列方程2x y =+，故可列方程组：223()40050x yx x y=+⎧⎨++=-⎩，故选：D．【点睛】本题考查列二元一次方程组．能仔细读题，找出描述等量关系的语句是解题关键．2．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”．设鸡有x只，兔有y只，则根据题意，下列方程组中正确的是（）A．352494x yx y+=⎧⎨+=⎩B．354294x yx y+=⎧⎨+=⎩C．235494x yx y+=⎧⎨+=⎩D．435294x yx y+=⎧⎨+=⎩【答案】A【分析】根据“上有三十五头”和“下有九十四足”两个等量关系列二元一次方程组即可．【解析】解：设鸡有x只，兔有y只根据上有三十五头，可得x+y=35；下有九十四足，2x+4y=94 即352494x yx y+=⎧⎨+=⎩．故答案为A．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意、找准等量关系是解答本题的关键．1．观察下列按一定规律排列的n个数：2，4，6，8，10,12，…；若最后三个数之和是3000，则n等于（）A．499B．500C．501D．1002【答案】C【分析】根据题意列出方程求出最后一个数,除去一半即为n的值．【解析】设最后三位数为x－4,x－2,x．由题意得: x－4+x－2+x=3000,解得x=1002．n=1002÷2=501．故选C．【点睛】本题考查找规律的题型,关键在于列出方程简化步骤．2已知关于的方程是二元一次方程，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】二元一次方程是指含有两个未知数，且未知数的次数都是一次的整式方程，依题意，有：，解得：m=1，n=-1.考点：（1）二元一次方程的概念；（2）解二元一次方程组3．若，则x ，y 的值为（）A ．14x y =⎧⎨=⎩B ．20x y =⎧⎨=⎩C ．02x y =⎧⎨=⎩D ．11x y =⎧⎨=⎩【答案】D分析：先根据非负数的性质列出关于x 、y 的二元一次方程组，再利用加减消元法求出x 的值，利用代入消元法求出y 的值即可．【解析】∵3210x y --=，∴321020x y x y --⎧⎨+-⎩＝＝将方程组变形为32=1=2x y x y -⎧⎨+⎩①②，①+②×2得，5x=5，解得x=1，把x=1代入①得，3-2y=1，解得y=1，∴方程组的解为11x y =⎧⎨=⎩．故选D ．点睛：本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．4．如图是一个2×2的方阵，其中每行、每列的两数和相等，则a 可以是（）A ．tan60°B ．-1C ．0D ．12019【答案】D 【分析】根据每行、每列的两数和相等列方程求解即可.【解析】由题意得022a +-=,解之得a=1,∵12019=1，∴a 可以是12019.故选D.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，立方根的意义，特殊角的三角函数值，零指数幂的意义，熟练掌握各知识点是解答本题的关键.5．同时满足二元一次方程9x y -=和431x y +=的x ，y 的值为（）|321|0x y --A ．45x y =⎧⎨=-⎩B ．45x y =-⎧⎨=⎩C ．23x y =-⎧⎨=⎩D ．36x y =⎧⎨=-⎩ 【答案】A【分析】联立9x y -=和431x y +=解二元一次方程组即可．【解析】解：有题意得：9431x y x y -=⎧⎨+=⎩①②由①得x=9+y ③ 将③代入②得：36+4y+3y=1，解得y=-5则x=9+（-5）=4所以x=4，y=-5．故选：A ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用及解法，掌握二元一次方程组的解法是解答本题的关键． 6．已知关于x 的方程2x +a -9=0的解是x =2，则a 的值为A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】∵方程2x +a ﹣9=0的解是x =2，∴2×2+a ﹣9=0，解得a =5．故选D ．7．天平呈平衡状态，其中左侧秤盘中有一袋玻璃球，右侧秤盘中也有一袋玻璃球，还有2个各20克的砝码．现将左侧袋中一颗玻璃球移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘的1个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图2，则被移动的玻璃球的质量为（）A ．10克B ．15克C ．20克D ．25克【答案】A【解析】根据天平仍然处于平衡状态列出一元一次方程求解即可：设左、右侧秤盘中一袋玻璃球的质量分别为m 克、n 克，根据题意得：m=n+40.设被移动的玻璃球的质量为x 克，根据题意得：，解得.故选A ．考点：1.阅读理解型问题；2.一元一次方程的应用．8．已知a 、b 满足方程组324236a b a b +=⎧⎨+=⎩，则a+b 的值为( ) A ．2B ．4C ．—2D ．—4【答案】A【分析】观察可知将两个方程相加得5510a b +=，化简即可求得答案.【解析】324236a b a b +=⎧⎨+=⎩①②，①+②，得5a+5b=10，所以a+b=2，故选A. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，根据二元一次方程组的特点灵活选用恰当的方法是解题的关键.9．《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x 人，所列方程正确的是（） A ．54573x x -=- B ．54573x x +=+ C ．45357x x ++= D ．45357x x --= 【答案】B【分析】设合伙人数为x 人，根据羊的总价钱不变，即可得出关于x 的一元一次方程，此题得解.【解析】设合伙人数为x 人，依题意，得：54573x x +=+．故选：B ．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键. 10．如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为x ，则列出方程正确的是（）A ．3252x x ⨯+=B ．3205102x x ⨯+=⨯C ．320520x x ⨯++=D ．()3205102x x ⨯++=+【答案】D 【分析】直接利用表示十位数的方法进而得出等式即可．【解析】解：设“□”内数字为x ，根据题意可得：3×（20+x ）+5=10x+2．故选：D ．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示十位数是解题关键．11．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x 人，y 辆车，可列方程组为（）A ．2392x y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ B ．2392x y x y ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ C ．2392x y x y ⎧=+⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ D ．2392x y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 【答案】B 【分析】根据若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，列二元一次方程组．【解析】解：设有x 人，y 辆车，依题意得： 2392x y x y ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，故选B ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解决问题的关键是找出题中等量关系．12．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x 尺，绳子长y 尺，那么可列方程组为（）A ． 4.50.51y x y x =+⎧⎨=-⎩B ． 4.521y x y x =+⎧⎨=-⎩C ． 4.50.51y x y x =-⎧⎨=+⎩D ． 4.521y x y x =-⎧⎨=-⎩ 【答案】A【分析】根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子=木条+4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：12绳子=木条-1，据此列出方程组即可．【解析】解：设木条长x 尺，绳子长y 尺，那么可列方程组为： 4.50.51y x y x =+⎧⎨=-⎩，故选：A ．【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组．13．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＝ab ＝c ，有下列结论：①若c ≠0，则1a +1b ＝1；②若a ＝3，则b ＋c ＝9；③若a ＝b ＝c ，则abc ＝0；④若a ，b ，c 中只有两个数相等，则a ＋b ＋c ＝8.其中正确的是____．(把所有正确结论的序号都选上)【答案】①③④【解析】在a+b=ab 的两边同时除以ab （ab=c≠0）即可得1a +1b =1，所以①正确；把a=3代入得3+b=3b=c ，可得b=32，c=92，所以b+c=6，故②错误；把 a=b=c 代入得2c =c 2=c ，所以可得c=0，故③正确；当a=b 时，由a+b=ab 可得a=b=2，再代入可得c=4，所以a+b+c=8；当a=c 时，由c=a+b 可得b=0，再代入可得a=b=c=0，这与a 、b 、c 中只有两个数相等相矛盾，故a=c 这种情况不存在；当b=c 时，情况同a=c ，故b=c 这种情况也不存在，所以④正确．所以本题正确的是①③④．考点：分式的基本性质；分类讨论．14．代数式213x -与代数式32x -的和为4，则x =_____．【答案】﹣1.【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x 的值．【解析】根据题意得：213243x x -+-=，去分母得：219612x x -+-=，移项合并得：44x -=，解得：1x =-，故答案为﹣1.【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15．已知21x y =⎧⎨=⎩是关于x ，y 的二元一次方程组71ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的一组解，则a +b =_____．【答案】5【分析】根据方程组解的定义，把问题转化为关于a 、b 的方程组，求出a 、b 即可解决问题；【解析】∵21x y =⎧⎨=⎩是关于x ，y 的二元一次方程组71ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的一组解， ∴2721a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩，∴a+b=5，故答案为5．【点睛】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组，理解题意，用转化的思想解答是解题的关键. 16．若关于x 、y 的二元一次方程组3526x my x ny -=⎧⎨+=⎩的解是12x y =⎧⎨=⎩，则关于a 、b 的二元一次方程组3()()=52()()6a b m a b a b n a b +--⎧⎨++-=⎩的解是_______．【答案】3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩。

中考数学复习重要知识点专项总结—方程和方程组

中考数学复习重要知识点专项总结—方程和方程组一、方程有关概念1、方程：含有未知数的等式叫做方程。

2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。

3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。

4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。

二、一元方程1、一元一次方程（1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）（2）一玩一次方程的最简形式：ax=b（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）（3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。

（4）一元一次方程有唯一的一个解。

2、一元二次方程（1）一元二次方程的一般形式：（其中x是未知数，a、b、c 是已知数，a≠0）（2）一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法（3）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如果没有要求，一般不用配方法。

（4）一元二次方程的根的判别式：当Δ＞0时方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时方程有两个相等的实数根；当Δ<0时方程没有实数根，无解；当Δ≥0时方程有两个实数根（5）一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两个根，那么：，（6）以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：三、分式方程（1）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

（2）分式方程的解法：一般解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。

特殊方法：换元法。

（3）检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为0的就是原方程的根；使得最简公分母为0的就是原方程的增根，增根必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。

四、方程组1、方程组的解：方程组中各方程的公共解叫做方程组的解。

2、解方程组：求方程组的解或判断方程组无解的过程叫做解方程组3、一次方程组：（1）二元一次方程组：一般形式：（不全为0）解法：代入消远法和加减消元法解的个数：有唯一的解，或无解，当两个方程相同时有无数的解。

中考数学复习考点知识与题型专题讲解3--- 一元一次方程(解析版)

中考数学复习考点知识与题型专题讲解专题03一元一次方程【思维导图】【知识要点】知识点一一元一次方程的基础等式的概念：用等号表示相等关系的式子。

注意：1.等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是运算律、运算法则等。

2.不能将等式和代数式概念混淆，等式含有等号，表示两个式子相等关系，而代数式不含等号，你只能作为等式的一边。

方程的概念：含有未知数的等式叫做方程。

特征：它含有未知数，同时又是—个等式。

一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1的方程叫做一元一次方程。

标准形式：ax+b=0（x为未知数，a、b是已知数且a≠0）【特征】1. 只含有一个未知数x2. 未知数x的次数都是13. 等式两边都是整式，分母中不含未知数。

方程的解的概念：能使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫方程的解。

一元方程的解又叫根。

知识点二等式的性质（解一元一次方程的基础）等式的性质1：等式两边（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

表示为：如果a=b，则a±c=b±c等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍相等。

表示为：如果 a=b，那么ac = bc如果 a=b(c≠0)，那么 =【注意事项】1．等式两边都要参加运算，并且是同一种运算。

2．等式两边加或减,乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子。

3．等式两边不能都除以0，即0不能作除数或分母.4.等式左右两边互换，所得结果仍是等式。

知识点三解一元一次方程合并同类项把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用。

移项把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。

（依据：等式的性质1）去括号括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号。

去分母在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。

去分母时不要漏乘不含分母的项。

当分母中含有小数时，先将小数化成整数。

解一元一次方程的基本步骤：知识点四实际问题与一元一次方程用方程解决实际问题的步骤：审：理解并找出实际问题中的等量关系;设：用代数式表示实际问题中的基础数据;列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;解：求解;验：考虑求出的解是否具有实际意义;答：实际问题的答案.【考查题型】考查题型一一元一次方程概念的应用【解题思路】关键是根据一元一次方程的概念和其解的概念解答．典例1．（2021·四川中考真题）关于x 的一元一次方程224a x m -+=的解为1x =，则a m +的值为（） A ．9 B ．8 C ．5 D ．4【详解】解：因为关于x 的一元一次方程2x a-2+m=4的解为x=1，可得：a-2=1，2+m=4，解得：a=3，m=2，所以a+m=3+2=5，故选：C ．变式1-1．（2021·内蒙古中考真题）关于x 的方程211-20m mx m x +﹣（﹣）＝如果是一元一次方程，则其解为_____．【详解】解：关于x 的方程2m 1mx m 1x 20+﹣（﹣）﹣＝如果是一元一次方程，2m 11∴﹣＝，即m 1＝或m 0＝，方程为x 20﹣＝或x 20--＝，解得：x 2＝或x 2=-，当2m-1=0，即m=12时，方程为112022x --= 解得：x=-3，故答案为：x=2或x=-2或x=-3．变式1-2．（2021·四川南充市·中考真题）关于x 的一元一次方程224a x m -+=的解为1x =，则a m +的值为（） A ．9 B ．8C ．5D ．4【答案】C【分析】根据一元一次方程的概念和其解的概念解答即可．【详解】解：因为关于x 的一元一次方程2x a-2+m=4的解为x=1，可得：a-2=1，2+m=4，解得：a=3，m=2，所以a+m=3+2=5，故选C ．考查题型二解一元一次方程【解题思路】解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x ＝a 形式转化．典例2．（2021·重庆中考真题）解一元一次方程11(1)123x x +=-时，去分母正确的是（）A ．3(1)12x x +=-B ．2(1)13x x +=-C ．2(1)63x x +=-D ．3(1)62x x +=-【答案】D【分析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案．【详解】解：方程两边都乘以6，得：3（x +1）＝6﹣2x ，故选：D ．变式2-1．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）在实数范围内定义运算“☆”：1a b a b =+-☆，例如：232314=+-=☆．如果21x =☆，则x 的值是（）． A ．1- B ．1 C ．0 D ．2【答案】C【分析】根据题目中给出的新定义运算规则进行运算即可求解．【详解】解：由题意知：2211☆=+-=+x x x ，又21x =☆， ∴11x +=， ∴0x =．故选：C ．变式2-2．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）解方程：221123x x x ---=- 【答案】27x =【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，依此即可求解．【详解】解：221123x x x ---=- ()()6326221x x x --=--636642x x x -+=-+ 634662x x x -+=-+ 72x =27x =考查题型三配套问题和工程问题【配套问题解题关键】配套问题的物品之间具有一定的数量关系，依次作为列方程的依据.【工程问题解题关键】常把总工作量看做1，并利用“工作量=人均效率×人数×时间”的关系考虑问题典例3．（2021·哈尔滨市模拟）某车间有27名工人，每个工人每天生产64个螺母或者22个螺栓，每个螺栓配套两个螺母，若分配x个工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下列所列方程中正确的是（）A．22x＝64（27﹣x）B．2×22x＝64（27﹣x）C．64x＝22（27﹣x）D．2×64x＝22（27﹣x）【答案】B【分析】设分配x名工人生产螺栓，则（27﹣x）名生产螺母，根据每天生产的螺母数量=2倍的螺栓数量，可得出方程．【详解】解：设分配x名工人生产螺栓，则（27﹣x）名生产螺母，∵一个螺栓套两个螺母，每人每天生产螺母64个或螺栓22个，∴可得2×22x＝64（27﹣x）．故选：B．变式3-1．（2021·黑哈尔滨市二模）某车间有22名工人，每人每天可生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉需配2个螺母，为使生产的螺钉和螺母刚好配套，若设x名工人生产螺钉，依题意列方程为（）A．1200x＝2000（22﹣x）B．1200x＝2×2000（22﹣x）C．1200（22﹣x）＝2000x D．2×1200x＝2000（22﹣x）【答案】D【分析】首先根据题目中已经设出每天安排x个工人生产螺钉，则（22-x）个工人生产螺母，由1个螺钉需要配2个螺母，可知螺母的个数是螺钉个数的2倍，从而得出等量关系，就可以列出方程．【详解】解：设每天安排x个工人生产螺钉，则（22-x）个工人生产螺母，利用一个螺钉配两个螺母．由题意得：2×1200x=2000（22-x），即2×1200x=2000（22-x），故选D．变式3-2．（2021·山西阳泉市模拟）在中国数学名著《九章算术》中，有这样一个问题：“今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十. 问家数、牛价各几何？”大意是：几家人凑钱合伙买牛，如果每7家共出190元，那么还缺少330元钱；如果每9家共出270元，又多了30元钱. 问共有多少人家，每头牛的价钱是多少元？若设有x户人家，则可列方程为（）A．1902703303079x x+=-B．1902703303079x x-=+C．7190927033030x x⨯⨯+=-D．7190927033030x x⨯⨯-=+【答案】A【分析】根据“如果每7家共出190元，那么还缺少330元钱；如果每9家共出270元，又多了30元钱”，可得每头牛的价钱是1903307x+或270309x-，即可得出关于x的方程.【详解】解：∵如果每7家共出190元，那么还缺少330元钱，∴每头牛的价钱是1903307x+；∵如果每9家共出270元，又多了30元钱，∴每头牛的价钱又可以表示为270309x-，∴可列方程为：19027033030 79x x+=-，故选A.变式3-3．（2021·广西南宁市一模）某班组每天需生产50个零件才能在规定的时间内完成一批零件任务，实际上该班组每天比计划多生产了6个零件，结果比规定的时间提前3天并超额生产120个零件，若设该班组要完成的零件任务为x个，则可列方程为（）A．120350506x x+-=+B．350506x x-=+C．120350506x x+-=+D．120350650x x+-=+【答案】C【分析】关系式为：零件任务÷原计划每天生产的零件个数-（零件任务+120）÷实际每天生产的零件个数=3，把相关数值代入即可求解．【详解】解：实际完成的零件的个数为x+120，实际每天生产的零件个数为50+6，所以根据时间列的方程为：12035050+6x x +-= 故选C ．变式3-4．（2021·浙江杭州市·中考真题）已知九年级某班30位同学种树72棵，男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生x 人，则（） A ．237230x xB ．327230x xB ．C ．233072x xD ．323072x x【答案】D【分析】先设男生x 人，根据题意可得323072x x .【详解】男生x 人，则女生有(30－x)人，由题意得：323072x x，故选D.变式3-5．（2021·哈尔滨市模拟）甲队有工人96人，乙队有工人72人，如果要求乙队的人数是甲队人数的13，应从乙队调多少人去甲队？如果设应从乙队调x 人到甲队，列出的方程正确的是（） A ．1(96)723x x -=-B ．196723x x ⨯-=-C ．1(96)723x x +=-D ．196(72)3x x +=-【答案】C【分析】根据等量关系：乙队调动后的人数=13甲队调动后的人数，列出一元一次方程即可．【详解】设应从乙队调x 人到甲队，此时甲队有（96+x ）人，乙队有（72-x ）人，根据题意可得：13（96+x ）=72-x ．故选C ．考查题型四销售盈亏问题销售金额=售价×数量利润= 商品售价-商品进价利润率=（利润÷商品进价）×100%现售价 = 标价×折扣售价 = 进价×（1+利润率）典例4．（2021·长沙市一模）随着传统节日“端午节”临近，某超市决定开展“欢度端午，回馈顾客”的活动，将进价为120元一盒的某品牌粽子按标价的8折出售，仍可获利20%，则该超市该品牌粽子的标价为__元．（）A．180 B．170 C．160 D．150【答案】A【分析】设该超市该品牌粽子的标价为x元，则售价为80%x元，根据等量关系：利润=售价﹣进价列出方程，解出即可．【详解】解：设该超市该品牌粽子的标价为x元，则售价为80%x元，由题意得：80%x﹣120=20%×120，解得：x=180．即该超市该品牌粽子的标价为180元．故选：A．变式4-1．（2021·广东深圳市模拟）某商贩在一次买卖中，以每件135元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，在这次买卖中，该商贩（）A．不赔不赚B．赚9元C．赔18元D．赚18元【答案】C【分析】设盈利上衣成本x元，亏本上衣成本y元，由题意得:135-x=25%x;y-135=25%y；求出成本可得.【详解】设盈利上衣成本x元，亏本上衣成本y元，由题意得135-x=25%xy-135=25%y解方程组，得x=108元，y=180元135+135-108-180=-18亏本18元故选：C变式4-2．（2021·长沙市二模）中国总理李克强2021年6月1日考察山东时表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．市场、企业、个体工商户活起来，生存下去，再发展起来，国家才能更好！为了响应党中央、国务院的号召，各地有序开放了“地摊经济”、“马路经济”，长沙某地摊摊主将进价为10元的小商品提价100%后再6折销售，该小商品的利润率（）A．40% B．20% C．60% D．30%【答案】B【分析】设该小商品的利润率为x，根据利润＝售价﹣进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设该小商品的利润率为x，依题意，得：10×（1+100%）×0.6﹣10＝10x，解得：x＝0.2＝20%．故选：B．考查题型五比赛积分问题比赛总场数=胜场数+负场数+平场数比赛总积分=胜场积分+负场积分+平场积分典例5．（2021·大庆市模拟）篮球比赛规定：胜一场得3分，负一场得1分，某篮球队共进行了6场比赛，得了12分，该队获胜的场数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】解答此题可设该队获胜x场，则负了（6-x）场，根据总分=3×获胜场数+1×负了的场数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】设该队获胜x场，则负了(6－x)场．根据题意得3x＋(6－x)＝12，解得x＝3.经检验x＝3符合题意.故该队获胜3场．故选B.变式5-1．（2021·武汉市模拟）一张试卷有25道选择题，做对一题得4分，做错一题得-1分，某同学做完了25道题，共得70分，那么他做对的题数是（）A．17道B．18道C．19道D．20道【答案】C【分析】设作对了x道，则错了（25-x）道，根据题意列出方程进行求解.【详解】设作对了x道，则错了（25-x）道，依题意得4x-(25-x)=70，解得x=19故选C.变式5-2．（2021·广东深圳市模拟）在2018﹣2021赛季英超足球联赛中，截止到3月12号止，蓝月亮曼城队在联赛前30场比赛中只输4场，其它场次全部保持不败．共取得了74个积分暂列积分榜第一位．已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，设曼城队一共胜了x场，则可列方程为（）A．3x+（30﹣x）＝74 B．x+3 （30﹣x）＝74C．3x+（26﹣x）＝74 D．x+3 （26﹣x）＝74【答案】C【分析】根据题意分析，可以设曼城队一共胜了x场，则平了（30-x-4）场，找出等量关系：总积分=3×获胜场数+1×踢平场数，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【详解】设曼城队一共胜了x场，则平了（30﹣x﹣4）场，依题意，得：3x+（30﹣x﹣4）＝74，即3x+（26﹣x）＝74．故选：C．考查题型六方案选择问题结合实际，分情况讨论，给出合理建议。

人教版初三数学知识点总结之方程(组)

人教版初三数学知识点总结之方程(组)下面是小编为了帮助同学们学习数学知识而整理的人教版初三数学知识点总结之方程(组)，希望可以帮助到同学们!★重点★一元一次、一元二次方程，二元一次方程组的解法;方程的有关应用题(特别是行程、工程问题)☆ 内容提要☆一、基本概念1.方程、方程的解(根)、方程组的解、解方程(组)2. 分类：二、解方程的依据-等式性质1.a=ba+c=b+c2.a=bac=bc (c0)三、解法1.一元一次方程的解法：去分母去括号移项合并同类项系数化成1解。

2. 元一次方程组的解法：⑴基本思想：消元⑵方法：①代入法②加减法四、一元二次方程1.定义及一般形式：2.解法：⑴直接开平方法(注意特征)⑵配方法(注意步骤-推倒求根公式)⑶公式法：⑷因式分解法(特征：左边=0)3.根的判别式：4.根与系数顶的关系：逆定理：若，则以为根的一元二次方程是：。

5.常用等式：五、可化为一元二次方程的方程1.分式方程⑴定义⑵基本思想：⑶基本解法：①去分母法②换元法(如， )⑷验根及方法2.无理方程⑴定义⑵基本思想：⑶基本解法：①乘方法(注意技巧!!)②换元法(例，)⑷验根及方法3.简单的二元二次方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。

六、列方程(组)解应用题一概述列方程(组)解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。

其具体步骤是：⑴审题。

理解题意。

弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。

⑵设元(未知数)。

①直接未知数②间接未知数(往往二者兼用)。

一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。

⑶用含未知数的代数式表示相关的量。

⑷寻找相等关系(有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出)，列方程。

一般地，未知数个数与方程个数是相同的。

⑸解方程及检验。

⑹答案。

综上所述，列方程(组)解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题(设元、列方程)，在由数学问题的解决而导致实际问题的解决(列方程、写出答案)。

一元一次方程知识点总结与典型例题(人教版初中数学)

一元一次方程知识点总结与典型例题一、一元一次方程 1、等式：用“=”表示相等关系的式子，叫做等式. 2、方程：含有未知数的等式叫做方程. 3、一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，等号的两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.4、判断一元一次方程的条件： ⑴首先必须是方程；⑵其次必须只含有一个未知数，且未知数的指数是1； ⑶分母中不含有未知数. 5、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.说明：方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论 6、一元一次方程都可以化为一般形式：)0(0≠=+a b ax ※典型例题知识点1：方程的概念1、下列各式中（）是方程．A ．x-6B ．3×6=18C ．x-6=3D ．20÷5=4 2、下列式子中（）是方程．A ．2+3-xB ．3+x ＞5C ．3-y=1D ．以上都不是 3、下列式子是方程的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4、下列各式中，是方程的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 5、在下列各式中，方程的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 知识点2：列方程6、语句“x 的3倍比y 的21大7”用方程表示为：________________. 7、一根细铁丝用去32后还剩2m ，若设铁丝的原长为xm ，可列方程为：_________________. 8、x 的10%与y 的差比y 的2倍少3，列方程为：_____________________.9、一件衣服打八折后，售价为88元，设原价为x 元，可列方程为：__________________. 10、某校长方形的操场周长为210m ，长与宽之差为15m ，设宽为xm ，列方程为：___________________.11、若单项式是同类项，可以得到关于x 的方程为：_________________. 知识点3：方程的解12、下列方程中，2是其解的是（） A.042=-x B.021=-x C.011=-+x x D.02=+x 13、x=1是下列哪个方程的解（）A.01=+xB.1112-=-x x x C.1=+y x D.0433=-+x x 知识点4：一元一次方程的概念14、下列方程中是一元一次方程的是（） A.23+=+y x B.x x -=+33 C.11=xD.012=-x 15、已知下列方程：其中一元一次方程有（） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个16、已知是关于x 的一元一次方程，则（）A ．m=2B ．m=-3C ．m=±3D ．m=117、方程是关于x 的一元一次方程，则m （）A ．m=±1B ．m=1C ．m=-1D ．m ≠-1 18、若方程是关于x 的一元一次方程，则a 的值为（）A.0B.21- C.1 D.2119、方程是一元一次方程，则a 和m 分别为（）A ．2和4B ．-2和4C ．2和-4D ．-2和-420、下列关于x 的方程一定是一元一次方程的是（） A.11=-x xB.()b x a =+12 C.b ax = D.31=+x 21、若方程是关于x 的一元一次方程，则m 的值是（）二、等式的性质1、等式的性质：⑴等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.等式的性质1：如果b a =，那么c b c a ±=±⑵等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.等式的性质2：如果b a =，那么bc ac =；如果()0≠=c b a ，那么cb c a = 2、解以x 为未知数的方程，就是把方程逐步转化为a x =（常数）的形式，等式的性质是转化的重要依据. ※典型例题知识点5：等式的性质1、运用等式性质进行的变形，不正确的是（）A ．如果a=b ，那么a-c=b-cB ．如果a=b ，那么a+c=b+cC ．如果a=b ，那么cbc a = D ．如果a=b ，那么ac=bc 2、下列结论错误的是（）A ．若a=b ，则a-c=b-cB ．若a=b ，则1122+=+c bc a C ．若x=2，则x x 22= D ．若ax=bx ，则a=b 3、下列说法正确的是（）A ．如果ac=bc ，那么a=bB ．如果cbc a =，那么a=b C ．如果a=b ，那么22cb c a = D ．如果y x63=-，那么x=-2y4、已知xy=mn ，则把它改写成比例式后，错误的是（） A.y m n x = B.x n m y = C.nym x = D.y n m x =5、在公式中，以下变形正确的是（）A. B.C. D.6、根据下图所示，对a 、b 、c 三中物体的重量判断正确的是（）A ．a ＜cB ．a ＜bC ．a ＞cD ．b ＜c7、如图a 和图b 分别表示两架处于平衡状态的简易天平，对a ，b ，c 三种物体的质量判断正确的是（）A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．c ＜b ＜aD ．b ＜a ＜c 8、下列结论中不能由a+b=0得到的是（）A.ab a -=2 B ．|a|=|b| C ．a=0，b=0 D.22b a = 9、若2y-7x=0（xy ≠0），则x:y 等于（） A ．7:2 B ．4:7 C ．2:7 D ．7:410、已知等式3a=2b+5，则下列等式中不一定成立的是（） A ．3a-5=2b B ．3a+1=2b+6 C ．3ac=2bc+5 D.11、下列说法：其中正确的结论是（）A ．只有①②B ．只有②④C ．只有①③④D ．只有①②④12、能不能由()13-=+b x a 得到等式，为什么？反之，能不能由得到()13-=+b x a ，为什么？知识点6：利用等式的性质解方程 13、利用等式的性质解下列方程：14、已知：x=2是方程2x+m-4=0的解，则m 的值为（） A ．8 B ．-8 C ．0 D ．215、要使关于x 方程mx=m 的解为x=1，则（） A ．m ≠0 B ．m 可为任何有理数C ．m ＞0D ．m ＜016、若x=-3是方程k （x+4）-2k-x=5的解，则k 的值是（）A ．2B ．-3C ．3D ．-217、已知y=4是方程的解，则的值为（）A.B ．8C ．289D ．22518、若关于x 的方程是一元一次方程，则这个方程的解是（）A ．x=0B ．x=3C ．x=-3D ．x=2 19、若方程是一元一次方程，则方程ax+b=1的解是（）A ．x=6B ．x=-6C ．x=-8D ．x=8 20、已知关于x 的方程的解满足|x|=1，则m 的值是（）A ．-6B ．-12C ．-6或-12D ．6或12 21、对|x-2|+3=4，下列说法正确的是（）A ．不是方程B ．是方程，其解为1C ．是方程，其解为3D ．是方程，其解为1，322、下列各判断句中，错误的是（） A ．方程是等式，但等式不一定是方程B ．由ax=ay 这个条件不能得到x=y 一定成立的结论C ．在整数范围内，方程6x=3无解D ．5x =0不是方程23、若是一元一次方程，则m 等于（）A ．1B ．2C ．1或2D ．任何数24、已知关于x 的方程ax+b=c 的解是x=1，则|c-a-b-1|=_______. 25、若-2是关于x 的方程的解，则=-1001001a a________.26、已知等式（x-4）m=x-4且m ≠1，求的值．三、解一元一次方程——合并同类项与移项 1、合并同类项通过合并同类项可以把一元一次方程化为最简形式：b ax =，其中未知数的系数a 满足的条件是0≠a . 2、系数化为1：解方程系数化为1这一步的理论根据是等式的性质2. 3、移项：把等式一边的某项变号后移动到另一边，叫做移项. 4、移项的目的：通过移项，含有未知数的项与常数项分别在等号的两边，使方程更接近b ax =的形式. 5、移项的理论根据是等式的性质1. ※典型例题知识点7：解一元一次方程——合并同类项与移项1、下列方程变形正确的是（）A ．由3+x=5得x=5+3B ．由7x=-4得x=47- C ．由021=y 得y=2 D ．由3=x-2得x=2+3 2、如果3x+2=8，那么6x+1=（） A ．11 B ．26 C ．13 D ．-11 3、当x=3时，代数式的值为7，则a 等于（）A ．2B ．-2C ．1D ．-14、关于x 的方程2-3x=a （x-2）的解为x=-1，则a 的值为（） A ．5 B ．-1 C ．-5 D ．35-5、如果代数式5x-7与4x+9的值互为相反数，则x 的值等于（） A ．29 B ．29- C. 92 D. 92- 6、如果与是同类项，则n 是（）A ．2B ．1C ．-1D ．0 7、若与是同类项，则m 、n 的值分别为（） A ．2，-1 B ．-2，1C ．-1，2D ．-2，-18、若“※”是新规定的某种运算符号，得x ※y=x 4+y ，则（-1）※k=6中k 的值为（） A ．-3 B ．3 C ．-5 D ．59、已知：，则方程2m+x=n 的解为（）A ．x=-4B ．x=-3C ．x=-2D ．x=-110、解下列方程：⑴925=-x x ⑵163-=+x x ⑶x x 23273-=+ ⑷1453+=+x x⑸105.03=+-x x ⑹535.25.47-⨯=-x x ⑺1233+=-x x ⑻766531-=-x x 四、解一元一次方程——去括号与去分母1、去括号法则：括号前面是“+”号，去括号时符号不变，括号前面是“-”号，去括号时各项都变号. 2、去括号的理论根据是：乘法分配律. 3、去分母：去分母的理论根据是：等式的性质2. 4、去分母注意事项：⑴方程两边同乘的数是各分母的最小公倍数； ⑵不要漏乘不含分母的项；⑶当分子是多项式时分别乘以每一项.5、解一元一次方程的一般步骤：⑴去分母：方程两边同乘各分母的最小公倍数. ⑵去括号：按去括号法则和分配律. ⑶移项：把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号. ⑷合并同类项：把方程化成()0≠=a b ax 形式.⑸系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解ab x = 知识点8：解一元一次方程——去括号与去分母 1、解下列方程：⑴()0112=+-x ⑵()()72225+=+x x ⑶()()x x x 8723--=- ⑷16112131+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x⑸5174732+=--x x ⑹32261+-=--x x x ⑺()()()[]6121223=+--++x x x⑻1.02.112.06.055.05.14x x x -=+--- ⑼0455.005.02.02.005.01.0=+--+x x ⑽32213415xx x --+=- 2、若方程的解与关于x 的方程的解相同，则k 的值为（）A.95 B.95- C.35 D.35- 3、如果的倒数是3，那么x 的值是（） A ．-3B ．1C ．3D ．-14、已知关于x 的方程的解满足方程，则m 的值为（）A.21 B.2 C.23D.3 5、若单项式是同类项，则mn=（）A ．28B ．-14C ．28或-14D ．以上都不对6、对于实数a ，b ，c ，d 规定一种运算：x=（）A.413-B.427C.423-D.43-7、如果则x 的值为（）A.2-B.35 C.3 D.31 8、已知关于x 的方程2x=8与x+2=-k 的解相同，则代数式的值是（）A.49-B.94C.94-D.94±9、方程的解的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3 10、如果3754123-+x x 与互为相反数，则代数式2964123++x 的值是（） A.1 B.2 C.3 D.4 11、方程的解是（）A ．2007B ．2009C ．4014D ．4018五、实际问题与一元一次方程1、列方程解一元一次方程的步骤： ⑴审——审题：找出等量关系；⑵设——设未知数：根据提问，巧设未知数； ⑶列——列方程：利用已找出的等量关系列方程； ⑷解——解方程：解所列的方程，求出未知数的值； ⑸检——检验所求的未知数的值是否是方程的解，同时要注意该值是否符合实际情况； ⑹答——作答.参考答案：知识点1：方程的概念1、C2、C3、B4、C5、B 知识点2：列方程6、7、8、 9、10、11、知识点3：方程的解12、A 13、D知识点4：一元一次方程的概念14、B 15、B16、思路点拨：17、B 18、D 19、B 20、思路点拨：21、思路点拨：知识点5：等式的性质1、C2、D3、B4、C5、思路点拨：6、思路点拨：7、思路点拨：8、C9、思路点拨：10、C 11、D12、思路点拨：知识点6：利用等式的性质解方程14、C 15、A 16、D 17、D 18、A 19、A 20、C 21、思路点拨：22、D 23、A24、思路点拨：25、思路点拨：26、思路点拨：知识点7：解一元一次方程——合并同类项与移项1、D 2、C3、思路点拨：4、D5、D6、A7、思路点拨：8、思路点拨：9、思路点拨：知识点8：解一元一次方程——去括号与去分母2、思路点拨：3、C4、B5、思路点拨：6、D7、思路点拨：8、C9、思路点拨：10、C11、思路点拨：。

武汉市-2019【人教版】九年级数学下册：中考知识点梳理-第2单元第5讲一次方程(组)

(3)性质3：（对称性）若a=b,则b=a.
(4)性质4：（传递性）若a=b,b=c,则a=c.
失分点警示：在等式的两边同除以一个数时，这个数必须不为0.
例：判断正误.
(1)若a=b,则a/c=b/c. (×)
(2)若a/c=b/c，则a=b. (√)
2.关于方程的基本概念
(1)一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程．
（2）利息问题：利息=本金×利率×期数，本息和=本金+利息.
（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间.
（4）行程问题：路程=速度×时间.①相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程；
②追及问题：a.同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程；b.同时不同地出发：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程.
(2)加减消元法：把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法.
知识点三：一次方程(组)的实际应用
5.列方程(组)
解应用题的一般步骤
(1)审题：审清题意，分清题中的已知量、未知量；
(2)设未知数；
(3)列方程(组)：找出等量关系，列方程（组）；
(4)解方程(组)；
(5)检验：检验所解答案是否正确或是否满足符合题意；
失分点警示：方程去分母时，应该将分子用括号括起来，然后再去括号，防止出现变号错误.
4.二元一次方程组的解法
思路：消元，将二元一次方程转化为一元一次方程.
已知方程组，求相关代数式的值时，需注意观察，有时不需解出方程组，利用整体思想解决解方程组.例：已知则x-y的值为x-y=4.
方法：
(1)代入消元法:从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把“它”代入另一个方程，进行求解；

中考总复习：《一次方程及方程组》知识网络及经典例题解析

中考总复习：《一次方程及方程组》知识网络及经典例题解析【考纲要求】1.了解等式、方程、一元一次方程的概念，会解一元一次方程；2.了解二元一次方程组的定义，会用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组；3.能根据具体问题中的数量关系列出方程（组），体会方程思想和转化思想.【知识网络】【考点梳理】考点一、一元一次方程 1.等式性质（1）等式的两边都加上(或减去)同一个数（或式子），结果仍是等式. （2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为零），结果仍是等式. 2.方程的概念（1）含有未知数的等式叫做方程.（2）使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解(一元方程的解也叫做根). （3）求方程的解的过程，叫做解方程. 3.一元一次方程（1）只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程.（2）一元一次方程的一般形式:0(0)ax b a +=≠.（3）解一元一次方程的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化成1；⑥检验(检验步骤可以不写出来). 要点诠释：解一元一次方程的一般步骤步骤名称方法依据注意事项1去分母在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数（即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数）等式性质21、不含分母的项也要乘以最小公倍数；2、分子是多项式的一定要先用括号括起来.2 去括号去括号法则（可先分配再去括号）乘法分配律注意正确的去掉括号前带负数的括号3移项把未知项移到方程的一边（左边），常数项移到另一边等式性质1移项一定要改变符号说明：（1）上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说，解每一个方程都必须经过六个步骤；（2）解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法；（3）对于形式较复杂的方程，可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式，再依照一般方法解.考点二、二元一次方程组 1. 二元一次方程组的定义两个含有两个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组. 要点诠释：判断一个方程组是不是二元一次方程组应从方程组的整体上看，若一个方程组内含有两个未知数，并且未知数的次数都是1次，这样的方程组都叫做二元一次方程组． 2.二元一次方程组的一般形式111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩ 要点诠释：a 1、a 2不同时为0，b 1、b 2不同时为0，a 1、b 1不同时为0，a 2、b 2不同时为0. 3. 二元一次方程组的解法(1) 代入消元法； (2) 加减消元法. 要点诠释：（1）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况，对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透．（2）一元一次方程与一次函数、一元一次不等式之间的关系：当二元一次方程中的一个未知数的取值确定范围时，可利用一元一次不等式组确定另一个未知数的取值范围，由于任何二元一次方程都可以转化为一次函数的形式，所以解二元一次方程可以转化为：当y ＝0时，求x 的值.从图象上看，这相当于已知纵坐标，确定横坐标的值.考点三、一次方程（组）的应用列方程(组)解应用题的一般步骤：1.审:分析题意，找出已知、未知之间的数量关系和相等关系；2.设:选择恰当的未知数(直接或间接设元)，注意单位的统一和语言完整；3.列:根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程(组)；4.解:解所列的方程(组)；5.验: (有三次检验 ①是否是所列方程(组)的解；②是否使代数式有意义；③是否满足实际意义)；6.答:注意单位和语言完整.要点诠释：列方程应注意：（1）方程两边表示同类量；（2）方程两边单位一定要统一；（3）方程两边的数值相等.【典型例题】类型一、一元一次方程及其应用1．如果方程2n 731x 157--=是关于x 的一元一次方程，则n 的值为( ). A.2 B.4 C.3 D.1 【思路点拨】未知数x 的指数是1即可. 【答案】B ；【解析】由题意可知2n-7=1，∴n=4.【总结升华】根据一元一次方程的定义求解. 举一反三：【变式1】已知关于x 的方程4x-3m=2的解是x=5，则m 的值为 . 【答案】由题意可知4×5-3m ＝2，∴m=6.【变式2】若a ，b 为定值，关于x 的一元一次方程2632=--+bxx x ka 无论k 为何值时，它的解总是1，求a ，b 的值．【答案】a=0,b=11.2．一收割机收割一块麦田，上午收割了麦田的25%，下午收割了剩下麦田的20%，结果还剩下6公顷麦田未收割．这块麦田一共有多少公顷？【思路点拨】设这块麦田一共有x 公顷，根据上午收割了麦田的25%，则剩余x （1﹣25%）公顷，再利用下午收割了剩下麦田的20%，则剩余x （1﹣25%）（1﹣20%）公顷，进而求出即可．【答案与解析】解：设这块麦田一共有x 公顷，根据题意得出：x （1﹣25%）（1﹣20%）=6，解得：x=10，答：这块麦田一共有10公顷．【总结升华】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确表示出两次剩余小麦的亩数是解题关键．举一反三：【变式】“五一”期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元．设该电器的成本价为x 元，根据题意，下面所列方程正确的是（） A ．()130%80%2080x +⨯= B ． 30%80%2080x ⋅⋅= C ． 208030%80%x ⨯⨯= D ． 30%208080%x ⋅=⨯【答案】成本价提高30%后标价为()130%x +，打8折后的售价为()130%80%x +⨯．根据题意，列方程得()130%80%2080x +⨯=，故选A ．类型二、二元一次方程组及其应用3．解下列方程组．（1）（2）．【思路点拨】代入消元法或加减消元法均可. 【答案与解析】解：（1），将②代入①得：2（﹣2y+3）+3y=7，去括号得：﹣4y+6+3y=7，解得：y=﹣1，将y=﹣1代入②得：x=2+3=5，则方程组的解；（2），①×4+②×3得：17m=34，解得：m=2，将m=2代入①得：4+3n=13，解得：n=3，则方程组的解为．【总结升华】解方程组要善于观察方程组的特点，灵活选用适当的方法，提高解题速度.举一反三：① ②【变式1解方程组【答案】方程②化为，再用加减法解，答案：【变式2】解方程组⎩⎨⎧=++=.36,5:4:3::c b a c b a【答案】a=9,b=12,c=15.4．小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：m ），解答下列问题：（1）写出用含x 、y 的代数式表示的地面总面积；（2）已知客厅面积比卫生间面积多21m 2，且地面总面积是卫生间面积的15倍，铺1m 2地砖的平均费用为80元，求铺地砖的总费用为多少元？【思路点拨】根据题意找出等量关系式，列出方程或方程组解题. 【答案与解析】（1）地面总面积为：（6x ＋2y ＋18）m 2；（2）由题意，得6221,6218152.x y x y y -=⎧⎨++=⨯⎩解之，得4,3.2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩∴地面总面积为：6x ＋2y ＋18＝6×4＋2×32＋18＝45（m 2）． ∵铺1m 2地砖的平均费用为80元，∴铺地砖的总费用为：45×80＝3600（元）．【总结升华】注意不要丢掉题中的单位. 举一反三：【变式】利用两块长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是（）A．73cm B．74cm C．75cm D．76cm【答案】设桌子高度为acm，木块竖放为bcm，木块横放为ccm.则80,a=7570a b ca c b+-=⎧⎨+-=⎩解得.故选C.类型三、一次方程（组）的综合运用5．某县为鼓励失地农民自主创业，在2012年对60位自主创业的失地农民进行奖励，共计划奖励10万元.奖励标准是：失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1000元奖励；自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的，再给予2000元奖励.问：该县失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民分别有多少人？【思路点拨】根据失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1000元奖励：自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的，再给予2000元奖励列方程求解．【答案与解析】方法一：设失地农民中自主创业连续经营一年以上的有x人，则根据题意列出方程 1000x+(60–x)(1000+2000)=100000，解得：x=40，∴60-x =60-40=20答：失地农民中自主创业连续经营一年以上的有40人，自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有20人.方法二：设失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有分别有x，y人，根据题意列出方程组：601000(10002000)100000 x yx y+=⎧⎨++=⎩解得：2040 yx=⎧⎨=⎩答：失地农民中自主创业连续经营一年以上的有40，自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有20人.【总结升华】本题考查理解题意的能力，关键是找到人数和钱数作为等量关系.举一反三：【变式】某公园的门票价格如下表所示：购票人数1～50人51～100人100人以上票价10元／人8元／人5元／人某校七年级甲、乙两班共100多人去该公园举行联欢活动，其中甲班50多人，乙班不足50人．如果以班为单位分别买票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一团体购票，一共只要付515元．问：甲、乙两班分别有多少人？【答案】设甲班有x 人，乙班有y 人，由题意得：8109205()515x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得：5548x y =⎧⎨=⎩．答：甲班有55人，乙班有48人.6．在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量（每小时通过观测点的汽车车辆数），三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：甲同学说：“二环路车流量为每小时10000辆”；乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多2000辆”；丙同学说：“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍”；请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少？【思路点拨】根据甲、乙、丙三位同学提供的信息找出等量关系列出方程组求解. 【答案与解析】设高峰时段三环路的车流量为每小时辆，四环路的车流量为每小时辆，根据题意得：解得答：高峰时段三环路的车流量为每小时11000辆，四环路的车流量为每小时13000辆. 【总结升华】通过甲、乙、丙三位同学调查结果找到车流量的等量关系式是解题的关键.。

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方程复习一、一元一次方程归纳1：有关概念一元一次方程的概念1、方程：含有未知数的等式叫做方程．2、方程的解：能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解．3、一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b是常数项．基本方法归纳：判断一元一次方程时只需看未知数的个数及未知数的次数为1即可；方程的解只需带入方程看等式是否成立即可．注意问题归纳：未知数的系数必须不能为零．【例1】（2017湖南省永州市）x=1是关于x的方程2x﹣a=0的解，则a的值是（）A．﹣2B．2C．﹣1D．1归纳2：一元一次方程的解法1、等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式．2、解一元一次方程的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1．基本方法归纳：根据解一元一次方程的步骤计算即可．注意问题归纳：利用等式的性质2时注意：除数不能是零；解方程去分母时应该每项都乘；去括号时注意应该变号．【例2】解方程：305 64x x--=．归纳3：一元一次方程的应用1、列一元一次方程解应用题的一般步骤：（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．（2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．（4）解方程．（5）检验，看方程的解是否符合题意．（6）写出答案．2、解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程→答．基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可．注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．【例3】（2017湖南省常德市）收发微信红包已成为各类人群进行交流联系，增强感情的一部分，下面是甜甜和她的双胞胎妹妹在六一儿童节期间的对话．请问：（1）2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少？（2）2017年六一甜甜和她妹妹各收到了多少钱的微信红包？练习题：1．（2017浙江省杭州市）设x ，y ，c 是实数，（）A ．若x =y ，则x +c =y ﹣cB ．若x =y ，则xc =ycC ．若x =y ，则cy c x = D ．若c y c x 32=，则2x =3y 2．（2016内蒙古包头市）若2（a +3）的值与4互为相反数，则a 的值为（） A ．﹣1 B ．72-C ．﹣5D ．12 3.（2017丽水）若关于x 的一元一次方程x ﹣m +2=0的解是负数，则m 的取值范围是（）A ．m ≥2B ．m ＞2C ．m ＜2D ．m ≤24.（2017云南省）已知关于x 的方程2x +a +5=0的解是x =1，则a 的值为．5.（2016内蒙古赤峰市）甲乙二人在环形跑道上同时同地出发，同向运动．若甲的速度是乙的速度的2倍，则甲运动2周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度3倍，则甲运动32周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度4倍，则甲运动43周，甲、乙第一次相遇，…，以此探究正常走时的时钟，时针和分针从0点（12点）同时出发，分针旋转周，时针和分针第一次相遇．6.（2017安徽省）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物、人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？二、二元一次方程归纳1：二元一次方程的有关概念1、二元一次方程：含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程．2、二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解．3、二元一次方程组：两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．4二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．基本方法归纳：判断一个方程是不是二元一次方程关键看未知数的个数和未知项的最高次数；判断方程组的解只需带入方程组组看是不是成立即可．注意问题归纳：判断一个方程是不是二元一次方程特别注意是：未知项的最高次数而不是未知数的次数．【例1】（2017四川省眉山市）已知关于x，y的二元一次方程组231ax byax by+=⎧⎨-=⎩的解为11xy=⎧⎨=-⎩，则a﹣2b的值是（）A．﹣2B．2C．3D．﹣3归纳2：二元一次方程的解法基础知识归纳：解一元二次方程组的方法（1）代入法（2）加减法基本方法归纳：解一元二次方程组的方法关键是消元．当一个未知数能很好的表示出另一个未知数时，一般采用代入法；当两个方程中的同一个未知数的系数相等或互为相反数时，或者系数均不为2时，一般采用加减消元．注意问题归纳：根据题意选择适当的方法快速求解，注意计算中的错误．【例2】（2017广东省广州市）解方程组：5 2311x yx y+=⎧⎨+=⎩．归纳3：二元一次方程组的应用基础知识归纳：1、列二元一次方程组解应用题的一般步骤：（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．（2）设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数．（3）列方程组，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程组．（4）解方程组．（5）检验，看方程组的解是否符合题意．（6）写出答案．2、解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程组→答．基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程组再解方程组最后检验即可．注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．【例3】上网流量、语音通话是手机通信消费的两大主体，目前，某通信公司推出消费优惠新招﹣﹣“定制套餐”，消费者可根据实际情况自由定制每月上网流量与语音通话时间，并按照二者的阶梯资费标准缴纳通信【小提示：阶梯定价收费计算方法，如600分钟语音通话费=0.15×500+0.12×（600﹣500）=87元】（1）甲定制了600MB 的月流量，花费48元；乙定制了2GB 的月流量，花费120.4元，求a ，b 的值．（注：1GB =1024MB ）（2）甲的套餐费用为199元，其中含600MB 的月流量；丙的套餐费用为244.2元，其中包含1GB 的月流量，二人均定制了超过1000分钟的每月通话时间，并且丙的语音通话时间比甲多300分钟，求m 的值．【例4】（2017四川省遂宁市）2017年遂宁市吹响了全国文明城市创建决胜“集结号”．为了加快创建步伐，某运输公司承担了某标段的土方运输任务，公司已派出大小两种型号的渣土运输车运输土方．已知一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车每次共运15吨；3辆大型渣土运输车和8辆小型渣土运输车每次共运70吨．（1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车每次各运土方多少吨？（2）该渣土运输公司决定派出大小两种型号渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不小于148吨，且小型渣土运输车至少派出7辆，问该渣土运输公司有几种派出方案？（3）在（2）的条件下，已知一辆大型渣土运输车运输话费500元/次，一辆小型渣土运输车运输花费300元/次，为了节约开支，该公司应选择哪种方案划算？练习题：1．（2016贵州省毕节市）已知关于x ，y 的方程22146m n m n x y --+++=是二元一次方程，则m ，n 的值为（）A ．m =1，n =﹣1B ．m =﹣1，n =1C ．m =13，n =43-D ．m =13-，n =432．（2017浙江省嘉兴市）若二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+4533y x y x 的解为⎩⎨⎧==b y a x ，则a ﹣b =（） A ．1 B ．3 C ． 41-D ．47 3.（2017内蒙古包头市）若关于x 、y 的二元一次方程组325x y x ay +=⎧⎨-=⎩的解是1x b y =⎧⎨=⎩，则b a 的值为．4.（2016广西钦州市）若x ，y 为实数，且满足2(2)0x y +=，则y x 的值是．5.（2016四川省达州市）已知x ，y 满足方程组52251x y x y -=-⎧⎨+=-⎩，求代数式2()(2)(2)x y x y x y --+-的值． 6.（2017四川省乐山市）二元一次方程组2322+=-=+x y x y x 的解是 7.（2017内蒙古呼和浩特市）某专卖店有A ，B 两种商品，已知在打折前，买60件A 商品和30件B 商品用了1080元，买50件A 商品和10件B 商品用了840元，A ，B 两种商品打相同折以后，某人买500件A 商品和450件B 商品一共比不打折少花1960元，计算打了多少折？8.（2017四川省南充市）学校准备租用一批汽车，现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载客量45人，乙种客车每辆载客量30人，已知1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元，3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元．（1）求1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是多少元？（2）学校计划租用甲、乙两种客车共8辆，送330名师生集体外出活动，最节省的租车费用是多少？9.（2016湖南省长沙市）2016年5月6日，中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮线正式开通运营，该路线连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将给乘客带来美的享受．星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，5辆大型渣土运输车与6辆小型渣土运输车一次共运输土方70吨．（1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？（2）该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不少于148吨，且小型渣土运输车至少派出2辆，则有哪几种派车方案？三、分式方程☞考点归纳归纳 1：分式方程的有关概念1、分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程．2、分式方程的增根：分式方程化成整式方程解得的未知数的值，如果这个值令最简公分母为零则为增根．基本方法归纳：判断分式方程时只需看分母中必须有未知数；分式方程的解只需带入方程看等式是否成立即可．注意问题归纳：未知数的系数必须不能为零；判断一个数增根的条件缺一不可：1、这个数是解化成的整式方程的根，2、使最简公分母为零．【例1】（2017四川省成都市）已知x =3是分式方程2121kx k x x--=-的解，那么实数k 的值为（） A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．2【例2】（2017四川省泸州市）若关于x 的分式方程2322x m m x x++=--的解为正实数，则实数m 的取值范围是．归纳 2：分式方程的解法 1、解分式方程的步骤：解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”．它的一般解法是：（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母（2）解所得的整式方程（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根．基本方法归纳：分式方程首要是方程两边同乘以分母最小公倍数、去掉分母，转化为整式方程求解，其次注意一定要验根．注意问题归纳：解完方程后一定要注意验根．【例3】（2017上海市）解方程：231133x x x -=--．归纳 3：分式方程的应用 1、分式方程解应用题的一般步骤：（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．（2）设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数．（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．（4）解方程．（5）检验，看方程的解是否符合题意．（6）写出答案．2、解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程→答．基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可．注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．【例4】（2017内蒙古通辽市）一汽车从甲地出发开往相距240km 的乙地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后比原来的速度加快14，比原计划提前24min 到达乙地，求汽车出发后第1小时内的行驶速度．练习题：1.（2017四川省凉山州）若关于x 的方程2230x x +-=与213x x a=+-有一个解相同，则a 的值为（） A ．1 B ．1或﹣3 C ．﹣1 D ．﹣1或32．（2017山东省聊城市）如果解关于x 的分式方程2122m x x x-=--时出现增根，那么m 的值为（） A ．﹣2 B ．2 C ．4 D ．﹣43．（2017黑龙江省龙东地区）已知关于x 的分式方程3133x a x -=-的解是非负数，那么a 的取值范围是（） A ．a ＞1 B ．a ≥1 C ．a ≥1且a ≠9 D ．a ≤14.（2017重庆）若数a 使关于x 的分式方程2411a x x +=--的解为正数，且使关于y 的不等式组21322()0y y y a +⎧->⎪⎨⎪-≤⎩的解集为y ＜﹣2，则符合条件的所有整数a 的和为（）A ．10B ．12C ．14D ．165.（2016重庆市）如果关于x 的分式方程1131+-=-+x x x a 有负分数解，且关于x 的不等式组2()43412a x x x x -≥--⎧⎪⎨+<+⎪⎩的解集为x ＜﹣2，那么符合条件的所有整数a 的积是（）A ．﹣3B ．0C ．3D ．96.（2017内蒙古赤峰市）为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元．（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；（2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵．四、一元二次方程五、一元一次不等式（组）归纳 1：有关概念1．不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式．2．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解．对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集．求不等式的解集的过程，叫做解不等式．3．用数轴表示不等式的方法4．一元一次不等式：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式．5．一元一次不等式组：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集．求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组．基本方法归纳：判断不等式（组）时只需看未知数的个数及未知数的次数为1即可；不等式的解只需带入不等式是否成立即可；不等式（组）的解集是所有解得集合．注意问题归纳：不等式组的解集是所有解得公共部分．【例1】如图，身高为xcm的1号同学与身高为ycm的2号同学站在一起时，如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x y（用“＞”或“＜”填空）．归纳2：不等式基本性质1．不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．2．不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．3．不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．基本方法归纳：观察不等式的变化再选择应用那个性质．注意问题归纳：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．【例2】（2017江苏省常州市）若3x＞﹣3y，则下列不等式中一定成立的是（）A．x+y＞0B．x﹣y＞0C．x+y＜0D．x﹣y＜0归纳3：一元一次不等式（组）的解法1．解一元一次不等式的步骤①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1．2．一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集．基本方法归纳：根据解一元一次不等式（组）的步骤计算即可．注意问题归纳：不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．【例3】（2017四川省乐山市）求不等式组21312052x x x x +<⎧⎪+-⎨-≥⎪⎩的所有整数解．【例4】已知关于x 的不等式组523(1)138222x x x x a +>-⎧⎪⎨≤-+⎪⎩有四个整数解，求实数a 的取值范围．归纳 4：一元一次不等式（组）的应用1．列一元一次不等式（组）解应用题的一般步骤：（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找不等关系．（2）设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数．（3）列一元一次不等式（组）（4）解一元一次不等式（组）．（5）检验，看解集是否符合题意．（6）写出答案．2．解应用题的书写格式：设→根据题意→解一元一次不等式（组）→答．基本方法归纳：解题时先理解题意找到不等关系列出一元一次不等式（组）求解最后检验即可．注意问题归纳：找对不等关系最后一定要检验．【例5】（2017四川省凉山州）为了推进我州校园篮球运动的发展，2017年四川省中小学生男子篮球赛于2月在西昌成功举办．在此期间，某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共60个，其进价与售价间的关系如下表：（1）商店用4200元购进这批篮球和排球，求购进篮球和排球各多少个？（2）设商店所获利润为y （单位：元），购进篮球的个数为x （单位：个），请写出y 与x 之间的函数关系式（不要求写出x 的取值范围）；（3）若要使商店的进货成本在4300元的限额内，且全部销售完后所获利润不低于1400元，请你列举出商店所有进货方案，并求出最大利润是多少？练习题：1.（2017湖南省株洲市）已知实数a ，b 满足a +1＞b +1，则下列选项错误的为（）A ．a ＞bB ．a +2＞b +2C ．﹣a ＜﹣bD ．2a ＞3b篮球排球进价（元/个） 80 50 售价（元/个）105 702．（2017山东省泰安市）不等式组29611x x x k +>+⎧⎨-<⎩的解集为x ＜2，则k 的取值范围为（） A ．k ＞1 B ．k ＜1 C ．k ≥1 D ．k ≤13.（2017黑龙江省龙东地区）已知关于x 的分式方程3133x a x -=-的解是非负数，那么a 的取值范围是（） A ．a ＞1 B ．a ≥1 C ．a ≥1且a ≠9 D ．a ≤14.（2017辽宁省鞍山市）在平面直角坐标系中，点P （m +1，2﹣m ）在第二象限，则m 的取值范围为（）A ．m ＜﹣1B ．m ＜2C ．m ＞2D ．﹣1＜m ＜25.（2016内蒙古包头市）不等式1123x x --≤的解集是（） A ．x ≤4 B ．x ≥4 C ．x ≤﹣1 D ．x ≥﹣16.（2016内蒙古巴彦淖尔市）如图，直线l 经过第一、二、四象限，l 的解析式是y =（m ﹣3）x +m +2，则m 的取值范围在数轴上表示为（）A ．B ．C ．D ．7.（2017内蒙古通辽市）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥-->+1312112x x x 的整数解是． 8.（2017内蒙古呼和浩特市）已知关于x 的不等式21122m mx x ->-．（1）当m =1时，求该不等式的解集；（2）m 取何值时，该不等式有解，并求出解集．。

中考总复习一次方程及方程组--知识讲解

中考总复习一次方程及方程组--知识讲解一、一次方程1.1一次方程的定义一次方程是指未知数的最高次数为1的方程，可以用下面的形式表示：ax + b = 0其中，a和b为已知数，a≠0，x为未知数。

1.2方程的解求解一次方程的过程，就是要确定使等式成立的未知数的值。

将未知数的值代入等式，若等式成立，则该值为方程的解。

1.3解一次方程的方法1.3.1移项法对于一次方程ax+b=0，可以通过移项来求解，具体步骤如下：- 将一次方程两边的常数项b移到方程的右边，得到ax = -b-再将一次方程两边的系数项a移到方程的右边（即除以a），得到x=-b/a1.3.2代入法代入法是指将一次方程的已知数代入方程，然后求解未知数的值。

具体步骤如下：-将方程的已知数代入未知数的位置，得到一个带有未知数的一次方程-再求解带有未知数的一次方程，得到未知数的值1.4解一次方程的注意事项当解一次方程时，需要注意以下几点：-方程的两边同时加上（或减去）相同的数，等号的两边仍然相等。

即可以将方程中的数移到等号的另一边。

-方程的两边同时乘以（或除以一个不为0的数），等号的两边仍然相等。

即可以将方程中的系数移到等号的另一边。

二、一次方程组2.1一次方程组的定义一次方程组是指多个一次方程组成的方程组，可以用下面的形式表示：a₁x+b₁y+c₁=0a₂x+b₂y+c₂=0其中，a₁、b₁、c₁、a₂、b₂、c₂为已知数，a₁、b₁、a₂、b₂≠0，x和y为未知数。

2.2方程组的解求解一次方程组的过程，就是要确定使所有方程都成立的未知数的值。

将未知数的值代入所有方程，若所有方程都成立，则该值为方程组的解。

2.3解一次方程组的方法2.3.1代入法代入法是指将一个方程的解代入其他方程中，然后求解代入后的方程，得到未知数的值。

具体步骤如下：-解一个方程，得到其中一个未知数的解-将这个未知数的解代入另一个方程中，得到一个只有一个未知数的一次方程-求解这个一次方程，得到另一个未知数的解2.3.2消元法消元法是指通过对一次方程组中的方程进行加、减、乘、除等运算，将方程组中的未知数逐渐消去，从而得到只含一个未知数的方程。

人教新课标第三章一元一次方程知识点总结

得到方程的解
六、列一元一次方程分析和解决实际问题
用一元一次方程解决实际问题的关键是依据隐含在题目中的相等关系, 建立数学模型（一元一次方程）, 将实际问题转化为数学问题, 其基本过程如图:
实际问解方题程
一元一次方程
实际问【【警示】设未知数时,
检验要注意单位,
相数等学关问系题应的是解能表示问题全部含义的关系；
______________________________________.
11.根据等式的性质解下列方程
（1） 2x 7 3（2） 6x 6 8（3）
12.甲、乙两人同时由 A 地步行去 B 地, 甲的速度为 5 千米/小时, 乙的速度为 3 千米/小时, 当甲到达 B 地时, 乙距 B 地还有 6 千米, 甲走了几小时？
售
商品利润=商品售价-商
数字问题
品进价
设分别为一个两位数的个位上和十位上的数字, 则这个两位数可以表示为
一般情况下设间接未知数
行船问题
顺流船实际速度=船在静水中的速度+水流速度逆流船实际速度=船在静水中的速度-水流速度
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人教新课标第三章一元一次方程知识点总结
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4.如果关于的方程是一元一次方程, 则 __________.
5.已知是方程的解, 则 _________.
6、的 8 倍加上 4 及的 5 倍相等, 列方程为_______________________.
7、已知方程是一元一次方程, 求的值, 并求出方程的解。
8、已知 , 下面结论错误的是（）
（2）在等式的两边同_______________________, 得到等式 , 这是依据

人教版九年级数学-中考复习总结-一次方程与不等式

一次方程（组）、一次不等式一、知识要点一元一次方程1．方程、一元一次方程的概念：（1）方程：含有未知数的叫做方程；例如。

使方程左右两边值相等的，叫做方程的解；求方程解的叫做解方程。

方程的解与解方程不同。

（2）一元一次方程：在整式方程中，只含有个未知数，并且未知数的次数是，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为 ()0≠a 。

2．解一元一次方程的步骤：（1）去；（2）去；（3）移；（4）合并；（5）系数化为1。

二元一次方程组1．二元一次方程组：（1）定义：由两个组成的一组方程；叫做二元一次方程组。

（2）二元一次方程组的解：方程组中两个方程的，叫做二元一次方程式组的解。

2．解二元一次方程组的基本思路是；常用方法是和。

不等式1．不等式的概念：（1）不等式：不等式：用______表示不等关系的式子，叫做不等式．。

（2）不等式的解：使不等式成立的______的值，叫做不等式的解．（3）不等式的解集：一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的______。

2．不等式的基本性质：基本性质l ：；基本性质2：；基本性质3：；3．一元一次不等式及其解法：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是______的不等式叫做一元一次不等式。

解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤相同，但在系数化为1时，注意是否要改变不等号的方向。

4．一元一次不等式组及其解法：几个—元一次不等式合在—起，构成了一元一次不等式组。

这几个不等式的解集的____ __，叫做由它们所组成的不等式组的解集。

一元一次不等式组的求解是先分别求出每一个不等式的______，然后利用数轴找出它们的公共部分，进而求出不等式组的解集。

分式方程二、知识运用典型例题例1．指出下列方程中，分式方程有（）①21123x x -=5 ②223x x -=5x 2-5x=05x x -+3=0 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个例2.解方程（组）：（1）（江西）方程125.0=x 的解是。

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新人教版初中数学中考总复习重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习中考总复习：一次方程及方程组--知识讲解【考纲要求】1.了解等式、方程、一元一次方程的概念，会解一元一次方程；2.了解二元一次方程组的定义，会用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组；3.能根据具体问题中的数量关系列出方程（组），体会方程思想和转化思想.【知识网络】【考点梳理】考点一、一元一次方程 1.等式性质（1）等式的两边都加上(或减去)同一个数（或式子），结果仍是等式. （2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为零），结果仍是等式. 2.方程的概念（1）含有未知数的等式叫做方程.（2）使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解(一元方程的解也叫做根). （3）求方程的解的过程，叫做解方程. 3.一元一次方程（1）只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程.（2）一元一次方程的一般形式:0(0)ax b a +=≠.（3）解一元一次方程的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化成1；⑥检验(检验步骤可以不写出来). 要点诠释：解一元一次方程的一般步骤步骤名称方法依据注意事项1去分母在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数（即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数）等式性质21、不含分母的项也要乘以最小公倍数；2、分子是多项式的一定要先用括号括起来.2 去括号去括号法则（可先分配再去括号）乘法分配律注意正确的去掉括号前带负数的括号3移项把未知项移到方程的一边（左边），常数项移到另一边等式性质1移项一定要改变符号说明：（1）上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说，解每一个方程都必须经过六个步骤；（2）解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法；（3）对于形式较复杂的方程，可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式，再依照一般方法解.考点二、二元一次方程组 1. 二元一次方程组的定义两个含有两个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组. 要点诠释：判断一个方程组是不是二元一次方程组应从方程组的整体上看，若一个方程组内含有两个未知数，并且未知数的次数都是1次，这样的方程组都叫做二元一次方程组． 2.二元一次方程组的一般形式111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩ 要点诠释：a 1、a 2不同时为0，b 1、b 2不同时为0，a 1、b 1不同时为0，a 2、b 2不同时为0. 3. 二元一次方程组的解法(1) 代入消元法； (2) 加减消元法. 要点诠释：（1）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况，对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透．（2）一元一次方程与一次函数、一元一次不等式之间的关系：当二元一次方程中的一个未知数的取值确定范围时，可利用一元一次不等式组确定另一个未知数的取值范围，由于任何二元一次方程都可以转化为一次函数的形式，所以解二元一次方程可以转化为：当y ＝0时，求x 的值.从图象上看，这相当于已知纵坐标，确定横坐标的值.考点三、一次方程（组）的应用列方程(组)解应用题的一般步骤：1.审:分析题意，找出已知、未知之间的数量关系和相等关系；2.设:选择恰当的未知数(直接或间接设元)，注意单位的统一和语言完整；3.列:根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程(组)；4.解:解所列的方程(组)；5.验: (有三次检验 ①是否是所列方程(组)的解；②是否使代数式有意义；③是否满足实际意义)；6.答:注意单位和语言完整.要点诠释：列方程应注意：（1）方程两边表示同类量；（2）方程两边单位一定要统一；（3）方程两边的数值相等.【典型例题】类型一、一元一次方程及其应用1．如果方程2n 731x 157--=是关于x 的一元一次方程，则n 的值为( ). A.2 B.4 C.3 D.1 【思路点拨】未知数x 的指数是1即可. 【答案】B ；【解析】由题意可知2n-7=1，∴n=4.【总结升华】根据一元一次方程的定义求解. 举一反三：【变式1】已知关于x 的方程4x-3m=2的解是x=5，则m 的值为 . 【答案】由题意可知4×5-3m ＝2，∴m=6. 【课程名称：一次方程及方程组 404191 ：例4】【变式2】若a ，b 为定值，关于x 的一元一次方程2632=--+bxx x ka 无论k 为何值时，它的解总是1，求a ，b 的值．【答案】a=0,b=11.2．（2015•顺德区校级三模）一收割机收割一块麦田，上午收割了麦田的25%，下午收割了剩下麦田的20%，结果还剩下6公顷麦田未收割．这块麦田一共有多少公顷？【思路点拨】设这块麦田一共有x 公顷，根据上午收割了麦田的25%，则剩余x （1﹣25%）公顷，再利用下午收割了剩下麦田的20%，则剩余x （1﹣25%）（1﹣20%）公顷，进而求出即可．【答案与解析】解：设这块麦田一共有x 公顷，根据题意得出：x （1﹣25%）（1﹣20%）=6，解得：x=10，答：这块麦田一共有10公顷．【总结升华】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确表示出两次剩余小麦的亩数是解题关键．举一反三：【变式】“五一”期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元．设该电器的成本价为x 元，根据题意，下面所列方程正确的是（） A ．()130%80%2080x +⨯= B ． 30%80%2080x ⋅⋅= C ． 208030%80%x ⨯⨯= D ． 30%208080%x ⋅=⨯【答案】成本价提高30%后标价为()130%x +，打8折后的售价为()130%80%x +⨯．根据题意，列方程得()130%80%2080x +⨯=，故选A ．类型二、二元一次方程组及其应用3．（2015春•宁波期中）解下列方程组．（1）（2）．【思路点拨】代入消元法或加减消元法均可. 【答案与解析】解：（1），将②代入①得：2（﹣2y+3）+3y=7，去括号得：﹣4y+6+3y=7，解得：y=﹣1，将y=﹣1代入②得：x=2+3=5，则方程组的解；（2），①×4+②×3得：17m=34，解得：m=2，将m=2代入①得：4+3n=13，解得：n=3，则方程组的解为．【总结升华】解方程组要善于观察方程组的特点，灵活选用适当的方法，提高解题速度.举一反三：① ②【变式1解方程组【答案】方程②化为，再用加减法解，答案：【课程名称：一次方程及方程组 404191 ：例3 】【变式2】解方程组⎩⎨⎧=++=.36,5:4:3::c b a c b a【答案】a=9,b=12,c=15.4．小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：m ），解答下列问题：（1）写出用含x 、y 的代数式表示的地面总面积；（2）已知客厅面积比卫生间面积多21m 2，且地面总面积是卫生间面积的15倍，铺1m 2地砖的平均费用为80元，求铺地砖的总费用为多少元？【思路点拨】根据题意找出等量关系式，列出方程或方程组解题. 【答案与解析】（1）地面总面积为：（6x ＋2y ＋18）m 2；（2）由题意，得6221,6218152.x y x y y -=⎧⎨++=⨯⎩解之，得4,3.2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩∴地面总面积为：6x ＋2y ＋18＝6×4＋2×32＋18＝45（m 2）． ∵铺1m 2地砖的平均费用为80元，∴铺地砖的总费用为：45×80＝3600（元）．【总结升华】注意不要丢掉题中的单位. 举一反三：【变式】利用两块长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是（）A．73cm B．74cm C．75cm D．76cm【答案】设桌子高度为acm，木块竖放为bcm，木块横放为ccm.则80,a=7570a b ca c b+-=⎧⎨+-=⎩解得.故选C.类型三、一次方程（组）的综合运用5．某县为鼓励失地农民自主创业，在2012年对60位自主创业的失地农民进行奖励，共计划奖励10万元.奖励标准是：失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1000元奖励；自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的，再给予2000元奖励.问：该县失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民分别有多少人？【思路点拨】根据失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1000元奖励：自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的，再给予2000元奖励列方程求解．【答案与解析】方法一：设失地农民中自主创业连续经营一年以上的有x人，则根据题意列出方程 1000x+(60–x)(1000+2000)=100000，解得：x=40，∴60-x =60-40=20答：失地农民中自主创业连续经营一年以上的有40人，自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有20人.方法二：设失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有分别有x，y人，根据题意列出方程组：601000(10002000)100000 x yx y+=⎧⎨++=⎩解得：2040 yx=⎧⎨=⎩答：失地农民中自主创业连续经营一年以上的有40，自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有20人.【总结升华】本题考查理解题意的能力，关键是找到人数和钱数作为等量关系.举一反三：【变式】某公园的门票价格如下表所示：购票人数1～50人51～100人100人以上票价10元／人8元／人5元／人某校七年级甲、乙两班共100多人去该公园举行联欢活动，其中甲班50多人，乙班不足50人．如果以班为单位分别买票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一团体购票，一共只要付515元．问：甲、乙两班分别有多少人？【答案】设甲班有x 人，乙班有y 人，由题意得：8109205()515x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得：5548x y =⎧⎨=⎩．答：甲班有55人，乙班有48人.6．在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量（每小时通过观测点的汽车车辆数），三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：甲同学说：“二环路车流量为每小时10000辆”；乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多2000辆”；丙同学说：“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍”；请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少？【思路点拨】根据甲、乙、丙三位同学提供的信息找出等量关系列出方程组求解. 【答案与解析】设高峰时段三环路的车流量为每小时辆，四环路的车流量为每小时辆，根据题意得：解得答：高峰时段三环路的车流量为每小时11000辆，四环路的车流量为每小时13000辆. 【总结升华】通过甲、乙、丙三位同学调查结果找到车流量的等量关系式是解题的关键.。