第3章 能控性与能观性分析
第三章 线性控制系统的能控性和能观性PPT课件
.
1
在现代控制理论中，能控性和能观性是两个重 要的概念，是卡尔曼(Kalman)在1960年首先提出 来的，它是最优控制和最优估计的设计基础。
现代控制理论是建立在用状态空间描述的基 础上的。状态方程描述了输入u(t)引起状态x(t)的 变化过程；输出方程则描述了由状态变化引起的输 出y(t)的变化。
可以看出，系统中某一状态的能控和系统的 状态完全能控在含义上是不同的。
.
7
几点说明:
1) 在线性定常系统中，为简便计，可以假定初始 时刻t0=0，初始状态为x(0)，而任意终端状态就指 定为零状态，即 x(tf )0
2) 也可以假定x(t0)=0，而x(tf)为任意终端状态， 换句话说，若存在一个无约束控制作用u(t)，在 有限时间[t0, tf]能将x(t)由零状态驱动到任意x(tf)。 在这种情况下，称为状态的能达性。
.
13
b b 1b 2b n T
为简明起见，下面举三个具有上述类型的二阶 系统，对能控性加以剖析。
x 0 1 0 2 x b 0 2 u ; yc1 c2x
(3-3)
x 0 1 1 1 x b 0 2 u; yc1 c2x
(3-4)
x 0 1 1 1 x b 0 1 u; yc1 c2x
具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统，状态
方程为
x Λ b xu
(3-1)
或
x J b xu
(3-2)
1
0
2
Λ
3
0
n
12 3 n 即n个根互异
.
12
1 1
1 1
0
0
1
1
m 1
0
能控性与能观性
假使输出矩阵C中有某一列全为零，譬如说第2列中c12, c22, …, cm2均为零，则在 t y(t)中将不包含 e 2 x20这个自由分量，亦即不包含 x2(t)这个状态变量，很明显，这 个x2(t)不可能从y(t)的测量值中推算出来，即x2(t)是不能观的状态。
系统是状态完全能控的
x 2 1 x2 b2u y c1 c2 x
1 1 b1 x x u; 0 0 1
对于式(3-5)的系统
x 1 1 x1 x2 b1u x 2 1 x2
x2不受u(t)的控制，而为不能控的系统。
对式(3-3)的系统，系统矩阵A为对角线型，其标量微分方程形式为
x 1 1 x1
x 2 2 x2 b2u
x 2
x 1
1 1 0 x x u; 0 1 b2
对于式(3-4)的系统
y c1 c2 x
x 1 1 x1 x2
c13 c23 c33
1 2 1t 1t 1t e x10 te x20 t e x30 2! x1 (t ) 1t 1t e x20 te x30 这时，状态方程的解为 x(t ) x2 (t ) x ( t ) 3 1t e x 30
从而
y1 (t ) c11 c12 y (t ) y2 (t ) c21 c22 y3 (t ) c31 c32
现代控制理论-线性控制系统的能控性与能观性例题精选全文完整版
如果线性定常系统： y Cx 是状态不完全能控的， 它的能控性判别矩阵的秩
rankM n1 n
则存在非奇异变换：x Rcxˆ
将状态空间描述变换为：
xˆ y
Aˆ xˆ Cˆ xˆ
Bˆ u
n1 n n1
其中：
xˆ
xˆ1
xˆ
2
n1
n n1
Aˆ
R c1AR c
Aˆ 11 0
3.6.1 线性系统的对偶关系
线性系统1、2如下：
1：yx 11
A1x1 C1x1
B1u1
2：
x 2 y 2
A2x2 C2x2
B2u2
如果满足如下关系
A2 A1T , B2 C1T , C2 B1T
则称两系统是互为对偶的.
u1(t) B
x1(t)
x1(t)
++
∫
y1(t) C
A
y2(t) BT
0
A 0 1 0 , b 0, c 1 1 1
1 4 3
1
解： 能控性矩阵
0 1 4
M b Ab A2b 0 0
0
1 3 8
rankM 2 n1 dim A n 3 不能控
构造变换矩阵
0 1 0 Rc 0 0 1
1 3 0
✓与前2个列向量 线性无关； ✓尽可能简单
结构分解
u
co
y
co
依据能控能观 性，将系统分解
co
为四个子系统
co
x Ax Bu
y Cx Du
特殊的线性变换
x xTco xTco xTco xTco
分解步骤：
1、将系统分解成能控与不能控子系统；
现代控制理论第三章
方法二：
转化为约旦标准形 ( Aˆ, Bˆ ) ，再根据 Bˆ 判断
方法三： 传递函数
3.2 线性连续系统的能控性
方法一：线性定常连续系统(A，B), 其状态完全能控的 充要条件是其能控性矩阵的秩为n，即：
rankQc = n Qc = [ B AB A2B … An 1B ]
0 0 2
3
4 1 0
4 2
(2)
x (t)
0
4
0 x(t) 0 0u(t)
0 0 2
3 0
3.2 线性连续系统的能控性 方法三：
3.2 线性连续系统的能控性 例：从输入和状态矢量间的传递函数确定其能控性？
3.2 线性连续系统的能控性 例：判断线性连续系统能控性？
解：
3.2 线性连续系统的能控性
3.3 线性系统的能观测性
例：判断能观测性？
x (t)
2 1
1 3
x(t
)
1
1
u(t)
y(t
)
1 1
0 0 x(t)
解：
C Q0 CA
10 1 0
2 1 2 1
rankQo = 2 = n
系统能观测
3.3 线性系统的能观测性
例： 若系统的状态空间表达式为
x (t)
a d
5
x(t
)
1
7
（2）
x (t)
5
x(t)
1
y(t) 0 4 5x(t)
3 2 0 y(t) 0 3 1 x(t)
（3）
3 1 0
0 3 1
x (t) 0 0 3
x(t)
2
能控性和能观测性
0 0
0 0
−1 0
0 2
0 1
0 0
0⎥⎥ 0⎥
x
+
⎢⎢0 ⎢0
0 0
04⎥⎥⎥u
⎢
⎥⎢
⎥
⎢ 0 0 0 0 0 2 0 0⎥ ⎢1 2 0⎥
⎢ ⎢
0
0
0
0 0 0 2 0⎥⎥
⎢⎢0 3 3⎥⎥
⎢⎣ 0 0 0 0 0 0 0 5⎥⎦ ⎣⎢3 0 0⎥⎦
解：此为8阶系统，n＝8
19
S=
⎡0 0 0 1 0 0 −2 0 0 3 0 0 −4 0 0 5 0 0 −6 0 0 7 0 0 ⎤
再证必要性，即已知系统能控，证明rankS=n。
同样采用反证法假设rankS<n,表明S的各行线性相关，那么一
定存在一个非零的向量α使
α T [B AB L An−1B] = 0,
α T Ai B = 0,i = 1,2,Ln −1
12
α T Ai B = 0, i = 1,2,Ln −1
根据凯莱－哈密尔顿定理 α T Ai B = 0, i = n, n +1,L
α T e−At B = α T [I − At + 1 A2t 2 − 1 A3t3 + L]B
2!
3!
= α T B −α T ABt + 1 α T A2Bt 2 − 1 α T A3Bt 3 + L = 0
2!
3!
∫t1 [α T e−Aτ B][α T e−Aτ B]T dτ = 0
0
∫ ∫ t1 α T e−Aτ BBT e−ATταdτ = α T t1 e−Aτ BBT e−ATτ dτα
(整理)控制系统的能控性和能观测性
第三章 控制系统的能控性和能观测性3-1能控性及其判据 一：能控性概念定义：线性定常系统(A,B,C)，对任意给定的一个初始状态x(t 0)，如果在t 1> t 0的有限时间区间[t 0,t 1]内，存在一个无约束的控制矢量u(t)，使x(t 1)=0，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。
可见系统的能控性反映了控制矢量u(t)对系统状态的控制性质,与系统的内部结构和参数有关。
二：线性定常系统能控性判据设系统动态方程为：x 2不能控y2则系统不能控，若2121,C C R R ==⎩⎨⎧+=+=DuCx y Bu Ax x设初始时刻为t 0=0，对于任意的初始状态x(t 0)，有： 根据系统能控性定义，令x(t f )=0，得：即：由凯莱-哈密尔顿定理：令 上式变为：对于任意x(0),上式有解的充分必要条件是Q C 满秩。
判据1：线性定常系统状态完全能控的充分必要条件是：⎰-+=ft f f f d Bu t x t t x 0)()()0()()(τττφφ⎰⎰---=--=-ff t f f t f f d Bu t t d Bu t t x 01)()()()()()()0(τττφφτττφφ⎰--=f t d Bu x 0)()()0(τττφ∑-=-==-1)()(n k kk A A eτατφτ∑⎰⎰∑-=-=-=-=101)()()()()0(n k t k k t n k k k ff d u B A d Bu A x ττταττταkt k u d u f=⎰)()(ττταUQ u u u u B A B A AB B Bu A x c k n n k kk -=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=-=--=∑ 321121],,,[)0(能控性矩阵Q C =[B ，AB ，A 2B ，…A n-1B]满秩。
对于单输入系统，Q C =[b ，Ab ，A 2b ，…A n-1b] 如果系统是完全能控的，称（A 、B ）或（A 、b ）为能控对。
现代控制理论--第三章 3 能观性
J2
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥ ⎥
X
+
BU
，Y
=
CX
J
n
⎥ ⎦
中，和每个约当块 Ji (i = 1,2, , k) 的首行相对应的C 阵中的那些相应列，其每列 元素不全为零。
若两个约当块有相同特征值，上述结论不成立；若想要上述结论成立，则需
要对应的C 阵中相应列是线性独立的。
综上可知，能观标准型实现一定能观；能观，则通过线性非奇异变换一定能 化成能观标准型实现。能控标准型实现一定能控；能控，则通过线性非奇异变换 一定能化成能控标准型实现。线性非奇异变换不改变系统的能控能观性。
n−1
∑ Y (t)凯－哈定理 b j (t)CA j X (0) j=0
（2）
〔1〕 SO 系统时： 即 C1×n 。
3
第三章 线性系统的结构特性
此时，下列的几个量都是标量： β0 = CX (0), β1 = CAX (0), β n−1 = CAn−1 X (0)
(3) → (2) ：
（3）
λI − A = λI − AT = λI − A = 0
○3 互为对偶的系统的传递矩阵互为转置：
G (s) = C (sI − )A −1 B
( ) ( ) G ( s) = C sI − A −1 B = BT sI − AT −1 CT
=
BT
⎡⎣( sI
) −
A
T
⎤ ⎦
−1
C
T
=
BT
⎡⎣( sI
−
)A
−1 ⎤T ⎦
CT
=
⎡⎣C (sI
−
)A −1
B
⎤T ⎦
系统的能控性能观测性稳定性分析
系统的能控性能观测性稳定性分析1. 能控性（Controllability）能控性是指系统输出能否通过适当的输入方式对系统进行控制。
如果一个系统是能控的，意味着通过控制器的输入信号，我们能够将系统的输出发展到我们所期望的状态。
对于一个线性时不变（LTI）系统，能控性可以通过判断其控制矩阵的秩来确定。
控制矩阵（也称为控制可达矩阵）是由系统的状态方程和控制器的输入方程组成的。
如果控制矩阵的秩等于系统的状态数量，则系统是能控的；否则，系统是无法被完全控制的。
能控性的分析可以帮助我们选择合适的控制策略和控制器设计。
当系统的能控性差时，我们可能需要通过增加或修改系统的状态变量或控制器的输入方式来提高系统的能控性。
2. 能观测性（Observability）能观测性是指系统的内部状态能否通过系统的输出信号来判断。
一个能观测的系统意味着我们可以通过观测系统的输出来估计系统的状态。
对于一个线性时不变系统，能观测性可以通过判断其观测矩阵的秩来确定。
观测矩阵（也称为观测可达矩阵）是由系统的状态方程和输出方程组成的。
如果观测矩阵的秩等于系统的状态数量，则系统是能观测的；否则，系统的一些状态是无法通过输出来观测到的。
能观测性的分析可以帮助我们选择合适的观测器设计，以实现对系统状态的估计。
当系统的能观测性差时，我们可能需要增加或改变系统的输出方程来提高系统的能观测性。
3. 稳定性（Stability）稳定性是指系统在受到扰动后是否会逐渐恢复到原来的状态。
对于线性时不变系统，稳定性可以分为几种类型：零状态稳定、有限状态稳定和无限状态稳定。
零状态稳定（Zero-state stability）是指当系统受到初始条件扰动时，输出信号会在有限时间内收敛到零。
有限状态稳定（Finite state stability）是指当系统受到初始条件扰动时，输出信号会在有限时间内收敛到一些有限值。
无限状态稳定（Infinite state stability）是指当系统受到初始条件扰动时，输出信号会在无限时间内收敛到一些有限值。
第3章_线性控制系统的能控性和能观性
证明 定理3.3-1
y(t1) 0(t1)Im 1(t1)Im n1(t1)Im C
y(t2） 0(t2)Im
1(t2)Im
n1(t2)ImC
A x(0)
y(tf)
0(tf)Im
1(tf)Im
n1(tf)ImCnA 1
上式表明，根据在（0，tf）时间间隔的测量值 y(t1)，y(t2)，…，y(tf)，能将初始状态x(0)唯一地 确定下来的充要条件是能观测性矩阵N满秩。
4)不可控
18
3.1.2 线性定常系统的能控性判别
3.可控性约当型判据
J1
设
x AxBu
J2
xu
Jk
若 A为约当型，则状态完全可控的充要条件是：
每一个约当块的最后一行相应的 阵中所有的行 元素不全为零。（若两个约当块有相同特征值，此
结论不成立。）
精选可编辑ppt
19
3.1.2 线性定常系统的能控性判别
➢本章结构
• 第3章 线性控制系统的能控性和能观性 ✓3.1 能控性 ✓3.2 能观性 ✓3.3 能控性与能观性的对偶关系 ✓3.4 零极点对消与能控性和能观性的关系
精选可编辑ppt
1
引言
状态空间模型建立了输入、状态、输出之间的关系
u
x
y x Ax Bu
y Cx Du
状态方程反映了控制输入对状态的影响；输出方程 反映系统输出对控制输入和状态的依赖
10
3.1 能控性
3.1.2 线性定常系统的能控性判别
证明 定理3.1-1
n1
x(0) AkBk B AB A2B k0
0
An1B1
n1
若系统是能控的，那么对于任意给定的初始状态x(0)都
第3章 能控性和能观性
t 0, t 1
0
W (0, t1 ) 奇异，
与已知条件矛盾
rank W n
说明：1.
在应用格拉姆矩阵判据时计算矩阵指数
函数以及积分的计算量非常大，所以这一判据主要 用在理论分析中。 2. 矩阵W可以利用Matlab函数ctrb(A,B)来计算， 不过其计算在数值上容易导致病态，所以建议使用
1.2 可观性
［例］电路 ((信息)观测的可能性)
如果 u 0，不管电容储存了多少电荷, 由于 y 0 无法知道状态（信息） 图 假定输入恒为0
u
R
R C R
y
R
(信息)观测的可能性
y ce At x0 （未知量
有输入时
At t
(u 0) x0 ）
y y ce
0
y ce x0 ce A(t )bu( )d
, T An1B 0
B AB
T
系统不可控。
n1 T A B W 0 rank W n
充分性：证明过程与上相反。
所以输入维数增加 那么特征值 i 不可控。 约当标准形判据 线性定常系统可控的充分必要条件是 系统可控的可能性增加。
T i T i
t 0 A( t )
bu ( )d 可将它看做输出
已知
可观性的直观意义和定义
所谓系统可观是指通过观测系统的外部变量即输 入输出变量就能正确地知道系统的内部状态。 定义 如果基于有限长的输入输出数据:
u(t ), y(t ),
0 t T
能唯一地确定系统的初始状态 x0 ，则称点 x0 可观 测。进一步，如果状态空间中任意的初始状态 x0 都可观测，则称系统可观测。
能控性及能观测性
第三章：控制系统的能控性及能观测性(第五讲)内容介绍：能控性和能观测性定义、判据、对偶关系、标准型、结构分解。
能控性和能观测性是现代控制理论中最基本概念，是回答：“输入能否控制状态的变化”及“状态的变化能否由输出反映出来”这样两个问题。
换句话说，能控性是“能否找到一向量u(t)有效控制x(t)变化”。
能观测性问题是：“能否通过输出y(t)观测到状态的变化。
”一、能控性定义及判据 给出一个多变量系统（多输入、多输出）若系统G(s)在适当的控制u(t)作用下，每个状态都受影响，亦在有限的时间内能使系统G 由任意初始状态转移到零状态，或者说在有限的时间内能使系统由零状态转移到任意指定状态。
这说明：输入对状态的控制能力强，反之若G 的某一状态根本不受影响，那么在有限时间内就无法利用控制使这个状态变量发生变化。
说明输入对状态控制能力差。
可见：反映输入对状态控制能力的概念是能控性概念。
1． 定义：若对系统，在时刻的任意状态x()都存在一个有限的时间区间（ξt t ,0）（0t t 〉ξ）和定义在[]ξt ,t 0上适当的控制u(t),使在u(t)作用下x()=0。
则称系统在时刻是状态能控的。
如果系统在有定义的时间区域上的每一时刻都能控，称系统为完全能控。
()x u x 01011012=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=考查能控性？状态变量图（信号流图）：y2由于u 的作用只影响不影响，故()t x 2为不能控。
某一状态不能控，则称系统不能控。
2．判据：u 1 ： y1：对线性定常系统=Ax+Bu ，若对某一时刻能控，则称系统完全能控。
设： p输出 n n A *、p n B *、n m C *给出一定理：由=Ax+Bu 所描述的系统是状态完全能控的必要且充分条件为下列n ×np 阵的秩等于n 。
=BAB ……B A n 1-称为能控性阵。
换言之：系统的状态完全能控的必要且充分的条件是能控性阵的秩为n 。
现代控制理论基础_周军_第三章能控性和能观测性
3.1 线性定常系统的能控性线性系统的能控性和能观测性概念是卡尔曼在1960年首先提出来的。
当系统用状态空间描述以后，能控性、能观测性成为线性系统的一个重要结构特性。
这是由于系统需用状态方程和输出方程两个方程来描述输入-输出关系，状态作为被控量，输出量仅是状态的线性组合，于是有“能否找到使任意初态转移到任意终态的控制量”的问题，即能控性问题。
并非所有状态都受输入量的控制，有时只存在使任意初态转移到确定终态而不是任意终态的控制。
还有“能否由测量到的由状态分量线性组合起来的输出量来确定出各状态分量”的问题，即能观测性问题。
并非所有状态分量都可由其线性组合起来的输出测量值来确定。
能控性、能观测性在现代控制系统的分析综合中占有很重要的地位，也是许多最优控制、最优估计问题的解的存在条件，本章主要介绍能控性、能观测性与状态空间结构的关系。
第一节线性定常系统的能控性能控性分为状态能控性、输出能控性（如不特别指明便泛指状态能控性）。
状态能控性问题只与状态方程有关，下面对定常离散系统、定常连续系统分别进行研究（各自又包含单输入与多输入两种情况）：一、离散系统的状态可控性引例设单输入离散状态方程为：初始状态为：用递推法可解得状态序列：可看出状态变量只能在+1或-1之间周期变化，不受的控制，不能从初态转移到任意给定的状态，以致影响状态向量也不能在作用下转移成任意给定的状态向量。
系统中只要有一个状态变量不受控制，便称作状态不完全可控，简称不可控。
可控性与系统矩阵及输入矩阵密切相关，是系统的一种固有特性。
下面来进行一般分析。
设单输入离散系统状态方程为：(3-1)式中，为维状态向量；为纯量，且在区间是常数，其幅值不受约束；为维非奇异矩阵，为系统矩阵；为维输入矩阵：表示离散瞬时，为采样周期。
初始状态任意给定，设为；终端状态任意给定，设为，为研究方便，且不失一般性地假定。
单输入离散系统状态可控性定义如下：在有限时间间隔内，存在无约束的阶梯控制信号，,，能使系统从任意初态转移到任意终态，则称系统是状态完全可控的，简称是可控的。
第三章线性系统的能控性与能观性2
Hale Waihona Puke .解：Sc [b Ab]
Sc b Ab b1 b2
1b1 b1b2 (2 1 ) 2b2
0
如果rank Sc =2, 则必须要求 b1 0, b2
4. 定理3：设 x Ax Bu ， 若Ａ为约当标准形，且每个约当块所 对应的特征值均不相同，则状态完全能控 的充要条件是：
且
ri1 ri 2 rii i
由 Bik (k 1,2,, i ) 的最后一行组 成的矩阵：
bri1 r bri 2 对i 1, 2, , l均为行线性无关 Bi bri i 则系统能控
例：设 x Ax Bu ，已知
第三章 线性系统的能控性和能观性
3.1 能控性的定义 3.2 线性定常系统的能控性判别 3.3 线性定常连续系统的能观性 3.4 离散时间系统的能控性与能观性 3.5 时变系统的能控性与能观性 3.6 能控性与能观性的对偶关系 3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型 3.8 线性定常系统结构分解 3.9 传递函数矩阵的实现 3.10传递函数中零极点对消与状态能控性、能观性之间 的关系
定理2：若
x Ax Bu
若Ａ为对角型，且对角线上的元素均不相同， 则状态完全能控的充要条件为： Ｂ中没有任意一行的元素全为零．
x1 1 x1 b11u1b12u2 b1 pu p
x2 2 x2 b21u1b22u2 b2 pu p
例：线性系统的状态方程为 x Ax bu 其中： 1 0 b1 A b 0 2 b2
Ci C1i1 C1i2 C1ii
第三章能控性与能观性
(3-11) Ax Bu x 式中,x为n维状态向量，u为r维输入向量, A、B分别 为 n n、 n r 常数阵。 式(3-11)系统状态完全能控的充分必要条件是 能控性判别矩阵
Qc B AB A2 B An1 B
满秩,即
(3-12)
rankQc rankB AB A2 B An1 B n
24
rankQc rankB AB A2 B An1 B n
25
【例3-5】动态系统的状态方程如下，试判断其能 控性。
0 0 x a 0 1 0 a1 0 0 0 u 1 x a2 1
解
2
本章首先介绍能控性与能观测性的概念及定义， 在此基础上，介绍判别系统能控性与能观测性的准 则，及如何通过线性非奇异变换将能控系统和能观 测系统的状态空间表达式化为能控标准型与能观测 标准型。然后介绍能控性与能观测性之间的对偶关 系、能控性及能观测性与传递函数的关系，以及如 何对不能控和不能观测系统进行结构分解。再后， 讨论线性离散系统的能控性与能观测性问题。本章 最后介绍MATLAB在系统能控性与能观测性分析中 的应用。
13
2.系统能观测 对于式（3-10）所示线性时变连续系统，如果指 t f > t0 ， 定初始时刻t0 Td ，存在一个有限时刻 t f Td ， t [t 0 , t f ] 对于所有 ，系统的输出 y(t)能惟一确定 t 0 时 t0 时 x0 刻的任意非零的初始状态向量 ，则称系统在 刻状态是完全能观测，简称系统能观测。如果系统对 于任意 均是能观测的（即系统的能观测性与初 t0 Td t0 Td 始时刻 的选取无关），则称系统是一致完全能 观测。
现代控制理论_第3章_能控性和能观测性
T
解 令0，1，2，得状态序列
2 1 x 1 x 0 gu 0 2 0 u 0 1 1
x2 k 1 2 x2 k u k
初始状态为：x1 0 1，x2 0 1 用递推法可解得状态序列：
k 0 k 1 k k 1, x1 k x1 k 1 1
k
x1 1 x1 0 1 x2 1 2 x2 0 u 0 2 u 0 x1 2 x1 1 1
故能控。
例3-3
设 、x 0
g 同例3-1， 1 2 1，试判断能控性。
T
1 1 1 2 S1 rank g g g rank 2 2 2 1 3 解 rank 1 1 1 故不能控。
关于研究单输入离散系统状态可控性的方法可推广到多输入系 统。设系统状态方程为：
rankS1 rank g g 2g n2g n1g n
(3-7)
(3-8)
使用该式判断能控性比较方便，不必进行求逆运算，式(3-5)至 S 式(3-8)均称为能控性判据。 1，S1均称为单输入离散系统能控性 矩阵，由该式显见状态能控性取决于系统矩阵 及输入矩阵g 。 当rank S1 n时，系统不可控，不存在能使任意x 0 转移到x n 0 的控制。
点 击 观 看
第一节
线性定常系统的能控性
能控性分为状态能控性、输出能控性（如不特别指明便泛指状 态能控性）。状态能控性问题只与状态方程有关，下面对定常 离散系统、定常连续系统分别进行研究（各自又包含单输入与 多输入两种情况）：
能控能观性第三章例题
解
输出能控性判别矩阵的秩为
rank CB CAB
D rank 1 2 0 1 ,其与输出变量的
数目相等。因此，本系统是输出完全能控的; 而系统状态能控性判别矩阵的秩为
rank B
1 AB rank 2
2 1 2 4
所以,给定系统的状态不是完全能控的。
图3-5
i 整理以上三式得向量-矩阵形式 令 x1 i1 , x 2 u c1 , y , 的系统状态空间表达式为
R1 1 0 x x L 1 L1 1 1 u 1 x2 1 2 x 0 R2 C1 R2 C1 1 x1 1 u y 1 R2 x 2 R2
y1 1 0 x1 y 1 0 x 2 2
的能观测性。
解
系统的能观测性判别矩阵为
0 1 C 1 0 Qo 1 CA 2 2 1
rank Q o 2 n ,所以该系统状态完全能观测。
Td [0, 10]
x1 y 1 1 1 x 2 x3 分析系统在 t 0 0.时的能观性 5
解 试取tf=1>t0,
N 0 (t f ) 1 1 1
且t f Td，计算
d N1 (t f ) N 0 (t ) A(t ) N 0 (t ) dt t t t
系统能观测
1 y 2
7 0 x 0
2 3 x 5 8
0 0 系统不能观测 5 0 x 0 3
（4）
1 y 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Ax Bu x
输入矩阵B不存在全零的行。 如果存在全零的行，那么和该行相对应的状态变量就是不能 控的。或者说该行对应的特征值形式的模态eit是不可控模态
信息与控制工程学院
【例】 有如下各系统，判断能控性 3 0 0
?
?
能控系统
不能控系统
注意：当系统的Jordan标准型存在多个约旦块对应同一 个特征值时, 状态完全能控的充分必要条件是：系统矩阵J 中相同特征值构成的全部不同Jordan块所对应的输入矩 阵B块中块末行的那些行之间是线性无关的。 1 1 【例】 0 0 0 1 0 0 b l11 1 0 1 0 bl12 1 x x 1 1 1 1 2u 0 0 1 bl13 1 2 1 1 1 1 0 0 1 b l 21 2
对此等价系统，可求出能控矩阵为
~n1 ~ ~ ~ ~~ M B, AB, , A B T 1B, T 1 AB, , T 1 An1B T 1M
由于T-1 是非奇异矩阵，所以
~ Rank M Rank M
结论：对于非奇异变换，系统的能控性保持不变。
信息与控制工程学院
一、具有约旦标准型系统的能控性判别
（１）如果系统(A, B)具有两两相异的特征值，那么其状态 完全能控的充分必要条件是其对角标准形式
0 1 b11 b 2 , B 21 A 0 n bn1 b12 b1r b21 b2 r bn 2 bnr
信息与控制工程学院
【例】 试判别该系统的能控性
1 0 x 1 2 1 0 1 1 0 x 0 3 0 0 1 0 u1 u 2
解：
1 2 1 1 0 1 2 1 2 1 1 2 2 4 AB 0 1 0 0 1 0 1 A2 B 0 1 0 0 1 0 1 1 0 3 0 0 1 0 1 0 3 1 0 4 2
关于能控性的几点说明
(1)线性定常系统中，为简便，可以假定初始时刻t0=0， 初始状态为x(0)，而任一终端状态就指定为零状态，即 x(tf)=0 (2)也可假定x(t0)=0，而x(tf)为任意指定的终端状态，若 存在一个无约束的控制向量u(t)，在有限时间[t0, tf]内， 能将x(t)由零状态驱动到任意x(tf)，称为状态的能达性， 线性定常系统的能控性与能达性一致。 (3)控制作用从理论上是无约束的，其取值并非唯一的， 因为只关心初始状态和终端状态，而不计较状态轨迹。
-2
x2
x1
-3
x1
从模拟结构图上可以很清楚的看出u对x的控制关系
状态变量x2可以用u去控制；
状态变量x1与控制量u既没有直接连系又没有间接连系，
故不可能用u去控制x1。因此，状态变量x1是不可控的。
信息与控制工程学院
一、能控性的定义（线性定常系统）
线性系统的状态方程如下： A x Bu x
解：
0 0 M B AB A2 B 0 1 1 a2
a2 2 a1 a2 1
这是一个三角形矩阵，且反对角线元素均为1，无论ai 取何值，M均满秩，系统总是完全能控的，这种(A,B) 形式的系统称之为能控标准型。
信息与控制工程学院
等价系统的能控性 用非奇异线性变换
Modern Control Theory: Chapter -3
现代控制理论
——第3章 能控性与能观性
邓晓刚 dengxiaogang@ 中国石油大学（华东） 信息与控制工程学院自动化系
能控性与能观性是现代控制理论中的两个重要概 念，是最优控制和最优估计的设计基础 状态空间模型建立输入、状态、输出之间的关系
只要计算到第三列就足以判断到 rankM=3=n ，即M满 秩，故往下各列不必再计算了，该系统是完全能控的。
信息与控制工程学院
【练习题】试判断如下系统的能控性：
0 0 x a0 1 0 a1 0 0 1 x 0 u a2 1
信息与控制工程学院
二、线性连续时变系统的能控性定义
线性时变系统的状态方程如下
A(t ) x B(t )u x
定义与定常系统相似，只是能控性与初始时刻t0有关
信息与控制工程学院
三、线性离散时间系统的能控性定义
线性离散时间系统的状态方程如下
x(k 1) Gx(k ) Hu(k )
矩阵M与MT的积MMT是方阵，而它的非奇异性等价于M的
非奇异性，所以在计算行比列少的矩阵的秩时，有时可利用 ramkM=rankMMT的关系，通过计算 MMT的秩来确定M的秩，
如上题可以这样计算：
26 6 17 MM T 6 3 2 17 2 21
易知MMT非奇异，故M满秩，系统是完全能控的
将此状态方程展开得
模拟结构图
x2
1 3 x1 x 2 2 x 2 u x
u
-2
x2
x1
-3
x1
信息与控制工程学院
能控性反映的是输入u对状态x的控制程度，这就首先
要求输入与状态发生联系。
1 3 x1 x 2 2 x 2 u x
u
x2
?
? ?
能控系统
1 0 0 0 1 u1 （2）x 0 2 0 x 1 0 u2 0 0 3 1 1
能控系统
1 0 （3）x 0 2 0 0
0 0 1 0 0 u1 0 x u 2 3 1 1
能观性
是系统的输出y(t)反映系统状态向量x(t)的能力，反映 从外部对系统内部的观测能力。
回答能否通过y(t)的量测确定状态x(t)的问题
信息与控制工程学院
§3.1 能控性的定义
能控性的问题涉及到一个线性系统的输入对状态 影响的程度 【例】 已知如下系统
3 0 0 x x u 0 2 1
信息与控制工程学院
【例】 试判断如下系统的能控性：
1 1 x 2 2 4 1 3 1 6 x 0 7 2 9 0 0 u1 u 2
解：
1 9 7 M B AB A2 B 0 0 13 2 0 16
若存在控制序列u(k), u(k+1),…, u(l-1)能将状态 x(k)在第l步上驱动到零状态，即x(l)=0，其中l是 大于k的有限数，则称状态x(k)是能控的，若第k 步的所有状态x(k)都是能控的，则称系统是状态 完全能控的，称为能控系统
信息与控制工程学院
§3.2 线性定常系统的能控性判别
1 0 1 2 2 4 M B AB A2 B 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 4 2 从M的前三列可知，RankM=3 满秩，所以系统完全能控
信息与控制工程学院
在多输入系统中，M是nxnr矩阵，不象在单输入系统中 是nxn方阵，其秩的确定一般地要复杂些。
系统能控的充分必要条件是向量组{bl11、bl12、 bl13}线性无关以及{bl21} 不为零向量。
信息与控制工程学院
（３）非奇异线性变换不改变系统的能控性
对于一般系统(A, B)可通过非奇异线性变换化为Jordan标 准型，从而判断系统的能控性。
信息与控制工程学院
二、直接从(A, B)判别系统的能控性
0 3 1 0 0 0 3 3 0 u 1 （2）x x 0 0 1 u 4 0 2 0 5 1 0
3 1 0 1 1 0 3 0 0 u 1 （3）x x 0 4 0 u 4 0 2 0 5 0 5 信息与控制工程学院
x(t ) T~ x (t )
~~ ~ ~ A x Bu x ~~ ~ y C x Du
Ax Bu x 可以把系统 变换成等价系统 y Cx Du ~ ~ ~ ~ A T 1 AT , B T 1B, C CT , D D 其中
J2
i
mi r
每个约当块Ji所对应的Bi最后一行的那些元素不全为零
信息与控制工程学院
【例】 有如下各系统，判断能控性
1 （ 1）x 0 0 1
1
0
0 0 0 x b 2 u b 3 3
?
能控系统
(b2 0, b3 0)
能控性
Ax Bu x
状态方程反映控制 输入对状态的影响
y Cx
能观性 输出方程反映系统输出 对状态的依赖
信息与控制工程学院
能控性与能观性
Ax Bu x y Cx
能控性
是控制作用u(t)支配系统的状态向量x(t)的能力；
回答u(t)能否使x(t)作任意转移的问题
如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在有限的时间 区间[t0, tf]内，使系统由某一初始状态x(t0)，转移 到指定的任一终端状态x(tf)，则称此状态x(t0)是能 控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系 统是完全能控的，简称为系统能控的。
有时也称矩阵对(A, B)是能控的。