能控性和能观性

第五章能控性和能观性

5－1 离散时间系统的可控性

定义设单输入n阶线性定常离散系统状态方程为：

……………………………………………………………（5－1）

其中 X(k)__n维状态向量；

u(k) __1维输入向量；

G__n×n系统矩阵；

h__n×1输入矩阵；

如果存在有限步的控制信号序列u(k)，u(k+1)，…，u(N-1)，使得系统第k步上的状态X(k) 能在第N步到达零状态，即X(N)＝0，其中N是大于k的有限正整数，那么就说系统第k步上的状态X(k)是能控的；如果第k步上的所有状态都能控，则称系统（5－1）在第k步上是完全能控的。进一步，如果系统的每一步都是可控的，那么称系统（5－1）完全可控，或称系统为能控系统。

定理1单输入n阶离散系统（5－1）能控的充要条件是，能控判别阵：

的秩等于n，即：

……………………………………（5－2）

【证】：因为系统为一线性系统，不妨设系统从任一初态X(0)开始，在第n步转移到零状态，即X(n)=0。根据离散状态方程的解：

……………………………………………………（5－3）

因为X(n)＝0，所以：

写成矢量形式：

…………………………………（5－4）

从线性代数知识可知，上式中对于任意的初始状态X(0)，要求都存在一组控制序列u(0)，u(1)，…，u(n-1)的充要条件是阶系数矩阵

满秩，即

【例5－1】设离散系统状态方程为：

判断系统的可控性。

解：

M是一方阵，其行列式为：

所以系统能控判别阵满秩，系统可控。

定理2考虑多输入离散系统情况，假如线性定常离散系统状态方程为：

………………………………………………………（5－5）

其中X为阶矢量，U为阶矢量，G为阶矩阵，H为n×r阶能控矩阵。那么离散系统（5－5）能控的充要条件是：能控判别阵

的秩等于n。

（证略）。

【例5－2】已知某离散系统的系统矩阵G和输入矩阵H分别为：

试分析系统可控性。

解：

我们可以从M阵的前3个列明显看出，Rank（M）=3=n，即满秩，所以系统可控。

5－2 线性定常连续系统能控性

定义对于单输入n阶线性定常连续系统

…………………………………………………………………（5－6）

若存在一个分段连续的控制函数u(t)，能在有限的时间段内把系统从时刻的初始状态X()转移到任意指定的终态，那么就称（5－6）系统在时刻的状态是能控；如果系统每一个状态都能控，那么就称系统是状态完全可控的。反之，只要有一个状态不可控，我们就称系统不可控。

对于线性定常连续系统，为简便计，可以假设，，即0时刻的任意初始状态，在有限时间段转移到零状态（原点）。

定理3 n阶系统（5－6）能控的充要条件为能控判别阵：

……………………………………………………………（5－7）

的秩等于n。

【证】我们知道状态方程（5－6）的解为：

…………………………………………………（5－8）

根据上述能控性定义，考虑时刻的状态，有：

…………………………………………………………（5－9）

根据第三章（3－18）式：

…………………………………………………………………（5－10）

其中是线性无关的标量函数。

将（5－10）代入（5－9）得：

…………………………………………（5－11）

其中：

…………………………………………………………（5－12）

所以；

……………………………………（5－13）

对于任意给定的初始状态X(0)，如果系统可控，那么都应该从（5－13）式求出一组值。根据线性代数知识，的系数矩阵

的秩应等于n，即：

求出一组后，根据（5－12）就可以求出一组分段连续的控制u(t)。

【例5－3】判别下列线性系统的可控性。

解：

Rank（M）=3=n，所以系统可控。

【例5－4】试分析下列系统的可控性。

①，②

解：①

所以，当，且λ

1≠λ

2

时，|M|≠0,系统可控。

②

所以当时系统可控，否则不可控。

定理4对于多输入n阶连续定常系统

…………………………………………………………………………（5－14）

其中A为n×n阶阵，B为n×r阶阵，u为r维输入。

系统能控的充要条件为能控判别阵

的秩等于n，即rank(M)=n

(证明略)

【例5－5】试分析下列系统的可控性。

解：

∵Rank（M）=2

定理5对于如式（5－14）所示系统状态方程，如果输入u(t)对状态X(t)的传递函数（阵）没有零极点对消，那么系统可控，否则系统不可控。

（证明略）

【例5－6】已知，分析其可控性。

解：u(t)对X(t)的传递函数为：

因为发生零极点对消，所以不可控。

实际上，

所以系统不可控。

本例系统的结构图如图5－1所示，初看起来似乎状态都与系统控制u(t)有关联，应该受u(t)控制。但是由于内部的线性相关性，使得对任意给定初始状态X(0)，找不到分段连续的控制u(t)，能将X(0)的两个分量同时转移到零状态，所以系统是不可控的。

图5－1 系统模拟结构图

MATLAB中可以用ctrb(A,B)函数求系统的能控判别矩阵M，并用RANK（M）求M 的秩。下列MATLAB程序可以求出例5－6的M阵及其秩。

%Example 5-6

A=[0 1;2.5 _1.5];B=[1;1];

M=CTRB(A,B)

R=rank(M)

end

运行结果为：

M =

1 1

1 1

R = 1

定理6 对连续系统

…………………………………………………………………………（5－15）

其中X为n维状态向量，Y为m维输出向量，u为r维控制向量， A为n×n矩

阵，B为n×r矩阵，C为m×n矩阵，D为m×r矩阵。