线性系统的能控性和能观性
第三章 线性系统的能控性与能观测性
。 显见第二、三行元素相同。 rank Qk 2 3 故不能控。
例6 桥式电路图中，若取电感L的电流 i及电容 L C的电压 v 为状态变量，取 为输出变量，则系 iL c 统方程为：
R R 1 R R iL ( 1 2 3 4 ) d L R1 R2 R3 R4 1 dt ( R2 R4 ) vC C R1 R2 R3 R4 1 R3 1 R1 ( ) iL L R1 R2 R3 R4 L u 1 1 1 ( ) vC 0 C R1 R2 R3 R4
1 0 ~ 2 A n 0 中，输入矩阵
~ b11 ~ ~ b21 , B ~ bn1
~ b12 ~ b21 ~ bn 2
~ b1r ~ b2r ~ bnr
(3.4)
.
表明: 状态变量 , x1 都可通过选择输入u而 x2 由始点 终点完全能控。 输出y只能反映状态变量 ,所以 不能观测。 x x
2
1
完全能控，不完全能观系统！
例3: 桥式电路如图所示， 选取电感L的电流为 为 状态变量， i (t ) x(t )
u (t ) 为电桥输 入，输出
量为 y (t ) 。 解: 从电路可以直观看出，如果 x(t 0 ) 0 u (t ，则不论 如何 ) 选取，对于所有 ，有 t 0 ，即ut(t)不能控制x(t)的变化， x( ) 0 t 故系统状态为不能控。 若u(t)=0，则不论电感L上的 x(t 0 ) 初始电流 取为多少， 对所有时刻 t 都恒有y(t)=0,即状态x(t)不能由输出y(t)反映，故 t0 系统是状态不能观测的。 该电路为状态既不能控，也不能观测系统。
第4章（1）线性控制系统的能控性和能观性
第4章（1）线性控制系统的能控性和能观性第四章线性控制系统的能控性和能观性在现代控制理论中，能控性(Controllability)和能观性(Observ- ability)是两个重要的概念，它是卡尔曼(Kalman)在1960年提出的，是最优控制和最优估计的设计基础。
能观（测）性针对的是系统状态空间模型中的状态的可观测性，它反映系统的内部状态x(t)（通常是不可以直接测量的）被系统的输出量y(t)（通常是可以直接测量的）所反映的能⼒。
能控性严格上说有两种，⼀种是系统控制输⼊u(t)对系统内部状态x(t)的控制能⼒，另⼀种是控制输⼊u(t)对系统输出y(t)的控制能⼒。
但是⼀般没有特别指明时，指的都是状态的可控性。
所以，系统的能控性和能观性研究⼀般都是基于系统的状态空间表达式的。
4-1 线性连续定常系统的能控性定义对于单输⼊n 阶线性定常连续系统bu Ax x+= 若存在⼀个分段连续的控制函数u(t)，能在有限的时间段 []f t t ,0内把系统从0t 时刻的初始状态()0t x 转移到任意指定的终态()f t x ，那么就称系统在0t 时刻的状态()0t x 是能控的；如果系统每⼀个状态()0t x 都能控，那么就称系统是状态完全可控的。
反之，只要有⼀个状态不可控，我们就称系统不可控。
对于线性定常连续系统，为简便计，可以假设00=t ，()0=f t x ，即00=t 时刻的任意初始状态()0x ，在有限时间段转移到零状态()0=f t x （原点）。
4-2线性连续定常系统的能控性判别4-2-1具有约旦标准型系统的能控性判别 1．单输⼊系统具有约旦标准型系统bu x x+Λ==Λn λλλλ0000000000000321n λλλλ≠≠≠≠ 321即为n 个互异根或bu Jx x+==++n m m J λλλλλλ000000000000000100000000121111m 个重根1λn-m 个互异根n m m λλλ≠≠≠++ 21 例：分析下列系统的能控性（1）u b x x+??=221000λλ[]x c c y 21=解：?=111x xλ 1x 与u ⽆关，即不受u 控制 ?+=u b x x2222λ 2x 为能控状态该系统为状态不完全能控，因⽽为不能控系统。
现代控制理论第三章线性系统的能控性和能观测性
1 x1 u x 2 2 x2 u x y x x 1 2
1 x
u
1 s 1 s
2
x1
y
x2
2 x
由于状态变量x1、x2都受控于输入u，所以系统 是能控的；输出y能反映状态变量x1，又能反映状 态变量x2的变化，所以系统是可观测的。 即状态变量x1能控、可观测；状态变量x2能控、 可观测。
任意初态 x(t0 ) x 零终态 x(t f ) 0
状态完全能控
Байду номын сангаас
第 三章 线性控制系统式的能控性和能观测性
②把系统的初始状态规定为状态空间的原点， 即 x(t 0 ) 0，终端状态规定为任意非零有限点， 则可达定义表述如下： 对于给定的线性定常系统
Ax Bu ，如果 x
存在一个分段连续的输入 u (t )，能在 [t 0 , t f ] 有限时间间隔内，将系统由零初始状态 x(t 0 ) 转移 到任一指定的非零终端状态 x(t f ) ，则称此系统 是状态完全可达的，简称系统是可达的（能达的）。 任意初态 x(t0 ) 0 零终态 x(t f ) x 状态完全可达
第 三章 线性控制系统式的能控性和能观测性
1. 直接由A，B矩阵的结构判断系统的能控性 定理： 系统
( A, B )
即
A(t )x B(t )u x y C (t )x D(t )u
状态完全能控的充分必要条件是其能控性矩阵
Qk [ B AB A2 B An1 B]
一、线性定常连续系统状态能控性的定义 定义3.1（状态能控性定义）：
Ax Bu，如果存在一个 对于线性定常系统 x 分段连续的输入u(t)，能在有限时间间隔[t0,tf]内， 使得系统从某一初始状态x(t0)转移到指定的任一 终端状态x(tf) ，则称此状态是能控的。若系统的 所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能 控的，简称系统是能控的。
第3章_线性控制系统的能控性和能观性
证明 定理3.3-1
y(t1) 0(t1)Im 1(t1)Im n1(t1)Im C
y(t2） 0(t2)Im
1(t2)Im
n1(t2)ImC
A x(0)
y(tf)
0(tf)Im
1(tf)Im
n1(tf)ImCnA 1
上式表明，根据在（0，tf）时间间隔的测量值 y(t1)，y(t2)，…，y(tf)，能将初始状态x(0)唯一地 确定下来的充要条件是能观测性矩阵N满秩。
4)不可控
18
3.1.2 线性定常系统的能控性判别
3.可控性约当型判据
J1
设
x AxBu
J2
xu
Jk
若 A为约当型，则状态完全可控的充要条件是：
每一个约当块的最后一行相应的 阵中所有的行 元素不全为零。（若两个约当块有相同特征值，此
结论不成立。）
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19
3.1.2 线性定常系统的能控性判别
➢本章结构
• 第3章 线性控制系统的能控性和能观性 ✓3.1 能控性 ✓3.2 能观性 ✓3.3 能控性与能观性的对偶关系 ✓3.4 零极点对消与能控性和能观性的关系
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1
引言
状态空间模型建立了输入、状态、输出之间的关系
u
x
y x Ax Bu
y Cx Du
状态方程反映了控制输入对状态的影响；输出方程 反映系统输出对控制输入和状态的依赖
10
3.1 能控性
3.1.2 线性定常系统的能控性判别
证明 定理3.1-1
n1
x(0) AkBk B AB A2B k0
0
An1B1
n1
若系统是能控的，那么对于任意给定的初始状态x(0)都
线性系统能控性能控性与能观性
时变系统
能达性定义及判据 能观性定义及判据
①Gram 判据 ①Gram 矩阵非奇异
离散时间线性
能控性判据 ①Gram 判据②秩判据
rank H GH G n 1 H n
时不变系统
能达性判据 能观性判据 ①Gram 判据②秩判据 ①Gram 判据②秩判据
三、连续时间线性时不变系统的结构分解
* * 于物理构成，问题的提法；取输出反馈控制律 u Fy v ，对任意给定期望极点组 1 , * 2 , n ，确定
一个反馈矩阵 F ，使导出的输出反馈闭环系统
x A BFC x Bv y Cx
的所有特征值实现期望的配置，即有 i A BFC * i ， i 1,2, , n 。 输出反馈局限性： （1）对完全能控连续时间线性时不变受控系统，输出反馈一般不能任意配置系 统全部极点。 （2）对完全能控 n 维 SISO-LTIC 受控系统，输出反馈只能使闭环极点配置到根轨迹上。 扩大输出反馈配置功能的一个途径是采用动态输出反馈， 即在采用输出反馈同时附加引入补偿器。 可以证明，通过合理选取补偿器机构和特性，可对带补偿器输出反馈系统的全部极点进行任意配置。 4.2 状态反馈镇定问题 4.2.1 所谓的镇定问题就是，对给定的线性时不变受控系统，确定状态反馈控制律 u Kx v ，使 导出的状态反馈闭环系统 x A BK x Bv 为渐进稳定，即闭环系统特征值均具有负实部。 镇定问题实质上属于极点区域配置问题，对于镇定问题，系统闭环极点的综合目标，并不要求配 置于任意指定期望位置，而只要求配置于复平面的左半开平面上。 4.2.2 可镇定条件
4.1.2 极点配置问题的算法 [极点配置定理] 对 n 维连续时间线性时不变系统，系统可通过状态反馈任意配置全部 n 个极点 即特征值的充分必要条件是 A, B完全能控。 [多输入状态反馈阵算法] 给定 n 维多输入连续时间时不变受控系统 A, B 和一组任意的期望闭
4 线性系统的能控性与能观性
4 线性系统的能控性与能观性内容提要能观性与能控性是现代控制理论中的两个重要问题。
比如在设计最优控制系统时，目的在于通过控制变量的作用，使系统的状态按预期的轨迹运行，如果状态变量不受控制，当然无法实现最优控制。
另外，一个系统的状态变量往往难以测取，需要由输出量来估计状态，不能观测的系统就无法实现此目的。
本章主要介绍线性系统的能控能观方面的基本知识，内容包括：1) 能控性与能观性两个基础性概念，它们的判别准则以及对偶关系；2) 分析系统的内在结构，按能控性与能观性进行的标准分解；3) 系统能控性、能观性和传递函数矩阵间的关系，即系统状态空间描述法与输入输出描述法的关系；4) 能控标准形和能观标准形；5) 系统的实现和传递函数矩阵的最小实现问题。
习题与解答4.1 判断下列系统的能控性。
1) u x x x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡10 01112121 2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡21321321111001 342100010u u x x x x x x3) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡21321321020011 100030013u u x x x x x x4) u x x x x x x x x⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1110 000000000001432111114321λλλλ 5) u x x x x x x⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡031 2025016200340321321解：1) 由于该系统控制矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01b ，系统矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0111A ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1101 0111Ab 从而系统的能控性矩阵为[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡==1011Ab bU C 显然有[]n Ab b U C ===2rank rank满足能控性的充要条件，所以该系统能控。
线性系统理论(第四章)线性系统的能控性和能观测性
An1B] T S 0
rankS n 系统状态不能控，与已知矛盾。
同理可证充分性。
例 线性定常连续系统的状态方程如下，判断其能控性。
0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 1 0
x
x u0 0 0 1 Nhomakorabea0
1
0 0 5 0 2 0
系统的特征值： 1 2 0 ,3 5 ,4 5
当 1 2 0 时：
② 系统能控：如果状态空间中的所有非零状态都是在 t0 时 刻可控的，则称系统在 t0 时刻是完全可控，简称系统在 时刻 t0 可控。如果系统对任意初始时刻 t0 完全可控， 则称系统一致可控。
③系统不完全能控：如果对给定得初始时刻 t0 Tt ，如果状
态空间中存在一个或一些非零状态在 t0 时刻是不可控的，则 称系统在 t0 时刻是不完全可控的，也称系统是不可控的。
x0TWC (0, t1)x0
t1 0
x0T
eAt
BBT
eAT t
x0
dt
t1 0
BT
eAT t
x0
2
dt
0,
BT eATt x0 0
x(t1) eAt1 x0
t1 eA(t1t) Bu(t) d t 0
0
x0
et1 -At1
0
Bu(t) d t
x0
2
x0T x0
[
et1 -At1
An1B] T S 0
T Ai B 0； i 0，1，2， ，n 1 应用凯-哈定理 An , An1 均可表示为A 的 n-1 阶多项式
T Ai B 0； i 0，1，2，3,
对 t1 0
(1)i T
Ai t i i!
第3章线性系统的能控性和能观测性
0 1 1 1 2 1
解： Mc B AB A2B 1 0 1 0 1 0
0 1 1 1 2 1
由于 M c的第1行和第3行完全相同
rankMc 2 n 3
因此系统是状态不完全能控的，或者简称系统 是不能控的。
10
如果系统的阶次n和输入维数r都比较大，判别
Mc的秩是比较困难的。考虑到
35
对偶系统的传递函数矩阵的关系
G1 (s) C(sI A)1 B G2 (s) BT (sI AT )1C T BT (sI A1)T C T
[G2 (s)]T C(sI A)1 B G1(s)
对偶系统的特征方程相同
det(sI A) det(sI AT )
对偶关系建立了系统的能观测性与能控性之 间的内在关系，从而也沟通了控制问题与估计问 题之间的内在联系。
19
(4) 线性定常系统输出能控性判据 系统的状态空间描述为： x Ax Bu
y Cx Du
① 输出可控性定义 如果能构造一个无约束的控制向量u(t)，在有限 的时间间隔 t0 t t1 内，使任一给定的初始输出 y(t0 )转 移到任一最终输出 y(t1) ，那么称系统为输出完全可控 的。 ② 输出可控性判据 输出完全可控的充分必要条件为：
1 7
系统2
7
0 0
x
5
x 4 1 7
0 5
u1 u2
系统不能控
某些具有重特征值的矩阵，也能化成对角线
标准型，对于这种系统不能应用这个判据，应采
用能控性矩阵Mc来判别。
13
定理[3.3] 若线性定常系统 x& Ax Bu具有重特征值
k
1 m1重，2 m2重, , k mk重, mi n i j i 1
第4章(3) 线性控制系统的能控性和能观性
4-6线性系统的结构分解能控子空间+不能控子空间能观子空间+不能观子空间4-6-1按能控性分解设线性定常系统⎩⎨⎧=+=CxyBuAxx是状态不完全能控的，其能控性判矩阵：[]BAABBM n1-=的秩()nnMrank<=1则存在非奇异变换zRxc=变换为⎩⎨⎧=+=zCyuBzAz其中()1121nnnzzz-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=()()11112212111nnnnnnAAAARRAcc--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==-,()11110nnnBBRBc-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==-[]()1121nnnCCCRCc-==[]n n c R R R R R 121=前1n 个列矢量为M 中1n 个线性无关的列，另外1n n -个列矢量，在确保c R 非奇异的条件下，完全是任意的。
分解为能控的1n 维子系统：21211111z A u B z A z++= 和不能控的1n n -维子系统：2222z A z =例：设线性定常系统如下，判别其能控性，若不是完全能控的，试将该系统按能控性分解。
u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=011310301100 []x y 210-=解：（1）判别能控性[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==2103111012b A Ab bM因为 ()n M rank =<=32，所以，系统是不完全能控的。
（1） 构造非奇异变换阵c R⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110011001c R （第三列的元素任意选取，确保c R 为非奇异）非奇异变换 z R x c =u z u z bu R z AR R zc c c ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=+=----0011002211100111100110011100110013103011001100110011111[]z z CR y c 211--==分解为二维能控子系统：能控标准Ⅱ型u z z z ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=01212110211 和一维不能控子系统：[]221z z-= 4-6-2按能观性分解设线性定常系统 ⎩⎨⎧=+=Cxy Bu Ax x是状态不完全能观的，其能控性判矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-1n CA CA C N 的秩 ()n n N rank <=1 则存在非奇异变换 z R x 0=变换为 ⎩⎨⎧=+=z C y uB z A z其中 ()1121n n n z z z -⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=()()11112221110100n n n n n n A A A AR R A --⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==- ， ()112110n n n B B B R B -⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==-[]()111n n n C CR C c -== ， ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-''12'110'n n R R R R R前1n 个行矢量为N 中个1n 个线性无关的行，另外1n n -个行矢量，在确保1-R 非奇异的条件下，完全是任意的。
第三章线性控制系统的能控性和能观性
1
1
1
1 1
0
0
1
m
1
0 1
m m m1
0
0 0
0 0 0 n
(m-l)个1重根, l个m重根，其余为互异根。
13
b b1 b2 bn
T
为简明起见，下面举三个具有上述类型的二 阶系统，对能控性加以剖析。
1
在现代控制理论中，能控性和能观性是两个重 要的概念，是卡尔曼 (Kalman) 在 1960 年首先提出 来的，它是最优控制和最优估计的设计基础。
现代控制理论是建立在用状态空间描述的基 础上的。状态方程描述了输入 u(t) 引起状态 x(t) 的 变化过程；输出方程则描述了由状态变化引起的 输出y(t)的变化。 能控性和能观性正是分别分析 u(t) 对状态 x(t) 的控制能力以及输出y(t)对状态x(t)的反映能力。
3
§3-1 能控性的定义
能控性所考察的只是系统在控制作用u(t)的控 制下，状态矢量 x(t) 的转移情况，与输出 y(t) 无关， 所以只需从系统的状态方程研究出发即可。
4
一、线性连续定常系统的能控性定义 线性连续定常系统
x Ax Bu
如果存在一个分段连续的输入 u(t) ，能在有 限时间区间[t0, tf]内，使系统由某一初始状态x(t0)， 转移到指定的任一终端状态 x(tf)，则称此状态是 能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此 系统是状态完全能控的，或简称系统是能控的。
可以看出，系统中某一状态的能控和系统的 状态完全能控在含义上性定常系统中，为简便计，可以假定初始 时刻 t0=0 ，初始状态为 x(0) ，而任意终端状态就 指定为零状态，即 x(t f ) 0 2) 也可以假定 x(t0)=0，而 x(tf)为任意终端状态， 换句话说，若存在一个无约束控制作用 u(t) ，在 有限时间 [t0, tf]能将 x(t)由零状态驱动到任意 x(tf) 。 在这种情况下，称为状态的能达性。
第三章线性系统的能控性与能观性2
Hale Waihona Puke .解：Sc [b Ab]
Sc b Ab b1 b2
1b1 b1b2 (2 1 ) 2b2
0
如果rank Sc =2, 则必须要求 b1 0, b2
4. 定理3：设 x Ax Bu ， 若Ａ为约当标准形，且每个约当块所 对应的特征值均不相同，则状态完全能控 的充要条件是：
且
ri1 ri 2 rii i
由 Bik (k 1,2,, i ) 的最后一行组 成的矩阵：
bri1 r bri 2 对i 1, 2, , l均为行线性无关 Bi bri i 则系统能控
例：设 x Ax Bu ，已知
第三章 线性系统的能控性和能观性
3.1 能控性的定义 3.2 线性定常系统的能控性判别 3.3 线性定常连续系统的能观性 3.4 离散时间系统的能控性与能观性 3.5 时变系统的能控性与能观性 3.6 能控性与能观性的对偶关系 3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型 3.8 线性定常系统结构分解 3.9 传递函数矩阵的实现 3.10传递函数中零极点对消与状态能控性、能观性之间 的关系
定理2：若
x Ax Bu
若Ａ为对角型，且对角线上的元素均不相同， 则状态完全能控的充要条件为： Ｂ中没有任意一行的元素全为零．
x1 1 x1 b11u1b12u2 b1 pu p
x2 2 x2 b21u1b22u2 b2 pu p
例：线性系统的状态方程为 x Ax bu 其中： 1 0 b1 A b 0 2 b2
Ci C1i1 C1i2 C1ii
线性系统理论第4章 线性系统的能控性和能观测性
满秩，即rankQ o=n
结论5
n 维连续时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为：
SI A rank n S C C
或
i I A 为系统特征值 rank n , 1 , 2 ,n C
Wc [0, t1 ] e At BBe A t dt
T
t1
0
为非奇异。
结论3：n 维连续时间线性时变系统 x A(t ) x B(t )u x(t 0 ) x0
设A(t),B(t)对t为n-1阶连续可微，定义
t, t0 J
M 0 (t ) B (t ) d M 0 (t ) dt d M 2 (t ) A(t ) M 1 (t ) M 1 (t ) dt d M n 1 (t ) A(t ) M n 2 (t ) M n 2 (t ) dt M 1 (t ) A(t ) M 0 (t )
6/8,9/45
1 L QC [b, Ab] 0
R3 R4 1 R1 R2 2 L R1 R2 R3 R4 1 R2 R4 LC R1 R2 R3 R4
线性控制系统的能控性和能观性
C 1, C 2 Cn 满足G = C ? = C 3性无关。
,则把向量 X 「X 2 X n 叫做线11 1 0L 1X i 二 01 1X 2 二 1X 3_0 _0第三章 线性控制系统的能控性和能观性在现代控制理论中，能控性和能观性是卡尔曼(Kalma n )在I960年首先提出来的，它是最优控制和最优估值的设计基 础。
能控性和能观性是分别分析 u(t)对状态x(t)的控制能力 以及输出y(t)对状态x(t )的反映能力。
§3—1能控性的定义能控性所研究的只是系统在控制作用 u(t)的作用下，状态 矢量x(t)的转移情况，而与输出y(t)无关。
矢量的线性无关与线性相关：如果G xi * C 2x2 C 3X 3C n xn= 0式中的常数无关。
若向量X i ,x 2…x n 中有一个向量Xi 为其余向量的线性组 合,□便是线性例如向量C nX i不全为零。
故为线性相关。
具有约旦标准型系统的能控性判据 1 •单输入系统先将线性定常系统进行状态变换， 又例如在式中X 3X 2, X i3X ^ 0式中系数并把状态方程的A 阵和B相关。
阵化为约旦标准型（A, E?）,再根据B 阵确定系统的能控性。
具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统，状态方程为即：Xi、C j X j j=i j-i则称向量X i ,X 2 x n 为线性相关。
例如向量X iX3二 2_4便是线性x 八 x bu 或 x 二 Jx bu2,各根互异。
其中：（特征值有重根的）10 11 0111 Jnb 2bX11C2c 1xc 2x 2y cy(t)u(t)b1X1C2_b n卜面列举两个二阶系统，对其能控性加以剖析。
「0 例:1)厂匕x 2 二 2X 2 pu 0 0X u 2 巾2m 2故为状态不完全能控的，11X_b 2例：2)y约旦型)c 2 ]xX 厂'1x 1 x 2X 2= 2X 2 b ?u （为y = GN c 2x 2lL （t ）从上式看出X 1与u 无关，即不受u 控制，因而只有一个特— 01 殊状态。
第6章 线性系统的能控性和能观性(第四章)
1 α n −1 L α1 CAn −1 O O M M Q= O α n −1 CA 1 A
给定完全能观测单输入单输出连续时间线性时不变系统： 例 4.21 给定完全能观测单输入单输出连续时间线性时不变系统：
ϕ T = BT (t )ψ T
对偶原理： 对偶原理：
Σ 完全能控 ⇔ Σ d完全能观测 Σ 完全能观测 ⇔Σ d完全能控
4.8 能控规范形和能观测规范形
单输入单输出情形 能控规范形
Σ:
& x = Ax + Bu,
y = Cx
线性非奇异变换下，能控性、能观测性， 线性非奇异变换下，能控性、能观测性， 可控指数、可控指数集，能观测指数和能观测 可控指数、可控指数集， 指数集保持不变。 指数集保持不变。
4.2 连续时间线性时不变系统的能控性判据
& x = Ax + Bu, x (0) = x0 ,
t≥0
系统完全能控的充分必要条件为： 系统完全能控的充分必要条件为：
rankQC = rank B
例：
AB L An −1 B = n
4 0 1 & x = x + u 0 −5 2
t∈J
说明: 说明:
表征系统状态可到达任意目标的定性属性， (1) 表征系统状态可到达任意目标的定性属性， 不关注运动的轨迹形态； 不关注运动的轨迹形态； 对控制无限制； (2) 对控制无限制； (3) 线性时不变系统与 t0 无关； 无关； 线性时不变系统能控性与能达性等价。 (4) 线性时不变系统能控性与能达性等价。 系统完全能控/能达： 系统完全能控/能达：指所有非零状态 系统不完全能控/能达： 系统不完全能控/能达：
线性系统理论4能控性和能观性
如果存在某个时刻 t1 t0，使得rankQ O (t1 ) n
t0 为不能观测的。
定义 4.1.6 对于线性时变系统
x A(t)x
, x(t0 ) x0 , t0 , t J
y C(t)x
如果状态空间中所有状态都是时刻 t0(t0 J )
的能观测状态,则称系统在时刻 t0 是完全能
观测的。如果对于任何 t0 [T1,T2] 系统均是在
t0 时刻为能观测的，则称系统在 [T1,T2 ]
在 t0 , t1 上行线性独立，即对任意 n
维非零向量 z 都有
zT (t1 , )B( ) 0, t0 t1
4.2.3 基于系统参数矩阵的判据
定理 4.2.3 假设系统
x A(t)x B(t)u, t J
中的 A(t) 和 B(t) 的每个元分别是 n 2和
n 1 一次连续可微函数，记 B1(t) B(t)
那么它能控的充分必要条件是:
det b Ab An1b 0
4.3.3 PBH判据
定理4.3.2 定常线性系统
x Ax Bu, x(t0 ) x0 , t t0
能控的充分必要条件是，对每个 (A)
都有 rank A In B n 其中， ( A)
表示 A 的特征值集合。
推论 4.3.3 定常线性系统
2
dt
x0T T
(t1 , t0 )Wc1(t1 , t0 )(t1 , t0
)x0
4.2.2 基于状态转移矩阵的判据
定理 4.2.2 假设 A(t) 和 B(t) 都是 t
的连续函数矩阵，则系统
x A(t)x B(t)u, t J
在t0 时刻能控的充分必要条件是存在某
线性系统的能控性和能观性
例3.4 判断下列系统的能控性
(1)、A
2
0
0 1 1, B 0
(2)、A
2
0
0 1 1, B 1
(3)、A
1
0
01B
1 1
3 1 0 0 0
(4)、A
0
3 0, B 2 1
0 0 1 0 3
4 1 0 0
(5)、A
0
4
0 , B 1
0 0 4 2
所以A为约旦阵，但有两个相同特征值的约旦块 对应b虽为最后一行全为0的元素行，仍不能控， 可算出rank[M]<3.
,t0)
tf t0
(
t
f
, )B()u()d
x(t0 )
tf t0
(
t
0
,
)B()u
()d
意义：系统状态x(t0)能控，即[t0,tf]区间上受 u(t)控制。
（三）能控性判据 [定理3.1]系统∑(A(t),B(t),C(t))在t0时刻或[t0,tf]
完全能控的充要条件是矩阵Φ(t0,t)*B(t)是行 线性无关的（满秩的、非奇异的）
例：x
1
0
-
-
02x 10u, y 1 1x
分析： 1、x1与输入u无关，不能 控，x2能控， x1, x2不完 全能控。 2、y= x1+ x2 , x1或x2 都能对y产生影响，通 过y能确定x1或x2 ，能 观测。
3、能控能观是最优制和 最优估计的设计基础。
3.1 线性连续系统的能控性
)d
x(t f ) (t f )x(0) 0t f (t f )B( )u( )d x(0) 0t f ( )Bu( )d
现代控制理论-4-线性系统的能控性和能观测性-第7讲
能控性的定义
能控性是指对于一个线性系统，如果 存在一个控制输入，使得系统状态能 够在有限的时间内从任意初始状态转 移到任意目标状态，则称该系统为能 控的。
能控性的判断依据是系统的能控性矩 阵，如果该矩阵满秩，则系统能控。
能观测性的定义
能观测性是指对于一个线性系统，如果存在一个观测器，能够通过系统的输出测量并估计出系统的所有状态，则称该系统为 能观测的。
传递函数判据
对于线性时不变系统，如果传递 函数的零点和极点个数满足一定 条件，则系统能观测；否则系统 不能观测。
03
能控性和能观测性的应用
在控制系统设计中的应用
系统性能分析
通过分析系统的能控性和能观测性，可以评估系统的稳定 性和动态性能，从而优化系统设计。
控制器设计
在控制器设计中，需要考虑系统的能控性和能观测性，以 确保控制器能够有效地控制系统的状态并观测系统的状态。
初始状态和目标状态
系统初始和目标状态的定义，以及它们对最优控 制策略的影响。
最优控制问题的求解方法
动态规划
将最优控制问题分解为一系列子问题， 通过求解子问题的最优解逐步逼近原问
题的最优解。
极大值原理
通过求解极值条件来找到最优控制输 入，适用于具有特定性能指标的最优
控制问题。
线性二次调节器
通过最小化状态和控制输入的二次范 数来求解最优控制问题，适用于线性 二次最优控制问题。
现代控制理论-4-线性系统 的能控性和能观测性-第7讲
目录
• 线性系统的能控性和能观测性的 定义
• 能控性和能观测性的判定方法 • 能控性和能观测性的应用 • 线性系统的状态反馈和状态观测
器设计
目录
• 线性系统的最优控制问题 • 现代控制理论的发展趋势和前沿
线性系统的能控性和能观性
3.约当规范型矩阵
若A是约当阵，且B阵中与每个约当块最后一行相对应 的行的元素不全为零，则系统可控。反之为零一行所 对应的状态不可控。
例.判断能控性
• 4 1. x 0
0 5
x1 x2
12u
7 0 0 2
•
2. x
0
5
0
x
0
0 0 3 7
1 1 0 4 2
3.
•
x
0
e3t
0
te3t
e3t
t
x(t) e At x(0) e A(t )Bu( )d
0
x1(t)
x2
(t
)
e3t
0
te3t e3t
x1(0)
x2
(0)
t 0
e 3(t
0
)
(t
)e3(t e3(t )
)
10u(
)d
t
x1(t) e3t x1(0) te3t x2 (0) (t )e3(t )u( )d
0
t
x2 (t) e3t x2 (0) e3(t )u( )d
0
t
y(t) x1(t) e3t x1(0) te3t x2 (0) (t )e3(t )u( )d
可见：1.两个状态变量中均有输入的作用，可0 控
2.输出中有两个状态变量的出现，输出可以反映初始状态，可测
例.如图所示，1、2表示蓄水池，u1、u2表示输入流量，R1、 R2液阻，H1、H2液面高度A1、A2截面积，问 （1）仅用一个调节阀，应放在何处？ （2）仅用一个液位计，应放在何处？
Z (S ) U (S )
S
2.5 1
S2
1 1.5S
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P1A P2
P2 A P1A2 P3
Pn2 A P1 An2 Pn1 Pn1 A P1 An1 Pn
能达
2. 定理1
设 x Ax Bu
状态完全可控的充要条件是能控性矩阵：
Sc B AB
An1B的秩为n
即： rankSc rank B AB
An1B n
1 3 2 2 1
例：
.
x
0
2
0
x
1
1 u
0 1 3 1 1
rank P1[B AB An1B]
rank[B AB An1B]
rank SC
P1 满秩矩阵
系统的能控性不变
7. 定理4：
.
设 x Ax bu
如则果必系存统在能 一控 个， 非则 奇异SC变换[BXABPA1nx1B]
可将状态方程化为能控标准型：
.
20
2
则该系统能控．
5.
当Ａ的特征 值 l ( l重根）,
1
(1重根）1
22
(2重根l ）n
，
且
x Px
则可以经过
将A化为约当型.
如下:
且 ri1 ri2 rii i
由 Bik (k 1,2,,i ) 的最后一行组
成的矩阵：
Bir
y= uc --输出.
L
+ iL R1
(1)当 R1R4 R2R3 R2 状态可控，可观测
u -
R3 uc
R4
(2)当 R1R4 R2R3 uc
u只能控制 iL，
0
不可控，不可观测．
一、线性系统能控性和能观性的概念 含义：
能控性：u(t) x(t) 状态方程 能观性：y(t) x(t) 输出方程
x Ax bu
其中：
A PAP1 b pb
0 1 0 0
0
0
1
0
A
0
0
0
1
a1 a2 a3 an1
0
0
b 0
1
且：
证明： PA AP (由A PAP1 推得 )
第八章 现代控制理论能控性、能观测性
一、线性系统能控性和能观性的概念 二、线性定常系统的输出能控性 三、线性定常连续系统的能观性 四、线性定常连续系统的能观性
教学要求：
1.正确理解定常系统可控性与可观 性的基本概念与判据。
2.熟练掌握能控标准型与能观标准型。 3.掌握对偶原理，规范分解方法。
重点内容： •能控、能观的含义和定义。 •定常系统的能控、能观的各种判据。 •线性变换的不变性。
研究系统的目的:更好地了解系统和控制系统.
含义1:
控制作用: 对状态变量的支配 能控性. 系统输出能否反映状态变量 能观性.
含义2:
能控性:能否找到使任意初态 确定终态 能观性:能否由输出量的测量值 各状态
例1: 给定系统的状态空间描述:
.
x1
.
x 2
4 0
1. 定义：
.
设 x Ax Bu
若存在一分段连续控制向量u(t)，
能移在到任[t0意t终f ]内态将x系(t统f )从，任则意 该系状统态x完(t0转全)
能控．
说明：
① 任意初态 x(t0 ) x(状态空间中任
一点),零终态 x(t f ) ＝０ 能控
② 零初态x(t0) 0
任意终态 x(t f ) x
0 5
x1 x2
1 2u
解:展开 y 0. 6x
.
x1 4x1 u x2 5x2 2u
y 6x2
表明:状态变量 x1, x2 都可通过选择输入u而由
始点 终点完全能控.
输出y只能反映状态变量 能观测.
x
2
,所以
x1
不
例2:取 iL 和uc 作为状态变量,u—输入,
bri1 bri 2
对i
1, 2,
brii
则系统能控
, l均为行线性无关
.
例：设 x Ax Bu ，已知
0 0 0
1
0
0
0 1 0
B 0 0 1
1 0 0
0 1 0
1 0 0
Br 1
0 1
若Ａ为约当型，则状态完全能控的 充要条件是：
对应的每一个约当块的最后一行相 应的Ｂ阵中所有的行元素不全为零．
.
例：设系统的状态方程为 x Ax bu
其中：
A
1
0
1
2
b
b1 b2
试判断系统的能控性．
解： Sc [b Ab]
b 而Sbc 1是b任A意b值，bb12且ra1nbk11Sb2cb2=2
.
3. 定理2：若x Ax Bu ，
若Ａ为对角型，则状态完全能控的 充要条件为：
Ｂ中没有任意一行的元素全为零．
x1
1
x1
b11u1b12u2
b1 pu p
x2 2 x2 b21u1b22u2 b2 pu p
.
例：线性系统的状态方程为x Ax bu
.
x
x1
x2
.
u
u1 u2
判x3断 能控性
解： Sc [B AB A2B]
2 1 3 2 5 4
1
1
2
2
4
4
1 1 2 2 4 4
rank =2<3,不能控
Sc
对于：
行数＜列数的情况下求秩时：
rank Sc =ran[kSc ScT ]nn
其中：
A
1
0
0
2
b
b1 b2
试判断该系统的能控性．
解： Sc [b Ab]
Sc b Ab
如果rank S c
b1 b2
=2,
1b1 2b2
b1b2 (2Байду номын сангаас
1)
则必须要求b1 0, b2 0
.
4. 定理3：设x Ax Bu ，
1 0
0 0
行线性无关
B
r 2
1
0
0
不全为零
能控
6. 线性变换后系统的能控性不变
设
.
x Ax Bu
令
x
SPC
x
[
B
AB . An1B]
则：x Ax Bu
其中：A P1AP, B P1B
SC [B
AB
n1
A
B]
rank Sc rank[P1B (P1AP)P1B(P1AP)n1 P1B] rank[P1B P1AB P1An1B]