数学物理方程期末考试试题及答案

数学物理方程期末考试试题及答案

一、求解方程（15分）

⎪⎩⎪⎨⎧===-=+=-.

)()(0002x u x u u a u at x at x xx tt ψϕ

其中)0()0(ψϕ=。

解：设⎩

⎨⎧+=-at x at x ηξ＝则方程变为： 0=ξηu ，)()(at x G at x F u ++-=(8’)由边值条件可得：

)()0()2(),()2()0(x G x F x x G F ψϕ=+=+

由)0()0(ψϕ=即得：

)0()2

()2(

),(ϕψϕ--++=at x at x t x u 。 二、利用变量分离法求解方程。（15分）

⎪⎩⎪⎨⎧==≥==∈=-====)(,)(,

0,0,),(,00002x u x u t u u Q t x u a u t t t l x x xx tt ψϕ

其中l x ≤≤0。0>a 为常数

解：设)()(t T x X u =代于方程得：

0''=+X X λ，0''2=+T a T λ(8’)

x C x C X λλsin cos 21+=，at C at C T λλsin cos 21+= 由边值条件得：

21)(

,0l n C πλ== l x n at A at B u n n n πλλsin

)sin cos (1

+=∑∞= ⎰=l n dx l x n x l B 0sin )(2πϕ，⎰=l n dx l

x n x an A 0sin )(2πψπ 三．证明方程02=--cu u a u xx t )0(≥c 具有狄利克雷边界条件的初边值问题解的唯一性与

稳定性. (15分)

证明：设u e v ct -=代入方程：

⎪⎩

⎪⎨⎧====-=).(),(),(),0()(02102t g t l v t g t v x v v a v t xx t ϕ

设21,v v 都是方程的解设21v v v -=代入方程得：

⎪⎩

⎪⎨⎧====-=0),(,),0(0002t l v t v v v a v t xx t

由极值原理得0=v 唯一性得证。(8’)由

≤-21v v ετ≤-2

1v v ，稳定性得证由u e v ct -=知u 的唯一性稳定性

得证。

四．求解二维调和方程在半平面上的狄利克雷问题(15分).

,0,0>=++=∆z u u u u zz yy xx

).(0x f u z ==

解：设),,(ζηξp 是上半平面内一点，在该点放置单位点电荷，其对称点

),,(ςηξ-p 格林函数：

222)()()(141

),,,(ςηξπ

ηξ-+-+--=z y x y x G 222)()()(141

ςηξπ++-+-+z y x

2/32220])()[(2ςηξπς

+-+-=∂∂-=∂∂=y x z G n G z 方程的解：dx y x y x u R ⎰+-+-=2

2/3222])()[(),(2),(ςηξϕπς

ηξ

五、证明下列初边值问题解的唯一性.(20分)

),,()(2t y x f u u a u yy xx tt =+- ),,(0y x u t ϕ==

),,(0

y x u t t ψ== ).,,(t y x g u =Γ

其中,),(,0Ω∈>y x t Γ为Ω的边界.

解:设21,u u 都是方程的解设21u u u -=代入方程得：

0)(2=+-yy xx tt u u a u

00==t u

00

==t t u .0=Γu 设⎰⎰Ω

=[21)(t E dxdy u u a u y x t ](2222++ =dt t dE )(⎰⎰Ω

[2dxdy u u u u a u u yt y xt x tt t )](2++ ⎰⎰Ω=[2dxdy u u a u u yy xx tt t )]([2

+-

0=(10’)

0)0()(==E t E ，C u =，由边值条件得：0=u 。(20’)

六 考察边值问题

∑==++∆n i x i

f u x c u x b u i 1)()(

.0=∂∂Γn u

试证)(x c 当充分负时,其解具有唯一性及在能量模意义下的稳定性.(20分) 证明：在原方程两边同乘以u 然后在Ω上积分：

⎰Ω∆u u ∑⎰=Ω

=++n i x i dx fu dx u x c u u x b i 12)()(

由格林公式dx u u ⎰Ω∆⎰Ω∂-∂∂=

ds n u dx Du 2⎰Ωdx Du 2⎰Ω-= 由Young 不等式

≤⎰∑=dx u u n i x i 1dx u n i x i 212⎰∑=εdx u n ⎰+22ε 又⎰⎰⎰+≤

dx u dx f fudx 222121故得估计： ⎰⎰∑≤+=dx f C dx u u n i x i 222

1)((10’)

设21,u u 都是方程的解设21u u u -=代入方程并由估计式得：0=u 唯一性得证

≤-21u u ετ≤-2

1f f ，稳定性得证。