高中数学必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解

(经典)高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解

分析

一、函数的概念与表示 1、映射：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射

集合A ，B 是平面直角坐标系上的两个点集，给定从A →B 的映射f:(x,y)→(x 2+y 2,xy)，求象(5，2)的原象.

3.已知集合A 到集合B ＝｛0，1，2，3｝的映射f:x →11

-x ，则集合A 中的元素最多有几个?写出元素最多时的集合A.

2、函数。构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域

函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。 例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f

配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。

例2 已知221

)1(x

x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式

三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f

四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。 例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式

五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过

解方程组求得函数解析式。例5 设,)1

(2)()(x x

f x f x f =-满足求)(x f

例6 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,1

1

)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式

六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

例7 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f 七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。

例8 设)(x f 是+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(，求

)(x f

1、求函数定义域的主要依据： （1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义； （3

2（1） ()x 已知f 的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。

（2） (21)x x 已知f －

的定义域是[-1,3],求f()的定义域

1求函数值域的方法

①直接法：从自变量x 的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数； ②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；

③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y 的取值范围；适合分母为二次且x ∈R 的分式； ④分离常数：适合分子分母皆为一次式（x 有范围限制时要画图）； ⑤单调性法：利用函数的单调性求值域； ⑥图象法：二次函数必画草图求其值域； ⑦利用对号函数

四．1．定义:2.性质：

①y=f(x)是偶函数⇔y=f(x)的图象关于y 轴对称, y=f(x)是奇函数⇔y=f(x)的图象关于原点对称,

②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0

③奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇[两函数的定义域D 1 ，D 2，D 1∩D 2要关于原点对称]

3

1、函数单调性的定义：2 设()[]x g f

y =是定义在M 上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则()[]x g f y =在M 上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则()[]x g f y =在M 上是增函数。

一：函数单调性的证明1.取值 2，作差 3，定号 4，结论 二：函数单调性的判定，求单调区间

322--=x x y 322--=x x y 452-+-=x x y 3

212

+--=

x x y

)23(log 22+-=x x y x

x y 422

1

-=

x x y 212+= 51212

+⎪⎭

⎫

⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y

x a x y +

= （0>a ） x

a

x y -= （0>a ） 三：函数单调性的应用1.比较大小 例：如果函数c bx x x f ++=2)(对任意实数t 都有

)2()2(-=+t f t f ，那么 A 、)4()1()2(f f f << B 、)4()2()1(f f f <

2.解不等式例：定义在（－1，1）上的函数()f x 是减函数，且满足：(1)()f a f a -<，求实数a 的取值范围。 例：设

是定义在

上的增函数，

，且

，

求满足不等式

的x 的取值范围.

3.取值范围例: 函数

在

上是减函数,则 的取值范围是_______．

例：若(31)41()log 1a a x a x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩是R 上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）

A.(0,1)

B.1(0,)3

C.11

[,)73

D.1

[,1)7

4. 二次函数最值例：探究函数12)(2+-=ax x x f 在区间[]1,0的最大值和最小值。

例：探究函数12)(2+-=x x x f 在区间[]1,+a a 的最大值和最小值。

5.抽象函数单调性判断

例：已知函数)(x f 的定义域是),0(+∞，当1>x 时，0)(>x f ，且)()()(y f x f xy f +=

⑴求)1(f ，⑵证明)(x f 在定义域上是增函数

⑶如果1)31(-=f ，求满足不等式)2

1

()(--x f x f ≥2的x 的取值范围

例：已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝

－23

. (1)求证：f (x )在R 上是减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．

例：已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1

x 2

)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0. (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2.

六．函数的周期性：

1．（定义）若⇔≠=+)0)(()(T x f T x f )(x f 是周期函数，T 是它的一个周期。说明：nT 也是)(x f 的周