数列的概念及简单表示方法

§6.1 数列的概念及简单表示法

1． 数列的定义

按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2． 数列的分类

3． 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 4． 数列的通项公式

如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个函数式a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．

5．已知S n ，则a n ＝⎩⎨⎧

S 1 (n ＝1)

S n －S n －1

(n ≥2).

1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)所有数列的第n 项都能使用公式表达．

( × ) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个． ( √ ) (3)数列：1,0,1,0,1,0，…，通项公式只能是a n ＝

1＋(－1)

n ＋1

2

.

( × )

(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N ＋，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n . ( √ ) (5)在数列{a n }中，对于任意正整数m ，n ，a m ＋n ＝a mn ＋1，若a 1＝1，则a 2＝2.( √ ) (6)若已知数列{a n }的递推公式为a n ＋1＝1

2a n －1，且a 2＝1，则可以写出数列{a n }的任何一项．

( √ ) 2． 设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2

，则a 8的值为

( )

A ．15

B ．16

C ．49

D ．64 答案 A

解析 ∵S n ＝n 2

，∴a 1＝S 1＝1.

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2

＝2n －1. ∴a n ＝2n －1，∴a 8＝2×8－1＝15.

3． 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10等于 ( )

A ．1

B ．9

C ．10

D ．55 答案 A

解析 ∵S n ＋S m ＝S n ＋m ，a 1＝1，∴S 1＝1. 可令m ＝1，得S n ＋1＝S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝1. 即当n ≥1时，a n ＋1＝1，∴a 10＝1.

4． (2013·课标全国Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋1

3

，则{a n }的通项公式是a n ＝_____.

答案 (－2)

n －1

解析 当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时，

a n ＝S n －S n －1＝2

3a n －23

a n －1，

故

a n a n －1

＝－2，故a n ＝(－2)n －1

. 当n ＝1时，也符合a n ＝(－2)n －1

.

综上，a n ＝(－2)

n －1

.

5． (2013·)如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，

B 2，…，B n …分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，

且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等．设OA n ＝a n ，若a 1＝1，

a 2＝2，则数列{a n }的通项公式是________．

答案 a n ＝3n －2

由相似三角形面积比是相似比的平方知OA 2

n ＋OA 2

n ＋2＝2OA 2

n ＋1，即a 2

n ＋a 2

n ＋2＝2a 2

n ＋1， 因此{a 2

n }为等差数列且a 2

n ＝a 2

1＋3(n －1)＝3n －2， 故a n ＝3n －2.

题型一 由数列的前几项求数列的通项

例

1

写出下面各数列的一个通项公式：

(1)3,5,7,9，…；

(2)12，34，78，1516，31

32，…； (3)－1，32，－13，34，－15，3

6，…；

(4)3,33,333,3 333，….

思维启迪 先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数之间的关系，项与前后项之间的关系．

解 (1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.

(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24

，…，所以a n ＝2n

－12

n .

(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n

；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n

·2＋(－1)

n

n

.

也可写为a n

＝⎩⎪⎨⎪⎧

－1

n

，n 为正奇数，3

n ，n 为正偶数.

(4)将数列各项改写为93，993，9993，9 9993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102

－

1,103

－1,104

－1，…， 所以a n ＝13

(10n

－1)．

思维升华 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征，应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．

(1)数列－1,7，－13,19，…的一个通项公式

是a n ＝________.

(2)数列{a n }的前4项是32，1，710，9

17，则这个数列的一个通项公式是a n ＝________.

答案 (1)(－1)n

·(6n －5) (2)

2n ＋1

n 2＋1

解析 (1)符号问题可通过(－1)n

或(－1)n ＋1

表示，其各项的绝对值的排列规律为后面的数

的绝对值总比前面的数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n

(6n －5)．