第二章 近世代数简介

a , b ∈ G , ∃ ( there exist ) ( a * b ) = c ∈ G o
②结合性（Associativity），即
∀ a , b ∈ G , ∃ a * (b * c ) = ( a * b ) * c o
③存在惟一的一个单元e（Identity），即
∀a ∈ G ,∃a * e = e * a = a o
2.2 多项式剩余类环和域
多项式是码字与代数之间的桥梁。比如，对于码字（1101），可 写成代数式 x3 + x 2 + x ，其系数代码原取值，x的幂次指示码元位置。 系数属于某数域的多项式，称为该数域上的多项式。比如，二进 制系数的多项式称为二元域GF(2)上的多项式，q进制系数的多项 式称为q元域GF(q)上的多项式。 以数为元素可以构成群、环、域，以多项式为元素同样可以构成 群、环、域。下面将讨论用多项式构成群、环、域的方法、条件 和性质。
有限整数的集合在乘、加运算下可以构成有限环。比如，集合Z={0， 1，2，……，m-1}在模m加、模m乘运算下可以构成有限环，也称剩余 类环。这里的m是整数，不要求一定是素数。但不是素数时，环内会存 在零因子，称之为零因子环。 所谓零因子，是这样定义的： ∀ a , b ∈ R , a ≠ 0, b ≠ 0, 若 a b = 0 ∈ R , 则称a,b为零因子。 由零因子时，乘法消除律不能成立，即从a·b=a·c不能推得b=c。 不存在零因子的交换环称为整环。集合Z={0，1，2，……，q-1}在 模q加、模q乘运算下可构成有限整环，这里q是素数。 与群有子群一样，环也有子环。子环的定义是：若S是集合R的子 集，且在相同的两种运算下构成环（S，+，·）和环（R，+，·），则 称环S是环R的子环。
( a + b ) mod m = [ a mod m + b mod m ] mod m
及
(a b ) m od m = [ a m od m b m od m ] m od m
3 域
定义:对于至少含有一个非零元素的交换环F，若每个非零元素都存 在乘法运算下的逆元，则称该交换环为域（Field），记做（F，+，·）， 简称域F。 有理数、实数、复数全体在乘、加运算下分别构成有理数域、实数 域和复数域，他们包含无限个域元素，因此称之为无限域。 有限整数集合F={0,1,2,……,q-1}（q是素数）在模q加、模q乘运算 下构成一个q阶有限域，又称迦逻华（Galois）域，记做GF(q)。 例2.7 q=5时的迦逻华域GF(5)={0，1，2，3，4}由5个域元素组 成，其中非零元素是1，2，3，4。为了弄清哪些元素可以作为生成元， 分别计算各元素的各次幂，结果图下表：
元素 各
次
α
1 2 3 4
α0
1 1 1 1
α1
1 2 3 4
α2
1 4 4 1
幂 元素 加法 乘法 α 3 的阶 逆元 逆元 1 3 2 4 1 4 4 2 4 3 2 1 1 3 2 4
从上表可知，域元素2和3的各次幂可以生成全部非零域元素，所以 2和3都是本原元。元素1的各次幂只能产生元素1，元素4的各次幂只能 产生元素1和4，他们都不是本原元。 由元素乘幂能产生的域元素的个数称为该元素的阶。上例中，2和3 为4阶域元素，1和4分别为1，2阶域元素。
) 多项式剩余类环的环元素是模f(x)乘的产物，即 A ( x ) ⋅ B ( x除以f(x)的余 式。余式也就是“剩余”类环名称的来历。 [ ] deg n 如果f(x)的最高次幂是n，称此f(x)是n次多项式，写做 deg [ f ( x)] =。这 里 表示阶次degree。显然，多项式剩余类环Rq ( x ) f ( x)中所有环元 素的次数不高于n-1次，通式形式为：
第二章 近世代数简介
千里之行，始于足下。 ——孔子
2.1 群、环、域
1群 2环 3域
1
群
定义 对于一个非空元素集合G以及定义在G上的一种运算“*” +, − （这里的*泛指任一种代数运算，如 , × , ÷ , 模m加 ，模m乘 ⊕ ⊗ 等），若满足以下四个条件： ①封闭性（Closure），即 ∀ （Forevery）
例2.2 若G表示去除0后的有理数集合，则验证条件①~ ⑤后可断 言：G在乘法运算下构成（G，.），该乘群又是交换群。 例2.3 集合G={0，1，2，……，m-1}在模m加（用符号⊕ 表示） 2.3 运算下构成一个加群（G，⊕ ）。该加群是m阶有限群，单位元是0。0的 逆元是0，1的逆元是m-1,2的逆元是m-2，……。 例2.4 集合G={1,2,……，q-1}在模q乘（q是素数）运算下构成一 2.4 个乘群（G， ）。这里，符号 ⊗ 表示模q乘。该乘群是q-1阶有限群， ⊗ 又是交换群，单位元是1。乘群的每个元素a都存在一个逆元 满足 [ a ⊗ b ] m o d q = 1 ，或写成： b=（nq+1）/a， n为任意正整数 （2-1）
0 1 2 某一元素a（称作生成元a）的一切乘幂 a , a , a ,L 的全体组成一个 0 1 2 0 群，称为循环码，写做G = { a , a , a , L } , 其中 a = e 是单位元。 a 0 = e, a1 , a 2 ,中没有两个元素是相等的，称之为无限循环码。 L 若序列 若上述序列中有两个相等的元素 可推出G元素必以n为周 a i = a j (i ≠ j ) 期重复，即 ，这样的循环群为有限循环群，写做 an = a0 = e G = {e, a, a 2 ,L , a n −1} o 循环群也叫幂群，具有以下性质：循环群是交换群；循环群的子群
若理想子环的所有元素可有一个元素a的各次幂的线性组合生成，则 称该理想子环为主理想子环，简称主理想，元素a称做生成元。 例2.5 全体整数在乘、加运算下构成整数环（I，+，·），该环又是 { 交换环。某一整数m的整倍数的集合 0, ± m , ± 2 m , ± 3m , L} 在加、乘运算下也 构成一个环，这个环是整数的子环。m=2时构成的子环就是偶数环，而 奇数全体构不成环，因为它不含加法单位元0且不满足封闭性。 例2.6 有限整数集合Z={0,1,2,……,m-1}在模m加、模m乘运算下构 成交换环 ( Z , ⊕ , ) o 模m加、乘的定义分别是： a ⊕ b = (a + b) mod m 及 a b= (a b) mod m 且服从运算规则：
2 环
对于非空元素的集合R以及定义在R上的乘、加两种运算，如满足以 下3种条件： ①集合R在加运算可构成加群（R，+）。 ②集合R在乘运算下满足群的前三个条件，即封闭性、结合性及单 位元存在性（这里由于少了条件④而不提构成乘群。因为既然是加群 （R,+），R中必然含有零元素0，而0不存在乘法运算下的逆元）。 ③分配律，即 ∀a , b, c ∈ R , ∃a (b + c ) = a b + a c, (b + c ) a = b a + c a 则称该代数系统为环（Ring），记做 ( R , + , ) , 简称环R. 如果环R还满足第4个条件： ④乘法交换律，即 ∀a, b ∈ R, ∃a b = b a 则称该环为交换环。
判断S是R子环的充要条件是： ① ∀a, b ∈ S , ∃a − b ∈ S ② ∀a, b ∈ S , ∃a b ∈ S 条件①强调了子环中加法逆元的存在和封闭性，条件②强调了乘法的封 闭性。 一种具有很强聚合力的子环叫做理想子环。理想子环的充要条件是： 若R是交换环，I是R的非空子集，如满足
仍是循环群；n阶有限循环群的子群的阶数一定是n的因子。 例2.1 若R表示有理数集合，I表示整数集合，E表示偶数集合，则 在加法运算下，（R，+），（I，+）和（E，+）均构成加群， E ⊂ I ⊂ R, 且（I，+）和（E，+）是（R，+）的子群， （E，+）也是（I，+）的 子群。该加群的单位元是0。作为对比，奇数集合O在加法运算下构不成 群，因为它不满足①要求的封闭性。
④G中的每个元素各自存在惟一的逆元（Inverse），即
∀a ∈ G, ∃a −1 ∈ G,使a*a-1 = a −1 * a = e o
这里，a −1 泛指逆元，不能狭义的理解为就是1/a。 则称这样的代数系统为群（Group），记做（G,*）。
若再满足第五个条件： ⑤交换律,即 ∀a, b ∈ G, ∃a * b = b * a o 则称这样的代数系统为交换群（Commutative Group），也称阿贝 尔群（Abelian Group）。 如果群（G，*）中的运算*是加法，则称群（G,+）为加群 （Additive Group）。加群一定是交换群。加群中一定包含零元素，零 元素正是该加群的单位元e。加群元素a的逆元 a−1 是代数中的-a。 如果群（G，*）中的运算*是乘法，则称群（G,.）为乘群 （Multiplicative Group）。乘群中一定不包含零元素，因为零元素不 存在乘法运算下的逆元。乘法不一定是交换群。乘法的单位元是1，乘 −1 法元素a的逆元 a 是代数中的1/a. 如果群（G，*）中包含无数个元素，则称该群为无限群。
对于元素A ( x ) = ∑ a i x 和
i i=0
n-1
B (x ) =
n -1
∑ b x ，多项式加“+”定义为：
i i i= 0
n-1
A ( x ) + B ( x ) = ∑ ( ai + bi )mod q xi
i =0
(2-2)
多项式modf(x)乘“.”定义为 :
n-1 n−1 j +k A ( x ) ⋅ B ( x ) = ∑∑ ( a j bk ) x (2-3) mod q k = 0 j =0 mod f ( x )