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成都七中数学试题(理科)(教师版).docx

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四川省成都市第七中学高三数学理下学期期末试卷含解析

四川省成都市第七中学高三数学理下学期期末试卷含解析

四川省成都市第七中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数，若则x的取值范围为( )A B．C． D．参考答案：B2. 已知集合，，那么（）A. B. C.D.参考答案：A3. 由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为()．A. B．4 C. D．6参考答案：A4. 茎叶图如图1，为高三某班60名学生的化学考试成绩，算法框图如图2中输入的a1为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（）A．m=29，n=15 B．m=29，n=16 C．m=15，n=16 D．m=16，n=15参考答案：B【考点】程序框图．【分析】算法的功能是计算学生在60名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80的人数，和成绩小于80且大于等于60的人数，根据茎叶图可得．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是计算学生在60名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80的人数，和成绩小于80且大于等于60的人数，由茎叶图得，在60名学生的成绩中，成绩大于等于80的人数有80，80，82，84，84，85，86，89，89，89，90，91，96，98，98，98，共1，6人，故n=16，由茎叶图得，在60名学生的成绩中，成绩小于60的人数有43，46，47，48，49，50，51，52，53，53，56，58，59，59，59共15人，则在60名学生的成绩中，成绩小于80且大于等于60的人数有60﹣16﹣15=29，故m=29，故选：B．【点评】本题借助茎叶图考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键．5. 已知向量，，若与垂直，则的值为（）A． B． C． D．参考答案：B6. 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间的人做问卷，编号落入区间的人做问卷，其余的人做问卷．则抽到的人中，做问卷的人数为（）A．7 B．9 C．10D．15参考答案：C7. 对于函数，，“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的（）A．充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D.即不充分也不必要条件参考答案：C8. 已知=2，=3，=,则向量与向量的夹角是（）A．B．C．D．参考答案：C略9. 以双曲线x2-y2=2的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是A.x2+y2-4x-3=0B.x2+y2-4x+3=0C.x2+y2+4x-5=0D.x2+y2+4x+5=0参考答案：答案：B解析：双曲线x2-y2=2的右焦点为（2，0），即圆心为（2，0），右准线为x=1，半径为1，圆方程为，即x2+y2-4x+3=0，选B10. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行统计，得到样本的茎叶图（如右图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）A．47, 45, 56 B．46, 45, 53C．46, 45, 56 D．45, 47, 53参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 平面直角坐标系下直线的方程为Ax+By+C=0 (A2+B2≠0)，请类比空间直角坐标系下平面的方程为_____________________________.参考答案：Ax+By+Cz+D=0 (A2+B2+C2≠0).平面直角坐标系下直线的方程为Ax+By+C=0 (A2+B2≠0)，请类比空间直角坐标系下平面的方程为Ax+By+Cz+D=0 (A2+B2+C2≠0).11.如图2，在半径为的中,弦.参考答案：13. 下列结论：①若命题p ：x 0∈R，tan x 0＝2；命题q ：x∈R，x 2－x ＋>0.则命题“p∧(q)”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是＝－3；③“设a 、b∈R，若ab≥2，则a 2＋b 2>4”的否命题为：“设a 、b∈R，若ab<2，则a 2＋b 2≤4”． 其中正确结论的序号为________．(把你认为正确结论的序号都填上)参考答案：(1)(3)14. 已知向量满足：，且，则向量与的夹角是___________. 参考答案：15. 抛物线的焦点坐标为。

四川省成都市第七中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题(含答案)

四川省成都市第七中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题(含答案)

2024-2025学年四川省成都市第七中学高一上学期10月月考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={1,2}，B ={1,3,4}，则A ∪B =( )A. {1}B. {1,3,4}C. {1,2}D. {1,2,3,4}2.已知0<x <3,0<y <5，则3x−2y 的取值范围是( )A. (−1,0)B. (−10,9)C. (0,4)D. (0,9)3.对于实数x ，“2+x 2−x ≥0”是“|x |≤2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.下列命题中真命题的个数是( )①命题“∀x ∈R ，|x|+x 2≥0”的否定为“∃x ∈R ，|x|+x 2<0”;②“a 2+(b−1)2=0”是“a(b−1)=0”的充要条件;③集合A ={y|y = x 2+1}，B ={x|y = x 2+1}表示同一集合．A. 0B. 1C. 2D. 35.已知实数x,y 满足4x 2+4xy +y +6=0，则y 的取值范围是( )A. {y|−3≤y ≤2}B. {y|−2≤y ≤3}C. {y|y ≤−2}∪{y|y ≥3}D. {y|y ≤−3}∪{y|y ≥2}6.已知正实数a,b 满足2a +b =1.则5a +b a 2+ab 的最小值为( )A. 3B. 9C. 4D. 87.关于x 的不等式(ax−1)2<x 2恰有2个整数解，则实数a 的取值范围是( )A. (−32,−1)∪(1,32) B. (−32,−43]∪[43,32)C. (−32,−1]∪[1,32) D. (−32,−43)∪(43,32)8.已知函数f (x )={4x 2−2x +3,x ≤122x +1x ,x >12，设a ∈R ，若关于x 的不等式f (x )≥|x−a 2|在R 上恒成立，则a 的取值范围是( )A. [−398,478]B. [−4,478]C. [−4,4 3]D. [−398,4 3]二、多选题：本题共3小题，共18分。

四川省成都市第七中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学(理)试题(含答案解析)

四川省成都市第七中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学(理)试题(含答案解析)

四川省成都市第七中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．．将圆221x y +=经过坐标变换后得到的曲线方程为（）．221641x y +=B ．4x 221164x y +=D ．．已知函数()sin cos f x a x =+上单调递增，则实数a 的范围是（．(],1-∞B ．[0,)2,⎡+∞⎣D ．．已知0.5e a -=，0.5b =，c ，则下列不等关系正确的是（）．a c b>>B ．a b a c>>D ．．已知椭圆(2222:1x y C a b+=的左右焦点分别为1F ，2F ，抛物线有相同的焦点，点P 为抛物线在第一象限内的交点，直线相切，则椭圆C 的长轴长为（．22+B ．24D ．．关于函数()114f x x x ⎛=- ⎝的零点，下列说法正确的是（）．函数()f x 有两个零点．函数()f x 有两个零点．函数()f x 有三个零点231x x =二、填空题三、解答题(1)求证：平面PCE ⊥平面PBC ；(2)求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值21．已知过点()0,2的直线与抛物线过M 作x 轴的垂线与抛物线交于点(1)若抛物线在N 点处的切线的斜率等于(2)设()0,11D ，求DAB 与NAB △22．已知函数()()1ln x x xf x =+-(1)求函数()f x 的最小值；(2)证明不等式()11ln 221nk k k =>⋅+∑参考答案：3．A【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案【详解】利用分析法证明不等式则P M N N >⇒>，则“P 故选：A.4．D【分析】利用换元法，设化回椭圆的切线方程.所以()11111114ln f x f x x x x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111111114n 1n 4l x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=---⎝++ ⎪ ⎪⎭⎝⎭故选：C.12．A【分析】根据均值不等式可得0a ≤+()233f t t t =-，利用导数求解单调性，进而可求值域【详解】由22a b a b +=+得()2a b +-故()()()(2224a b a b a b a b +-++≤⇒+由于()()3322a b a b a b ab +=++-将()()22a b a b ab +-+=和22a b a +=()()(2332a b a b a b a b a b ⎛+-++++- ⎝=()1,0,0B -，()0,0,3P ，(1,2C -(1223)PC =-- ，，，(22CE =- ，设平面PCE 法向量为()111,,x n y z =则11111220223x y n CE n PC x y z ⎧⎧-=⊥⎪⎪⇒⎨⎨⊥-+-=⎪⎪⎩⎩所以()1,2,3n = ，(1223)PC =-- ，，，(022BC = ，设平面PBC 的法向量为22(,m x y =则2222220223y m BC m PC x y z ⎧⎧=⊥⎪⎪⇒⎨⎨⊥-+-⎪⎪⎩⎩ 可得()3,0,1m =-，又3030n m ⋅=+-=所以平面PCE ⊥平面PBC ，（2）由（1）知，()1,0,3PA =- ，平面令222t k =+≥，所以3182S t t =-，即函数()182f t t t =-则()()2218663f t t t '=-=-，令()f t '=令()0f t '>得23t <<，令()0f t '<得所以函数()f t 在区间(2,3)上单调递增，在所以3t =，函数()3182f t t t =-取到最大为即1k =±时，DAB 与NAB △面积之差取得最大值22．(1)2(2)证明见解析【分析】（1）对函数求导，利用导函数的正负判断函数的单调性，进而求出函数的最小值；（2）结合（1）的结论，得到当1x >时，()1112ln 21221n nnk k k +=>+⋅+∑.【详解】（1）对函数求导可得()1f x '=-令函数()12ln g x x x x =--，则()1g x '=所以函数()g x 在区间()0,∞+上单调递增，又∵()10g =，。

四川省成都市第七中学2024届高三上学期理科数学周测试题(9月19日)及参考答案

四川省成都市第七中学2024届高三上学期理科数学周测试题(9月19日)及参考答案

成都七中高2024届高三上数学测试（理）（9.19）一、单选题1．已知集合{}220A x x x =+≤，21,04B a x R x ax ⎧⎫=∃∈-+<⎨⎬⎩⎭，则A B = （）A.[)1,2B.[]2,1-- C.[)2,1- D.[)2,1--5.若命题:p ()0,x ∀∈+∞，11x x+≥；命题:q 0x ∃∈R ，20010x x -+≤，则下列命题为真命题的是（）A.p q ∨ B.p q ∧ C.()p q ⌝∨ D.()()p q ⌝∧⌝①函数()g x 在0x =处的切线与函数()f x 在1x =处的切线平行；②方程()()f x g x =有两个实数根；③若直线y a =与函数()g x 交于点()11,A x y ，()22,B x y ，与函数()f x 交于点()22,B x y ，()33,C x y ，则2132x x x =．④若()()0f m g n =<，则mn 的最小值为1e-．三、解答题18．在数列{}n a 中，11a =，213a =，()12n n n a a ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设______，n S 为数列{}n b 的前n 项和，证明：1n S <.从下面三个条件中任选一个补充在题中横线处，并解答问题.①22n n a b n =+；②()11n n n b n a a +=+；③()2214n n n a b +=.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19.如图，梯形ABCD 中，4=AD ，E 为AD 中点，且CE AD ⊥，1CE BC ==，将DEC 沿CE 翻折到PEC ，使得π3PEA ∠=．连接PA ，PB ．（1）求证：BE PC ⊥；（2）Q 为线段PA 上一点，若AQ AP λ= ，若二面角Q -BC -A 的平面角的余弦值为2时，求实数λ的值．20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2e =，且经过点()1,e ．P 为椭圆C 在第一象限内部分上的一点．（1）若(),0A a ，()0,B b ，求ABP 面积的最大值；（2）是否存在点P ，使得过点P 作圆()22:11M x y ++=的两条切线，分别交y 轴于D ，E两点，且3DE =．若存在，点求出P 的坐标；若不存在，说明理由．成都七中高2024届高三上数学测试理科答案（9.19）一、单选题DDCAA AACAC CA18．(1)由11a =，213a =可知211a =.由题设条件可知()1111n n n n a +=+-⨯=，所以12n n a n +=+，当2n ≥时，111n n a n a n --=+，所以()121121123212111431n n n n n a a a n n n a a a a a n n n n n ------=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+-+ .当1n =时，11a =满足()21n a n n =+，故{}n a 的通项公式为()21n a n n =+.(2)选择①，由（1）可知()()()()()24112212112n n a b n n n n n n n n ⎡⎤===⨯-⎢⎥++++++⎣⎦，所以()()()111111212232334112n S n n n n ⎡⎤=⨯-+-++-⎢⎥⨯⨯⨯⨯+++⎣⎦ ()()()()11221121212n n n n ⎡⎤=⨯-=-<⎢⎥++++⎣⎦.设点),sin P θθ，则21d -==≤所以2112222ABP S -≤=△．(2)设点()00,P x y ()000,0x y >>，()0,D m ，()0,E n ，则直线PD 的方程为00y m y x m x -=+，即()0000y m x x y mx --+=，因为圆心()1,0M -到直线PD 的距离为11=，即()()()222220000002y m x y m x m y m x m -+=---+，即()2000220x m y m x +--=，同理()2000220x n y n x +--=．由此可知，m ，n 为方程()2000220x x y x x +--=的两个实根，所以0022y m n x +=+，002x mn x =-+MN m n =-===．因为点()00,P x y 在椭圆C 上，则220012x y +=，则220012x y =-，则3MN ==，则200450x x +-=，因为00x >，则01x =，22001122x y=-=，即02y =，故存在点1,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭满足题设条件．。

四川省成都市第七中学2024届高三上学期理科数学综合测试题(高频考点版)

四川省成都市第七中学2024届高三上学期理科数学综合测试题(高频考点版)

一、单选题二、多选题1. 设函数,若且,则的取值范围为A．B．C．D．2.与曲线和都相切的直线与直线垂直，则=（ ）A ．-8B ．-3C ．4D ．63.已知，则sin2α=（ ）A．B．C ．1D．4. 函数，若，且函数的图象关于直线对称，则以下结论正确的是（ ）A．函数的最小正周期为B．函数的图象关于点对称C ．函数在区间内是增函数D ．由的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象5. 设，为不同的平面，，，为三条不同的直线，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．若，，，，则B ．若，，，则C ．若，，则与异面D ．若，，，则与相交6. 已知的展开式中所有项的系数之和为-64，则其常数项为（ ）A ．-25B ．-5C ．20D ．557.已知数列满足，，则等于（ ）A．B．C．D．8. 如图所示，是2017年某大学自主招生面试环节中7位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和最低份后，所剩分数的平均数和众数分别为A ．86，86B ．85，84C ．84，86D ．86，859. 已知双曲线：（）的一条渐近线方程为，则下列说法正确的是（ ）．A．的焦点在轴上B．C．的实轴长为6D ．的离心率为10. 已知椭圆的左､右焦点分别为，，椭圆的上顶点和右顶点分别为A ，B ，若P ，Q 两点都在椭圆C 上，且P ，Q 关于坐标原点对称，则（ ）A．为定值4B ．的面积为C ．直线PB ，QB 的斜率之积为定值D ．四边形不可能是矩形四川省成都市第七中学2024届高三上学期理科数学综合测试题(高频考点版)四川省成都市第七中学2024届高三上学期理科数学综合测试题(高频考点版)三、填空题四、解答题11. 已知定义在上的函数满足为奇函数，的图象关于点对称，则下列说法正确的是（ ）A ．函数的图象关于对称B．函数的图象关于点对称C ．函数的一个周期为4D．12. 已知函数，若有6个不同的零点分别为，且，则下列说法正确的是（ ）A ．当时，B．的取值范围为C ．当时，的取值范围为D ．当时，的取值范围为13. 函数在处的切线方程为______.14.若曲线的一条切线为，则______.15.已知数列是各项均为负数的等比数列，，且，则______.16. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点，点在线段上，且.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求二面角的正弦值.17. 某商品经营部每天的房租、人员工资等固定成本为300元，已知该商品进价为3元/件，并规定其销售单价不低于商品进价，且不高于12元，该商品日均销售量y (件)与销售单价x (元)的关系如图所示．（1）试求y 关于x 的函数解析式；（2）当销售单价定为多少元时，该商品每天的利润最大？18.已知数列满足我们知道当a 取不同的值时，得到不同的数列，如当a ＝1时，得到无穷数列：1，2，，…；当a＝时，得到有穷数列：，﹣1，0.（1）求当a为何值时；（2）设数列满足，求证：a取数列中的任一个数，都可以得到一个有穷数列；（3）若，求a的取值范围.19. 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面平面，F为棱的中点，P为棱上一点．(1)求证：平面；(2)当P到平面的距离为时，求线段的长．20. 如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为，，的中点.(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.21. 设函数（），，(1)试求曲线在点处的切线l与曲线的公共点个数；(2)若函数有两个极值点，求实数a的取值范围．（附：当，x趋近于0时，趋向于）。

2018-2019学年成都七中高二上期理科数学Word版含解析

2018-2019学年成都七中高二上期理科数学Word版含解析
【解析】
分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.
详解：由三视图可得四棱锥 ，在四棱锥 中， ，
由勾股定理可知： ，则在四棱锥中，直角三角形有： 共三个，故选C.
点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题
1．化简cos 15°cos 45°－cos 75°sin 45°的值为
A． B． C．－ D．－
2．直线 在 轴上的截距是
A．2 B．3 C．-2 D．-3
3．点 关于直线 的对称点的坐标是
A． B． C． D．
4．已知数列 的首项 ，且 ，则
【点睛】
(1)本题主要考查空间几何体的概念，考查三视图和直观图，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于空间几何体的概念的判断，一定要准确理解几何体的内涵和外延，不能凭想象解答,要严格推理.
6．A
【解析】
【分析】
直接利用等比数列的性质化简 ,再代入 即得解.
【详解】
由题得 .
故答案为：A.
A． 尺B． 尺C． 尺D． 尺
8．函数 的部分图象如图所示，要得到函数 的图象，只需将函数 的图象
A．向右平移 长度单位B．向左平移 长度单位
C．向左平移 长度单位D．向右平移 长度单位
9．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则A在点B的
A．北偏东15° B．北偏西15°
【详解】
因为 ，所以设x= ，

2024年成都市第七中学高三数学(理)考前热身试卷附答案解析

2024年成都市第七中学高三数学(理)考前热身试卷附答案解析

2024年成都市第七中学高三数学（理）考前热身试卷（全卷满分150分，考试时间120分钟）第I 卷（选择题，共60分）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集{}|7U x N x =∈≤，集合M 、N 满足{}3,7M =，{}()4,5U M N = ð，则{}0,1,2,6=（）A ．()U M N ðB ．()()U UM N 痧C ．()U M N ðD ．()()UU M N 痧2．设向量a ，b 满足()(2)a b a -⊥+ ，且230a b =≠ ，则cos ,a b <>=（）A ．16-B ．38-C ．16D ．383．设x ，y 满足约束条件10,0,1,y x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥-⎩则5z x y =+的最小值为（）A ．3B ．6C ．3-D ．6-4．一个多面体的三视图如下图，图中所示外轮廓都是边长为1的正方形，则该多面体的体积为（）A ．13B ．23C ．16D ．565．函数23xy =与123xy -=的图象（）A ．关于2x =对称B ．关于1x =对称C ．关于12x =对称D ．关于14x =对称6．设点(2,3)A ，动点P 在抛物线2:4C y x =上，记P 到直线2x =-的距离为d ，则AP d +的最小值为（）A ．1B ．3C1-D1+7．圆2212880:O x y x y +++-=与圆222:4420O x y x y +---=的位置关系为（）A ．外切B ．相交C ．内切D ．相离8．下列说法中，正确的为（）A ．在研究数据的离散程度时，一组数据中添加新数据，其极差与标准差都可能变小B ．在研究变量间的相关关系时，两个变量的相关系数越小，则两者的线性相关程度越弱C ．在实施独立性检验时，显著增加分类变量的样本容量，随机变量2K 的观测值k 会减小D ．在回归分析中，模型样本数据的2R 值越大，其残差平方和就越小，拟合效果就越好9．已知圆锥PO 的母线长为3，表面积为4π，O 为底面圆心，AB 为底面圆直径，C 为底面圆周上一点，60BOC ∠=︒，M 为PB 中点，则MOC △的面积为（）A ．4B ．54C ．8D ．5810．内切球半径为1的正四棱台其上、下底面边长可能分别为（）A ．1，3B ．1，4C ，D ，11．设函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<，则“203ω<<”是“()f x 在3(,)64ππ上单调递增”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．双曲线C 的两个焦点为1F 、2F ，对称中心为O ，在C 的一条渐近线上取一点M ，使得OM 等于C 的半实轴长，当12MF F △的最小角取最大值时，C 的离心率为（）A B C ．2D 第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设2z i =-，则22z z的虚部为____________．14．5(43)(2)x y x y -+的展开式中33x y 的系数为____________．15．在ABC △中，已知1BC =，2AC =，1cos 4C =，则sin 2A =____________．16．曲线ln y x =上有相异三点到点(3,)M t 的距离相同，则t 的取值范围为____________．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17．（12分）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2121n n S n a a =++-．（1）若11a ≠，证明：{}n a n -是等比数列；（2）若2a 是1a 和3a 的等差中项，设21n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．18．（12分）“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划6月1日选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种．他们之间的出行互不影响，其中，甲选择“共享单车”的概率为12，乙选择“共享单车”的概率为23，丙选择“共享单车”的概率为34．（1）若有两人选择“共享单车”出行，求丙选择“共享单车”的概率；（2）记甲、乙、丙三人中选择“共享单车”出行的人数为X ，求X 的分布列与数学期望．19．（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -所有棱长都为2，160B BC ∠=︒，D 为1AC 与1AC 交点．（1）证明：平面BCD ⊥平面11AB C ；（2）若12DB =，求二面角111A CB C --的余弦值．20．（12分）已知椭圆221:12x C y +=与抛物线22:2C y ax =-有四个公共点A 、B 、C 、D ，分别位于第一、二、三、四象限内．（1）求实数a 的取值范围；（2）直线AC 、AD 与y 轴分别交于M 、N 两点，求MN 的取值集合．21．（12分）（1）讨论函数1()tan()21x x x e f x e +=⋅-在区间(0,)π内的单调性；（2）存在1x ，2(0,)x π∈，满足12x x <，且1221sin sin xxe x e x =．ⅰ）证明：12x x π+<；ⅱ）若212x x π<+，证明：1223x x π+<．（参考数据：4.8 4.9<<）请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（10分）选修44-：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为3)(0)44ππρθθ=-≤≤，已知1(1,)2M ，动直线l 的参数方程为1cos ,1sin 2x t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数，02πα≤<）．（1）写出C 在直角坐标系下的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 有两个公共点A 和B ，线段AB 上一点K 满足2KM AM BM =⋅，以α为参数写出K 轨迹的参数方程．23．（10分）选修45-：不等式选讲已知,,0a b c >，且2a b c abc ++=．（1）求2abc 的最小值m ；（2）证明：22()mabc a b c m ++≥．数学（理）参考答案一、选择题123456789101112DAADDDBD CBBB5．提示：曲线23xy =关于x a =的对称曲线为2(2)3a x y -=，即423a xy -=，与123xy-=对比系数可知41a =，故14a =．10．提示：如图，设上、下底面边长分别为a ，b ，内切球半径为r ，过内切球球心作轴截面，利用射影定理，可得222a br ⋅=，即4ab =，B 选项满足题设．11．提示：对于()f x 在3(,)64ππ上单调递增，可得371246122ππππω-=≤⋅，即127ω≤，有230672πππωϕπ<+<+<，结合单调性，可知062ππωϕ<+<，仅需限定342ππωϕ+≤，又考虑0ϕ>，则有203ω<<，故满足“必要条件”；但当2πϕπ≤<时，对于203ω<<，342ππωϕ+≤无法成立，故不满足“充分条件”．12．提示：如图，设12MF F △的最小角为θ，利用特征2Rt MOF △可知2a OH c =，abMH c =，其中H为垂足，则有222tan 24abab c a a b c cθ==≤++，取等条件为222a b =，故e =．二、填空题13．4514．80-15．3216．52ln 24t -<<--16．提示：设相异三点到M 的距离为d ，可知函数222()(3)(ln )f x x x t d =-+--至少有3个零点，(3)ln ()2x x x t f x x -+-'=，令()(3)ln g x x x x t =-+-，1()23g x x x '=-+，()g x '在1(0,)2，1(,1)2，(1,)+∞符号正负正，()g x 对应增减增，为满足题设，()g x 符号必须负正负正，即1((1)02g g <，此时52ln 24t -<<--，这样才有()f x 减增减增，其图象为W 型，()f x 有3或4个零点．三、解答题17．解：（1）对2121n n S n a a =++-①，当2n ≥时，有21112(1)1n n S n a a --=-++-②，-①②：112()21n n n n S S n a a ---=-+-，即1221n n n a n a a -=-+-，（2分）经整理，可得[]1(1)(1)n n a n a n --=---，（4分）故{}n a n -是以11(0)a -≠为首项、1-为公比的等比数列．（5分）（2）由（1）知11(1)(1)n n a n a --=--，有213a a =-，312a a =+，题设知2132a a a =+，即1112(3)(2)a a a -=++，则11a =，故n a n =．（7分）而211111()(2)22n n n b a a n n n n +===-++，（9分）121111111111(21324112n n n T b b b b n n n n -=++++=-+-++-+--++ 11111(21212n T n n =+--++故3111(4212n T n n =-+++（12分）18．解：（1）记甲、乙、丙三人选择“共享单车”出行分别为事件A ，B ，C ，记三人中恰有两人选择“共享单车”出行为事件D ，则12111312311()()()()23423423424P D P ABC P ABC P ABC =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，又1231133()()()2342348P CD P ABC P ABC =+=⨯⨯+⨯⨯=，（3分）所以3()98(|)11()1124P CD P C D P D ===，即若有两人选择“共享单车”出行，丙选择“共享单车”的概率为911．（5分）（2）由题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2，3，则1111(0)()23424P X P ABC ===⨯⨯=，1111211131(1)()()()2342342344P X P ABC P ABC P ABC ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，11(2)()24P X P D ===，1231(3)()2344P X P ABC ===⨯⨯=，（9分）所以X 的分布列为X 0123P12414112414故1111123()012324424412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，即X 的数学期望为2312．（12分）19．解：（1）取BC 中点O ，取1AB 中点E ，连接DE ，BE ，OE ，因为三棱柱111ABC A B C -所有棱长都为2，160B BC ∠=︒，有1AO B O ==1AB BB =，E 为1AB 的中点，BCDE 四点共面，所以1OE AB ⊥，且1BE AB ⊥，BE ，BE ，OE ⊂平面BCD ，OE BE E = ，即1AB ⊥平面BCD ，又1AB ⊂平面11AB C ，故平面BCD ⊥平面11AB C ．（5分）（2）因为11//BC B C ，所以11B C ⊥平面1AOB ，1AB ⊂平面1AOB ，所以111B C AB ⊥，所以11AB C △为直角三角形，所以112AC DB ==，所以13AB ==，在1AOB △中，13391cos 232AOB +-∠==-⨯．（6分）以O 为原点，作Oz ⊥平面11BCC B ，以OB ，1OB ，Oz方向为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则()1,0,0C -，()1B，()1C -，30,,22A ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，由11AA CC =，所以131,,22A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以130,,22CA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()1CB =，设平面11ACB 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则1100CB n CA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即03022x y z ⎧+=+=⎩，令1z =，解得(3,n = ，所以平面11C CB 的一个法向量为(0,0,1)m =，（10分）记二面角111A CB C --的大小为θ，且θ为锐角，则cos cos ,13m n m n m n θ⋅===⋅，即二面角111A CB C --的平面角的余弦值为13．（12分）20．解：（1）由椭圆1C 及抛物线2C 的对称性，知A 与B 、C 与D 关于y 轴对称，设其纵坐标分别为1y 、2y ，联立2212x y +=与22y ax =-，消x ，得22220ay y a ++-=①，其两根即1y 、2y ，由题设知120,10,a ay y a >⎧⎪-⎨=<⎪⎩解得1a >．（4分）（2）设直线:()l x t y m =-，若l 表示AC ，联立()x t y m =-与22y ax =-，消x ，得22222(21)20at y mat y at m -++-=②，其两根也是1y 、2y ，故方程①与②为同解方程，有21221212mat y y a at ++=-=，即2124m a at -=+③，亦有2212212a at m y y a at --==，即22121m a at-=-④，（8分）③与④相加，可得2410m m ++=，有12m =-+，22m =--考虑到M 在1C 内部，取1M y m =；若l 表示AD ，且N 在1C 外部，类上可得2N y m =，即12MN m m =-=，故MN的取值集合为{．（12分）（亦可用1y 、2y 以点参形式直接表示直线AC 与AD，可得到M N y y -=21．解：（1）2222sin11122()(2sin )21(1)cos cos 21cos 22)2(xx x x x x x x xe e ef x e e x x x x e e e -+-'=⋅+⋅=-----，令()2sin x xg x e ex -=--，有()2cos x x g x e e x -'=+-，而当(0,)x π∈，()210g x '>⋅=，则()g x 单增，有()(0)0g x g >=，即()0f x '>，则()f x 在区间(0,)π内单调递增．（4分）（2）ⅰ）由1221sin sin xxe x e x =，可令得1212sin sin x x x x m e e==，设1sin ()x x h x m e =-，1cos sin ()xx xh x e-'=，当(0,)4x π∈时，1()0h x '>，1()h x 单增；当(,)4x ππ∈时，1()0h x '<，1()h x 单减．由题设知11(0)()0h h π=<，且1(04h π>，则有1(0,)4x π∈，2(,)4x ππ∈，4(0,)2m e π-∈．若22x π≤时，则1242x x πππ+<+<；（6分）若22x π>，设24sin ()x h x m e π=-，易知其在(0,)π内有两零点*1x 和*2x ，其中*1(0,)4x π∈，*23(,)4x ππ∈，而2()h x 关于2x π=对称，且有**12x x π+=．由4sin x e π在(0,2π单增，知1*11144sin sin sin xx x x m e e e ππ==>，有*11x x <；由4sin x eπ在(,)2ππ单减，知2*22244sin sin sin xx x x m e e e ππ==<，有*22x x <，则**1212x x x x +<+，即12x x π+<．（8分）（证明亦可利用()()f x f x π>-，(0,4x π∈）ⅱ）由1221sin sin x xe x e x =，得2112121212sin(sin(2222x x x x x x x x x x e -+-+--=+，利用正弦和差角公式，经过化切后得2112121212tan tan (tan tan )2222x x x x x x x x x xe -+-+--=+，再整理可得212121211tan tan 221x x x x x x x x e e --+-+=⋅-，（10分）由题设知2102x x π<-<，利用（1）结论有2121221211tan tan 2141x x x x x x e e ee πππ---++⋅<⋅--，则22121 4.91tan2 4.811x x e e ππ+++<<<--12022x x π+<<，即1223x x π+<，综上，1223x x π+<．（12分）22．解：（1）由cos sin ρθθ=+得2cos sin ρρθρθ=+，即22x y x y +=+，整理可得22111(()222x y -+-=，而304πθ≤≤，图形分析可知0y ≥，故C 在直角坐标系下的普通方程为22111()((0)222x y y -+-=≥．（4分）（2）将1cos ,1sin 2x t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩代入22111()(222x y -+-=，消去x ，y ，整理得21cos 04t t α+⋅-=，2cos 10α∆=+>，考虑到0y ≥，由图形可知00αα≤<，0α为锐角且满足01tan 2α=，由韦达定理及题设可知214K A B A B t t t t t =⋅==，考虑点K 在线段AB 上，12K t =-，则点K 的坐标为1(1cos ,sin )2K K t t αα++，（8分）故K 轨迹的参数方程为11cos ,211sin 22x y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（α为参数，00αα≤<），其中锐角0α满足01tan 2α=．（10分）23．解：（1）由均值不等式可知422c c a b c a b ++=+++≥，即2abc ≥整理得24abc ≥，故2abc 的最小值为4，取最值条件为12ca b ===．（4分）（2）由（1）知即证224()4abc a b c ++≥，由2a b c abc ++=可得111c ab bc ac++=，即有21114()(4)(4)()abc a b c ab ac bc c ab ac bc ab ac bc++=++=++++，由柯西不等式可知222111(4)()(211)4ab ac bc ab ac bc ++++≥++=++=，取等条件为4111ab ac bc ab ac bc==，即12c a b ===．故224()4abc a b c ++≥．（10分）。

四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上学期入学考试数学(理)试题

四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上学期入学考试数学(理)试题

四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上学期入学考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A．4B．57．莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟九层楼号窟被誉为最值得参观的洞窟.根据疫情防控的需要，莫高窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择观洞窟的概率是（）A．47B．128．设,,l m n表示直线，,αβ表示平面，使A．αβ⊥，//lβC．//l n，nα⊥9．等比数列{}a的前n项和为S，若二、填空题中，15．在ABC的面积，则若S为ABC16．已知抛物线过,A B两点分别作四边形PMFN的面积为三、解答题17．已知公差d(1)求数列{}n a的通项公式；b=(2)若数列2n18．如图所示，在四棱锥BC=，又SD=1(1)证明：//CF 平面SAB ；(2)求平面SAD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值19．《中国统计年鉴2021》数据显示，截止到千万辆．下图是2011年至2020图．（注：年份代码1-10分别对应年份(1)由折线图能够看出，可以用线性回归模型拟合(2)建立y 关于t 的线性回归方程（系数精确到量．参考数据：15.5y =，(101i i t =∑25550.5159.8≈，25690.5参考公式：相关系数n r =∑。

四川省成都市第七中学2016-2017学年高二上学期期末考试理数试题 Word版含答案

四川省成都市第七中学2016-2017学年高二上学期期末考试理数试题 Word版含答案

理科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题p ：“2-=a ”是命题q ：“直线01=-+3y ax 与直线0346=-+y x 垂直”成立的（ ）A ．充要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．既非充分也非必要条件2.成都七中为了全面落实素质教育，切实有效减轻学生课业负担，拟从林荫、高新两个校区的初高中学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到初中三个年级、高中三个年级学生的课业负担情况有较大差异，而男女生课业负担差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ． 按年级分层抽样D ．系统抽样3.圆4)2(22=++y x 与圆91)2(22=+）（-y -x 的位置关系为（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ． 相离4.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为2，那么双曲线的渐近线方程为（ ）A ．02=±y xB ．0=±y x C.02=±y x D ．03=±y x 5.已知函数]5,5[,2)(2-∈--=x x x x f ，在定义域内任取一点0x ，使0)0≤f(x 的概率是（ ） A ．101 B ．32 C.103 D ．54 6.已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤-0205202y y x y -x ，则x y z =的取值范围为（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2131， C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,317.有5名高中优秀毕业生回母校成都7中参加高2015级励志成才活动，到3个班去做学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为（ ） A ．200 B ．180 C.150 D ．280 8.柜子里有3双不同的鞋，随机地取2只，下列叙述错误的是（ ）A ．取出的鞋不成对的概率是54B ．取出的鞋都是左脚的概率是51C. 取出的鞋都是同一只脚的概率是52D ．取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率是2512 9.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为43，则判断框内应填入的条件是（ ）A ．?42≤zB ．?20≤z C. ?50≤z D ．?52≤z10.成都7中随机抽查了本校20个同学，调查它们平均每天在课外从事体育锻炼的时间（单位：分钟），根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为8组，分别是]40,35[,),10,5[),5,0[⋅⋅⋅，作出频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是（ ）A ．B ． C.D ．11.如图，等腰梯形ABCD 中，CD AB ∥且AD AB 2=，设θ=∠DAB ，），（20πθ∈，以A 、B 为焦点，且过点D 的双曲线的离心率为1e ；以C 、D 为焦点，且过点A 的椭圆的离心率为2e ，则（ ）A ．当θ增大时， 1e 增大，21e e ⋅为定值B ．当θ增大时， 1e 减小，21e e ⋅为定值 C.当θ增大时， 1e 增大，21e e ⋅增大 D ．当θ增大时， 1e 减小，21e e ⋅减小12.以椭圆15922=+y x 的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左右焦点分别为21F F ，，已知点M 的坐标为)1,2(，双曲线C 上点)0,0)(,(0000>>y x y x P 满足=21PMF PMF S -S △△等于（ ）A ．2B ．4 C.1 D ．1-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.命题0,:<∈∀x R x p 的否定是 ．14.已知双曲线12=-my x 2的虚轴长是实轴长的3倍，则实数m 的值是 ． 15.在平面直角坐标系xOy 中，曲线y x y x 2222+=+围成的图形的面积为 ． 16.已知圆)0()1(:222>=+-r r y x C 与直线3:+=x y l ，且直线l 上有唯一的一个点P ，使得过点P 作圆C 的两条切线互相垂直.设EF 是直线l 上的一条线段，若对于圆C 上的任意一点Q ，0≤⋅的最小值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在)1500,1000[.（1）求居民收入在)3500,3000[的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数、平均数及其众数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，按收入从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则应在月收入为)3000,2500[的人中抽取多少人？ 18. （本小题满分12分）口袋中装有4个形状大小完全相同的小球，小球的编号分别为4,3,2,1，甲、乙、丙依次有放回地随机抽取1个小球，取到小球的编号分别为c b a ,,.（1）在一次抽取中，若有两人抽取的编号相同，则称这两人为“好朋友”，求甲、乙两人成为“好朋友”的概率；（2）求抽取的编号能使方程62=++c b a 成立的概率. 19. （本小题满分12分）某科研所对新研发的一种产品进行合理定价，该产品按事先拟定的价格试销得统计数据.（1）①求线性回归方程∧∧+=a x b y ；②谈谈商品定价对市场的影响；（2）估计在以后的销售中，销量与单价服从回归直线，若该产品的成本为5.4元/件，为使科研所获利最大，该产品定价应为多少？（附：80,5.8,,)())((121==-=---=∧∧==∧∑∑y x x b y a x x y yx x b ni ini ii）20. （本小题满分12分）已知⊙0204222=---+y x y x C ：，直线0471)12(:=--+++m y m x m l ）（. （1）求证：直线l 与⊙C 恒有两个焦点；（2）若直线l 与⊙C 的两个不同交点分别为B A ，.求线段AB 中点P 的轨迹方程，并求弦AB 的最小值.21. （本小题满分12分）已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点)0,1(F 的距离减去它到y 轴距离的差都是1. （1）求曲线C 的方程；（2）是否存在整数m ，对于过点)0,(m M 且与曲线C 有两个交点B A ，的任一直线，都有222AB FB FA <+？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.22. （本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的上顶点M 与左、右焦点21,F F 构成三角形21F MF 面积为3，又椭圆C 的离心率为23，左右顶点分别为Q P ，.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点)0),2,2()(0,(≠-∈m m m D 作两条射线分别交椭圆C 于B A ，两点（B A ，在长轴PQ 同侧），直线AB 交长轴于点)0,(n S ，且有BDQ ADP ∠=∠.求证：mn 为定值； （3）椭圆C 的下顶点为N ，过点)0)(2,(≠t t T 的直线TN TM ,分别与椭圆C 交于F E ，两点.若TMN △的面积是TEF △的面积的λ倍，求λ的最大值.成都7中2016-2017学年度上期高2018届期末考试理科数学参考答案一、选择题1-5:ACBDC 6-10:DCDAB 11、12：BA二、填空题13.0,00≥∈∃x R x 14.9115.84+π 16.244+ 16.【解析】根据圆的对称性知直线l 上的唯一点P 与圆心C 所在直线必与直线l 垂直，则PC 所在直线的方程为1=+y x ，与直线3+=x y 联立求得)2,1(-P ，再根据对称性知过点)2,1(-P 的两条切线必与坐标轴垂直，2=r ；由题意，知EF 取得最小值时，一定关于直线1+=x -y 对称，如图所示，因此可设以点)2,1(-P 为圆心，以R 为半径的圆，即222)2()1(R -y x =++与圆C R 2，由相切条件易知222(2R 44)22+=+=.三、解答题17.【解析】（1）居民收入在)3500,3000[的频率为%155000003.0=⨯. （2）中位数为2400545002000=⨯+，平均数为2400%53750%153250%252750%252250%201750%101250=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，其众数2750,2250.（3）在月收入为)3000,2500[的人中抽取25人.18.【解析】（1）将甲、乙依次取到小球的编号记为),(b a ，则基本事件有)4,4(),3,4(),2,4(),1,4(),4,3(),3,3(),2,3(),1,3(),4,2(),3,2(),2,2(),1,2(),4,1(),3,1(),2,1(),1,1(，共16个.记“甲、乙两人成为好朋友”为事件M ，则M 包含的情况有)4,4(),3,3(),2,2(),1,1(，共4个人，故甲、乙两人成为“好朋友”的概率41164)(==M P . （2）将甲、乙、丙依次取到小球的编号记为),,(c b a ，则基本事件有64个.记“丙抽取的编号能使方程62=++c b a 成立”为事件N ，当丙抽取的编号1=c 时，4=+b a ，∴),(b a 分别为)1,3(),2,2(),3,1(，当丙抽取的编号2=c 时，2=+b a ，∴),(b a 为)1,1(，当丙抽取的编号3=c 或4=c 时，方程62=++c b a 不成立.综上，事件N 包含的基本事件有4个， ∴161644)(==N P . 19.【解析】（1）①依题意：2505.82080,20)())((61261=⨯+=-=-=---=∧∧==∧∑∑x b y a x x y yx x b i ii ii，∴回归直线的方程为25020+-=x y .②由于020<-=∧b ，则y x ,负相关，故随定价的增加，销量不断降低. （2）设科研所所得利润为w ，设定价为x ，∴112534020)25020)(5.4(2-+-=+--=x x x x w ，∴当5.840340==x 时，320max =w .故当定价为5.8元时，w 取得最大值.（2）由题意知，设点),(y x P 为弦AB 的中点，由（1）可知0=⋅QP CP ，点P 的轨迹方程是以CQ 为直径的圆为45)23()2(22=-+-y x ，由圆的几何性质可知，当）（1,3Q 是弦AB 的中点时，AB 最小. 弦心距5==CQ d ，⊙C 的半径为5，∴5455222min =-=AB . 21.【解析】（1）设)0)(,(>x y x P 是曲线C 上任意一点，那么点),(y x P 满足：)0(1)1(22>=-+-x x y x ，化简得)0(42>=x x y .（2）设过点)0)(0,(>m m M 的直线l 与曲线C 的交点为),(),,(2211y x B y x A . 设l 的方程为m y x +=λ，由⎩⎨⎧=+=xy m y x 42λ得0)(16,04422>+=∆=--m m y y λλ， 于是⎩⎨⎧-==+m y y y y 442121λ①，又),1(),,1(2211y x y x -=-=，01)()1)(1(021********<+++-=+--⇔<⋅y y x x x x y y x x ②， 又42y x =，于是不等式②等价于01]2)[(4116)(01)44(4421221212212221212221<+-+-+⇔<++-+⋅y y y y y y y y y y y y y y ③， 由①式，不等式③等价于22416λ<+-m m ④对任意实数λ，24λ的最小值为0， 所以不等式④对于一切π成立等价于0162<+-m m ，即223223+<<m -. 由此可知，存在正数m ，对于过点)0,(m M 且与曲线C 有两个交点B A ,单调任一直线，都有222AB FB FA <+，且m 的取值范围为），（223223+-.22.【解析】（1）椭圆离心率2322=-==a b a a c e ，又222,3c b a bc +==，解得1,2==b a ，∴椭圆14:22=+y x C .（2）由已知AB 必有斜率，设),(),,(),0)((:2211y x B y x A k n x k y AB ≠-=. 联立1444,148,0448)14(44)(222212221222222+-=+=+=-+-+⇒⎩⎨⎧=+-=k n k x x k n k x x n k nx k x k y x n x k y .0)()(0012212211=-+-⇒=-+-⇒=+⇒∠=∠m x y m x y mx y m x y k k BDQ ADP BD AD 402))((20))(())((21212121=⇒=+++-⇒=--+--⇒mn mn x x n m x x m x m x k m x n x k .（3）设),(),,(4433y x F y x E ，因为t t MN S TMN ==21△， 直线TM 方程为:)1(-=y t x ，直线03:=--t ty x TN ，联立)44,48(441042444)1(222223222222+-+-⇒+-=⋅⇒=-+-+⇒⎩⎨⎧=+-=t t t t E t t y t y t y t y x y t x ， 联立)3636,3624(3636103623644)1(3222224222222t t -t t F t t -y -t y t y t y x y t x ++⇒+-=⋅⇒=+++⇒⎩⎨⎧=++=，所以E 到直线03:=--t ty x TN 的距离)4(912294)4(4242222222+++=+-+--+-=t t t t t t t t t t t d ，)2)(18()12)(621,36912)2()(22222222424++++==∴+++=-+-=∆t t t t t d TF S t t t y t x TF TEF （，342414416114424161)12()4(36222422222≤+++=+++=+++==∆∆tt t t t t t t S S TEF TMN λ（取等条件32122±=⇒=t t ），λ的最大值为34.。

四川省成都市第七中学2022-2023学年高二上学期第一次质量检测数学理科试题

四川省成都市第七中学2022-2023学年高二上学期第一次质量检测数学理科试题

四川省成都七中2024届高第一学期第一次质量检测数学理科满分: 150分年级: 高二一选择题（共计12道小题，每题5分，共计60分）1.若直线2 x+y−1=0是圆( x−a)2+ y2=1的一条对称轴, 则a=（）A.12B.−12 C.1 D.−12.已知命题p: ∃x ∈R,sinx<1; 命题q: ∀x ∈R,e|x|≥1, 则下列命题中为真命题的是（）A.p ∧qB.¬p ∧qC.p ∧¬qD.¬(p ∨q)3.已知半径为 1 的圆经过点(3,4), 则其圆心到原点的距离的最小值为（）A.4B.5C.6D.74.设圆 x2+ y2−2 x−2 y−2=0的圆心为C, 直线l过点(0,3), 且与圆C交于A,B两点, 若|A B|=2 √3, 则直线l的方程为（）A.3 x+4 y−12=0B.3 x+4 y−12=0或4 x+2 y+1=0C.x=0D.x=0或3 x+4 y−12=05.若x,y满足约束条件{x+y ⩾2,x+2 y ⩽4,y ⩾0,则z=2 x−y的最大值是（）A.−2B.4C.8D.126.设椭圆C: x 24 +y2=1的左焦点为F, 直线l: y=k x(k ≠0)与椭圆C交于A,B两点, 则|A F|+|B F|的值是（）A.2B.2 √3C.4D.4 √37.已知 F1, F2分别是椭圆C: x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点, 点A(0,b), 点B在椭圆C上, A F1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2 F1 B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,D,E分别是 A F2, B F2的中点, 且△D E F2的周长为 4 , 则椭圆C的方程为（）A. x24+y23=1 B.x24+3 y28=1C. x24+3 y24=1 D. x2+ 3 y22=18.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时, 相应水面的面积为140.0 km2; 水位为海拔157.5 m时, 相应水面的面积为180.0 km2, 将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台, 则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时, 增加的水量约为(√7 ≈2.65)（）A.1.0 ×1 09m3B.1.2 ×1 09m3C.1.4 ×1 09m3D.1.6 ×1 09m39.下列结论正确的是（ ）①过点 A(−2,−3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为x +y =−5; ②圆 x 2+ y 2=4上有且仅有 3 个点到直线l: x −y +√2=0的距离都等于 1③已知 a b ≠0,O 为坐标原点, 点P(a,b)是圆 E: x 2+ y 2= r 2外一点, 且直线m 的方程是 a x +b y =r 2, 则直线m 与圆E 相交;④已知直线 k x −y −k −1=0和以M(−3,1),N(3,2)为端点的线段相交, 则实数k 的取值范围为−12 ≤k ≤32; A.①③B.②③C.②④D.③④10.已知矩形 A B C D,A B =1,B C =√3, 将△A D C 沿对角线A C 进行翻折, 得到三棱锥D −A B C , 则在翻折的过程中，有下列结论:①三棱锥 D −A B C 的体积最大值为13;②三棱锥 D −A B C 的外接球体积不变;③三棱锥 D −A B C 的体积最大值时, 二面角D −A C −B 的大小是 60∘; ④异面直线 A B 与C D 所成角的最大值为 90∘. 其中正确的是（ ） A.①②④B.②③C.②④D.③④11.若直线 l: a x +b y +1=0始终平分圆 M: x 2+ y 2+4 x +2 y +1=0的周长, 则( a −2)2+( b −7)2的最小值为（ ） A.√5B.5C.2 √5D.2012.在平面直角坐标系 x O y 中, 已知圆C:( x −2)2+ y 2=9,E,F 是直线l: y =x +2上的两点, 若对线段E F 上任意一点P , 圆C 上均存在两点A,B , 使得cos∠A P B ≤0, 则线段E F 长度的最大值为（ ） A.2B.√14C.2 √10D.4二填空题（共计4道小题，每题5分，共计20分）13. 填空题（5分）已知命题 p: ∀x ∈R,cosx ≤1, 则¬p :____________________. 14. 填空题（5分）命题 p:“∃x ∈R, a x 2+2 a x −4 ≥0"为假命题, 则a 的取值范围是_______________. 15. 填空题（5分）如图, F 1, F 2分别是椭圆的左、右焦点, 点P 是以 F 1 F 2为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点, 延长 P F 2与椭圆交于点Q , 若|P F 1|=4|Q F 2|, 则直线 P F 2的斜率为________________.16. 填空题（5分）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一, 指的是: 已知动点M与两定点Q,P的距离之比|M Q||M P|=λ(λ>0,λ≠1), 那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆, 其方程为 x2+ y2=1, 定点Q为x轴上一点,P(−12,0)且λ=2,若点B(1,1), 则2|M P|+|M B|的最小值为__________________.三（共计6道小题，共70分，写出必要的文字说明和演算步骤）17. （本题满分10分）已知命题 p: x2−6 x+8 ≤0, 命题q: 3−m ≤x ≤3+m. 若¬p是¬q的充分不必要条件, 求m的取值范围.18. （本题满分12分）已知△A B C的顶点A(5,1), 边A B上的中线C M所在直线方程为2 x−y−5=0, 边A C上的高B H所在直线方程为x−2 y−5=0,(1) 求顶点C的坐标;(2) 求△A B C的面积.19. （本题满分12分）已知线段A B的端点B的坐标为(1,3), 端点A在圆C:( x+1)2+ y2=4上运动.(1)求线段A B的中点M的轨迹;(2)过B点的直线L与圆C有两个交点A,D. 当C A ⊥C D时, 求L的斜率.20. （本题满分12分）最近国际局势波云诡谲, 我国在某地区进行军事演练, 如图, O,A,B是三个军事基地,C为一个军事要塞, 在线段A B上. 已知tan∠A O B=−2,O A=100 km,C到O A,O B的距离分别为50 km,30 √5km, 以点O为坐标原点, 直线O A为x轴, 建立平面直角坐标系如图所示.(1)求两个军事基地A B的长;(2)若要塞C正北方向距离要塞100 km处有一E处正在进行爆破试验, 爆炸波生成t h时的半径为r= 5 √a t(参数a为大于零的常数), 爆炸波开始生成时, 一飞行器以300 √2km / h的速度自基地A开往基地B,问参数a控制在什么范围内时, 爆炸波不会波及到飞行器的飞行.21. （本题满分12分）如图所示正四棱锥S−A B C D,S A=S B=S C=S D=2,A B=√2,P为侧棱S D上的点.(1) 求证: A C ⊥S D;(2) 若 S S A P= 3 S A P D,( i ) 求三棱锥S−A P C的体积.(ii ) 侧棱S C上是否存在一点E, 使得B E / /平面P A C. 若存在, 求S EE C的值；若不存在，试说明理由．22. （本题满分12分）已知椭圆C: x2a2+y2b2=1(a>b>0), 长轴是短轴的 3 倍, 点(1,2 √23)在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2) 若过点Q(1,0)且不与y轴垂直的直线l与椭圆C交于M,N两点, 在x轴的正半轴上是否存在点T(t,0), 使得直线T M,T N斜率之积为定值? 若存在, 求出t的值; 若不存在, 请说明理由.参考答案一选择题（共计12道小题，每题5分，共计60分）1. 【答案】A2. 【答案】A3. 【答案】A4. 【答案】D5. 【答案】C6. 【答案】C7. 【答案】B8. 【答案】C9. 【答案】B10. 【答案】C11. 【答案】D【解析】∵直线l: a x+b y+1=0始终平分圆 M: x2+ y2+4 x+2 y+1=0的周长∴直线必过圆 M: x2+ y2+4 x+2 y+1=0的圆心即圆心(−2,−1)点在直线l: a x+b y+1=0上则2 a+b−1=0则( a−2)2+( b−7)2表示点(2,7)至直线2 a+b−1=0点的距离的平方则其最小值 d2=(|2 ×2+7 ×1−1|√ 22+ 122=20故选D.12. 【答案】C【解析】由题意, 圆心到直线l: y=x+2的距离为d=|2−0+2|√2=2 √2<3 (半径) 故直线l和圆相交;当点P在圆外时, 从直线上的点向圆上的点连线成角,当且仅当两条线均为切线时,∠A P B才是最大的角,设切线为P M,P N, 则由cos∠A P B ≤0,得∠A P B ≥9 0∘,∴∠M P N ≥9 0∘;当∠M P N=90∘时,sin∠M P C=3P C=sin4 5∘=√22,∴P C=3 √2设P( x0, x0+2),|P C|=√( x0−2)2+( x0+2)2=3 √2, 解得： x0=±√5,设 E(−√5,−√5+2),F(√5,√5+2),如图, E F 之间的任何一个点P , 圆C 上均存在两点A,B , 使得∠A P B ≥9 0∘,线段 E F 长度的最大值为|E F|=√( −√5−√5)2+[(−√5+2)−(√5+2)]2=2 √10故选C.二填空题（共计4道小题，每题5分，共计20分）13. 【答案】∃ x 0 ∈R, cos x 0>1 14. 【答案】−4<a ≤0 15. 【答案】−2【解析】如图,连接 Q F 1, 设|Q F 2|=x(x >0), 则|P F 1|=4 x , 因为|P F 1|+|P F 2|=2 a,|Q F 1|+|Q F 2|=2 a , 所以|P F 2|=2 a −4 x,|Q F 1|=2 a −x , 在△P F 1 Q 中,∠ F 1 P Q =90∘, 所以|P F 1|2+ |P Q|2=|Q F 1|2, 即( 4 x)2+( 2 a −4 x +x)2=( 2 a −x)2, 整理得a =3 x , 所以tan∠P F 2 F 1=|P F 1||P F 2|= 4 x 2 a−4 x = 4 x 6 x−4 x =2, 所以直线 P F 2的斜率为k =tan (1 80∘−∠P F 2 F 1)=−216. 【答案】√10【解析】令2|M P|=|M Q|，则|M Q||M P|=2, 由题意可得圆 x 2+ y 2=1是关于P,Q 的阿波罗尼斯圆, 且λ=2,设点 Q 的坐标为(m,n), 则√( x−m)2+( y−n)2√(x+2)2+ y 2=2 整理得， x 2+ y 2+4+2 m 3 x +2 n 3 y + 1−m 2− n 23=0由已知该圆的方程为 x 2+ y 2=1, 则{4+2 m =02 n =0 1−m 2− n 23=−1, 解得{m =−2n =0, ∴点Q 的坐标为(−2,0),∴2|M P|+|M B|=|M Q|+|M B|,由图象可知，当点 M 位于 M 1或 M 2时取得最小值, 且最小值为|Q B|=√( −2−1)2+1=√10三（共计6道小题，共70分，写出必要的文字说明和演算步骤）17. 【答案】a 的取值范围是(−∞,1).【解析】解: 设 A ={x ∣ x 2−6 x +8 ≤0}={x ∣2 ≤x ≤4},B ={x ∣3−m ≤x ≤3+m}. 因为 ¬p 是¬q 的充分不必要条件, 则q 是p 的充分不必要条件, 所以,B ⫋A . (i) 若 B =∅, 则B ⫋A 成立, 此时有3+m <3−m , 解得m <0; (ii) 若 B ≠∅, 则{3−m ≤3+m3−m ≥2 3+m ≤4, 解得0 ≤m ≤1,当 m =0时,B ={3} ⫋A , 合乎题意,当 m =1时,B ={x ∣2 ≤x ≤4}=A , 不合乎题意. 综上所述, 实数 a 的取值范围是(−∞,1).18. 【答案】(1)C(4,3).(2) S △A B C =8.【解析】(1) 设 C(m,n), 因为直线A C 与直线B H 垂直, 且C 点在直线2 x −y −5=0上, 所以 {n−1m−5=−2 2 m −n −5=0,解得{m =4n =3, 故C(4,3).(2) 设 B(a,b)由题知:M (a+52,b+12),所以 {a +5−b+12−5=0 a −2 b −5=0, 解得{a =−1b =−3, 即B(−1,−3).k B C =3+34+1=65, 直线B C: y −3=65(x −4), 即:6 x −5 y −9=0. |B C|=√( 4+1)2+( 3+3)2=√61点 A 到直线 B C 的距离d =√ 62+( −5)2=√61, 所以 S △A B C =12 ×√61 ×16√61=8.19. 【答案】(1)点 M 的轨迹是以(0,32)为圆心, 1 为半径的圆;(2)k =3 ±√222.【解析】(1) 设 A ( x 1, y 1),M(x,y), 由中点公式得 { x 1+12=x y 1+32=y⇔{ x 1=2 x −1 y 1=2 y −3, 因为 A 在圆C 上, 所以( 2 x)2+( 2 y −3)2=4, 即 x 2+(y −32)2=1,点 M 的轨迹是以(0,32)为圆心, 1 为半径的圆;(2) 设 L 的斜率为k , 则L 的方程为y −3=k(x −1), 即k x −y −k +3=0, 因为 C A ⊥C D,△C A D 为等腰直角三角形, 有题意知, 圆心 C(−1,0)到L 的距离为√2 C D =√2=√2.由点到直线的距离公式得√2=√2,∴4 k 2− 12 k +9=2 k 2+2.∴2 k 2−12 k +7=0, 解得k =3 ±√222.20. 【答案】(1)基地 A B 的长为200 √2km .(2)当 0<a <2400 √5−4800时, 爆炸波不会波及飞行器的飞行.【解析】(1) 则由题设得: A(100,0), 直线O B 的方程为y =−2 x,C ( x 0,50)( x 0>0), 由 0√22=30 √5, 及 x 0>0解得 x 0=50, 所以C(50,50).所以直线 A C 的方程为y =−(x −100), 即x +y −100=0, 由 {y =−2 x x +y −100=0得x =−100,y =200, 即B(−100,200),所以 A B =√( −100−100)2+ 2002=200 √2, 即基地 A B 的长为200 √2km . (2) 设爆炸产生的爆炸波圆 E ,由题意可得 E(50,150), 生成t 小时时, 飞行在线段A B 上的点F 处, 则 A F =300 √2 t,0 ≤t ≤23, 所以F(100−300 t,300 t).爆炸波不会波及卡车的通行, 即 E F 2> r 2对t ∈[0,33]恒成立.所以 E F 2=( 300 t −50)2+( 300 t −150)2> r 2=25 a t , 即 ( 300 t −50)2+( 300 t −150)2>25 a t . 当 t =0时, 上式恒成立,当 t ≠0即t ∈(0,23]时,a <7200 t +1000t−4800, 因为7200 t +1000t −4800 ≥2 √7200 t ×1000t −4800=2400 √5−4800当且仅当 7200 t =1000t , 即t =√56时等号成立, 所以, 在 0<a <2400 √5−4800时,r <E F 恒最立, 亦即爆炸波不会波及飞行的通行. 答: 当 0<a <2400 √5−4800时, 爆炸波不会波及飞行器的飞行.21. 【答案】(1)证明见解析；(2)(i)√34,(ii) 侧棱S C 上存在一点E , 当满足S E E C =2时,B E / /平面P A C .【解析】证明：(1) 连 B D , 设A C 交B D 于O , 由题意S O ⊥A C . 在正方形 A B C D 中, 有A C ⊥B D , 又S O ∩B D =O , ∴A C ⊥平面S B D , 得A C ⊥S D ;(2) ∵ S △S A P = 3 S △A P D ,∴P D S P =13, 则S P =34S D , (i) V S−A P C =34 V S−A D C =34 ∙13 S O ∙ S △A D C =34 ∙13 ∙√3 ∙12 ∙√2 ∙√2=√34.(ii) 侧棱 S C 上存在一点E , 当满足S EE C=2时,B E / /平面P A C .由 S △S A P = 3 S △A P D , 可得S P =3 P D 取点 F 为S D 的中点, 则点P 为F D 的中点, 又 O 为B D 的中点 所以在△B F D 中,B F / / O P . B F /⊂平面A C P,O P ⊂平面A C P ,则 B F / /平面A C P 过点F 作F E / / P C , 交S C 于点E , 连结B E 由 E F /⊂平面A C P,P C ⊂平面A C P , 则E F / /平面A C P 又 E F ∩B E =E , 所以平面B E F / /平面A C P 又 B E ⊂平面B E F , 则B E / /平面P A C . 由 F E / / P C , 则S E E C =S FF P, 由 S P =3 P D,F 为S D 的中点, 则S FF P=2, 所以S E E C =2 所以侧棱 S C 上存在一点E , 当满足S EE C=2时,B E / /平面P A C .22. 【答案】(1)椭圆 C 的方程即为 x 29+y 2=1; (2)存在点 T(3,0), 使得直线T M 与T N 斜率之积为定值−29, 此时t =3.【解析】解: 由题意得 a =3 b , 故椭圆C 为 x 2 9 b 2+ y 2b2=1, 又点 (1,2 √23)在C上, 所以1 9 b 2+8 9 b 2=1, 得 b 2= 1,a 2=9, 故椭圆 C 的方程即为 x 29+y 2=1;（2）解: 由已知知直线 l 过Q(1,0), 设l 的方程为x =m y +1,联立两个方程得 { x 29 +y 2=1 x =m y +1, 消去x 得:( m 2+9) y 2+2 m y −8=0,Δ=4 m 2+32( m 2+9)>0得m ∈R , 设 M ( x 1, y 1),N ( x 2, y 2), 则 y 1+ y 2=− 2 m m 2+9 ,y 1 y 2=−8m 2+9(∗), k T M ∙ k T N= y 1 x 1−t ∙ y 2 x 2−t = y 1 m y 1+1−t ∙ y 2 m y 2+1−t = y 1 y 2 m 2 y 1 y 2+m(1−t)( y 1+ y 2)+( 1−t)2, 将 (*) 代入上式, 可得:−8m 2+9m 2 ∙−8 m 2+9+m(1−t)(− 2 m m 2+9)+( 1−t)2=8( 9−t 2) m 2−9( 1−t)2, 要使 k T M ∙ k T N 为定值, 则有 9−t 2=0, 又∵t >0,∴t =3, 此时 k T M ∙ k T N =8−9 ×4=−29,∴存在点T(3,0), 使得直线T M 与T N 斜率之积为定值−29, 此时t =3.。

2023届四川省成都市第七中学高三下学期入学考试数学(理)试题(解析版)

2023届四川省成都市第七中学高三下学期入学考试数学(理)试题(解析版)

2023届四川省成都市第七中学高三下学期入学考试数学（理）试题一、单选题1．集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,4,5}S =，{2,3,4}T =，则()US T 等于 （ ）A ．{1,4,5,6}B ．{1,5}C ．{4}D ．{1,2,3,4,5} 【答案】B【分析】先计算出U T ，再由交集定义计算． 【详解】由题意{1,5,6}U T =所以(){}1,5US T =．故选： B【点睛】本题考查集合的综合运算，掌握并理解集合运算“交并补”是解题关键． 2．已知i 52i z ⋅=-，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【分析】先利用复数的四则运算求出z ，然后根据复数的几何意义判断即可. 【详解】由题意得()252i i52i 25i i i z --===--， 所以复数z 在复平面内对应的点为()2,5--，位于第三象限， 故选：C3．在手工课上，老师将蓝、黑、红、黄、绿5个纸环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是（ ）． A ．对立事件 B ．不可能事件 C ．互斥但不对立事件 D ．不是互斥事件【答案】C【分析】根据互斥事件和对立事件的概念求解即可.【详解】甲、乙不可能同时得到红色，故这两件事是互斥事件.又因为甲、乙可能都拿不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件， 所以这两件事不是对立事件.故选：C 4．函数4x xxy e e -=+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先判断函数的奇偶性排除B,D ，再根据f(1)排除C 得解. 【详解】由题得4()()xxxf x f x e e ---==-+，所以函数是奇函数，排除选项B,D.由题得14(1)0f e e -=>+，所以排除选项C. 故选A【点睛】本题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.5．若实数x ，y 满足约束条件2303204120x y x y x y +-≥⎧⎪--≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最小值为（ ）．A ．6B ．5C ．3D ．2【答案】D【分析】根据题意作出可行域，进而根据z 的几何意义求得答案.【详解】如图，作出不等式组对应的可行域，得三角形ABC ，当且仅当动直线y x z =-+经过点A 时，z 取得最小值，联立32012301x y x x y y --==⎧⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩，此时min 112z =+=．故选：D.6．函数()sin 2f x x =-在ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是（ ）A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增【答案】B【分析】整体法得到ππ2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，数形结合得到函数的单调性.【详解】ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则ππ2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，因为sin y z =-在ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，故()sin 2f x x =-在ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数.故选：B7．已知四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是矩形，SA ⊥底面ABCD ，其三视图如图所示，则二面角B SAC --的正弦值为（ ）A ．12 B ．1 C 25D 6【答案】C【分析】画出四棱锥S ABCD -的直观图,根据条件知BAC ∠为二面角B SA C --的平面角，再求其正弦值即可.【详解】由三视图得四棱锥S ABCD -的直观图如下图:SA ⊥底面ABCD ，AB ⊂底面ABCD ，AC ⊂底面ABCD ，故,,SA AB SA AC ⊥⊥又面SAB面SAC SA =，故BAC ∠为二面角B SA C --的平面角，由题意知:1,2AB BC == ， 在Rt ABC △中, 22225sin 521BC BAC AC ∠===+， 二面角B SA C --的正弦值为255， 故选:C8．某保险公司为客户定制了A ，B ，C ，D ，E 共5个险种，并对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：用该样本估计总体，以下四个说法错误的是（ ）． A ．57周岁以上参保人数最少 B ．18～30周岁人群参保总费用最少 C ．C 险种更受参保人青睐D ．31周岁以上的人群约占参保人群80％ 【答案】B【分析】根据扇形图、散点图、频率图对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A 选项，57周岁以上参保人数所占比例是10%，是最少的，A 选项正确. B 选项，“18～30周岁人群参保平均费用”比“57周岁以上人群参保平均费用”的一半还多，而18～30周岁人群参保人数所占比例是57周岁以上参保人数所占比例的两倍， 所以57周岁以上参保人群参保总费用最少，B 选项错误. C 选项，C 险种参保比例0.358，是最多的，所以C 选项正确.D 选项，31周岁以上的人群约占参保人群30%40%10%80%++=，D 选项正确. 故选：B9．已知数列{}n a 中，()25e nn a n n =-（e 为自然对数的底数），当其前n S 项和最小时，n 是（ ）A ．4B ．5C ．5或6D ．4或5【答案】D【分析】根据已知分析数列{}n a 中当5n ≤时，0n a ≤，且50a =，即可根据数列前n 项和的定义得出答案.【详解】e 0n >，25n n -在5n ≤时，250n n -≤，且5n =时，250n n -=， 则数列{}n a 中当5n ≤时，0n a ≤，且50a =， 123n n S a a a a =++++，则当其前n S 项和最小时，n 是4或5， 故选：D.10．已知函数()[]4ln 33f x x x =-+，其中[]x 表示不大于x 的最大整数（如[]1.61=，[]2.13-=-），则函数()f x 的零点个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据题意将函数()f x 的零点问题转化为4ln 3y x =与[]1y x =-的交点问题，有图形可得当05x <<时，()f x 有3个零点，再根据当5x ≥时，则()4ln 36f x x x ≤-+，结合导数证明当5x ≥时，()f x 无零点，即可得结果.【详解】令()[]4ln 330f x x x =-+=，则[]4ln 13x x =-，故函数()f x 的零点问题转化为4ln 3y x =与[]1y x =-的交点问题，且3e 16>，即34e 2>，如图所示：由图可得；当05x <<时，4ln 3y x =与[]1y x =-有3个交点，即当05x <<时，()f x 有3个零点；当5x ≥时，则()[]()4ln 334ln 3134ln 36f x x x x x x x =-+≤--+=-+， 构建()()4ln 365g x x x x =-+≥，则()430xg x x-'=<当[)5,x ∈+∞上恒成立， 则()g x 当[)5,+∞上单调递增，故()()962554ln 59ln0e g g x ≤=-=<， 可得：当5x ≥时，则()()0f x g x ≤<，即当5x ≥时，()f x 无零点； 综上所述：函数()f x 有3个零点. 故选：C.11．过椭圆C ：2cos 3x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）的右焦点F 作直线l ：交C 于M ，N 两点，MF m =，NF n =，则11m n+的值为 A ．23B ．43C ．83D ．不能确定【答案】B【分析】消去参数得到椭圆的普通方程，求得焦点坐标，写出直线l 的参数方程，代入椭圆的普通方程，写出韦达定理，由此求得11m n+的值. 【详解】消去参数得到椭圆的普通方程为22143x y +=，故焦点()1,0F ，设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），代入椭圆方程并化简得()223sin 6cos 90t t αα++⋅-=.故1212226cos 9,03sin 3sin t t t t ααα+=-⋅=-<++（12,t t 异号）.故11m n m n mn ++=()212121212124t t t t t t t t t t +--==⋅⋅43.故选B.【点睛】本小题主要考查椭圆的参数方程化为普通方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查利用直线参数的几何意义解题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.12．关于x 方程()(log 0,1m x k m m =>≠的两个根为a ，b ，且2a b a <<，则以下结论正确的个数是（ ）（11a <<；（2）2a b <+<；（3）()1log 11a bb a a a ++-<-；（4）()()1441b a a b +++<+． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C【分析】根据题意结合对数分析可得01a b <<<，且1b a =，对（1）：解不等式12b a a=<即可得结果；对（2）：由1a b a a+=+，根据1y x x =+的单调性分析运算即可；对（3）：()()11log 11log 1log a b a b b b b a a a a a b a +++-<-⇔+-<-，构建()log x b g x x a =-，结合()g x 的单调性分析判断；对（4）()()()()14ln 4ln 11414b a a b a b a b +++<++++⇔+<，构建()ln xh x x =，结合()h x 的单调性分析判断.【详解】由题意可得：log log m m a b k ==，则log log log 0m m m a b ab +==，故1ab =， ∵a b <，故01a b <<<，且1b a=，对（1）：由2b a <，即12a a <，解得a >a <∵01a <<(11,a b a<<=∈，（1）正确；对（2）：∵1a b a a +=+，且1y x x =+在⎫⎪⎪⎝⎭上单调递减，∴2a b <+<，（2）正确；对（3）：构建()11f x x x =-+，则()f x 在⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增，故()10f x f >=>⎝⎭， 可得110a a-+>，即11a b a +>=，∵()()1log 11log 1log a b b b b a a b a a ++-=+-<-，等价于()1log 1log a b b b a a b a ++-<-，构建()log xb g x x a =-，1a b <<，则()g x 在定义域内单调递增， ∴()()1g a g b +>，即()1log 1log a b b b a ab a ++->-，C 错误；对（4）：由（1）得(44,12,1a b ⎛⎫+∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭，且41a b +>+，由()()1441b a a b +++<+，等价于()()()()44ln n 11l a b a b +<+++，等价于()()ln 44l 11n a a b b ++<++， 构建()ln x h x x=，则()21ln xh x x -'=，令()0h x '>，则0e x <<，故()h x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，且()()(ln 2ln 424124h h h ===<，∴()()()24h x h h >=在(2,1上恒成立，即()()1n 4l 1h b b >++，又∵()h x 在()e,+∞上单调递减，则()()442h h h x ⎛>+> ⎝⎭在4⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上恒成立，即()()4ln 44a h a +>+，故()()ln 44l 11n a a b b ++<++，（4）正确.故选：C.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数h (x )；（3）利用导数研究h (x )的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．二、填空题13．已知向量()1,3a =，()3,4b =，若()()ma b a b -⊥+，则实数m =__________．【答案】85【分析】首先求出ma b a b -+,的坐标，然后根据向量垂直的坐标表示建立方程求解. 【详解】由题意得()()4,7,3,34a b ma b m m +=-=--， 因为()()ma b a b -⊥+，所以()()437340m m -+-=，解得85m =. 故答案为：85.14．()62x +展开式中含3x 项二项式系数为__________．【答案】20【分析】根据二项式系数的定义运算求解.【详解】()62x +展开式中含3x 项二项式系数为36C 20=.故答案为：20.15．已知二次函数()f x 满足条件：（1）()f x 的图象关于y 轴对称；（2）曲线()y f x =在1x =处的导数为4，则()f x 的解析式可以是__________．【答案】()221f x x =+（答案不唯一）【分析】取()221f x x =+，确定函数为偶函数，()4f x x '=，()14f '=，满足条件，得到答案.【详解】取()221f x x =+，则()()221f x x f x -=+=，函数为偶函数，关于y 轴对称；()4f x x '=，()14f '=，满足条件.故答案为：()221f x x =+（答案不唯一）16．已知函数π2sin (0)6y x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移π02φφ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位，可得到函数sin 2cos 2y x a x =-的图像，则φ =___________.【答案】π4【分析】根据平移后的解析式利用三角恒等变换确定2,3a ω==3a =3a =根据平移后的解析式结合π02φ<<，即可求得φ的值. 【详解】解：函数π2sin (0)6y x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移φ个单位得到函数()ππ2sin 2sin 66y x x ωφωωφ⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，即函数sin 2cos 2y x a x =-又函数()2sin 2cos 212y x a x a x ϕ=-+-， 所以2212a ω⎧⎪=+⎨=⎪⎩3,2a ω==.当3a =13ππsin 2322sin 222sin 22sin 22236y x x x x x x φ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则ππ22π,Z 63k k φ-+=-+∈，所以ππ,Z 4k k φ=+∈，又π02φ<<，所以π4φ=；当3a =13ππsin 2322sin 222sin 22sin 22236y x x x x x x φ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则ππ22π,Z 63k k φ-+=+∈，所以ππ,Z 12k k φ=-+∈，又π02φ<<，所以无解；综上，π4φ=. 故答案为：π4.三、解答题17．已知等差数列{n a }的前三项和为15，等比数列{n b }的前三项积为64，且112a b ==. (1)求{n a }和{n b }的通项公式;(2)设,n n a n c n ⎧⎪=为奇数为偶数，求数列{n c }的前20项和.【答案】(1)31n a n =-，2nn b =(2)2336【分析】（1）根据等差，等比数列的性质，分别求公差和公比，即可求得通项公式； （2）根据（1）的结果求数列{}n c 的通项公式，再利用分组求和法，求数列{}n c 的前20项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 由条件可知，1232315a a a a ++==，得25a =，213d a a =-=， 所以()21331n a n n =+-⨯=-，等比数列中，2123364b b b b ==，则24b =，212b q b ==， 所以1222n nn b -=⋅=；（2）231,2,nn n n c n -⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数, 对数列{}31,n n -为奇数时，()()321316n n +---=， 所以数列{}n c 的奇数项是首项为2，公差为6的等差数列，对数列22,n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为偶数，222222n n +=， 所以数列{}n c 的偶数项是首项为2，公比为2的等比数列，所以数列{}n c 的前20项和为：()()1232013192420.........c c c c c c c c c c ++++=+++++++()()101111212102562902222882336212-+=+=+-=+=-.18．随着人民生活水平的不断提高，“衣食住行”愈发被人们所重视，其中对饮食的要求也愈来愈高．某地区为了解当地餐饮情况，随机抽取了100人对该地区的餐饮情况进行了问卷调查．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图）解决下列问题．组别 分组频数 频率 第1组[)50,60 140.14第2组[)60,70 m第3组 [)70,80 36 0.36第4组 [)80,900.16第5组 [)90,1004 n合计(1)求m ，n ，x ，y 的值；(2)若将满意度在80分以上的人群称为“美食客”，将频率视为概率，用样本估计总体，从该地区中随机抽取3人，记其中“美食客”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 【答案】(1)30m =，0.04n =，0.03x =，0.004y =(2)分布列见解析，数学期望为35【分析】（1）根据频率分布表和频率分布直方图的定义列式求解即可.（2）ξ服从二项分布，即可根据公式求二项分布概率公式及期望公式求得结果. 【详解】（1）由题意可得第四组的人数为1000.1616⨯=， 所以100143616430m =----=，40.04100n ==， 又[)60,70内的频率为300.3100=，所以0.30.0310x ==， [)90,100内的频率为0.04，所以0.040.00410y ==．（2）由频率分布表可得该地区抽取“美食客”的概率为0.160.040.2+=， 由题意ξ可取0，1，2，3，且13,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭， 所以()030314640C 55125P ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()121314481C 55125P ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()212314122C 55125P ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331413C 55125P ξ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以ξ的分布列为：ξ0 12 3P 64125 48125121251125()13355E ξ=⨯=．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中AD BC ，AD BA ⊥，3AD =，2AB BC ==，PA ⊥平面ABCD ，且3PA =，点M 在棱PD 上（不包括端点），点N 为BC 中点．(1)若2DM MP =，求证：直线MN 平面P AB ；(2)求二面角N PC D --的余弦值． 【答案】(1)证明见解析(2)71339-【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明 （2）建系，利用空间向量求二面角.【详解】（1）取P A 的点Q ，满足2=AQ PQ ，连接MQ ，QB ，因为2DM MP =，所以MQ AD 且113QM AD ==， 又因为BC AD ，且2BC =，点N 为BC 中点，即BN AD ，且1BN =，所以MQBN 且BN MQ =，则四边形MQBN 为平行四边形，则MN BQ ∥，MN ⊄平面P AB ，BQ ⊂平面P AB ， 所以直线MN平面P AB ．（2）如图所示，以点A 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴，以AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,3,0D ，()0,0,3P ， 又N 为BC 的中点，则()2,1,0N ，所以()0,3,3PD =-，()2,1,0CD =-，()2,1,3PN =-，()2,2,3PC =-， 设平面CPD 的法向量为()1,,n x y z =，则1120330n CD x y n PD y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1x =，则()11,2,2n =，设平面CPN 的法向量为()2,,n a b c =，则222230230n PC a b c n PN a b c ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令3a =，则()23,0,2n =，所以121212cos ,1n n n n n n ⋅===+ 由题意可得：二面角N PC D --的平面为钝角，故其余弦值为 20．椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为12，右顶点为A ，设点O 为坐标原点，点B 为椭圆E 上异于左、右顶点的动点，OAB (1)求椭圆E 的标准方程；(2)设直线:l x t =交x 轴于点P ，其中t a >，直线PB 交椭圆E 于另一点C ，直线BA 和CA 分别交直线l 于点M 和N ，若O 、A、M 、N 四点共圆，求t 的值． 【答案】(1)22143x y += (2)6【分析】（1）由离心率为12可得b =，又OAB 面积的最大值为12ab =得答案；（2）设直线BC 方程为x my t =+，与椭圆方程联立，由韦达定理可得21212226312,3434mt t y y y y m m -+=-=++，又11(2)2M y t y x -=-，22(2)2N y t y x -=-，当O 、A 、M 、N 四点共圆，由相交弦定理可得PA PO PM PN ⋅=⋅，即(2)M N t t y y -=，根据韦达定理化简可得()()21212(2)3(2)(2)224M N y y t y y t t x x -==+---，从而即可求解.【详解】（1）解：由题意，设椭圆半焦距为c ，则12c a =，即2222114c b a a =-=，得b =，设()1111,,2OAB B x y S a y =，由1y b ≤，所以OAB S的最大值为12ab，将b=代入12ab =2=2,a b ==， 所以椭圆的标准方程为22143x y +=； （2）解：设()22,C x y ，因为点B 为椭圆E 上异于左、右顶点的动点，则直线BC 不与x 轴重合，设直线BC 方程为x my t =+，与椭圆方程联立得()2223463120m y mty t +++-=，()()222236123440m t m t ∆=-+->，可得2234t m <+，由韦达定理可得21212226312,3434mt t y y y y m m -+=-=++，直线BA 的方程为11(2)2y y x x =--，令x t =得点M 纵坐标11(2)2M y t y x -=-，同理可得点N 纵坐标22(2)2N y t y x -=-，当O 、A 、M 、N 四点共圆，由相交弦定理可得PA PO PM PN =⋅，即(2)M N t t y y -=，()()()()()2221212122212121212(2)(2)(2)2222(2)(2)M N y y t y y t y y t y y x x my t my t m y y m t y y t ---===--+-+-+-++-()()()222222234(2)346(2)34(2)t t m t m t t m t --=---++-()22223(2)(2)3(2)634(2)t t m t m t m t +-=+-++-23(2)(2)3(2)(2)4(2)4t t t t t +-==+--，由2t >，故3(2)(2)(2)4t t t t -=+-，解得6t =．21．已知函数()12e x f x x -=． (1)求函数()f x 的单调区间； (2)求函数()()1f x h x x =+的最小值； (3)若函数()f x 的图象与直线y m =有两个不同的交点()11,A x y 、()22,B x y ，证明：14129e 4e 2AB m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤．【答案】(1)单调递减区间是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)e2(3)证明见解析【分析】（1）根据函数解析式可得定义域为()0,∞+，利用导函数即可判断函数()f x 的单调性得出其单调区间；（2）对函数()h x 求导判断出其单调性即可得()h x 的最小值为()e12h =； （3）通过观察需要证明的不等式特征结合（1）（2）中的结论可知，函数()f x 的图象在两条切线2e e2y x =+和1144e 2e 52y x =-+的上方，即可得出AB 的距离小于等于y m =被两切线截得的线段长.【详解】（1）由函数()12e x xf x x-==可得定义域为()0,∞+，()2e 1x x f x -'=令()0f x '=可得12x =， 当102x <<，()0f x '<，即()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减； 当12x >，0f x，即()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增；所以，函数()f x 的单调递减区间是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（2）由题意得()121e x x h x x -=+，其定义域为()0,∞+，()x h x ' 当()0,1x ∈，()0h x '<，即()h x 在()0,1x ∈上单调递减， 当()1,x ∈+∞，()0h x '>，即()h x 在()1,x ∈+∞单调递增； 所以()()min 2e 1h x h ==，即()h x 的最小值是e2．（3）由（2）可知122e e1x x x -≥+，即122e e e 2x x x -≥+，直线2e e 2y x =+为函数()f x 的一条切线，()2e 1x xf x -'14x =，14124e f ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，1414e 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以()f x 在14x =处的切线方程1144e 1224e y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即1144e 2e 52y x =-+（下面证明此切线在函数()f x 图像下方）令()111244522e e e x m x x x -=+-，()142e xm x '+， 又令()14e212e x x x ϕ-=，()()5221443e 04x x xxx ϕ-'=-+>恒成立，则()m x '为单调递增函数，又104m ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，当14x <时，()104m x m ⎛⎫''= ⎪⎝⎭<，此时()m x 单调递减，当14x >，()104m x m ⎛⎫''= ⎪⎝⎭>，此时()m x 单调递增，所以()104m x m ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，所以函数()f x 图像夹在直线1144e 2e 52y x =-+和直线2e e2y x =+之间，直线y m =与直线1144e 2e 52y x =-+的交点为145,2e 4m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与直线2e e 2y x =+的交点为21,e m m ⎛⎫-⎪⎝⎭， 不妨设12x x <，则114412251291e 4e 42e e 2m m AB x x m ⎛⎫=-≤--+=+- ⎪⎝⎭． 【点睛】关键点点睛：在证明不等式14129e 4e 2AB m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤时，关键是利用前两问的结论得出函数()f x 的图象夹在两条切线之间，并找出对应的切线方程即可证明结论.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2(cos sin )ρθθ=-． (1)求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程； (2)设曲线1C 与曲线2C 交于P 、Q 两点，求||||OP OQ ⋅的值． 【答案】(1)曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 1ρθθ+=； 即曲线2C 的直角坐标方程为22220x y x y +-+= (2)2【分析】（1）通过消参求得曲线1C 的普通方程，再将普通方程转化为极坐标方程，将曲线2C 的极坐标方程转化为直角坐标方程； (2)利用极径的几何意义求解.【详解】（1）∵12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,则1x y +=， ∵cos sin x y ρθρθ==，，曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 1ρθθ+=； 由2(cos sin )ρθθ=-，得2222x y x y +=-，即曲线2C 的直角坐标方程为22220x y x y +-+=. （2）由2(cos sin )ρθθ=-得 cos sin 2ρθθ-=， ①由()cos sin 1ρθθ+=得1cos sin θθρ+=，②22+①②可得22124p ρ+=， 即42840p ρ-+=设P ，Q 两点所对应的极径分别为12,ρρ， 则()2124ρρ⋅=， ∴12||||2OP OQ ρρ⋅=⋅=.23．已知函数()2123f x x x =+-+. (1)求()f x 的最大值m ;(2)若正数,,a b c 满足abc m =，证明: 111a b c++【答案】(1)1 (2)证明见解析.【分析】（1）由题知()31,2345,121,1x f x x x x ⎧<-⎪⎪⎪=---≤≤-⎨⎪->-⎪⎪⎩，再求解最大值即可；（2）根据基本不等式证明即可.【详解】（1）解：当32x <-时，()322223112f x x x x x =+-+=++--=；当312x -≤≤-时，()2223452123f x x x x x x =----+=-=--+； 当1x >-时，()322223112f x x x x x =+-=+--=-+，所以()31,23212345,121,1x f x x x x x x ⎧<-⎪⎪⎪=+-+=---≤≤-⎨⎪->-⎪⎪⎩因为当312x -≤≤-时，函数()f x 单调递减，32x <-或1x >-时，函数为常函数， 所以，函数()f x 的最大值为1，即1m =（2）解：因为11a b +≥11b c +≥11a c +≥所以111a b c ++≥因为，由（1）知1m =，即1abc =，===所以，111a b c++≥a b c ==时等号成立，所以111a b c++.。

2024届成都市七中高三数学(理)下学期入学考试卷附答案解析

2024届成都市七中高三数学(理)下学期入学考试卷附答案解析

2024届成都市七中高三数学（理）下学期入学考试卷2024.02考试时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2Z 2150A x x x =∈--<，{}R 10B x x =∈-≤，则()A B Rð的真子集的个数为（）A．9B．8C．7D．62．若函数()21f x x ax =++是定义在(,22)b b --上的偶函数，则2b f ⎛⎫=⎪⎝⎭（）A．14B．54C．74D．23．已知复数z 满足1i 1i z -=+，则z z +=（）A．i -B．i C．1D．1-4．已知()()()()626012621111x a a x a x a x -=+-+-++- ，则2a =（）A．60-B．30-C．30D．605．已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()23341S a =+，()24441S a =+．则（）A．1020a =B．550S =C．5758a S +=D．2nna S ≥6．已知π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4417sin cos 25θθ+=，则πtan 4θ⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A．13B．12C．2D．37．对于数列{}n a ，若满足：12321111333n n n nR a a a a -=+++⋅⋅⋅+，则称n R 为数列{}n a 的“优值”，现已知数列{}n a 的“优值”13n n R =，记数列83na ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则n S 的最大值为（）A．223B．233C．243D．2538．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(1)(2)2C x y ++-=，若圆22:()(1)2D x a y -+-=上存在点P，由点P 向圆C 引一条切线，切点为M，且满足|||PM PO =，则实数a 的取值范围为（）A．[1]B．[4,2]-C．[3,3]-D．[2,4]-9．设函数π()2sin(),(0),6f x x ωω=+>若存在12ππ,[,],33x x ω∈-且12x x ≠，使得()()121f x f x ==，则ω的取值范围是（）A．[)4,∞+B．(]4,6C．[)6,∞+D．(]6,1010．在四面体ABCD中，AB =1AD BC CD ===，2πBAD ABC ∠==∠，则该四面体的外接球表面积为（）A．7π2B．7πC．8πD．10π11．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字中任意取出三个不同的数，若这三个数的和为不小于9的奇数，则不同的取法有（）种.A．54B．53C．47D．4612．定义在R 上的可导函数()f x 满足()()e e x x x f x f x x --=+，当0x <时，1()0e x xf x -'+>，若实数a 满足222(2)(2)2e e 2e 0a a a f a f a a a ------+-++≤，则a 的取值范围为（）A．2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．[2,)+∞C．2,[2,)3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D．(,2]-∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若双曲线2221(0)y x b b -=>的一条渐近线与直线240x y +-=平行，则双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为．14．在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，点E ∈平面11ABB A ，点F 是线段1AA 的中点，若1D E CF ⊥，则当EBC 的面积取得最小值时，1D E =．15．设数列{}n a 满足11a =，22a =，()*21,N 2,n n n a n a n a n ++⎧=∈⎨⎩为奇数为偶数，令()22221πlog sin 2n n n b a a -⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭，则数列{}n b的前100项和为．16．已知函数()21ln ,04,0x x f x xx x x ⎧+>⎪=⎨⎪--+≤⎩，()g x x a =-+，若函数()()()F x f x g x =-有三个零点123,,x x x ，则123x x x ⋅⋅的取值范围是.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．2023年12月25日，由科技日报社主办，部分两院院士和媒体人共同评选出的2023年国内十大科技新闻揭晓.某高校一学生社团随机调查了本校100名学生对这十大科技的了解情况，按照性别和了解情况分组，得到如下列联表：不太了解比较了解合计男生204060女生202040合计4060100(1)判断是否有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异；(2)若把这100名学生按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中女生数为X ，求X 的分布列及()E X .附：①()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++；②当23.841χ>时有95%的把握认为两变量有关联.18．在锐角ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c sin Ca b =+．(1)求B 的值；(2)若2b =，求ABC 面积的取值范围．19．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形，且11,.2BD CD BD CD DE ==⊥⊥平面ABCD ，且12DE BF DE== BF .点,H G 分别为线段,DC EF 上的动点，满足(02)DH EG λλ==<<.(1)证明：直线GH 平面BCF ；(2)是否存在λ，使得直线GH 与平面AEF 所成角的正弦值为4214？请说明理由.20．设点P 是椭圆221:14x C y +=上任意一点，过点P 作椭圆的切线，与椭圆()22222:114x y C t t t +=>交于A B ，两点.(1)求证：PA PB=;(2)OAB 的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.21．设函数()()2e axf x x =-．(1)若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为30y x b -+=，求a，b 的值；(2)若当0x >时，恒有()2f x x >--，求实数a 的取值范围；(3)设*n ∈N 时，求证：()()2222223521ln 112231n n n n +++⋅⋅⋅+<+++++．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选一题作答．如果多选，则按所做的第一题记分．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为()sin cos 3ρθθ+=．(1)写出曲线1C 的极坐标方程，曲线2C 的直角坐标方程；(2)曲线1C 与曲线2C ，如有公共点，求出公共点坐标；如无公共点，设,A B 分别为曲线1C 与曲线2C 上的动点，求线段AB的最小值．【选修4-5：不等式选讲】23．已知函数()223f x x x =--．(1)求不等式()5f x ≥的解集；(2)设函数()()12g x f x x =+++的最小值为m ，若0,0a b >>且2a b m +=，求证：2242a b +≥．【分析】解不等式求出集合A，求出集合B 的补集，即可确定()A B R ð的元素，根据元素的个数，即可求得()A B R ð的真子集的个数.【详解】由题意{}{}2Z 2150Z (3)(5)0A x x x x x x =∈--<=∈+-<{}Z 35{2,1,0,1,2,3,4}x x =∈-<<=--，{}R 10{|1}B x x x x =∈-≤=≤，故R {|1}B x x =>ð，故{2,3,()4}A B =R ð，则()A B R ð的真子集的个数为3217-=，故选：C 2．D【分析】利用偶函数的定义可计算,a b 的值，再根据解析式计算函数值即可.【详解】因为函数2()1=++f x x ax 是定义在(,22)b b --上的偶函数，所以220b b -+-=且()()2211f x x ax x ax f x -=-+=++=，则02a b =⎧⎨=⎩，所以2()1f x x =+，则2(1)1122b f f ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.故选：D．3．C【分析】利用复数的四则运算求出复数z 即可得出答案.【详解】由题意，复数z 满足1i 1i z -=+，可得()()11i 11i i i 1i 1i 1i 22z -=+=+=+++-，所以1122z i=-．则z z +=1，故选：C．4．D【分析】设1t x =-，则1x t =+，变换()()662121x t -=+，利用二项式定理计算得到答案.【详解】设1t x =-，则1x t =+，所以()()662601262121x t a a t a t a t-=+=++++ ．()621t +的展开式的通项()666166C 21C 2rr r r r r r T t t ---+=⨯=，取4r =得4226C 260a =⨯=．故选：D．【分析】由等差数列,n na S 的关系结合已知等式化简，可得2d =，结合()23341S a =+，求出首项，即可得等差数列的通项公式以及前n 项和公式，由此一一判断各选项，即可得解.【详解】设正项等差数列{}n a 的公差为d，因为()23341S a =+，()24441S a =+，所以两式相减得()()22443411a a a =+-+，可得()4434a a a =-()432a a ++，即()143a d d +=()1252a d ++，所以()()12250d a d -+=，因为{}n a 是正项等差数列，则0,0n a d >≥，则1250a d +>，所以2d =，由()23341S a +＝，得()212314()21a a a a d ++=++，得()2114(33)21a d a d +=++，即()2114(36)5a a +=+，所以11a =，所以21n a n =-，2(121)2n n n S n +-==，得1019a =，525S =，A，B 错误；5794958a S +=+=，C 正确；22211111n n a n S n n -⎛⎫==--+≤ ⎪⎝⎭，D 错误，故选：C.6．D【分析】由同角三角函数的基本关系可得出关于sin θ、cos θ的方程组，解出这两个量的值，可得出tan θ的值，再利用两角和的正切公式可求得πtan 4θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【详解】由已知可得442217sin cos 25sin cos 120sin 22cos 12θθθθθθ⎧+=⎪⎪+=⎪⎪⎨<<⎪<<⎩，解得sin cos θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以，sin 1tan cos 52θθθ===，故π1tan tan1π42tan 3π141tan tan 1142θθθ++⎛⎫+== ⎪⎝⎭--⨯.故选：D.7．D【分析】将1231221111133333n n n n n n a a a a a ---=+++⋅⋅⋅++中的n 变为n 1-后两式相减可得数列{}n a 的通项公式，然后令830n a +>即可求出n S 的最大值.【详解】由已知得1231221111133333n n nn n n a a a a a ---=+++⋅⋅⋅++①，则当2n ≥时，123112211113333n n n n a a a a ----=+++⋅⋅⋅+②所以①-②得1111333n n n n n n a ----=，即()21133n n a n n =--=-+，又当1n =时，113a =，符合213n a n =-+，故213n a n =-+，所以2113383n a n ++=-令21103833n a n =+-+>，得5n ≤，所以n S 的最大值为513525323S ⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭==.故选：D.8．D【分析】根据PM PO=可求出点P 的轨迹方程，根据点P 的轨迹与圆D 有交点列出不等式求解.【详解】设点P 的坐标为(),x y，如图所示：由PM 可知：222PM PO=，而222PM PC CM=-，∴2222PC CM PO-=∴()()()22221222x y x y ++--=+，整理得222430xy x y +-+-=，即()()22128x y -++=.∴点P 的轨迹为以点()1,2E -为圆心，P 在圆D 上，∴所以点P 为圆D 与圆E 的交点，即要想满足题意，只要让圆D 和圆E ≤≤解得24a -≤≤.故选：D 9．A【分析】根据题意，需将π6x ω+看成整体角X ，由x 范围ππ[,],33ω-求得X 范围πππ[,]362ω-+，结合函数2sin y X =的图象，求得使1sin 2X =的两个解，由题只需使π7π66x ω+≤-即可，计算即得.【详解】不妨取π6X x ω=+，由ππ[,]33x ω∈-可得：ππππ[,]6362X x ωω=+∈-+，由2sin 1X =可得1sin 2X =，由图可取12π7π,,66X X ==-要使存在12ππ,[,],33x x ω∈-且12x x ≠，使得()()121f x f x ==，需使，ππ7π366ω-+≤-，解得4ω≥.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题主要考查与正弦型函数图象有关的等高线问题.解决的关键在于将π6x ω+看成整体角，作出正弦函数的图象，结合求得的整体角的范围求得最近的符合要求的角，从而界定参数范围.10．B【分析】根据题设条件作出四面体的高DH ，通过相关条件推理计算分别求出,AH DH ，最后在直角梯形HEOD ，利用勾股定理列出方程即可求得外接球半径.【详解】如图，作DH ⊥平面ABC ，连接,,AH HB HC ，易得,DH AB ⊥因AB AD ⊥，,,AD DH D AD DH ⋂=⊂平面DAH ，所以AB ⊥平面DAH ，AH ⊂平面DAH ，故AB AH ⊥,由题可得30BAC ∠=，2AC =，则120HAC ∠= .不妨设,AH x DH h ==，则有221x h +=①，在HAC △中，由余弦定理，222422cos12024HC x x x x =+-⨯=++ ，在HDC △中，22246h x x +++=②，将两式相减化简即得：12x =，h =.取线段AC 中点E ，过点E 作OE ⊥平面ABC ，其中点O 为外接球的球心，设外接球半径为R ，由余弦定理求得211712cos120424HE =+-⨯= ，在直角梯形HEOD 中，221OE R =-，由2237)24R =-+计算可得：274R =，则该四面体的外接球表面积为7π.故选：B.【点睛】方法点睛：本题主要考查四面体的外接球的表面积，属于中档题.求解多面体的外接球的主要方法有：（1）构造模型法:即寻找适合题意的长方体，正方体，圆柱等几何体，借助于这些几何体迅速求得外接球半径；（2）建立直角梯形或直角三角形法：即先找到底面多边形的外心，作出外接球球心，借助于题设中的条件得到多面体的高，构成直角梯形或直角三角形来求解.11．B【分析】将10个数分为2组，一组为奇数：1､3､5､7､9，一组为偶数：0、2､4､6､8，然后分2种情况讨论：①取出的3个数全部为奇数，②取出的3个数有1个奇数，2个偶数，再由加法原理计算可得答案.【详解】根据题意，将10个数分为2组，一组为奇数：1､3､5､7､9，一组为偶数0、2､4､6､8，若取出的3个数和为奇数，分2种情况讨论：①取出的3个数全部为奇数，有25C 10=种情况，都符合题意，②取出的3个数有1个奇数，2个偶数，若奇数取9，有25C 10=种情况；若奇数取7，有25C 10=种情况；若奇数取5，有25C 19-=种情况；若奇数取3，有25C 28-=种情况；若奇数取1，有25C 46-=种情况；综上，三个数的和为不小于9的奇数，不同的取法有10101098653+++++=种.故选：B.12．C【分析】根据已知条件构造函数()g x ，利用偶函数的定义及导数的正负与函数的单调性的关系，结合偶函数的性质及函数的单调性即可求解.【详解】由()()e e x xxf x f x x --=+，得()()e e x x x x f x f x ---=--.令()()e xxg x f x =-，则()()g x g x =-，即()g x 为偶函数.当0x <时，1()()0e x x g x f x -''=+>，所以()g x 在(),0∞-上单调递增；所以()g x 在()0,∞+上单调递减.由()()222222e e 2e 0a a a f a f a a a ------+-++≤，得()()222222e e a a a a f a f a +≤+-+-，即()()22g a g a ≤+.又()g x 为偶函数，所以()()22g a g a ≤+，因为()g x 在()0,∞+上单调递减，所以22a a ≥+，即22444a a a ≥++，解得23a ≤-，或2a ≥，所以a 的取值范围为2,[2,)3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.故选：C.【点睛】关键点睛：解决此题的关键是构造函数()g x ，利用偶函数定义和导数法求出函数的单调性，再利用偶函数和单调性即可解决抽象不等式.13．12##0.5【分析】根据已知条件求得b ，再求焦点到渐近线距离即可.【详解】根据题意可得12b -=-，故可得12b =，则c =，则右焦点坐标为,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，一条渐近线为12y x =，右焦点到一条渐近线的距离12d ==.故答案为：12.14．322【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，设(2,,)E y z ，根据1D E CF⊥，结合数量积运算，求得22z y =-，进而表示出EBC 的面积，结合面积有最小值即可求得,z y ，即可求得答案.【详解】以点D 为坐标原点，以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，则1(0,2,0),(2,2,0),(2,0,1),(0,0,2)C B FD ，设(2,,)E y z ，则()12,2,1,(2,,2)CF D E y z =-=-，因为1D E CF ⊥，故14220D E CF y z ⋅=-+-=，即22z y =-，由于BC ⊥平面11ABB A ，EB ⊂平面11ABB A ，故BC EB ⊥，所以EBC 的面积为222BE BC BE S BE ⋅⨯===，而BE ===故S =65y =时，25128y y -+取最小值，即S 最小，此时62,55y z ==，则1682,,55D E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，故1D E ==，即1D E =，故答案为：【点睛】方法点睛：由于是在正方体中求解线段的长，因此可以建立空间直角坐标系，根据空间向量的数量积运算结合EBC 面积最小，求出参数，即E 点的坐标，从而解决问题.15．5000-【分析】根据给定的递推公式，求出数列{}n a 的通项公式，进而求出n b ，再利用分组求和法求解即得.【详解】数列{}n a 满足11a =，22a =，()*21,N 2,n n n a n a n a n ++⎧=∈⎨⎩为奇数为偶数，∴数列{}21n a -是以1为首项，1为公差的等差数列，即21n a n -=，数列{}2n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，即22n n a =，因此()222ππlog 2sinsin22nn n n b n =⋅=，显然πsin 2n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的周期为4，则4342414k k k kb b b b ---+++()()()()()()()222243π42π41π4π43sin42sin41sin4sin2222k k k k k k k k ---=-+-+-+()()()224341821k k k =---=--，令4342414n n n n n c b b b b ---+++=，则有()821n c n =--，()()1821182116n n c c n n +⎡⎤⎡⎤=-+----=-⎣⎣⎦-⎦，∴数列{}n c 是等差数列，数列{}n b 的前100项和，即数列{}n c 的前25项和()()2588122550002⎡⎤⨯-+-⨯⎣⎦=-.故答案为：5000-.16．(⎤⎦【分析】由题意首先得(]2,4a ∈，212233222321111124ln ln ln 41a x x x x x x x x x x <=-+=-++=++=++≤，进一步有231x x =，由此即可顺利得解.【详解】由题意设()()h x f x x=+，则函数()()()F x f x g x =-的零点即为方程()h x a=的根，在同一平面直角坐标系中分别画出函数()h x 的图象以及直线y a =如图所示：若函数()()()F x f x g x =-有三个零点123,,x x x ，（不妨设为123x x x <<），则方程()h x a=的根有三个根123,,x x x ，且12301x x x ≤<<<，所以(]2,4a ∈，且212233222321111124ln ln ln 41a x x x x x x x x x x <=-+=-++=++=++≤，因为1ln y x x x =++在()1,∞+单调递增，所以321x x =，即231x x =，所以1231x x x x ⋅⋅=，令224a x ==-+，0x ≤，解得2x =-244a x ==-+，0x ≤，解得0x =，所以(12312,0x x x x ⎤⋅⋅=∈⎦.故答案为：(2,0⎤⎦.【点睛】关键点睛：关键是根据函数单调性得到231x x =，由此即可顺利得解.17．(1)没有(2)分布列见解析，()45E X =【分析】（1）根据题意和公式求出2χ，然后根据附②即可得出结论；（2）由题得出X 的取值依次为0，1，2，依次求出各种取值的概率，然后写出分布列求出期望.【详解】（1）根据列联表中的数据，得()2210020202040252.7783.841406040609χ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以没有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异.（2）这100名学生中男生60人，女生40人，按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，则抽取的男生有3人，女生在2人，所以X 的取值依次为0，1，2，()2325C 30C 10P X ===，()112325C C 31C 5P X ===，()2225C 12C 10P X ===，所以X 的分布列为X012P31035110()3314012105105EX =⨯+⨯+⨯=.18．(1)π6B =(2)(S ∈【分析】（1）由正弦定理、余弦定理进行边角转换即可.（2）由正弦定理、三角形面积公式结合三角恒等变换得5π2cos 26S A ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭结合角的范围即可得解.sin C a b =+ca b =+，即222a c b +-=，由余弦定理得222cos 222a c b B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π6B =．（2）在锐角ABC 中，π2,6b B ==，记ABC 的面积为S ．由正弦定理得2πsin sin sin 6a c AC==，即4sin ,4sin a A c C ==．所以()()15πsin 4sin sin 2cos cos 2cos 226S ac B A C A C A C A ⎛⎫⎡⎤===--+=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭因为在锐角ABC 中，π6B =，所以πππ0,,π0,262A C A ⎛⎫⎛⎫∈=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得ππ5πππ,,2,32666AA ⎛⎫⎛⎫∈-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则5πcos2,162A ⎛⎤⎛⎫-∈ ⎥⎪ ⎝⎭⎝⎦，故(S ∈．19．(1)证明见解析(2)存在，理由见解析【分析】（1）以D 为原点，分别以,,DC DB DE 方向为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，证明GH与平面BCF 的法向量垂直即可证；（2）由线面角的向量法求线面角后可得结论．【详解】（1）如图，以D 为原点，分别以,,DC DB DE 方向为,,x y z轴建立坐标系.()()()((2,0,0,0,1,0,2,1,0,,0,1,C B A E F -.()(((2,1,0,0,0,,2,,BC BF AE EF =-==-=.设平面BCF 的法向量为()1111,,n x y z =，则由11111200,0,0x y BC n BF n -=⎧⎪⋅=⋅=⎨=⎪⎩ ，取11x =得()11,2,0n = .因为2,DC EF EG DH λ====，所以,22DH DC EG EFλλ==解得(),0,0,0,,,,,22H G GH λλλλ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .所以10n GH ⋅= ，且GH ⊄平面BCF ，所以GH 平面BCF （2）设平面AEF 的法向量为()2222,,n x y z =则由2222222200,0,0x y AE n EF n y ⎧-+=⎪⋅=⋅=⎨+=⎪⎩，解得)21n =- .所以242sin cos ,14n GH θ==，解得1λ=.20．(1)见解析(2)是定值，定值为【分析】（1）直线AB 与椭圆方程联立，证明AB 的中点坐标，即切点P 的坐标；（2）首先讨论直线AB 的斜率不存在的情况，以及直线AB 的斜率存在时与椭圆方程联立，并利用韦达定理表示弦长AB，并表示OAB 的面积.【详解】（1）设直线AB 斜率不存在，则点P 在x 轴上，由对称性可知，PA PB=，若直线AB 的斜率存在，设:AB y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，联立()2204y kx m x y λλ=+⎧⎪⎨+=>⎪⎩，可得()222418440k x kmx m λ+++-=，当1λ=时，直线AB 与椭圆切于点P ，()()2222Δ64164110k m k m =-+-=，解得：2241m k =+，02441km x k -=+，当2t λ=时，线段AB 中点的横坐标12024241x x kmx k +-==+，所以点P 为线段AB 的中点，PA PB=，综上，PA PB=；（2）若直线AB 斜率不存在，则:2AB x =±，与椭圆2C方程联立可得，(2,A ±，(B ±，故OAB S = 若直线AB 的斜率存在，由（1）可得122841kmx x k -+=+，221224441m t x x k -=+，2241m k =+AB =点O 到直线AB的距离d ==所以12OAB S AB d =⋅= 综上OAB 的面积为定值【点睛】关键点点睛：本题第一问的关键是转化为直线AB 与椭圆相交和相切的问题，转化为证明AB 的中点，即切点P .21．(1)1,2a b =-=(2)(],1-∞(3)证明见解析【分析】（1）求导，根据题意结合导数的几何意义列式求解；（2）构建()()2g x f x x =++，由题意可知：当0x >时，恒有()0g x >，且()00g =，结合端点效应分析求解；（3）由（2）可知：当1,0a x ≤>时，()2e 20ax x x -++>，令1a =，12e x t =，可得221ln 1t t t -<+，再令1n t n +=，可得()()2221ln 1ln 1n n nn n +<+-++，利用累加法分析证明.【详解】（1）因为()()2e axf x x =-，则()()e 2e ax axf x a x =+-'，则()02f =-，()012f a'=-，即切点坐标为()0,2-，斜率12k a =-，由题意可得：2300123b a --⨯+=⎧⎨-=⎩，解得1,2a b =-=.（2）令()()()22e 2ax g x f x x x x =++=-++，则()()()e 2e 121e 1ax ax ax g x a x ax a =+-+=-++'，由题意可知：当0x >时，恒有()0g x >，且()00g =，则()01210g a =+'-≥，解得1a ≤，若1a ≤，则有：①当a<0时，()()()()242e 22e e2e 1e 22ax ax axax ax x g x x x x x x x ---⎛⎫⎛⎫=-++=++=+-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，因为0x >，可知()2e 0axx +>，令()41e 2axh x x -=-++，因为41,e 2ax y y x -=-=+在()0,∞+内单调递增，可得()h x 在()0,∞+内单调递增，则()()00h x h >=，即()()()2e 0ax g x x h x =+>，符合题意；②当0a =时，则()2220g x x x x =-++=>在()0,∞+内恒成立，符合题意；③当01a <≤时，令()()x g x ϕ='，则()()()e 21e 22e ax ax axx a a ax a a ax a ϕ=+-+=-+'，因为0x >，则22220ax a a -+>-+≥，e 0ax>，可知()()22e 0ax x a ax a ϕ+'=->在()0,∞+内恒成立，则()x ϕ在()0,∞+内单调递增，可得()()0220x a ϕϕ>=-≥，则()g x 在()0,∞+内单调递增，可得()()00g x ϕ>=，符合题意；综上所述：实数a 的取值范围为(],1-∞.（3）由（2）可知：当1,0a x ≤>时，()2e 20ax x x -++>，令1a =，可得()2e 20x x x -++>，令12e1xt =>，则2e ,2ln xt x t ==，则()22ln 22ln 20t t t -++>，整理得221ln 1t tt -<+，令*11,n t n n +=>∈N ，则22111ln 11n n n n n n +⎛⎫- ⎪+⎝⎭<+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，整理得()()2221ln 1ln 1n n n n n +<+-++，则()()2222223521ln 2ln1,ln 3ln 2,,ln 1ln 12231n n n n n +<-<-⋅⋅⋅<+-++++，所以()()()2222223521ln 1ln1ln 112231n n n n n +++⋅⋅⋅+<+-=+++++.【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．22．(1)曲线1C 极坐标方程()22cos sin 10ρρθθ--+=，曲线2C 的直角坐标方程为30x y +-=(2)无公共点，3212-【分析】(1)由参数方程，直角坐标方程及极坐标方程互化求解；(2)由直线与圆的位置关系求解即可.【详解】（1）曲线1C 的普通方程()()22111x y -++=，极坐标方程()()22cos 1sin 11ρθρθ-++=，()22cos sin 10ρρθθ∴--+=，曲线2C 的极坐标方程为()sin cos 3ρθθ+=．化为直角坐标方程为30x y +-=；（2）曲线1C 的普通方程()()22111x y -++=，圆心为()11,1O -，到直线30x y +-=的距离为12d ==>，故曲线1C 与曲线2C 的无公共点，即直线与圆相离，得线段AB 的最小值为3212-．23．(1)][(),24,-∞-⋃+∞(2)证明见解析【分析】（1）解绝对值不等式时，一般考虑分类讨论法求解，最后再合并；（2）分类讨论()g x 的单调性，判断其在不同区间上的最小值，最后确定m 的值，利用基本不等式即可证明.【详解】（1）不等式()5f x ≥可化为2235x x --≥或2235x x --≤-，由2235x x --≥，可得2280x x --≥，解得4x ≥或2x ≤-；由2235x x --≤-，可得2220x x -+≤，解得x ∈∅，所以不等式()5f x ≥的解集为][(),24,∞∞--⋃+．（2）由题意，知()()()()123112g x f x x x x x =+++=-++++，当1x ≤-时，()(3)(1)(1)2g x x x x =-+-++2317()24x =--，因()g x 在(,1]-∞-上单调递减，则min ()(1)2g x g =-=；当13x -<<时，()(3)(1)(1)2g x x x x =--++++=233324x ⎛⎫--+⎪⎝⎭，因()g x 在3(1,)2-上单调递增，在3(,3)2上单调递减，故()g x 在(1,3)-无最小值，但是()2g x >；当3x ≥时，()(3)(1)(1)2g x x x x =-++++211()24x =--，因()g x 在[3,)+∞上单调递增，则min ()(3)6g x g ==.综上，当=1x -时，函数()g x 取得最小值2，即2m =，所以22a b +=，因0,0a b >>，所以()()2222224222a b a b a b ++=+≥=，当且仅当1,12a b ==时等号成立，故2242a b +≥．。

四川省成都七中2022-2023学年高三上学期入学考试理科数学试卷含答案

四川省成都七中2022-2023学年高三上学期入学考试理科数学试卷含答案

成都七中2023届高三上期入学考试数学试卷(理科)考试时间：120分钟 总分：150分选择题(每小題5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求,把答案涂在答 题卷上.) 1.已知集合M ={y|y = sin_r,eR} , = |x|x 2-x-2＜o|,则M (]N=()B. [-1,2)2. 设，•为虚数单位，若复数(l + i)(l + "i)是纯虚数，则实数。

=()3. (l-2x)4的展开式中含J 项的系数为()4.己知 A(->/5,O),B(>/I O ),C(O,3),则WBC 外接圆的方程为() A (x-l)2+y 2=2 B. (x-l)2+ y 2=4 C. x z +(y-\)2=2 D. x 2+(y_l)2 =45.己知一个半径为4的扇形圆心角为0(0＜。

＜2力)，面积为2勿，若tan(8 + 0)= 3,则tan°=(C. (一1,1)A. -IB. 0C. ID.A. _24B. 24C. -16D. 16A.0 C. 2D-46.考拉兹猜想是引人注目的数学难题之由德国数学家洛塔尔•考拉兹在20世纪30年代提出，其内容是：任意给定正整数s,如果s 是奇数，则将其乘3加1；如果$是偶数，则将其除 以2,所得的数再次重复上面步骤，最终都能够得到1.下边的程序框图演示了考 拉兹猜想的变换过程.若输入s 的值为5,则输出i 的值为() A.4 B. 5C.6D. 77-莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大、内容最丰富的佛教艺术胜 地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游.已知购买莫高窟正常参观套票可以 参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟九层楼96号窟、莫髙窟三层楼16号窟、藏经洞17号窟被誉为最值得参观的洞窟.根据疫情防控的需要，莫髙窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率是( A.D.358. 设/,〃?,〃表示直线，戶表示平面，使“/丄。

四川省成都市第七中学2024届高三下学期4月分推考试数学(理科)试卷含答案解析

四川省成都市第七中学2024届高三下学期4月分推考试数学(理科)试卷含答案解析

成都七中高2024届4月2日数学分推理科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合(){}5log 1A x y x ==-∣，集合{}Z03B y y =∈≤≤∣，则()RA B ⋂=ð（）A.()0,1 B.[]0,1 C.∅ D.{}0,12.设i 为虚数单位，且()1i 2z +=，则z =（）A.1i-- B.1i- C.1i-+ D.1i+3.若向量,a b 满足||4,||3a b == ，且(23)(2)61a b a b -⋅+= ，则a 在b上的投影向量为（）A.12b- B.13b- C.23b D.23b- 4.已知等比数列{}n a 的前n 项和为12,12n S a a +=且123,6,a a a +成等差数列，则105S S 为（）A.244B.243C.242D.2415.第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆,,A B C 开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆A 时，场馆B 仅有2名志愿者的概率为（）A.35 B.2150C.611D.346.已知函数()ln(e )ln(e )f x x x =+--，则()f x 是（）A.奇函数，且在(0,e)上是增函数B.奇函数，且在(0,e)上是减函数C.偶函数，且在(0,e)上是增函数D.偶函数，且在(0,e)上是减函数7.“直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行”是“π4θ=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 为C 的右顶点，以12F F 为直径的圆与C 的一条渐近线交于P ，Q 两点，且3π4PAQ ∠=，则双曲线C 的离心率为（）A.B.213C.D.39.4211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为（）.A.11B.11- C.8D.7-10.若函数()()π3cos 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭恒有()()2πf x f ≤，且()f x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的值为（）A.16-B.56C.116D.56或11611.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，则下列说法不正确的是（）A.当三棱锥1B BEF -的所有顶点都在球O 的表面上时，球O 的表面积为3π2B.异面直线1DD 与1B FC.点P 为正方形1111D C B A 内一点，当//DP 平面1B EF 时，DP 的最小值为4D.过点1D 、E 、F 的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面周长为+12.若点P 既在直线20l x y -+=:上，又在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上，C 的左、右焦点分别为12,F F ，122F F =，且12F PF ∠的平分线与l 垂直，则C 的长轴长为（）A.2B.C.2或4D.或2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知()()5cos 2,tan tan 46αβαββ+=+=-，写出符合条件的一个角α的值为__________.14.在正三棱台111ABC A B C -中，2AB =，11AB A B >，侧棱1AA 与底面ABC 所成角的正切值为．若该三棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为______．15.已知函数()32f x x ax b =++满足对任意的实数m ，n 都有()()()()()222f mn f m f n f m f n =+++，则曲线()y f x =在=1x -处的切线方程为______．16.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且()222S a b c =--，则22b c bc+的取值范围为______.三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且125,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若114(1)n n n n nb a a ++=-⋅，求{}n b 的前1012项和1012T ．18.在直角梯形ABCD 中，//AD BC，22BC AD AB ===90ABC ∠=︒，如图（1）．把ABD △沿BD 翻折，使得平面ABD ⊥平面BCD．（1）求证：CD AB ⊥；（2）在线段BC 上是否存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60°？若存在，求出BNBC的值；若不存在，说明理由．19.正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布．对于一个给定的连续型随机变量X ，定义其累积分布函数为()()F x P X x =≤．已知某系统由一个电源和并联的A ，B ，C 三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立．（1）已知电源电压X （单位：V ）服从正态分布(40,4)N ，且X 的累积分布函数为()F x ，求(44)(38)F F -；（2）在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间．已知随机变量T （单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为()0,011,04tt G t t <⎧⎪=⎨-≥⎪⎩.（ⅰ）设120t t >>，证明：1212(|)()P T t T t P T t t >>=>-；（ⅱ）若第n 天元件A 发生故障，求第1n +天系统正常运行的概率．附：若随机变量Y 服从正态分布2(,)N μσ，则(||)0.6827P Y μσ-<=，(||2)0.9545P Y μσ-<=，(||3)0.9973P Y μσ-<=．20.已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，若ABC 的三个顶点都在抛物线E 上，且满足0FA FB FC ++=，则称该三角形为“核心三角形”．（1）设“核心三角形ABC ”的一边AB 所在直线的斜率为2，求直线AB 的方程；（2）已知ABC 是“核心三角形”，证明：ABC 三个顶点的横坐标都小于2．21.已知函数1()ln 1f x x a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，0a >．（1）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值集合；（2）证明：()111sinsin sin ln 2122n n n n++++<∈++N ．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22.已知曲线C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），直线l 过点()0,1P ．（1）求曲线C 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且1132PA PB +=，求直线l 的倾斜角．选修4-5：不等式选讲23.已知函数()223f x x x =--．（1）求不等式()5f x ≥的解集；（2）设函数()()12g x f x x =+++的最小值为m ，若0,0a b >>且2a b m +=，求证：2242a b +≥．成都七中高2024届4月2日数学分推理科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合(){}5log 1A x y x ==-∣，集合{}Z03B y y =∈≤≤∣，则()RA B ⋂=ð（）A.()0,1 B.[]0,1 C.∅D.{}0,1【分析】先表示出集合,A B ，再由交集和补集的运算得出结果即可.【详解】集合(){}{}5log 11A xy x x x ==-=>∣∣，集合{}{}Z030,1,2,3B y y =∈≤≤=∣，集合{}R |1A x x =≤ð，所以()R A B ⋂=ð{}0,1.故选：D2.设i 为虚数单位，且()1i 2z +=，则z =（）A.1i --B.1i- C.1i-+ D.1i+【答案】D 【解析】【分析】根据复数的除法运算求z ，进而可得共轭复数.【详解】由题意可得：()()()21i 21i 1i 1i 1i z -===-++-，所以z =1i +.故选：D.3.若向量,a b 满足||4,||3a b == ，且(23)(2)61a b a b -⋅+= ，则a 在b上的投影向量为（）A.12b- B.13b- C.23b D.23b- 【答案】D 【解析】【分析】由向量数量积的运算律可得6a b ⋅=-，再由投影向量的定义求a 在b 上的投影向量.【详解】由22(23)(2)44361a b a b a a b b -⋅+=-⋅-= ，则6a b ⋅=-，由a 在b 上的投影向量612333||||a b b b b b b ⋅-⋅=⨯=-.故选：D4.已知等比数列{}n a 的前n 项和为12,12n S a a +=且123,6,a a a +成等差数列，则105S S 为（）A.244B.243C.242D.241【分析】首先根据条件求公比，再代入等比数列的前n 项和公式，即可求解.【详解】由题意可知，1212a a +=且()13226a a a +=+，设等比数列的公比为q ，则2111112a a q a q a a q +=++，得3q =，()()10110510555113131313244131313a S S a ---===+=---.故选：A5.第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆,,A B C 开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆A 时，场馆B 仅有2名志愿者的概率为（）A.35 B.2150C.611D.34【答案】B 【解析】【分析】首先得甲去场馆B 或C 的总数为21501003⨯=，进一步由组合数排列数即可得所求概率.【详解】不考虑甲是否去场馆A ，所有志愿者分配方案总数为2233535322C C C A 150A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，甲去场馆,,A B C 的概率相等，所以甲去场馆B 或C 的总数为21501003⨯=，甲不去场馆A ，分两种情况讨论，情形一，甲去场馆B ，场馆B 有两名志愿者共有11243224C C A =种；情形二，甲去场馆C ，场馆B 场馆C 均有两人共有1243C C 12=种，场馆B 场馆A 均有两人共有24C 6=种，所以甲不去场馆A 时，场馆B 仅有2名志愿者的概率为24126422110010050++==.故选：B ．6.已知函数()ln(e )ln(e )f x x x =+--，则()f x 是（）A.奇函数，且在(0,e)上是增函数B.奇函数，且在(0,e)上是减函数C.偶函数，且在(0,e)上是增函数D.偶函数，且在(0,e)上是减函数【答案】A 【解析】【分析】求出函数的定义域，利用奇偶函数的定义及复合函数的单调性法则判断即可.【详解】若函数()ln(e )ln(e )f x x x =+--有意义，则e 0e 0x x ->⎧⎨+>⎩，解得e e x -<<，即函数()f x 的定义域为(e,e)-，因为()()()()()ln e ln e ln e ln e ()f x x x x x f x ⎡⎤-=--+=-+--=-⎣⎦，所以函数()f x 是奇函数，函数e 2e ()ln(e )ln(e )ln ln 1e e x f x x x x x +⎛⎫⎛⎫=+--==-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，因为函数2e1e u x=-+-在(0,e)上递增，函数ln y u =在定义域上递增，所以函数()f x 在(0,e)上是增函数.故选：A 7.“直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行”是“π4θ=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据两条直线平行，对应方程系数的关系求解，分两个方面判断即可．【详解】若直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行，易得:sin 0,cos 0θθ≠≠，故：1sin 121cos 1θθ-=≠，则111ππsin cos ,sin 2,sin 21,22π(),π()22224k k k k θθθθθθ====+∈=+∈Z Z 得不到π4θ=，故不是充分条件；反之，当π4θ=时1sin 121cos 1θθ-=≠成立，故直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行，是必要条件；故“直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行”是“π4θ=”的必要不充分条件，故选：B ．8.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 为C 的右顶点，以12F F 为直径的圆与C 的一条渐近线交于P ，Q 两点，且3π4PAQ ∠=，则双曲线C 的离心率为（）A.B.213C.D.3【答案】C 【解析】【分析】联立圆与渐近线方程，得到()(),,,P a b Q a b --，进而得到π4OAQ ∠=，利用直线斜率得到方程，求出2b a =，得到离心率.【详解】由题意得，以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，(),0A a ，渐近线方程为b y x a=±，联立222x y c by xa ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得x a =±，不妨令()(),,,P a b Q a b --，故π2OAP ∠=，因为3π4PAQ ∠=，所以3πππ424OAQ ∠=-=，所以0tan 1π4AQ b k a a --===--，解得2b a =，故离心率c e a ===.故选：C9.4211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为（）.A.11B.11- C.8D.7-【答案】B 【解析】【分析】将21x x +看成一个整体，得到41421()(1)r r rr T C x x -+=+-，再展开421()r x x-+得到430r m --=，分别取值得到答案.【详解】将21x x +看成一个整体，展开得到：41421()(1)rr rr T C x x-+=+-421()r x x-+的展开式为：4243144m r m m m r mm r r T C x x C x-----+--=⋅=取430r m --=当0m =时，4r =系数为：4440(1)1C C ⨯⨯-=当1m =时，1r =系数为：11143(1)12C C ⨯⨯-=-常数项为11211-=-故答案选B【点睛】本题考查了二项式定理，将21x x+看成整体展开，再用一次二项式展开是解题的关键，计算较为复杂.10.若函数()()π3cos 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭恒有()()2πf x f ≤，且()f x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的值为（）A.16-B.56C.116D.56或116【答案】D 【解析】【分析】由题意可得当2πx =时，()f x 取得最大值，所以π2π2π3k ω+=，可求出16k ω=-，再由ππ1362T ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，求出ω的范围，即可得出答案.【详解】由题意可得当2πx =时，()f x 取得最大值，所以π2π2π3k ω+=，16k ω=-，k ∈Z ．由()f x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，得ππ1362T ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，所以02ω<≤．所以56ω=或116．经检验，56ω=或116均满足条件．故选：D ．11.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，则下列说法不正确的是（）A.当三棱锥1B BEF -的所有顶点都在球O 的表面上时，球O 的表面积为3π2B.异面直线1DD 与1B F 所成角的余弦值为255C.点P 为正方形1111D C B A 内一点，当//DP 平面1B EF 时，DP 的最小值为324D.过点1D 、E 、F 的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面周长为+【答案】D 【解析】【分析】对于A ：转化为长方体的外接球分析运算；对于B ：根据异面直线夹角分析运算；对于C ：根据面面平行分析判断；对于D ：根据平行关系求截面，进而可得周长.【详解】对于A ：三棱锥1B BEF -的外接球即为以1BB 、BE 、BF 为邻边的长方体的外接球，因为11BB =，12BE BF ==，可得外接球的半径64R ==，所以外接球的表面积23π4π2S R ==，故A 正确；对于B ：因为11//DD BB ，则异面直线1DD 与1B F 所成角为1∠BB F ，且11BB =，12BF =，可得152B F ==，所以11125cos 5BB BB F B F ∠==，所以，异面直线1DD 与1B F，故B正确；对于C ：取11A B 、11A D 、11C D 的中点M 、Q 、N ，连接AM 、MN 、QN 、DN ，，由题意可得：1//AE B M ，1AE B M =，则1AEB M 为平行四边形，所以1//B E AM ，因为四边形1111D C B A 为正方形，M 、N 分别为11A B 、11C D 的中点，则11//A M D N ，11A M D N =，所以，四边形11A D NM 为平行四边形，所以，11//MN A D ，11MN A D =，又因为11//AD A D ，11AD A D =，可得//MN AD ，MN AD =，则AMND 为平行四边形，所以//AM DN ，可得1//B E DN ，因为1B E ⊂平面1B EF ，DN ⊄平面1B EF ，则//DN 平面1B EF ，因为11//AA CC ，11AA CC =，则四边形11AA C C 为平行四边形，则11//AC A C ，因为E 、F 分别为AB 、BC 的中点，则//EF AC ，同理可得11//QN A C ，则11//EF A C ，可得//QN EF ，因为EF ⊂平面1B EF ，QN ⊄平面1B EF ，则//QN 平面1B EF ，因为DN QN N =I ，DN 、QN ⊂平面DNQ ，所以平面//DNQ 平面1B EF ，则点P 在线段QN上，可得11122QN A C ==，52DQ QN ==，所以当点P 为线段QN 的中点时，DP QN ⊥，DP 324=，故C 正确；对于D ：连接AC 、11A C ，因为E 、F 为AB 、BC 的中点，则//EF AC ，又因为11//AA CC ，11AA CC =，则11AA C C 为平行四边形，可得11//AC A C ，则11//EF A C ，过1D 作11//KL A C ，设11KL AB K = ，11KL BC L = ，则//KL EF ，可得111KA AB =，111LC BC =，连接KE 、LF ，设1KE AA G = ，1LF CC H = ，连接1D G 、1D H ，可得过点1D 、E 、F 的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为五边形1EFHDG ，因为12KA AE =，12LC CF =则1223GA AG ==，1223HC CH ==，可得113D G D H==，6GE HF ==，22EF =，所以截面周长为131322223622⨯+⨯+=+，故D 错误；故选：D.【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.12.若点P 既在直线20l x y -+=:上，又在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上，C 的左、右焦点分别为12,F F ，122F F =，且12F PF ∠的平分线与l 垂直，则C 的长轴长为（）A.102B.C.102或104D.或102【答案】B 【解析】【分析】过点1F 、2F 分别作1F N 、2F M 垂直直线l 于点N 、M ，由12F PF ∠的平分线与l 垂直可得12F PN F PM ∠=∠，即可得1F N P 与2F PM 相似，结合点到直线的距离可得相似比，从而可求出1PF 、2PF ，结合椭圆定义即可得长轴长.【详解】过点1F 、2F 分别作1F N 、2F M 垂直直线l 于点N 、M ，作12F PF ∠的平分线PH 与x 轴交于H ，由122F F =，故()11,0F -、()21,0F ，则12=2F N =，2322F M =，由PH l ⊥且PH 为12F PF ∠的平分线，故12F PH F PH ∠=∠，故12F PN F PM ∠=∠，又1F N l ⊥、2F M l ⊥，故1F N P 与2F PM 相似，故11222123322F N NP PF F M MP PF ====，由20l x y -+=:，令0y =，则2x =-，故直线l 与x 轴交于点()2,0G -，故22NG ==，322MG ==，故32222MN =-=由112213F N NP PF F MMPPF ===，故1244NP MN ==，33244MP MN ==，故14PF ==，24PF ==，由椭圆定义可知，122PF PF a +=，故103102+44a =即C.故选：B.【点睛】关键点睛：本题关键在于作出1F N 、2F M 垂直直线l 于点N 、M ，再将12F PF ∠的平分线与l 垂直这个条件转化为12F PN F PM ∠=∠，从而得到相似三角形，结合点到直线距离公式及122F F =得到1PF 、2PF 的值.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知()()5cos 2,tan tan 46αβαββ+=+=-，写出符合条件的一个角α的值为__________.【答案】2π3（答案不唯一）【解析】【分析】根据题目条件得到()1cos cos 6αββ+=和()2sin sin 3αββ+=-，从而求出()121cos cos 632ααββ⎡⎤=+-=-=-⎣⎦，进而求出角α的值.【详解】()()()()cos 2cos cos cos sin sin αβαββαββαββ⎡⎤+=++=+-+⎣⎦，故()()5cos cos sin sin 6αββαββ+-+=，()tan tan 4αββ+=-，即()()sin sin 4cos cos αββαββ+=-+，故()()sin sin 4cos cos αββαββ+=-+，故()55cos cos 6αββ+=，即()1cos cos 6αββ+=，则()()2sin sin 4cos cos 3αββαββ+=-+=-，则()()()cos cos cos cos sin sin ααββαββαββ⎡⎤=+-=+++⎣⎦121632=-=-，可取2π3α=.故答案为：2π314.在正三棱台111ABC A B C -中，2AB =，11AB A B >，侧棱1AA 与底面ABC 所成角的正切值为．若该三棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为______．【答案】12【解析】【分析】取BC 和11B C 的中点分别为P ，Q ，上、下底面的中心分别为1O ，2O ，设11A B x =，内切球半径为r ，根据题意求出侧棱长以及2O P ，1O Q ，再根据切线的性质及等腰梯形11BB C C 和梯形1AA QP 的几何特点列方程组求出半径即可.【详解】如图，取BC 和11B C 的中点分别为P ，Q ，上、下底面的中心分别为1O ，2O ，设11A B x =，内切球半径为r ，因为12tan A AO ∠=2r ，所以111AA BB CC ===，211333323O P AP AB ==⨯=，同理136O Q x =．因为内切球与平面11BCC B 相切，切点在PQ 上，所以()2126PQ O P O Q x =+=+①，在等腰梯形11BB C C 中，)22222x PQ -⎛⎫=- ⎪⎝⎭②，由①②得()222226212x x r +-⎛⎫-=⎪⎝⎭．在梯形1AA QP 中，()22233236PQ r x ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭③，由②③得2x -=，代入得1x =，则棱台的高23h r ==，所以棱台的体积为143442312V ⎛⎫=+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭．故答案为：12.15.已知函数()32f x x ax b =++满足对任意的实数m ，n 都有()()()()()222f mn f m f n f m f n =+++，则曲线()y f x =在=1x -处的切线方程为______．【答案】30x y -=【解析】【分析】构造函数()()2g x f x =+，将已知等式转化为()()()g mn g m g n =，再利用赋值法求得()0g 与()1g ，进而求得,a b ，再利用利用导数的几何意义即可得解．【详解】因为()()()()()222f mn f m f n f m f n =+++，所以()()()()()222+=++f mn f m f n ，设()()3222g x f x x b x a +++=+=，则()()()g mn g m g n =，令0m n ==，则()()200g g=，则()00g =，或()01g =，若()01g =，则由()()()00g g m g =，得()1g m =，显然不成立，所以()00g =，即20b +=，则2b =-令1m =，则()()()1g n g g n =，由于()g n 不恒为0，故()11g =，即121a b +++=，则0a =，此时()32f x x =-，经检验，满足要求，则()13f -=-，()23f x x '=，所以()13f '-=，所以曲线()y f x =在=1x -处的切线方程为()331+=+y x ，即30x y -=．故答案为：30x y -=16.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且()222S a b c =--，则22b c bc+的取值范围为______.【答案】342,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】利用三角形面积公式与余弦定理，可得sin 2cos 2A A +=，再根据同角关系式可得sin A ，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得435tan 5b c C =+，结合条件可得tan C 取值范围，进而求得b c 的取值范围，令b t c =，则221b c t bc t+=+，然后由对勾函数的单调性即可求出．【详解】在ABC 中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，且ABC 的面积1sin 2S bc A =，由()222S a b c =--，得sin 22cos bc A bc bc A =-，化简得sin 2cos 2A A +=，又0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，22sin cos 1A A +=，联立得25sin 4sin 0A A -=，解得4sin 5A =或sin 0A =（舍去），所以()sin sin sin cos cos sin 43sin sin sin 5tan 5A C bB AC A C c C C C C ++====+，因为ABC 为锐角三角形，所以02C π<<，2B A C ππ=--<，所以22A C ππ-<<，所以13tan tan 2tan 4C A A π⎛⎫>-== ⎪⎝⎭，所以140,tan 3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以35,53b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设b t c=，其中35,53t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以221b c b c t bc c b t +=+=+，由对勾函数单调性知1y t t =+在3,15⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，当1t =时，2y =；当35t =时，3415y =；当53t =时，3415y =，所以342,15y ∈⎡⎫⎪⎢⎣⎭，即22b c bc+的取值范围是342,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：342,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得435tan 5b c C =+，进而可以求解.三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且125,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若114(1)n n n n nb a a ++=-⋅，求{}n b 的前1012项和1012T ．【答案】（1）21n a n =-（2）101220242025T =【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项即可得解；（2）由裂项相消法可求出前1012项和.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，又11a =，则211a a d d =+=+，51414a a d d =+=+，因为125,,a a a 成等比数列，所以2215a a a =⋅，即()()21114d d +=⨯+，得220d d -=，又因为{}n a 是公差不为零的等差数列，所以2d =，即()()1111221n a a n d n n =+-=+-⨯=-.【小问2详解】由（1）知()()11114411(1)(1)(1)21212121n n n n n n n n b a a n n n n ++++⎛⎫=-=-=-+ ⎪⋅-⋅+-+⎝⎭，1012123410111012T b b b b b b =++++++ 11111111111133557792021202320232025⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12024120252025=-=.18.在直角梯形ABCD 中，//AD BC，22BC AD AB ===90ABC ∠=︒，如图（1）．把ABD △沿BD 翻折，使得平面ABD ⊥平面BCD．（1）求证：CD AB ⊥；（2）在线段BC 上是否存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60°？若存在，求出BNBC的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在点N ，此时14BN BC =【解析】【分析】（1）利用余弦定理和勾股定理可证明CD ⊥平面ABD ，再由线面垂直的性质即可得CD AB ⊥；（2）以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求得结果.【小问1详解】因为//AD BC，且22BC AD AB AB BC ===⊥，可得AD AB ==，2BD ==，又因为45DBC ADB ∠=∠=︒，可得2CD =，所以222BD DC BC +=，则CD BD ⊥，因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，且CD ⊂平面BCD ，所以CD ⊥平面ABD ，又因为AB ⊂平面ABD ，所以CD AB ⊥；【小问2详解】因为CD ⊥平面ABD ，且BD ⊂平面ABD ，所以CD BD ⊥，如图所示，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，可得()1,0,1A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,0,0D ，所以()0,2,0CD =- ，()1,0,1AD =--．设平面ACD 的法向量为(),,n x y z = ，则20n CD y n AD x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ ，令1x =，可得0,1y z ==-，所以()1,0,1n =-，假设存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60 ，设BN BC λ=，（其中01λ≤≤），则()22,2,0N λλ-，()12,2,1AN λλ=-- ，所以3sin602n ANn AN⋅︒==，整理得28210λλ+-=，解得14λ=或12λ=-（舍去），所以在线段BC 上存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60︒，此时14BN BC =．19.正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布．对于一个给定的连续型随机变量X ，定义其累积分布函数为()()F x P X x =≤．已知某系统由一个电源和并联的A ，B ，C 三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立．（1）已知电源电压X （单位：V ）服从正态分布(40,4)N ，且X 的累积分布函数为()F x ，求(44)(38)F F -；（2）在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间．已知随机变量T （单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为()0,011,04tt G t t <⎧⎪=⎨-≥⎪⎩.（ⅰ）设120t t >>，证明：1212(|)()P T t T t P T t t >>=>-；（ⅱ）若第n 天元件A 发生故障，求第1n +天系统正常运行的概率．附：若随机变量Y 服从正态分布2(,)N μσ，则(||)0.6827P Y μσ-<=，(||2)0.9545P Y μσ-<=，(||3)0.9973P Y μσ-<=．【答案】（1）0.8186（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）716．【解析】【分析】（1）根据正态分布的对称性即可结合()()F x P X x =≤的定义求解，（2）（ⅰ）根据条件概率的计算公式集合()()F x P X x =≤的定义以及()G t 的定义域即可求解，（ⅱ）根据独立事件的概率公式求解即可.【小问1详解】由题设得(3842)0.6827P X <<=，(3644)0.9545P X <<=，所以(44)(38)(44)(38)(4044)(3840)F F P X P X P X P X -=-=+≤≤≤≤≤≤1(0.68270.9545)0.81862=⨯+=【小问2详解】（ⅰ）由题设得：[]12111122222()()()1()1()(|)()()1()1()P T t T t P T t P T t G t P T t T t P T t P T t P T t G t >⋂>>-≤->>===>>-≤-=1121221111444111144t t t t t t -⎛⎫-- ⎪⎝⎭===⎛⎫-- ⎪⎝⎭，21121212()1()1()4t t P T t t P T t t G t t ->--≤-=--==,所以1212(|)()P T t T t P T t t >>=>-．（ⅱ）由（ⅰ）得1(1|)(1)1(1)1(1)4P T n T n P T P T G >+>=>=-=-=≤，所以第1n +天元件B ，C 正常工作的概率均为14．为使第1n +天系统仍正常工作，元件B ，C 必须至少有一个正常工作，因此所求概率为2171(1)416--=．20.已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，若ABC 的三个顶点都在抛物线E 上，且满足0FA FB FC ++=，则称该三角形为“核心三角形”．（1）设“核心三角形ABC ”的一边AB 所在直线的斜率为2，求直线AB 的方程；（2）已知ABC 是“核心三角形”，证明：ABC 三个顶点的横坐标都小于2．【答案】（1）210x y --=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设AB 的方程为2y x t =+，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，根据(1,0)F 及0FA FB FC ++=得到点C 的坐标为(2,2)t +-，代入抛物线方程，求出1t =-，得到直线方程；（2）设直线BC 的方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，求出点A 的坐标为()2342,4m n m ---，代入抛物线方程，得到2342n m =-，由根的判别式得到2n m >-，所以212m <，所以点A 的横坐标242m <，同理可证另两个顶点横坐标也小于2.【小问1详解】设直线AB 的方程为2y x t =+，与24y x =联立得2220y y t -+=，由480t ∆=->得12t <，设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则12122,2+==y y y y t ，所以()12121212x x y y t t +=+-=-，由题意知(1,0)F ，因为()()()1122330,1,,1,,1,FA FB FC FA x y FB x y FC x y ++==-=-=-，所以()1231233,(0,0)x x x y y y ++-++=，所以12312330x x x y y y ++=⎧⎨++=⎩，故()333122x t t y ⎧=--=+⎨=-⎩即点C 的坐标为(2,2)t +-，代入抛物线E 的方程得：44(2)t =+，解得1t =-，满足条件12t <，所以直线AB 的方程为210x y --=．【小问2详解】证明：设直线BC 的方程为x my n =+，与24y x =联立得2440y my n --=，()2Δ160m n =+>，所以22323,4,4n m y y m y y n >-+==-，所以()22323242x x m y y n m n +=++=+．由（1）知12312330x x x y y y ++=⎧⎨++=⎩，所以2113424x m n y m⎧=--⎨=-⎩，即点A 的坐标为()2342,4m n m ---．又点A 在抛物线24y x =上，所以()22164342m m n =--，所以2342n m =-，又2n m >-，所以212m <，所以点A 的横坐标2234242m n m --=<，同理可证，B ，C 两点的横坐标也小于2．所以ABC 三个顶点的横坐标均小于2．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．21.已知函数1()ln 1f x x a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，0a >．（1）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值集合；（2）证明：()111sinsin sin ln 2122n n n n++++<∈++N ．【答案】（1）{}1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数求函数()f x 的最小值，转化恒成立条件列不等式可求a 的取值集合；（2）利用小问（1）构造不等式，赋值结合累加法证明1111ln 21232n n n n>+++++++ ，再结合正弦函数性质和不等式性质即可证明结论.【小问1详解】由题可知函数()f x 的定义域为{}0x x >，221()a x af x x x x-'=-= ，令()0f x '=，得x a =，由x ，()f x ，()f x '列表如下x()0,a a (),a ∞+()f x -+()f x '递减极小值递增()()min ln 1f x f a a a ==-+，因为()0f x ≥恒成立，所以ln 10a a -+³，(0,)a ∈+∞．令()ln 1g x x x =-+，则11()1xg x x x-'=-=，由x ，()g x ，()g x '列表如下x()0,11()1,∞+()g x +-()g x '递增极大值递减()()max 10g x g ∴==．又()0,1a ∈ ，()ln 1(1)0g a a a g =-+<=，(1,)∈+∞a ，()ln 1(1)0g a a a g =-+<=，1a ∴=，故a 的取值集合为{}1．【小问2详解】由（1）可知，当1a =时，()0f x ≥，即1ln 10x x +-≥，11ln 1x x x x-≥-=，ln(1)1xx x ∴+≥+（当0x =时，“=”成立），令1()x n n+=∈N ，111ln 1111n n n n⎛⎫+>= ⎪+⎝⎭+，则11ln 1n n n +⎛⎫> ⎪+⎝⎭，()1ln 1ln 1n n n +->+，由累加法可知()()()()()()()1ln 1ln 11ln 2ln 121ln 3ln 231ln 2ln 212n n n n n n n n n n n n ⎫+->⎪+⎪⎪+-+>⎪+⎪⎬+-+>⎪+⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪-->⎪⎭累加可得1111ln(2)ln 1232n n n n n n->+++⋅⋅⋅++++，即1111ln 21232n n n n>+++++++ ，令()sin h x x x =-，,()0x ∈+∞，()cos 10h x x '=-≤ 恒成立，()h x ∴在区间(0,)+∞上单调递减，()(0)0h x h <=∴，sin x x ∴<，11111111sin sin sin sin 12321232n n n n n n n n∴++++>++++++++++ ，1111ln 2sin sin sin sin ()1232n n n n n+∴>++++∈+++N 【点睛】方法点睛：（1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理；（2）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；（3）证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22.已知曲线C 的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），直线l 过点()0,1P ．（1）求曲线C 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且1132PA PB +=，求直线l 的倾斜角．【答案】（1）22143x y +=.（2）π4或3π4.【解析】【分析】（1）利用参数方程转普通方程即可求解.（2）写出直线l 的参数方程，参数方程代入22143x y +=，设A ，B 两点所对的参数为12,t t ，利用韦达定理代入1132PA PB +=中，化简即可求解.【小问1详解】由曲线C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），得cos 2sin xαα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22sin cos 1θθ+=，2212x ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，即22143x y +=（为焦点在x 轴上的椭圆）.【小问2详解】设直线l 的倾斜角为θ，直线l 过点()0,1P ∴直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩（t 为参数），将直线l 的参数方程代入22143x y +=，可得()()22i 14cos 13s n t t θθ+=+，()2222222234123484120cos 12sin sin cos sin sin t t t t t t θθθθθθ⇒++=⇒++++-=()22sin s 8n 30i 8t t θθ∴++-=，设A ，B 两点所对的参数为12,t t ，221221883sin sin s 3in t t t t θθθ∴+=-⋅=-++，，曲线C 与y轴交于((0,，两点，()0,1P ∴在曲线C 的内部，12,t t ∴一正一负，1212t t t t ∴+=-，而1132PA PB +=，121232t t t t +∴=⋅，121232t t t t -∴=⋅，2211222212294t t t t t t -⋅+∴=⋅，()222121212944t t t t t t ∴+-⋅=⋅，22222sin sin si 88984334si 3n n θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴---=- ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得21sin 2θ=，θ为直线l 的倾斜角，[)0πθ∈，，[]1sin 0,θ∈∴，sin 2θ∴=，π4θ∴=或3π4θ=，直线l 的倾斜角为π4或3π4.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()223f x x x =--．（1）求不等式()5f x ≥的解集；（2）设函数()()12g x f x x =+++的最小值为m ，若0,0a b >>且2a b m +=，求证：2242a b +≥．【答案】（1）][(),24,-∞-⋃+∞（2）证明见解析【解析】【分析】（1）解绝对值不等式时，一般考虑分类讨论法求解，最后再合并；（2）分类讨论()g x 的单调性，判断其在不同区间上的最小值，最后确定m 的值，利用基本不等式即可证明.【小问1详解】不等式()5f x ≥可化为2235x x --≥或2235x x --≤-，由2235x x --≥，可得2280x x --≥，解得4x ≥或2x ≤-；由2235x x --≤-，可得2220x x -+≤，解得x ∈∅，所以不等式()5f x ≥的解集为][(),24,∞∞--⋃+．【小问2详解】由题意，知()()()()123112g x f x x x x x =+++=-++++，当1x ≤-时，()(3)(1)(1)2g x x x x =-+-++2317(24x =--，因()g x 在(,1]-∞-上单调递减，则min ()(1)2g x g =-=；当13x -<<时，()(3)(1)(1)2g x x x x =--++++=233324x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，因()g x 在3(1,)2-上单调递增，在3(,3)2上单调递减，故()g x 在(1,3)-无最小值，但是()2g x >；当3x ≥时，()(3)(1)(1)2g x x x x =-++++211(24x =--，因()g x 在[3,)+∞上单调递增，则min ()(3)6g x g ==.综上，当=1x -时，函数()g x 取得最小值2，即2m =，所以22a b +=，因0,0a b >>，所以()()2222224222a b a b a b ++=+≥=，当且仅当1,12a b ==时等号成立，故2242a b +≥．。

四川成都七中初中学校2024-2025学年七年级上学期入学分班考试数学试题(解析版)

四川成都七中初中学校2024-2025学年七年级上学期入学分班考试数学试题(解析版)

2023~2024学年成都七中初中学校新初一入学分班考试数学试题（卷）（满分：100分时间：90分钟）一、选择题（将正确答案的番号填在括号里．每小题4分，共20分）1要使四位数104□能同时被3和4整除，□里应填（）．.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】该题主要考查了数的整除，解答此题应结合题意，根据能被3和4整除的数的特征进行解答即可．根据能被4整除的数的特征：即后两位数能被4整除；能被3整除的数的特征：各个数位上数的和能被3整除，进行解答即可．+++=能被3整除，不【详解】解：A：后两位数是41，不能被4整除，各个数位上数的和是10416,6符合题意；+++=不能被3整除，不符合题意；B：后两位数是42，不能被4整除，各个数位上数的和是10427,7+++=不能被3整除，不符合题意；C：后两位数是43，不能被4整除，各个数位上数的和是10438,8+++=能被3整除，符合题意．D：后两位数是44，能被4整除，各个数位上数的和是10449,9故选：D．2. 用一只平底锅煎饼，每次只能放两只饼，煎熟一只饼需要2分钟（正反两面各需1分钟），那么煎熟3只饼至少需要_____分钟．（）A. 4B. 3C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】本题考查了推理与论证，在解答此类题目时要根据实际情况进行推论，既要节省时间又不能造成浪费．若先把两只饼煎熟，则在煎第三张饼时，锅中只有一只饼而造成浪费，所以应把两只饼的两面错开煎，进而求解即可．【详解】∵若先把两只饼煎至熟，势必在煎第三只饼时，锅中只有一只饼而造成浪费，∴应先往锅中放入两只饼，先煎熟一面后拿出一只，再放入另一只，当再煎熟一面时把熟的一只拿出来，再放入早拿出的那只，使两只饼同时熟， ∴煎熟3只饼至少需要3分钟． 故选：B ．3. 投掷3次硬币，有2次正面朝上，1次反面朝上，那么第4次投掷硬币正面朝上的可能性是（ ） A.12B.14C.13D.23【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查可能性的大小，熟练根据概率的知识得出可能性的大小是解题的关键．根据每次投掷硬币正面朝上的可能性都一样得出结论即可． 【详解】解：每次投掷硬币正面朝上的可能性都为12． 故选：A ．4. 一串珠子按照8个红色2个黑色依次串成一圈共40粒．一只蟋蟀从第二个黑珠子开始其跳，每次跳过6个珠子落在下一个珠子上，这只蟋蟀至少要（ ）次，才能又落在黑珠子上． A. 7 B. 8 C. 9 D. 10【答案】A 【解析】【分析】本题关键是理解这只蟋蟀跳跃的规律，难点是得出跳过的珠子数与循环周期之间的关系． 这是一个周期性的问题，蟋蟀每次跳过6粒珠子，则隔7个珠子，把珠子编上号码，将第2粒黑珠记为0，以后依次将珠子记为1,2,3,39…．其中0,9,10,19,20,29,30,39的8颗珠子是黑色；蚱蜢跳过的珠子号码依次是0,7,14,21,28,35，42,49…，因为周期是40，再根据周期性的知识解决即可． 【详解】解：观察可知，每次跳过6粒珠子，则隔7个珠子，将第2粒黑珠记为0，以后依次将珠子记为1,2,3,39…．其中0,9,10，19,20,29,30,39的8颗珠子是黑色．蚱蜢跳过的珠子号码依次是0,7,14,21,28,35,42,49…，即7的倍数； 周期应是40,4940−9=，就相当于一圈后落在“9”号黑珠子上； 即这只蟋蟀至少要7次，才能又落在黑珠子上；故选：A．5. 仓库里的水泥要全部运走，第一次运走了全部的12，第二次运走了余下的13，第三次运走了第二次余下的14，第四次运走了第三次余下的15，第五次运走了最后剩下的19吨．这个仓库原来共有水泥_____吨．（）A. 78B. 56C. 95D. 135【答案】C【解析】【分析】本题考查分数除法的应用，此题应从后向前推算，分别求出第三，二，一次运过之后，还剩下的数量，即可求解．【详解】∵第五次只剩下19吨，∴第三次运过之后，还剩下195 19154÷−=吨，那么第二次运过之后，还剩下951951443÷−=吨，那么第一次运过之后，还剩951951332÷−=吨那么没经过运输之前，仓库中有9519522÷=吨，故选：C ．二、填空题（每小题3分，共30分）6.132吨=（）吨（）千克．70分=（）小时．【答案】①. 3 ②. 500 ③. 7 6【解析】【分析】根据1吨=1000千克、1小时=60分计算即可．【详解】解：∵11000=5002×千克，∴132吨=（3）吨（500）千克．∵70÷60=76小时，∴70分=（76）小时． 故答案为：3，500；76．【点睛】本题考查了单位换算，熟练掌握1吨=1000千克、1小时=60分是解答本题的关键． 7. 把0.45:0.9化成最简整数比是_____∶_____；11:812的比值是_____． 【答案】 ①. 1 ②. 2 ③. 1.5 【解析】【分析】此题主要考查了化简比和求比值的方法，另外还要注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数；而求比值的结果是一个商，可以是整数、小数或分数．用比的前项除以后项即可．详解】解：0.45:0.91:2=，11111:12 1.58128128=÷=×= 故答案为∶1，2，1.5． 8. 111112123123100+++++++++++ ． 【答案】200101【解析】【分析】先确定，分数的变化规律，后整理计算即可． 【详解】∵12112()123n (1)1n n n n ==−++++++ ，∴111112123123100+++++++++++ =1111112()1223100101−+−++−=12(1)101−=200101． 【点睛】本题考查了分数中的规律问题，熟练掌握拆项法找规律计算是解题的关键． 9. 定义运算：35a b a ab kb =++ ，其中a 、b 为任意两个数， k 为常数．比如：27325277k =×+××+ ，若5273= ，则85= _____．【答案】244 【解析】【分析】此题考查了有理数的四则混合运算和解一元一次方程，根据5273= 得到方程，解方程得到4k =，【再计算85 即可．【详解】解：由5235552273k =×+××+= ， 解得4k =，∴853*********=×+××+×= ， 故答案为：24410. 某年的10月份有四个星期四、五个星期三，这年的10月8日是星期_____． 【答案】一 【解析】【分析】本题主要考查数字规律，有理数混合运算，根据题意，找出循环规律，是解题的关键． 【详解】解：10月有31天，四个星期四，五个星期三，∴31号是星期三，31823−=（天），2373÷=（周） 2（天），把星期三往前推2天，是星期一， ∴10月8号是星期一， 故答案为：一．11. 某小学举行数学、语文、科学三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学203人，语文179人， 科学165人，参加两科的：数学、语文143人， 数学、科学116人，语文、科学97人．三科都参加的：89人，这个小学参加竞赛的总人数为_____人． 【答案】280 【解析】【分析】根据题意，至少参加一科的：数学203人，语文179人，常识165人．参加两科的：数学，语文143人，数学、常识116人，语文、常识97人，三科都参加的有89人．根据容斥问题，参加三科的人数为：(20317916514311697)++−−−人，由于三科都参加的有89人，所以这个小学参加竞赛的总人数为：(2031791651431169789)++−−−+．据此解答．本题考查了容斥问题的灵活运用，关键是明确它们之间的包含关系．【详解】解：2031791651431169789280++−−−+=（人） 答：这个小学参加竞赛的总人数有280人． 故答案为：280．12. 一个长方体的长、宽、高之比为3:2:1，若长方体的棱长总和等于正方体的棱长总和，则长方体的表面积与正方体的表面积之比为_____，长方体的体积与正方体的体积之比为_____． 【答案】 ①. 11:12 ②. 3:4【解析】【分析】此题主要考查了长方体和正方体的棱长总和、表面积、体积的计算，直接把数据代入公式解答即可．设长方体的长宽高分别为3a 、2a 和a ，则其棱长之和为()43224a a a a ×++=，从而正方体棱长为24122a a ÷=．根据长方体和正方体的表面积公式计算求得长方体表面积与正方体的表面积比；根据长方体和正方体的体积公式计算求得长方体体积与正方体的体积之比【详解】设长方体的长、宽、高分别为3a 、2a 和a ，则其棱长之和为()43224a a a a ×++=，从而正方体棱长为24122a a ÷=．长方体表面积为()22323222a a a a a a a ××+×+×=， 正方体表面积为()226224a a ×=，其比为2222:2411:12a a =．长方体体积为 3326a a a a ××=，正方体体积为()3328a a =，其比为336:83:4a a =． 故答案为：11:12； 3:4．13. 甲、乙两地相距300千米，客车和货车同时从两地相向开出，行驶2小时后，余下的路程与已行的路程之比是3：2，两车还需要经过_____小时才能相遇． 【答案】3 【解析】由于客车和货车的速度和一定，行驶的时间和路程成正比例，所以根据“余下的路程与已行的路程之比是3：2”可得：余下的路程需要的时间与已行的时间之比也是3：2，据此求解即可． 【详解】由题意得：2233÷=(小时) 故答案：3．14. 如图，长方形ABCD 中，12AB =厘米，8BC =厘米，平行四边形BCEF 的一边BF 交CD 于G ，若梯形CEFG 的面积为64平方厘米，则DG 长为_____．【答案】4厘米 【解析】为【分析】本题考查了梯形的面积公式，一元一次方程的实际运用，解题的关键是设未知数，找准等量关系，建立方程求解．根据图形可得=64ABGD CEFG S S =梯形梯形，设DG 的长度为x 厘米， 则有()1128642x +××=，解出方程即可． 【详解】解：由图可知：长方形ABCD 和平行四边形BCEF 底边和高相同，故它们面积相同，GCB ABCD ABGD S S S =− 矩形梯形，64BCEF GCB CEFG S S S =−= 梯形平方厘米，， =64ABGD CEFG S S ∴=梯形梯形，设DG 的长度为x 厘米， 则()1128642x +××= ()128642x +××896128x +=832x =4x =，即DG 长为4 厘米， 故答案为：4厘米．15. 自然数按一定的规律排列如下：从排列规律可知，99排第_____行第_____列． 【答案】 ①. 2 ②. 10 【解析】【分析】本题考查了规律问题的探究．通过观察知第1行中的每列中的数依次是1、2、3、4、5…的平方；在第2行中的每列中的数从第2列开始依次比相应的第1行每列中的数少1；据此规律第1行中的10列的数是10的平方，第2行中的10列的数是100199−=．【详解】解：由图表可得规律：每列的第1个数就是列的平方； 10的平方是100，99在100的下方， 所以99排在第2行第10列， 故答案为：2；10．三、计算题（能用简便方法计算的请用简便方法计算．共20分）16. （1） 计算：2255977979 +÷+ ；（2） 计算：121513563+++×； （3） 计算：47911131531220304256−+−+−； （4） 计算：11111155991313171721++++×××××． 【答案】（1）13；（2）136；（3）78；（4）521【解析】（1）将229779 + 变形为551379+，可进行简便运算；（2）利用乘法分配律，将原式变形为11525136353++×+×进行简便运算； （3）利用裂项相消法进行简便运算； （4）利用裂项相消法进行简便运算； 【详解】解 ：（1）2255977979 +÷+6565557979+÷+5555137979=+÷+13=；（2）121513563+++× 11525136353=++×+× 35252353=×+× 5223=+ 136=；（3）47911131531220304256−+−+− 4111111111133445566778 =−+++−+++−+4111111111133445566778=−−++−−++−− 118=-78=； (4)11111155991313171721++++××××× 11111111111455991313171721 =×−+−+−+−+−111421 =×−120421=× 521=． 四、解答题（请写出必要的解题过程．每小题6分，共30分）17. 如图所示是两个正方形，大正方形边长为8，小正方形边长为4，求图中阴影部分的面积．（单位：厘米，π取3.14）【答案】20.56平方厘米 【解析】【分析】本题考查计算不规则图形的面积，BEF △的面积减去小正方形与扇形GAF 面积之差，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：()21184444π424 ×+×−×−××24164π=−+ 84 3.14=+×20.56=(平方厘米)答：阴影部分面积为20.56平方厘米．18. 学校计划用一批资金购置一批电脑，按原价可购置60台，现在这种电脑打折优惠，现价只是原价的75%，用这批资金现在可购买这种电脑多少台？【答案】用这批资金现在可购买这种电脑80台． 【解析】1，用1乘上60台，就是总钱数，然后用1乘上75%求出现在的单价，再用总钱数除以现在的单价即可． 【详解】设原来每台的单价是1(160)(175%)80×÷×=台答：用这批资金现在可购买这种电脑80台19. 在甲、乙、丙三缸酒精溶液中，纯酒精的含量分别占48%、62.5%和23．已知三缸酒精溶液总量是100千克，其中甲缸酒精溶液的量等于乙，丙两缸酒精溶液的总量．三缸溶液混合后，所含纯酒精的百分数将达56%．那么，丙缸中纯酒精的量是多少千克？【答案】丙缸中纯酒精的量是12千克 【解析】【分析】本题考查了百分数的应用，一元一次方程的应用；根据题意易得甲缸酒精溶液的量=乙缸酒精溶液的量+丙缸酒精溶液的量50=千克，从而可设丙缸中酒精溶液的量是x 千克，则乙缸中酒精溶液的量是()50x −千克，然后根据题意可得：()25048%62.5%5010056%3x x ×+−+×，最后进行计算即可解答． 【详解】解： 三缸酒精溶液总量是100千克，其中甲缸酒精溶液的量等于乙，丙两缸酒精溶液的总量，∴甲缸酒精溶液的量=乙缸酒精溶液的量+丙缸酒精溶液的量1100502=×=(千克)， 设丙缸中酒精溶液的量是x 千克，则乙缸中酒精溶液的量是()50x −千克，由题意得：()25048%62.5%5010056%3x x ×+−+×， 解得：18x =， ∴丙缸中纯酒精量218123=×=(千克)， ∴丙缸中纯酒精的量是12千克． 20. 一家工厂里2个男工和4个女工一天可加工全部零件的310，8个男工和10个女工一天内可加工完全部零件．如果把单独让男工加工和单独让女工加工进行比较，要在一天内完成任务，女工要比男工多多少人？【答案】女工要比男工多18人．【解析】【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用——工程问题．解题的关键是熟练掌握工作量与工作效率和工作时间关系，列方程计算．设男工的工作效率为x ，女工的工作效率为y ，根据2个男工和4个女工一天可加工全部零件的310，8个男工和10个女工一天内可加工完全部零件，列出方程组，解方程组即可．【详解】设男工的工作效率为x ，女工的工作效率为y ， 根据题意得，324108101x y x y += +=， 解得，112130x y = =， 如果单独让男工加工或单独让女工加工， 需要女工113030÷=（人）， 需要男工111212÷=（人）， 女工比男工多181230=−（人）． 的故女工比男工要多18人．21. 如图，有一条三角形的环路，A 至B 段是上坡路，B 至C 段是下坡路，A 至C 段是平路，A 至B 、B 至C 、C 至A 三段距离的比是345：：，小琼和小芳同时从A 出发，小琼按顺时针方向行走，小芳按逆时针方向行走，2个半小时后在BC 上的D 点相遇，已知两人上坡速度是4千米/小时，下坡速度是6千米/小时，在平路上的速度是5千米/小时．问C 至D 段是多少千米？【答案】2千米【解析】【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设3km 4km 5km km AB a BC a AC a CD x ====，，，，根据时间=路程÷速度，结合2个半小时后在BC 上的D 点相遇，列出方程组求解即可．【详解】解：设3km 4km 5km km AB a BC a AC a CD x ====，，，， 由题意得，34 2.5465 2.554a a x a x − += += 解得2x a ==，答：CD 的实际距离为2千米。

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高中数学学习材料唐玲出品成都七中高2012级“高考热身考试”数学理科试题命题人：许勇 郑勇军 审题人：江海兵第Ⅰ卷(非选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}2lg,1x M x y N x x x -⎧⎫===<⎨⎬⎩⎭,则 =N C M R ( )[)),0(.2,1.)4,0(.)2,0(.+∞D C B A答案：C2．已知复数z 满足i i z -=+1)1(3,则复数z 对应的点在（ ）上.A 直线x y 21-= .B 直线x y 21= .C 直线21-=x .D直线21-=y答案：C3．已知命题R x p ∈∃:，使25sin =x ；命题R x q ∈∀:，都有012>++x x .给出下列结论：①命题""q p ∧是真命题 ②命题""q p ⌝∧是假命题 ③命题""q p ∧⌝是真命题 ④命题""q p ⌝∨⌝是假命题 其中正确的是（ ）.A ②④ .B ②③ .C ③④ .D ①②③答案：B4．已知实数[]10,1∈x 执行如图所示的流程图，则输出的x 不小于63的概率为( )103.52.94.31.D C B A 答案：A5．函数)62sin(π-=x y 的图像与函数)3cos(π-=x y 的图像（ ） .A 有相同的对称轴但无相同的对称中心 .B 有相同的对称中心但无相同的对称轴 .C 既有相同的对称轴但也有相同的对称中心 .D 既无相同的对称中心也无相同的对称轴答案：A6． 已知函数)(x f 的图像如图所示，则)(x f 的解析式可能是（ ） 3121)(.x x x f A --=3121)(.x x x f B +-=3121)(.x x x f C -+=3121)(.x x x f D ---= 答案：A7.已知点()0,2A ，抛物线C:2(0)y ax a =>（0a >）的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若:1:5FM MN =，则a 的值等于（ ）4.1.21.41.D C B A答案：D解析：5:1:),0,4(=∴=MN KM MKMF a F ，则42421:2:=∴=∴=a a KM KN8.已知M 是ABC ∆内一点，且23AB AC ⋅=，30BAC ∠=，若MBC ∆、MAB ∆、MAC ∆的面积分别为12、x 、y ，则14x y +的最小值是（ ）20.81.16.9.D C B A答案：C9.在平面上，212121,1,AB AB AP OB OB AB AB +===⊥,若21<OP ，则OA 的取值范围是（ ） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,27.2,25.27,25.25,0.D C B A 答案：D解析：由条件21,,,B P B A 构成一个矩形21PB AB ，以21,AB AB 所在直线为坐标轴建系，设O xy),(),,(,,21b a P y x O b AB a AB ==由121==OB OB ，得⎩⎨⎧-=--=-⇒⎩⎨⎧=-+=+-222222221)(1)(1)(1)(x b y y a x b y x y a x 41)()(2122<-+-∴<b y a x OP 4741112222>+∴<-+-∴y x y x ①又1)(11)(2222≤--=∴=+-a x y y a x同理12≤x 222≤+∴y x ② 由①②得24722≤+<y x 22722≤≤∴+=OA y x OA 选D 10. 已知实数d c b a ,,,满足1112=--=-d cb e a a 其中e 是自然对数的底数 , 则22)()(d bc a -+-的最小值为（ ）18.12.10.8.D C B A答案：A解析：∵实数d c b a ,,,满足1112=--=-d cb e a a ，cde a b a -=-=∴2,2，∴点),(b a 在曲线x e x y 2-=上，点),(d c 在曲线x y -=2上，22)()(d b c a -+-的几何意义就是曲线xe x y 2-=到曲线x y -=2上点的距离最小值的平方．考查曲线xe x y 2-=上和直线x y -=2平行的切线，xe y 21-=' ，求出x e x y 2-=上和直线x y -=2平行的切线方程，121-=-='x e y ，解得∴=,0x 切点为)2,0(-该切点到直线x y -=2的距离2211220=+--=d 就是所要求的两曲线间的最小距离，故22)()(d b c a -+-的最小值为82=d ．故选A ．第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为 答案：π29解析：由三视图知，三棱锥有相交于一点的三条棱互相垂直，将此三棱锥补成长方体，它们有共同的外接球，ππ29422923322222==∴=++=R S R12.在52⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中，2x 的系数为____________.答案：4013.某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表： 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1．2万元 0．55万元 韭菜6吨0．9万元0．3万元为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入－总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为________． 答案：20,30解析：设黄瓜和韭菜的种植面积分别为y x ,亩，总利润z 万元，则目标函数y x y y x x z 9.0)9.063.0()2.1455.0(+=-⨯+-⨯=线性约束条件为⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,0549.02.150y x y x y x即⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,01803450y x y x y x ，做出可行域，求得)45,0(),20,30(),50,0(C B A 平移直线,9.0y x z +=可知直线,9.0y x z +=经过点),20,30(B 即20,30==y x 时，z 取得最大值.14.将9~1这9个数平均分成3组，则每组的3个数都成等差数列的分组方法的种数是 答案：5解析：设3组中每组正中间的数分别c b a ,,且c b a <<，则15,45333=++=++c b a c b a ，而42≤≤a ，故),,(c b a 所有可能取的值为)6,5,4(),7,5,3(),8,4,3(),7,6,2(),8,5,2(此时相对应的分组情况是());8,7,6(),9,5,1(),4,3,2();9,8,7(),6,4,2(),5,3,1();9,7,5(),8,6,4(,3,2,1);9,8,7(),6,5,4(),3,2,1()9,6,3(),8,5,2(),7,4,1(故分组方法有5种.15.如果)(x f 的定义域为R ，对于定义域内的任意x ，存在实数a 使得)()(x f a x f -=+成立，则称此函数具有“)(a P 性质”. 给出下列命题： ①函数x ysin =具有“)(a P 性质”；②若奇函数)(x f y =具有“)2(P 性质”，且1)1(=f ，则(2015)1f =；③若函数)(x f y =具有“(4)P 性质”， 图象关于点(10)，成中心对称，且在(1,0)-上单调递减，则)(x f y =在(2,1)--上单调递减,在(1,2)上单调递增；④若不恒为零的函数)(x f y =同时具有“)0(P 性质”和 “(3)P 性质”，且函数)(x g y =对R x x ∈∀21,，都有1212|()()||()()|f x f x g x g x -≥-成立，则函数)(x g y =是周期函数. 其中正确的是 (写出所有正确命题的编号)．答案：①③④三、解答题，本大题共6小题，共75分. 16.（本小题满分12分）设函数R x x x x f ∈++=,cos 2)322cos()(2π. （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期和单调减区间；（Ⅱ）将函数)(x f 的图象向右平移3π个单位长度后得到函数)(x g 的图象，求函数)(x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π 上的最小值． 解析：（Ⅰ）x x x x x x f 2cos 12sin 232cos 21cos 2322cos )(2++--=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π 132cos 12sin 232cos 21+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-=πx x x所以函数)(x f 的最小正周期为π.由πππ)12(322+≤+≤k x k ,可解得36ππππ+≤≤-k x k所以单调减区间是Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,3,6ππππ（Ⅱ）由（Ⅰ）得1)32cos(1)3)3(2cos()(+-=++-=πππx x x g 因为20π≤≤x ,所以32323πππ≤-≤-x 所以1)32cos(21≤-≤-πx ,因此21)32cos(21≤+-≤πx ，即)(x f 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21.17.（本小题满分12分）甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为21,32,43，乙队每人答对的概率都是32．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分． （Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望)(ξE ;（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率． （1）ξ的可能取值为3,2,1,041213141213241213143)1(;241213141)0(=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯==ξξP P41213243)3(;2411213143213241213243)2(=⨯⨯===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==ξξP Pξ的分布列为ξ0 1 2 31223413241124112410)(=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE（2）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A ,“甲队比乙队得分高”为事件B 则31313241313224113241)(213223333=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=C C C A P181313241)(213=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=C AB P 6131181)()()|(===∴A P AB P A B P18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中， 四边形ABCD 是直角梯形，ABCD PC CD AB AD AB 底面⊥⊥,//,,E a PC CD AD AB ,2,422====是PB 的中点.（Ⅰ）求证：平面EAC ⊥平面PBC ； （Ⅱ）若二面角E AC P --的余弦值为36，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．解析：（Ⅰ）PC AC ABCD AC ABCD PC ⊥∴⊂⊥,,平面平面.2,2,4==∴===BC AC CD AD ABBC AC AB BC AC ⊥∴=+∴,222,又PBC AC C PC BC 平面⊥∴=,PBC EAC EAC AC 平面平面平面⊥∴⊂ .（Ⅱ）如图，以点C 为原点，CP CD DA ,,分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系， 则)0,2,2(),0,2,2(),0,0,0(-B A C 。

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