人教版高中数学选修导数综合练习题

导数练习题

1．（本题满分12分）

已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示．

（I ）求d c ,的值；

（II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式；

（III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m

x x f y ++'=5)(3

1的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 2．（本小题满分12分）

已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间；

（II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为

,2

3

若函数]2

)('[31)(23m

x f x x x g ++=

在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围．

3．（本小题满分14分）

已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围；

（II ）若方程9

)32()(2

+-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式；

（III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ．

4．（本小题满分12分）

已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数． 5．（本小题满分14分）

已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+．

（I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值；

（II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 6．（本小题满分12分）

已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（⋅⋅⋅=718.2e ）． （I ）求实数a 的值；

（II ）求函数()f x 在]3,2

3[∈x 的最大值和最小值．

7．（本小题满分14分）

已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f

（I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间； （II ）求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值． 8．（本小题满分12分）

已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有．．．

单调性． （I ）求实数a 的取值范围；

（II ）若()f x '是()f x 的导函数，设2

2

()()6g x f x x '=+-

，试证明：对任意两个不

相等正数12x x 、，不等式121238|()()|||27

g x g x x x ->-恒成立． 9．（本小题满分12分）

已知函数.1,ln )1(2

1

)(2>-+-=a x a ax x x f

（I ）讨论函数)(x f 的单调性；

（II ）证明：若.1)

()(,),,0(,,52

1212121->--≠+∞∈

10．（本小题满分14分）

已知函数21

()ln ,()(1),12

f x x a x

g x a x a =+=+≠-．

（I ）若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求

实数a 的取值范围；

（II ）若(1,]( 2.71828)a e e ∈=，设()()()F x f x g x =-，求证：当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立． 11．（本小题满分12分）

设曲线C ：()ln f x x ex =-（ 2.71828e =⋅⋅⋅），()f x '表示()f x 导函数． （I ）求函数()f x 的极值；

（II ）对于曲线C 上的不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，12x x <，求证：存在唯一的0x 12(,)x x ∈，使直线AB 的斜率等于0()f x '． 12．（本小题满分14分）

定义),0(,,)1(),(+∞∈+=y x x y x F y ，

（I ）令函数22()(3,log (24))f x F x x =-+，写出函数()f x 的定义域；

（II ）令函数322()(1,log (1))g x F x ax bx =+++的图象为曲线C ，若存在实数b 使得曲线C 在)14(00-<<-x x 处有斜率为－8的切线，求实数a 的取值范围；

（III ）当,*x y ∈N 且x y <时，求证(,)(,)F x y F y x >．

导数练习题答案

1．（本题满分12分）

已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示．

（I ）求d c ,的值；

（II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式； （III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3

1的图象有三个不

同的交点，求m 的取值范围．

解：函数)(x f 的导函数为 b a c bx ax x f 2323)(2'--++= …………（2分） （I ）由图可知 函数)(x f 的图象过点（0，3），且0)1('=f 得

⎩

⎨⎧==⇒⎩⎨

⎧=--++=03

23233

c d b a c b a d …………（4分）

（II ）依题意 3)2('-=f 且5)2(=f

解得 6,1-==b a 所以396)(23++-=x x x x f …………（8分） （III ）9123)(2+-='x x x f ．可转化为：()m x x x x x x +++-=++-534396223有三个

不等实根，即：()m x x x x g -+-=8723与x 轴有三个交点； 42381432--=+-='x x x x x g

()m g m g --=-=⎪⎭

⎫ ⎝⎛164,273． …………（10分） 当且仅当()016402768

32<--=>-=

⎪⎭

⎫ ⎝⎛m g m g 且时，有三个交点， 故而，27

6816<<-m 为所求． …………（12分）

2．（本小题满分12分）

已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间；

（II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为

,2

3

若函数]2

)('[31)(23m

x f x x x g ++=

在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围．

解：（I ）)0()

1()('>-=

x x

x a x f （2分）

当(][)+∞>,1,1,0)(,0减区间为的单调增区间为时x f a

当[)(];1,0,,1)(,0减区间为的单调增区间为时+∞

（II ）32ln 2)(,22

3

43)4('-+-=-==-

=x x x f a a f 得 2)4()(',2)22

(31)(223-++=∴-++=∴x m x x g x x m

x x g （6分）