因子分析(因子评价)
因子分析
因子分析得到的是什么？
上市公司评价：某研究者选择 35 家能源类上市公司， 根据 2007 年的 12 项经营指标数据，采用因子分析法 分别按盈利能力、资产管理能力、偿债能力及经营 业绩综合评分等方面对 35 家上市公司进行了排名。 其中：盈利能力排在前5位的是：神火股份、海油工 程、兰花科创、潞安环能和中国石油；经营业绩综 合得分排在前5位的是：神火股份、潞安环能、兰花 科创、海油工程和开滦股份
几个重要概念：
1. 因子载荷：某个因子与某个原变量的相关系数，主要反映该公共因
子对相应原变量的贡献力大小。
当公因子之间求安全不相关时，因子负载 第i个变量与第j因子之间的相关系数。
aij 等于
2. 变量共同度：又称为公因子方差，指观测变量方差中由公因子
决定的比例。变量
xi 的公因子方差记作 hi2
假如从p个变量的数据文件进行因子分析得到m个共同因子，那 么 m 个共同因子的变化可以解释各个变量的大部分变异 ，换句话 说，用这 m 个因子可以在相当程度上预测每一个变量的变化。于 是得到下列回归方程组：
因子负载
该方程组表示了得到m 个公共因子后，就可以使用这些公共因 子在一定程度上预测每一个观测变量。方程中的系数正好是相对应 的观测变量与公共因子的相关系数，也叫做该观测变量在对应因子 上的载荷，即因子载荷，它反映了二者的关系强度。
主成分分析
(实例分析)
【例】根据我国31个省市自治区2006年的6项主要 经济指标数据，进行主成分分析，找出主成分 并进行适当的解释
31个地区的6项经济指标
2008年8月
SPSS的输出结果
各变量之间的相关系数矩阵
变量之间的存在较强的相关关系，适合作主成分分析
因子分析
因子分析判别分析和因子分析的区别，什么是聚类分析，多向测量的定义，广州专业广告市场调查。
在市场调查中，对问题的分析和评论往往涉及众多的评测变量。
因子分析，就是将多项评测变量归结为尽可能少的几个评测因素。
如对咖啡的评测内容有很多，专业性的调查报告结构上分为哪些部分：（1）闻着令人愉快；（2）喝起来感到解乏；（3）口感适宜；（4）价格便宜；（5）喝起来提神；（6）味道浓重有特色；（7）保持原料的味道。
通过因子分析，将7个评测项目减少到4个，广播委员会的任务是什么：享受感——闻着令人愉快、口感适宜浓厚感——味道浓重有特色货真感——喝起来感到解乏、提神，价格便宜新鲜感——保持原料的味道判别分析和因子分析实质上都是分类的方法。
聚类分析则是一种更简单、直观的分类方法，广泛地应用在市场调查中，如实验市场的选择、市场细分、市场范围的划分、产品的定位、消费者分类，等等，什么是创意广告。
多向测量，是指用多维空间定位图模拟市场或消费者对产品的心理评价的方法。
它能够形象地反映某一个市场的结构，即它是判别分析、因子分析和聚类分析的图形化。
主成分分析和因子分析的区别1，因子分析中是把变量表示成各因子的线性组合，而主成分分析中则是把主成分表示成个变量的线性组合。
2，主成分分析的重点在于解释个变量的总方差，而因子分析则把重点放在解释各变量之间的协方差。
3，主成分分析中不需要有假设(assumptions),因子分析则需要一些假设。
因子分析的假设包括：各个共同因子之间不相关，特殊因子（specific factor）之间也不相关，共同因子和特殊因子之间也不相关。
4，主成分分析中，当给定的协方差矩阵或者相关矩阵的特征值是唯一的时候，的主成分一般是独特的；而因子分析中因子不是独特的，可以旋转得到不到的因子。
5，在因子分析中，因子个数需要分析者指定（spss根据一定的条件自动设定，只要是特征值大于1的因子进入分析），而指定的因子数量不同而结果不同。
因 子 分 析
应用举例
利用SPSS软件进行因子分析
从表3可以看出，第一个主因子在 X1、X8、X9上有较大载荷，因 此可以命名为盈利和现金获取能力 ；第二个因子主要由X6、X7、 X2、X5决定，可命名为成长因子 ；第三个因子主要由X3、X4决定 ，命名为偿债因子。 为了考查上市公司的竞争力状况， 并对其进行分析和综合评价，采用 回归方法求出因子得分矩阵，得到 3个主因子的得分F1,F2,F3，以 贡献率为权数，构建综合评价函数 综合得分 =(0.36064xF1+0.23066x F2+0.22132x F3)/0.81262 ，经计算得到样本17家上市公司 的综合因子总得分。（见表4）
谢
谢
因子模型的参数估计
因子载荷矩阵 A (aij ) pm 与特殊因子方差 i2 （i=1,...,p）的估计， 常采用的估计方法有以下三种：主成分法、主因子解和最大似然法。 主成分法： A ( l , , l ), 1 1 m m m 2 2 i 1, , p. i sii aij , j 1
Fj b j 0 b j1 X1 b jp X p , j 1, , m
^
F A' R 1 X
其中R是X的相关系数矩阵。 最后以每个公共因子的贡献率来求出各因子权重，求得综合得分。
^
因子分析与主成分分析的异同比较
相同点：主成分分析法和因子分析法都是从变量的方差-协 方差结构入手，在尽可能多的保留原始信息的基础上，用 少数新变量来解释原始变量的多元统计分析方法。 区别：因子分析是把变量表示成各公因子的线性组合；而 主成分分析中则是把主成分表示成各变量的线性组合。主 成分的数量是一定的，一般有几个变量就有几个主成分； 因子个数需要分析者指定，指定的因子数量不同而结果也 不同。主成分分析重点在于解释个变量的总方差；因子分 析则把重点放在解释各变量之间的协方差。主成分分析法 是求出少数几个主成分，使它们尽可能多的保留原始变量 的信息；因子分析法是对原始变量进行分解，用最少个数 的不可测的所谓公共因子的线性函数与特殊因子之和来描 述原来观测的每一分量。
因子分析
ˆ 和D ˆ 的第j列与S的 ˆ 就是因子模型的一个解 这里的A 。因子载荷矩阵 A ˆ ( j的系数向量仅 相差一个倍数 j 就是主成分解。
因子提取
因子数量的确定
用公因子方差贡献率提取：与主成分分析类似，一 般累计方差贡献率达到80%以上的前几个因子可以 作为最后的公因子 用特征根提取：一般要求因子对应的特征根要大于 1，因为特征根小于1说明该共因子的解释力度太弱， 还不如使用原始变量的解释力度大
实际应用中，因子的提取要结合具体问题而定， 在某种程度上，取决于研究者自身的知识和经 验
2、参数估计
因子模型的参数估计
设x1,x2,....,xp是一组p维 样本，则μ和∑可分别估计 为
1 n 1 n x xi 和S (xi x)(xi x) n i 1 n 1 i 1
为建立因子模型，要估计因子载荷矩阵A和特殊方 差矩阵D=diag(σ12，σ22，..., σp2)。
主成分法
当p个原始变量的单位不同，或虽然单位相同但 各变量的数值变异性相差较大时，应先对原始变 量作标准化变换，变换后的样本协方差矩阵就是 原始变量的样本相关矩阵R，以R代替S可类似地 求得主成分解。 因子载荷矩阵的列元素平方和就是特征值。
因为t i都是正交向量，即 t i t i' 1，
因子载荷矩阵的统计意义
A的列元素平方和
2 设g j2 aij i 1 2 2 2 2 V ar (x ) g g g σ i 1 2 i m p p p
数据分析-因子分析
靠近1， 2非常小，则因子分析的效果好，从原变量空间到公共因
i
所有的公共因子和特殊因子对变量 X i
子空间的转化性质好。
14
3、公共因子F j 方差贡献的统计意义 因子载荷矩阵中各列元素的平方和
2 S j aij i 1 p
称为所有的 F ( j 1,, m) 对 X i 的方差贡献和。衡量 F j j 的相对重要性。
2
例如，在企业形象或品牌形象的研究中，消
费者可以通过一个有24个指标构成的评价体 系，评价百货商场的24个方面的优劣。 消费者主要关心的是三个方面，即商店的环 境、商店的服务和商品的价格。 因子分析方法可以通过24个变量，找出反映 商店环境、商店服务水平和商品价格的三个 潜在的因子，对商店进行综合评价。
即 F1 , F2 ,, Fm 互不相关，方差为1。
7
12 2 2 D( ) 2 p
即互不相关，方差不一定相等， i ~ N (0, i2 ) 。
8
二、因子分析模型的性质
1、原始变量X的协 方差矩阵的分解（例8.2.1）
X - μ = AF + ε Var ( X - μ) = AVar (F) A + Var (ε)
Fij
把某个个案的得分
看着最小二乘法需要求的系数 。
24
xi1 1 a11 f1 a12 f 2 a1m f m 1 x a f a f a f i2 2 21 1 22 2 2m m 2 xip p a p1 f1 a p 2 f 2 a pm f m m
p
p
q
i 1l 1
第九讲 因子分析
其中 i 1,,24
3
例：某公司对100名招聘人员的知识和能力进行测评，主要 测评六个方面的内容：语言表达能力、逻辑思维能力、判断 事物的敏捷和果断程度、思想修养、兴趣爱好、生活常识等， 我们将每一个方面称为因子，显然这里所说的因子不同于回 归分析中的因素，因为前者是比较抽象的一种概念，而后者 有着极为明确的实际意义。假设100人测试得分xi可以用上 述六个因子表示成线性函数：
* 6
还可求出各变量的共同度，各变量对应的特殊因子方差， 各公共因子方差贡献率以及两个公共因子的累计方差贡献
变量 X1* X2* X3* X4* X5* X6* 方差贡献率 累计方差贡献率 ai1 0.272 0.409 0.477 0.926 0.848 0.843 45.9% 45.9% ai2 0.293 0.439 0.513 -0.179 0.031 0.172 10.1% 56% 共同度 0.16 0.36 0.49 0.89 0.72 0.74 56% 特殊因子方差 0.84 0.64 0.51 0.11 0.28 0.26 44%
因子载荷不唯一。对于m m的正交阵T , 令A AT , F T F 则模型可表示为X A F 由于 D( F ) I mm cov(F , ) 0 仍满足模型条件，同样 可分解为： A A D 实际中，常利用这一点，通过因子的变换，使得新的因子有更 好的实际意义
注：
因子分析与回归分析不同，因子分析中的因子是一个 比较抽象的概念，而回归因子有非常明确的实际意义； 主成分分析分析与因子分析也有不同，主成分分析仅 仅是变量变换，而因子分析需要构造因子模型。 主成分分析:原始变量的线性组合表示新的综合变量， 即主成分；
因子分析：潜在的假想变量和随机影响变量的线性组 合表示原始变量。
管理学研究方法之因子分析法+案例(史上最详细)
颜色X6 0.57075 0.45547 -0.07874 0.22931 0.62148 0.14770 -0.00183
易洗熨X7 0.04328 0.49569 0.52183 0.50821 -0.46939 -0.03945 -0.00155
特征值 1.78312 1.40444 1.21696 1.04998 0.83791 0.70779 0.00003
• 因子分析希望达到的目的是：减少变量的个数， 解释事物的本质。
• 在这里，我们选前四个变量作为因子，则累计的 综合变量方差的贡献率达到了77.9%。
• 为了使因子对变量的解释以及因子的命名更准确， 我们再对因子进行旋转。旋转之后得到因子负荷 系数，如下表：
观察 变量
舒适X1 质地X2 款式X3 耐穿X4 价位X5 颜色X6 易洗熨X7
-0.08925
-0.39328
0.00088
F4 0.05156 -0.72079 -0.41522 0.13561 0.24376 0.11851 0.75523
• 由表中数据得到分析结果：
因子F1与变量X3，X4，X6相关性较强，说明它体 现了顾客对服装外在表现的要求；
因子F2与变量X5有较强的证相关性，说明它体现 了顾客对服装价格的要求；
之间的相关关系； 因子得分是以回归方程的形式将指标X1，X2，…， Xm表示为因子F1 ，F 2 ，…，Fp的线性组合。
三、因子分析模型
• 因子分析法是从研究变量内部相关的依赖关系出 发，把一些具有错综复杂关系的变量归结为少数 几个综合因子的一种多变量统计分析方法。它的 基本思想是将观测变量进行分类，将相关性较高， 即联系比较紧密的分在同一类中，而不同类变量 之间的相关性则较低，那么每一类变量实际上就 代表了一个基本结构，即公共因子。对于所研究 的问题就是试图用最少个数的不可测的所谓公共 因子的线性函数与特殊因子之和来描述原来观测 的每一分量。
因子分析中的因子得分解释技巧分享(九)
因子分析是一种常用的多变量统计分析方法，其目的是通过找出变量之间的共同性和相关性，将多个变量综合成几个较少的因子，以便更好地理解和解释数据。
在因子分析中，因子得分是一个重要的结果，它可以用来代表每个观测值在每个因子上的表现。
在本文中，将分享一些因子分析中的因子得分解释技巧，希望能对读者有所帮助。
1. 因子得分的直观理解因子得分可以被理解为每个观测值在每个因子上的表现，类似于对每个观测值进行打分。
例如，如果有一个因子代表着消费者对产品质量的评价，因子得分就可以反映出每个消费者对产品质量的态度。
因子得分的理解可以帮助研究人员更好地解释因子分析的结果，理解变量之间的关系。
2. 因子得分的计算方法在因子分析中，一般有两种计算因子得分的方法：常规因子得分和标准化因子得分。
常规因子得分是通过将原始变量与因子载荷相乘后相加得到的，而标准化因子得分则是在常规因子得分的基础上进行了标准化处理，使得每个因子得分的均值为0，标准差为1。
选择哪种计算方法取决于研究的具体需求，常规因子得分更接近原始数据，而标准化因子得分更适合进行跨样本比较。
3. 因子得分的解释技巧要更好地解释因子得分，可以采用以下几种技巧：- 变量与因子得分的关系：观察每个变量与因子得分的相关性，可以帮助理解因子得分所代表的含义。
如果一个变量与某个因子得分相关性较高，可以认为这个变量在该因子上具有较大的影响力。
- 因子得分的解释：对每个因子得分进行解释，可以通过观察因子载荷矩阵，找出与因子得分相关性较高的变量，从而理解因子得分背后的内涵。
- 因子得分的比较：可以比较不同样本、不同群体或不同时间点的因子得分，从而了解不同情况下因子得分的表现和变化情况。
4. 因子得分的应用因子得分在实际研究中有着广泛的应用，例如在市场研究中，可以利用因子得分来代表不同消费者对产品的偏好；在心理学研究中，可以利用因子得分来代表不同个体的心理特征；在财务研究中，可以利用因子得分来代表不同公司的综合实力。
因子分析(YXY)
r = αij r =
cov( i *,Fj ) x var(xi *) var(Fj )
= aij
在各公共因子不相关的前提下， 在各公共因子不相关的前提下 ，aij（载荷矩阵中 列的元素） 与公共因子F 第i行，第j列的元素）是随机变量xi*与公共因子Fj的 相关系数，表示x 依赖于F 的程度。反映了第i 相关系数，表示xi*依赖于Fj的程度。反映了第i个原 始变量在第j个公共因子上的相对重要性。 始变量在第j个公共因子上的相对重要性。因此 aij 绝 对值越大， 的关系越强。 对值越大，则公共因子Fj与原有变量xi的关系越强。
1、什么是因子分析
因子分析是主成分分析的推广，也是利用降维的思 因子分析是主成分分析的推广，也是利用降维的思 降维 想，由研究原始变量相关矩阵或协方差矩阵的内部依 赖关系出发， 赖关系出发，把一些具有错综复杂关系的多个变量归 结为少数几个综合因子的一种多元统计分析方法。 结为少数几个综合因子的一种多元统计分析方法。
δi
0.081 0.111 0.003 0.096 0.118 0.409
体现逻辑思维和运算能力， F1 体现逻辑思维和运算能力，F2 体现空间思维和推理能力
6、因子分析模型中的几个重要统计量的意义 因子负荷量（或称因子载荷）----是指因子结构 （1）因子负荷量（或称因子载荷）----是指因子结构
（1） cov(F,ε ) = 0, （2）
不相关； F,ε 不相关；
1 1 =I D(F) = ⋱ 1
即 F , F2 ,⋯, Fm 互不相关，方差为1。 互不相关，方差为1 1
（ 3）
2 σ1 D(ε ) =
2 σ2
⋱ 2 σp
因子分析
Burgelman
DebraM. Amidon
D. L. Barton 魏江、许庆瑞
陈劲
本文试图应用因子分析理论,通过建立 企业技术创新能力测度与评价的因子分 析模型对此类问题的解决作初步的尝试。
二、企业技术创新能力测度与评价初 始指标体系
技术创新过程是一个从资源投入到研 发、试制、生产、销售的全过程,因此 技术创新能力是各个过程能力有效协 同而表现出的一项综合能力。
LOGO
第八章 因子分析
第八组 李晓丹
企业技术创新能力测度与评价的因子 分析模型及其应用
一、引言
二、企业技术创新能力测度与评价初始 指标体系
结构
三、企业技术创新能力测度与评价的 因子分析模型 四、模型应用 五、结论
一、引言
进行成功的技术创新
正确地制定技术创新战 略 建立一个科学的技术创新能力 测度指标体系
DZ var AF A varF A AA ,
T T
AAT
所以第j列因子载荷为第j个主成分
当最后m-p个特征根很小时,去掉
j ej
p 1 e p 1 , m em
A 1 e1 p e p
（三）因子旋转
本文采用方差极大正交旋转法进行因子旋转。
的特征值为
1 2 p 0
其相应的特征向量为e1,e2,... em(标准正交化向量)
1 e1 , 2 e2 , m em 1 e1 , 2 e2 , m em
T
（二）确定因子载荷矩阵
当公因子Fi有p个时,特殊因子为0,所以Z=AF,A为因子 载荷矩阵。
因子分析
2.1概述
因子分析
因子分析是多元统计分析的一个重要分支。主要目的是浓缩数 据。通过对诸多变量的相关性研究，可以用假想的少数几个变量，来 表示原来变量的主要信息。 因子分析最初是由英国心理学家C.Spearman提出的。目前因子 分析在心理学、社会学、经济学、人口学、地质学、生理学，甚至在 化学和物理学中都得到了成功的运用。它的运用主要有两个方面：一 是寻求基本结构，简化观测系统。通常采用因子分析的方法将为数众 多的变量减少为几个新因子，以再现他们之间的内在联系；二是用语 于分类，将变量或者样本进行分类，根据因子得分值在因子轴所构成 的空间中进行分类处理。
2.3因子模型与主成分模型的区别
请注意因子模型 X1=a11f1+a12f2+…+a1mfm+e1
…
Xk=ak1f1+ak2f2+…+akmfm+ek
与主成分模型
Y1=b11X1+b12X2+…+b1mXk
…
Yk=b1kX1+b2kX2+…+bkKXk
之间的区别：公共因子在因子模型等号的右边，主成分在主成分模型等号 的左边。虽然在一定的条件下，等号左右边是可以转换的，但还需注意， 在因子模型中，除了公共因子外，还有特殊因子，也就是说公共因子只解 释了原来变量的部分方差，而主成分解释了原来变量的全部方差。
同理可求出a3，… ，am。
（2）ε 未知，求负载矩阵A的实际方法（事实上我们不知道ε ） 现ε 未知，先用R（X）代替R*（X），按照上面的方法求出对应于 R（X）的最大特征根λ1的、标准化了的（长度为1的）特征向量b1， a1= 1。若R（X）-a1a1t接近对角阵，则说明剩下的 b1
第五章 因子分析
模型中的 aij 称为因子“载荷” ，是第 i 个变量在第 j 个因子上 的负荷，如果把变量 X i 看成 m 维空间中的一个点，则 aij 表 示它在坐标轴 Fj 上的投影，因此矩阵 A 称为因子载荷矩阵。 （二）Q 型因子分析 类似地，Q 型因子分析的数学模型可表示为：
X i ai1F1 ai 2 F2 aim Fm i ， ( i 1, 2,, n )
(7.3) Q 型因子 分析与 R 型因子 分析模 型的差 异体现在 ， X 1 , X 2 ,, X n 表示的是 n 个样品。
无论是R型或Q型因子分析，都用公共因子F代替X，一般要求 m<p，m<n，因此，因子分析与主成分分析一样，也是一种降 低变量维数的方法。我们下面将看到，因子分析的求解过程同 主成分分析类似，也是从一个协方差阵出发的。 因子分析与主成分分析有许多相似之处，但这两种模型又存在 明显的不同。 主成分分析的数学模型本质上是一种线性变换，是将原始坐标 变换到变异程度大的方向上去，相当于从空间上转换观看数据 的角度，突出数据变异的方向，归纳重要信息。 而因子分析从本质上看是从显在变量去“提练”潜在因子的过 程。正因为因子分析是一个提练潜在因子的过程，因子的个数 m取多大是要通过一定规则确定的，并且因子的形式也不是唯 一确定的。一般说来，作为“自变量”的因子F1，F2，…，Fm 是不可直接观测的。这里我们应该注意几个问题。
由模型（7.2）式所满足的条件知
Σ AA D
（7.4）
如果 X 为标准化了随机向量，则 Σ 就是相关矩阵 R ( ij ) ， 即
R AA D
（7.5）
第二，因子载荷是不唯一的。这是因为对于 m m 的正交矩 阵 T ，令 A* AT ， F * T F ，则模型可以表示为 X A* F * ε 由于 D(F * ) T D(F )T T T I mm
因子分析
表达式中的 xi 已经 不是原始变量，而 是标准化变量
旋转后的因子载荷图
旋转后的因 子载荷系数 更加接近于 1( 如 果 旋 转 后的因子载 荷系数向 0— 1分化越明显， 说明旋转的 效果越好 ) ， 从而使因子 的意义更加 清楚了
因子得分函数
因子得分是各变量 的线性组合
因子分析的应用
(实例分析)
【例】根据我国 31 个省市自治区 2006 年的 6 项主 要经济指标数据，进行因子分析，对因子进行 命名和解释，并计算因子得分和排序
31个地区6项经济指标的因子分析
第 1步 将所
选择【Analyze】【Data Reduction-Factor】主对话框。
Bartlett球度检验
以变量的相关系数矩阵为基础，假设相关系数矩阵是 单位阵(对角线元素不为0，非对角线元素均为0)。如 果相关矩阵是单位阵，则各变量是独立的，无法进行 因子分析
KMO检验
用于检验变量间的偏相关性，KMO统计量的取值在 0～1之间
如果统计量取值越接近1，变量间的偏相关性越 强，因子分析的效果就越好
因变量和因子个数的不一致，使得不仅在数学模 型上，而且在实际求解过程中，因子分析和主成 分分析都有着一定的区别，计算上因子分析更为 复杂。 因子分析可能存在的一个优点是：在对主成分和 原始变量之间的关系进行描述时，如果主成分的 直观意义比较模糊不易解释，主成分分析没有更 好的改进方法；因子分析则额外提供了“因子旋 转(factor rotation)”这样一个步骤，可以使分析 结果尽可能达到易于解释且更为合理的目的。
因子分析
Factor analysis
因子分析
会计实证研究之因子分析法
四、因子分析的主要步骤
6.因子旋转 通过坐标变换使每个原始变量在尽可能少的因子 之间有密切的关系，这样因子的实际意义更容易解释， 并为每个潜在因子赋予有实际意义的名字——给因子 命名。 旋转方法选项：无、最大方差法、最大四次方值 法、直接Oblimin方法、最大平衡值法、Promax。一 般选“最大方差法”，即方差最大正交旋转法，使每 个因子上的具有最高载荷的原始变量数最小。 因子旋转后能确定个公因子的相对重要性。
17
五、因子分析法示列
2.变量（评价指标）选择 本文最初设计18个评价指标，因KMO值不佳舍 弃了应收账款周转率、存货周转率、每股经营现金 流量三个指标，最终保留15个。见下页表1。 数据来源：2011年上市公司年度报告。 提示：会计实证研究中，通常选择的财务指标 主要有：偿债能力指标、运营能力指标、盈利能力 指标、成长（发展）能力指标、现金能力等指标。 目前的实证研究比较重视非财务指标的评价， 比如创新能力、社会责任、管理能力等。 18
五、因子分析法示列
单击“抽取”按钮，进入“因子分析：抽取” 对话框。该对话框用于指定因子分析过程中提取因 子和确定因子数的方法。 “方法”下拉列表中显示因子分析中提取因子 的方法，在7种方法中“主成分”为默认选项。 “分析”栏用于指定提取因子的依据，“相关 性矩阵”为默认选项。 “输出”栏用于指定与因子提取方法有关的输 出项，两项可同时勾选。 “抽取”栏用于选择确定因子数量的方法，默 认选择“基于特征值”，且系统默认值为1，即要 求提取那些特征值大于1的因子。也可以自己指定 公因子的数目。 23 单击“继续”，返回主界面。
25
五、因子分析法示列
单击“选项”按钮，进入“因子分析：选项” 对话框 。 “缺失值”栏用于确定缺失值的处理方法， 保留默认选项“按列表排除个案”；“系数显示 格式”栏中选择“按大小顺序”。 单击“继续”按钮返回主界面。 单击“确定”，进入因子分析过程。 分析结果显示在SPSS“输出-查看器”文档中。 下面就主要输出结果做一说明。
因子分析
t 1 p
i j 1,2,...,m
则：R*=A（负荷系数矩阵）A’ （负荷系数矩阵的转置） R（相关矩阵）=R*（约相 关阵）+V
四、因子模型的估计
• 提取因子的方法有多种，SPSS提供了多种选 择。常用的有： • 1. 主成分法（principal component） • 2. 最大似然法 （maximum likelihood） • 3.(迭代)主因子法 （principal factor） 其中主成分法最为常用。
1. 巴特利球形检验（Barlett Test of Sphericity）。
零假设：相关系数矩阵是一个单位阵。如果巴特利球形
检验的统计计量数值较大，且对应的概率值小于显著性水平， 则拒绝零假设；反之，则不能拒绝零假设，认为相关系数矩 阵可能是一个单位阵，不适合做因子分析。
r11 r R 21 rn1
二、因子模型(基于相关系数）
支配m个变量的共性因子可能不止一个，设有 p个，记为f1，f2 … fp，则有：
X 1 a11 f1 a12 f 2 ... a1 p f p v1u1 X a f a f ... a f v u 2 21 1 22 2 2p p 2 2 ... X m am1 f1 am 2 f 2 ... amp f p vmum
KMO>0.9 非常适合 0.8<KMO<0.9 适合 0.7<KMO<0.8 一般 0.6<KMO<0.7 不太适合 KMO<0.5 不适合
10
例1：测得某地19-22岁年龄的部分城市男生 身体形态指标：身高（x1，cm）、坐高 （x2，cm）、体重（x3，kg）、胸围（x4、 cm）、肩宽（x5，cm）、骨盆宽（x6， cm）。试进行因子分析。
因子分析法指标选取原则
因子分析法指标选取原则因子分析法是利用样本数据所形成的一个具有多个变量的集合，对其进行因子分析。
一般来说，因子分析是指对某一变量进行综合分析。
它既包括主成分分析，也包括分析变量间是否存在相关关系的具体分析方法。
常用且有效的因子分析法有：因子分析法、 KMO （多元线性回归）法、因子分析法等。
一、定义因子分析是一种运用多个数据集来进行处理的统计学方法，利用统计软件对数据进行分析的一种分析方法。
其具体步骤是：首先，分析因子的数据来源，因子变量来源于多个数据；其次，分析变量之间是否存在相关关系；第三，进行因子分析操作；第四，使用计算公式将变量之间进行简单标准化处理，形成一个标准的量表来进行因子分析时要注意变量之间的相关关系。
假设该变量之间具有良好的关系，因此可以将各变量分别置于多个因子上。
1、因子变量的来源因子变量的定义是指一个变量包含两个以上的因子的集合，其中包含多个因子，这些因子的集合称为因子变量。
这些因子变量通常是指相关变量。
在实际的统计学研究中，需要考虑多种因素来共同影响因子和变量的表现：比如影响因素变量的解释能力、相关度、变量间关系等。
由于变量之间存在良好地相关关系，因此可以利用该变量来测量变量之间的关系。
2、根据因子分析的基本假设由于因子分析通常不需要再对变量进行编码，所以在因子分析过程中对原始数据的质量要求较低。
对于因子分析的基本假设，应以此为基础来进行。
假设该研究变量之间具有良好的关系：在不同变量之间存在相关关系，而且相互影响。
假设各变量之间是存在良好关系（并且相互影响）。
假设各变量之间具有良好关系：对于各个因子而言，这两个因素之间有一定密切的联系。
假设各因子能够共同解释变量之间有一定的共同含义：在各项目研究中，所有共同含义都代表着同一项目的两种特性和一种行为特性。
3、分析变量之间是否存在相关关系如果两个测试之间具有良好的关系，则可以认为两个变量之间具有相关性，假设两个问题之间是不存在相关关系的。
因子分析中的因子得分解释与应用方法(Ⅲ)
因子分析是一种常用的多元统计方法，主要用于寻找变量之间的内在结构和关联性。
在因子分析中，因子得分是一个重要的概念，它可以帮助我们理解变量之间的关系，进行分类和预测。
本文将探讨因子分析中的因子得分解释与应用方法。
1. 因子分析简介因子分析是一种用于发现变量之间潜在关系的方法。
它通过将多个变量转换为少数几个“因子”，从而揭示出变量之间的内在结构。
因子分析的目的是简化数据，找出变量之间的共性因素，以便进行数据的分类和预测。
在因子分析中，因子得分是对原始变量的一种转换，它可以更好地反映出变量之间的关系。
2. 因子得分的计算在因子分析中，因子得分是通过对原始变量进行线性变换得到的。
常用的计算方法有主成分法和估计因子法。
主成分法是一种基于特征值分解的方法，它将原始变量转换为一组无相关的主成分，再根据主成分的系数进行得分计算。
估计因子法则是通过最大似然估计或最小二乘估计来计算因子得分。
这两种方法在实际应用中各有优缺点，研究者需要根据具体情况选择合适的方法。
3. 因子得分的解释因子得分的解释是指如何理解和解释因子得分的意义。
在因子分析中，因子得分可以帮助我们理解变量之间的关系，找出隐藏在数据背后的模式和结构。
通过对因子得分的解释，我们可以揭示出变量之间的共性因素和差异因素，从而更好地理解数据的内在特性。
因子得分的解释对于数据的分类和预测具有重要意义。
4. 因子得分的应用因子得分在实际应用中具有广泛的用途。
首先，因子得分可以用于数据的降维和简化，帮助我们更好地理解和解释数据。
其次，因子得分可以作为新的变量用于分类和预测分析，从而提高模型的准确性和稳定性。
此外，因子得分还可以用于变量的标准化和加权，以便进行综合评价和决策分析。
5. 结论因子得分是因子分析中的一个重要概念，它可以帮助我们更好地理解和解释数据。
通过适当的因子得分解释和应用方法，我们可以发现变量之间的内在结构，从而更好地进行数据的分类和预测。
因此，在实际应用中，研究者需要充分理解和掌握因子得分的计算和解释方法，以便更好地利用因子分析进行数据分析和决策支持。
因子分析
（1）因子变量的数量远少于原有的指标变量的数 量，对因子变量的分析能够减少分析中的计算 工作量。 （2）因子变量不是对原有变量的取舍，而是根据 原始变量的信息进行重新组构，它能够反映原 有变量大部分的信息。 （3）因子变量之间不存在线性相关关系，对变量 的分析比较方便。 （4）因子变量具有命名解释性，即该变量是对某 些原始变量信息的综合和反映。 (5)因子载荷是不唯一的，这种不唯一性从表面上 看是不利的，但通过因子的变换（即因子轴的 旋转），可使新的因子更具有鲜明的实际意义。
2、 构造因子变量
因子分析中有多种确定因子变量的方法， 如基于主成分模型的主成分分析法和基于因子 分析模型的主轴因子法、极大似然法、最小二 乘法等。其中基于主成分模型的主成分分析法 是使用最多的因子分析方法之一。
3、利用旋转使得因子变量更具有可解释性。 在因子分析模型中,公共因子与因子载荷 阵的解不是唯一的。因子分析的目的不 仅是找出主因子，更重要的是知道每个 主因子的意义，以利于对公共因子命名 和解释结果，若每个公共因子的涵义不 清，难以找到合理的解释，可对因子载 荷矩阵实行旋转，使每个变量仅在一个 公共因子上有较大的载荷，而在其他公 共因子上的载荷较小。 方法：方差最大正交旋转
主成分分析中每个主成分的系数是唯一确定的； 因子分析中因子载荷矩阵不是唯一的。
二、因子分析的数学模型
1 、因子模型的假设
m≤p； 模型为线性模型; 特殊因子之间是相互独立的; 公因子与特殊因子之间是相互独立的; 各公因子都是均值为 0 ，方差为 1 的独立 正态随机变量。其协方差矩阵为单位矩 阵。
2、因子模型中各统计量的含义 A 因子的含义：
（ 1 ）公共因子： F1,F2 … .Fm ，指一组假设的抽 象的潜在变量，在各个原观测变量的表达式中 都共同出现的因子 , 是相互独立的不可观测的 理论变量 , 可以理解为它们是在高维空间中互 相垂直的m个坐标轴。 （ 2 ）特殊因子 : ε , 则指一个假设的抽象的变量， 它只能用来解释一个原始的变量，与其它变量 完全无关 , 各特殊因子之间以及特殊因子与所 有公共因子之间都是互相独立的。它表示变量 X不能被公共因子解释的部分。