初中数学规律探索型问题课件

2、用火柴棒搭三角形 （P112练习）
完成下表： 三角形的个数 1 2 3 … N
火柴棒的个数
3、用火柴棒搭下面的图形（P117练习）
完成下表： 四边形的个数 1 2 3 … N
火柴棒的个数
4、用棋子摆出下列一组图形（P118练习）
完成下表： 图形编号
棋子个数
1 2 3 …N
5、下面是用棋子摆成的小屋子（七下P9）
1. 如图，用火柴棒摆X个正方形需 根 火柴棒。 （P90；P108）
说明：由学生比较熟悉的正方形开始，鼓 励学生自主探索，合作交流，经历观察、 比较、归纳、提出猜想的过程。
课本上给出几种解法，如下：
3、按照下图的摆法摆放餐桌和椅子（P112）
完成表格： 桌子张数
1
2
3
…
N
可坐人数
按照下图的摆法摆放餐桌和椅子
完成表格： 桌子张数
1
2
3
…
N
可坐人数
探索问题。
若你是一家餐厅的大堂经理，由你负责在一个宽 敞明亮的大厅里组织一次规模盛大的西式冷餐会，你 会选择哪种餐桌的摆法？
说明：新颖的问题可以立刻吸引学生的注意力，我们 需要的是等待学生讨论后的完美答案。因此要一步步 加大题目的开放性，不仅在探索过程中培养了学生的 创造能力，也使之对数学的生活化和生活的数学化都 有较好的体验。
例如：1、 阅读下列材料，然后回答下面的问题；
2 2= 3
2 + 2 , 验证2 2 =
3
3
23 =
3
(23 - 2) + 2 22 - 1 =
2(22 - 1) + 2 22 - 1 =
2+ 2 3
3 3= 8
3+ 3, 验证3 3 =
8
8
33 = 8
(33 32
3) + -1
3
=
3(32 32
1) + -1
数学课程标准（P82）例3完成下列计算： 1+3=？ 1+3+5=？ 1+3+5+7=？ 1+3+5+7+9=？ 根据计算结果，探索规律。
教学中，首先应让学生思考：从上面这些算式 中你能发现什么？让学生经历观察（每个算式 和结果的特点）、比较（不同算式之间的异同） 归纳（可能具有的规律）、提出猜想的过程。 教学中，不仅注重学生是否找到了规律，更应 关注学生是否进行了思考。
如果学生一时未能发现其中的规律，教师可以鼓励学生 相互合作交流，进一步探索，教师也可以提供一些帮助。 如列出如下点阵，以使学生从数与形的联系中发现规律：
1+3=4=22
1+3+5=9=3 2 1+3+5+7=16=42
1+3+5+7+9=25=5 2 进而鼓励学生推测出1+3+5+7+9+……+19=102 此后教师 还可以根据学生的实际情况，把这个问题进一步推广到 一半的情形，推出1+3+5+7+9+……+（2n+1）=(n+1) 2， 这个一般性的结论。在这样的学习活动中，学生不仅能 主动地获取知识，而且能不断丰富数学活动的经验，学 会探索，学会学习。
(a + b)5 = (a + b)6 =
7、观察下列图形回答问题： （九下P77练习3）
（1）如上图，第n个图形中有多少个小正方形？ 你是如何计算的？ （2）求1+3，1+3+5，1+3+5+7，1+3+5+7+9， ……，1+3+5+7+9+……+（2n+1）.
8、如下图
（1）完成下表：
边上圆圈数 1
再例如课本上还有很多例题和习题：
1、在这个日历表中，套色方框中的9个数，问
日一二三四五六
1234 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
（1）日历表中，套色方框中的9个数之和与该方 框中间的数额有什么关系？ （2）这个关系对其他这样的方框成立吗？你能用 代数式表示这个关系吗？ （3）（4）略
二、新教材中例题
七年级（上）“第三章 字母表示数”中有这样几个例题： 一首永远唱不完的儿歌，你能用字母表示这首儿歌吗？ （P114） 1 只青蛙1张嘴，2 只眼睛，4 条腿，1 声扑通跳下水； 2只青蛙2 张嘴，4 只眼睛，8 条腿，2 声扑通跳下水； 3只青蛙3 张嘴，6 只眼睛，12 条腿，3 声扑通跳下 水；…_____ 只青蛙_____ 张嘴，_____只眼睛，_____ 条腿，______ 声扑通跳下水 说明：以一首富有童趣的儿歌，使学生体会到现实生活 的规律性，以及用数学式子表示现实规律的可行性与应 用性。新教材充分渗透“利用环境学习”的设计思想。
2、已知：
（a，b为正整数），则a+b=___.
这一类题的一般解法是先写出数式的基本结构，然后通 过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比 （比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的 特征，改写成要求的格式。
（二）图形规律探索
根据一组相关图形的变化情况，从中总结出图形的变化 所反映的规律。其中以图形为载体的数字规律最为常见。
2
3
4
5
小圆圈总数
（ 2）如果用n表示等边三角形边上的小圆圈数， m表示这个三角形中小圆圈总数，那么m和n的关 系是什么？ m=1+2+3+…… +n=n(n+1)/2
9、如下图
（1）完成下表：
边上圆圈数 1
2
3
4
5
小圆圈总数
（ 2）如果用n表示正六边形边上的小圆圈数，m 表示这个正六边形中小圆圈总数，那么m和n的关 系是什么？
例如：1.(2005滨州)下图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子．
观察图形的变化规律，写出第n个小房子用了
块石子．
2.(2004河北)如图：是用火柴棍摆出的一系列三角形图案，按这 种方式摆下去，当每边上摆20（即＝20）根时，需要的火柴棍总 数为 根。
解决这种图形规律探索的问题，需要把图形中的有关 数量关系表达出来，在对所列关系进行对照，仿照数 式规律探索的方法得到最终的结论。
(1)当DE/AE=1时，有EF=(a+b)/2；
(2)当DE/AE=2时，有EF=(a+2b)/3；
(3)当DE/AE=3时，有EF=(a+3b)/4；
当DE/AE=k时，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ照上述结论，请你猜想用k表示EF的一般结论，并 证明之
（四）阅读理解型探究规律
阅读理解类型的问题和一般试题相比较，不仅考察学生对 数学知识的理解水平，而且考察学生的阅读能力，因而试 题的篇幅较长，信息量较大。
3
=
3+ 3 8
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 4
4 15
的变形
结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意的自然数，且n≥2）
表示等式，并给出证明。
2、(2003青岛)在抗击“非典”的斗争中，某市根据疫情的发展状况，决定全市 中、小学放假两周，以切实保障广大中、小学生的安全．腾飞中学初三（1） 班的全体同学在自主完成学习任务的同时，不忘关心同学们的安危，两周内全 班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高．如果该班有56名同学， 那么同学们之间共通了多少次电话？为解决该问题，我们可把该班人数n与通 电话次数s间的关系用下列模型来表示：
一、新课程标准的要求
新课程标准指出：课程内容的学习，强调学 生的数学活动，发展学生的数感、符号感、空间 观念、统计观念，以及应用意识与推理能力。
推理能力主要表现在：能通过背景材料，进行
观察、比较、实验、归纳、类比、抽象和推理等 获得数学猜想，探索数、形及实际问题中蕴含的 关系和规律，增强应用数学的意识，提高运用代 数知识与方法解决问题的能力。
(1)若把n作为点的横坐标，s作为纵坐标，根据上 述模型中的数据，在给出的平面直角坐标系中，描 出相应各点，并用平滑的曲线连接起来；(2)根据 坐标系中各点的排列规律，猜一猜上述各点会不会 在某一函数的图像上？如果在，求出该函数的解析 式；(3)根据(2)中得出的函数关系式，求该班56名 同学间共通了多少次电话．
m=1+6+12+18+……+6(n-1)=1+6(1+2+3+……
+(n-1))=1+3n(n-1)
说明：由学生比较熟悉的图形开始，鼓
励学生自主探索，合作交流，经历观察、 比较、归纳、提出猜想的过程。以上的三 组题目逐层递进。根据图形的变化，帮助 学生了解探索规律过程中变量和常量的不 同作用，可以使学生初尝成功的喜悦。通 过探索变量和常量的关系，初步建立这一 类有规律递增问题的数学模型。
三、中考试题类型
（一）数式规律探究 （二）图形规律探索 （三）猜想数值结果 （四）阅读理解型探究规律
（一）数式规律探究
通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后让你探
索其中蕴含的规律。
例如：1、(2003舟山)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……， 叫做三角形数，它有一定的规律性，则第24个三角形数与第22个三角 形数的差为 .
喻屯镇第二中心中学
制作人：周 靖
规律探索型问题:就是对材料信息的加工
提炼和运用，从而得出数学概念和规律，或者将 实际问题抽象为数学问题，建立数学模型的一类 问题。
对规律归纳和发现能反映出一个人的应用数 学、发展数学和进行数学创新的意识和能力。求 解规律探索型问题要求学生有敏锐的观察力，能 从特殊的情况出发，经过周密的思考，全面的分 析，去推得一般的结论。这类试题意在检测解题 者驾驭数学的创新意识和才能，因此，成为了这 几年的热点内容。
完成下表： 图形编号
棋子个数
1 2 3 …N
6、杨辉三角（P35）
(a + b)0 = 1 (a + b)1 = a + b (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b2
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
解答这类问题时，首先要消
除恐惧心理，其次必须仔细地 阅读给定的材料，深刻理解其 含义，再进行分析归纳，弄清 材料中揭示了什么数学规律， 然后展开联想，将获得的新信 息、新知识进行迁移，进而解 决题目中提出的问题。
在学法指导上应注意以下几个方面：
1. 鼓励学生自主探索和合作交流。引导学生 自主地从事观察、实验、猜测、验证、推理 与交流等数学活动，使学生形成对数学知识 和有效的学习策略。 2. 鼓励与提倡解决问题的多样性，引导学生 在与他人交流中去选择合适的策略，丰富自 己的思维方式，获得成功的体验和不同的发 展。 3. 引导学生体会数学知识之间的联系，感受 数学的整体性。不断积累解决问题的策略， 提高解决问题的能力。
（三）猜想数值结果
当一些条件改变的前提下，结果的数值不变，或者其变 化规律呈现出某种特征时，可以猜想在新的条件下，数 值仍然不变，或者仍然按照原来的特征变化，依此猜想 到结果的数值。
例如：1、如图，在梯形ABCD中AB∥CD,AB=b,CD=a,E为AD边上 的一点，EF∥AB，且EF交BC于点F，某同学在研究这一问题时， 发现如下事实：
在新课程标准“教学建议”中还指出：对规律探索型 问题的教学应该采用“问题情境——建立模型——解 释应用和拓展”的模式展开。以问题引导思维，内容 的呈现突出以下几个特点： 1. 通过具有吸引力的探索活动和现实生活中的问题， 使学生初步体会数学建模的思想，激发好奇心和主动 学习的欲望。 2. 把知识的学习置于具体的情境中，通过丰富的例子 使学生经历从自然语言到符号语言和图表语言的双向 交流。关注学生能否用不同的语言表达、交流自己的 想法。 3. 根据“回想——联想——猜想”的思维过程，对难 点进行层层铺垫，使学生经历探索过程与思维升华的 过程，感受自我奋斗后成功的喜悦。