初中数学探索规律问题

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评析：这类题型主要以学生熟悉的、感兴趣的图形为背景，提供观察和操作的机会，让学生通过动手操作，亲自发现结果的准确性，在思想 和行动上逐步消除理论和实践之间的阻隔．网格试题具有操作性，趣味性，体现了“在玩中学，在学中思，在思中得”的课标理念．
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1．数式规律
例2：(2009北京)一组按规律排列的式子：
b
2
归纳与猜想
,
b a
5 2
,
b a
8 3
,
b
11
…（ab≠0），
4
a
a
其中第7个式子是
，
第n个式子是
（n为正整数）．
本题难点是，变化的部分太多，有三处发生变 化：分子、分母、分式的符号。学生很容易发现各 部分的变化规律，但是如何用一个统一的式子表示 7 出分式的符号的变化规律是难点.
叠、拼图等动手操作问题，往往与面积、
对称性质相联系；⑵与画图、测量、猜想、
证明等有关的探究型问题。
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实验操作型问题
折纸与剪纸
主要考查： （1）全等、相似、平移、对称、旋转、翻折等几何
操作变换的若干方法和技巧；
(2）综合运用相关知识解决应用问题．
分割与拼合
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展开与叠合
请你将发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出 来 ． n 1 (n 1) 1
n2 n2
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15、按如下规律摆放三角形：
１４ 则第（4）堆三角形的个数为_____________； ３n+2 第(n)堆三角形的个数为_____________
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2 2
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9、已知： 2 若 10 b a
2 3
2
2
2 3
， 3
3 8
3
2
3 8
,4
4 15
4
2
4 15
， 5
5 24
5
2
5 24 。
，
10
2
b a
, 符合前面式子的规律，
则 a b __________ 109
１０、填在下面三个田字格内的数有相同的规律，根据此规律， 108 C= ＿＿＿．
1 2
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4.网格问题
操作与探究
基础 题型
例10（08年石景山一模）如图，在由12个边长都为1
且有一个锐角为60°的小菱形组成的网格中，点P是
其中的一个顶点，以点P为直角顶点作格点直角三角
形（即顶点均在格点上的三
角形），请你写出所有可能 的直角三角形斜边的 长___________________.
复练1：
[05] 观察右面的图形（每个正方形的边长均为 1）和相应的等式，探究其中的规律： ① ② ③ ④
1
2
1 2
2
3 4
3
3 4
4
4 5
4
4 5
„„ „„ （1）写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示；
（2）猜想并写出与第 n 个图形相对应的等式．
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探究型问题是近年中考比较常见的题目，解 答这类问题的关键是牢固掌握基本知识，加强
“一题多解”、“一题多变”等的训练；需要有
较
强的发散思维能力、创新能力。具体做题时，
要仔细分析题目的有关信息、合情推理、联想， 并要运用类比、归纳、分类讨论等数学思想全
面考虑问题，有时还借助图形、实物或实际操
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2．图形规律
例4:(2008黑龙江哈尔滨)观察下列图形：
归纳与猜想
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第20
个图形共有
方法一:
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3n
个★．
三角形每条边上的 星数相同,再减去 三个顶点的数
9
3(n+1)-3=3n
2．图形规律
例4:(2008黑龙江哈尔滨)观察下列图形：
归纳与猜想
3
… … … … n-1 按此规律，可知第n行有 2 个正整数．
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3、将正数按如图所示的规律排律下去。 若用有序实数对（n , m)表示第n排，从 左到右第m个数，如（4，3）表示实数9， 则（7，2）表示的实数__________ 23
4、试观察下列各式的规律，然后填空：
( x 1)( x 1) x
12
2．图形规律
归纳与猜想
例5（2009海南省）用同样大小的黑色棋子按图所示 的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图 形需棋子 枚（用含n的代数式表示）.
…
第1个图 第2个图 第3个图
方法三:
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方法总结： 认真观察 研究图案（形） 2n+(n+1)=3n+1 提取数式信息 仿照数式规 13 律得到结论
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复练2：
[06] 观察下面的点阵图形和与之相对应的等式，探究其中的规律： （1）请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式： ① ② ③ ④ 4×0＋1＝4×1－3； 4×1＋1＝4×2－3； 4×2＋1＝4×3－3； ___________________；
⑤
___________________；
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1．数式规律
例1：(2009
2，
归纳与猜想
湖北十堰)观察下面两行数：
16， 32， 64， … ①
4， 8，
5， 7， 11， 19， 35， 67， …
②
根据你发现的规律，取每行数的第10个数，求得 它们的和是（写出最后的结果） 2051 ．
分析：第一行的第10个数是 2 1 0 1 0 2 4 ,第二行 的每个数总比第一行同一位置上的数大3，所以第 二行的第10个数是1024+3=1027.
2
2
1
3
( x 1)( x x 1) x 1
( x 1)( x x
3
2
x 1) x
10
4
1
…… 则
( x 1)( x
x
9
x 1)
x 1 _______________
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5、观察下列各式 15 25 35
个图形共有
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6
3n
9
个★．
12
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第20
10
2．图形规律
归纳与猜想
例5（2009海南省）用同样大小的黑色棋子按图所示 的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图 形需棋子 枚（用含n的代数式表示）.
…
第1个图 第2个图 第3个图
方法一:除第一个图形有4枚棋子外,每多一个图形, 多3枚棋子.
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6、如图6，∠AOB=450，过OA到点O的距离分别 为1，3，5，7，9，11，----的点作OA的垂线与OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别 为S1、S2、S3、S4--观察图中的规律，求出第10个黑色梯形的面积 76 S10=__________ 7、一个巴尔末的中学教师成功地从光谱数据， ,
作来打开思路。
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规律型问题 实 验操作题 存在型问题
探 究 型 问 题
动态型问题
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1.条件的不确定性 2.结构的多样性 3.思维的多向性 4.解答的层次性 5.过程的探究性 6.知识的综合性
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规律探索试题是中考中的一棵常青树，一直 受到命题者的青睐，主要原因是这类试题没有固 定的形式和方法，要求学生通过观察、分析、比 较、概括、推理、判断等探索活动来解决问题．
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16、柜台上放着一堆罐头，它们摆放在的形状见 右图： 第一层有２×３听罐头； 第二层有３×４听罐头； 第三层有４×５听罐头。 根据这堆罐头排列规律，第n（n为正整数）层有 n2+3n+2 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿听罐头（用含n的式子表示）
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实验操作型问题是让学生在实际操作 的基础上设计问题，主要有：⑴裁剪、折
5 9 16 12
S4 S2 S3
S1 0 1 3 5 7 9 11 13 图6
,
25 21
,
36 32
,
---中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你按照这 种规律，写出第n(n≥1)个数据是___________________.
（n 2) （n 2) 解： 或 2 n(n 4) (n 2) 4
解题策略1：重过程——“折”．
A．正三角形 C．正五边形
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B．正方形 D．正六边形 温馨提示:看清步骤，仔细操作.
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温馨提示:带齐工具。
试一试：
复练（08山东）：将一正方形纸片按下列顺序折叠，
然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角 C 形．将纸片展开，得到的图形是（ ）
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„„ „„ （2）通过猜想，写出与第 n 个图形相对应的等式．
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返表一
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探究规律题的一般步骤为： (1)观察（发现特点）
(2)猜想（可能的规律）
(3)实验（用具体数值代入猜想）
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二、填空题
1、有一组数：1，2，5，10，17，26，……，请观察这组数的构 成规律，用你发现的规律确定第8个数为 50 ． 2、把正整数1，2，3，4，5，……，按如下规律排列： 1 2，3， 4，5，6，7， 8，9，10，11，12，13，14，15，