集合函数导数

第二章 基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数
1.指数幂的概念 根指数n
奇数
被开方数a
根式x
xn= a
偶数 正分数
无意义
负分数
所以负数当然是有指数幂的，但是负数的幂不像正数的幂，正数的幂，指数可以是任意 实数。但是负数的幂能确定有意义的只有指数为整数，指数为分母是奇数的分数的情况； 确定无意义的是指数为分母是偶数的最简分数的情况，除此之外，如果指数的无理数这 样，我们无法判断负数的无理数次幂到底是有意义还是无意义。所以不对负数为底数的 指数函数进行研究，而是对负数为底数的幂，判断其有意义后，转化为正数为底数的指
(4)若 A B 且 B A ，则 A B
真子 集
AB
（或 B A）
A B ，且 B 中
至少有一元素不 属于 A
(1) A （A 为非空子集）
(2)若 A B 且 B C ，则 AC



集合 相等
A B
A 中的任一元素
都属于 B，B 中的 (1)A B 任一元素都属于 (2)B A
（2）两个命题互为逆命题或互为否命 题时，他们的真假性没有关系。
7.充分必要条件的两种表示方法
条件
p是q的充分条件 q是p的必要条件 p是q的充要条件 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件
p是q的既不充分也不必要条件
定义法
且 ，但 ,但 且
1.1.5 常用逻辑用语 集合法 （A={x|p(x)}, B={x|q(x)})
y f (x) x轴 y f (x) y f (x) y轴 y f (x) y f (x) 原点 y f (x) y f (x) 直线yx y f 1(x)
y f (x) 保留y轴右边图去象掉，y轴并左作边其图 关象于y轴对称图象 y f (| x |)
(u )' u'v uv' (v 0)
v
v2
y f (g(x))' f '(g(x))g '(x)
三.导数在研究函数中应用
1.函数的单调性与导数:
2.函数的极值与函数零点
定义
1.3.4 函数的导数
说明
最值
闭区间[a,b]上的连续函数一定存在最大值和最小 值，最大值和区间端点值和区间内的极大值中的 最大者，最小值和区间端点和区间内的极小值中 的最小者。
1.3.2 函数的奇偶性
1.3.3 函数的周期性
（1）作图
(i)利用描点法作图：
①确定函数的定义域；
②化解函数解析式；
③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象．
(ii)利用基本函数图象的变换作图： 要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、 三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换
原命题 若p,则q
互否
否命题 若非p,则非q
互逆 互逆
1.1.4 四种命题的真假关系
逆命题 若q,则p
逆否命题 若非q,则非p
6、四种命题的真假性：
原命题 逆命题 否命题
真
真
真
真
假
假
假
真
真
假
假
假
逆否命题 真 真 假 假
（1）两个命题互为逆否命题，他们具 有相同的真假性。
等价性：若正面难判断真假，可 从逆否命题入手
（4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x具有的性质}，其中x为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.
（5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何
f(x1)
那么就说 f(x)在这个区 o
间上是增．函．数．．
x1
x2
x
如果对于属于定义域 I 内
某个区间上的任意两个 y
y=f(X)
自变量的值 x1、x2，当 x．1．<． x．2．时，都有 f．(．x．1．)．>．f．(．x．2．)．，
f(x 1) f(x2 )
那么就说 f(x)在这个区 o
间上是减．函．数．．
（1） A A A （2） A
交集 A B {x | x A,且 x B} （3） A B A
A BB
（1） A A A （2） A A
并集 A B {x | x A, 或 x B} （3） A B A
A BB
补集
ðU A {x | x U ,且x A}
关于原点对称） （2）利用图象（图 象关于原点对称）
（1）利用定义（要
域内任意一个 x，都有
先判断定义域是否
．f(．－．x．．)=．f．(．x．)．, 那 么 函 数 f(x)叫做偶．函．数．． 可．以．表．示．为．．f．(x．．)=．f．(．|．x．|．)．
关于原点对称） （2）利用图象（图 象关于 y 轴对称）
某个
某些
都是 不都
是 …
…
9.全称量词和存在量词
(3)含有一个量词命题的否定
命题
命题的否定
〖1.2〗函数及其表示
1.2.1 函数的概念
（2）区间的概念及表示法 ①设a, b是两个实数，且a<b ，满足a≤x ≤b的实数x 的集合叫做闭区间，记做[a,b] ；满足 a<x <b的实 数x的集合叫做开区间，记做(a,b) ；满足 a≤x <b ，或 a<x ≤b的实数 的集合叫做半开半闭区间，分别 记做 [a,b)，(a,b] ；满足 的实数 的集合分别记做 ． 注意：对于集合 {x| a<x <b}与区间(a,b) ，前者 a可以大于或等于b ，而后者必须a<b（前者可以不成 立，为空集；而后者必须成立）．
(������1 − ������2) ������(������1) − ������(������2) < 0

f (x1) f (x2 ) 0 f (x)在a,b
x1 x2
上是减函数
②在公共定义域内，两个增函数 的和是增函数，两个减函数的和 是减函数，增函数减去一个减函 数为增函数，减函数减去一个增 函数为减函数．
2.1.1 指数与指数幂的运算
（4）指数函数
定义
图象
函数 y ax (a 0 且 a 1) 叫做指数函数
a 1
0 a 1
定义域 值域
R （指数函数自变量为指数，因变量为幂
对数函数自变量为幂，因变量为指数）
(0, )
过定点 奇偶性 单调性
函数值的 变化情况
a 对 图象影响
图象过定点 (0,1) ，即当 x 0 时， y 1．
A=B
8.含逻辑联结词的命题的真假判断 复合命题
p
q
真
真
真
假
假
真
假
假
口诀
假
真
假
假
真
假
真
假
真假相反 有假则假
真 真 真 假 有真则真
(4)一些正面叙述词及其否定
正面词 语
等于
大于
小于
是
否定词 语
不等于
不大于
不小于
不是
正面词 语
至多有 一个
至少有 一个
任意的
所有的
否定词 至少有 一个都 语 两个 没有
y f (x) 将x轴保下留方x轴图上象方翻图折象上去 y | f (x) |
1.3.4 函数的导数
二.导数的运算 1.基本初等函数的导数公式:
指数函数
对数函数 幂函数 三角函数
C ' =0
(a x )' a x ln a
(e x )' e x
(log a
x)'
1.2.1 函数的概念
1.2.2 函数的表示法
〖1.3〗函数的基本性质
（1）函数的单调性 ①定义及判定方法
1.3.1 函数的单调性
函数的 性质
函数的 单调性
定义
图象
如果对于属于定义域 I 内
某个区间上的任意两个 y y=f(X)
自变量的值 x1、x2,当 x．1．<．
f(x2)
x．2．时，都有 f．(．x．1．)．<．f．(．x．2．)．，
③对称变换
y f (x) 0AA1,1伸,缩 y Af (x)
1.3.4 函数的图像
（2）识图 对于给定函数的图象，要能从图 象的左右、上下分别范围、变化 趋势、对称性等方面研究函数的 定义域、值域、单调性、奇偶性， 注意图象与函数解析式中参数的 关系． （3）用图
函数图象形象地显示了函数的 性质，为研究数量关系问题提供 了“形”的直观性，它是探求解 题途径，获得问题结果的重要工 具．要重视数形结合解题的思想 方法．
在 R 上是增函数
非奇非偶
在 R 上是减函数
ax 1 (x 0) ax 1 (x 0) ax 1 (x 0)
ax 1 (x 0) ax 1 (x 0) ax 1 (x 0)
③对于复合函数 ，令 ，若 为增， 为增，则 为增；若 为减， 为减， 则 为增；若 为增， 为减，则 为 减；若 为减， 为增，则 为减．
1.定义及判定方法
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函数的 定义
性质
图象
判定方法
如果对于函数 f(x)定义
（1）利用定义（要
域内任意一个 x，都有
先判断定义域是否
函数的 奇偶性
．f．(－．x．．)=．－．f．(．x．)．,那么函数 f(x)叫做奇．函．数．． 若在 x=0 处有定义，则 f(0)=0． 如果对于函数 f(x)定义
x1
x2
x
判定方法
(������1 − ������2) ������(������1) − ������(������2) > 0

������(������1)−������(������2) > 0 ⇔ ������(������)在
������ 1 −������ 2
������, ������ 上是增函数
1.“若p,则q ”形式的命题中的p称为 命题的条件，q称为命题的结论.
互否
逆否命题 若非q,则非p
3、如果一个命题的条件和结论分别是 另一个命题的结论和条件，则这两个 命题称为互逆命题.其中一个命题称为 原命题，另一个称为原命题的逆命题。 4、如果一个命题的条件和结论恰好是 另一个命题的条件的否定和结论的否 定，则这两个命题称为互否命题. 一 个命题称为原命题，另一个称为原命 题的否命题. 5、对于两个命题，如果一个命题的条 件和结论恰好是另一个命题的结论的 否定和条件的否定，则这两个命题称 为互为逆否命题。其中一个命题称为 原命题，另一个称为原命题的逆否命 题。若原命题为“若 ，则 ”，则它 的否命题为“若 ，则 ”。
y f (x) hh00,右,左移移|h h个|个单单位位 y f (x h) ②伸缩变换
y f (x) kk00,下,上移移|k k个|个单单位位 y f (x) k
y f (x) 01,1缩, 伸 y f (x)
A
1.1.2 集合间的基本关系
示意图
A(B)
BA
或
BA
A(B)
（7）已知集合A有n(n≥1）个元素，则它有2n个子集，它有2n -1个真子集，它有2n -1个非空子集，
它有2n -2非空真子集. 若集合B中有m个元素，若A C B,则C的个数为2m-n个。
（8）交集、并集、补集
名称 记号
意义
性质
元素的集合叫做空集( ).
（6）子集、真子集、集合相等
其实就 是子集 去除集 合自身 后
名称
记号
意义
性质
(1)A A
子集
A B （或 B A)
(2) A（空集是任何集合的子集，
A 中的任一元素 是任何非空集合的真子集）
都属于 B
(3)集合的传递性：
若 A B 且 B C ，则 A C
第一章 集合与函数概念 〖1.1〗集合与常用逻辑语
1.1.1集合的含义与表示
（1）集合的概念 集合中的元素的三个特性：确定性、互异性和无序性.
（2）常用数集及其记法 N表示自然数集，N*或N+表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集
（3）集合与元素间的关系
对象a与集合 M的关系：a M 或者 a M ，两者必居其一.
（1） A (ðU A)
A (ðU A) U
2 痧U ( A B) ( U A) (?U B)
痧U ( A B) ( U A) (?U B)
1.1.3 集合的基本运算
示意图
A
B
A
B
原命题 若p,则q
互否
否命题 若非p,则非q
互逆 互逆
逆命题 若q,则p
1.1.4 四种命题间相互关系

1 x ln
a
(ln x)' 1
x
(x n )' nxn1
(sin x)' cos x
(cos x)' sin x
1.3.4 函数的导数
2.可导函数四则运算的求导法则:
[Cf (x)] Cf (x)
(uv)' u'v uv'
(u v)' u' v'