函数、导数及其应用-课件PPT

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导数和其应用优质课件

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线平行于直线 2x-y+1=0,则点 P 的坐标是__(_e,__e_)__.
(2)(2014·辽宁省五校上学期联考)曲线 y=log2x 在点(1,0)处 1
的切线与坐标轴所围三角形的面积等于__2_l_o_g_2e__. [思绪点拨] (1)先求函数旳导数,再利用导数旳几何意义 拟定切点旳坐标. (2)先求函数旳导数,写出切线方程,最终求三角形旳面积.
[即时练]
3.设直线 y=12x+b 是曲线 y=ln x(x>0)的一条切线,则实
数 b 的值为( A )
A.ln 2-1
B.ln 2-2
C.2ln 2-1
D.2ln 2-2
解析:由已知条件可得切线的斜率 k=12,y′=(ln x)′=1x=
12,得切点的横坐标为 2,则切点坐标为(2,ln 2).由点(2,
栏目 导引
专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
f′(-3)=f′(0)=f′(2)=0, ∴f(x)在(-∞,-3)上单调递减,在(-3,0)上单调递增,在 (0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增, ∴当 x=-3 或 x=2 时,f(x)取得极小值;当 x=0 时,f(x) 取得极大值, ∴f(x)极小值=f(-3)=-37e-3,f(x)极小值=f(2)=-2e2, f(x)极大值=f(0)=2. (2)f′(x)=ex(x3+mx2-2x+2)+ex(3x2+2mx-2) =xex[x2+(m+3)x+2m-2]. ∵f(x)在[-2,-1]上单调递增,
栏目 导引
专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
[措施归纳] 利用导数几何意义解题旳转化关系及 求参 思 路 (1)转化关系:利用导数旳几何意义解题主要是利用导数、切 点坐标、切线斜率之间旳关系来转化. (2)求参思绪:以平行、垂直直线斜率间旳关系为载体求参数 旳值,则根据平行、垂直与斜率之间旳关系,进而和导 数 联 络起来求解.

3.2导数的计算(27张PPT)

3.2导数的计算(27张PPT)

;
(7) y 3 x; 2
例3 :日常生活中的饮用水通常是经过净化的,随着水纯
净度的提高,所需净化费用不断增加。已知1吨水净化
到纯净度为x%时所需费用(单位:元)为:
c(x)= 5284 (80 x 100). 100 x
求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率;
(1)90%;
(2)98%.
x
x
f (x) (x2) ' lim y lim 2x x x2 lim (2x x) 2x.
x x0
x0
x
x0
公式三:(x2)' 2x
二、几种常见函数的导数
4) 函数y=f(x)=1/x的导数.
解: y f (x) 1 , x
y f (x x) f (x) 1 1 x x x x (x x)x
y
'
1 x2
探究:
表示y=C图象上每一点处的切线 斜率都为0
表示y=x图象上每一点处的切线 斜率都为1
这又说明什么?
这又说明什么?
画出函数y=1/x的图像。根据图像, 描述它的变化情况。并求出曲线在 点(1,1)处的切线方程。
x+y-2=0
3.2.2基本初等函数 的导数公式及导数 的运算法则
高二数学 选修1-1
y f (x x) f (x) C C 0,
y 0, x
f (x) C lim y 0. x0 x
公式一:C 0 (C为常数)
二、几种常见函数的导数
2) 函数y=f(x)=x的导数. 解: y f (x) x,
y f (x x) f (x) (x x) x x,
(1) c '(90) 5284 52.84 (100 90)2

第一节 导数的概念及其几何意义PPT课件

第一节 导数的概念及其几何意义PPT课件
解析:因为v=s′=3t2+2t,所以此物体在t=3时的瞬时速度为 3×32+2×3= 33.故选D.
10
2.曲线y=x3在原点处的切线( B ) (A)不存在 (B)有1条,其方程为y=0 (C)有1条,其方程为x=0 (D)有2条,其方程为x=0和y=0
11
3.函数 y= 1 在区间[1,2],[2,3],[3,4]的平均变化率分别为 k1,k2,k3,则( A )
13
5.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)= .
解析:由题意知切线的斜率k=f′(5)=-1,f(5)=-5+8=3, 所以f(5)+f′(5)=3-1=2. 答案:2
14
6.已知曲线y=ln x的切线过原点,则此切线的斜率为
.
答案: 1 e
15
2
知识链条完善
网络构建
把散落的知识连起来
一、函数的平均变化率
1.概念:对于函数 y=f(x), f x2 f x1 = y ,叫做函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的
x2 x1
x
平均 变
化率.
2.几何意义:函数y=f(x)图象上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的 斜率 . 3.物理意义:函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,就是该质点在[x1,x2] 上的 平均 速度.
高频考点突破
6
2.与导数几何意义有关的结论 (1)切点既在曲线上,也在切线上,切点的坐标同时适合曲线方程和切线方程. (2)求曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程,点P(x0,f(x0))为切点,当切线 斜率存在(即f(x)在x=x0处可导)时,切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0);当切线 斜率不存在(即f(x)在x=x0处不可导)时,切线方程为x=x0. (3) 已 知 曲 线 f(x) 的 切 线 斜 率 为 k, 则 切 点 (x0,f(x0)) 的 横 坐 标 x0 就 是 方 程 f′(x0)=k的解. (4)奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数. (5)周期函数的导数仍是周期函数,其周期与原函数的周期相同.

导数在研究函数中的应用PPT课件

导数在研究函数中的应用PPT课件
2 x
是减函数,求a的取值范围.
例4(09年宁夏/海南卷)已知函数 3 2 x f ( x) ( x 3x ax b)e . (1)若a=b=-3,求f(x)的单调区间 (2)若f(x)在(-∞,α ),(2,β )内 单调递增,在(α ,2),(β ,+∞)单调 递减,证明:β -α >6. 【解题要点】 求导后要指出定义域→由导数大于0得递 增开区间,定义域内其余区间为递减区 间→单调递增条件转化为导数非负.
考点2 导数在函数极值问题中的应用 3 x 2 例5 求函数 f ( x) 的极值 . 2 ( x 1) 例6 已知函数 f ( x) ( x ax a)e 有极小值0,求实数a的值.
2 x
例7(09年湖南卷文)已知函数 3 2 f ( x) x bx cx 的导函数的图象关于 直线x=2对称,且函数f(x)在x=t处取 得极小值g(t),求函数g(t)的定义域和 值域.
10.2
导数在研究函数中的应用
知识梳理
1 5730 p 2
t
1.导数与函数的单调性: f ′(x)≥0 Ûf(x)单调递增; f ′(x)≤0 Û f(x)单调递减, 其中f ′(x)不恒等于0.
2.函数极值的概念: 函数f(x)在点x0附近有定义,且对x0附近 的所有的点,都有 (1)f(x)>f(x0),则f(x0)为函数f(x)的 极小值; (2)f(x)<f(x0),则f(x0)为函数f(x)的 极大值.
例8(09年全国卷)已知函数 2 x 1和x 2, f x x aIn 1 有两个极值点 x 且x 1<x 2. (1)求实数a的取值范围;
1 2 In2 (2)证明 f x2 . 4
【解题要点】 由导函数的变号零点确定极值点→结合 图象确定极值类型.

导数及其应用课件PPT

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又因为函数在(0,+∞)上只有一个极大值点,所以函数在x=9处取得最大值.
解析答案
12345
4.某公司生产某种产品,固定成本为 20 000 元,每生产一单位产品,成本增
加 100 元,已知总收益 r 与年产量 x 的关系是 r=400x-21x2,0≤x≤400, 80 000, x>400,
则总利润最大时,年产量是( )
即当x为2.343 m,y为2.828 m时,用料最省.
解析答案
题型二 面积、容积的最值问题 例2 如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形 栏目(即图中阴影部分),这两栏的面积之和为18 000 cm2,四周空白的宽 度为10 cm,两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的 尺寸(单位:cm),能使矩形广告面积最小?
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为
x,y(单位:m)的矩形,上部是等腰直角三角形,要求框架的总面积为8 m2,
问:x,y分别是多少时用料最省?(精确到0.001 m)
解 依题意,有 xy+12·x·2x=8,∴y=8-x x42=8x-4x(0<x<4 2),
即当x为2.343 m,y为2.828 m时,用料最省.
解析答案
题型二 面积、容积的最值问题 例2 如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形 栏目(即图中阴影部分),这两栏的面积之和为18 000 cm2,四周空白的宽 度为10 cm,两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的 尺寸(单位:cm),能使矩形广告面积最小?
S′(x)=6x2-24x+16,

S′(x)=0,得

初等函数-课件PPT

初等函数-课件PPT
(2)∵π4 ∈0,π2 ,∴fπ4 =-tanπ4 =-1, ∴ffπ4=f(-1)=2×(-1)3=-2.
解决分段函数求值问题的方法: (1)求分段函数的函数值时,应根据所给自变量的大小选择相 应段的解析式求解,有时每段交替使用求值. (2)若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取 值范围,应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所 求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围,做到分段 函数分段解决.
【解】(1)法一:设 t= x+1,则 x=(t-1)2(t≥1); 代入原式有 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1. 故 f(x)=x2-1(x≥1). 法二:∵x+2 x=( x)2+2 x+1-1=( x+1)2-1, ∴f( x+1)=( x+1)2-1( x+1≥1),即 f(x)=x2-1(x≥1).
基本初等函数、导数及其应用
• 2015高考导 航
知识点
考纲下载
1.了解构成函数的要素;会求一些简单函数的定义
函数及 其表示
域和值域;了解映射的概念. 2.在实际、 情境中,会根据不同的需要选择恰当 的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
3.了解简单的分段函数,并能简单地应用.
单调性
1.理解函数的单调性及其几何意义. 2.理解函数最大值、最小值及其几何意义.
求函数的解析式
(1)已知 fx2+1=lg x,求 f(x);
(2)已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+ 17,求 f(x)的解析式; (3)定义在(-1,1)内的函数 f(x)满足 2f(x)-f(-x)=lg(x+1), 求函数 f(x)的解析式. [课堂笔记]
奇偶性 结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.

导数应用课件

导数应用课件
解析: (1)∵y′=3x2+6ax+3b,
12+12a+3b=0 由题意得 , 3+6a+3b=-3
解得a=-1,b=0, 则y=x3-3x2+c,y′=3x2-6x. 解y′=3x2-6x>0,得x<0或x>2;
工具
第二章
函数、导数及其应用
栏目导引
解y′=3x2-6x<0,得0<x<2. ∴函数的单调递增区间是(-∞,0),(2,+∞), 单调递减区间是(0,2). (2)由(1)可知函数在x=0时取得极大值c,在x=2时取得极小值c-4, ∴函数的极大值与极小值的差为c-(c-4)=4.
3π ,2π 2
,单调递
3π 3π 3π π, ,极小值为f = ,极大值为f(π)=π+2. 减区间是 2 2 2
工具
第二章
函数、导数及其应用
栏目导引
【变式训练】
2.已知函数y=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,
且其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行. (1)求函数的单调区间; (2)求函数的极大值与极小值的差.
同理,x=x3为极大值点,x=x2,x=x4为极小值点,故选C.
答案: C
工具
第二章
函数、导数及其应用
栏目导引
π 3.函数 y=x+2cos x 在0,2上取得最大值时,x 的值为(
)
A.0
解析: 选B.
π π π π 方法一:代入则可比较得f6= +2cos = + 3最大,故 6 6 6
工具
第二章
函数、导数及其应用
栏目导引
1 (2)由(1)知g(x)=- x3+2x,所以g′(x)=-x2+2. 3 令g′(x)=0,解得x1=- 2,x2= 2, 则当x<- 2 或x> 2 时,g′(x)<0,从而g(x)在区间(-∞,-

《导数的概念及应用》课件

《导数的概念及应用》课件
以判断函数的单调性。
极值与导数的关系
总结词
导数的零点通常是函数的极值点,但需 满足一定的条件。在极值点处,导数的 符号发生变化。
VS
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零,且在 这一点的一阶导数存在,那么这个点可能 是函数的极值点。为了确定这一点是否为 极值点,需要检查该点两侧的导数符号是 否发生变化。如果导数的符号在这一点从 正变为负或从负变为正,则该点为极值点 。
曲线的凹凸性与导数的关系
总结词
二阶导数可以判断曲线的凹凸性。二阶导数 大于零的区间内,曲线是凹的;二阶导数小 于零的区间内,曲线是凸的。
详细描述
二阶导数描述了函数值随自变量变化的加速 度。当二阶导数大于零时,表示函数在该区 间内单调递增;当二阶导数小于零时,表示 函数在该区间内单调递减。因此,通过分析 二阶导数的正负,可以判断曲线的凹凸性。
详细描述
在流体动力学中,导数可以用来描述流体速度和压强的变化规律,以及流体流动的稳定性分析。在结构分析中, 导数可以用来计算结构的应力和应变,评估结构的强度和稳定性。在控制理论中,导数可以用来分析系统的动态 响应和稳定性,优化系统的性能和稳定性。
THANKS
感谢观看
极值的概念
函数在某点的极值表示该点附近函数值的大小变化情 况,极值可以是极大值或极小值。
导数与极值的关系
函数在极值点的导数等于零,通过求导可以找到极值 点。
极值问题的求解方法
利用导数等于零的条件,结合函数单调性判断,确定 极值点并计算出极值。
曲线的长度计算
曲线长度的概念
01
曲线长度表示曲线本身的长度,是几何学中的一个基本概念。
导数的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。
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[例 3] (1)已知 fx+1x=x3+x13,求 f(x); (2)已知 f2x+1=lgx,求 f(x); (3)已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17, 求 f(x); (4)已知 f(x)满足 2f(x)+f1x=3x,求 f(x).
[课堂记录] (1)∵fx+1x=x+1x3-3x+1x, ∴f(x)=x3-3x,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞). (2)令2x+1=t,则 x=t-2 1, ∴f(t)=lgt-2 1,∴f(x)=lgx-2 1,x∈(1,+∞). (3)设 f(x)=ax+b,则
从近两年的高考试题看,表示函数的解析法、图 象法,分段函数以及函数与其他知识的综合问题 是高考的热点,题型既有选择题、填空题,又有 解答题,难度中等偏高;客观题主要考查解析法、 图象法、分段函数的应用及对函数概念的理解.
提醒:定义域必须写成集合或区间的形式.
[例 2] 已知函数 y=f(x)的定 义域 是 [0,2],那么 g(x)= 1+lfg(x(x2)+1)的定义域是________.
[思路探究] (1)x2 与已知 f(x)中 x 的含义相同. (2)分析分式的分母及对数式的真数满足的条件.
[课堂记录]
(3)列表法:用列出 自变量x 与对应的 函数值y 的表格 来表达 两个变量间的对应关系 的方法叫做列表法.
3.映射的定义
一般地,设A、B是两个 非空集合 ,如果按照某一 个确定的对应关系f,使对于集合A中的 任意一 个 元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应, 那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个 映射.
即时训练
已知函数
f(x)=2-x22+x 1
x≤0 x>0
,则不等式 f(x)
-x≤2 的解集是________.
解析:当 x≤0 时,f(x)=2x2+1, ∴2x2+1-x≤2,即 2x2-x-1≤0. ∴-12≤x≤1.
又∵x≤0,∴-12≤x≤0. 当 x>0 时,f(x)=-2x, ∴-2x-x≤2,∴x≥-23. 又∵x>0,∴x>0.综上所述,x≥-12. 答案:-12,+∞
1.函数 f(x)= 31x-2 x+lg(3x+1)的定义域是(
)
A.(-13,+∞)
B.(-13,1)
ห้องสมุดไป่ตู้
C.(-13,13)
D.(-∞,-13)
解析:要使函数有意义,需满足13- x+x>1>00 ⇒-13<x<1,故函
数的定义域是(-13,1). 答案:B
2.下列各组函数中表示同一函数的是( ) A.f(x)=x 与 g(x)=( x)2
∵当 x∈[-1,2]时,f(x)的最小值为 1,
∴-b2<-1, f(-1)=1-b+3=1
或3--1b≤42=-1b2≤2,
或-b2>2, f(2)=4+2b+3=1.
解得 b=3 或 b=-2 2, ∴f(x)=x2+3x+3 或 f(x)=x2-2 2x+3.
热点之四 分段函数及其应用
若函数在定义域的不同子集上的对应关系不同, 则可用几个不同的解析式来表示该函数,这种形 式的函数叫分段函数.分段函数是一个函数,而 不是几个函数,它的连续与间断完全由对应关系 来确定.对于分段函数的求值问题,一定要坚持 定义域优先的原则.
答案:D
热点之二 求函数的定义域 求函数定义域遵循的原则: (1)求具体函数y=f(x)的定义域时:
(2)求抽象函数的定义域时:
①若已知函数f(x)的定义域为[a,b],其复合函数 f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出.
②若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的 定义域为g(x)在x∈[a,b]时的值域.
=16m2-12m<0,得 0<m<34,综上可知,所求的实数 m 的取值范
围为[0,34). 答案:[0,34)
热点之一 函数的有关概念
1.函数关系的判断要注意“每一个”、“都 有”、“唯一”等关键词.
2.构成函数的三要素是:定义域、值域和对应 法则,而值域由定义域和对应法则可以确定.分 析判断两函数是否为同一函数时,就从这三个方 面进行分析,只有三者完全相同时才为同一个函 数.
3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b =ax+b+5a=2x+17, ∴a=2,b=7,故 f(x)=2x+7,x∈R. (4)2f(x)+f1x=3x,① 把①中的 x 换成1x,得 2f1x+f(x)=3x,② ①×2-②得 3f(x)=6x-3x,∴f(x)=2x-1x.(x≠0).
的一个映射,则集合 A 中的元素个数最多有( )
A.4 个
B.5 个
C.6 个
D.7 个
解析:∵A⊆[0,2π],由-sinx=0 得 x=0,π,2π;由-sinx
=12得 x=76π,116π,∴A 中最多有 5 个元素,故选 B. 答案:B
4.如右图,函数 f(x)的图象是曲线 OAB,其中点 O,A,B
B.f(x)=|x|与 g(x)=3 x3 C.f(x)=ln ex 与 g(x)=elnx D.f(x)=xx2--11与 g(t)=t+1(t≠1) 解析:由函数的三要素中的定义域和对应关系进行一一判断, 知 D 正确. 答案:D
3.已知 f:x→-sinx 是集合 A(A⊆[0,2π])到集合 B={0,12}
(4)同一函数.理由同(3).
即时训练 下列各对函数中,相同的是( ) A.f(x)=x,g(x)=( x)2 B.f(x)= 1-x2,g(x)=1-|x|,x∈[-1,1] C.y=f(x),g(x)=f(x+1) D.f(x)=lg(12)x,g(x)=|x|lg2
解析:A 中,f(x)的定义域为 R,g(x)的定义域为 x≥0,由于 定义域不同,故排除 A;B 中,虽然定义域、值域均相同,但对 应法则不同,例 f(12)≠g(12),故 B 也排除;C 中,值域相同,但定 义域未必相同,且对应法则不同,g(x)的图象可由 f(x)图象向左平 移一个单位得到,因此 f(x)与 g(x)的图象不重合,故 C 也排除;D 中,将 f(x)恒等变形后恰为 g(x),且定义域也相同,故选 D.
函数值,函数值的集合
叫{做f(x)函|x∈数A}的
值域.
2.函数的表示法
函数的表示法:解析法、图象法、列表法.
(1)解析法:如果在函数y=f(x)(x∈A)中f(x)是用 自变量x的代数来式表达的,则这种表达 的函方数法 叫
做解析法.
(2)图象法:对于函数y=f(x)(x∈A),定义域内每 一个x的值都有唯一的y值与它对应,把这两个对 应的数构成的有序实数对(x,y)作为点P的坐标, 记作P(x,y),则所有这些点的 , 集合构成一条曲线 把这 种用点的集合表示 函数 的方法叫做图象法.
[思路探究] (3)中分别用解析法和列表法表示函 数,(4)中分别用解析法和图象法.
[ 课 堂 记 录 ] (1) 不 同 函 数 . f1(x) 的 定 义 域 为 {x∈R|x≠0},f2(x)的定义域为R. (2)不同函数.f1(x)的定义域为R,f2(x)的定义域为 {x∈R|x≠0}.
(3)同一函数.x与y的对应关系完全相同且定义域 相同,它们是同一函数的不同表示方式.
[例 4] 函数 f(x)=seixn-(1πx2()x≥(0-) 1<x<0) ,若 f(1)+f(a)=2,
则 a 的所有可能值为( )
A.1
B.1,-
2 2
C.-
2 2
D.1,
2 2
[课堂记录] f(1)=1, 当 a≥0 时,f(a)=ea-1, ∴1+ea-1=2,∴a=1, 当-1<a<0 时,f(a)=sin(πa2), ∴1+sin(πa2)=2, ∴πa2=π2+2kπ(k∈Z), ∵-1<a<0,∴a=- 22,故选 B.
[例 1] 以下给出的同组函数中,是否表示同一函数?为什 么?
(1)f1:y=xx;f2:y=1.
(2)f1:y=|x|;f2:y=x-xx>0x<,0.
1 (3)f1:y=2
3
x≤1, 1<x<2, x≥2;
f2: x x≤1 1<x<2 x≥2
y1
2
3
(4)f1:y=2x;f2:如下图所示.
热点之三 求函数的解析式
求函数解析式的常用方法有:(1)代入法,用g(x) 代替f(x)中的x,即得到f[g(x)]的解析式;(2)拼凑 法,对f[g(x)]的解析式进行拼凑变形,使它能用 g(x)表示出来,再用x代替两边的所有“g(x)”即 可;(3)换元法,设t=g(x),解出x,代入f[g(x)], 得f(t)的解析式即可;(4)待定系数法,若已知f(x) 的解析式的类型,设出它的一般形式,根据特殊 值,确定相关的系数即可;(5)赋值法,给变量赋 予某些特殊值,从而求出其解析式.
函数、导数及其应用
内容分析
1.函数、导数及其应用是高中数学的重要内容,本章主要包括函 数的概念、表示及性质,基本初等函数(二次函数、指数函数、 对数函数、幂函数)的图象与性质,导数的概念、运算及其几何 意义,导数在研究函数的单调性、极值与最值及解决生活中的优
化问题中的应用.
2.本章内容集中体现了三大数学思想:函数与方程、数形结合、 分类讨论思想,且常与方程、不等式等知识交汇命题,具有较强 的综合性.各省市的高考中与本章考点有关题目的分值约占到总 分的五分之一.
1.函数的定义
一般地,设A、B是两个 非空的数集 , 如 果 按 照
某种确定的对应关系f,使对于集合A中的
任意一个数x,在集合B中都有 唯的一数确定f(x)和它对应,
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