导数及其应用 PPT

＋∞)；f(x)的单调减区间为(－ a， a)．
(2)∵f(x)在 x＝－1 处取得极大值，
∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.
• ∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，
• 由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1. • 由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处
• [解析] f′(x)＝5ax4－3bx2＝x2(5ax2－3b)． • 由题意，f′(x)＝0应有根x＝±1，故5a＝3b， • 于是f′(x)＝5ax2(x2－1) • (1)当a＞0时，
由表可知：40＝ ＝ff((－ 1)＝1)＝ a－－ba＋＋cb＋c 又 5a＝3b，解之得：a＝3，b＝5，c＝2. (2)当 a＜0 时，同理可得 a＝－3，b＝－5，c＝2.
9x
• C．y＝x3－6x2－9x D ． y ＝ x3 ＋ 6x2 －
9x
• [答案] B
• [解析] 适合题意的函数满足f(1)＝4，排 除A、C、D.
• 二、填空题
• 4．若函数f(x)＝x3＋ax在R上有两个极值点， 则实数a的取值范围是________．
• [答案] a<0
• [解析] f′(x)＝3x2＋a由题设条件知f′(x)＝0 应有两个不同实数根，∴a＜0.
• ①f(a) f(x00)(f(x0)表示f(x)在x＝a附近的函
数值)；
<
减
• ②f′(a)＝；
>
增
• ③在x＝a附近的左侧f′(x) 递；
0，函数单调
• 在x＝a附近的右侧f′(x) 0，函数单调递 ．
• (2)极大值与极大值点(对可导函数)
• 如图，若b为极大值点，f(b)为极大值，则
必须满>足：
• 1．3.2 函数的极值与导数
• 1．掌握极值的概念，了解函数在某点取 得极值的必要条件和充分条件．
• 2．会用导数求一些函数的极大值和极小 值．
• 本节重点：函数极值的概念与求法． • 本节难点：函数极值的求法．
• 1．极值点与极值
• (1)极小值与极小值点(对可导函数)
• 如图，若a为极小值点，f(a)为极小值，则 必须满<足：
• 5．若x＝2是函数f(x)＝x(x－m)2的极大值 点，则函数f(x)的极大值为________．
• [答案] 32 • [解析] f′(x)＝(x－m)2＋2x(x－m)＝3x2－
4mx＋m2＝(x－m)(3x－m)
方程 f′(x)＝0 的根为 x＝m 和 x＝m3
由题设知 m＝2 或 m＝6.
()
• A．1
B．0
• C．2
D．不存在
• [答案] D
• [解析] ∵y′＝3x2≥0在R上恒成立，
• ∴函数y＝x3＋1在R上是单调增函数，
• ∴函数y＝x3＋1无极值．
• 3．三次函数当x＝1时，有极大值4；当x
＝3时，有极小值0，且函数过原点，则此
函数是
()
• A．y＝x3＋6x2＋9x B ． y ＝ x3 － 6x2 ＋
• (6)极值情况较复杂时，注意分类讨论．
• 已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0
• (1)求f(x)的单调区间；
• (2)若f(x)在x＝－1处取得极大值，直线y＝ m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．
• [分析] 本小题主要考查函数、导数的应 用等基础知识，考查分类整合思想、推理 和运算能力．
则f′(x0)＝0是x0为函数y＝f(x)的极值点的 ()
• A．充分不必要条件 • B．必要不充分条件 • C．充要条件 • D．既不充分也不必要条件 • [答案] B • [解析] 如y＝x3，y′＝3x2，y′|x＝0＝0，但x
＝0不是函数y＝x3的极值点．
• 2．函数y＝x3＋1的极大值是
• (2)在区间上的单调函数是没有极值的，像 这样的重点结论可记熟．
• 2．求可导函数极值的基本步骤：
• (1)确定函数的定义域；
• (2)求导数f′(x)；
• (3)求方程f′(x)＝0的全部实根；
• (4)检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左、右两侧 值的符号，如果左正右负(或左负右正)， 那 么 f(x) 在 这 个 根 处 取 得 极 大 值 ( 或 极 小 值)．
• [解析] 解法1：当x＝0时，f(x)＝0，在x ＝0的附近区域内，f(x)有正有负，不存在 f(0)>f(x)(或f(0)<f(x))，因此y＝x3在x＝0处 取不到极值．
• [点评] (1)f′(x0)＝0是函数y＝f(x)在x＝x0处 有极值的必要条件而不是充分条件，如果 再加上x0附近导数的符号相反，才能判定 在x＝x0处取得极值．
• 由此可得： • 当0<a<1时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大
值f(0)＝－2，无极小值； • 当a＝1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值； • 当1<a<3时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极小
值f(2)＝－6，无极大值； • 当a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值． • 综上得：当0<a<1时，f(x)有极大值－2，
• (3)导数不存在的点也有可能是极值点，如 f(x)＝|x|在x＝0处不可导，但由图象结合极 小值定义知f(x)＝|x|在x＝0处取极小值．
• (4)在函数的定义区间内可能有多个极大值 点或极小值点，且极大值不一定比极小值
• (5)在讨论可导函数f(x)在定义域内的极值 时，若方程f′(x)＝0的实数根较多时，应注 意使用表格，使极值点的确定一目了然．
• ①f(b) f(x00)(f(x0)表示f(x)在x＝b附近的函
数值)；
>
• ②f′(b)＝；
<
减
• ③在x＝b附近的左侧，f′(x) 0 ， 函 数 单 调增；
• 在x＝b附近的右侧，f′(x) ．
0，函数单调
• 极小值点、极大值点统称为极值点，极大
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
• 2．求可导函数y＝f(x)的极值的方法是：
• 解方程f′(x)＝0.当f′(x0)＝0时：
• f(′(1x))＜如0果在，x0那附么近f(的x0左)是侧f′极(x)＞大0值； ，右侧
• (2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0
，右侧
f′(x)＞0
，那么f(x0)是极小值．
• [例1] 判断函数y＝x3在x＝0处能否取得极 值．
• [分析] 可由极值的定义来判断，也可由 导数来判断．
• [解析] (1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)， • 当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0， • ∴当当aa<>00时时，，由ff(′x)(x的)>0单解调得 x增<－区a间或 为x> (a－； ∞，＋
∞)．由 f′(x)<0 解得－ a<x< a，
∴当 a>0 时，f(x)的单调增区间为(－∞，－ a)，( a，
当 m＝2 时，极大值为 f23＝3227，f(2)为极小值
当 m＝6 时，极大值为 f(2)＝32.
无极小值； • 当1<a<3时，f(x)有极小值－6，无极大值； • 当a＝1或a≥3时，f(x)无极值．
• [点评] 判断函数极值点的注意事项
• (1)函数的极值点一定出现在区间的内部， 区间的端点不能成为极值点．
• (2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a， b)内绝不是单调函数，即在区间(a，b)上 的单调函数没有极值．
• 总之，求可导函数的极值的核心是：解方 程f′(x)＝0；列表；模拟图象；确定极大值 或极小值．
• [例3] 已知f(x)＝ax5－bx3＋c在x＝±1处 的极大值为4，极小值为0，试确定a、b、 c的值．
• [分析] 本题的关键是理解“f(x)在x＝±1 处的极大值为4，极小值为0”的含义．即x ＝ ±1 是 方 程 f′(x) ＝ 0 的 两 个 根 且 在 根 x ＝ ±1处f′(x)取值左右异号．
取得极大值f(－1)＝1，
• 在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.
• ∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不 同 的 交 点 ， 又 f( － 3) ＝ － 19< － 3 ， f(3) ＝ 17>1，
• 结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是 (－3,1)．
• 一、选择题 • 1．若函数y＝f(x)是定义在R上的可导翻译、转化是解决这类 问题的关键．
• [例4] 求函数f(x)＝x3－3x2－2在(a－1，a ＋1)内的极值(a>0)
• [解析] 由f(x)＝x3－3x2－2得f′(x)＝3x(x－ 2)，
• 令f′(x)＝0得x＝0或x＝2.
• 当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：