专题02 整式的运算(解析版)

专题02 整式的运算

本专题主要介绍整式的加、减、乘、除以及混合运算需要掌握的基本概念、规律。通过例题讲解和训练抓住解决问题的思维方法，以便快速提高大家解决问题能力。

一、整式的基本概念

1.单项式

（1）由数或者字母的积组成的式子，叫做单项式。单独的一个数或者一个字母也是单项式。

（2）单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

（3）一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

2.多项式

（1）几个单项式的和叫做多项式。

（2）其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。

（3）多项式里，次数最高项的次数，叫做多项式的次数。

3.整式

单项式与多项式统称整式。

二、整式的加减

1.同类项概念：含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项.

2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

3.合并同类项的法则：系数相加减，字母及其字母的指数不变.

4.去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；

如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.

5.整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 三、整式的乘除 1.基本运算

（1）同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=•（n m ,都是正整数）

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

（2）幂的乘方法则：mn

n

m a

a =)(（n m ,都是正整数）

幂的乘方，底数不变，指数相乘。

幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn

a a a

)()(==

（3）积的乘方法则：n

n

n b a ab =)(（n 是正整数）。

积的乘方，等于各因数乘方的积。

（4）同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m

同底数幂相除，底数不变，指数相减。

（5）零指数：任何不等于零的数的零次方等于1。即10=a （a ≠0）

（6）负整数指数：任何不等于0的数的-p 次幂(p 是正整数),等于这个数的p 次幂的倒数,

即

( a ≠0,p 是正整数)。

2.整式的乘法

（1）单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

（2）单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，

p p a a 1

=

-

即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式)。

（3）多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。 （4）平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 即2

2))((b a b a b a -=-+

（5）完全平方和公式：两个数的和的平方，等于这两个数的平方和，再加上这两个的积的2倍。 即：（a+b ）2

=a 2

+b 2

+2ab

（6）完全平方差公式：两个数的差的平方，等于这两个数的平方和，再减上这两个的积的2倍。 即：（a-b ）2

=a 2

+b 2

-2ab 3.整式的除法

（1）同底数幂的除法：m

n

m n

a a a

-÷=

（2）单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

（3）多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。 （4）添括号法则：

括号前面是+号，放进括号里面的每一项都不变号。 括号前面是—号，放进括号里面的每一项都要变号。

【例题1】（2020贵州黔西南）若7a x b 2与－a 3b y 和为单项式，则y x ＝________． 【答案】8

【解析】直接利用合并同类项法则进而得出x ，y 的值，即可得出答案．

因为7a x b2与－a3b y的和为单项式，所以7a x b2与－a3b y是同类项，所以x＝3，y＝2，所以y x＝23＝8，因此本题答案为8．

【点拨】此题主要考查了单项式，正确得出x，y的值是解题关键．

【对点练习】（2019贵州黔西南州）如果3ab2m﹣1与9ab m+1是同类项，那么m等于（）

A．2 B．1 C．﹣1 D．0

【答案】A

【解析】根据题意，得：2m﹣1＝m+1，解得m＝2．故选：A．

【例题2】（2020•凉山州）化简求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣（x+2）2+4（x+3），其中x=√2．

【答案】见解析。

【解析】先利用平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式法则展开，再去括号、合并同类项即可化简原式，继而将x的值代入计算可得答案．

原式＝4x2﹣9﹣（x2+4x+4）+4x+12

＝4x2﹣9﹣x2﹣4x﹣4+4x+12

＝3x2﹣1，

当x=√2时，

原式＝3×（√2）2﹣1

＝3×2﹣1

＝6﹣1

＝5．

【对点练习】（2019吉林省）先化简，再求值：（a-1)2+a(a+2),其中a=2

【答案】5