方差分析-教案

第五章 方差分析

一、教学大纲要求

（一）掌握内容 1．方差分析基本思想

（1） 多组计量资料总变异的分解，组间变异和组内变异的概念。 （2） 多组均数比较的检验假设与F 值的意义。 （3） 方差分析的应用条件。 2．常见实验设计资料的方差分析

（1）完全随机设计的单因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。

（2）随机区组设计资料的两因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。

（3）多个样本均数间的多重比较方法： LSD-t 检验法；Dunnett-t 检验法；SNK-q 检验法。

（二）熟悉内容

多组资料的方差齐性检验、变量变换方法。 （三）了解内容

两因素析因设计方差分析、重复测量设计资料的方差分析。

二、教学内容精要

(一) 方差分析的基本思想 1． 基本思想

方差分析（analysis of variance ，ANOV A ）的基本思想就是根据资料的设计类型，即变异的不同来源将全部观察值总的离均差平方和（sum of squares of deviations from mean ，SS ）和自由度分解为两个或多个部分，除随机误差外，其余每个部分的变异可由某个因素的作用（或某几个因素的交互作用）加以解释，如各组均数的变异SS 组间可由处理因素的作用加以解释。通过各变异来源的均方与误差均方比值的大小，借助F 分布作出统计推断，判断各因素对各组均数有无影响。

2．分析三种变异

（1）组间变异：各处理组均数之间不尽相同，这种变异叫做组间变异（variation among groups ），组间变异反映了处理因素的作用（处理确有作用时 ），也包括了随机误差（ 包括个体差异及测定误差 ）, 其大小可用组间均方（MS 组间）表示，即 MS 组间= 组间组间ν/SS ， 其中，SS 组间=

21

)(x x

n k

i i

i -∑= ，组间ν=k -1为组间自由度。k 表示处理组数。

（2）组内变异：各处理组内部观察值之间不尽相同，这种变异叫做组内变异(variation within groups)，组内变异反映了随机误差的作用，其大小可用组内均方 (组内MS ) 表示，

组内组内组内ν/SS MS = ，

其中∑∑==⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-=k

i n j i ij i x x SS 112)(组内, k N -=组内ν，

为组内均方自由度。 （3）总变异：所有观察值之间的变异（不分组），这种变异叫做总变异(total variation)。

其大小可用全体数据的方差表示， 也称总均方(MS 总 )。按方差的计算方法，MS 总=

总总ν/SS ，其中SS 总=211

)(∑∑==-k i n j ij i

x x , k 为处理组数，i n 为第i 组例数，总ν=N -1为总的自

由度， N 表示总例数。

（二）方差分析的应用条件

（1） 各样本是相互独立的随机样本，且来自正态分布总体。 （2） 各样本的总体方差相等，即方差齐性(homoscedasticity)。 （三）不同设计资料的方差分析 1．完全随机设计的单因素方差分析

（1）资料类型：完全随机设计(completely random design)是将受试对象完全随机地分配到各个处理组。设计因素中只考虑一个处理因素，目的是比较各组平均值之间的差别是否由处理因素造成。

(2) 方差分析表：见表5-1。F ≥F α时，拒绝H 0: 12k μμμ=== 。

表5-1 完全随机设计方差分析计算表 来源

SS ν

MS

F 值

组间

SS 组间

1-=k 组间ν

MS 组间=

组间

组间

νSS

F=

组内

组间MS MS

组内 (误差)

SS 组内=SS 总 － SS 组间

组内ν=总ν-组内ν=N - k

MS 组内=组内

组内

νSS

总计

SS 总

总ν= N － 1

2．随机区组设计的两因素方差分析

（1）资料类型：随机区组设计（randomized block design ）是将受试对象按自然属性（如实验动物的窝别、体重，病人的性别、年龄及病情等）相同或相近者组成单位组（区组），然后把每个组中的受试对象随机地分配给不同处理。设计中有两个因素，一个是处理因素，另一个是按自然属性形成的单位组。单位组的选择原则是“单位组间差别越大越好，单位组内差别越小越好”。

（2）方差分析表：见表5-2。F 处理≥F α时，拒绝H 0:

12k μμμ=== 。

表5-2 随机区组设计方差分析计算表

变异来源

SS

ν

MS F 值

处理组间

SS 处理

处理ν= k-1

MS 处理=

处理

处理

νSS F 处理 =

误差

处理

MS MS

单位组间

SS 单位

单位ν= b -1

MS 单位=

单位

单位

νSS

F 单位 =

误差

单位MS MS

误差

SS 误差= SS 总- SS 处理- SS 单位 误差ν=总ν-处理ν-单位ν

=N-k-n+1

MS 误差=

误差

误差

νSS

总计

SS 总

总ν = N -1

3．多个样本均数的多重比较

如果方差分析结果表明各组间有显著差别，则需要进一步进行两两比较，也称均数间的多重比较（multiple comparison ）。进行两两比较的方法主要有：

（1） LSD-t 检验：称为最小显著差异t 检验。适用于k 组中某一对或某几对在专业上有特殊意义的均数间差异的比较。检验统计量为t 值，自由度为方差分析表中的误差自由度，查t 界值表。

A B

d B

A S X X t -=

其中 )(11B

A

A B

n n MS S +=误差 （5-1）

（2）

Dunnett-t 检验：它适用于k-1个试验组与一个对照组均数差别的多重比较，

检验统计量为t 值，自由度为方差分析表中的误差自由度，查Dunnet-t 界值表。

x

x i i

S x x t --=

，其中0x x i S -=)1

1(

n n MS i +误差

（5-2）

（3）SNK-q 检验：在方差分析结果拒绝H 0时采用。适用于所有组均数的两两比较。检验统计量为q ，自由度为比较组数a 和方差分析表中的误差自由度，查q 界值表。

()

A B X X S q -=

其中，d

S =

4．多组资料方差起行检验

当各组标准差相差较大（如1.5倍）时，需检验资料是否满足方差齐性的条件。 5. 变量变换

当资料不能满足方差分析的条件时，如果进行方差分析，可能造成错误的判断。因此对于明显偏离上述应用条件的资料，可以通过变量变换的方法来加以改善。常用的变量变换方法有：

（1）对数变换 对数变换不仅可以将对数正态分布的数据正态化，还能使数据方差达到齐性，特别是各样本的标准差与均数成比例或变异系数接近于一个常数时。变换公式为：

X X lg =' (5-4)

当原始数据中有小值或零时，可用)1lg(+='X X

（2）平方根变换 常用于使服从Possion 分布的计数资料或轻度偏态的资料正态化；当各样本的方差与均数呈正相关时，可使资料达到方差齐性。变换公式为：

X X =

' (5-5)

当原始数据中有小值或零时，可用5.0+='X X

（3）倒数变换 常用于数据两端波动较大的资料，可使极端值的影响减小。变换公式为：

X X /1=' (5-6)

（4）平方根反正弦变换 常用于服从二项分布的率或百分比资料。一般地，当总体率较