第十三讲-弯曲切应力与强度条件

30
FS ( )
FS, max
( l )F l ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ FS (0) F
M ( ) F 1 l Fl M max 4
2. 按弯曲 条件选截面
Fl 3.0 104 m4 Wz 4[ ]
选 №22a, Wz=3.09×10-4 m4
第6章 弯曲应力 本章主要研究： 梁的弯曲正应力 梁的弯曲切应力 梁的强度分析与设计 对称与非对称弯曲
1
弯曲正应力回顾
表面变形观察 平面假设 单向受力假设

y

( y) E
y

(a)
AdA 0 (b)
1
A ydA M (c)
中性轴位置： 中性轴过截面形心
FS Sz ( ) FSsin ( ) R0 I z
max
FS R0
19
弯曲正应力与切应力比较
max
Fl 6Fl 2 2 bh bh 6
max
3F 2 bh
max 6Fl 2bh l 2 4 max bh 3F h
9

( y)
FS Sz ( ) I zb
h 1 h Sz ( ) b y y 2 2 2
可否取上部 计算，结论是 否相同？
b h2 2 y 2 4
bh3 Iz 12
3FS 4 y 2 ( y) 1 2 2bh h
FS bh 1 h2 qw ( y) y 2 Iz 2 24
y
翼缘中心线高度。 与腹板高度、梁高 度给出的结果有何 差别？
14
3. 剪流方向判断
dF2 0
w 与 FS 同向
FS 0 dM 0
dF1 0
f 指向腹板
35
注重弯曲强度，兼顾腹板的剪切强度与稳定性
腹板不能过薄，以避免剪切破坏与失稳
36
变截面梁与等强度梁
M ( x) [ ] －弯曲等强条件 W ( x) bh2 ( x ) M ( x ) Fx W ( x ) 6 6Fx h( x ) b[ ]
3FS ( x ) [ ] －剪切等强条件 2bh( x )
Sz ,max
( b yC ) 2
Sz ,a
2 FS Sz ,max max 7.66 MPa I z b b ( - yC ) 8.40 10-5 m3 2 FS Sa a 7.13 MPa I z
9.03 105 m3
max
3 FS 2 A
10
截面翘曲与非纯弯推广 切应力非均布 切应变非均布 截面翘曲
当FS=常数时， ab = a'b' ，弯曲 仍保持线性分布

当梁上作用横向分布载荷时，各截面翘曲量不同，
对 有影响；只要 l > 5h，纯弯 公式仍足够精确 矩形截面简支梁受均布载荷，根据弹性理论，
15
4. 剪流分布图
qw,max FS h(4b h 1 ) 8Iz

下翼缘的剪流均指
向腹板；上翼缘的剪流 均背离腹板


腹板上的剪流与剪
“视”截面如管道，
力 FS 同向
“视”剪流如管流，连 续流动；由qw推及其他
16
盒形薄壁梁弯曲切应力

FS Sz ( ) FS ( y) b( h02 - h2 ) 2 ( h2 - 4 y 2 ) I z 2 16 I z
FS Sz ( ) ( s) I z ( s )
Sz-截面 对 z 轴的静矩
Iz- 整个截面对 z 轴的惯性矩
21
例 题
例 FS = 15 kN，Iz = 8.8410-6 m4， b = 120 mm， 20 mm， yC = 45 mm，求 max、腹板与翼缘交接处 切应力 a 解：
t,max c 33.6 MPa t
33
§5 梁的合理强度设计
梁的合理截面形状
变截面梁与等强度梁 梁的合理受力
34
梁的合理截面形状 将较多材料放置在远离中性轴的位置，并注意塑性
与脆性材料的差异
塑性材料梁
脆性材料梁
上下对称
yc [ c ] yt [ t ]
§4 梁的强度条件
梁危险点处的应力状态
梁的强度条件 强度条件的应用 例题
25
梁危险点处的应力状态
实心与非薄壁截面梁
a, c 点处－单向应力
b 点处－纯剪切
26
薄壁截面梁
d
a 点处－纯剪切
c , d 点处－单向应力
b 点处－ , 联合作用
27
梁的强度条件
弯曲正应力强度条件：
17
例 确定闭口薄壁圆截面梁的切应力分布
解：1. 问题分析 2. 切应力分析
切应力分布对称于 y 轴，A 处切 应力为零,等价于开口薄壁截面
( )
FS Sz ( ) I z
18
I z R03

0
Sz ( ) ydA

Sz ( ) R0cos R0d R02sin
ydA A yC 0 A
(a)(b)
E
(a)(c)
y dA M A
2
I z A y 2dA－惯性矩
1 M EI z
(d)
(d)(a) max
My ( y) Iz
Mymax M Iz Iz ymax
max
M Wz
Iz Wz ymax
0 z
A1
A2 y
Sz S
( 整) z
S
( 孔) z
负面积法
S z( 整 ) S z( 孔) y c ( 整) A A( 孔)
3
弯曲正应力的另一种推导方法
根据平面假设，令
a by
y

A
dA 0

A
y dA M
0
M ( y) y Iz
32
截面B
截面D
MD MB ,
ya yd

a d
危险点－ a, b, c
M D y2 -59.8 MPa a Iz
M D y1 28.3 MPa b Iz M B y2 33.6 MPa c Iz
c,max a 59.8 MPa c
FS S M y y2 3 y q 4 , 2 I bh h 5 It 2 2 2 q 3 l 1 3 ql 4 h 1 max b 4 h2 5 4bh2 15 l
当 l >> h 时，max >> max
20
Fx 0, ( s) ( s)dx dF
1 dF ( s ) dx MS z ( ) My F dA dA Iz Iz 1 dM Sz ( ) ( s) ( s) dx I z
( s)
M IZ
形心坐标系 yoz； 对称轴 —— y
4
第6章 弯曲应力
§1 §2 §3 §4 §5 §6
弯曲正应力 惯性矩与平行轴定理 弯曲切应力 梁的强度条件
梁的合理强度设计
双对称截面梁的非对称弯曲
5
§3 弯曲切应力
矩形截面梁弯曲切应力
工字形等薄壁梁弯曲切应力 弯曲正应力与切应力比较 例题
ql 2 bh3 若 M l 5,h, I 8 12 2 2
max
3ql ql 6 4bh2 8 bh2
11
薄壁梁弯曲切应力公式
y、z 轴－主形心轴
假设
切应力平行于中心线切线
切应力沿壁厚均匀分布
12
弯曲切应力公式
由正应力的差确定切应力
推导 详见
FS Sz ( ) ( s) I z ( s )
抗弯截 面系数
41
Sz-截面 对 z 轴的静矩
Iz- 整个截面对 z 轴的惯性矩
13
工字形截面梁的剪流分布
1. 翼缘剪流计算
qf FS Sz ( ) FS h F h S Iz 2 2Iz Iz
2. 腹板剪流计算
FS Sz ( y ) qw Iz h h 1h Sz ( y ) b 1 y 2 2 2 2
M （I z －惯性矩） 中性层曲率： EI z （EI z －截面弯曲刚度） M My max 正应力公式： ( y ) Wz Iz
（Wz －抗弯截面系数）
应用条件： max p 对称弯曲 , 纯弯与非纯弯
2
截面几何性质
• 截面形心、静矩 • 惯性矩 • 组合公式，平行移轴定理
max [ ]
短而高梁、薄壁梁、 M 小 FS大的梁
max [ ]
max [ ]
考虑 , 联合作用的强度条件
29
例 题
例 4-1 简易吊车梁，F =20 kN，l = 6 m，[] = 100 MPa ， [] = 60 MPa，选择工字钢型号
解：1. 内力分析
3. 校核梁的剪切强度
max
F Iz Sz ,max

14.11 MPa [ ]
31
例 4-2 铸铁梁， y1 = 45 mm，y2 = 95 mm，[t] = 35 MPa ，[c] = 140 MPa，Iz =8.8410-6 m4，校核梁的 强度
解：
危险截面－截面 D, B MD－最大正弯矩 MB－最大负弯矩
FS ( x ) F
3F h( x ) h1 2b[ ]
等强度梁－各截面具有同样强度的梁
37
38
梁的合理受力 合理安排约束
a=? [F] 最大
39
合理安排加载方式
40
E
y

(a)
AdA 0 (b) A ydA 0
中性轴通过截面形心
A ydA M (c)
max [ ]
max 最大弯曲正应力
材料单向应力许用应力 弯曲切应力强度条件：
max [ ]
max 最大弯曲切应力
材料纯剪切许用应力
, 联合作用强度条件 （详见第九章强度理论）
28
梁强度条件的选用
细长非薄壁梁
max max

Fx 0 ,
'bdx dF
1 dF ( y) b dx

F dA
MSz ( ) M y * d A Iz Iz Sz ( ) dM bI z dx
Sz()－面积 对中性轴 z 的静矩

( y)
FS Sz ( ) ( y) I zb
22
例 3-4 已知梁段剪力FS，试分析铆钉之受力
解：
2F'S F2 F1
23
2F'S F2 F1
F2 F1 F'S 2 M Sz F1 1 Iz
F2 M2 S z Iz
M 2 M 1 FS e
F'S FS e S z 2I z
24
S z －上翼板对 中性轴 z 的静矩
max
6Ql bh2
断定：固定端mn上法向应力有使OO 面产生剪切的趋势。
T 3 Q lb 2 bh
7
矩形截面梁弯曲切应力
问题 狭窄矩形截面梁(h>b)，分析其弯曲切应力分布
假设 思路
(y) // 截面侧边，并沿截面宽度均匀分布
由正应力的差确定切应力
8
矩形截面梁弯曲切应力
6
矩形截面梁弯曲切应力
儒拉夫斯基（Jourawski）的贡献
1842年毕业于圣彼得堡交通工 程学院；1844年负责设计并制 造横跨维列比亚河的大桥，9
跨，每跨180英尺，距水面170
英尺，采用高度很大的木梁， 木组合梁。
判断：梁内切应力非常重要，
不能忽略。
T
max bh
4
3Ql 2h