12讲 梁的切应力强度计算
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F
两梁叠加:
z
h
σmax
z
Mmax 3FL = = 2 2 z W bh
L
b 3FL ≤ [σ] 2 bh
两梁只有一个中性轴
bh2[σ] [F] = 3L
两梁用螺栓连接
σmax =
FL Mmax = σ 2 ≤[ ] W b(2h) z 6
将两个梁连接成 2bh2[σ] [F] = 一个整体后,承载能 3L 力提高一倍.
∗ A
(2)工字形截面梁的剪应力
y
t
对于图中阴影部分面积对中性轴的静矩
h h − 1 h h h * Sz = b( − 1 )( 1 + 2 2 ) 2 2 2 2 h 1 −y h 1 2 + d( − y)( y + ) 2 2 2 2 b h h d h2 1 = ( − ) + ( 1 − y2 ) 2 4 4 2 4
F*1 = ∫ * σ1dA = ∫ * N
A
A
y
a
1
F
∗ N1
τy
2
a
h/ 2 y
M1 y M dA = ∫ * y1dA Iz Iz A
b
F*2 = ∫ * σ2dA = ∫ * N
A
A
(M + dM)y1 dA
Iz
τy
F∗2 N
dM ∫A* y1dA=τ ybdx Iz
∗ Sz
a
1
a
2
b dx
例题 1:
矩形截面简支梁，加载于梁中点C 如图示 矩形截面简支梁，加载于梁中点C，如图示。求σmax ,τmax。
F
Mmax
h
l2
FL = 4
bh2 W = Z 6
l2
F max Q
F = 2
τmax
F 32 3F 3F Q = = = 4 bh 2 A 2 bh
wk.baidu.com
FL b Mmax 4 = 3FL = σmax = 1 2 W 2bh 2bh2 Z bh 6 3 FL σmax 2 bh2 = 2L = 3F τmax h 4 bh
细长等值梁
L f5 h
σmax f10 τmax
τ ppσ
例题 2:
F 1
如图所示倒T型外伸梁，已知q=3kN/m， =12kN， =18kN， 如图所示倒T型外伸梁，已知q=3kN/m，F1=12kN，F2=18kN，形心主 q=3kN/m 惯性矩I 。（1 试求梁的最大拉应力和最大压应力及其所在的位置； 惯性矩IZ=39800cm4。（1）试求梁的最大拉应力和最大压应力及其所在的位置； （2）若该梁是由两个矩形截面的厚板条沿图示截面上的ab线（实际是一水平面 胶合而成，为了保证该梁的胶合连接强度， 胶合而成，为了保证该梁的胶合连接强度，水平接合面上的许用切应力值 是多少？ 是多少？ 80 q F 2
梁中性层处切应力
τmax
2bh2[σ] 3 F 3 3L h[σ] s = = = 2 A 2 2bh 2L
中性层剪力
h F =τmax bL = b[σ] s 2
F τ= s A
h b[σ] = 2 2 ≤ [τ ] πd 4
d≥
2hb[σ]
π[τ ]
作业：孙训方，《材料力学》（第五版） 4-32；4-35
d
y
h
h 1
z
O
τmax
τmin
h2 d h2 2 1 1 τ= = − + − y IZ d IZ d 2 4 4 2 4 横截面上的切应力(95--97) (95-横截面上的切应力(95--97) 由腹板承担, ％由腹板承担,而翼缘仅承担了 (3---5) (3--5) ％,且翼缘上的切应力情 F bh2 bh2 dh2 τmax = Q − 1 + 1 况又比较复杂. 况又比较复杂.为了满足实际工 IZ d 8 8 8 程中计算和设计的需要仅分析腹 板上的切应力. 板上的切应力.
对于矩形截面的 Sz
h 1 h S = b( − y)[ y + ( − y)] 2 2 2 bh2 4y2 bh3 = (1− 2 ),QIz = 8 h 12
* z
h/ 2
z
y
h/ 2
y0
τm ax
3 F Q ∴τ y = h2 − 4y2 2 bh3
Q ∪ = 3FQ = 3F © τ … 2bh 2A
ab线上最大切应力发生在BC段
* F SZ S τ= IZb
σ − =15M Pa
* SZ = 200×50×(148.5−25)
* SZ =1235×103mm3
22×103 ×1235×103 τab = 39800×10-4 ×80
τab = 0.85M Pa
[τ] = 0.85MPa
例题 3: 两个尺寸完全相同的矩形截面梁叠加在一起承受荷载如图示,若材料许 用应力为[σ],其许可荷载[F]为多少?如将两根梁用一个螺栓联成一整体,则 其许可荷载[F]为多少?若螺栓材料许用切应力为[τ],求螺栓的最小直径.
A=
4
A为圆环形截面面积
二
梁的切应力强度条件
* F SZ τ = S ≤ [τ ] IZb
说明： 说明：1 一般作为强度校核条件 2 许用切应力由剪切实验得到
最大正应力发生在最大弯矩截面的上、下边缘处，该 处的切应力为零，即正应力危险点处于单轴应力状态；
最大切应力通常发生在最大剪力截面的中性轴处，该处 的正应力为零，即切应力危险点处于纯剪切应力状态；
第十二讲 梁的剪应力强度计算
湖南理工学院——曾纪杰
一 几种常见截面梁的剪应力计算公式 (1)矩形截面梁的剪应力 假设： 假设： 1、横截面上的τ方向与FQ平行
Fs
y
2、τ沿截面宽度是均匀分布的
z
(1)矩形截面梁的剪应力
12
F
a x
a
12 dx
M
M+dM
y
h/ 2
z
F*2 − F*1 −τ ybdx = 0 N N
A
B
3m 34
C
3m
6m
D
14
300
z
a b
148.5
22
4
50
200
14
12
30 32.68
36
最大拉应力发生在B截面上
36×103 ×(350−148.5)×10−3 σ+ = 39800×10−4
最大压应力发生在Fs=0的截面上
σ + =16.5M Pa
32.68×103 ×(350−148.5)×10−3 σ− = 39800× 39800×10−4
* Sz dM τy = Izb dx
τ =
* F Sz Q
Izb
τ=
* 横截面上的剪力； 截面对中性轴的惯性矩； I F Sz FQ–横截面上的剪力； Z–截面对中性轴的惯性矩； Q
IZb
b–截面的宽度； SZ＊–宽度线一侧的面积对中性轴的静矩. 截面的宽度； 宽度线一侧的面积对中性轴的静矩.
y b
b
* F Sz Q
F b h2 Q
IZ * SZ max
近似计算公式: … F © τ ∪≈ Q hd 1
τmin
F bh2 bh2 = Q − 1 IZd 8 8
(3)圆形和圆环形截面梁的最大剪应力
y
z
d
d D
τmax
4F Q = 3 A
πd
2
τmax = 2
F Q A
两梁叠加:
z
h
σmax
z
Mmax 3FL = = 2 2 z W bh
L
b 3FL ≤ [σ] 2 bh
两梁只有一个中性轴
bh2[σ] [F] = 3L
两梁用螺栓连接
σmax =
FL Mmax = σ 2 ≤[ ] W b(2h) z 6
将两个梁连接成 2bh2[σ] [F] = 一个整体后,承载能 3L 力提高一倍.
∗ A
(2)工字形截面梁的剪应力
y
t
对于图中阴影部分面积对中性轴的静矩
h h − 1 h h h * Sz = b( − 1 )( 1 + 2 2 ) 2 2 2 2 h 1 −y h 1 2 + d( − y)( y + ) 2 2 2 2 b h h d h2 1 = ( − ) + ( 1 − y2 ) 2 4 4 2 4
F*1 = ∫ * σ1dA = ∫ * N
A
A
y
a
1
F
∗ N1
τy
2
a
h/ 2 y
M1 y M dA = ∫ * y1dA Iz Iz A
b
F*2 = ∫ * σ2dA = ∫ * N
A
A
(M + dM)y1 dA
Iz
τy
F∗2 N
dM ∫A* y1dA=τ ybdx Iz
∗ Sz
a
1
a
2
b dx
例题 1:
矩形截面简支梁，加载于梁中点C 如图示 矩形截面简支梁，加载于梁中点C，如图示。求σmax ,τmax。
F
Mmax
h
l2
FL = 4
bh2 W = Z 6
l2
F max Q
F = 2
τmax
F 32 3F 3F Q = = = 4 bh 2 A 2 bh
wk.baidu.com
FL b Mmax 4 = 3FL = σmax = 1 2 W 2bh 2bh2 Z bh 6 3 FL σmax 2 bh2 = 2L = 3F τmax h 4 bh
细长等值梁
L f5 h
σmax f10 τmax
τ ppσ
例题 2:
F 1
如图所示倒T型外伸梁，已知q=3kN/m， =12kN， =18kN， 如图所示倒T型外伸梁，已知q=3kN/m，F1=12kN，F2=18kN，形心主 q=3kN/m 惯性矩I 。（1 试求梁的最大拉应力和最大压应力及其所在的位置； 惯性矩IZ=39800cm4。（1）试求梁的最大拉应力和最大压应力及其所在的位置； （2）若该梁是由两个矩形截面的厚板条沿图示截面上的ab线（实际是一水平面 胶合而成，为了保证该梁的胶合连接强度， 胶合而成，为了保证该梁的胶合连接强度，水平接合面上的许用切应力值 是多少？ 是多少？ 80 q F 2
梁中性层处切应力
τmax
2bh2[σ] 3 F 3 3L h[σ] s = = = 2 A 2 2bh 2L
中性层剪力
h F =τmax bL = b[σ] s 2
F τ= s A
h b[σ] = 2 2 ≤ [τ ] πd 4
d≥
2hb[σ]
π[τ ]
作业：孙训方，《材料力学》（第五版） 4-32；4-35
d
y
h
h 1
z
O
τmax
τmin
h2 d h2 2 1 1 τ= = − + − y IZ d IZ d 2 4 4 2 4 横截面上的切应力(95--97) (95-横截面上的切应力(95--97) 由腹板承担, ％由腹板承担,而翼缘仅承担了 (3---5) (3--5) ％,且翼缘上的切应力情 F bh2 bh2 dh2 τmax = Q − 1 + 1 况又比较复杂. 况又比较复杂.为了满足实际工 IZ d 8 8 8 程中计算和设计的需要仅分析腹 板上的切应力. 板上的切应力.
对于矩形截面的 Sz
h 1 h S = b( − y)[ y + ( − y)] 2 2 2 bh2 4y2 bh3 = (1− 2 ),QIz = 8 h 12
* z
h/ 2
z
y
h/ 2
y0
τm ax
3 F Q ∴τ y = h2 − 4y2 2 bh3
Q ∪ = 3FQ = 3F © τ … 2bh 2A
ab线上最大切应力发生在BC段
* F SZ S τ= IZb
σ − =15M Pa
* SZ = 200×50×(148.5−25)
* SZ =1235×103mm3
22×103 ×1235×103 τab = 39800×10-4 ×80
τab = 0.85M Pa
[τ] = 0.85MPa
例题 3: 两个尺寸完全相同的矩形截面梁叠加在一起承受荷载如图示,若材料许 用应力为[σ],其许可荷载[F]为多少?如将两根梁用一个螺栓联成一整体,则 其许可荷载[F]为多少?若螺栓材料许用切应力为[τ],求螺栓的最小直径.
A=
4
A为圆环形截面面积
二
梁的切应力强度条件
* F SZ τ = S ≤ [τ ] IZb
说明： 说明：1 一般作为强度校核条件 2 许用切应力由剪切实验得到
最大正应力发生在最大弯矩截面的上、下边缘处，该 处的切应力为零，即正应力危险点处于单轴应力状态；
最大切应力通常发生在最大剪力截面的中性轴处，该处 的正应力为零，即切应力危险点处于纯剪切应力状态；
第十二讲 梁的剪应力强度计算
湖南理工学院——曾纪杰
一 几种常见截面梁的剪应力计算公式 (1)矩形截面梁的剪应力 假设： 假设： 1、横截面上的τ方向与FQ平行
Fs
y
2、τ沿截面宽度是均匀分布的
z
(1)矩形截面梁的剪应力
12
F
a x
a
12 dx
M
M+dM
y
h/ 2
z
F*2 − F*1 −τ ybdx = 0 N N
A
B
3m 34
C
3m
6m
D
14
300
z
a b
148.5
22
4
50
200
14
12
30 32.68
36
最大拉应力发生在B截面上
36×103 ×(350−148.5)×10−3 σ+ = 39800×10−4
最大压应力发生在Fs=0的截面上
σ + =16.5M Pa
32.68×103 ×(350−148.5)×10−3 σ− = 39800× 39800×10−4
* Sz dM τy = Izb dx
τ =
* F Sz Q
Izb
τ=
* 横截面上的剪力； 截面对中性轴的惯性矩； I F Sz FQ–横截面上的剪力； Z–截面对中性轴的惯性矩； Q
IZb
b–截面的宽度； SZ＊–宽度线一侧的面积对中性轴的静矩. 截面的宽度； 宽度线一侧的面积对中性轴的静矩.
y b
b
* F Sz Q
F b h2 Q
IZ * SZ max
近似计算公式: … F © τ ∪≈ Q hd 1
τmin
F bh2 bh2 = Q − 1 IZd 8 8
(3)圆形和圆环形截面梁的最大剪应力
y
z
d
d D
τmax
4F Q = 3 A
πd
2
τmax = 2
F Q A