12讲 梁的切应力强度计算
《梁应力强度计算》课件
《梁应力强度计算》课件一、梁的基本概念1.1 梁的定义梁是一种受弯和/或受剪的受力构件，常用于桥梁、建筑、机器结构等工程中。
1.2 梁的分类（1）按材料分类：钢梁、木梁、混凝土梁等。
（2）按截面形状分类：矩形梁、工字梁、T型梁、I型梁等。
（3）按受力状态分类：简支梁、悬臂梁、连续梁等。
二、梁应力强度计算的基本原理2.1 弹性理论弹性理论是研究弹性体在外力作用下的应力、应变及位移分布的数学理论。
对于梁的应力强度计算，主要应用弹性力学中的平面应变问题和平面应力问题。
2.2 截面应力梁截面上的应力分布不均匀，通常最大应力出现在截面中性轴上，称为截面应力。
2.3 弯曲正应力弯曲正应力是梁截面上与中性轴垂直的应力，其计算公式为：σ= M·y / I，其中M为弯矩，y为截面上的点到中性轴的距离，I为截面的惯性矩。
2.4 剪切应力剪切应力是梁截面上与中性轴平行的应力，其计算公式为：τ= V·x / A，其中V为剪力，x为截面上的点到中性轴的距离，A为截面的面积。
三、梁应力强度计算的方法3.1 静力法静力法是通过对梁受力的分析，确定各部分的受力情况，根据力的平衡条件求解应力。
适用于简单梁结构。
3.2 弹性解析法弹性解析法是利用弹性力学的公式，通过计算梁的弯曲正应力和剪切应力，判断梁的应力强度。
适用于求解复杂梁结构的应力强度。
3.3 有限元法有限元法是利用计算机模拟梁的结构，将梁划分为若干个小的单元，通过对每个单元的应力分析，求解整个梁的应力强度。
适用于求解大型复杂梁结构的应力强度。
四、梁应力强度计算实例4.1 简支梁受集中载荷假设一根简支梁，跨度为L，截面惯性矩为I，截面面积为A，受集中载荷P作用。
求解梁的最大弯曲正应力和剪切应力。
（1）计算弯矩M：M = P·L / 2。
（2）计算截面应力σ：σ= M·y / I。
（3）计算剪切应力τ：τ= V·x / A，其中V为剪力，x为截面上的点到中性轴的距离。
工程力学梁横截面上的切应力及梁的切应力强度条件
三、T字型截面梁的切应力
T字型截面可以看成是由两个矩形组成，下面的 狭长矩形与工字形截面的腹板相似，该部分上的切 应力仍用下式计算：
τ
FS
S
* z
I zb1
最大切应力仍然发生在截面的中性轴上。
四、圆形及环形截面梁的切应力 圆形及薄壁环形截面其最大竖向切应力也都发生在
中性轴上，并沿中性轴均匀分布，计算公式分别为
M+dM
FS dx
σ
现假设用一水平截面将微段梁截 开，并保留下部脱离体，由于脱离 体侧面上存在竖向切应力τ ，根据 切应力互等定理可知，在脱离体的
顶面上一定存在切应力τ '，且 τ '=τ ,如图所示。
dx τ
z y τ' τ
y dx
以FN1、FN2分别代表作用在脱离体左侧面、右侧 面上法向内力的总和，dFS代表水平截面上切应力的 总和，如图所示。
翼缘上的水平切应力可认为沿翼缘厚度是均匀 分布的，其计算公式仍与矩形截面的切应力的形式 相同，即
τ
FS
S
* z
Izδ
式中FS为横截面上的剪力；Sz*为欲求应力点到翼 缘边缘间的面积对中性轴的静矩；Iz横截面对中性轴的 惯性矩；δ为翼缘的厚度。
水平切应力的大小沿水平方向的分布如图所示。实 践和理论推导已经证明，在整个工字型截面上切应力 的方向可用图c表示。从图中表示切应力方向的许多小 箭头来看，它们好象是两股沿截面流动的水流，从上 （或下）翼缘的两端开始，共同朝向中间流动，到腹 板处汇合成一股，沿着腹板向下（或上）到下（或上） 翼缘处再分为两股向两侧流动。对所有的薄壁杆，其 横截面上切应力的方向，都有这个特点。这种现象称 为切应力流。掌握了切应力流的特性，则不难由剪力 的方向确定薄壁杆横截面上切应力的方向。
梁的切应力及其强度条件
100
240
q 6.1kN/m
100
3）抗剪强度
20 S z ,max 180 20 (100 ) 2 100 45 100 2 2 846103 mm3
y
45 45
t max
FS, maxS z ,max bIz
2q 103 846103 [t ] 1.1MPa 4 901473610
D D
0.4m 0.6m
140
B
FB
C
10
FA
y
10
解 1）求内力 FA 66kN D截面的剪力
FB 44kN FS 66kN
t max
FS S z ,max dIz
103 47
A
F=110 kN
10
220
10
220 a
10
C y 10
2）求最大切应力 103 * 2 S z ,max 10310 2 1061 102 mm3
t1max tmax O
tmax
2 h FS 2 t max b h d y 2I z d 2
FS t1 h 2I z
tmin
切应力流
y
最大剪应力一般发生在中性轴上
10 320 10 50kN 50kN 50kN
100
9.5
F1
F2
C B A 1.5 m 1.5 m 1.5 m 1.5 m FA FB
y
解 1）求内力
FA 75kN
FB 75kN
10 320 10
50kN 50kN 50kN
材料力学切应力
材料力学切应力材料力学是研究材料在外力作用下的力学性能和变形规律的学科，其中切应力是材料力学中的重要概念之一。
切应力是指材料内部受到的切削力，是材料在受到外力作用时发生形变的一种力学性质。
在材料力学中，切应力的研究对于材料的强度、塑性变形和破坏等方面具有重要的意义。
首先，我们来了解一下切应力的概念。
切应力是指材料内部受到的切削力，它是由于外力作用而引起的材料内部相对位移所产生的应力。
在材料受到外力作用时，内部各层之间会产生相对位移，从而产生切应力。
切应力的大小与外力的大小、材料的形状和材料的性质有关。
其次，我们来探讨一下切应力的计算方法。
在材料力学中，切应力的计算通常采用横截面上的切应力公式，τ=F/A，其中τ表示切应力，F表示作用力，A表示横截面积。
通过这个公式，我们可以计算出材料在外力作用下所受到的切应力大小。
除了切应力的计算方法，我们还需要了解切应力的影响因素。
切应力的大小受到多种因素的影响，包括外力的大小、作用角度、材料的性质、形状等。
在实际工程中，我们需要综合考虑这些因素，合理地选择材料和设计结构，以减小切应力对材料的影响，保证材料的强度和稳定性。
另外，切应力还与材料的塑性变形和破坏有着密切的关系。
在材料受到外力作用时，如果切应力超过了材料的极限强度，就会导致材料的塑性变形和最终的破坏。
因此，对于切应力的研究对于材料的强度和稳定性具有重要的意义。
在工程实践中，我们需要根据不同材料的特性和外力的作用情况，合理地计算和分析切应力，以保证材料的安全可靠性。
同时，我们还需要通过实验和模拟等手段，深入研究切应力对材料性能的影响规律，为材料的设计和应用提供科学依据。
总之，切应力是材料力学中的重要概念，它对于材料的强度、塑性变形和破坏等方面具有重要的影响。
通过对切应力的研究和分析，我们可以更好地理解材料的力学性能，为工程实践提供科学依据。
因此，我们需要深入研究切应力的计算方法、影响因素和对材料性能的影响规律，以提高材料的使用效率和安全可靠性。
梁的应力和强度计算
梁的应力和强度计算1.梁的基本假设梁的基本假设包括：梁材料是均匀各向同性的，梁截面是平面截面，梁的纵向伸缩变形可以忽略，梁的横向收缩变形可以忽略，梁截面平面保持平直。
2.梁的受力分析在进行梁的应力和强度计算之前，需要对梁的受力进行分析。
常见的梁的受力包括弯曲、剪切和轴向拉压等。
2.1弯曲弯曲是梁的一种主要受力状态，发生在梁受到弯矩作用时。
对于弯曲受力的梁，可以运用梁弯曲理论进行应力和强度计算。
常见的梁弯曲理论包括欧拉-伯努利梁理论和延性梁理论。
2.2剪切剪切是梁的另一种重要受力状态，发生在梁上部分截面受到剪力作用时。
剪切力引起梁截面上的剪应力，可以通过剪切变形理论进行计算。
2.3轴向拉压轴向拉压发生在梁上部分截面受到轴向拉力或压力作用时。
轴向拉力或压力引起梁截面上的轴向应力，可以通过轴向变形理论进行计算。
3.梁的应力分析根据梁的基本假设和受力分析，可以进行梁的应力分析。
梁的应力分析包括黄金区和非黄金区的判断、应力分布的计算和强度设计的确定。
3.1黄金区和非黄金区判断黄金区是指梁截面上应力最大的区域，通常位于材料的纤维处。
在黄金区内，应力达到梁材料的屈服强度。
非黄金区则是指其他区域，应力小于屈服强度。
3.2应力分布计算根据梁的受力和应力分析，可以计算出梁截面上的应力分布。
应力分布的计算可以通过梁的几何形状、外力和边界条件以及材料的性质来确定。
常见的应力分布包括弯曲应力、剪切应力和轴向应力等。
4.梁的强度设计梁的强度设计是根据计算得到的应力分布进行的。
根据材料的强度，可以确定梁的尺寸和形状，以满足梁的极限状态和使用状态的要求。
总结起来，梁的应力和强度计算是梁力学中的基本问题，包括梁的受力分析、应力分布计算和强度设计等内容。
通过合理的计算和设计，可以确保梁的安全和可靠性，提高结构的性能。
梁的应力及强度计算
梁的应力及强度计算梁是一种常见的结构元件，用于承受或分配荷载。
在设计和分析梁的过程中，计算梁的应力及强度是非常重要的。
本文将详细介绍梁的应力及强度计算方法。
首先，梁的应力定义为单位面积上的力，用公式表示为：σ=M*y/I其中，σ表示梁的应力，M表示梁的弯矩，y表示距离中性轴的垂直距离，I表示梁的截面惯性矩。
梁的应力通常包括弯曲应力、剪切应力和轴向应力。
弯曲应力是由于弯曲力引起的应力，计算公式为：σ_b=M*y/I其中，σ_b表示弯曲应力。
剪切应力是由于纵向剪力引起的应力，计算公式为：τ=V*Q/(b*t)其中，τ表示剪切应力，V表示纵向剪力，Q为形状系数，b为梁的宽度，t为梁的厚度。
轴向应力是由于轴向力引起的应力，计算公式为：σ_a=N/A其中，σ_a表示轴向应力，N表示轴向力，A表示梁的截面积。
梁的强度是指在给定的荷载下梁能够承受的最大应力。
在计算梁的强度时，通常需要将不同种类的应力进行合并。
弯曲强度是指梁在弯曲荷载下的抗弯矩能力。
根据材料的弯曲性能和形状，可以采用破坏理论或变形理论计算梁的弯曲强度。
剪切强度是指梁在剪切荷载下的抗剪切能力。
根据材料的剪切性能和梁的几何形状，可以计算出梁的剪切强度。
轴向强度是指梁在轴向荷载下的抗轴向力能力。
轴向强度的计算通常基于材料的抗拉性能。
在进行梁的应力及强度计算时，还需要考虑其他因素，如材料的弹性模量、断裂韧性和安全系数等。
总之，梁的应力及强度计算是结构设计和分析中必不可少的一部分。
通过合理的计算方法，可以确保梁在荷载下的正常工作和安全使用。
梁的应力和强度计算
z dA dM z y dA
dM y
( Stresses in Beams) 将应力表达式代入(1)式，得
FN
A
E
y
dA 0
E
A
ydA 0
待解决问题：
中性轴的位置
中性层的曲率半径ρ
S z ydA 0 A
y M y zE dA 0 A
中性轴通过横截面形心
伽利略（G.Galiieo, 1564-1642）的研究中认为： 弯曲应力是均匀分布的 （《两门新科学的对话》1638 年出版 ） ， 因而得不到正确的公式，大科学家有时 也弄错。
( Stresses in Beams)
C C
Z 中性轴
Z
y
压
C M M
y 拉
C
Z
Z 两部分。
?
( Stresses in Beams)
横截面的 对称轴
横截面
y σ Eε E ρ
M
中性层
中性轴
1、中性轴的位置（Location of the neutral axis) 2、中性层的曲率半径 (Curvature radius of the neutral surface)
?
中性轴
( Stresses in Beams)
强度条件（strength condition)：
梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力
1、数学表达式（mathematical formula)
max
M max [ ] W
2、强度条件的应用(application of strength condition)
M max (1) 强度校核 [ ] W M max (2)设计截面 W [ ] (3)确定许可核载 M max W [ ]
梁的应力和强度计算
剪切应力的计算步骤和实例
实例 1. 一根简支梁，跨度为$L$，在跨中受到集中力$F$的作用。求该梁的剪切应力。
2. 一根连续梁，跨度为$L$，在中间支座受到集中力$F$的作用。求该梁的剪切应力。
05
梁的强度计算
强度计算的原理和方法
极限应力法
根据梁的极限应力进行计算，确保梁在承受最大 载荷时不会发生断裂或屈服。
实例
假设有一根简支梁，跨度为L，承受均布载荷q，截面面积为A。根据正应力的计算公式，可以得出正应力的大小 为σ=q*L/2A。如果已知梁的材料和截面尺寸，可以通过查找或试验得到材料的屈服强度或极限强度，并与计算 出的正应力进行比较，以判断梁的强度是否满足要求。
04
梁的剪切应力计算
剪切应力的定义和计算公式
建立梁的力学模型
根据梁的几何形状、材料属性和载荷条件， 建立相应的力学模型。
强度校核
将计算得到的最大应力与材料的许用应力进 行比较，判断是否满足强度要求。
强度计算的注意事项和限制条件
材料属性
了解所用材料的机械性能，如弹性模 量、泊松比、屈服强度等。
支承条件
考虑梁的实际支承条件，如固定、简 支或滑动支承，对计算结果的影响。
剪切应力
在梁的剪切区域，由于相邻截面发生相对错动而产生的应力。
计算公式
剪切应力的大小与作用在剪切面上的外力成正比，与剪切面的面积成反比。公式为：$tau = frac{F}{A}$， 其中$tau$为剪切应力，$F$为作用在剪切面上的外力，$A$为剪切面的面积。
剪切应力的分布和影响
分布
剪切应力在梁的剪切面上是均匀分布的，但在剪切区域之外，由于弯曲应力的存在，剪 切应力会发生变化。
梁的应力和强度计算
《梁的应力强度计算》课件
《梁的应力强度计算》课件一、梁的概述1.梁的定义梁是一种受弯和剪力作用的横向受力构件，广泛应用于建筑、桥梁、机械等领域。
2.梁的材料梁的材料主要有钢梁和钢筋混凝土梁两种。
3.梁的分类根据截面形状，梁可以分为工字梁、T型梁、I型梁等；根据受力状态，梁可以分为简支梁、悬臂梁、连续梁等。
二、梁的应力计算1.基本概念（1）应力：单位面积上的内力，用σ表示，单位为Pa（帕斯卡）。
（2）应变：物体在受力作用下产生的形变与原长的比值，用ε表示。
（3）泊松比：材料在受力作用下横向应变与纵向应变的比值，用ν表示。
2.梁的应力分布（1）简支梁：在梁的截面上，剪应力分布均匀，正应力分布按三角形分布。
（2）悬臂梁：在梁的悬臂端截面，剪应力为零，正应力按二次曲线分布。
（3）连续梁：在梁的连续跨中截面，剪应力分布均匀，正应力分布按三角形分布。
3.梁的应力计算公式（1）简支梁：剪应力τ=V/I正应力σ=My/I其中，V为梁的剪力，M为梁的弯矩，I为梁的截面惯性矩，y为截面上距离中性轴的距离。
（2）悬臂梁：剪应力τ=0正应力σ=Ml/(2I)其中，l为悬臂梁的长度。
（3）连续梁：剪应力τ=V/I正应力σ=My/I其中，V为梁的剪力，M为梁的弯矩，I为梁的截面惯性矩，y为截面上距离中性轴的距离。
4.梁的强度校核（1）剪切强度校核：τ≤τ_max（2）弯曲强度校核：σ≤σ_max其中，τ_max为材料的剪切强度，σ_max为材料的弯曲强度。
三、梁的变形计算1.基本概念（1）挠度：梁在受力作用下产生的垂直于加载力的线位移。
（2）曲率：梁在受力作用下的弯曲程度，用κ表示。
2.梁的变形计算公式（1）简支梁：挠度f=VL^3/(3EI)其中，V为梁的剪力，L为梁的长度，E为材料的弹性模量，I为梁的截面惯性矩。
（2）悬臂梁：挠度f=VL^3/(3EI)其中，V为梁的剪力，L为悬臂梁的长度，E为材料的弹性模量，I 为梁的截面惯性矩。
（3）连续梁：挠度f=VL^3/(3EI)其中，V为梁的剪力，L为梁的长度，E为材料的弹性模量，I为梁的截面惯性矩。
梁的应力和强度计算
将应力表达式代入(2)式，得
E
E
y
A
yzdA 0
FN dA
A
0 (1)
I yz A yzdA 0
M yE dA
A
M y
自然满足
Mz
zdA 0 (2)
A
将应力表达式代入(3)式，得
ydA M(3)
A
y
M
E
A
y dA
2
M
E
Iz
z dA dM z y dA
dM y
( Stresses in Beams) 将应力表达式代入(1)式，得
FN
A
E
y
dA 0
E
A
ydA 0
待解决问题：
中性轴的位置
中性层的曲率半径ρ
S z ydA 0 A
y M y zE dA 0 A
中性轴通过横截面形心
只有与正应力有关的法向内力元素 d FN = dA 才能合成弯矩
剪力FS 内力 切应力
所以，在梁的横截面上一般
既有 正应力(normal stresses )，
弯矩M
正应力
又有 切应力(shear Stresses)
( Stresses in Beams)
纯弯曲（pure bending)
强度条件（strength condition)：
梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力
1、数学表达式（mathematical formula)
max
M max [ ] W
2、强度条件的应用(application of strength condition)
梁的强度计算
ab
e
f
(c)
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（三）静力学关系：
N d0 E y d0—中性轴Z必通过形心
My zdA 0E zyd0 A ; —中性轴是截面的形心主轴 M z yd AM E y2d AM
1 M ; —纯弯曲梁的变形计算公式 M Ez
z
M
o
dA
y
可得正应力计算公式：
My
z
dN
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第三节 梁的强度计算
为了保证梁在外力作用下能安全正常工作，必须限制梁内的 最大应力不超过材料的许用应力。由此建立梁的强度条件并进行 梁的强度计算。
等直梁的危险截面危险点为最大弯矩截面上下边缘处各点。
一、梁的正应力强度条件：
max
Mmax Iz
ymax
令Wz
Iz ; ymax
max
(2)C截面的正应力强度校核:
M
图
3 .0 k N m
4 .8 k N m
m axM W 2 C3.4 7MP ＞ aσ［ ］m axM W 1 C2.05MP ＜ aσ［ ］
(3)D截面的正应力强度校核:
m axM W 1 D3.27MP ＞ aσ［ ］m axM W 2 D5.53MP ＜ aσ［ ］
0 .2 m
M ma 9 x.8 k.m N ;W zM ma x 1 9 ..8 6 5 1 13 60 0 6c 23 m 8( a )
枕木
2m
h b
h1c8,m b1c3m
(2)校核剪应力强度
P 0 .2 m
P 1 .6 m
0 .2 m
Q ma 4 x k9.m N ;ma x 1 .5Q A 3 .1M 4＞ P］ a［ ( b ) l= 2 m
梁的应力和强度计算
例7-2.2 T 字形截面的铸铁梁受力 如图，铸铁的[sL]=30MPa，
1m
[sy]=60 MPa，其截面形心位于G
点，y1=52mm， y2=88mm， Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。 并说明T字梁怎样放置更合理？ 解：画弯矩图并求危面内力
2.5kNm A1 G y1
A3
qL2 3600 32 4050Nm 8 8
28
M
qL2/8
x
+
q=3.6kN/m
求最大应力并校核强度
M max 6M max 6 4050 s max 2 Wz bh 0.12 0.182
qL 2
Q
6.25MPa 7MPa [s ]
+
–
qL 2
x
FS max 1.5 5400 t max 1.5 A 0.12 0.18 0.375MPa 0.9MPa [t ]
例7.2.1 受均布载荷作用的简支
梁如图所示，试求： （1）1—1截面上1、2两点的 正应力； （2）此截面上的最大正应力；
（3）全梁的最大正应力；
（4）已知E=200GPa，求1—1 截面的曲率半径。
qL2 8
+ M
120 y
z
M1 Mmax
x
解：画M图求截面弯矩
qLx qx2 M1 ( ) 2 2
t max
S
z max
bI z
22
圆形截面梁
最大剪应力仍发生在中性轴上:
t max
FS S z max bI z
t max
4 FS 3 A
Iz—圆形截面对中性轴的惯性矩； b — 截面中性轴处的宽度； Sz*—中性轴一侧半个圆形截面对中性轴的静矩
梁的切应力及强度条件
在 20a号工字钢梁的中段用两块横截面为120mm10mm而长度
2.2mm的钢板加强加强段的横截面尺寸如图所示.已知许用弯曲
正应力[]=152MPa，许用切应力 []=95MPa.试校核此梁的强
度解.：加强后的梁是阶梯状
变截面梁. 所以要校核
（1）F位于跨中时跨中截面
2.2m
z
上的弯曲正应力；
（2）F靠近支座时支座截面上的切应力；
h/2 y
y1bdA1
b (h2 24
y2)
FS Sz
FS
h2 (
y2)
Izb 2Iz 4
z
y1 y
O A1 B1
dy 1 m1
可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化.
y
y=±h/2（即在横截面上距中性轴最远处）0
y=0（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值
max
FS h2 8I z
FS h2 8 bh3 12
假设求应力的点到中性轴的距离为y.
y
FS
S
z
Izd
d — 腹板的厚度
z
O
y
S
* z
—
距中性轴为y的横线以外部分的横截
面面积A对中性轴的静矩.
max
FS BH 2 Izb 8
(B
b)
h2 8
（a）腹板上的切应力沿腹板高度按二
次抛物线规律变化；
A*
y
max
τmax
（b）最大切应力也在中性轴上.这也是
τmax超过[]很多，应重新选择更大的截面.现已25b工字钢进
行试算
查表得
Iz
S
* z max
18.9cm,
梁的应力及强度计算
梁的应力及强度计算一、梁的基本概念梁是指在两个支点上支承荷载并能够产生弯曲的长条形结构。
根据材料的不同，梁可以分为钢梁、混凝土梁等。
计算梁的应力和强度需要了解以下几个基本概念：1.荷载：梁承受的力或力矩称为荷载。
荷载可以是集中力、均布力、集中力矩等多种形式。
2.弯矩：梁在受力作用下产生的弯曲效应称为弯矩。
弯矩大小与荷载和梁的几何特性有关。
3.应力：梁内部产生的力与横截面积之比称为应力。
应力可以分为弯曲应力、切应力、正应力等多种形式。
4.强度：梁材料的最大承受能力称为强度。
强度可以用来评估梁的安全性。
二、计算梁的应力梁的弯曲应力是梁内部最重要的应力之一、梁的弯曲应力随着距离中心越远而越大，有最大值和最小值。
计算梁的弯曲应力需要以下步骤：1.确定荷载和荷载点：首先要确定梁所受的各种荷载，包括集中力、均布力等，以及荷载点的位置。
2.画剪力和弯矩图：根据已知的荷载和支座条件，可以绘制梁的剪力和弯矩图。
剪力图表示横截面上剪力的大小和方向，弯矩图表示横截面上弯矩的大小和方向。
3.计算弯曲应力：根据梁的几何尺寸和荷载信息，可以计算出梁上任意截面处的弯曲应力。
根据梁的几何形状和弯矩分布，可以使用弹性力学理论进行计算。
4.判断应力的安全性：计算得到的弯曲应力应与材料的抗弯强度进行比较，以判断梁的安全性。
如果弯曲应力小于抗弯强度，则梁在弯曲方面是可靠的。
三、计算梁的强度梁的强度是指梁材料的最大承载能力。
计算梁的强度需要以下步骤：1.确定梁材料的特性：了解梁材料的力学性质，包括抗弯强度、抗压强度、抗拉强度等。
这些特性可以从材料的标准和试验中获取。
2.根据荷载计算弯矩：根据梁所受的荷载和支座条件，计算出梁上各点的弯曲弯矩。
弯矩大小和分布决定了梁的强度。
3.计算截面的几何特性：根据梁的几何形状，计算出梁截面的相关几何特性，包括截面面积、惯性矩、截面模量等。
这些参数在计算强度时起关键作用。
4.判断强度的安全性：根据弯矩和截面几何特性，计算出梁的强度。
建筑力学第12章梁的应力
b1b2 yd bb2 dx
d 1 dx
m
o1 b m1
o2
y dx
y
b2
b1 n1
——纯弯曲时应变分布规律
y
z M
Hooke定律： E
E E
y
dA
——纯弯曲时应力分布规律
沿梁高线性分布，中性轴上为零，外边缘上最大
E 中性轴必然通过截面的形心
强度条件： 1－ 2＋ 3
适用于脆性材料
最大剪应力理论（第三强度理论） 破坏条件： max 达到危险值
max 1 3
2
强度条件： 1 3
适用于塑性材料
形状改变比能理论（第四强度理论）
引起单元体形状改变的能量超过危险值 破坏条件：
强度条件： ＋ － 1 3
2 1 2 3
适用于塑性材料
l
+
100kN 100kN 2m 2m 2m
-
q
* z *
*
I z：横截面对中性轴的惯性矩
b：横截面的宽度
QS Izb
b h2 2 * * * Sz A y y 2 4 h 1 h b y 2 2 2 1 3 I z bh 12
* z
* z
y
m2
3.6 kN
m
3.6 kN
m
max
5m
M max Wz
M max
1 2 1 ql 3.6 25 11.25 kN m 8 8
W z 2 39.7 103 79.4 106 m 3
工程力学梁横截面上的切应力及梁的切应力强度条件
(a) A
(b) FS图
(c) M图
F
C
B
l/2
l/2
q
D l/3
12kN 13kN
17kN 12kN.m
弯矩的截面上。查型钢表可知
39kN.m
W z ? 309 cm 3 ? 0.309 ? 10 ? 3 m 3
最大正应力
σ max
?
M max Wz
?
39 ? 103 0.309 ? 10?3
???6Mmax bh2
??? 6 ? 4050 0.12 ? 0.182
?
6 .25 MPa
?
7 MPa?????????????
? max
?
3FS 2A
?
3FS 2bh
?
3? 5400 2? 0.12 ? 0.18
?
0.375? 106 Pa
?
?? ??
0.9MPa
（3）应力之比
? max ? Mmax 2 A ? L ? 16.7
为了保证梁的安全工作，梁在荷载作用下产生
的最大切应力不能超过材料的许用切应力，即
? ? τmax ?
F S* S,max z,max I zb
?
τ
此式即为切应力的强度条件。
在进行梁的强度计算时，必须同时满足正应力强 度条件和切应力强度条件。一般情况下，梁的强度计 算由正应力强度条件控制。因此，按正应力强度条件 设计的截面常可使切应力远小于许用切应力。所以 一 般情况下，总是根据梁横截面上的最大正应力来设计 截面，然后再按切应力强度条件进行校核 。但在少数 情况下，梁的切应力强度条件也可能起到控制作用。 例如梁的跨度较短，或在支座附近作用有较大的荷载， 因而使梁中出现的弯矩较小而剪力很大时；在铆接或 焊接的组合截面钢梁中，其横截面的腹板厚度与高度 之比小于一般型钢截面的相应比值时。
梁的切应力强度条件
* FS S z FS t I zb 2I z
h2 2 4 y
tmax
O
(1) t沿截面高度按二次抛物 线规律变化； (2) 同一横截面上的最大切应 力tmax在中性轴处( y=0 )；
(3)上下边缘处（y=±h/2)， 切应力为零。
tmax
z
y
t max
FS h FS h 3 FS 3FS 3 8I z 8 bh 12 2 bh 2 A
n y m dx
F
* N2
F
* N1
My1 M *s1 d A * dA A A Iz Iz
M * A* y1 d A I z S z
面积AA1mm' 对中性轴 z的静矩
F
* N2
(M d M ) M dM * *s 2 d A * y1 d A Sz A A Iz Iz
tmin
且通过类似的推导可以得知，薄壁工字刚梁上、 下翼缘与腹板横截面上的切应力指向构成了“切应 力流”。
三、薄壁环形截面梁 薄壁环形截面梁弯曲切 应力的分布特征： (1) <<r0→沿壁厚切应 tmax 力的大小不变； r0 O y 最大切应力tmax 仍发生 在中性轴z上。
tmax
(2) 内、外壁上无切应力 →切应力的方向与圆周 相切； (3) y轴是对称轴→切应 力分布与 y轴对称；与 y 轴相交的各点处切应力 为零。
2
2
二.工字形截面梁 1、腹板上的切应力
d O b
O
t
y
t' t A* s
y
* FS S z t Izd
h
y
12讲 梁的切应力强度计算
对于矩形截面的 Sz
h 1 h S = b( − y)[ y + ( − y)] 2 2 2 bh2 4y2 bh3 = (1− 2 ),QIz = 8 h 12
* z
h/ 2
z
y
h/ 2
y0
τm ax
3 F Q ∴τ y = h2 − 4y2 2 bh3
Q ∪ = 3FQ = 3F © τ … 2bh 2A
ab线上最大切应力发生在BC段
* F SZ S τ= IZb
σ − =15M Pa
* SZ = 200×50×(148.5−25)
* SZ =1235×103mm3
22×103 ×1235×103 τab = 39800×10-4 ×80
τab = 0.85M Pa
[τ] = 0.85MPa
例题 3: 两个尺寸完全相同的矩形截面梁叠加在一起承受荷载如图示,若材料许 用应力为[σ],其许可荷载[F]为多少?如将两根梁用一个螺栓联成一整体,则 其许可荷载[F]为多少?若螺栓材料许用切应力为[τ],求螺栓的最小直径.
d
y
h
h 1
z
O
τmax
τmin
h2 d h2 2 1 1 τ= = − + − y IZ d IZ d 2 4 4 2 4 横截面上的切应力(95--97) (95-横截面上的切应力(95--97) 由腹板承担, ％由腹板承担,而翼缘仅承担了 (3---5) (3--5) ％,且翼缘上的切应力情 F bh2 bh2 dh2 τmax = Q − 1 + 1 况又比较复杂. 况又比较复杂.为了满足实际工 IZ d 8 8 8 程中计算和设计的需要仅分析腹 板上的切应力. 板上的切应力.
12讲梁的切应力强度计算
12讲梁的切应力强度计算梁的切应力强度计算是工程力学中一个较为重要的内容，它涉及到在梁受力时所产生的剪应力分布以及其最大值的计算。
本文将从梁受力的条件、剪应力分布的计算方法以及最大剪应力的计算公式等方面进行详细介绍。
首先，我们需要明确一些梁受力的基本条件。
在静力学中，梁是受到沿其长度方向的一个或多个作用力的物体。
梁在受到这些作用力后，会发生剪力和弯矩的产生，从而导致剪应力的出现。
在计算剪应力时，常常采用横截面上的切应力强度，用于评估材料能够承受的最大切应力。
其次，我们来看一些常用的剪应力分布计算方法。
在静力学中，通常有两种常见的剪应力分布计算方法，分别是梁的双点弯矩法和三点弯矩法。
1.双点弯矩法：这种方法通常适用于均布载荷的情况下。
在计算过程中，我们需要测量出梁上两个不同截面处的弯矩值，并通过这两个截面处的弯矩值来计算出梁上任意一点的剪应力。
具体的计算公式如下：τ=VQ/(It)其中，τ为截面上其中一点的剪应力，V为该截面处的剪力，Q为该截面的一横截面惯性矩，I为该横截面的转动惯量，t为横截面的高度。
2.三点弯矩法：这种方法适用于集中载荷或集中弯矩的情况下。
在计算过程中，我们需要测量出梁上三个不同截面处的弯矩值，并通过这三个截面处的弯矩值来计算出梁上任意一点的剪应力。
具体的计算公式如下：τ=Mb/I其中，τ为截面上其中一点的剪应力，Mb为该截面处的弯矩，I为该截面的转动惯量。
最后，我们来看一下最大剪应力的计算公式。
在梁受力的过程中，会出现多个截面上的剪应力，而其中最大的一个剪应力即为梁的切应力强度。
最大剪应力通常出现在横截面上的边缘处，而其计算公式如下：τ_max = 3V_max / (2A)其中，τ_max为最大剪应力，V_max为最大剪力，A为横截面的面积。
需要注意的是，以上的公式仅适用于直线弹性阶段的梁，而对于非线性和弹塑性梁，则需要进行更加复杂的计算。
综上所述，梁的切应力强度计算是工程力学中一个较为重要的内容。
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A
A
y
a
1
F
∗ N1
τy
2
a
h/ 2 y
M1 y M dA = ∫ * y1dA Iz Iz A
b
F*2 = ∫ * σ2dA = ∫ * N
A
A
(M + dM)y1 dA
Iz
τy
F∗2 N
dM ∫A* y1dA=τ ybdx Iz
∗ Sz
a
1
a
2
b dx
A
B
3m 34
C
3m
6m
D
14
300
z
a b
148.5
22
4
50
200
14
12
30 32.68
36
最大拉应力发生在B截面上
36×103 ×(350−148.5)×10−3 σ+ = 39800×10−4
最大压应力发生在Fs=0的截面上
σ + =16.5M Pa
32.68×103 ×(350−148.5)×10−3 σ− = 39800× 39800×10−4
∗ A
(2)工字形截面梁的剪应力
y
t
对于图中阴影部分面积对中性轴的静矩
h h − 1 h h h * Sz = b( − 1 )( 1 + 2 2 ) 2 2 2 2 h 1 −y h 1 2 + d( − y)( y + ) 2 2 2 2 b h h d h2 1 = ( − ) + ( 1 − y2 ) 2 4 4 2 4
例题 1:
矩形截面简支梁，加载于梁中点C 如图示 矩形截面简支梁，加载于梁中点C，如图示。求σmax ,τmax。
F
Mmax
h
l2
FL = 4
bh2 W = Z 6
l2
F max Q
F = 2
τmax
F 32 3F 3F Q = = = 4 bh 2 A 2 bh
FL b Mmax 4 = 3FL = σmax = 1 2 W 2bh 2bh2 Z bh 6 3 FL σmax 2 bh2 = 2L = 3F τmax h 4 bh
A=
4
A为圆环形截面面积
二
梁的切应力强度条件
* F SZ τ = S ≤ [τ ] IZb
说明： 说明：1 一般作为强度校核条件 2 许用切应力由剪切实验得到
最大正应力发生在最大弯矩截面的上、下边缘处，该 处的切应力为零，即正应力危险点处于单轴应力状态；
最大切应力通常发生在最大剪力截面的中性轴处，该处 的正应力为零，即切应力危险点处于纯剪切应力状态；
第十二讲 梁的剪应力强度计算
湖南理工学院——曾纪杰
一 几种常见截面梁的剪应力计算公式 (1)矩形截面梁的剪应力 假设： 假设： 1、横截面上的τ方向与FQ平行
Fs
y
2、τ沿截面宽度是均匀分布的
z
(1)矩形截面梁的剪应力
12
F
a x
a
12 dx
M
M+dM
y
h/ 2
z
F*2 − F*1 −τ ybdx = 0 N N
* Sz dM τy = Izb dx
τ =
* F Sz Q
Izb
τ=
* 横截面上的剪力； 截面对中性轴的惯性矩； I F Sz FQ–横截面上的剪力； Z–截面对中性轴的惯性矩； Q
IZb
b–截面的宽度； SZ＊–宽度线一侧的面积对中性轴的静矩. 截面的宽度； 宽度线一侧的面积对中性轴的静矩.
y b
b
* F Sz Q
F b h2 Q
IZ * SZ max
近似计算公式: … F © τ ∪≈ Q hd 1
τmin
F bh2 bh2 = Q − 1 IZd 8 8
(3)圆形和圆环形截面梁的最大剪应力
y
z
d
d D
τmax
4F Q = 3 A
πd
2
τmax = 2
F Q A
细长等值梁
L f5 h
σmax f10 τmax
τ ppσ
例题 2:
F 1
如图所示倒T型外伸梁，已知q=3kN/m， =12kN， =18kN， 如图所示倒T型外伸梁，已知q=3kN/m，F1=12kN，F2=18kN，形心主 q=3kN/m 惯性矩I 。（1 试求梁的最大拉应力和最大压应力及其所在的位置； 惯性矩IZ=39800cm4。（1）试求梁的最大拉应力和最大压应力及其所在的位置； （2）若该梁是由两个矩形截面的厚板条沿图示截面上的ab线（实际是一水平面 胶合而成，为了保证该梁的胶合连接强度， 胶合而成，为了保证该梁的胶合连接强度，水平接合面上的许用切应力值 是多少？ 是多少？ 80 q F 2
ab线上最大切应力发生在BC段
* F SZ S τ= IZb
σ − =15M Pa
* SZ = 200×50×(148.5−25)
* SZ =1235×103mm3
22×103 ×1235×103 τab = 39800×10-4 ×80
τab = 0.85M Pa
[τ] = 0.85MPa
例题 3: 两个尺寸完全相同的矩形截面梁叠加在一起承受荷载如图示,若材料许 用应力为[σ],其许可荷载[F]为多少?如将两根梁用一个螺栓联成一整体,则 其许可荷载[F]为多少?若螺栓材料许用切应力为[τ],求螺栓的最小直径.
F
两梁叠加:
z
h
σmax
z
Mmax 3FL = = 2 2 z W bh
L
b 3FL ≤ [σ] 2 bh
两梁只有一个中性轴
bh2[σ] [F] = 3L
两梁用螺栓连接
σmax =
FL Mmax = σ 2 ≤[ ] W b(2h) z 6
将两个梁连接成 2bh2[σ] [F] = 一个整体后,承载能 3L 力提高一倍.
梁中性层处切应力
τmax
2bh2[σ] 3 F 3 3L h[σ] s = = = 2 A 2 2bh 2L
Байду номын сангаас
中性层剪力
h F =τmax bL = b[σ] s 2
F τ= s A
h b[σ] = 2 2 ≤ [τ ] πd 4
d≥
2hb[σ]
π[τ ]
作业：孙训方，《材料力学》（第五版） 4-32；4-35
d
y
h
h 1
z
O
τmax
τmin
h2 d h2 2 1 1 τ= = − + − y IZ d IZ d 2 4 4 2 4 横截面上的切应力(95--97) (95-横截面上的切应力(95--97) 由腹板承担, ％由腹板承担,而翼缘仅承担了 (3---5) (3--5) ％,且翼缘上的切应力情 F bh2 bh2 dh2 τmax = Q − 1 + 1 况又比较复杂. 况又比较复杂.为了满足实际工 IZ d 8 8 8 程中计算和设计的需要仅分析腹 板上的切应力. 板上的切应力.
对于矩形截面的 Sz
h 1 h S = b( − y)[ y + ( − y)] 2 2 2 bh2 4y2 bh3 = (1− 2 ),QIz = 8 h 12
* z
h/ 2
z
y
h/ 2
y0
τm ax
3 F Q ∴τ y = h2 − 4y2 2 bh3
Q ∪ = 3FQ = 3F © τ … 2bh 2A