切应力公式推导

yt,max
h
o
z
O z y
d1
y
b
t, max
中性轴 z 不是横截面的对称轴时，其横截面上最大拉应力 值和最大压应力值为
t, max
Myt ,max Iz
c, max
Myc, max Iz
五、横力弯曲
在竖向荷载作用下，通常梁横截面上不仅有弯矩而且有剪
力，这种情况下我们称之为横力弯曲。而实际工程中的梁， 大多发生的都是横力弯曲。对于工程实际中常用的梁，应
相应的纵向线应变为 ：
x

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dx

（6－1）
2、物理方面
梁的各纵向纤维均处于单向受力状态，因此，在弹性范围内正应力与线 应变的关系为： (c) ζ Eε 将式
y

代入，得
y ζE ρ
（6－2）
此式表明，梁横截面上的正应力与其作用点到中性轴的距离成正比， 并且在y坐标相同的各点处正应力相等，如图5−4所示。
超过许用应力值152MPa不到1%，故可选用56b号工字钢。
§6－3 梁横截面上的切应力 · 梁的切应力 强度条件
一、矩形截面梁的切应力
1、两点假设 （1）横截面上各点处的切应 力均与侧边平行。 （2）横截面上距中性轴等距 离各点的切应力相等。 2、切应力公式的推导
从图5－5所示的梁中取出长为dx的微段，如 图5-6a所示。
K点的正应力为正值，表明其应为拉应力。
§6－2 梁的正应力强度条件及其应用
一、梁的正应力强度条件
对梁的某一横截面来讲，最大正应力发生在距中性轴最 远的位置，此时
ζ max M y max Iz
ζ max
M max Wz
而对整个等截面梁来讲，最大正应力应发生在弯矩最大的横截 面上，距中性轴最远的位置，即
图6－2
4、根据表面变形情况，对纯弯曲变形下作出如下假设：
（1）平面假设 梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面，只是 绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后的横 截面与梁弯曲后的轴线保持垂直。
（2）单向受力假设 梁的纵向纤维处于单向受力状态，且纵向纤维之间的相 互作用可忽略不计。
二、正应力公式的推导
微段梁上的应力情况如图10−6b所示。
M dx (a) 图6－6 FS
图6－5 FS M+dM
微段梁上的应力情况如图6−6b所示。
拉应力和最大压应力的值不相等。
中性轴z为横截面的对称轴时，横截面上最大拉、压应 力的值为
d1
max
Mymax M Iz Iz y max
M Wz
（6－5）
式中，Wz为截面的几何性质，称为弯曲截面系数，其单位为m3。
横截面上应力分布
b yc,max
d2
c, max
M max 1 1 ql 2 2 103 42 4 103 N.m 8 8
例题5－2图
弯曲截面系数为
bh 2 1 Wz 0.14 0.212 0.103 10 2 m 3 6 6
例题6－2图
由于最大正应力应发生在最大弯 矩所在截面上，所以有 M max 4 10 3 max 3.88 10 6 Pa 3.88MPa [ ] Wz 0.103 10 2 所以满足正应力强度要求。
ζ t, max MC 2.7 10 3 0.038 y2 17.91 10 6 Pa 17.91MPa [ζ t ] 5 Iz 0.573 10
在最大负弯矩的B截面上，最大拉应力发生在截面的上边缘，其值为
ζ t, max
MB 1.8 10 3 0.072 y1 22.5 10 6 Pa 22.5MPa [ζ t ] Iz 0.573 10 5
解：先求出C截面上弯矩 M C Fa
1.5 10 3 2 3 10 3 N m
例题6－1图 截面对中性轴的惯性矩 bh3 0.12 0.18 3 Iz 0.583 10 4 m 4 12 12
将MC、Iz、y代入正应力计算公式，则有
MC 3 10 3 σK y (0.06) 3.09 10 6 Pa 3.09 MPa Iz 0.583 10 4
例题6－4 图 (b) M图
由型钢规格表查得56b号工字钢的Wz为
Wz 2447 10 6 m3
281kN.m 375kN.m
281kN.m 例题6－4 图
此时最大正应力
ζ max M max 375 10 3 153 10 6 Pa 153 MPa Wz 2447 10 6
My ζ Iz
（6－4）
三、梁在纯弯曲时横截面上任一点的正应力的计算公式为
b
My ζ Iz
（6－4）
应用此式时，如果如图中那样取 y轴向下为正
z
的坐标系来定义式中 y 的正负，则在弯矩 M
z
h
O y
按以前的规定确定其正负的情况下，所得正应
dA y
力的正负自动表示拉应力或压应力。但实际应 用中往往直接根据横截面上弯矩的转向及求正
由以上分析知该梁满足强度要求。
例题6−4 如图所示的简支梁由工字钢制成，钢的许用 应力[σ ]=152MPa，试选择工字钢的型号。
解：先画出弯矩图如图b所示。 梁的最大弯矩值为
M max 375 kN.m
由梁的正应力强度条件可得梁所必需的 弯曲截面系数
M max 375 10 3 Wz 2460 10 6 m 3 6 ζ 150 10
1、几何方面
中性层
dθ ρ
m n
p
m O1 a n
p 中性轴
dx (a)
q
O2 b q
(b) 图6−3
O1 dx y a (c)
O2 b
弧线O1O2的长度为：
dx ρdθ
y dx
距中性层为 y 处的纵向纤维ab 的伸长为 ： ( ρ
dx y )dθ ρdθ ydθ y ρ
y
(a) (b)
②校核最大压应力。首先确定最大压应力发生在哪里。与分 析最大拉应力一样，要比较C、B两个截面。C截面上最大压 应力发生在上边缘，B截面上的最大压应力发生在下边缘。 因MC 和y1分别大于MB与y2，所以最大压应力应发生在C截面上， 即
ζ c , max MC 2.7 10 3 0.072 y1 33 .9 10 6 Pa 33 .9MPa [ζ c ] Iz 0.573 10 5
图6－4
3、静力学方面
由图6−4可以看出，梁横截面 图6－4 上各微面积上的微内力dFN=σdA 构成了空间平行力系，它们向截面形心简化的结果应为以下三个内力分量
FN ζdA
A
，
M y zζdA
A
，
M z yζ d A
A
由截面法可知，上式中的FN，My均等于零，而MZ就是该截面上的弯矩 M，所以有
FN ζdA 0
A
(d) (e) (f)
M y zζ dA 0
A
M z yζdA M
A
FN ζdA 0
A
(d)
My
Mz
zζ dA 0 yζdA M
A
A
(e)
(f)
又
E
FN d A
A
E

A
yd A
ES z

应力之点在中性轴的哪一侧来判别弯曲正应力
为拉应力还是压应力；在此情况下可以把式中 的 y 看作求应力的点离中性轴 z 的距离。
四、横截面上的最大应力
d2
中性轴 z 为横截面对称轴的梁 其横
yc,max
截面上最大拉应力和最大压应力的
O z
值相等；中性轴 z 不是横截面对称
yt,max
h
y b
轴的梁 (如图) ，其横截面上的最大
第六章
§6－1 梁的正应力
一、纯弯曲与平面假设
弯曲应力
F a (a) A A C l D F a B
1、纯弯曲——梁或 梁上的某段内各横截面 上只有弯矩而无剪力(如 图5－1中的CD段)。
F
(b) FS图 (c) Fa M图 图6－1 F
2、 横力弯曲——梁或 梁上的某段内各横截面上 既有弯矩又有剪力(如图6 －1中的AC、BD段)。
ζ max M max y max Iz
ζ max
M max Wz
（6－5）
式中的Wz称为弯曲截面系数，它与梁的截面形状和尺寸有关。
式中的Wz称为弯曲截面系数，它与梁的截面形状和尺寸有关。
bh3 12 bh 2 Wz h2 6
对矩形截面
对圆形截面
Wz
d 4 64
d 2

d 3
32
各种型钢的截面惯性矩Iz和弯曲截面系数Wz的数值，可以在 型钢表中查得。 为了保证梁能安全的工作，必须使梁横截面上的最大正应 力不超过材料的许用应力，所以梁的正应力强度条件为
ζ max M max ζ Wz
（6－6）
二、三种强度问题的计算
根据式（6−6）可以求解与梁强度有关的三种问题。 （1）强度校核 （2）选择截面
ζ max M max ζ Wz
M max Wz ζ
M max Wz ζ
（3）确定许用荷载
例题6-2 一矩形截面简支木梁如图所示，已知l=4m，b=140mm， h=210mm，q=2kN/m，弯曲时木材的许用正应力[σ]=10Mpa，校核该梁的 强度。
解：先画梁的弯矩图（图b）。 由梁的弯矩图可以看出，梁中 最大弯矩应发生在跨中截面上， 其值为
0
(g)
因为 不等于零，所以有
Sz 0
即梁横截面对中性轴（z轴）的静矩等于零。由此可知，中性轴通过横截面 的形心，于是就确定了中性轴的位置。 由式（e）可得
M y z d A
A
E

A
yz d A
EI yz

0
(h)
因此
I yz 0
即梁横截面对y、z轴的惯性积等于零，说明y、z轴应为横截面的主轴，又y、z轴过 横截面的形心，所以其应为横截面的形心主轴。
3、梁的纯弯曲实验
横向线(mn、pq）变形后 仍为直线，但有转动；纵向 线变为弧线，且上缩下伸； 横向线与纵向线变形后仍保 持垂直。
由梁变形的连续性可知： 在梁中一定有一层上的纤维 既不伸长也不缩短，此层称 为中性层。中性层与梁横截 面的交线称为中性轴。
C
m p
n q (a) F m p F
D
n
q (b)
（4）强度校核 因材料的抗拉与抗压强度不同，而且截面关于中性轴 不对称，所以需对最大拉应力与最大压应力分别进行校核。 ①校核最大拉压力。由于截面对中性轴不对称，而正、负弯 矩又都存在，因此，最大拉应力不一定发生在弯矩绝对值最 大的截面上。应该对最大正弯矩和最大负弯矩两个截面上的 拉应力进行分析比较。在最大正弯矩的C截面上，最大拉应力 发生在截面的下边缘，其值为
用纯弯曲时的正应力计算公式来计算梁在横力弯曲时横截
面上的正应力，所得的结果虽略偏低一些，但足以满足工 程中的精度要求。
My ζ Iz
例题6−1 长为 l 的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F，已知 h =0.18m，b=0.12m，y =0.06m，a=2m，F=1.5kN，求C截面上K点的正应力。
y1 0.11 0.038 0.072 m
y2 0.11 0.03 0.015 0.03 0.08 0.07 0.038 m 例题6－3 图 0.11 0.03 0.03 0.08
（3）截面对中性轴的惯性矩
0.11 0.033 0.03 0.083 2 Iz ( 0.11 0.03 0.023 ) ( 0.03 0.08 0.032 2 ) 0.573 10 5 m 4 12 12
FN ζdA 0
A
(d)
My
Mz
zζ dA 0 yζdA M
A
A
(e)
(f)
最后由式（f）可得
M z y d A
A
E
即有

A
y dA
2
EI z

M
（6－3）
1


M EI z
上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。
将式（6−3）代入式（6−2），可得梁在纯弯曲时横截面上任一点的正应 力的计算公式为
例题6−3 一⊥形截面的外伸梁如图所示。已知：l=600mm，a=110mm， b=30mm，c=80mm，F1=24kN，F2=9kN，材料的许用拉应力[σ t]=30MPa，许 用压应力[σ c]=90Mpa,试校核梁的强度。 解：（1）先画出弯矩图（图b） （2）确定截面形心C的位置
例题5－3 图