图论及其应用第一章答案(电子科大版)
电子科技大学研究生试题《图论及其应用》(参考答案)
电子科技大学研究生试题《图论及其应用》(参考答案)考试时间：120分钟一．填空题(每题3分，共18分)1．4个顶点的不同构的简单图共有__11___个；2．设无向图G 中有12条边，已知G 中3度顶点有6个，其余顶点的度数均小于3。
则G 中顶点数至少有__9___个；3．设n 阶无向图是由k(k ?2)棵树构成的森林，则图G 的边数m= _n-k____;4．下图G 是否是平面图？答__是___; 是否可1-因子分解？答__是_.5．下图G 的点色数=)(G χ______, 边色数=')(G χ__5____。
图G二．单项选择(每题3分，共21分)1．下面给出的序列中，是某简单图的度序列的是( A )(A) (11123); (B) (233445); (C) (23445); (D) (1333).2．已知图G 如图所示，则它的同构图是（ D ）3． 下列图中，是欧拉图的是（ D ）4． 下列图中，不是哈密尔顿图的是（B ）5． 下列图中，是可平面图的图的是（B ）AC DA B CD6．下列图中，不是偶图的是（ B ）7．下列图中，存在完美匹配的图是（B ）三．作图(6分)1．画出一个有欧拉闭迹和哈密尔顿圈的图；2．画出一个有欧拉闭迹但没有哈密尔顿圈的图；3．画出一个没有欧拉闭迹但有哈密尔顿圈的图；解： 四．(10分)求下图的最小生成树，并求其最小生成树的权值之和。
解：由克鲁斯克尔算法的其一最小生成树如下图：权和为：20.五．(8分)求下图G 的色多项式P k (G).解：用公式(G P k -G 的色多项式：)3)(3)()(45-++=k k k G P k 。
六．(10分) 22，n 3个顶点的度数为3，…，n k 个顶点的度数为k ，而其余顶点的度数为1，求1度顶点的个数。
解：设该树有n 1个1度顶点，树的边数为m.一方面：2m=n 1+2n 2+…+kn k另一方面：m= n 1+n 2+…+n k -1 v v 13图G由上面两式可得：n 1=n 2+2n 3+…+(k -1)n k七．证明：(8分) 设G 是具有二分类(X,Y)的偶图，证明(1)G 不含奇圈；（2）若|X |≠|Y |，则G 是非哈密尔顿图。
集合论与图论答案 第一章习题
若存在 Gfi ,Gf j (i j) ，使得 Gfi Gf j 且 Gf j Gfi ，则结论成立。
反证法：假设不存在 G fi 和 G f j 满足 Gfi Gf j 且 Gf j Gfi 。于是
i, j(i j),Gfi与Gf j 应满足： Gfi Gf j 或 Gf j Gfi 必有一个成立。
设 A 1, B 2，则 2A ,1, 2B ,2 。 2A 2B ,1,2，而 A B 1, 2, 2A B ,1,2,1, 2，
所以 2A 2B 2A B 。 例 5 (多项选择)设集合 A 是以空集 为唯一元素的集合，集合 B 22A ，则下列 各式那个正确？
(1) B ；(2) B ；(3) B ；(4), B ；(5), B 。
i 1
n
x Mn \ Nn MnNn (NiMi ) 。
i 1
n
综上可得： NnQn (NiMi ) 。
i 1
例 4 (P225 ) 设 A, B 为集合，证明： A B B A 充要条件是下列三个条件至少一个 成立：（1） A ；（2） B ；（3） A B 。
1．若 A B B A ，则 A 或 B 。
即{x} B ，所以 x B ，即 A B 。
（2） P(A) P(B) (P(A) P(B)) (P(B) P(A)) ABB A AB。
例 4 设 A, B 是两个任意集合，证明： (1) 2A 2B 2A B ；(2) 2A 2B 2A B ；(3) 举例说明 2A 2B 2A B 。 其中 2A 表示集合 A 的幂集。 证：(1) 证 2A 2B 2A B 。 x 2A 2B ，有 x 2A 或 x 2B 。 若 x 2A ，则 x A ，而 A A B ，故 x A B ，因此 x 2A B 。 同理，若 x 2B ，也有 x 2A B 。 因此 2A 2B 2A B 。 (2) 证 2A 2B 2A B 。 证 x 2A 2B x 2A 且 x 2B x A且 x B x A B x2A B 。 所以 2A 2B 2A B 。 (3) 下面举例说明 2A 2B 2A B 。
电子科大研究生图论考试 附答案
1电子科技大学研究生试卷（考试时间： 至 ，共__2_小时）课程名称 图论及其应用 教师 学时 60 学分 教学方式 讲授 考核日期_2013__年_6__月__20__日 成绩 考核方式： （学生填写）一．填空题(每空2分，共20分)1． n 阶k 正则图G 的边数m =_____。
2．4个顶点的不同构单图的个数为________。
3．完全偶图,r s K (,2r s ≥且为偶数)，则在其欧拉环游中共含____条边。
4．高为h 的完全2元树至少有_______片树叶。
5. G 由3个连通分支124,,K K K 组成的平面图，则其共有_______个面。
6. 设图G 与5K 同胚，则至少从G 中删掉_______条边，才可能使其成为可平面图。
7. 设G 为偶图，其最小点覆盖数为α，则其最大匹配包含的边数为________。
8. 完全图6K 能分解为________个边不重合的一因子之并。
9. 奇圈的边色数为______。
10. 彼得森图的点色数为_______。
二．单项选择(每题3分，共15分) 1．下面说法错误的是( )学 号 姓 名 学 院…………………… 密……………封……………线……………以……………内……………答…… ………题……………无……………效……………………2(A) 图G 中的一个点独立集，在其补图中的点导出子图必为一个完全子图；(B) 若图G 连通，则其补图必连通； (C) 存在5阶的自补图； (D) 4阶图的补图全是可平面图. 2．下列说法错误的是（ ） (A) 非平凡树是偶图；(B) 超立方体图(n 方体,1n ≥)是偶图； (C) 存在完美匹配的圈是偶图； (D) 偶图至少包含一条边。
3.下面说法正确的是( )(A) 2连通图一定没有割点（假定可以有自环）； (B) 没有割点的图一定没有割边；(C) 如果3阶及其以上的图G 是块，则G 中无环，且任意两点均位于同一圈上；(D) 有环的图一定不是块。
2017图论电子科技大学研究生试卷答案
电子科技大学研究生试卷: （考试时间： —至 ____ ，共_2_小时）； 课程名称 图论及其应用 教师 ________ 学时60学分—: 教学方式 讲授 考核日期_2017—年_6_月—11_0 成绩 ______________甲 -------------- 二^ ---------------------------------------- : 考核方式： _________ （学生填写）: —•填空题（每空5分，共25分）舉: 1•图1中顶点“到顶点b 的距离dab ） = ______ o总条数为 ______ 3•图2中最小生成树了的权值W ） = ______£+"0 1 1 0 2•已知图G 的邻接矩阵心1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 (10 0 1 ro0 1丿,则G 中长度为2的途径D|n£+图1图4•图3的最优欧拉环游的权值为5.树叶带权分别为1,245,6,8的最优二元树权值为W(T)=________ 。
二・单项选择(每题3分，共15分)1・关于图的度序列，下列说法正确的是()(A) 对任意一个非负整数序列来说，它都是某图的度序列;(B) 如果非负整数序列K归…心满足「为偶数则它一定是图序/-I列；(C) 若图G度弱于图H ,则图G的边数小于等于图H的边数；(D) .如果图G的顶点总度数大于或等于图H的顶点总度数，则图G度优于图H o2・关于图的割点与割边，下列说法正确的是()(A) 有割边的图一定有割点；(B) 有割点的图一定有割边；(C) 有割边的简单图一定有割点;(D) 割边不在图的任一圈中。
3•设k(G) , 2(G) , 5(G)分别表示图G的点连通度，边连通度和最小度。
下面说法错误的是()(A) 存在图G ,使得狀G)= 5(G) = 2(G)；(B) 存在图G ,使得k(G)<A(G)<3(G)；(C) 设G是n阶简单图，若J(G)> J ,则G连通,且A(G)=J(G);(D) 图G是£连通的，则G的连通度为44•关于哈密尔顿图，下列命题错误的是()(A) 彼得森图是非哈密尔顿图;(B) 若图G的闭包是哈密尔顿图，则其闭包一定是完全图；(C) 若图G的闭包是完全图，则图G是哈密尔顿图；(D) 设G是三阶以上简单图，若G中任意两个不邻接点“与I，,满足,则G是哈密尔顿图。
电子科技大学研究生图论总结
第一章：图论基本概念 1.定义平凡图/非平凡图 简单图/复合图 空图 n 阶图 连通图/非连通图完全图n K12n n n m K偶图,m n K 完全偶图,m n m K mn K 正则图图和补图，自补图 自补图判定方法 定点的度 d v 最小度 最大度 握手定理2d v m图的度序列与图序列，图序列判定方法（注意为简单图） 图的频序列 2.图运算删点/删边 图并/图交/图差/图对称差 图联 积图/合成图111122,u adjv u v u adjv 或 超立方体 3.连通性 途径 迹 路图G 不连通，其补图连通一个图是偶图当且仅当它不包含奇圈 4.最短路算法（b t A T ） 5.矩阵描述邻接矩阵及其性质，图的特征多项式 关联矩阵 6.极图？？L 补图 完全L 部图 完全L 几乎等部图 托兰定理第二章：树 1.定义树：连通的无圈图 森林 树的中心和树的形心？入<=sqrt(2m(n-1)/n)生成树 根树 出度 入度 树根 树叶 分支点 m 元根树 完全m 元根树 2.性质每棵非平凡树至少有两片树叶图G 是树当且仅当G 中任意两点都被唯一的路连接T 是(n,m)树，则m = n – 1 具有k 个分支的森林有n-k 条边每个n 阶连通图边数至少为n-1（树是连通图中边的下界） 每个连通图至少包含一棵生成树 3.计算 生成树计数 递推计数法： G G e G e关联矩阵计数法：去一点后，每个非奇异阵对应一棵生成树最小生成树（边赋权）避圈法 破圈法完全m 元树： 11m i t第三章：图的连通性1. 割边、割点和块（性质使用反证法） 割边： w G e w G边e 为割边当且仅当e 不在任何圈中割点： w G v w Gv 是无环连通图G 的一个顶点，v 是G 的割点当且仅当V(G-e)可以被划分为两个子集，v 在两个子集内点互连的路上 块：没有割点的连通子图 G 顶点数>=3，G 是块当且仅当G 无环且任意两顶点位于同一圈上v 是割点当且仅当v 至少属于G 的两个不同的块2. 连通度点割 k 顶点割 最小点割（最少用几个点把图割成两份） G 的连通度 G连通图没顶点割时连通度 1G n ，非连通图 0G边割 k 边割 最小边割（最少用几条边把图割成两份） G 的边连通度 G递推到无圈，自环不算圈性质： 任意图G 有 G G GG 是(n,m)连通图， 2m G nG 是(n,m)单图，若 2n G，则G 必定连通 G 是(n,m)单图，对应k n ，若 22n k G，则G 是k 连通G 是(n,m)单图，若 2n G，则 G G敏格尔定理： G 中分离不相邻x,y 的最小点数等于独立的x,y 路最大数目G 中分离x,y 的最小边数等于边不重x,y 路最大数目第四章 E 图与H 图 一、 E 图（走完所有边） 1. 定义，性质与判定E 图（欧拉环游）与E 迹，走完所有边回到出发点与不回到出发点E 图性质与判定：E 图 G 的顶点度数为偶数度 G 的边集合能划分为圈 E 迹性质与判定：E 迹 G 中只有两个顶点度为奇数 2. 求解路径算法 找欧拉环游：都是偶数度点：Fleury 算法（避割边行走）两奇数点欧拉环游：奇数点补充最短路后得到欧拉环游多奇数点欧拉环游：补充偶数度并不断交换 （中国邮路问题算法） 二、 H 图（走完所有点） 1. 定义与性质H 图（H 圈）与H 路：走完所有点回到出发点与不回到出发点 G 图是H 图 w G S S 2. H 图判定3n 的单图G ，如果 2nGG 是H 图3n 的单图G ，任意不相邻u,v 有 d u d v n G 是H 图图G 的闭包是H 图 G 是H 图 度序列判定法：123n d d d d ，3n ，若对任意的2nm，有m d m 或n m d n m ，则G 是H 图123n d d d d ，3n ，若对任意的2nm，有m d m 且n m d n m ，则G 是非H 图 2. 极大非哈密尔顿图定义：如果图G 的度大于等于其他非H 图，则称G 为极大非H 图（非H 图的度上限）,m n C 图： ,2m n m m n m C K K K,m n C 图是非H 图G 是非H 图 G 度弱于某个,m n C 图（证） N 阶单图G 度优于所有,m n C 图 G 为H 图 彼得森图是超H 图4. TSP 问题（边赋权近似最优H 圈求解）最优H 图下界：去点求最小生成树，选最小关联边12e e ， 11w T w e w e第五章 图的匹配与因子分解 1.边匹配定义： 匹配 饱和点/非饱和点 最大匹配/完美匹配 M 交错路/M 可扩路 贝尔热定理：G 的匹配M 是最大匹配，当且仅当G 不包含M 可扩路（反证） 2.偶图匹配Hall 定理（偶图匹配存在性定理，完美匹配）： N S S 推论：k 正则偶图G 存在完美匹配（证） 匹配算法： 匈牙利算法最优匹配算法3.点覆盖边匹配数等于点覆盖数时匹配为最大匹配覆盖为最小覆盖 哥尼定理：偶图中最大匹配边数等于最小覆盖点数（用） 4.托特定理一般图G 有完美匹配当且仅当 G S S推论：没有割边的3正则图存在完美匹配（充分条件）（证） 5.因子分解因子分解，n 度正则因子 一因子分解：2n K 可一因子分解具有H 圈的三正则图可一因子分解 若三正则图有割边，则它不能一因子分解 二因子分解： G 的一个H 圈肯定是一个二因子，但二因子不一定是H 圈（二因子可以不连通）21n K 可2因子分解2n K 可分解为一个1因子和n-1个2因子之和。
图论电子科大ppt2
1 (d2 1, d3 1, , dd11 1, dd12 , , dn )
是图序列。
证明：" "
设G是Π对应的简单图，d (vi)=di
情形1：点v1与点v2,v3,…,vd1+1邻接，则G-v1的度序列正好 为Π1
15
H G 1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
n
dn , di 2m i 1
r
n
di r(r 1) minr, di,1 r n 1
i 1
ir 1
该定理证明很难！
上世纪60年代以来，人们又研究所谓的唯一图序列问题。
例5就是一个唯一图序列！
19
H G 1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
9
H G 1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
奇数度的顶点称为奇点，偶数度的顶点称偶点。
设G = (V, E)为简单图，如果对所有 v V ，有 d (v) = k，称图G为k-正则图
定理： 图G= (V, E)中所有顶点的度的和等于边数 m的2倍，即：
证明 ： 设G是k-正则图，若k为奇数，则由推论1知 正则图G的点数必为偶数
例4 Δ与δ是简单图G的最大度与最小度，求证： 2m
n
11
H G 1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
2019电子科技大学研究生试卷答案
2019电⼦科技⼤学研究⽣试卷答案电⼦科技⼤学研究⽣试卷（考试时间：⾄，共 2 ⼩时）课程名称图论及应⽤教师学时 60 学分 3 教学⽅式堂上授课考核⽇期 2019 年 5 ⽉⽇成绩考核⽅式：（学⽣填写）⼀．填空题(每空3分，共15分) 1. 图G 的邻接矩阵为0111101111001100?? ? ? ? ? ???, 则G 的⽣成树的棵数为 8 . 2. 设1G 是11(,)n m 简单图,2G 是22(,)n m 简单图,则1G 和2G 的(Cartesian)积图12G G ?的边数()m G =1221n m n m +. 3. 图1中最⼩⽣成树T 的权值()W T = 23 .4. 图2中S 到T 的最短路的长度为 8 .5. 设G 是n 阶简单图,且不包含三⾓形,则其边数⼀定不超过24n . ⼆．单项选择题(每题3分，共15分) 学号姓名学院……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………⽆……………效……………………座位号图1 图21. 关于彼得森(Petersen)图, 下⾯说法正确的是 ( B )A. 彼得森图是哈密尔顿图;B. 彼得森图是超哈密尔顿图;C. 彼得森图可1-因⼦分解;D. 彼得森图是可平⾯图.2. 下⾯说法正确的是 ( C )A. 有割点的三正则图⼀定没有完美匹配;B. 有割边的三正则图⼀定没有完美匹配;C. 存在哈密尔顿圈的三正则图必能1因⼦分解;D. 正则的哈密尔顿图必能2因⼦分解.3. 关于图的度序列, 下⾯说法正确的是 ( B )A. 任意两个有相同度序列的图都同构;B. 若图G 度弱于图H ，则图G 的边数⼩于等于图H 的边数;C. 若⾮负整数序列12(,,,)n d d d π=满⾜1ni i d =∑为偶数，则它⼀定是图序列;D. 如果图G 所有顶点的度和⼤于或等于图H 所有顶点的度和，则图G 度优于图H.4. 关于图的补图, 下⾯说法错误的是 ( A )A. 若图G 连通，则其补图必连通;B. 若图G 不连通，则其补图必连通;C. 图G 中的⼀个点独⽴集，在其补图中的点导出⼦图必为⼀个团;D. 存在5阶的⾃补图.5. 关于欧拉图, 下⾯说法正确的是 ( D )A. 每个欧拉图有唯⼀的欧拉环游;B. 每个顶点的度均为偶数的图是欧拉图;C. 欧拉图中⼀定没有割点;D. 欧拉图中⼀定没有割边.(三).(10分)若阶为25且边数为62的图G 的每个顶点的度只可能为3，4，5或6，且有两个度为4的顶点，11个度为6的顶点，求G 中5度顶点的个数。
图论及其应用 第一章答案
)2214(题后两个算法不作要求题，除第图的基本概念<1.>若G 是简单图，证明：()()2V G E G ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭。
证明：()()1()()()1v Gd v V G d v V G V G ∈≤-∴≤-∑（当且仅当G 是完全图时取等号） 又11()()()()122v G E G d v V G V G ∈=≤-∑ ()()2V G E G ⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭。
<2.>设G 是(,)p q 简单图，且12p q -⎛⎫>⎪⎝⎭。
求证G 为连通图。
证明：反证法，假设G 为非连通图。
设G 有两个连通分支1G 和2G ，且112212()1,()1,V G p V G p p p p =≥=≥+= 则1212()()22p p E G E G q ⎛⎫⎛⎫+=≤+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而1211221(1)(1)(1)(2)222222p p p p p p p p p -⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+-=+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222221212121222()2()222p p p p p p p p p p +-+-+-+++-==12(1)(1)0p p =--≤（因为121,1p p ≥≥），矛盾。
<3.>超图H 是有序二元组((),())V H E H ，其中()V H 是顶点非空有限集合，()E H 是()V H 的非空子集簇，且()()i i E E H E V H ∈=。
其中，()E H 中的元素i E 称为超图的边，没有相同边的超图称为简单超图。
证明：若H 是简单超图，则21υε≤-，其中,υε分别是H 的顶点数和边数。
证明：()V H υ=，有一条边的子集个数为1υ⎛⎫ ⎪⎝⎭，有i 条边的子集个数为,1,,.i n i υ⎛⎫= ⎪⎝⎭又02,211i i υυυυυυυ=⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∴++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 。
<4.>若G 是二部图，则2()()4V G E G ≤。
电子科大研究生图论05-14年图论期末试题
2005年研究生期末试题(120分钟)《图论及其应用》一、填空(15分，每空1分)1、已知图G有10条边，4个度数为3的顶点，其余顶点的度数均小于2,则G中至少有8个顶点.2、m条边的简单图G中所有不同的生成子图(包括G和空图)的个数为2"3、4个顶点的非同构的简单图有11个.4、图G的最小生成树各边权值之和为285、若W是图G中一条包含所有边的闭通道，则W在这样的闭通道中具有最短度的充要条件是："(1) 每一条边最多重复经过_4_次；(2) 在G的每一个圈上，重复经过的边的数目不超过圈的长度的一一半6 5阶度极大非哈密尔顿图族有_C5, _C；7、在图G2中，图的度序列为(44443322),频序列为(422),独立数为3,团数为4,点色数为4,边色数为4,直径为3.:、选择(15分)(1) 下列序列中，能成为某简单图的度序列的是(C)(2) 已知图G有13条边，2个5度顶点，4个3度顶点，其余顶点的的度数为2, 则图G有(A)个2度点。
（A ） 2 （ B ） 4 （C ） 8（3）图G 如（a ）所示，与G 同构的图是（C ）⑷下列图中为欧拉图的是（B ），为H 图的是（AB ）,为偶图的是（BC ）・5•下列图中可1 •因子分解的是（B ）四、正整数序列（dd 丄，dn ）是棵树的度序列的充分必要条件是 d.2（n1）i 1（10分）・ 证明：””结论显然n,,H设正整数序列（小,衣丄,山）满足 d.2 （n 1）,易知它是度序列。
设G 是这个度序列的图族中连通分支最少的一个图，知 m 二E （G ）nh假设G 不连通，则（G ） 2,且至少有一个分支G 含有圈C,否则，G 是森林,、设 和 分别是（n, m ）图G 的最大度与最小度，求证: 证明：n 2mvV(G)d (v) n2m n有m 二E （G ） 矛盾！从C 中任意取出一条边© mw 。
并在另一分支G2中任意 取出一条边©2U2V2,作图G G UlVl,U2V2U|V2,U2A则G 的度序列仍然为（did 丄，dn ）且（G ） （G ） h 这与G 的选取矛盾！所以G 是连通的，G 是树。
第一章习题解答
习题一1. 一个工厂为一结点；若两个工厂之间有业务联系，则此两点之间用边相联；这样就得到一个无向图。
若每点的度数为3，则总度数为27，与图的总度数总是偶数的性质矛盾。
若仅有四个点的度数为偶数，则其余五个点度数均为奇数，从而总度数为奇数，仍与图的总度数总是偶数的性质矛盾。
2.若存在孤立点，则m 不超过K n-1的边数, 故m <= (n-1)(n-2)/2, 与题设矛盾。
3.4. 用向量(a 1,a 2,a 3)表示三个量杯中水的量, 其中a i 为第i 杯中水的量, i = 1,2,3.以满足a 1+a 2+a 3 = 8 (a 1,a 2,a 3为非负整数)的所有向量作为各结点, 如果(a 1,a 2,a 3)中某杯的水倒满另一杯得到 ( a ’1, a ’2, a ’3 ) , 则由结点到结点画一条有向边。
这样可得一个有向图。
本题即为在此图中找一条由( 8, 0, 0 )到( 4, 4, 0 )的一条有向路，以下即是这样的一条：5. 可以。
7. 同构。
同构的双射如下：∑∑∑∑∑∑∑==+====-=++=-==---=--=ni i n i i n i n i n i ni i i n i i n i i i i a a n n a a a n n n a n a v v 1111121212/)1()1(2)1(])1[(。
， 所以 因为 ，＋ 的负度数，则为结点的正度数，为结点记－－－－－2 2 222 i i C a a ( 8, 0, 0 ) ( 5, 3, 0 ) ( 5, 0,3 ) ( 2, 3, 3 ) ( 2, 5, 1 )(7, 0, 1 ) ( 7, 1, 0 ) ( 4, 4, 0 )( 4, 1, 3 )8. 记e 1= (v 1,v 2), e 2= ( v 1,v 4), e 3= (v 3,v 1), e 4= (v 2,v 5), e 5= (v 6,v 3), e 6= (v 6,v 4), e 7= (v 5,v 3), e 8= (v 3,v 4), e 9 = (v 6,v 1), 则邻接矩阵为： 关联矩阵为：边列表为：A= (1,1,3,2,6,6,5,3,6), B= (2,4,1,5,3,4,3,4,1). 正向表为：A= (1,3,4,6,6,7,10), B= (2,4,5,1,4,3,3,4,1).⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------100110000001001000010100010011010100000001001100000111, 001101000100000000001001010000001010⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡。
图论参考答案
图论参考答案图论参考答案图论作为一门数学分支，研究的是图的性质与关系。
图由节点（顶点）和连接节点的边组成，它可以用来解决许多实际问题，如网络规划、社交网络分析等。
本文将从图的基本概念、图的表示方法、图的遍历算法以及图的应用等方面进行探讨。
一、图的基本概念图由节点和边构成，节点表示对象，边表示节点之间的关系。
图可以分为有向图和无向图两种类型。
在有向图中，边有方向，表示从一个节点到另一个节点的箭头；而在无向图中，边没有方向，表示节点之间的双向关系。
图中的节点可以用来表示不同的实体，如人、地点、物品等。
而边则表示节点之间的关系，可以是实体之间的联系、交互或者依赖关系等。
图的度是指与节点相连的边的数量。
在无向图中，节点的度等于与之相连的边的数量；而在有向图中，节点的度分为入度和出度，入度表示指向该节点的边的数量，出度表示从该节点出发的边的数量。
二、图的表示方法图可以使用邻接矩阵和邻接表两种方式进行表示。
邻接矩阵是一个二维数组，其中的元素表示节点之间的关系。
如果节点i和节点j之间有边相连，则邻接矩阵中的第i行第j列的元素为1；否则为0。
邻接矩阵的优点是可以快速判断两个节点之间是否有边相连，但是对于稀疏图来说，会浪费大量的空间。
邻接表是一种链表的形式，其中每个节点都有一个指针指向与之相连的节点。
邻接表的优点是可以有效地节省空间，适用于稀疏图。
但是在判断两个节点之间是否有边相连时，需要遍历链表，效率较低。
三、图的遍历算法图的遍历算法是指以某个节点为起点，按照一定的规则依次访问图中的所有节点。
深度优先搜索（DFS）是一种常用的图遍历算法。
它的思想是从起始节点开始，沿着一条路径一直访问到最后一个节点，然后回溯到上一个节点，继续访问其他路径。
DFS可以用递归或者栈来实现。
广度优先搜索（BFS）是另一种常用的图遍历算法。
它的思想是从起始节点开始，先访问所有与起始节点直接相连的节点，然后再依次访问与这些节点相连的节点。
电子科大 张晓军老师 图论
思考？ 上述结论对无环图成立吗？
邻接矩阵的进一步推广－有向图
v1 e1 e2 e5 e3
e6 v3
v2
e4
v4
⎡0 1 0 0⎤
A
=
⎢⎢1 ⎢1
0 0
1 1
1⎥⎥ 0⎥
⎢⎣0 0 0 0⎥⎦
每一列之和 为该顶点的
入度
每一行 之和为 该顶点 的出度
推广的邻接矩阵（复合图）续。。。
1
v
2
G1
G2
u1
3 v1
u2 u3
v2
v3
G1×G2
G2[G1]=?
1u
G2[G1] ≅ G1[G2] ???
1v
2u 3u
2v
3v
n 方体 Qn
1
01
0
00
Q1
Q2
011 11
010
001
10
000
Q3
111 110
011 010
§1.3 路与图的连通性
途径 迹
1
4
58
路
67
连通图
2
3
连通分支 ω(G)
G
G’
关系,而且要求这种对应关系保持结点间的邻
接关系.对有向图同构还要求保持边的方向.
b
a
e v1
d c
v4 v5 v3 v2
(1)
(2)
(3)
(4)
a
e
c
v1
v2
v6
f
b
d
v3
v5
v4
(5)
(6)
(7)
图论chap 1-1
-31-
图论及其应用第一章
1.3 图的矩阵表示
（1）关联矩阵
其中 m ij表示顶点 v i与边 e j关联的次数（0、1或2）。
-32-
图论及其应用第一章 （2）邻接矩阵
-9-
图论及其应用第一章
图论相关的交叉研究 代数图论 拓扑图论 化学图论 算法图论 随机图论 以往数学家习惯将纯数学应用于其它学科， Gowers将图论和组合数学中的Ramsey理论 应用于泛函分析的研究，获得了1998年的 Fields奖。
-10-
图论及其应用第一章 主要参考书 [1] J.A. Bondy and U.S. Murty, Graph Theory with Applications, 1976 （GTM244, 2008）。 [2] B. Bollobas, Modern Graph Theory (现代图论)，科学 出版社，2001。 [3] 王树禾，图论，科学出版社，2004。 [4] 蒋长浩，图论与网络流，中国林业出版社，2001。 [5] 徐俊明，图论及其应用，中国科技大学出版社，1998。
-11-
图论及其应用第一章
第一章 图和子图
1.1 图和简单图 1.2 图的同构 1.3 关联矩阵和邻接矩阵 1.4 子图 1.5 顶点的度 1.6 路、圈和连通 1.8 应用： 最短路问题
-12-
图论及其应用第一章
1.1 图和简单图
-13-
图论及其应用第一章 图的定义 一个图 G 是指一个有序三元组 (V ( G ), E ( G ), G )，
-5-
图论及其应用第一章
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是 按照肯普的想法在进行。后来美国数学家 富兰克林于 肯普 富兰克林 1939年 证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从 22国推进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可 以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。 1976 年 6 月，美国伊利诺大学 哈肯与 哈肯 阿佩尔在两台不同 阿佩尔 的电子计算机上，用了1200 个小时，作了100 亿判断，终于 完成了四色定理的证明，轰动了世界。 然而，真正数学上的严格证明仍然没有得到！数学家仍 为此努力，并由此产生了多个不同的图论分支。
[工学]图论及其应用第1章教学文案
![[工学]图论及其应用第1章教学文案](https://img.taocdn.com/s3/m/938fdcfd760bf78a6529647d27284b73f24236e0.png)
显然，若正整数 k 有图划分，则k 必须是偶数
例 偶数4有五种划分： 4，3+1，2+2，1+1+2，1+1+1+1
但属于图划分的却只有两种:
2+1+1
1+1+1+1
n
对一个非负整数组(d1, d2,…, dn)，i1 di 2m , 若存在一个
简单图G，以它为度序列，则称这个数组是可图的。
定理5 设有非负整数组Π = (d1, d2,…, dn)，且
n
di 2m
i 1
是一个偶数，n-1≥d1≥d2≥…≥dn， Π是可图的充要条件为
( d 2 1 , d 3 1 , , d d 1 1 1 , d d 1 2 , , d n )
例如
v1
v2
图中
v3
d (v1) = 5 d (v2) = 4 d (v3) = 3 d (v4) = 0
d (v5) = 2
v4
注：该图中各点的度数
v5
之和等于14，恰好
是边数7的两倍
定理2 （握手定理）： 对任意的有m条边的图 G = (V, E)。有
d (v) 2m
vV
（1.1）
证明 因图 G 的任一条边均有两个端点 (可以相同)，在 计算度时恰被计算两次 (每个端点各被计算了一次)，所 以各点的度数之和恰好为边数的两倍，即 (1.1) 式成立。
当H G ，但H ≠ G时，则记为H G ，且称H为G的 真子图。G的生成子图是指满足V(H) = V(G)的子图H。 例如
v1
第一章(图论的基本概念)
2 n(n 1)条边. (3) n个结点的完全图记为Kn,完全图Kn有 Cn
完全图的对称有向图称为完全有向图,记作 K * . n (4) 图G的顶点个数 称为图G的阶. (5) 对于有向图D,去掉边上的方向得到的无向图G称为D的
基础图.反之,任一个无向图G,将G的边指定一个方向得到
1 2
构造加权有向图 G1(V,E)
(k ) （ 1 ） 顶 点 集 V ＝ { X ib , i=1,2,3,4,5}∪{ X ir , i=2,3,4,5,6; k =1,2,…,i-1}, 每个顶点代表年初的一种决策， 其中顶点 X ib 代 (k ) 表第 i 年初购臵新设备的决策， 顶点 X ir 代表第 i 年初修理用
注意：
有向图D中，结点x的度deg(x)= deg+(x)+deg-(x)。
Δ(G)和δ(G)分别表示G的最大顶点度和最小顶点度， 即Δ(G)=max{dG(x)|x∈V(G)}; δ(G)=min{dG(x)|x∈V(G)}. 有向图D中，记Δ+(G)=max{d+G(x)|x∈V(G)};
过 k 年的旧设备的决策
(k ) （2）弧集 E={ ( X ib , X i 1,b ),( X ir , X i 1,b ), i=1,2,3,4; k=1,2,…,i-1} 1) (k ) ( k 1) ∪{ ( X ib , X i( , =1,2,3,4,5} ∪ { ) ( X , X 1,r ir i 1,r ) ,i=1,2,3,4,5 ;k=1,2,i -1}
电子科技大学《图论及其应用》复习总结--第一章图的基本概念
电⼦科技⼤学《图论及其应⽤》复习总结--第⼀章图的基本概念⼀、重要概念图、简单图、图的同构、度序列与图序列、偶图、补图与⾃补图、两个图的联图、两个图的积图1.1 图⼀个图G定义为⼀个有序对(V, E)，记为G = (V, E)，其中（1）V是⼀个有限⾮空集合，称为顶点集或边集，其元素称为顶点或点；（2）E是由V中的点组成的⽆序点对构成的集合，称为边集，其元素称为边，且同⼀点对在E中可出现多次。
注：图G的顶点数（或阶数）和边数可分别⽤符号n(G) 和m(G)表⽰。
连接两个相同顶点的边的条数，叫做边的重数。
重数⼤于1的边称为重边。
端点重合为⼀点的边称为环。
1.2 简单图⽆环⽆重边的图称为简单图。
（除此之外全部都是复合图）注： 1.顶点集和边集都有限的图称为有限图。
只有⼀个顶点⽽⽆边的图称为平凡图。
其他所有的图都称为⾮平凡图。
边集为空的图称为空图。
2.n阶图：顶点数为n的图，称为n阶图。
3.(n, m) 图：顶点数为n的图，边数为m的图称为(n, m) 图1.3 邻接与关联：顶点u与v相邻接：顶点u与v间有边相连接(u adj v)；其中u与v称为该边的两个端点。
注：1.规定⼀个顶点与⾃⾝是邻接的。
2.顶点u与边e相关联：顶点u是边e的端点。
3.边e1与边e2相邻接：边e1与边e2有公共端点。
1.4 图的同构设有两个图G1=(V1,E1)和G2=(V2,E2),若在其顶点集合间存在双射，使得边之间存在如下关系：u1,v1∈V1,u2,v2∈ V2 ，设u1↔u2，v1↔v2,; u1v1∈E1 当且仅当u2v2∈E2,且u1v1与u2v2的重数相同。
称G1与G2同构，记为：G1≌G2注：1、图同构的两个必要条件： (1) 顶点数相同；(2) 边数相同。
2、⾃⼰空间的理解：通过空间的旋转折叠可以进⾏形态转换1.5 完全图、偶图1、在图论中，完全图是⼀个简单图，且任意⼀个顶点都与其它每个顶点有且只有⼀条边相连接。
图论及其应用第一章答案(电子科大版)
习题一(yangchun)：4.证明下面两图同构。
证明:作映射f : v i ↔ u i (i=1,2….10)容易证明，对∀v i v j ∈E ((a)),有f (v i v j,),=,u i,u j,∈,E,((b)) (1≤ i ≤ 10, 1≤j ≤ 10 ) 由图的同构定义知，图(a)与(b)是同构的。
5.证明：四个顶点的非同构简单图有11个。
证明：设四个顶点中边的个数为m ，则有： m=0:m=1 ：m=2：m=3：m=4：(a)v 234(b)m=5：m=6：因为四个顶点的简单图最多就是具有6条边，上面所列出的情形是在不同边的条件下的不同构的情形，则从上面穷举出的情况可以看出四个顶点的非同构简单图有11个。
11.证明：序列（7,6,5,4,3,3,2）和（6,6,5,4,3,3,1）不是图序列。
证明：由于7个顶点的简单图的最大度不会超过6，因此序列（7,6,5,4,3,3,2）不是图序列；（6,6,5,4,3,3,1）是图序列1112312(1,1,,1,,,)d d n d d d d d π++=--- 是图序列（5,4,3,2,2,0）是图序列，然而（5,4,3,2,2,0）不是图序列，所以（6,6,5,4,3,3,1）不是图序列。
●12.证明：若，则包含圈。
证明：下面仅对连通图的下的条件下进行证明，不连通的情形可以通过分成若干个连通的情形来证明。
设,对于中的路若与邻接，则构成一个闭路。
若是一条路，由于，因此，对于，存在与之邻接，则构成一个圈。
●17.证明：若G 不连通，则连通。
证明：对于任意的,若与属于G 的连通分支，显然与在中连通；若与属于的同一连通分支，则与分别在中连通，因此，与在中连通。
18.证明：若,则.证明：若为的割边，则=，若为的非割边，则=，所以，若，则有.。
图论及其应用全 电子科技大学ppt课件
8
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(二)、图的定义与图论模型
1、图的定义
一个图是一个序偶<V,E>，记为G=(V,E),其中：
(1) V是一个有限的非空集合，称为顶点集合,其 元素称为顶点或点。用|V|表示顶点数；
(2) E是由V中的点组成的无序对构成的集合，称 为边集，其元素称为边，且同一点对在E中可以 重复出现多次。用|E|表示边数。
3
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
[5] 李尉萱，《图论》，湖南科学技术出版社，1979
[6] 美，Douglas B.West《图论导引》，机械工业出 版社，2007 李建中，骆吉洲译
[7] 杨洪，《图论常用算法选编》，中国铁道出版社， 1988
12
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
用点抽象分子式中的碳原子和氢原子，用边抽象原子间
的化学键。
通过这样的建模，能很好研究简单烃的同分异构现象.
例如：C4H10的两种同分异构结构图模型为：
h hh h
h hhh h
hhh
hh
h
h h hh
h
13
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
顶点u与v相邻接：顶点u与v间有边相连接；其中u与v称为 该边的两个端点；
顶点u与边e相关联：顶点u是边e的端点； 边e1与边e2相邻接：边e1与边e2有公共端点；
图论第一章课后习题解答
bi 个 (i = 1,2,…,s)，则有 列。 定理 7
bi = n。故非整数组(b ,b ,…, b )是 n 的一个划分，称为 G 的频序
1 2 s
s
i 1
一个 n 阶图 G 和它的补图 G 有相同的频序列。
§1.2 子图与图的运算
且 H 中边的重数不超过 G 中对应边的 定义 1 如果 V H V G ，E H E G ， 重数，则称 H 是 G 的子图，记为 H G 。有时又称 G 是 H 的母图。 当 H G ，但 H G 时，则记为 H G ，且称 H 为 G 的真子图。G 的生成子图是 指满足 V(H) = V(G)的子图 H。 假设 V 是 V 的一个非空子集。以 V 为顶点集，以两端点均在 V 中的边的全体为边集 所组成的子图，称为 G 的由 V 导出的子图，记为 G[ V ]；简称为 G 的导出子图，导出子图 G[V\ V ]记为 G V ； 它是 G 中删除 V 中的顶点以及与这些顶点相关联的边所得到的子图。 若 V = {v}, 则把 G-{v}简记为 G–v。 假设 E 是 E 的非空子集。以 E 为边集，以 E 中边的端点全体为顶点集所组成的子图 称为 G 的由 E 导出的子图，记为 G E ；简称为 G 的边导出子图，边集为 E \ E 的 G 的 导出子图简记为 G E 。若 E e ，则用 G–e 来代替 G-{e}。 定理 8 简单图 G 中所有不同的生成子图（包括 G 和空图）的个数是 2m 个。 定义 2 设 G1，G2 是 G 的子图。若 G1 和 G2 无公共顶点，则称它们是不相交的；若 G1 和 G2 无公共边，则称它们是边不重的。G1 和 G2 的并图 G1∪G2 是指 G 的一个子图，其顶点 集为 V(G1)∪V(G2)，其边集为 E(G1)∪E(G2)；如果 G1 和 G2 是不相交的，有时就记其并图为 G1+G2。类似地可定义 G1 和 G2 的交图 G1∩G2，但此时 G1 和 G2 至少要有一个公共顶点。
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习题一(yangchun)：
4.证明下面两图同构。
证明:作映射f : v i ↔ u i (i=1,2….10)
容易证明，对∀v i v j ∈
E ((a)),有f (v i v j,),=,u i,u j,∈,E,((b)) (1≤ i ≤ 10, 1≤j ≤ 10 ) 由图的同构定义知，图(a)与(b)是同构的。
5.证明：四个顶点的非同构简单图有11个。
证明：设四个顶点中边的个数为m ，则有： m=0:
m=1 ：
m=2：
m=3：
m=4：
(a)
v 23
4
(b)
m=5：
m=6：
因为四个顶点的简单图最多就是具有6条边，上面所列出的情形是在不同边的条件下的不同构的情形，则从上面穷举出的情况可以看出四个顶点的非同构简单图有11个。
11.证明：序列（7,6,5,4,3,3,2）和（6,6,5,4,3,3,1）不是图序列。
证明：由于7个顶点的简单图的最大度不会超过6，因此序列（7,6,5,4,3,3,2）不是图序列；
（6,6,5,4,3,3,1）是图序列
1
1
12312(1,1,,1,,,)d d n d d d d d π++=--- 是图序列
（5,4,3,2,2,0）是图序列，然而（5,4,3,2,2,0）不是图序列，所以（6,6,5,4,3,3,1）不是图序列。
●
12.证明：若
，则包含圈。
证明：下面仅对连通图的下的条件下进行证明，不连通的情形可以通过分成若干
个连通的情形来证明。
设
,
对于中的路
若与邻接，则构成一个闭路。
若是一条路，由于，因
此，对于，存在与之邻接，则构成一个圈。
●
17.证明：若G 不连通，则连通。
证明：对于任意的
,若与属于G 的连通分支，显然与在中连通；
若与属于的同一连通分支，则与分别在中连通，因此，与在中连通。
18.证明：若,则
.
证明：若为的割边，则=，若为的非割边，则
=，所以，若，则有.。