绝对值2(2)详解
七年级数学上册数学 2.4.2 绝对值与相反数-绝对值(六大题型)(解析版)
2.4.2绝对值与相反数——绝对值分层练习考察题型一求一个数的绝对值1．下列各对数中，互为相反数的是()A ．(5)-+与(5)+-B ．12-与(0.5)-+C ．|0.01|--与1(100--D ．13-与0.3【详解】解：A ．(5)5-+=-，(5)5+-=-，不合题意；B ．(0.5)0.5-+=-，与12-相等，不合题意；C ．|0.01|0.01--=-，11()0.01100100--==，0.01-与0.01互为相反数，符合题意；D ．13-与0.3不是相反数，不合题意．故本题选：C ．2．若m 、n 互为相反数，则|5|m n -+=．【详解】解：m 、n 互为相反数，|5||5|5m n -+=-=．故本题答案为：5．3．比较大小：3(15--)| 1.35|--．（填“<”、“>”或“=”）【详解】解：3(1) 1.65--=，| 1.35| 1.35--=-，因为1.6 1.35>-，所以3(15--)| 1.35|>--．故本题答案为：>．考察题型二绝对值的代数意义1．最大的负整数是，绝对值最小的数是．【详解】解：最大的负整数是1-，绝对值最小的数是0．故本题答案为：1-，0．2．如果|2|2a a -=-，则a 的取值范围是()A ．0a >B ．0aC ．0aD ．0a <【详解】解：|2|2a a -=- ，20a ∴-，解得：0a ．故本题选：C ．3．如果一个数的绝对值是它的相反数，则这个数是()A ．正数B ．负数C ．正数或零D ．负数或零【详解】解： 一个数的绝对值是它的相反数，设这个绝对值是a ，则||0a a =-，0a ∴．故本题选：D ．4．已知实数满足|3|3x x -=-，则x 不可能是()A ．1-B ．0C ．4D ．3【详解】解：|3|3x x -=- ，30x ∴-，即3x ．故本题选：C ．5．下列判断正确的是()A ．若||||a b =，则a b=B ．若||||a b =，则a b =-C ．若a b =，则||||a b =D ．若a b =-，则||||a b =-【详解】解：若||||a b =，则a b =-或a b =，所以A ，B 选项错误；若a b =，则||||a b =，所以C 选项正确；若a b =-，则||||a b =，所以D 选项错误．故本题选：C ．6．在数轴上有A 、B 两点，点A 在原点左侧，点B 在原点右侧，点A 对应整数a ，点B 对应整数b ，若||2022a b -=，当a 取最大值时，b 值是()A ．2023B ．2021C ．1011D ．1【详解】解： 点A 在点B 左侧，0a b ∴-<，||2022a b b a ∴-=-=，a 为负整数，则最大值为1-，此时(1)2022b --=，则2021b =．故本题选：B ．7．若x 为有理数，||x x -表示的数是()A ．正数B ．非正数C ．负数D ．非负数【详解】解：（1）若0x 时，||0x x x x -=-=；（2）若0x <时，||20x x x x x -=+=<；由（1）（2）可得：||x x -表示的数是非正数．故本题选：B ．8．如果||||||m n m n +=+，则()A ．m 、n 同号B ．m 、n 异号C ．m 、n 为任意有理数D ．m 、n 同号或m 、n 中至少一个为零【详解】解：当m 、n 同号时，有两种情况：①0m >，0n >，此时||m n m n +=+，||||m n m n +=+，故||||||m n m n +=+成立；②0m <，0n <，此时||m n m n +=--，||||m n m n +=--，故||||||m n m n +=+成立；∴当m 、n 同号时，||||||m n m n +=+成立；当m 、n 异号时，则：||||||m n m n +<+，故||||||m n m n +=+不成立；当m 、n 中至少一个为零时，||||||m n m n +=+成立；综上，如果||||||m n m n +=+，则m 、n 同号或m 、n 中至少一个为零．故本题选：D ．考察题型三解方程：()0x a a =>，x a =±；0x =，0x =1．若|| 3.2a -=-，则a 是()A ．3.2B ． 3.2-C ． 3.2±D ．以上都不对【详解】解：|| 3.2a -=- ，|| 3.2a ∴=，3.2a ∴=±．故本题选：C ．2．若0a <，且||4a =，则1a +=．【详解】解：若0a <，且||4a =，所以4a =-，13a +=-．故本题答案为：3-．3．已知||4x =，||5y =且x y >，则2x y -的值为()A ．13-B ．13+C ．3-或13+D ．3+或13-【详解】解：||4x = ，||5y =且x y >，y ∴必小于0，5y =-，当4x =或4-时，均大于y ，①当4x =时，5y =-，代入224513x y -=⨯+=；②当4x =-时，5y =-，代入22(4)53x y -=⨯-+=-；综上，23x y -=-或2x y -=13+．故本题选：C ．4．已知||4m =，||6n =，且||m n m n +=+，则m n -的值是()A ．10-B ．2-C ．2-或10-D ．2【详解】解：||m n m n +=+ ，||4m =，||6n =，4m ∴=，6n =或4m =-，6n =，462m n ∴-=-=-或4610m n -=--=-．故本题选：C ．5．若|2|1x -=，则x 等于．【详解】解：根据题意可得：21x -=±，当21x -=时，解得：3x =；当21x -=-时，解得：1x =；综上，3x =或1x =．故本题答案为：1或3．6．小明做这样一道题“计算|2-★|”，其中★表示被墨水染黑看不清的一个数，他翻开后面的答案得知该题的结果为6，那么★表示的数是．【详解】解：设这个数为x ，则|2|6x -=，所以26x -=或26x -=-，①26x -=，62x -=-，4x -=，4x =-；②26x -=-，62x -=--，8x -=-，8x =；综上，4x =-或8．故本题答案为：4-或8．考察题型四绝对值的化简1．若1a <，|1||3|a a -+-=．【详解】解：1a < ，10a ∴->，30a ->，∴原式1342a a a =-+-=-．故本题答案为：42a -．2．若|||4|8x x +-=，则x 的值为．【详解】解：|||4|8x x +-= ，∴当4x >时，48x x +-=，解得：6x =；当0x <时，48x x -+-=，解得：2x =-．故本题选：2-或6．3．已知20212022x =，则|2||1||||1||2|x x x x x ---+++-+的值是．【详解】解：20212022x = ，即01x <<，20x ∴-<，10x -<，10x +>，20x +>，|2||1||||1||2|x x x x x ∴---+++-+2(1)12x x x x x =---+++--2112x x x x x =--++++--x =20212022=．故本题答案为：20212022．4．若a 、b 、c 均为整数，且||||1a b c a -+-=，则||||||a c c b b a -+-+-的值为()A ．1B ．2C ．3D ．4【详解】解：a ，b ，c 均为整数，且||||1a b c a -+-=，||1a b ∴-=，||0c a -=或||0a b -=，||1c a -=，①当||1a b -=，||0c a -=时，c a =，1a b =±，所以||||||||||||0112a c c b b a a c a b b a -+-+-=-+-+-=++=；②当||0a b -=，||1c a -=时，a b =，所以||||||||||||1102a c c b b a a c c a b a -+-+-=-+-+-=++=；综上，||||||a c c b b a -+-+-的值为2．故本题选：B ．5．用abc 表示一个三位数，已知这个三位数的低位上的数字不大于高位上的数字，当||||||a b b c c a -+-+-取得最大值时，这个三位数的最小值是．【详解】解：abc 表示一个三位数，已知这个三位数的低位上的数字不大于高位上的数字，a b c ∴，||||||a b b c c a ∴-+-+-a b b c a c =-+-+-22a c =-2()a c =-，当||||||a b b c c a -+-+-取得最大值时，即a c -取得最大值，而a 、b 、c 是自然数，9a ∴=，0c =，∴这个三位数的最小值为900．故本题答案为：900．【根据数轴上的点的位置化简绝对值】6．已知a 、b 、c 的大致位置如图所示：化简||||a c a b +-+的结果是()A ．2a b c ++B ．b c -C ．c b -D ．2a b c--【详解】解：由题意得：0b a c <<<，且||||c a >．0a c ∴+>，0a b +<，∴原式()a c a b =+---a c a b =+++2a b c =++．故本题选：A ．7．已知a ，b ，c 的位置如图所示，则||||||a a b c b ++--=．【详解】解：由数轴可知：0b a c <<<，且||||||b c a >>，0a b ∴+<，0c b ->，||||||a abc b ∴++--()()a abc b =--+--a a b c b=----+2a c =--．故本题答案为：2a c --．8．有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图：（1）判断正负，用“>”或“<”填空：b c -0，a b +0，c a -0．（2）化简：||||||b c a b c a -++--．【详解】解：（1）由图可知：0a <，0b >，0c >且||||||b a c <<，所以0b c -<，0a b +<，0c a ->，故本题答案为：<，<，>；（2）||||||b c a b c a -++--()()()c b a b c a =-+----c b a b c a=----+2b =-．【当0a >，1||aa =，当0a <时，1||aa =-】9．已知0ab ≠，则||||a b a b +的值不可能的是()A ．0B ．1C ．2D ．2-【详解】解：①当a 、b 同为正数时，原式112=+=；②当a 、b 同为负数时，原式112=--=-；③当a 、b 异号时，原式110=-+=．故本题选：B ．10．已知a ，b 为有理数，0ab ≠，且2||3||a bM a b =+．当a ，b 取不同的值时，M 的值等于()A ．5±B ．0或1±C ．0或5±D ．1±或5±【详解】解：由于a ，b 为有理数，0ab ≠，当0a >、0b >时，且2||3235||a b M a b =+=+=；当0a >、0b <时，且2||3231||a b M a b =+=-=-；当0a <、0b >时，且2||3231||a b M a b =+=-+=；当0a <、0b <时，且2||3235||a b M a b =+=--=-．故本题选：D ．11．已知a ，b ，c 为非零有理数，则||||||a b c a b c ++的值不可能为()A ．0B ．3-C ．1-D ．3【详解】解：当a 、b 、c 没有负数时，原式1113=++=；当a 、b 、c 有一个负数时，原式1111=-++=；当a 、b 、c 有两个负数时，原式1111=--+=-；当a 、b 、c 有三个负数时，原式1113=---=-；原式的值不可能为0．故本题选：A ．12．若||||||a b ab x a b ab =++，则x 的最大值与最小值的和为()A ．0B ．1C ．2D ．3【详解】解：当a 、b 都是正数时，1113x =++=；当a 、b 都是负数时，1111x =--+=-；当a 、b 异号时，1111x =--=-；则x 的最大值与最小值的和为：3(1)2+-=．故本题选：C ．13．已知：||2||3||a b b c c a m c a b+++=++，且0abc >，0a b c ++=．则m 共有x 个不同的值，若在这些不同的m 值中，最大的值为y ，则(x y +=)A ．4B ．3C ．2D ．1【详解】解：0abc > ，0a b c ++=，a ∴、b 、c 为两个负数，一个正数，a b c +=-，b c a +=-，c a b +=-，∴||2||3||c a b m c a b---=++，∴分三种情况说明：当0a <，0b <，0c >时，1234m =--=-，当0a <，0c <，0b >时，1230m =--+=，当0a >，0b <，0c <时，1232m =-+-=-，m ∴共有3个不同的值，4-，0，2-，最大的值为0，3x ∴=，0y =，3x y ∴+=．故本题选：B ．14．已知||1abc abc =，那么||||||a b c a b c++=．【详解】解：1abcabc =，0abc ∴>，a ∴、b 、c 均为正数或一个正数两个负数，①当a 、b 、c 均为正数时，1113ab c ab c ++=++=；②a 、b 、c 中有一个正数两个负数时，不妨设a 为正数，b 、c 为负数，1111ab c a b c++=--=-；综上，3ab c++=或1-．故本题答案为：3或1-．考察题型五绝对值的非负性1．任何一个有理数的绝对值一定()A ．大于0B ．小于0C ．不大于0D ．不小于0【详解】解：由绝对值的定义可知：任何一个有理数的绝对值一定大于等于0．故本题选：D ．2．对于任意有理数a ，下列结论正确的是()A ．||a 是正数B ．a -是负数C ．||a -是负数D ．||a -不是正数【详解】解：A 、0a =时||0a =，既不是正数也不是负数，故本选项错误；B 、a 是负数时，a -是正数，故本选项错误；C 、0a =时，||0a -=，既不是正数也不是负数，故本选项错误；D 、||a -不是正数，故本选项正确．故本题选：D ．3．式子|1|3x --取最小值时，x 等于()A ．1B ．2C ．3D ．4【详解】解：|1|0x - ，∴当10x -=，即1x =时，|1|3x --取最小值．故本题选：A ．4．当a =时，|1|2a -+会有最小值，且最小值是．【详解】解：|1|0a - ，|1|22a ∴-+，∴当10a -=，即1a =，此时|1|2a -+取得最小值2．故本题答案为：1，2．5．已知|2022||2023|0x y -++=，则x y +=．【详解】解：|2022|x - ，|2023|0y +，20220x ∴-=，20230y +=，2022x ∴=，2023y =-，202220231x y ∴+=-=-．故本题答案为：1-．6．如果|3||24|y x +=--，那么(x y -=)A ．1-B ．5C ．5-D ．1【详解】解：|3||24|y x +=-- ，|3||24|0y x ∴++-=，30y ∴+=，240x -=，解得：2x =，3y =-，235x y ∴-=+=．故本题选：B ．7．若|2|2|3|3|5|0x y z -+++-=．计算：（1）x ，y ，z 的值．（2）求||||||x y z +-的值．【详解】解：（1）由题意得：203050x y z -=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，解得：235x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，即2x =，3y =-，5z =；（2）当2x =，3y =-，5z =时，|||||||2||3||5|2350x y z +-=+--=+-=．8．若a 、b 都是有理数，且|2||1|0ab a -+-=，求1111(1)(1)(2)(2)(2022)(2022)ab a b a b a b +++⋯⋯+++++++的值．【详解】解：由题意可得：20ab -=，10a -=，1a ∴=，2b =，原式1111 (12233420232024)=+++⨯⨯⨯⨯111111112233420232024=-+-+-++-112024=-20232024=．考察题型六绝对值的几何意义1．绝对值相等的两个数在数轴上对应的两点距离为6，则这两个数是()A ．6，6-B ．0，6C ．0，6-D ．3，3-【详解】解： 绝对值相等的两个数在数轴上对应的两个点间的距离是6，∴这两个数到原点的距离都等于3，∴这两个数分别为3和3-．故本题选：D ．2．绝对值不大于π的所有整数为．【详解】绝对值不大于π的所有整数为0，1±，2±，3±．故本题答案为：0，1±，2±，3±．3．绝对值小于4的所有负整数之和是．【详解】解： 绝对值小于4的所有整数是3-，2-，1-，0，1，2，3，∴符合条件的负整数是3-，2-，1-，∴其和为：3216---=-．故本题答案为：6-．4．大家知道|5||50|=-，它在数轴上的意义是表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子|63|-，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离，类似地，式子|5|a +在数轴上的意义是．【详解】解：|5|a +在数轴上的意义是表示数a 的点与表示5-的点之间的距离．故本题答案为：表示数a 的点与表示5-的点之间的距离．5．计算|1||2|x x -++的最小值为()A ．0B ．1C ．2D ．3【详解】解：|1||2||1||(2)|x x x x -++=-+-- ，|1||2|x x ∴-++表示在数轴上点x 与1和2-之间的距离的和，∴当21x -时|1||2|x x -++有最小值3．故本题选：D ．6．当a =时，|1||5||4|a a a -+++-的值最小，最小值是．【详解】解：当4a 时，原式5143a a a a =++-+-=，这时的最小值为3412⨯=，当14a <时，原式5148a a a a =++--+=+，这时的最小值为189+=，当51a -<时，原式51410a a a a =+-+-+=-+，这时的最小值接近为189+=，当5a -时，原式5143a a a a =---+-+=-，这时的最小值为3(5)15-⨯-=，综上，当1a =时，式子的最小值为9．故本题答案为：1，9．7．已知式子|1||2||3||4|10x x y y ++-+++-=，则x y +的最小值是．【详解】解：令12x x a ++-=，34y y b ++-=，根据绝对值几何意义：a 表示x 到1-与2两点之间的距离之和，b 表示y 到3-与4两点之间的距离之和， 当12x -，34y -时，正好有10a b +=，∴当1x =-，3y =-时，x y +的最小值为：1(3)4-+-=-．故本题答案为：4-．8．若不等式|2||3||1||1|x x x x a -+++-++对一切数x 都成立，则a 的取值范围是．【详解】解：数形结合：绝对值的几何意义：||x y -表示数轴上两点x ，y 之间的距离．画数轴易知：|2||3||1||1|x x x x -+++-++表示x 到3-，1-，1，2这四个点的距离之和．令|2||3||1||1|y x x x x =-+++-++，3x =-时，11y =，1x =-时，7y =，1x =时，7y =，2x =时，9y =，可以观察知：当11x -时，由于四点分列在x 两边，恒有7y =，当31x -<-时，711y <，当3x <-时，11y >，当12x <时，79y <，当2x 时，9y ，综上，7y ，即|2||3||1||1|7x x x x -+++-++对一切实数x 恒成立．∴a 的取值范围为7a ．9．设|1|a x =+，|1|b x =-，|3|c x =+，则2a b c ++的最小值为．【详解】解：|1|2|1||3|x x x ++-++表示x 到1-、3-的距离以及到1的距离的2倍之和，当x 在1-和1之间时，它们的距离之和最小，此时26a b c ++=．故本题答案为：6．10．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示3-和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离等于||m n -．（2）如果|1|3x +=，那么x =；（3）若|3|2a -=，|2|1b +=，且数a 、b 在数轴上表示的数分别是点A 、点B ，则A 、B 两点间的最大距离是，最小距离是．（4）若数轴上表示数a 的点位于4-与2之间，则|4||2|a a ++-=．【详解】解：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是：413-=，表示3--=，-和2两点之间的距离是：2(3)5故本题答案为：3，5；（2）|1|3x+=，x+=-，x+=或1313x=或4x=-，2故本题答案为：2或4-；（3）|3|2b+=，，|2|1a-=b=-或3b=-，∴=或1，1a5当5b=-时，则A、B两点间的最大距离是8，a=，3当1b=-时，则A、B两点间的最小距离是2，a=，1则A、B两点间的最大距离是8，最小距离是2，故本题答案为：8，2；（4）若数轴上表示数a的点位于4-与2之间，++-=++-=．a a a a|4||2|(4)(2)6故本题答案为：6．11．同学们都知道，|5(2)|--表示5与2-之差的绝对值，实际上也可理解为5与2-两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索（1）求|5(2)|--=；（2）同样道理|1008||1005|x x+=-表示数轴上有理数x所对点到1008-和1005所对的两点距离相等，则x=；（3）类似的|5||2|++-表示数轴上有理数x所对点到5x x-和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|5||2|7x x++-=，这样的整数是．（4）由以上探索猜想对于任何有理数x，|3||6|-+-是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，x x说明理由．【详解】解：（1）|5(2)|7--=，故本题答案为：7；（2）(10081005)2 1.5-+÷=-，故本题答案为： 1.5-；（3）式子|5||2|7++-=理解为：在数轴上，某点到5x x-所对应的点的距离和到2所对应的点的距离之和为7，所以满足条件的整数x 可为5-，4-，3-，2-，1-，0，1，2，故本题答案为：5-，4-，3-，2-，1-，0，1，2；（4）有，最小值为3(6)3---=．12．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示3-和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离等于||m n -．如果表示数a 和1-的两点之间的距离是3，那么a =．（2）若数轴上表示数a 的点位于4-与2之间，则|4||2|a a ++-的值为；（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x ，使得|2||5|7x x ++-=，这些点表示的数的和是．（4）当a =时，|3||1||4|a a a ++-+-的值最小，最小值是．【详解】解：（1）|14|3-=，|32|5--=，|(1)|3a --=，13a +=或13a +=-，解得：4a =-或2a =，故本题答案为：3，5，4-或2；（2） 表示数a 的点位于4-与2之间，40a ∴+>，20a -<，|4||2|(4)[(2)]426a a a a a a ∴++-=++--=+-+=，故本题答案为：6；（3）使得|2||5|7x x ++-=的整数点有2-，1-，0，1，2，3，4，5，2101234512--++++++=，故本题答案为：12；（4）1a =有最小值，最小值|13||11||14|4037=++-+-=++=，故本题答案为：7．1．将2，4，6，8，⋯，200这100个偶数，任意分为50组，每组两个数，现将每组的两个数中任意数值记作a ，另一个记作b ，代入代数式1(||)2a b a b -++中进行计算，求出其结果，50组数代入后可求得50个值，则这50个值的和的最大值是．【详解】解：当a b >时，11(||)()22a b a b a b a b a -++=-++=，当a b <时，11(||)()22a b a b b a a b b -++=-++=，1021041062007550∴+++⋯⋯+=，∴这50个值的和的最大值是7550．故本题答案为：7550．2．39121239||||||||a a a aa a a a +++⋯+的不同的值共有()个．A ．10B ．7C ．4D ．3【详解】解：当0a >，1||a a =，当0a <时，1||aa =-，按此分类讨论：当1a 、2a 、3a 、⋯、9a 均为正数时，391212399||||||||a a a aa a a a +++⋯+=；当1a 、2a 、3a 、⋯、9a 有八个为正数，一个为负数时，39121239817||||||||a a a aa a a a +++⋯+=-=；当1a 、2a 、3a 、⋯、9a 有七个为正数，两个为负数时39121239725||||||||a a a aa a a a +++⋯+=-=；当1a 、2a 、3a 、⋯、9a 有六个为正数，三个为负数时，39121239633||||||||a a a aa a a a +++⋯+=-=；当1a 、2a 、3a 、⋯、9a 有五个为正数，四个为负数时，39121239541||||||||a a a aa a a a +++⋯+=-=；当1a 、2a 、3a 、⋯、9a 有四个为正数，五个为负数时，39121239451||||||||a a a aa a a a +++⋯+=-=-；当1a 、2a 、3a 、⋯、9a 有三个为正数，六个为负数时，39121239363||||||||a a a aa a a a +++⋯+=-=-；当1a 、2a 、3a 、⋯、9a 有两个为正数，七个为负数时，39121239275||||||||a a a aa a a a +++⋯+=-=-；当1a 、2a 、3a 、⋯、9a 有一个为正数，八个为负数时，39121239187||||||||a a a aa a a a +++⋯+=-=-；当1a 、2a 、3a 、⋯、9a 均为负数时，391212399||||||||a a a aa a a a +++⋯+=-；所以共有10个值．故本题选：A ．3．若x 是有理数，则|2||4||6||8||2022|x x x x x -+-+-+-+⋯+-的最小值是．【详解】解：当1012x =时，算式|2||4||6||2022|x x x x -+-+-+⋯+-的值最小，最小值=2|2|2|4|2|6|2|1012|x x x x -+-+-+⋯+-2020201620120=+++⋯+(20200)5062=+⨯÷20205062=⨯÷511060=．故本题答案为：511060．4．对于有理数x ，y ，a ，t ，若||||x a y a t -+-=，则称x 和y 关于a 的“美好关联数”为t ，例如，|21||31|3-+-=，则2和3关于1的“美好关联数”为3．（1）3-和5关于2的“美好关联数”为；（2）若x 和2关于3的“美好关联数”为4，求x 的值；（3）若0x 和1x 关于1的“美好关联数”为1，1x 和2x 关于2的“美好关联数”为1，2x 和3x 关于3的“美好关联数”为1，⋯，40x 和41x 关于41的“美好关联数”为1，⋯．①01x x +的最小值为；②12340x x x x +++⋯⋯+的最小值为．【详解】解：（1）|32||52|8--+-=，故本题答案为：8；（2）x 和2关于3的“美好关联数”为4，|3||23|4x ∴-+-=，|3|3x ∴-=，解得：6x =或0x =；（3）①0x 和1x 关于1的“美好关联数”为1，01|1||1|1x x ∴-+-=，∴在数轴上可以看作数0x 到1的距离与数1x 到1的距离和为1，∴只有当00x =，11x =时，01x x +有最小值1，故本题答案为：1；②由题意可知：12|2||2|1x x -+-=，12x x +的最小值123+=，34|4||4|1x x -+-=，34x x +的最小值347+=，56|6||6|1x x -+-=，56x x +的最小值5611+=，78|8||8|1x x -+-=，78x x +的最小值7815+=，......，3940|40||40|1x x -+-=，3940x x +的最小值394079+=，12340x x x x ∴+++⋯⋯+的最小值：371115...79+++++(379)202+⨯=820=，故本题答案为：820．。
初中数学知识点精讲精析 绝对值 (2)
2.3 绝对值学习目标1．会借助数轴，理解绝对值和相反数的概念。
2．知道| a|的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系。
3．会求一个数的绝对值和相反数，能用绝对值比较两个负数的大小。
知识详解1．相反数（1）相反数的定义像4和－4,3和－3,2.5和－2.5等这样只有符号不同的两个数，我们称其中一个数是另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，特别地，0的相反数是0。
相反数的理解：①相反数“只有符号不同”，即符号相反，数字相同，不能误理解为“只要符号不同”就行，例如：－1与2符号不同，但不是互为相反数②相反数是成对出现的，不能单独存在．例如，5是－5的相反数，－5也是5的相反数③0的相反数为0是相反数定义的重要组成部分。
（2）相反数的求法求一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“－”号，就表示这个数的相反数。
一个有理数a，它的相反数是多少呢?有理数a的相反数是－a.这里a可以表示任意一个数，可以是正数，可以是0，可以是负数，还可以是一个式子．比如：当a＝2时，－a＝－2,2与－2是互为相反数；当a＝－1时，－a＝－(－1)，因为－1的相反数是1，所以－(－1)＝1；当a＝m＋n时，－a＝－(m ＋n)，所以m＋n的相反数是－(m＋n)．（3）相反数的几何意义一对相反数在数轴上对应的点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。
2．绝对值（1）绝对值的几何定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。
①绝对值是一个数在数轴上的对应点离开原点的长度，如图中，点－4距离原点4个单位长度，则－4的绝对值就是4②绝对值是一个距离。
（2）绝对值的表示方法一个数a的绝对值记作|a|，读作a的绝对值．如，＋4的绝对值记作|＋4|，－8的绝对值记作|－8|。
（3）绝对值的代数意义①一个正数的绝对值是它本身；②一个负数的绝对值是它的相反数；③0的绝对值是0。
用式子表示为：|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a>0，0，a ＝0，－a ，a<0.3．绝对值的性质（1）数轴上表示某个数的点到原点的距离越近，它的绝对值就越小，到原点的距离越远，它的绝对值就越大。
24-25学年七年级数学第一次月考卷01(全解全析)【七年级上册第一章~第二章】(人教版2024)
2024-2025学年七年级数学上学期第一次月考卷01（人教版2024）（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教版2024七年级上册第一章~第二章。
5．难度系数：0.8。
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．―3的相反数是（）A．―13B．13C．3D．0.32．―0.5的倒数是（）A．―2B．0.5C．2D．―0.53．如图所示，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准质量的是（）A．B．C．D．【答案】C【详解】解：依题意，得|+0.9|=0.9，|―3.6|=3.6，|―0.8|=0.8，|+2.5|=2.5，∵3.6>2.5>0.9>0.8，∴最接近标准质量的是“―0.8g”，故选：C．4．如图，数轴上雪容融所在点表示的数可能为（）A．3B．1C．―1D．―4【答案】C【详解】解：数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为―1，故选：C．5．下列说法不正确的是（）A．一个数的绝对值一定不小于它本身B．互为相反数的两个数的绝对值相等C．任何数的绝对值都不是负数D．任何有理数的绝对值都是正数【答案】D【详解】解：A、个数的绝对值一定不小于它本身，故此选项正确，不符合题意；B、互为相反数的两个数的绝对值相等，故此选项正确，不符合题意；C、任何有理数的绝对值都不是负数，故此选项正确，不符合题意；D、0的绝对值是0,0既不是正数也不是负数，故此选项错误，符合题意.故选：D．6．一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位，再向右移动2个单位，这时该点所表示的数是（）A．1B．2C．﹣1D．﹣5【答案】C【详解】∵0-3+2=-1，∴该点所表示的数为-1．故选C．7．不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成―7+4―5―6的是（）A．(―7)―(+4)―(―5)+(―6)B．―(+7)―(―4)―(+5)+(―6)C．―(+7)+(+4)―(―5)+(―6)D．(―7)+(+4)+(―5)―(―6)【答案】B【详解】解：A、(―7)―(+4)―(―5)+(―6)=―7―4+5―6，不符合题意；B、―(+7)―(―4)―(+5)+(―6)=―7+4―5―6，符合题意；C、―(+7)+(+4)―(―5)+(―6)=―7+4+5―6，不符合题意；D、(―7)+(+4)+(―5)―(―6)=―7+4―5+6，不符合题意；故选：B．8．某药品说明书上标明药品保存的温度是(20±2)℃，则该药品保存的温度范围是（）A．20～22℃B．18～20℃C．18～22℃D．20～24℃9．两数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是（）A．|a|>|b|B．a+b>0C．a<―b D．a―b<0【答案】C【详解】解：观察图象得：b<―1<0<a<1，∴|b|>|a|，故A选项错误，不符合题意；∴a+b<0，故B选项错误，不符合题意；∴a<―b，故C选项正确，符合题意；∴a―b>0，故D选项错误，不符合题意.故选：C10．魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负），图（1）表示的是(+23)+(―54)=―31的计算过程，则图（2）表示的计算过程是（ ）A．(―22)+(+23)=1B．(―22)+(+32)=10C．(+22)+(―32)=―10D．(+22)+(―23)=―111．a、b、c是有理数且abc<0，则a +b+c的值是（）A．－3B．3或－1C．－3或1D．－3或－112．正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1．若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2023次后，数轴上数2023所对应的点是（）A．点C B．点D C．点A D．点B13．如果卖出一台电脑赚钱500元，记作+500，那么亏本300元，记作元．【答案】-300【详解】解：根据题意，亏本300元，记作-300元，故答案为-300．14．比较大小：―0.65―3（填“＜”、“＞”或“＝”）．415．若（a+3）2+|b﹣2|=0，则（a+b）2011= ．【详解】根据题意得，a +3=0，b −2=0，解得a =−3，b =2，所以,(a +b)2011=(―3+2)2011=―1. 故答案为−1．16．a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，则cd ―a+b2023=．17．观察下面一列数，按某种规律在横线上填上适当的数：―1，34，―59，716，…，则第n 个数是．18．在数轴上，点O 表示原点，现将点A 从O 点开始沿数轴如下移动，第一次点A 向左移动1个单位长度到达点A 1，第二次将点A 1向右移动2个单位长度到达点A 2，第三次将点A 2向左移动3个单位长度到达点A 3，第四次将点A 3向右移动4个单位长度到达点A 4，按照这种移动规律移动下去，第n 次移动到点A n ，当n =100时，点A 100与原点的距离是 个单位．【答案】50【详解】解：观察发现奇数次移动为向左移动，偶数次移动为向右移动；第一次向左平移一个单位，第二次向右平移两个单位，实际向右平移―1+2个单位；第三次向左平移三个单位，第四次向右平移四个单位，实际向右平移―3+4个单位；第99次向左平移一个单位，第100次向右平移两个单位，实际向右平移―99+100单位；则第100次A 点距原点距离为：―1+2―3+4+…―99+100=(―1+2)+(―3+4)+…+(―99+100)=50．即当n =100时，点A 100与原点的距离是50个单位．三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（12分）计算：(1)(―8)+10+3+(―1)；(2)―25÷58×―(3)1―(―3)×2+16÷(―4)；(4)15―22×12+8÷(―2)2．20．（6分）在数轴上表示下列各数：―1，3，12，0，―4，―32，5，并用“<”将它们连接起来．32<―1<0<12<3<5．（6分）21．（10分）某空军举行特技飞行表演，其中一架飞机起飞0.5千米后的高度变化如下表：高度变化记作上升2.5千米+2.5km下降1千米___________上升2千米___________下降2.5千米___________(1)完成表格；(2)飞机完成上述四个表演动作后，飞机高度是多少千米？(3)如果飞机每上升1千米需消耗5升燃油，平均每下降1千米需消耗3升燃油，那么这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？22．（6分）已知a,b互为相反数，c的相反数是最大的负整数，d是最小的正整数，m的绝对值等于2，且m<d，求c+md+(a+b)m的值．23．（8分）学习有理数乘法后，老师让同学们计算：392425×(―5)，看谁算得又快又对，有两位同学的解法如下：小丽：原式=―99925×5=―9995=―19945；小军：原式=39×(―5)=39×(―5)+2425×(―5)=―19945．小晨经过思考后也给出了他的解法：原式=40―×(―5)=40×(―5)―①×(―5)=―200+②=③．(1)②__________③__________．(2)用你认为最合适的方法计算：―191516×8．24．（10分）阅读下面的文字，完成后面的问题：我们知道：11×2=1―12；12×3=12―13；13×4=13―14．那么：(1)14×5=______；12019×2020=______；(2)用含有n的式子表示你发现的规律______；(3)求式子11×2+12×3+13×4+⋯+12019×2020的值．25．（10分）某工艺厂计划一周生产工艺品2100个，平均每天生产300个，但实际每天生产量与计划相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）：星期一二三四五六日增减（单位：个）+5―2―5+15―10+16―9(1)写出该厂星期一生产工艺品的数量；(2)本周产量最多的一天比最少的一天多生产多少个工艺品？(3)请求出该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量；(4)已知该厂实行每日计件工资制，每生产一个工艺品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖50元，少生产一个扣80元．试求该工艺厂在这一周应付出的工资总额．【详解】（1）平均每天生产300个，超产记为正，减产记为负，周一的产量为：300+5=305个；答：该厂星期一生产工艺品的数量为305个．（2分）（2）由表格可知：星期六产量最高为300+(+16)=316（个），星期五产量最低为300+(-10)=290（个），则产量最多的一天比产量最少的一天多生产316―290=26（个）；答：本周产量最多的一天比最少的一天多生产26个工艺品．（4分）（3）根据题意得一周生产的工艺品为：300×7+[(+5)+(―2)+(―5)+(+15)+(―10)+(+16)+(―9)]=2100+10=2110（个）答：服装厂这一周共生产工艺品2110个；（6分）（4）(5+15+16)×50―(2+5+10+9)×80（8分）=36×50―26×80=―280（元），则该工艺厂在这一周应付出的工资总额为：2110×60―280=126320，（9分）答：该工艺厂在这一周应付出的工资总额为126320元．（10分）26．（10分）同学们都知道，|5―(―2)|表示5与―2之差的绝对值，实际上也可理解为5与―2两数在数轴上所对的两点之间的距离.(1)求|5―(―2)|=______；(2)同样道理|x+1008|=|x―1005|表示数轴上有理数x所对点到―1008和1005所对的两点距离相等，则x=______；(3)类似的|x+5|+|x―2|表示数轴上有理数x所对点到―5和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的正整数x，使得|x+5|+|x―2|=7，这样的正整数是______；(4)由以上探索猜想对于任何有理数x，|x―3|+|x―6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由.。
2-4 绝对值与相反数(教师版)2021-2022学年七年级数学上册讲义(苏科版)
第2章 有理数2.4 绝对值与相反数 课程标准 课标解读 1．借助数轴理解绝对值和相反数的概念；2．知道|a|的绝对值的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系；3．会求一个数的绝对值和相反数，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；4．通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用． 1、相反数和绝对值的表示方法 2、数轴的几何意义表示，在数轴上分析绝对值和相反数性质知识点01 相反数 1．定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数．特别地，0的相反数是0．2．性质：（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）．（2）互为相反数的两数和为0．【微点拨】（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同．（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉．（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数．（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可．【即学即练1】1．3-的相反数是（ ）A ．13-B ．13C ．3D ．3-【答案】C【分析】目标导航知识精讲依据相反数的定义求解即可．【详解】解：-3的相反数是3．故选：C．知识点02 多重符号的化简多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 ．【微点拨】（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5．（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数．如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3．【即学即练2】2．在下列各数：13⎛⎫--⎪⎝⎭，36-，227，0，－（＋3），－|－2015|中，负数的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】先化简各数，再与0比较即可．【详解】解：：11=033⎛⎫-->⎪⎝⎭，－（＋3）=-3<0，－|－2015|=-2015<0，负数有36-，－（＋3），－|－2015|，负数的个数是3．故选择：C．知识点03 绝对值1．定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3．2．性质：（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．（2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．【微点拨】（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a 都有：（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．【即学即练3】3．已知关于x 的方程mx |m |+1＝0是一元一次方程，则m 的取值是（ ）A ．±1B ．﹣1C ．1D ．以上答案都不对【答案】A【分析】根据一元一次方程的定义得出m≠0且|m|=1，求出m 即可．【详解】解：∵关于x 的方程mx |m|+1＝0是一元一次方程，∵m≠0且|m|＝1，解得：m ＝±1，故选：A ． 知识点04 有理数的大小比较1．数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a 与b 在数轴上的位置如图所示，则a ＜b ．2．法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩－数为0 正数与0：正数大于0负数与0：负数小于03． 作差法：设a 、b 为任意数，若a-b ＞0，则a ＞b ；若a-b ＝0，则a ＝b ；若a-b ＜0，a ＜b ；反之成立．4． 求商法：设a 、b 为任意正数，若1a b >，则a b >；若1a b =，则a b =；若1a b<，则a b <；反之也成立．若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反．5． 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．【微点拨】利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小：（3）判定两数的大小．【即学即练4】4．下列四个数中，最小的数是（ ）A ．2-B ．4-C ．(1)--D ．0【答案】A【分析】根据有理数的大小比较及绝对值可直接进行排除选项．【详解】解：∵()44,11-=--=，∵()4102->-->>-，∵最小的数是-2；故选A ．考法01 化简绝对值1、根据题设条件只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路．2、借助数轴 能力拓展①零点的左边都是负数，右边都是正数．②右边点表示的数总大于左边点表示的数．③离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了．3、采用零点分段讨论法①求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）．②分段：根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定．③在各区段内分别考察问题．④将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案．误区点拨 千万不要想当然地把 等都当成正数或无根据地增加一些附加条件，以免得出错误的结果．【典例1】a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图所示，则下列各式中正确的个数有（ ）∵0ab >； ∵c a b -<<-； ∵11a b >； ∵b b =-． A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 【答案】B【分析】根据有理数大小的比较可得数轴上的右边的数总大于左边的数得出b ＜c ＜0＜a ，b a c >>，再分别判断各式．【详解】解：结合图形，根据数轴上的右边的数总大于左边的数，可得b ＜c ＜0＜a ，b a c >>．∵∵0ab <，故错误；∵c a b -<<-，故正确； ∵11a b>，故正确； ∵b b =-，故正确；考法02 绝对值的意义一.绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
二 绝对值不等式(课后习题详解)
x [4,6] 时，函数 y 取最小值 2。
6．解不等式： （1） | 2 x 3| 5 ； （3） | （2） | 2 x 5 | 1 ； （4） 2 | 4 x 1| 2 10 。
1 x 1| 3 ； 2
【解析 1】整体代换法 （1） | 2 x 3| 5 ，
3．求证： （1） | x a | | x b || a b | ； （2） | x a | | x b || a b | 。 【解析 1】 （1） x a x b a x x b (a x) ( x b) a b 。 （2）因为 a b x b b a x b (b a) ( x b) x a ，所以
x a x b ( x a) ( x b) a b 。
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4．已知 | A a |
2
， | B b |
2
，求证：
（1） | ( A B) (a b) | ； （2） | ( A B) (a b) | 。 【解析】 （1） ( A B) (a b) ( A a) ( B b) A a B b
【解析 2】几何意义法 （1） | 2 x 3| 5 ，
3 5 2x 3 5 ， 2 2 x 8 ， 1 x 4 ，
∴原不等式的解集为 (1,4) 。 （2） | 2 x 5 | 1 ，
2x 5 1 或 2x 5 1 ， 2x 4 或 2x 6 ， x 2或 x 3 ，
-8
∴原不等式的解集为 (8,4) 。 （4）方程 2 | 4 x 1| 2 10 的根为 x
专题 绝对值中的四类最值模型(老师版)
专题01绝对值中的四类最值模型最值问题一直都是初中数学中的最难点，但也是高分的必须突破点，而绝对值中的最值模型是初中学生第一次接触最值类问题，该类最值模型解题的主要依据是绝对值的几何意义或代数意义。
本专题就绝对值中的四种最值模型进行梳理及对应试题分析，方便大家掌握。
绝对值的性质：①正数的绝对值是它本身，即a a =；②0的绝对值是0，即00=；③负数的绝对值是它的相反数，即a a -=；④绝对值具有非负性，即0≥a 。
模型1.b x a x -+-的最小值模型【模型解读】式子b x a x -+-在b x a ≤≤时，取得最小值为b a -。
【最值原理】b x a x -+-目的是在数轴上找一点x ，使x 到a 和b 的距离和的最小值：另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。
例1.（2023·广东七年级期中）阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物．有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示实数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系．在数轴上，若点A ，B 分别表示数a ，b ，则A ，B 两点之间的距离为AB a b =-．反之，可以理解式子3x -的几何意义是数轴上表示实数x 与实数3两点之间的距离．则当25x x ++-有最小值时，x 的取值范围是（）A ．2x <-或5x >B ．2x -≤或5x ≥C ．25x -<<D ．25x -≤≤【答案】D【分析】根据题意将25x x ++-可以理解为数轴上表示实数x 与实数-2的距离，实数x 与实数5的距离，两者的和，分三种情况分别化简，根据解答即可得到答案.【解析】方法1：几何法（根据绝对值的几何意义）25x x ++-可以理解为数轴上表示实数x 与实数-2的距离，实数x 与实数5的距离，两者的和，通过数轴分析反现当25x -≤≤时，25x x ++-有最小值，最小值为7。
故选：D.方法2：代数法（借助零点分类讨论）当x <-2时，25x x ++-=（-2-x ）+（5-x ）=3-2x ；当25x -≤≤时，25x x ++-=（x +2）+（5-x ）=7；当x >5时，25x x ++-=（x +2）+（x -5）=2x -3；∴25x x ++-有最小值，最小值为7，此时25x -≤≤，故选：D.【点睛】此题考查依据绝对值的性质化简绝对值，正确理解题意，得到25x x ++-表示的意义，再利用分类思想解答问题.①如图2，点A、B都在原点的右边：∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=b-a=∣a-b∣；②如图3，点A、B都在原点的左边：∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=-b-（-a）=∣a③如图4，点A、B在原点的两边：∣AB∣=∣OA∣+∣OB∣=∣a∣+∣b∣=a+（-b）=∣a-b【知识迁移】(1)点A，B表示的数分别是-(2)如图2，若点A，B表示的数分别是x，1的距离，得出当模型2.b x a x ---的最小值和最大值模型【模型解读】式子b x a x ---在a x ≤时，取得最小值为b a --；在b x ≥时，取得最大值b a -。
七年级数学第一次月考卷(苏科版2024)(解析版)【测试范围：第一章~第二章】
2024-2025学年七年级数学上学期第一次月考卷基础知识达标测（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）考前须知：1．本卷试题共24题，单选6题，填空10题，解答8题。
2．测试范围：第一章~第二章（苏科版2024）。
第Ⅰ卷一、单选题1．―12024的相反数是（ ）A ．―2024B ．12024C ．―12024D ．以上都不是【答案】B【分析】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是熟练掌握“只有符号不同的两个数互为相反数”．根据相反数的定义解答即可．【详解】解：―12024的相反数是12024，故选：B ．2．有下列说法：①一个有理数不是正数就是负数；②整数和分数统称为有理数；③零是最小的有理数；④正分数一定是有理数；⑤―a 一定是负数，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】根据有理数的分类逐项分析判断即可求解．【详解】解：①一个有理数不是正数就是负数或0，故①不正确；②整数和分数统称为有理数，故②正确；③没有最小的有理数，故③不正确；④正分数一定是有理数，故④正确；⑤―a 不一定是负数，故④不正确，故选：B ．【点睛】本题考查了有理数的分类，掌握有理数的分类是解题的关键．3．下列各组数相等的有（）A．(―2)2与―22B．(―1)3与―(―1)2C．―|―0.3|与0.3D．|a|与a【答案】B【分析】根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，可得答案．【详解】解∶ A.(―2)2=4，―22=―4，故(―2)2≠―22；B.(―1)3=―1，―(―1)2=―1，故(―1)3=―(―1)2；C.―|―0.3|=―0.3，0.3，故―|―0.3|≠0.3；D.当a小于0时，|a|与a不相等，；故选∶B．【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练求解一个数的乘方是解题的关键．4．观察下图，它的计算过程可以解释（ ）这一运算规律A．加法交换律B．乘法结合律C．乘法交换律D．乘法分配律【答案】D【分析】根据图形，可以写出相应的算式，然后即可发现用的运算律．【详解】解：由图可知，6×3+4×3=(6+4)×3，由上可得，上面的式子用的是乘法分配律，故选：D．【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算律是解答本题的关键．5．如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a，b，有下列结论：①a―b<0；②a+b>0；>0．其中正确的有（ ）个．③(b―1)(a+1)>0；④b―1|a―1|A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】本题主要考查了数轴，有理数的加减，乘除运算．先根据a、b在数轴上的位置判断出a、b的取值范围，再比较出各数的大小即可．【详解】解：观察数轴得：―1<a<0<1<b，∴a―b<0，故①正确；a+b>0，故②正确；b―1>0,a+1>0，∴(b―1)(a+1)>0，故③正确；b―1>0故④正确．|a―1|故选：A6．下列图中所有小正方形都是全等的．图（1）是一张由4个小正方形组成的“L”形纸片，图（2）是一张由6个小正方形组成的3×2方格纸片．把“L”形纸片放置在图（2）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图（3）中的4种不同放置方法，图（4）是一张由36个小正方形组成的6×6方格纸片，将“L”形纸片放置在图（4）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有n种不同放置方法，则n的值是（）A．160B．128C．80D．48【答案】A【分析】先计算出6×6方格纸片中共含有多少个3×2方格纸片，再乘以4即可得．【详解】由图可知，在6×6方格纸片中，3×2方格纸片的个数为5×4×2=40（个）则n=40×4=160故选：A．【点睛】本题考查了图形类规律探索，正确得出在6×6方格纸片中，3×2方格纸片的个数是解题关键．第II卷（非选择题）7．将数据52.93万用科学记数法表示为．【答案】5.293×105【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．【详解】解：52.93万=529300=5.293×105．故答案为：5.293×105．8．甲地海拔高度为―50米，乙地海拔高度为―65米，那么甲地比乙地．（填“高”或者“低”）．【答案】高【分析】先计算甲地与乙地的高度差，再根据结果进行判断即可．【详解】解：由题意可得：(―50)―(―65)=―50+65=15>0，∴甲地比乙地高．故答案为：高【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，有理数的减法运算的实际应用，理解题意是解本题的关键．9．绝对值大于1且不大于5的负整数有．【答案】―2，―3，―4，―5【分析】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值的意义即可求解，掌握绝对值的意义是解题的关键．【详解】解：绝对值大于1且不大于5的负整数有―2，―3，―4，―5，故答案为：―2，―3，―4，―5．10．下表列出了国外几个城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京早的点时数）：城市纽约伦敦东京巴黎时差/时―13―8+1―7如果北京时间是9月13日17时，那么伦敦的当地时间是9月日时．【答案】13 9【分析】本题考查了正负数在实际生活中的应用．这是一个典型的正数与负数的实际运用问题，我们应联系现实生活认清正数与负数所代表的实际意义．此题中正数表示在北京时间向后推几个小时，即加上这个正数；负数表示向前推几个小时，即加上这个负数，据此解答即可．【详解】解：17―8=9，∵―8表示向前推8个小时，∴北京时间是9月13日17时，那么伦敦的当地时间是9月13日9时，故答案为：13，9．11．如图，将一刻度尺放在数轴上．若刻度尺上0cm和5cm对应数轴上的点表示的数分别为―3和2，则刻度尺上7cm对应数轴上的点表示的数是．【答案】4【分析】本题考查数轴的概念．由数轴的概念即可求解．【详解】解：∵0cm和5cm对应数轴上的点表示的数分别为―3和2，∴数轴的单位长度是1cm，∴原点对应3cm的刻度，∴数轴上与7cm刻度对齐的点表示的数是4，故答案为：4．12．如图所示是计算机程序计算，若开始输入x=―2，则最后输出的结果是．【答案】16【分析】本题主要考查了与程序流程图有关的有理数计算．先代入x=―2，计算出结果，若结果不大于10，则把计算的结果重新输入计算，如此往复直至计算的结果大于10即可．【详解】解：―2+4―(―2)=―2+4+2=4<10，4+4―(―2)=4+4+2=10，10+4―(―2)=10+4+2=16>0，故答案为：16．13．若(2a―1)2与2|b―3|互为相反数，则a b=．【答案】18【分析】本题考查相反数的概念及绝对值的知识．根据互为相反数的两个数的和为0，可得(2a―1)2与2|b―3|的和为0，再根据绝对值和偶次方的非负性即可分别求出a，b．【详解】∵ (2a ―1)2与2|b ―3|互为相反数∴ (2a ―1)2+2|b ―3|=0∵ (2a ―1)2≥0，2|b ―3|≥0∴2a ―1=0，2|b ―3|=0∴ a =12，b =3∴ a b =(12)3=18．故答案为：18．14．若a |a |+b |b |+c |c |+d |d |=2，则|abcd |abcd 的值为 ．【答案】-1【分析】先根据a |a |+b |b |+c |c |+d |d |=2，a |a |，b |b |，c |c |，d |d |的值为1或-1，得出a 、b 、c 、d 中有3个正数，1个负数，进而得出abcd 为负数，即可得出答案．【详解】解：∵当a 、b 、c 、d 为正数时，a |a |，b |b |，c |c |，d |d |的值为1，当a 、b 、c 、d 为负数时，a |a |，b |b |，c |c |，d |d |的值为-1，又∵a |a |+b |b |+c |c |+d |d |=2，∴a 、b 、c 、d 中有3个正数，1个负数，∴abcd 为负数，∴|abcd |abcd =-1．故答案为：-1．【点睛】本题主要考查了绝对值的意义和有理数的乘法，根据题意得出a 、b 、c 、d 中有3个正数，1个负数，是解题的关键．15．新定义如下：f(x)=|x ―3|， g(y)=|y +2|； 例如：f(―2)=|―2―3|=5，g(3)=|3+2|=5；根据上述知识， 若f(x)+g(x)=6， 则x 的值为 ．【答案】72或―52【分析】本题考查了新定义，求代数式的值，化简绝对值，绝对值方程，正确理解新定义是解题的关键．根据f(x)+g(x)=6得出含绝对值的方程，解方程可得答案．【详解】解：由题可得：|x ―3|+|x +2|=6，当x ≥3时，x ―3+x +2=6，解得x =72；当―2<x <3时，3―x +x +2=6，方程无解；当x ≤―2时，3―x ―x ―2=6，解得x =―52；故答案为：72或―52．16．定义一种关于整数n 的“F ”运算：（1）当n 是奇数时，结果为3n +5；（2）当n 是偶数时，结果是n 2k （其中k 是使n 2k 是奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取n =58，第一次经F运算是29，第二次经F 运算是92，第三次经F 运算是23，第四次经F 运算是74，……；若n =9，则第2023次运算结果是 ．【答案】8【分析】此题考查的是探索规律题．由题意所给的定义新运算可得当n =9时，第一次经F 运算是32，第二次经F 运算是1，第三次经F 运算是8，第四次经F 运算是1，⋯，由此规律可进行求解．【详解】解：由题意n =9时，第一次经F 运算是3×9+5=32，第二次经F 运算是3225=1，第三次经F 运算是3×1+5=8，第四次经F 运算是823=1，⋯；从第二次开始出现1、8循环，奇数次是8，偶数次是1，∴第2023次运算结果8，故答案为：8．三、解答题17．计算．(1)(―59)―(―46)+(―34)―(+73)(2)(―334)―(―212)+(―416)―(―523)―1【答案】(1)―120(2)―34【分析】本题考查了有理数的混合运算．（1）去括号，再计算加减即可．（2）去括号，通分，再计算加法即可．【详解】（1）(―59)―(―46)+(―34)―(+73)=―59+46―34―73=―120（2）(―334)―(―212)+(―416)―(―523)―1=―334―2―416―5―1=―54+32―1=―3418．计算：(1)4×―12―34+2.5―|―6|；(2)―14―(1―0.5)×13―2―(―3)2．【答案】(1)―1；(2)356．【分析】（1）利用乘法分配律、绝对值的性质分别运算，再合并即可；（2）按照有理数的混合运算的顺序进行计算即可求解；本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键．【详解】（1）解：原式=4×――4×34+4×2.5―6=―2―3+10―6，=―1；（2）解：原式=―1―12×13―(2―9)=―1―16+7，=6―16，=356．19．如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点A 表示的数是―3．(1)在数轴上标出原点，并指出点B 所表示的数是 ；(2)在数轴上找一点C ，使它与点B 的距离为2个单位长度，那么点C 表示的数为 ；(3)在数轴上表示下列各数，并用“＜”号把这些数按从小到大连接起来．2.5，―4，512，―212，|―1.5|，―(+1.6)．【答案】(1)见解析，4(2)2或6(3)数轴表示见解析，―4<―212<―(+1.6)<|―1.5|<2.5<512【分析】本题主要考查了在数轴上表示有理数以及有理数的比较大小：（1）根据点A 表示―3即可得原点位置，进一步得到点B 所表示的数；（2）分两种情况讨论即可求解；（3）首先在数轴上确定表示各数的点的位置，再根据在数轴上表示的有理数，右边的数总比左边的数大用“＜”号把这些数连接起来即可．【详解】（1）如图，O 为原点，点B 所表示的数是4，故答案为：4；（2）点C 表示的数为4―2=2或4+2=6．故答案为：2或6；（3）|―1.5|=1.5，―(+1.6)= 1.6，在数轴上表示，如图所示：由数轴可知：―4<―212<―(+1.6)<|―1.5|<2.5<51220．（1）已知|a |=5，|b |=3，且|a ―b |=b ―a ，求a ―b 的值．（2）已知a 和b 互为相反数，c 和d 互为倒数，x 的绝对值等于2，求式子： x ―(a +b +cd )+a+b cd 的值．【答案】（1）―8或―2；（2）1或―3【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键．（1）根据|a|=5，|b|=3，且|a―b|=b―a，可以得到a、b的值，然后代入所求式子计算即可；（2）根据a与b互为相反数，c与d互为倒数，x的绝对值等于2，可以得到a+b=0，cd=1，x=±2，然后代入所求式子计算即可．【详解】解：（1）∵|a|=5，|b|=3，∴a=±5，b=±3，∵|a―b|=b―a，∴b≥a，∴a=―5，b=±3，当a=―5，b=3时，a―b=―5―3=―8，当a=―5，b=―3时，a―b=―5―(―3)=―5+3=―2，由上可得，a+b的值是―8或―2；（2）∵a与b互为相反数，c与d互为倒数，x的绝对值等于2，∴a+b=0，cd=1，x=±2，∴当x=2时，x―(a+b+cd)+a+b cd=2―(0+1)+0 =2―1=1；当x=―2时，x―(a+b+cd)+a+b cd=―2―(0+1)+0=―2―1=―3．综上所述，代数式的值为1或―3．21．某风筝加工厂计划一周生产某种型号的风筝700只，平均每天生产100只，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（增产记为正、减产记为负）；星期一二三四五六日增减+5―2―4+13―6+6―3(1)根据记录的数据，该厂生产风筝最多的一天是星期______；(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少只风筝？(3)该厂实行每周计件工资制，每生产一只风筝可得20元，若超额完成任务，则超过部分每只另奖5元；少生产一只扣4元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？【答案】(1)四(2)19(3)14225【分析】（1）根据表格中的数据求解即可；（2）最高一天的产量减去最少一天的产量求解即可；（3）根据题意列出算式求解即可．【详解】（1）由表格可得，星期四生产的风筝数量是最多的，故答案为：四．（2）13―(―6)=19，∴产量最多的一天比产量最少的一天多生产19只风筝；（3）700+5―2―4+13―6+6―3=709（只）709×20+9×5=14225(元)．∴该厂工人这一周的工资总额是14225元【点睛】本题考查了正数和负数，有理数的加减和乘法运算的实际应用．解决本题的关键是理解题意正确列式．22．阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示数a、b．A、B两点之间的距离表示为|AB|．则数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|．回答下列问题：（1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 ；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 ；（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是 ，如果|AB|＝2，那么x为 ；（3）当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，符合条件的整数x有 ；（4）令y＝|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|，问当x取何值时，y最小，最小值为多少？请求解．【答案】（1）4；3；（2）|x+1|，1或﹣3；（3）﹣1，0，1，2；（4）x=2时，y最小，最小值为4【分析】（1）根据两点间的距离的求解列式计算即可得解；（2）根据两点之间的距离表示列式并计算即可；（3）根据数轴上两点间的距离的意义解答；（4）根据数轴上两点间的距离的意义解答．【详解】解：（1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是：|1―(―3)|=1+3＝4；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是：|―2―(―5)|=5―2=3；（2）∵A，B分别表示的数为x，﹣1，∴数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x+1|，如果|AB|＝2，则|x+1|＝2，解得：x＝1或﹣3；（3）当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，﹣1≤x≤2，∴符合条件的整数x有﹣1，0，1，2；（4）当|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|取最小值时，x＝2，∴当x＝2时，y最小，即最小值为：|2+1|+|2﹣2|+|2﹣3|＝4．故x＝2时，y最小，最小值为4．【点睛】本题考查数轴与绝对值，熟练掌握数轴上两点之间距离的计算方法是解题的关键．23．观察下列三列数：―1、+3、―5、+7、―9、+11、……①―3、+1、―7、+5、―11、+9、……②+3、―9、+15、―21、+27、―33、……③(1)第①行第10个数是，第②行第10个数是；(2)在②行中，是否存在三个连续数，其和为83？若存在，求这三个数；若不存在，说明理由；(3)若在每行取第k个数，这三个数的和正好为―101，求k的值．【答案】(1)+19；―21(2)存在，这三个数分别为85，―91，89(3)k=―49【分析】本题主要考查了数字规律，一元一次方程的应用，做题的关键是找出数字规律．（1）第①和②行规律进行解答即可；（2）设三个连续整数为(―1)n﹣1(2n―3)―2，(―1)n(2n―1)―2，(―1)n+1(2n+1)―2，根据题意列出方程，即可出答案；（3）设k为奇数和偶数两种情况，分别列出方程进行解答．【详解】（1）解：根据规律可得，第①行第10个数是2×10―1=19；第②行第10个数是―(2×10+1)=―21；故答案为：+19；―21；（2）解：存在．理由如下：由（1）可知，第②行数的第n个数是(―1)n(2n―1)―2，设三个连续整数为(―1)n﹣1(2n―3)―2，(―1)n(2n―1)―2，(―1)n+1(2n+1)―2，当n为奇数时，则2n―3―2―2n+1―2+2n+1―2=83，化简得2n―7=83，解得n=45，这三个数分别为85，―91，89；当n为偶数时，则―(2n―3)―2+(2n―1)―2―(2n+1)―2=83，化简得―2n―5=83，解得n=―44（不符合题意舍去），这三个数分别为85，―91，89；综上，存在三个连续数，其和为83，这三个数分别为85，―91，89；（3）解：当k为奇数时，根据题意得，―(2k―1)―(2k+1)+3×(2k―1)=―101，解得：k=―49，当k为偶数时，根据题意得，(2k+1)+(2k―3)―3(2k―1)=―101，解得，k=51（舍去），综上，k=―49．24．如图，数轴上有A，B，C三个点，分别表示数―20，―8，16，有两条动线段PQ和MN（点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边），PQ=2，MN=4，线段MN以每秒1个单位的速度从点B开始向右匀速运动，同时线段PQ以每秒3个单位的速度从点A开始向右匀速运动．当点Q运动到点C时，线段PQ立即以相同的速度返回；当点Q回到点A时，线段PQ、MN同时停止运动．设运动时间为t秒（整个运动过程中，线段PQ和MN 保持长度不变）．(1)当t =20时，点M 表示的数为 ，点Q 表示的数为 ．(2)在整个运动过程中，当CQ =PM 时，求出点M 表示的数．(3)在整个运动过程中，当两条线段有重合部分时，速度均变为原来的一半，当重合部分消失后，速度恢复，请直接写出当线段PQ 和MN 重合部分长度为1.5时所对应的t 的值．【答案】(1)8，―8(2)―2.8或2(3)5.5或8.5或18.25或19.75【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，能用含t 的代数式表示点运动后所表示的数．（1）当t =20时，根据起点位置以及运动方向和运动速度，即可得点M 表示的数为8、点Q 表示的数为―8；（2）当t ≤12时，Q 表示的数是―20+3t ，P 表示的数是―22+3t ，M 表示的数是―12+t ，36―3t =|―10+2t|，此时―12+t =―12+465=―145，当12<t ≤24时，Q 表示的数是16―3(t ―12)=52―3t ，P 表示的数是50―3t ，M 表示的数是―12+t ，3t ―36=|62―4t |，（3）当PQ 从A 向C 运动时，―8+32(t ―4)――8+12(t ―4)=1.5或―4+12(t ―4)―[―10+32(t ―4)]=1.5，当PQ 从C 向A 运动时，132+―――=1.5或172――――=1.5，解方程即可得到答案．【详解】（1）解：依题意，∵―8―4+20×1=8，∴当t =20时，点M 表示的数为8；∵16―{20×3―[16―(―20)]}=―8，∴当t =20时，点Q 表示的数为―8；故答案为：8，―8；（2）解：当t ≤12时，Q 表示的数是―20+3t ，P 表示的数是―22+3t ，M 表示的数是―12+t ，∴CQ =16―(―20+3t )=36―3t ，PM =|―22+3t ―(―12+t )|=|―10+2t |，∴36―3t =|―10+2t |，解得t =465或t =26（舍去），此时―12+t =―12+465=―145当12<t ≤24时，Q 表示的数是16―3(t ―12)=52―3t ，P 表示的数是50―3t ，M 表示的数是―12+t ，∴CQ =16―(52―3t )=3t ―36，PM =|50―3t ―(―12+t )|=|62―4t |，∴3t ―36=|62―4t |，解得t =14或t =26（舍去），此时―12+t =―12+14=2，∴当CQ =PM 时，点M 表示的数是―145或2；（3）解：当PQ 从A 向C 运动时，t =4时，PQ 与MN 开始有重合部分，有重合部分时，Q 表示的数为―8+32(t ―4)，P 表数为―10+32(t ―4)，M 表示的数为―8+12(t ―4)，N 表示的数是―4+12(t ―4)，若线段PQ 和MN 重合部分长度为1.5则―8+32(t ―4)――8+12(t ―4)=1.5或―4+12(t ―4)―[―10+32(t ―4)]=1.5，解得t =5.5或t =8.5，由―10+32(t ―4)=―4+12(t ―4)得t =10，∴当t =10时，PQ 与MN 的重合部分消失，恢复原来的速度，此时Q 表示的数是1，再过(16―1)÷3=5（秒），Q 到达C ，此时t =15，则M 所在点表示的数是―12+4+10―42+5=0，N 所在点表示的数4，当PQ 从C 向A 运动时，t =352时，PQ 与MN 开始有重合部分，有重合部分时，Q 表示的数为172――P 表示的数为132―M 表示的数为52N 表示的数是132―若线段PQ 和MN 重合部分长度为1.5，132+―――=1.5或172―――=1.5，解得t=18.25或t=19.75，∴重合部分长度为1.5时所对应的t的值是5.5或8.5或18.25或19.75．。
专题 数轴及绝对值难点解析(二) 课后练习二及详解
1题1：题面：式子|1||2||3|x x x ++-+-的最小值是________.题2：题面：能够使不等式0)1)((<+-x x x 成立的x 的取值范围是 ．题3：题面：a 、b 、c 三个数在数轴上位置如图，且|a|=|c|，化简：|a| -|b+a|+|b-c|+|c+b|+|c+a|。
题4：题面：已知p 、q 为有理数，且｜p ｜＞｜q ｜＞1试比较p 3、p 2、p 、q 、－p 和－q ，大小，并用“＜”号把它们连接起来。
题5：题面：如图，数轴上的两个点A 、B 所表示的数分别是a 、b ，在a 、－b 、b a ⋅-、b a -中是正数的个数有 个.题6：题面：设a 、b 是实数，说明|a|-|b|、|a+b|、|a|+|b|的大小关系.题7：题面：关于x 的方程│a│x=│a+1│-x 的解是x=0,则a 的值是 ;关于x 的方程│a│x=│a+1│-x 的解是x=1,则有理数a 的取值范围是 .题8：题面：已知1,1≤≤y x ，设421--++++=x y y y x M ，求M 的最大值与最小值．题9：题面：对于任意数x ，若不等式|x ＋2|+|x －4|＞a 恒成立，则a 的取值范围是___________．课后练习详解题1： 答案：4解析：：如图，|1|x +表示点x 和点－1之间的距离；|2|x -表示点x 和点2之间的距离；|3|x -表示点x 和点3之间的距离.显然，当三条线段没有重合部分时，其距离之和最小，此时，2x =.即原式的最小值为点－1、3之间的距离，即当2x =时|1||2||3|x x x ++-+-有最小值，即|21||22||23|314++-+-=+=.题2：答案： x<-1解析：因│x│≥x,│x│-x≥0,故1+x<0.题3： 答案：b -解析：由题意知：00 a b c ，，所以0000=++-+a c b c c b a b ，，， ， 所以，原式()[]()[]()[]0++-+--++---=b c c b a b ab c c b a b a --+-++-= b -=。
七年级数学上册1.2.4 绝对值-求一个数的绝对值-解答题专项练习2(人教版,含解析)
2021-2022学年度人教版七年级数学上册练习1.2.4 绝对值-求一个数的绝对值1．已知：2,1a b ==，求：a b +．2．将 1.5-，(2)--，0，13，1--，( 2.5)+-在数轴上表示出来，并用“＜”把它们连接起来．3．一辆出租车从A 站出发，先向东行驶12 km ，接着向西行驶8 km ，然后又向东行驶4 km.(1) 画一条数轴，以A 站为原点，向东为正方向，在数轴上表示出租车行驶的终点位置B ；(2)求各次路程的绝对值的和，并说明这个数据的实际意义是什么？(3)若出租车每行驶1 km 耗油0.05升，出租车由起点A 到终点B 共耗油多少升？4．在数轴上表示出下列各数，并用“＜”连接比较各数的大小.-(+4)，+(-1)，|-3.5|,0，-2.55．已知|a|=7，|b|=3，且a ＞b ，求a+b 的值.6．若｜m ｜＝6，｜n ｜＝7，则m+n 的值多少？7．画一条数轴，并在数轴上表示：3.5和它的相反数，绝对值等于3的数，最大的负整数和最小的正整数，并把这些数由小到大用“<”号连接起来．8．将 1.5--，0，-2，1，32⎛⎫-- ⎪⎝⎭在数轴上表示出来，并用“<”把它们连接起来．9．已知下列各有理数：1-- ， 112， 0 ， - (- 3.5)，-3．（1）画出数轴，在数轴上标出这些数表示的点；（2）用“<”把这些数连接起来．10．先把下列各数在数轴上表示出来，再按从小到大的顺序用“＜”号把这些数连接起来：3，()1--，﹣3.5，0，2--11．把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“<”连接起来．10,3,,|4|2---12．把下列各数在数轴上表示出来，并用“<”连接0，112，3-，()0.5--，34--，143⎛⎫+- ⎪⎝⎭．13．把下列各数填在相应的集合内：6，﹣3，2.5，0，﹣1，9--，()3.15--．（1）整数集合 …}；（2）分数集合 …}；（3）非负数集合 …}；（4）正数集合 …}．14．把下列各数填在相应的表示集合的括号内．1-，13-，3--，0，227，0.3-，1.7，()2-- 整数：（ ……）非负整数：（ ……）正数：（ ……）有理数：（ ……）15．已知a ，b ，c ，d ，m ，它们之间有如下关系：a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的绝对值为5，则(a ＋b ＋cd)m －cd 的值是多少？参考答案1．1或3解析：根据绝对值的定义得到a 和b 的值，代入计算即可．详解： 解：∵2,1a b ==， ∴a=±2，b=±1，∴a+b=-3，或a+b=-1，或a+b=1，或a+b=3，∴a b +=1或3．点睛：本题考查了绝对值的意义，解题的关键是根据绝对值的性质得到a 和b 的值．2．作图见解析；()1( 2.5) 1.51023+-<-<--<<<--解析：根据绝对值、相反数、数轴的性质，在数轴上把各个数表示出来，即可得到答案． 详解：(2)2--= 11--=-，( 2.5) 2.5+-=-数轴表示如下：结合数轴，用“＜”把它们连接起来如下：()1( 2.5) 1.51023+-<-<--<<<--． 点睛：本题考查了绝对值、相反数、数轴的知识；解题的关键是熟练掌握绝对值、相反数、数轴的的性质，从而完成求解．3．(1)详见解析；(2) 24km ，它的实际意义是出租车行驶的总路程是24 km ；(3)1.2升 解析：（1）根据题意画出数轴解答即可；（2）根据绝对值的意义和有理数的加法法则即可求出各次路程的绝对值的和，实际意义是出租车行驶的总路程，据此即可解答；（3）用出租车行驶的总路程×0.05即可求出结果．详解：解：(1)终点B的位置如图所示．(2)|12|＋|－8|＋|4|＝24(km)；它的实际意义是出租车行驶的总路程是24 km；(3)0.05×24＝1.2(升)．即出租车由起点A到终点B共耗油1.2升．点睛：本题考查了数轴、有理数的绝对值和有理数的加法运算，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．4．−(+4)＜−2.5＜+(−1)＜0＜|−3.5|；数轴见解析.解析：先把数轴补充完整，再在数轴上表示出各数，从左到右用“＜”连接起来即可详解：解：如图所示−(+4)＜−2.5＜+(−1)＜0＜|−3.5|.点睛：本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解答此题的关键5．4或10解析：利用绝对值的代数意义，以及a小于b求出a与b的值，即可确定出a+b的值．详解：∵|a|=7，|b|=3，∴a=±7,b=±3,又∵a>b，∴a=7，b=3或-3，则a+b=4或10．点睛：考查了有理数的加法，以及绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．6．m+n 的值为±1或±13.解析：根据绝对值的性质可以求出m ＝±6，n=±3，后计算m+n 的值即可求解.详解：∵|m|=6，|n|=7，∴m=±6，n=±7，当m=6，n=7时，m+n=6+7=13；当m=6，n=-7时，m+n=6-7=-1；当m=-6，n=7时，m+n=-6+7=1；当m=-6，n=-7时，m+n=-6-7=-13， 综合上述，m+n 的值为±1或±13.点睛：此题考查绝对值的性质，解题关键在于分情况讨论.7．数轴见解析， 3.53113 3.5-<-<-<<<解析：先按要求求出各数，再在数轴上表示出来，在根据数轴即可判定各数的大小． 详解：3.5的相反数为-3.5，绝对值等于3的数有-3、3，最大的负整数是-1，最小的正整数为1． 数轴为：﹣3.5＜﹣3＜﹣1＜1＜3＜3.5．点睛：本题考查数轴及有理数的大小的比较．正确求出各有理数是解题的关键．8．在数轴上表示见解析；32 1.5012⎛⎫-<--<<<-- ⎪⎝⎭ 解析：先化简 1.5--与32⎛⎫-- ⎪⎝⎭，然后即可将各数在数轴上进行表示，再根据数轴上比较大小的方法即可用“<”把它们连接起来．详解： 解： 1.5 1.5--=-，3322⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 有理数 1.5--，0，-2，1，32⎛⎫-- ⎪⎝⎭在数轴上表示如下：用“<”把它们连接起来是32 1.5012⎛⎫-<--<<<-- ⎪⎝⎭． 点睛：本题考查了有理数的相反数、绝对值、有理数在数轴上的表示以及比较有理数的大小等知识，属于基础题型，熟练掌握有理数的基本知识是解题的关键．9．图见解析，310-<--<<11( 3.5)2<--解析：（1）根据题意及绝对值的意义，相反数的意义进行化简，然后画出数轴，（2）由（1）中的数轴可直接进行解答．详解：解：（1）由()1=1, 3.5 3.5-----=，则把这些数在数轴上表示如图所示：（2）由（1）可得：用“<”把这些数连接起来为：310-<--<<11( 3.5)2<--．点睛：本题主要考查数轴及有理数的大小比较，熟练掌握数轴及有理数的大小比较是解题的关键．10．数轴见解析，﹣3.5＜2--＜0＜()1--＜3解析：根据数轴是表示数的一条直线，可把数在数轴上表示出来，根据数轴上原点的右边表示正数，原点的左边表示负数，从而可得答案．详解：解：由()11,22,--=--=-把3，()1--，﹣3.5，0，2--在数轴上表示如图：由数轴上的点表示的数是右边的数总比左边的数大，得：﹣3.5＜2--＜0＜()1--＜3．点睛：本题考查的是利用数轴上的点表示有理数，相反数的含义，求一个数的绝对值，有理数的大小比较，掌握以上的知识是解题的关键．11．在数轴上表示见解析，14302--<-<< 解析：先化简|4|--，再根据有理数在数轴上的表示方法即可将已知的各数在数轴上进行表示，然后根据数轴上右边的数总比左边的数大即可将已知的有理数进行比较．详解： 解：|4|--=﹣4，则有理数10,3,,|4|2---在数轴上表示如图：按从小到大的顺序连接如下：14302--<-<<．点睛：本题考查了数轴和有理数的大小比较，属于基础题目，熟练掌握基本知识是解题的关键．12．在数轴上表示见解析，()331300.51442--<-<--<<--< 解析：先化简，再把各个数表示在数轴上，然后用“＜”连接各数．详解：()0.50.5--=，3344--=-，114433⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭， 所以0，112，3-，()0.5--，34--，143⎛⎫+- ⎪⎝⎭ 在数轴上表示如下：所以()331300.51442--<-<--<<--<． 点睛：本题考查了绝对值的化简、相反数的意义、数轴及有理数的大小比较，根据在数轴上表示的数，右边的总大于左边的，用“＜”号从左往右依次把各数连接起来．13．（1）6，﹣3，0，﹣1，9--；（2）2.5，()3.15--；（3）6，2.5，0，()3.15--；（4）6，2.5，()3.15--．解析：根据整数、分数、非负数、正有理数以及负数的定义进行判断即可．详解：99--=-，()3.15 3.15--=，由题可得：（1）整数集合 6，﹣3，0，﹣1，9--，…}；（2）分数集合 2.5，()3.15--，…}；（3）非负数集合 6，2.5，0，()3.15--，…}；（4）正数集合 6，2.5，()3.15--，…}．点睛：本题主要考查了有理数的分类，绝对值以及相反数的定义，解题时注意：整数和分数统称为有理数；整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数、负分数．14．1-，3--，0，()2--；0，()2--；227，1.7，()2--；1-，13-，3--，0，227，0.3-，1.7，()2--解析：先把给出的数化简后，利用数集的分类标准赛选即可．详解： 整数：(){}1,3,0,2-----，；非负整数：(){}0,2--，； 正数：()22,1.7,27⎧⎫--⎨⎬⎩⎭， 有理数：()1221,,3,0,,0.3,1.7,237⎧⎫-------⎨⎬⎩⎭，． 点睛：本题考查数集问题，掌握数集的概念，会用数集选数、判断和区分，掌握数集的分类标准，清楚数集的表示．15．4或-6解析：只有符号不同的两个数是互为相反数；两个数互为相反数，两个数的和为0；两个数乘积为1，则两个数互为倒数；数轴上表示一个数的点到原点的距离是这个数的绝对值;根据相反数，倒数，绝对值的定义求解.详解：解：∵a，b互为相反数，∴a＋b＝0．∵c，d互为倒数，∴cd＝1．∵m的绝对值为5，∴m＝5或m＝－5．∴当m＝5时，原式＝(0＋1)×5－1＝4；当m＝－5时，原式＝(0＋1)×(－5)－1＝－6．∴原式的值是4或－6．点睛：本题主要考查相反数，倒数，绝对值的定义和性质，解决本题的关键是要熟练掌握相反数，倒数，绝对值的定义和性质.。
绝对值方程详解及答案
第九讲 绝对值与一元一次方程绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程．解绝对值方程的基本方法有：一是设法去掉绝对值符号．将绝对值方程转化为常见的方程求解；一是数形结合，借助于图形的直观性求解．前者是通法，后者是技巧．解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义，去绝对值的符号法则，非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法．例题【例1】方程5665-=+x x 的解是 ．(重庆市竞赛题)思路点拨 没法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解．【例2】 适合81272=-++a a 的整数a 的值的个数有( )．A ．5B ．4C ． 3D ．2( “希望杯；邀请赛试题)思路点拨 用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征，借助数轴也许能找到简捷的解题途径．注：形如d cx b ax +=+的绝对值方程可变形为)(d cx b ax +±=+且0≥+d cx ， 才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值时应检验．【例3】解方程：413=+-x x ；思路点拨 从内向外，根据绝对值定义性质简化方程．(天津市竞赛题)【例4】解下列方程：(1)113+=--+x x x (北京市“迎春杯”竞赛题)(2)451=-+-x x ． (“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨 解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论，采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论；有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解．【例5】已知关于x 的方程a x x =-+-32，研究a 存在的条件，对这个方程的解进行讨论．思路点拨 方程解的情况取决于a 的情况，a 与方程中常数2、3有依存关系，这种关系决定了方程解的情况，因此，探求这种关系是解本例的关键．运用分类讨它法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具，读者可从两个思路去解．注 本例给出了条件，但没有明确的结论，这是一种探索性数学问题，它给我们留有自由思考的余地和充分展示思维的广阔空间，我们应从问题的要求出发，进行分析、收集和挖掘题目提供的各种信息，进行全面研究．学力训练1．方程15)1(3+=-xx 的解是 ；方程1213+=-x x 的解是 ．2．已知199519953990=+x ，那么x ＝ ．3．已知，2+=x x ，那么19x 99+3x+27的值为 ．4．关于x 的方程x a x a -+=1的解是x=0，则a 的值 ；关于x 的方程x a x a -+=1的解是x=1，则有理数a 的取值范围是 ．5．使方程0223=++x 成立的未知数x 的值是( )．A ．一2B ．0C ．32 D ．不存在 6．方程055=-+-x x 的解的个数为( )．A ．不确定B ．无数个C ． 2个D ．3个(“祖冲之杯”邀请赛试题)7．已知关于 x 的方程mx+2=2(m-x)的解满足0121=--x ，则m 的值是( ) A ．5210或 B ．5210-或 C ．5210或- D ．5210--或 (山东省竞赛题)8．若20002020002000⨯=+x ，则x 等于( )．A ．20或一21B ．一20或21C ．—19或21D ．19或一21(重庆市竞赛题)9．解下列方程：(1)8453=+-x ；(2)43234+=--x x ；(3)312=+-x x ；(4)1212++-+-x x x ．10．讨论方程k x =-+23的解的情况．11．方程212=--x 的解是 ．12．若有理数x 满足方程x x +=-11，则化简1-x 的结果是 ．13．若0,0<>b a ，则使b a b x a x -=-+-成立的x 取值范围是 ．14．若100<<x ，则满足条件a x =-3的整数a 的值共有 个，它们的和是 ．15．若m 是方程x x +=-20002000的解，则2001-m 等于( )．A ．m 一2001B ．一m 一2001C ．m+2001D ．一m+200116．若关于x 的方程032=+-m x 无解，043=+-n x 只有一个解，054==-k x 有两个解，则m 、n 、k 的大小关系是( )．m>n>k B ．n>k>m C ．k>m>n D ． m>k>n17．适合关系式62343=++-x x 的整数x 的值有( )个．A ．0B ．1C ．2D ．大于2的自然数18．方程1735=--+x x 的解有( )．A ．1个B ．2个C ． 3个D ．无数个19．设a 、b 为有理数，且0>a ，方程3=--b a x 有三个不相等的解，求b 的值． (“华杯赛”邀请赛试题)20．当a 满足什么条件时，关于x 的方程a x x =---52有一解?有无数多个解?无解?21．已知y y x x +---=-++15912，求x+y 的最大值与最小值．(江苏省竞赛题)22． (1)数轴上两点表示的有理数是a 、b ，求这两点之间的距离；(2)是否存在有理数x ，使x x x =-++31?(3)是否存在整数x ，使144334=++++-+-x x x x ?如果存在，求出所有的整数x ；如果不存在，说明理由．参考答案。
七年级数学及其运算3绝对值素材2北师大版
利用绝对值的意义解题绝对值的概念：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，记作|a|.如：|-2|表示-2的点到原点的距离.那么|x|则是在数轴上表示x的点到原点的距离，那么|x-1|呢？在数轴上表示(x-1)的点到原点的距离，但x-1这个数相当于把x这个数减少了一个，在数轴上相当于左移了一个单位，若把点x不动，相当于把原点右移了一个单位，即|x-1|相当于在数轴上表示x的点到表示1的点的两点间的距离.如图所示：有了这个知识就可解决像|x-1|=2此类问题.解：到表示数1的点的距离为2的点.图上的A、B两点都满足等于∴x1=3，x2=-1又如|x+3|=1∵|x+3|的意义相当于数轴表示x的点到-3的距离（因为|x+3|相当于将x右移3个单位到原点距离或是把原点左移3个单位到x的距离）∴观察数轴即可得到解答：可见x1=-4，x2=-22019-2020学年中考数学模拟试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图所示的正方体的展开图是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，已知射线OM ，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，那么∠AOB 的度数是（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°3．如图，AOB V 是直角三角形，90AOB ∠=o ，2OB OA =，点A 在反比例函数1y x =的图象上．若点B 在反比例函数k y x=的图象上，则k 的值为（ ）A ．2B ．-2C ．4D ．-44．图（1）是一个长为2m ，宽为2n （m ＞n ）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）A．2mn B．（m+n）2C．（m-n）2D．m2-n25．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（）A．B．C．D．6．如右图,⊿ABC内接于⊙O，若∠OAB=28°则∠C的大小为（）A．62°B．56°C．60°D．28°7．由若干个相同的小立方体搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方体的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．68．如图，反比例函数y＝－的图象与直线y＝－x的交点为A、B，过点A作y轴的平行线与过点B作的x轴的平行线相交于点C，则△ABC的面积为( )A．8 B．6 C．4 D．29．如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，则∠ABE的度数为( )A．30°B．36°C．54°D．72°10．世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司．将0.056用科学记数法表示为（）A．5.6×10﹣1B．5.6×10﹣2C．5.6×10﹣3D．0.56×10﹣111．如图所示的四边形，与选项中的一个四边形相似，这个四边形是（）A．B．C．D．12．若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是（）A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．1二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为_____.14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为_______．15．已知m=444153，n=44053，那么2016m﹣n=_____．16．已知二次函数y=ax2+bx（a≠0）的最小值是﹣3，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根，则c的最大值是_____．17．关于x的方程1101axx+-=-有增根，则a=______.18．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A （﹣6，0），C （0，23）．将矩形OABC 绕点O 顺时针方向旋转，使点A 恰好落在OB 上的点A 1处，则点B 的对应点B 1的坐标为_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）已知关于x 的一元二次方程x 2+(2m+3)x+m 2＝1有两根α，β求m 的取值范围；若α+β+αβ＝1．求m 的值．20．（6分）观察下列等式：第1个等式：a 1=212=+-1， 第2个等式：a 2=3223=-+， 第3个等式：a 3=32+=2-3， 第4个等式：a 4=525=+-2， …按上述规律,回答以下问题：请写出第n 个等式：a n =__________.a 1+a 2+a 3+…+a n =_________.21．（6分）已知2410x x --=，求代数式22(23)()()x x y x y y --+--的值．22．（8分）2019年1月，温州轨道交通1S 线正式运营，1S 线有以下4种购票方式：A ．二维码过闸B ．现金购票C ．市名卡过闸D ．银联闪付 某兴趣小组为了解最受欢迎的购票方式，随机调查了某区的若干居民，得到如图所示的统计图，已知选择方式D 的有200人，求选择方式A 的人数.小博和小雅对A ，B ，C 三种购票方式的喜爱程度相同，随机选取一种方式购票，求他们选择同一种购票方式的概率.（要求列表或画树状图）.23．（8分）在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元．求每张门票原定的票价；根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率．24．（10分）如图，一只蚂蚁从点A 沿数轴向右直爬2个单位到达点B ，点A 表示﹣，设点B 所表示的数为m ．求m 的值；求|m ﹣1|+（m+6）0的值．25．（10分）如图，已知反比例函数y=k x （x ＞0）的图象与一次函数y=﹣12x+4的图象交于A 和B （6，n ）两点．求k 和n 的值；若点C （x ，y ）也在反比例函数y=k x （x ＞0）的图象上，求当2≤x≤6时，函数值y 的取值范围．26．（12分）有一水果店，从批发市场按4元/千克的价格购进10吨苹果，为了保鲜放在冷藏室里，但每天仍有一些苹果变质，平均每天有50千克变质丢弃，且每存放一天需要各种费用300元，据预测，每天每千克价格上涨0.1元．设x 天后每千克苹果的价格为p 元，写出p 与x 的函数关系式；若存放x 天后将苹果一次性售出，设销售总金额为y 元，求出y 与x 的函数关系式；该水果店将这批水果存放多少天后一次性售出，可以获得最大利润，最大利润为多少？27．（12分）小明遇到这样一个问题：已知：1b c a -=. 求证：240b ac -≥. 经过思考，小明的证明过程如下：∵1b c a-=，∴b c a -=.∴0a b c -+=.接下来，小明想：若把1x =-带入一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0），恰好得到0a b c -+=.这说明一元二次方程20ax bx c ++=有根，且一个根是1x =-.所以，根据一元二次方程根的判别式的知识易证：240b ac -≥. 根据上面的解题经验，小明模仿上面的题目自己编了一道类似的题目： 已知：42a c b+=-. 求证：24b ac ≥.请你参考上面的方法，写出小明所编题目的证明过程.参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．A【解析】【分析】有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当的剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图.根据立体图形表面的图形相对位置可以判断.【详解】把各个展开图折回立方体，根据三个特殊图案的相对位置关系，可知只有选项A 正确. 故选A【点睛】本题考核知识点：长方体表面展开图.解题关键点：把展开图折回立方体再观察.2．B【解析】【分析】首先连接AB ，由题意易证得△AOB 是等边三角形，根据等边三角形的性质，可求得∠AOB 的度数．【详解】连接AB ，根据题意得：OB=OA=AB ，∴△AOB 是等边三角形，∴∠AOB=60°.故答案选：B.【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握等边三角形的判定与性质.3．D【解析】【分析】要求函数的解析式只要求出B 点的坐标就可以，过点A 、B 作AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，分别于C 、D ，根据条件得到ACO ODB ~V V ，得到：2BD OD OB OC AC OA===，然后用待定系数法即可.【详解】过点A 、B 作AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，分别于C 、D ，设点A 的坐标是(),m n ，则AC n =，OC m =，Q 90AOB ∠=︒，∴90AOC BOD ∠+∠=︒，Q90DBO BOD∠+∠=︒，∴DBO AOC∠=∠，Q90BDO ACO∠=∠=︒，∴BDO OCA~V V，∴BD OD OB OC AC OA==，Q2OB OA=，∴2BD m=，2OD n=，因为点A在反比例函数1yx=的图象上，则1mn=，Q点B在反比例函数kyx=的图象上，B点的坐标是()2,2n m-，∴2244k n m mn=-⋅=-=-.故选：D.【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，求函数的解析式的问题，一般要转化为求点的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式.4．C【解析】【详解】解：由题意可得，正方形的边长为（m+n），故正方形的面积为（m+n）1．又∵原矩形的面积为4mn，∴中间空的部分的面积=（m+n）1-4mn=（m-n）1．故选C．5．B【解析】【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．6．A【解析】【详解】连接OB．在△OAB中，OA=OB（⊙O的半径），∴∠OAB=∠OBA（等边对等角）；又∵∠OAB=28°，∴∠OBA=28°；∴∠AOB=180°-2×28°=124°；而∠C=12∠AOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠C=62°；故选A7．B【解析】分析：从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．解答：解：从主视图看第一列两个正方体，说明俯视图中的左边一列有两个正方体，主视图右边的一列只有一行，说明俯视图中的右边一行只有一列，所以此几何体共有四个正方体．故选B．8．A【解析】试题解析：由于点A 、B 在反比例函数图象上关于原点对称，则△ABC 的面积=2|k|=2×4=1．故选A ．考点：反比例函数系数k 的几何意义．9．B【解析】【分析】在等腰三角形△ABE 中，求出∠A 的度数即可解决问题．【详解】解：在正五边形ABCDE 中，∠A=15×（5-2）×180=108°又知△ABE 是等腰三角形，∴AB=AE，∴∠ABE=12（180°-108°）=36°． 故选B ．【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形的内角，此题基础题，比较简单．10．B【解析】【详解】0.056用科学记数法表示为：0.056=-25.610 ，故选B.11．D【解析】【分析】根据勾股定理求出四边形第四条边的长度，进而求出四边形四条边之比，根据相似多边形的性质判断即可．【详解】解：作AE⊥BC于E，则四边形AECD为矩形，∴EC=AD=1，AE=CD=3，∴BE=4，由勾股定理得，22AE BE+=5，∴四边形ABCD的四条边之比为1：3：5：5，D选项中，四条边之比为1：3：5：5，且对应角相等，故选D．【点睛】本题考查的是相似多边形的判定和性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键．12．D【解析】【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此求出m、n的值，代入计算可得．【详解】∵点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，∴1+m=3、1﹣n=2，解得：m=2、n=﹣1，所以m+n=2﹣1=1，故选D．【点睛】本题考查了关于y轴对称的点，熟练掌握关于y轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．2π3【解析】根据弧长公式可得：602180π⨯⨯=23π，故答案为23π.14．215【解析】【分析】如图，作OH⊥CD于H，连结OC，根据垂径定理得HC=HD，由题意得OA=4，即OP=2，在Rt△OPH中，根据含30°的直角三角形的性质计算出OH=12OP=1，然后在在Rt△OHC中，利用勾股定理计算得到CH=15，即CD=2CH=215．【详解】解：如图，作OH⊥CD于H，连结OC，∵OH⊥CD，∴HC=HD，∵AP=2，BP=6，∴AB=8，∴OA=4，∴OP=OA﹣AP=2，在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，∴∠POH=60°，∴OH=12OP=1，在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，22OC OH15-=故答案为【点睛】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理和含30°角的直角三角形的性质，解此题的关键在于作辅助线得到直角三角形，再合理利用各知识点进行计算即可15．1【解析】【分析】根据积的乘方的性质将m的分子转化为以3和5为底数的幂的积，然后化简从而得到m=n，再根据任何非零数的零次幂等于1解答.【详解】解：∵m=444153=4?444353=44053，∴m=n，∴2016m-n=20160=1．故答案为：1【点睛】本题考查了同底数幂的除法，积的乘方的性质，难点在于转化m的分母并得到m=n. 16．3【解析】【分析】由一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根，可得y=ax2+bx（a≠0）和y=-c有交点，由此即可解答.【详解】∵一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根，∴抛物线y=ax2+bx（a≠0）和直线y=-c有交点，∴-c≥-3，即c≤3，∴c的最大值为3.故答案为：3.【点睛】本题考查了一元二次方程与二次函数，根据一元二次方程有实数根得到抛物线y=ax2+bx （a≠0）和直线y=-c有交点是解决问题的关键.17．-1【解析】根据分式方程11axx+-－1＝0有增根，可知x-1=0，解得x=1，然后把分式方程化为整式方程为：ax+1-（x-1）=0，代入x=1可求得a=-1.故答案为-1.点睛：此题主要考查了分式方程的增根问题，解题关键是明确增根出现的原因，把增根代入最简公分母即可求得增根，然后把它代入所化为的整式方程即可求出未知系数. 18．（-23，6）【解析】分析：连接OB1，作B1H⊥OA于H，证明△AOB≌△HB1O，得到B1H=OA=6，OH=AB=23，得到答案．详解：连接OB1，作B1H⊥OA于H，由题意得，OA=6，3，则tan∠BOA=3 ABOA=，∴∠BOA=30°，∴∠OBA=60°，由旋转的性质可知，∠B1OB=∠BOA=30°，∴∠B1OH=60°，在△AOB和△HB1O，111B HO BAO B OH ABO OB OB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AOB≌△HB 1O ，∴B 1H=OA=6，OH=AB=23，∴点B 1的坐标为（-23，6），故答案为（-23，6）．点睛：本题考查的是矩形的性质、旋转变换的性质，掌握矩形的性质、全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19． (1)m≥﹣；(2)m 的值为2．【解析】【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根可知△＞1，求出m 的取值范围即可；（2）根据根与系数的关系得出α+β与αβ的值，代入代数式进行计算即可．【详解】(1)由题意知，(2m+2)2﹣4×1×m 2≥1，解得：m≥﹣；(2)由根与系数的关系得：α+β＝﹣(2m+2)，αβ＝m 2，∵α+β+αβ＝1，∴﹣(2m+2)+m 2＝1，解得：m 1＝﹣1，m 1＝2，由(1)知m≥﹣，所以m 1＝﹣1应舍去，m 的值为2．【点睛】本题考查的是根与系数的关系，熟知x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c ＝1（a≠1）的两根时，x 1+x 2＝﹣，x 1x 2＝是解答此题的关键． 20．（1）1n a n n =++1n n + （211n +．【解析】【分析】 （1）根据题意可知，12112a ==+，23223a ==+32332a ==+， 45225a ==+，…由此得出第n 个等式：a n 11n n n n =+++ （2）将每一个等式化简即可求得答案．【详解】解：（1）∵第1个等式：12112a ==+， 第2个等式：23223a ==+ 第3个等式：3 2332a ==-+ 第4个等式：4 5225a ==+， ∴第n 个等式：a n 11n n n n =+++ （2）a 1+a 2+a 3+…+a n=（()(()2-1+3-2+2-3+5-2++n+1n L =11n +．=1．【点睛】 此题考查数字的变化规律以及分母有理化，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．21．12【解析】解：∵2410x x --=，∴241x x -=．∴()22222222(23)()()4129312934931912x x y x y y x x x y y x x x x --+--=-+-+-=-+=-+=⨯+=．将代数式应用完全平方公式和平方差公式展开后合并同类项，将241x x -=整体代入求值．22． (1)600人（2）13 【解析】【分析】（1）计算方式A 的扇形圆心角占D 的圆心角的分率，然后用方式D 的人数乘这个分数即为方式A 的人数；（2）列出表格或树状图分别求出所有情况以及两名同学恰好选中同一种购票方式的情况后，利用概率公式即可求出两名同学恰好选中同一种购票方式的概率．【详解】（1）120200600(36090110)⨯=--（人），∴最喜欢方式A 的有600人 （2）列表法：树状法：∴P （同一种购票方式）13=【点睛】 本题考查扇形统计图的运用和列表法或画树状图求概率的运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．23．（1）1（2）10%．【解析】试题分析：（1）设每张门票的原定票价为x 元，则现在每张门票的票价为（x-80）元，根据“按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元”建立方程，解方程即可；（2）设平均每次降价的百分率为y ，根据“原定票价经过连续二次降价后降为324元”建立方程，解方程即可．试题解析：（1）设每张门票的原定票价为x 元，则现在每张门票的票价为（x-80）元，根据题意得6000480080x x =-， 解得x=1．经检验，x=1是原方程的根．答：每张门票的原定票价为1元；（2）设平均每次降价的百分率为y ，根据题意得1（1-y ）2=324，解得：y 1=0.1，y 2=1.9（不合题意，舍去）．答：平均每次降价10%．考点：1.一元二次方程的应用；2.分式方程的应用．24．（1） ；（2【解析】试题分析：()1 点A 表示 向右直爬2个单位到达点B ，点B 表示的数为2m =，()2把m 的值代入，对式子进行化简即可．试题解析：()1 由题意A 点和B 点的距离为2，其A 点的坐标为 因此B 点坐标2.m =()2把m 的值代入得：()()00162126m m -++=-+， (018=+，11=+，=25．（1）n=1，k=1．（2）当2≤x≤1时，1≤y≤2．【解析】【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出n 值，进而可得出点B 的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k 值；（2）由k=1＞0结合反比例函数的性质，即可求出：当2≤x≤1时，1≤y≤2．【详解】（1）当x=1时，n=﹣12×1+4=1， ∴点B 的坐标为（1，1）．∵反比例函数y=k x 过点B （1，1）， ∴k=1×1=1；（2）∵k=1＞0，∴当x ＞0时，y 随x 值增大而减小，∴当2≤x≤1时，1≤y≤2．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的性质，用到了点在函数图象上，则点的坐标就适合所在函数图象的函数解析式，待定系数法等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.26．()1?0.14p x =+；()22580040000y x x =-++；(3)该水果店将这批水果存放50天后一次性售出，可以获得最大利润，最大利润为12500元．【解析】【分析】（1）根据按每千克4元的市场价收购了这种苹果10000千克，此后每天每千克苹果价格会上涨0.1元，进而得出x 天后每千克苹果的价格为p 元与x 的函数关系；（2）根据每千克售价乘以销量等于销售总金额，求出即可；（3）利用总售价-成本-费用=利润，进而求出即可.【详解】()1根据题意知，0.14p x =+；()()()220.141000050580040000y x x x x =+-=-++．()3300410000w y x =--⨯Q25500x x =-+25(50)12500x =--+∴当50x =时，最大利润12500元，答：该水果店将这批水果存放50天后一次性售出，可以获得最大利润，最大利润为12500元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出w 与x 的函数关系是解题关键.27．证明见解析【解析】 解：∵42a c b+=-，∴42a c b +=-.∴420a b c ++=. ∴2x =是一元二次方程20ax bx c ++=的根.∴240b ac -≥，∴24b ac ≥.。
北师大版七年级上册第二章有理数9.绝对值的复习
（2）3x -的几何意义是数轴上表示____的点与表示____的点之间的距离，若31x -=，则x =__________（3）2x +的几何意义是数轴上表示____的点与表示____的点之间的距离，若22x +=，则x =__________（4）数轴上表示x 的点与表示1-的点之间的距离可表示为__________二、 绝对值的化简10、（2012初一上期中北京四中）有理数a 、b 、c 表示的点在数轴上的位置如下图所示，则2a c c b b a +---+=（ ）A ．3a b -B ．a b --C ．32a b c +-D ．2a b c --11、（2014初一上期中北京四中）如果0y x <<，则化简x xy x xy +的结果为（ ）A ．0B ．2-C ．2D ．312、如果3121231t t t t t t ++=，那么123123t t t t t t 的值为（ ） A ．1- B ．1 C ．1± D ．不确定13、（2013初一上期中北师大附属实验中学）有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示 .（1）用”<“连接：0，a ，b ，c ；（2）化简：3a b a b c a -++--14、已知a b c abc S a b c abc =+++，且a 、b 、c 都不等于0，求S 的所有可能值．15、化简：（1）()331x x -≤（2）()1313a a a ---<<不妨设点A 在原点,如图甲，AB OB b a b ===-;当A 、B 两点都不在原点时，① 如图乙,点A 、B 都在原点的右边，AB OB OA b a b a a b =-=-=-=-；② 如图丙,点A 、B 都在原点的左边，()AB OB OA b a b a a b =-=-=---=-③ 如图丁,点A 、B 在原点的两边()AB OA OB a b a b a b =+=+=+-=-．综上, 数轴上A 、B 两点之间的距离AB a b =-（1）当x 在何范围，12x x ---有最大值，并求出最大值；（2）当x 在何范围，1234x x x x ---+---有最大值，并求出它的最大值；（3）123499100x x x x x x ---+---++---的最大值为________（直接写出结果）．21、（2013初一上期末顺义区）已知2426y x x x =-+---且28x ≤≤，求y 最小值与最大值．随堂检测+-1112b，则3b________ 3(1)0，求a、b、c的值.。
2023学年浙江七年级数学上学期专题训练专题2专题探究课之绝对值(解析版)
（1）根据5与-2两数在数轴上所对应的点之间的距离即可得出答案；
（2）根据 表示 与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离为6，即可得出答案；
（3）因为2和-3两数在数轴上所对应的两点之间的距离就是5，所以使 成立的整数是2和-3之间的所有整数（包括2和-3），即可得出答案.
【详解】
解：（1）∵5与-2两数在数轴上所对应的点之间的距离是7，
【详解】
解：由数轴可得：
b＜c＜0＜a，
∴ab＜0，b-c＜0，
∴ =c-b，
a-b可以看作a，b之间的相差的单位长度，c-b可以看作c，b之间的相差的单位长度，
∴a-b＞a-c，
故选：D．
【点睛】
本题考查了数轴，绝对值和有理数的运算，能根据数轴得出b＜c＜0＜a是解此题的关键．
二、填空题
10．（【新东方】初中数学20210625-021【初一上】） 的最小值为________．
【详解】
解：当 时，x-1＜0，x+2＜0，
∴ ，
当 时， ，
当x＞1时，
∵当 时， ，
∴代数式 的最大值为3，最小值为-3，
∴a=3，b=-3，
∴ab=-9，
故答案为：3，-9．
【点睛】
本题主要考查了绝对值的化简，解题的关键是对x进行分类讨论，再化简代数式．
18．（2018·浙江七年级月考）代数式|x－1|－|x+6|－5的最大值是_______．
③ ，故正确；
④若 ，则 ，解得a=-12或-6，则原点未必一定为点 ，故错误；
故选D．
【点睛】
本题考查了数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，方程的运用，解题的关键是根据题干条件求出各点表示的数．
1.2.4绝对值(含答案解析)
1.2.4-1绝对值知识点一 绝对值的意义1．在数轴上，表示一个数的点__________叫做这个数的绝对值，用“| |”表示．－5到原点的距离是5，所以－5的绝对值是____，记做|－5|＝50到原点的距离是0，所以0的绝对值是____，记做|0|＝04到原点的距离是4，所以4的绝对值是_____，记做|4|＝4【答案】 到原点的距离 5 0 4【解析】略2．a 的含义是：数轴上表示数a 的点与原点的距离．那么3-的含义是________；【答案】数轴上表示数3-的点到与原点的距离【解析】【分析】根据绝对值的几何意义进行解答即可．【详解】 解：3-的含义是：数轴上表示数3-的点到与原点的距离，的点到与原点的距离．故答案为：数轴上表示数3【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，熟知绝对值代表的含义是解本题的关键．3．若|a|＝a，则a是______【答案】非负数【解析】【分析】根据绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0即可解答．【详解】∵|a|=a，即一个数的绝对值等于它本身，∵a是非负数．故答案为：非负数．【点睛】此题考查了绝对值的性质：绝对值等于它本身的数是非负数；绝对值等于它的相反数的数是非正数．4．一个正数的绝对值是_______；若一个数的绝对值是它的相反数，则这个数是_______；_______的绝对值是零；绝对值最小的数是________．【答案】它本身非正数零零【解析】【分析】根据绝对值和相反数的定义进行求解即可．【详解】解：一个正数的绝对值是它本身；若一个数的绝对值是它的相反数，则这个数是非正数；零的绝对值是零；绝对值最小的数是零．故答案为：它本身；非正数；零；零；【点睛】本题主要考查了绝对值和相反数的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关定义进行求解．5．最大的负整数是_______，绝对值最小的数是_________，绝对值最小的正整数是_______．【答案】-101【解析】【分析】根据题意，最大的负整数是-1，绝对值最小的数是0，最小的正整数是1，即可写出答案．【详解】解：最大的负整数是-1，绝对值最小的数是0，最小的正整数是1．故答案为：-1，0，1．【点睛】本题考查了绝对值及有理数的知识，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．知识点二求一个数的绝对值-的值为________．6．2022【答案】2022【解析】【分析】根据绝对值的意义化简即可．【详解】-=2022，解：2022故答案为：2022．【点睛】本题考查了绝对值（数轴上表示数a的点与原点的距离，记作│a│；正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数．+-=_________.7．计算：35【答案】8【解析】【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得负数的绝对值表示的数，根据有理数的减法，可得答案．【详解】+-=+=．解：35358故答案为：8．【点睛】本题考查了有理数的加法，先求绝对值，再求有理数的加法．8．数轴上点A表示的数是a，若|a|=3，则a的值是__________．【答案】±3【解析】【分析】根据绝对值的概念即可得答案．【详解】解：∵|±3|=3，∵a的值是±3，故答案为：±3．【点睛】本题考查了绝对值的概念，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身和负数的绝对值是它的相反数．9．a为绝对值小于2019的所有整数的和，则2a的值为_____．【答案】0【解析】【分析】首先判断出绝对值小于2019的所有整数有哪些，然后把它们相加，求出a的值是多少，进而求出2a的值为多少即可．【详解】解：绝对值小于2019的所有整数有：﹣2018、﹣2017、…、﹣1、0、1、…、2017、2018，它们的和是：a＝（﹣2018+2018）+（﹣2017+2017）+…+（﹣1+1）+0＝0，∵2a＝0．故答案为：0【点睛】此题主要考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．10．已知a＝﹣7，b＝2，则|a|﹣|﹣b|＝_____．【答案】5【解析】【分析】根据绝对值的意义代入计算即可．【详解】解：∵a ＝﹣7，b ＝2∵|a |﹣|﹣b |=|-7|-|-2|=7-2=5故答案为：5．【点睛】本题考查了绝对值的意义，掌握正数的绝对值是本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零是解题的关键．知识点三 绝对值的非负性的应用11．若320a b -+-=，求a 和b 的值．【答案】a=3，b=2【解析】【分析】根据非负数的性质，可得a -3=0，b -2=0，即可求出a 、b 的值．【详解】解：∵|a -3|+|b -2|=0，∵a -3=0，b -2=0，∵a=3，b=2．【点睛】本题考查非负数的性质，理解非负数的性质是解决问题的关键．12．已知有理数a ，b 满足∵3-a∵+∵b+13∵=0，求a ，b 的值． 【答案】a=3，b=13- 【解析】【分析】根据绝对值的非负性可得结果．【详解】解：∵∵3-a∵+∵b+13∵=0，∵3-a=0，b+13=0， ∵a=3，b=13-． 【点睛】本题考查了绝对值，掌握绝对值的非负性是解题的关键．13．若|3||4|0a b -+-=，求-a b 的值．【答案】－1【解析】【分析】利用绝对值的非负性求得a 、b ，再代入代数式求解．【详解】解：依题意：3a =， 4b =，∵341a b -=-=-．【点睛】本题考查绝对值的非负性，有理数的减法法则，熟练掌握基础知识即可．14．已知|x －3|＋|y+2|＝0，求x ＋y 的值【答案】1【解析】【分析】根据非负数的性质，可求出x 、y 的值，然后将x ，y 再代入计算．【详解】解：∵|x -3|+|y+2|=0，∵x -3=0，y+2=0，∵x=3，y=-2，∵x+y 的值为：3-2=1．【点睛】此题主要考查了绝对值的性质，根据题意得出x ，y 的值是解决问题的关键．知识点四 绝对值的行程应用15．某快递员骑车从快递公司出发，沿东西方向行驶，依次到达A 地、B 地、D 地、E 地． 将向东行驶的路程（单位：km ）记为正，向西行驶的路程记为负，则该快递员行驶的各段路程依次对应为：2-，3-，+7，+1，7-，最后该快递员回到快递公司．（1）以快递公司为原点，用1个单位长度表示1km ，在如图所示的数轴上标出表示A 、B 、C 、D 、E 五个地方的位置；（2）求B 地与D 地之间的距离；（3）该快递员从公司出发直至回到该公司，一共骑行了______________km【答案】（1）见解析；（2）8km ；（3）24【解析】【分析】（1）根据数轴上点的表示方法分别表示出A 、B 、C 、D 、E 五个地方的位置即可；（2）用D 点所表示的数减去B 点表示的数求解即可；（3）分别求出2-，3-，+7，+1，7-，－4的绝对值，然后求和即可．【详解】（1）如图所示，（2）解：()358--=答：B 地与D 地相距8km ．（3）23717423717424-+-+++++-+-=+++++=．【点睛】此题考查了数轴上点的表示和数轴上两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握数轴上点的表示方法和数轴上两点之间的距离求解方法．16．一名足球守门员练习折返跑，从球门的位置出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下(单位：米)：（1）守门员是否回到了原来的位置？（2）守门员离开球门的位置最远是多少？（3）守门员一共走了多少路程？【答案】（1）回到了原来的位置；（2）13米；（3）56米．【解析】【分析】（1）只需将所有数加起来，看其和是否为0即可；（2）计算每一次跑后的数据，绝对值最大的即为所求；（3）将所有绝对值相加即可．【详解】解：（1）根据题意得：6-5+9-10+13-9-4=0．答：回到了原来的位置．（2）第一次离开6米，第二次离开6-5=1米，第三次离开1+9=10米，第四次离开10-10=0米，第五次离开0+13=13米，第六次离开13-9=4米，第七次离开4-4=0米，则守门员离开守门的位置最远是13米；（3）总路程=+6+5+9+10++13+9+4-+--- =56米．故答案为（1）回到了原来的位置；（2）13米；（3）56米．【点睛】本题考查了正数和负数的知识，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定具有相反意义的量． 知识点五 绝对值的几何意义17．点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A 、B 两点之间的距离AB=|a －b|．请用上面的知识解答下面的问题：（1）数轴上表示1和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示－2和－4的两点之间的距离是__________，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是______；（2）数轴上表示x 和－1的两点A 和B 之间的距离是___________，如果|AB|=2，那么x 为_______； （3）取最小值是_____________．【答案】（1）4，2，4；（2）1x +，1或3-；（3）3．【解析】【详解】试题分析：（1）在数轴上A 、B 两点之间的距离AB=|a ﹣b|，依此即可求解；（2）在数轴上A 、B 两点之间的距离AB=|a ﹣b|，依此即可求解；（3）根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后计算即可得解．试题解析：（1）|1﹣5|=4；|﹣2﹣（﹣4）|=2，|1﹣（﹣3）|=4；故答案为4，2，4；（2）|x ﹣（﹣1）|=|x+1|；由|AB|=2，得到：|x+1|=2，∵x=1或3-；故答案为1x +，1或3-； （3）当x ＜﹣1时，|x+1|+|x -2|=﹣x -1﹣x+2=﹣2x+1；当﹣1≤x≤2时，|x+1|+|x -2|=x+1﹣x+2=3；当x ＞2时，|x+1|+|x -2|=x+1+x -2=2x -1； 在数轴上12x x ++-的几何意义是：表示有理数x 的点到﹣1及到2的距离之和，所以当﹣1≤x≤2时，它的最小值为3．考点：1．绝对值；2．数轴．18．我们知道：()41--表示4与1-的差的绝对值，实际上也可以理解为4与1-两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理3x -也可以理解为x 与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．类似地，()5353+=--表示5、3-之间的距离．一般地，点A ，B 两点在数轴上表示有理数a b 、，那么A 、B 之间的距离可以表示为a b -．试探索：（1）若37x -=，则x =___________；（2）若A ，B 分别为数轴上的两点，A 点对应的数为2-，B 点对应的数为4．折叠数轴，使得A 点与B 点重合，则表示4-的点与表示__________的点重合；（3）计算：417x x -++=．【答案】（1）-4或10 （2）6；（3）-2或5【解析】【分析】（1）根据绝对值的性质，即可求解；（2）根据题意可得折叠处点对应的数为1 ，即可求解；（3）分三种情况讨论：当1x <-时，当14x -≤≤时，当4x ≥时， 即可求解．【详解】解：（1）37x -=，∵37x -=±，解得：10x =或-4；（2）∵A 点对应的数为2-，B 点对应的数为4，折叠数轴，使得A 点与B 点重合，∵折叠处点对应的数为2412， ∵表示4-的点与表示6的点重合；（3）解：①当1x <-时，()()417x x ⎡⎤--+-+=⎣⎦，解得：x =-2 ；②当14x -≤≤时，()()417x x ⎡⎤-+-+=⎣⎦，则57-=，无解 ；③当4x ≥时，()()417x x -++=，则x =5．【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，绝对值的几何意义，理解绝对值的几何意义，利用数形结合思想解答是解题的关键．。
绝对值(基础)知识讲解
1 1 1 1 到原点距离是 1 个单位长度，所以 1 1 ． 2 2 2 2
因为-0.3 到原点距离是 0.3 个单位长度，所以|-0.3|＝0.3． 因为 0 到原点距离为 0 个单位长度，所以|0|＝0． 因为 3 到原点的距离是 3
1 2
1 个单位长度，所以 2
6 5 3 ______ 3 ； 7 6
-|-3.2|______-(+3.2)；
0.0001______－1000；
______－1.384； －π______－3.14． 1.38
【答案】＞；=；＞；＞；＜ 【变式 2】下列各数中，比－1 小的数是（ A．0 【答案】C 【变式 3】数 a 在数轴上对应点的位置如图所示，则 a，-a，-1 的大小关系是( )． B．1 C．－2 ） D．2
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距 离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或 0． 知识点二、有理数的大小比较 1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a 与 b 在数轴上 的位置如图所示，则 a＜b． 2.法则比较法： 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 两数异号 －数为 0 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 正数大于负数 正数与 0：正数大于 0 负数与 0：负数小于 0
1 2
； （4）
1 ______ 0.1
【答案】(1)0 大于负数，即-1＜0； (2)先化简|-3|＝3，负数小于正数，所以-2＜3，即-2＜|-3|； (3)先化简
长郡外国语实验中学2024-2025学年七年级上学期第一次月考数学试题(解析版)
七年级数学素养能力初赛一、单选题（每题3分，共30分）1. 龙年春晚分会场，“长沙元素”吸引八方来客，春节假日接待旅游人数278.94万人次，同比增长109.25%，其中数据278.94万用科学记数法表示为（ ）A. 62.789410×B. 70.2789410×C. 72.789410×D. 527.89410× 【答案】A【解析】【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ×的形式，其中1||10a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正整数；当原数的绝对值1<时，n 是负整数．【详解】解：278.94万62789400 2.789410=×，故选：A ．2. 刘徽在《九章算术注》中有“今两算得失相反，要令正负以名之．”可翻译为“今有两数若 其意义相反，则分别叫做正数和负数．”如果气温为“零上20℃”记作20+℃，那么气温为“零下10℃”应表示为（ ） A. 20℃B. 10℃C. 10−℃D. 20−℃【答案】C【解析】【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：零上温度记作“+”，零下温度记作“−”，由此求解．【详解】解：气温为“零上20℃”记作20+℃，那么气温为“零下10℃”应表示为10−℃，故选：C ．3. 0.8，()4−−， 1.5−−，20%，0，()26−，26−，()24−−这八个数中，非负数有（ ） A. 7个B. 6个C. 5个D. 4个【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的分类．解题的关键是熟练掌握绝对值的化简，符号化简，乘方运算法则，有理数的分类．化简符号，根据有理数的分类进行解答即可．【详解】解：∵()44−−=， 1.5 1.5−−=−，()2636−=，2636−=−，()2416−−−，∴这八个数中，非负数有：0.8，()4−−，20%，0，()26−， 共5个．故答案为：C ．4. 备受瞩目的郡外篮球社团即将开始招新，为保证后续社团活动的顺利开展，该社团负责人采购了一批篮球备用，现随机检测了4个篮球，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的篮球是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了绝对值的意义和性质，先计算各选项的绝对值，然后比较即可，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：∵1010+=，1212−=，+88=，55−=， ∴581012<<<，∴最接近标准的篮球是标记5g −球，故选：D ．5. 有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式的符号为正的是（ ）A. a b +B. a bC. abD. a b −【答案】D【解析】 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的四则运算，先根据数轴得到0b a <<，b a >，再根据有理数的四则运算法则求解即可．【详解】解；由题意得，0b a <<，b a >，∴0000aa b ab a b b+<<<−>，，，，∴四个选项中只有D 选项中式子符号为正，故选：D ．6. 现规定一种新运算“*”：1*a b b a =−，如145*1155=−=−，计算(2)*3−=（ ） A. 5−B. 1−C. 72−D. 52【答案】C【解析】 【分析】此题考查了新定义运算，有理数的减法，根据新定义运算列式求解即可． 【详解】17(2)*3322−=−−=−． 故选：C ． 7. 下列说法中，正确的有（ ）①任何数乘以0，其积为零；②0除以任何一个数，其商为零；③任何有理数的绝对值都是正数；④两个有理数相比较，绝对值大的反而小．A. 2个B. 3个C. 4个D. 1个【答案】D【解析】【分析】有理数的除法法则，绝对值的性质，有理数的大小比较法则等知识点，能熟记知识点是解此题的关键，①0乘以任何数都等于0，0除以任何一个不等于0的数都得0，③两个负数比较大小，其绝对值大的反而小，④正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0.根据有理数的乘法法则即可判断①；根据有理数的除法法则即可判断②；根据绝对值的性质即可判断③；根据有理数的大小比较法则即可判断④．【详解】解：任何数乘以0，其积为零，故①正确；0除以任何一个不等于0的数，其商为零，故②错误；0的绝对值是0，不是正数，故③错误； 如2200||==，， ∵20>，∴20>，即两个有理数比较大小，绝对值大的反而小不对，故④错误；所以正确的有1个，故选：D的8. 若9,4x y ==，且0x y +<，那么x y −的值是（ ） A. 5或1B. 5或13−C. 5−或13D. 5−或13−【答案】D【解析】 【分析】本题考查了绝对值的化简计算，有理数的加减运算；根据9x =，4y =，且0x y +<，得到9x =−，4y =±，代入计算即可． 【详解】∵9x =，4y =，且0x y +<，∴9x =−，4y =±，∴9413x y −=−−=−或()945x y −=−−−=− 故选D ．9. 已知非零实数a ，b ，c ，满足1b a c a b c ++=−，则||abc abc等于（ ） A. ±1B. ﹣1C. 0D. 1 【答案】D【解析】 【详解】1b a c a b c++=− ,∴a,b,c 两个是负数，一个是正数,0abc ∴>, 1abcabc ∴=.选D.点睛：（1）b a c a b c++需要分类讨论，a,b,c 同正，同负，两正一负，两负一正. （2）化简绝对值公式：|x |,0,0x x x x −< = ≥ . 10. 如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示1−的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示100的点与圆周上表示（ ）的点重合．A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】本题考查数轴，有理数的减法与除法，圆周上表示数字0的点与数轴上表示1−的点重合，滚动到100时，滚动了101个单位长度，用101除以4，余数即为重合点．【详解】解：圆周上表示数字0的点与数轴上表示1−的点重合，()1001101−−=，1014251÷= ，∴数轴上表示100的点与圆周上表示1的点重合．故选：B二、填空题（每题3分，共18分）11. 比较大小：23−____34−（填“>”“<”或“=”） 【答案】>【解析】【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据两个负数，绝对值大的反而小即可判断求解，掌握有理数的大小比较法则是解题的关键． 【详解】解：2233−=，3344−=， ∵2334<， ∴2334−>−， 故答案为：>．12. a 的相反数是23−，则a 的倒数是______． 【答案】32【解析】【分析】本题考查了相反数和倒数的概念，先根据相反数的概念求出a 的值，再求倒数即可．熟练掌握概念是解题的关键． 【详解】解： a 的相反数是23−， 23a ∴=，a ∴的倒数是32． 故答案为：32． 13. 近似数46.1510×精确到______位．【答案】百【解析】【分析】本题考查了近似数，将数字46.1510×进行还原，然后再判断精确到的位数即可求解，正确还原数字是解题的关键．【详解】解：∵46.151061500×=，∴近似数46.1510×精确到百位，故答案为：百．14. 在－1，2，－3，0，5这五个数中，任取两个数相除，其中商最小是________．【答案】－5【解析】【分析】所给的五个数中,最大的数是5,绝对值最小的负数是-1,所以取两个相除,其中商最小的是:5÷（-1）=-5.【详解】∵-3<-1<0<2<5,所给的五个数中,最大的数是5,绝对值最小的负数是-1,∴任取两个相除,其中商最小的是:5÷（-1）=-5,故答案为:-5．【点睛】本题主要考查有理数的大小比较和有理数除法,解决本题的关键是要熟练掌握有理数大小比较和有理数除法法则.15. 在(-1)3，(-1)2，-22，(-2)3这四个数中,最大的数与最小的数的和等于_________.【答案】-7【解析】【详解】解：(-1)3=-1，(-1)2=1，-22=-4，(-2)3=-8，最大的数为1，最小的数为-8，故最大的数与最小的数的和=1+（-8）=-7．故答案为-7．16. 已知满足2a 3(ab 5)0−+−−=，则a b =________． 【答案】-8【分析】根据偶次幂具有非负性，绝对值具有非负性可得a -3=0，a -b -5=0，再解即可．【详解】解：由题意得：a -3=0，a -b -5=0，解得：a =3，b =-2，b a =-8，故答案为：-8．【点睛】此题主要考查了非负数的性质，关键是掌握偶次幂和绝对值具有非负性．三、解答题17. 计算：（1）()()()()7192315++−+++−；（2）313217524528−−+−+−； （3）111135532114×−×÷ ； （4）753719641836 −+−÷． 【答案】（1）4−（2）98−（3）225− （4）11【解析】【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，有理数的乘法简便运算，掌握有理数的运算法则与运算律是解题的关键．（1）根据有理数的加减混合运算进行计算即可；（2）根据有理数的加减混合运算进行计算即可；（3）根据有理数的四则混合运算进行计算即可；（4）根据有理数的乘法分配律进行简便运算．【小问1详解】解：原式7192315=−+−7231519=+−−【小问2详解】 解：原式323711554822=−−+−−+ 118=−− 98=−； 【小问3详解】 解：原式1113456115=−××× 225=−； 【小问4详解】 解：原式75373696418 −+−× 75373636363696418=×−×+×−× 28302714=−+−11=．18（6分）．已知m 的绝对值为1，a 和b 互为倒数，c 和d 互为相反数，求()()202450ab c d m −++−的值．18. 如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点A 表示的数是3−．（1）在数轴上标出原点，并指出点B 所表示的数是 ；（2）在数轴上找一点C ，使它与点B 的距离为2个单位长度，那么点C 表示的数为 ；（3）在数轴上表示下列各数，并用“＜”号把这些数按从小到大连接起来．2.5，4−，152，122−，| 1.5|−，( 1.6)−+． 【答案】（1）见解析，4 （2）2或6 （3）数轴表示见解析，()11421.6 1.52.5522−<−<−+<−<< 【解析】【分析】本题主要考查了在数轴上表示有理数以及有理数的比较大小：（1）根据点A 表示3−即可得原点位置，进一步得到点B 所表示的数；（2）分两种情况讨论即可求解；（3）首先在数轴上确定表示各数的点的位置，再根据在数轴上表示的有理数，右边的数总比左边的数大用“＜”号把这些数连接起来即可．【小问1详解】如图，O 为原点，点B 所表示的数是4，故答案为：4；【小问2详解】点C 表示的数为422−=或426+=． 故答案为：2或6；【小问3详解】| 1.5| 1.5 ，()1.6 1.6−+=−，在数轴上表示，如图所示：由数轴可知：()1142 1.6 1.5 2.5522−<−<−+<−<< 19. 今年“十•一”黄金周是7天的长假，梅花山虎园在7天假期中每天旅游人数变化如表（正号表示人数比前一天多，负号表示比前一天少） 日期 1日2日3日 4日 5日 6日 7日人数变化单位：万人 +1.8﹣0.6 +0.2 ﹣07 ﹣0.3 +0.5 ﹣0.7若9月30日的游客人数为0.2万人，问：（1）10月4日的旅客人数为 万人；（2）七天中旅客人数最多的一天比最少的一天多 万人？（3）如果每万人带来的经济收入约为150万元，则黄金周七天的旅游总收入约为多少万元？【答案】(1)0.9；(2)1.6；(3)1200万元.【解析】的.【分析】（1）根据题意列得算式，计算即可得到结果；（2）根据表格找出旅客人数最多的与最少的，相减计算即可得到结果；（3）根据表格得出1日到7日每天的人数，相加后再乘以100即可得到结果．【详解】解：（1）根据题意列得：0.2+（+1.8﹣0.6+0.2﹣0.7）=0.9；故答案是：0.9；（2）根据表格得：7天中旅客最多的是1日为2万人，最少的是7日为0.4万人，则七天中旅客人数最多的一天比最少的一天多2﹣0.4=1.6（万人）；故答案是：1.6；（3）10月1日有游客：0.2+1.8=2 （万）；10月2日有游客：2﹣0.6=1.4（万）；10月3日有游客：1.4+0.2=1.6（万）；10月4日有游客：1.6﹣0.7=0.9 （万）；10月5日有游客：0.9﹣0.3=0.6 （万）；10月6日有游客：0.6+0.5=1.1 （万）；10月7日有游客：1.1﹣0.7=0.4 （万）；黄金周七天游客：2+1.4+1.6+0.9+0.6+1.1+0.4=8（万），8×150=1200（万元），答：黄金周七天旅游总收入约为1200万元．【点睛】此题考查了有理数的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．20. 观察下列三列数：1−、3+、5−、+7、9−、11+、…①-3、1+、7−、5+、11−、9+、…②3+、9−、15+、21−、27+、33−、…③（1）第①行第10个数是 ，第②行第15个数是 ；（2）在②行中，是否存在三个连续数，其和为1001？若存在，求这三个数；若不存在，说明理由； （3）若在每行取第k 个数，这三个数的和正好为599，求k 的值．【答案】（1）19+，31−（2）不存在，见解析 （3）301k =【解析】【分析】本题主要考查了数字规律，一元一次方程的应用，关键是找出数字规律．（1）根据规律进行计算即可；（2）设三个连续整数为()()11232n n −−−−，()()1212n n −−−，()()11212n n +−+−，根据题意分n 为奇数和偶数分别列出方程，根据方程的解的情况进行判断即可；的（3）分k 为奇数和偶数，分别列出方程，解方程即可求解．【小问1详解】解：根据规律可得，第①行第10个数是210119×−=；第②行第15个数是()215131−×+=−； 故答案为：19+；31−．【小问2详解】解：不存在．理由如下：由（1）可知，第②行数的第n 个数是()()1212n n −−−， 设三个连续整数为()()11232n n −−−−，()()1212n n −−−，()()11212n n +−+−， 当n 为奇数时，则2322122121001n n n −−−+−++−=，化简得，271001n −=，解得，504n =（舍）当n 为偶数时，则()()()2322122121001n n n −−−+−−−+−=， 化简得，251001n −−=，解得，503n =−（不合题意，舍去）， 综上，不存在三个连续数，其和为1001．【小问3详解】解：当k 为奇数时，根据题意得，()()()2121321599k k k −−−++×−=， 解得，301k =，当k 为偶数时，根据题意得，()()()2123321599k k k ++−−−=， 解得，299k =−（舍去）， 综上，301k =．21. 【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方、比加222÷÷，()()()()3333−÷−÷−÷−等，类比有理数的乘方，我们把222÷÷写作2③，读作“2的圈3次方”，()()()()3333−÷−÷−÷−写作()3−④，读作“()3−的圈4次方”．一般地，把n aa a a a÷÷÷ 个记作：a ⓝ，读作“a 的n 次方”，特别地，规定：a a =①．【初步探究】（1）直接写出计算结果：2023=②______；（2）若n 为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有______：（横线上填写序号）A ．任何非零数的圈2次方都等于1B ．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数C ．圈n 次方等于它本身的数是1或1−D ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（3）请把有理数(0)a a ≠的圈()3n n ≥次方写成幂的形式：a =ⓝ______；（4）计算：()2111472 −−÷−×− ④⑧⑨． 【答案】（1）1；（2）ABD ；（3）21n a − ；（4）24022401− 【解析】【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确新定义的内容，计算出所求式子的值．（1）根据题意，计算出所求式子的值即可；（2）根据题意，可以分别判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题；（3）根据题意，可以计算出所求式子的值．（4）根据题意，可以计算出所求式子的值．【详解】解：（1）由题意可得，2023202320231=÷=②，故答案为：1；（2）A ．因为()10aa a a =÷=≠②，所以任何非零数的圈2次方都等于1，正确； B ．因为()10a a a a a a =÷÷=≠③，所以任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，正确； C ．如()11−=②，则圈n 次方等于它本身的数是1或1−，说法错误；D ．根据新定义以及有理数的乘除法法则可知，负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，正确；故答案为：ABD ；（3）21111n a a a a a a a a a a − =÷÷÷÷=⋅⋅= ⓝ， 故答案为：21n a −； （4）解：()2111472 −−÷−×− ④⑧⑨ ()()()()918711111111967772222− =−÷÷⋅⋅⋅÷−÷−÷−÷−÷−×−÷−÷⋅⋅⋅÷−个个 61119647=−−÷× 112401=−− 24022401=−． 22. 定义：若A ，B ，C 为数轴上三点，若点C 到点A 的距离是点C 到点B 的距离2倍，我们就称点C 是[],A B 的美好点．例如；如图1，点A 表示数为1−，点B 表示的数为2，表示1的点C 到点A 的距离是2，到点B 的距离是1，那么点C 是[],A B 的美好点；又如，表示0的点D 到点A 的距离是1，到点B 的距离是2，那么点D 就不是[],A B 的美好点，但点D 是[],B A 的美好点．如图2，M ，N 为数轴上两点，点M 所表示的数为7−，点N 所表示的数为2．（1）点E ，F ，G 表示的数分别是3−，6.5，11，其中是[],M N 美好点的是________；写出[],N M 美好点H 所表示的数是___________．（2）现有一只电子蚂蚁P 从点N 开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t 为何值时，点P 恰好为M 和N 的美好点？【答案】（1）G ，4−或16−（2）1.5或3或9【解析】的【分析】（1）根据美好点的定义即可求解；（2）根据美好点的定义，分三种情况分别确定P 点的位置，进而可确定t 的值．【小问1详解】解：根据题意得∶()()()374,235EM EN =−−−==−−=，此时2EM EN ≠，故点E 不是[,]M N 美好点；()6.5713.5, 6.52 4.5FM FN =−−==−=，此时2FM FN ≠，故点F 不是[,]M N 美好点；()11718,1129GM GN =−−==−=，此时2GM GN =，故点G 是[,]M N 美好点；故答案是：G ．设点H 所表示的数是x ，则7,2HM x HN x =+=−， ∵点H 为[],N M 美好点，∴2HN HM =， ∴227x x −=+，解得：4x =−或16−；故答案是：4−或16−．【小问2详解】解：第一情况：当P 为[],M N 的美好点，点P 在M ，N 之间，如图1，∵2MP PN =，()279MN =−−=，∴3PN =， ∴3 1.52t ==秒； 第二种情况，当P 为[],N M 的美好点，点P 在M ，N 之间，如图2，∵2PM PN =，()279MN =−−=，∴6PN =， ∴632t ==秒； 第三种情况，P 为[],N M 的美好点，点P 在M 左侧，如图3，∵22PN PM MN ==，()279MN =−−=，∴18PN =， ∴1892t ==秒； 综上所述，t 的值为：1.5或3或9．【点睛】本题考查实数与数轴、美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．。
绝对值不等式的解法2
绝对值不等式的解法2上学期我们学了我们讲了绝对值的方程的解法.这学期我们学了不等式，不等式中同样有绝对值的不等式，绝对值不等式的解法怎么解呢？含绝对值的一元一次不等式，需要用讨论的方法求解.今天我们讲讲含多个绝对值不等式的解法，从此以后，这类问题将不再成为学习中的难点了，而是成为同学们在考试中得分的热点了.欢迎同学们在巧学网上咨询答疑板块与我们联系，我们会按照同学们的需要调整网上的内容，同学们的需要是我们创作的原动力.大思路解绝对值不等式，自然是要先考虑去绝对值了。
怎么去绝对值，尤其是含多个绝对值去绝对值的方法是零点分区间法。
即先令绝对值里面的数为零，.然后进行讨论求解.解不等式体验思路：先找出x体验过程：|x-4|与可以把x的取值范32-x+4+2x-3≤1.x≤0-x+4-2x+3≤12解之得x≥2 ∴此时原不等式的解集为2≤x≤4(3)当x>4时，原不等式可化为x-4-2x+3≤1解之得，x≥-2 ∴此时原不等式的解集为x>4综上所述，原不等式的解集为x≤0或x≥2。
小结: 解含多个绝对值的不等式的解法是先找出绝对值为0的零点,然后分类讨论.解完后,要进行总结,将能合并的解集合并，否则的话，改卷老师到哪里去找答案呢？好，看了上面的体验题，你明白这类问题的解法吧!现在咱们实践一下，毕竟实践出真知吗？实践题1|3x-2|+|x+1|<9实践题2解不等式|x+1|-|x-4|>3实践题答案实践题1实践详解：|3x-2|，这样可以把数轴分成三段，x≤-1；-1<x≤2 3（1）当x≤-1解得x>-2,(2)当-1<x≤2 3解得x>-3,(3)当x>2 3解得x<5 2 ,综上所述：原不等式的解集为-2<x<52.实践题2实践详解：|x+1|,|x-4|的零点分别是x=-1和x=4,将数轴分成三段：x≤-1;-1<x≤4;x>4. （1）当x<-1时，原不等式可化为：-x-1+x-4>3,即-5>3，∴此时不等式的解集为空集。
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(3)根据在数轴上表示的有理数,左边的数小于右边的数，你能 用“>”号把a，b，-a，-b连接起来吗？ 提示：b>-a>a>-b.
【互动探究】例题中交换a， b在数轴上的位置，它们的大小 关系又是怎样的？ 提示：-a<b<-b<a.
【总结提升】利用数轴比较有理数大小的“三步法” 1.画数轴：画出数轴并描出相应各点. 2.定顺序：确定各点在数轴上的左右顺序. 3.定大小：根据“左边的数小于右边的数”确定大小关系.
【例1】比较下列各对数的大小：
(1)+(-8.1)与|-8.1|.
(2)-(+0.01)与0.
(3)-(-4 3 )与-(+ 3 ).
5
7
(4)- 1 与- 1 .
45
【思路点拨】化简符号→归类→运用法则进行比较.
【自主解答】(1)先化简，+(-8.1)=-8.1,|-8.1|=8.1,因为正 数大于负数，所以8.1>-8.1,即+(-8.1)<|-8.1|. (2)先化简，-(+0.01)=-0.01，因为0大于负数，所以-0.01<0, 即-(+0.01)<0.
(3)先化简，-(-4 )3=4 >3 0,-(+ )3=- <30,
55
77
因为正数大于负数，所以4 3>- 3,
57
即-(-4 3)>-(+ )3.
5
7
(4)这是两个负数比较大小，先求它们的绝对值.
|- 1|= =1 ;|5- |= 1= .1 4
4 4 20 5 5 20
因为 5> 4,即|- |>|1- |，所1 以- ＜- .1 1
知识点 2 借助数轴比较有理数的大小 【例2】有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示,试比较a， b，-a,-b的大小,并用“>”号把它们连接起来.
【解题探究】(1)有理数a与-a，有理数b与-b是什么关系？ 提示：互为相反数. (2)根据相反数的几何定义，你能在数轴上表示出-a与-b吗？ 提示：
4.(2012·湘西中考)比较大小：-2______3(用“＞” “＝”或“＜”填空). 【解析】－2是负数，3是正数，故－2＜3. 答案：＜
5.比较下列各对数的大小： (1)-(-1)和0. (2)-(+3)和2.
(3)-(+ 4 )和-|- 3 |.
5
4
【解析】(1)化简，得-(-1)=1，因为正数大于0， 所以1>0，即-(-1)>0. (2)化简，得-(+3)=-3，因为正数大于负数，所以-3<2， 即-(+3)<2.
54
5
4
【归纳整合】含有括号(或绝对值符号)的有理数的大小比较 (1)比较含有括号(或绝对值符号)的有理数的大小时,先将原数 进行化简. (2)确定属于“正数与正数，正数与负数，正数与0，负数与0， 负数与负数”中的哪一类. (3)根据相应的法则进行大小比较.
题组二：借助数轴比较有理数的大小 1.有理数a,b在数轴上的位置如图所示，那么a,b,-a,-b的大小 关系是( )
(3)化简，得-(+ 4)=- ,4-|- |=-3 .这是3 两个负数比较大小,
55
44
先求它们的绝对值.
|- 4|= =4 ，16|- |= 3= 3. 15
5 5 20
4 4 20
因为 16> 1，5 即|- |>4|- |， 3
20 20
5
4
所以- 4<- ，3 即-(+ )<4 -|- |. 3
1.2.4 绝 对 值 第2课时
1.会用绝对值比较两个负数的大小.(重点) 2.掌握有理数比较大小的一般方法.(重点、难点)
观察下图给出的未来一周中每天的最高气温和最低气温，其 中最低的是_-_4_℃，最高的是_9_℃，将这14个温度按从低到高的 顺序排列为_-_4_<_-_3_<_-_2_<_-_1_<_0_<_1_<_2_<_3_<_4_<_5_<_6_<_7_<_8_<_9_.
(打“√”或“×”) (1)数轴上表示两个负有理数的点，表示大数的点离原点 近.( √ ) (2)数轴上的有理数，离原点越远的点表示的数越大.( × ) (3)若|a|=|b|，则a=b.( × ) (4)若a>b，则|a|>|b|.( × ) (5)若|a|<|b|，则a<b.( × )
知识点 1 有理数的大小比较
A.a>b>-b>-a C.-b>a>b>-a
B.-a<b<-b<a D.-a<-b<a<b
【解析】选B.在数轴上补画出所缺少的两个点(如图所示)，根 据数轴上点所表示数的特征“左边点表示的数总比右边点表示 的数小”，就可以比较出这四个数的大小.
【思考】 1.按照从低到高的顺序把这些数在数轴上表示出 来，那么表示它们的各点在数轴上的顺序是怎样的？ 提示：表示它们的各点在数轴上的顺序是从左到右的. 2.由此你能发现数轴上的数的排列有什么规律吗？ 提示：数轴上表示的有理数，它们从左到右的顺序就是从小到 大的顺序，即左边的数小于右边的数.
【总结】 1.正数__大__于_0，0_大__于__负数，正数_大__于__负数. 2.两个负数，绝对值大的反而_小__.
B.广州13.5 ℃
C.北京-4.8 ℃
D.南京3.4 ℃
【解析】选C.因为13.5＞11.2＞3.4＞－4.8，所以平均温度最
低的是北京-4.8 ℃.
3.(2012·重庆中考)在－3，－1，0，2这四个数中，最小的数
是( )
A.－3
B.－1
C.0
D.2
【解析】选A.－3＜－1＜0＜2，－3最小.
20 20
4
5
45
【总结提升】有理数大小比较的技巧 1.在有理数中，任取两个数，有五种情况： (1)两个正数.(2)正数和零.(3)零和负数.(4)正数和负数. (5)两个负数. 2.应用法则：(1)两个正数比较大小，绝对值大的数大.(2)正数 大于零，零大于负数.(3)两个负数比较大小，先分别求出两个 数的绝对值，并比较绝对值的大小，再根据“两个负数，绝对 值大的反而小”进行比较.
题组一：有理数的大小比较
1.(2012·安顺中考)在 1 ，0，1，－2这四个数中，最小的数
2
是( )
A.1
B.0 C.1 D.－2
2
【解析】选D.因为-2＜0＜ 1 ＜1，所以最小的数是-2.
2
2.(2012·桂林中考)下面是几个城市某年一月份的平均温度，
其中平均温度最低的是( )
A.桂林市11.2 ℃