高等代数习题课n阶行列式的计算

解
1 2 3 L n1
D
n(n
1)
1 3 4L MM ML
n M
n 1 M
2 1 n 1 L n3 n2
1 1 2 L n2 n1
rnrn1Mrrnn12 r2 r1
n(n
1)
1 0 M
2 1 M
3 L n1 n 1 L 1 1n MMM M
2 0 1 1n L 1 1
0 1n 1 L 1 1
1 1 L 1 1n
a x1 a L a a x1 a L a 0
Dn
a L
a x2 L LO
a L
a L
a x2 L a 0 L LLL
a
a L a xn
a
a L a xn
x1 0 L 0 a
0 L
x2 L LL
0 L
a L
xn Dn1
0 0L 0 a
Dn x1 x2 L xn1a xnDn1 Dn1 x1 x2 L xn2a xn1Dn2 , Dn2 x1 x2 L xn3a xn2Dn3 ,L L
继续下去，可得
Dn ax1L xn1 ax1 x2 L xn2 xn ax1 x2 L xn3 xn1 xn
L ax1 x2 x4 L xn ax1 x3 x4 L xn xn xn1L x3 x2D1
a( x1 x2 L xn1 x1 x2 L xn2 xn L x1 x3 L xn x2 x3 L xn )
x1 x2 L xn
当
x1 x2 L
xn
0时, Dn
x1 x2 L
n
xn(1 a
i 1
1 )
xi
当 xi 0(i 1,2L n)时也可以用加边法做：
1 aL a
1 aL a
Dn
0 L
a x1 L
L O
a L
1 L
x1 L
L O
a L
0 a L a xn (n1) 1 L L xn
将第 i列乘以 xi1 加到第一列上i=2、3、·······、n+1
(i
1,2L
n 1)
i1 bi 0 M
a1 L an b1 L 0 MMM
0 0 L bn
b1b2 L
bn(1
n i 1
ai bi
).
（四）递推公式法
a b ab 0 L 0 0
1 a b ab L 0 0
Dn
0 L
1 ab L 0 L LLL
0 L
.
0 0 0 L a b ab
0 0 0 L 1 ab
1aL MM M
b M
1bL a
1bL b
i
ri r1 2,3,L
n
a
(n
1)b
0a M
b M
L M
0 M
(a b)n1 a (n 1)b
0 0 L ab
1 2 3 L n1 n 2 3 4L n 1 2) D M M ML M M n1 n 1 L n3 n2 n 1 2 L n2 n2
2
L LL L L n 0 0 L 0 n1
n(n
1)
(
(1)
n1)( 2
n1)
(
1)(
n)n
2
2
n( n1)
(1) 2
(n
1)nn1
2
（三）升级法（加边法）
a1 b1 a2 L
Dn
a1 a2 b2 L M ML
a1
a2 L
an
an M
,
an bn
b1b2 L bn 0
解：
1 a1
a2 L
假设 n k 时结论成立，即，
箭形行列式 行（列）和相等的行列式 递推公式法 加边法（升级法） 拆项法 数学归纳法
（一）箭形行列式
a0 b1 b2 L bn c1 a1 L L L Dn1 c2 L a2 L L , LLLLL
ai 0,i 1,2,3L n.
cn L L L an
解：把所有的第
i
1列(i
1,L
, n)
的
ci 倍加到 ai
第1列，得：
Dn1
a1a2 L
an (a0
n i 1
bi ci ai
)
可转为箭形行列式的行列式：
1 a1 1 L
1)
1 L
1 a2 L LL
1 LL
1
1 1
,
1 an
ai 0, i 1, 2, 3L n.
a1 x L x
2)
x L
a2 L
L L
x x
,
ai 0, i 1,2,3L n.
解
Dn 按c1展开 (a b)Dn1 abDn2
Dn aDn1 b(Dn1 aDn2 ) L bn2(D2 aD1 ) Dn bDn1 a(Dn1 bDn2 ) L an2(D2 bD1 )
而 D2 a2 ab b2, D1 a b
Dn aDn1 bn2(a2 ab b2 a2 ab) bn ; Dn bDn1 an2(a2 ab b2 a2 ab) an .
0 a1 b1 a2 L
1) Dn 0 a1 a2 b2 L
M M ML
0 a1
a2 L
an an an M an bn n1
1 a1 a2 L an
ri
r1(i 2,3L
n 1) 1 1
b1 0
0L b2 L
0 0
M M ML M
1 0 0 L bn
1 n ai
c1
ci1 bi
Fra Baidu bibliotek
n(n 1) 2
M M MM M 1 1n L 1 1
1n 1 L 1 1
n1
1 1 L 1 1n ri r1 n(n 1) 0 0 L n n i 2,3L n 1 2 L L L L L
n 0 0 L n n1
1 1 L 1 1
n(n 1) 0 0 L n 0
cn1 c1 L cn2
由以上两式解得
Dn
an1 a
bn1 b
(n 1)an
ab ab
（先将行列式表成两个低阶同型的行列式的线形
关系式，再用递推关系及某些低阶（2阶，1阶）
行列式的值求出 D的值）
（五）拆项法（主对角线上、下元素相同）
1) 解：
a x1 a L a
Dn
a L
a x2 L LO
a L
a
a L a xn
n
1 a
1
Dn
i1 xi 0
aL x1 L
a a
L LOL
0
L L xn
x1 x2L
n
xn(1 a
i 1
1 )
xi
（六） 数学归纳法
例、证明：
1 a
1
Dn
1 L
1
1L
1 a2 L LL 1L
1
1
L
a1a2L an(1
1 an
1) ai
1 证：当 n 1 时，D1 1 a1 a1(1 a1 ) ，结论成立．
x L L an
（把第 i 行分别减去第1行， 即可转为箭形行列式）
（二）行（列）和相等的行列式
a bL b
1)
D
b aL MM M
b M
bL L a
a (n 1)b b L b
解：D
c1 c2 L
cn
a
(n M
1)b
aL b MMM
a (n 1)b b L a
1bL b
a
(n
1)b