导体、绝缘体和半导体的能带模型

§5-6 导体、绝缘体和半导体的能带模型
尽管所有的固体都包含大量有电子，但有些固体具有很好的电子导电性能，而另一些固体则观察不到任何电子的导电性。

对于固体为什么分为导体、绝缘体和半导体呢？这一基础事实曾长期得不到解释，能带论对这一问题给出了一个理论说明，并由此逐步发展成为有关导体、绝缘体和半导体的现代理论。

晶体中电子有能量本征值分裂成一系列能带，每个能带均由N 个准连续能级组成（N 为晶体原胞数），所以，每个能带可容纳2N 个电子。

晶体电子从最低能级开始填充，被电子填满的能带称作满带，被电子部分填充的能带称为不满带，没有电子填充的能带称为空带。

能带论解释固体导电的基本观点是：满带电子不导电，而不满带中的电子对导电有贡献。

5. 6. 1 满带电子不导电
从前面的知识中，已经知道，晶体中电子能量本征值E (k )是k 的偶函数，则利用（5-5-11），可以证明v (-k )=-v (k )，即v (k )是k 的奇函数。

一个完全填满的电子能带，电子在能带上的分布，在k 空间具有中心对称性，即一个电子处于k 态，其能量为E(k )，则必有另一个与其能量相同的E (-k )=E (k )电子处于-k 态。

当不存在外电场时，尽管对于每一个电子来证，都带有一定的电流-e v ，但是k 态和-k 态的电子电流-e v (k )和-e v (-k )正好一对对相互抵消，所以说没有宏观电流。

当存在外电场或外磁场时，电子在能带中分布具有k 空间中心对称性的情况仍不会改变。

以一维能带为例，图5-6-1中k 轴上的点子表示简约布里渊区内均匀分布的各量子态的电子。

如上所述，在外电场E 的作用下，所有电子所处的状态都以速度
d e dt
=-
k E
…………………………………………………………………………………………(5-6-1) 沿k 轴移动。

由于布里渊区边界A 和A '两点实
际上代表同一状态，在电子填满布里渊区所有状态即满带情况下，从A 点称动出去的电子同时就从A '点流进来，因而整个能带仍处于均匀分布填满状态，并不产生电流。

5. 6. 2 不满带的电子导电
图5-6-2给出不满带电子填充的情况，没有外电场时，电子从最低能级开始填充，而且k 态和-k 态总是成对地被电子填充的，所以总电流为
零。

存在外电场时，整个电子分布将向着电场反方向移动，由于电子受到声子或晶格不完整性的散射作用，电子的状态代表点不会无限地称动下去，而是稍稍偏离原来的分布，如图5-6-2 (b)所示。

当电子分布偏离中心对称状况时，各电了所荷载的电流中将只有一部分被抵消，因而总电流不为零。

外加电场增强，电子分布更加偏离中心对称分布，未被抵消的电子电流就愈大，晶体总电流也就愈大。

由于不满带电子可以导
图5-6-1 外场下满带电子的运动
F
电，因而将不满带称作导带。

5. 6. 3 导体、绝缘体与半导体的能带模型
我们可以通过考察晶体电子填充能带的状况来判断晶体的导电性能。

如果晶体电子恰好填满了最低的一系列能带，能量再高的能带都是空的，而且最高的满带与最低的空带之间存在一个很宽的禁带（如
5g E eV ≥），那么，这种晶体就是绝缘体。

图5-6-3（c ）给出了这种晶体电子填充能带的状况。

如果晶体
的能带中，除了满带外，还有不满带，那么，这种晶体就是金属。

半导体晶体电子填充能带的状况与绝缘体的没有本质不同，只是最高满带与最低空带之间的带隙较窄（为1~3g E eV =），这样，在T=0K 时，晶体是不导电的，在T ≠0K 时，将有部分电子从满带顶部被激发到空带的底部，使最高的满带及最低的空带都变成部分填充电子的不满带，晶体因而具有一定的导电能力。

图5-6-3画出导体、绝缘体与半导体电子填充能带的模型。

碱金属（如锂、钠、钾等）及贵金属（如金、银等）每个原胞只含一个价电子。

当N 个这类原子结合成固体时，N 个电子就占据着能带中N 个最低的量子态。

其余N 个能量较高的量子态则是空的，即能带是半满的（每个能带可容纳2N 个电子）。

因此，所有碱金属、贵金属晶体都是导体。

惰性气体原子的电子壳层是闭合的，电子数是偶数，所以总是将最低能带填满，而较高的能带空着。

这些元素形成的固体是绝缘体的典型例子。

金刚石、硅和锗的原胞含有两个四价原子，故每个原胞含有八个价电子，正好填满价电子所形成的能带。

所以，这些纯净的晶体在T=0K 时是绝缘体。

碱土金属（如钙、锶、钡等）的每个原胞含有两个s 电子，正好填满s 带，碱土金属晶体似乎应该是绝缘体，实际上却是良导体。

原因在于s 带与上面的能带发生交叠（如图5-6-3（b ）的情况），2N 个s 电子在未完全填满s 带时，就开始填充上面那个能带，造成两个不满带。

因此，碱土金属晶体是导体。

五族元素铋、锑、砷等的晶体，每个原胞内含有两个电子，所以原胞内含有偶数个电子。

这些晶体也应该是绝缘体，但它们却有一定的导电性。

原因在于这些晶体的能带有交叠，只是交叠部分较少，使能对与导电的电子浓度远远小于正常金属中的电子浓度，电
（a ）无外电场
（b ）有外电场
图5-6-2 不满带电子在k 空间的分布
阻率比正常金属大约5
10倍，因而被称作半金属。

由此可见，若晶体的原胞含有奇数个价电子，这种晶体必是导体；原胞含有偶数个价电子的晶体，如果 能带交叠，则晶体是导体或半金属，如果能带没有交叠，禁带窄的晶体就是半导体，禁带宽的则是绝缘体。

5. 6. 4 空穴
满带中如缺了少数电子就会产生一定的导电性，这种近满带的情形在半导体的问题中特别重要。

要描述近满带中电子的运动，由于涉及到数目很大的电子集体运动，因而在表述上十分不便。

为此，我们引入空穴的概念，将大量电子的集体运动等价地变为描述少数空穴的概念，从而大大简化了有关近满带的问题。

为了说明空穴的概念并证明用电子和空穴两种描述方法的等价性，我们不妨假设满带中只有某一个状态k 未被电子占据，此时能带是不满的，因而应有电流产生，以j (k )表示。

为计算j (k )，我们假想在空的k 态中放入一个电子，这个电子的电流等于-e v (k )。

但是k 态加入这个电子后，能带又成为满带，所以，总的电流应为零，从而有：
()[()]0e +-=j k v k ………………………………………………………………………………(5-6-2)
即
()()e =j k v k ………………………………………………………………………………………(5-6-3)
上式表明，当k 态缺少一个电子时，近满带的总电流就如同一个具有正电荷e 的粒子，以空状态k 的电子速度v (k )所产生的。

在电场E 的作用下，近满带中所有电子的状态都以式（5-5-14）的规律变化，空状态也按同样规律变化。

因而空状态的加速度为
*()1()()e d eE dt m ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
v k k ……………………………………………………………………(5-6-4) 考虑*
*
*
x y z m m m ==球形等能面的简单情况，上式变为：
*()()
e d eE
dt m =-v k k ……………………………………………………………………………(5-6-5) 由于满带顶的电子比较容易受热而激发到导带，因此空状态多位于能带顶附近。

在能带顶附近*
e m 为负值，为此我们定义空穴有效质量为：
()()*
*h e m m =-k k …………………………………………………………………………………(5-6-6)
则有
*()()
h d eE
dt m =v k k ……………………………………………………………………………………(5-6-7) 由上面的讨论我们得到下列结论：当满带顶附近有空状态k 时，整个能带中的电子运动，以及电流在外场作用下的变化，完全如同存在一个带正电荷e ，具有正有效质量*m 、速度v (k )的粒子情况一样，这样一个假想的粒子称为空穴。

空穴概念的引入，使得满带顶附近缺少一些电子的问题和导带底有少数电子的问题十分相似。

然而应该强调指出，我们虽然赋于空穴有效质量、电荷等属性，但它并不是客观存在的一种实物闻子，而只是客观物质——电子集体运动的一种等价描述。

正如前面所提到的声子概念一样，它也不是一个客观物质粒子，而是晶格中原子集体振动的一种等价描述，我们常把声子、空穴等称为准粒子或元激发。

在固体物理学中处理多粒子体系的集体运动时常常引入各种元激发，以使多体问题简化。