《一元二次方程》考点探究

《一元二次方程》考点探究

【考纲要求】

1．理解一元二次方程的概念．

2．掌握一元二次方程的解法．

3．了解一元二次方程根的判别式，会判断一元二次方程根的情况；了解一元二次方程根与系数的关系并能简单应用．

4．会列一元二次方程解决实际问题.

【命题趋势】

结合近年中考试题分析，一元二次方程的内容考查主要有一元二次方程的有关概念，一元二次方程的解法及列一元二次方程解决实际问题，题型以选择题、填空题为主，与其他知识综合命题时常为解答题.

【考点探究】

考点一、一元二次方程的有关概念

【例1】下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( )

A ．x 2＋1x 2＝0

B ．ax 2＋bx ＋c ＝0

C ．(x －1)(x ＋2)＝1

D ．3x 2－2xy －5y 2＝0 解析：由一元二次方程的定义可知选项A 不是整式方程；选项B 中，二次项系数可能为0；选项D 中含有两个未知数．故选C .

答案：C

方法总结 方程是一元二次方程要同时满足下列条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项系数不等于0.容易忽略的是条件①和④.

触类旁通1 已知3是关于x 的方程x 2－5x ＋c ＝0的一个根，则这个方程的另一个根是

( )

A ．－2

B ．2

C ．5

D ．6

考点二、一元二次方程的解法

【例2】解方程x 2－4x ＋1＝0.

分析：本题可用配方法或公式法求解．配方法通常适用于二次项系数化为1后，一次项系数是偶数的一元二次方程．对于任意的一元二次方程，只要将方程化成一般形式，就可以直接代入公式求解．

解：解法一：移项，得x 2－4x ＝－1.配方，得x 2－4x ＋4＝－1＋4，即(x －2)2＝3，由此可得x －2＝±3，x 1＝2＋3，x 2＝2－ 3.

解法二：a ＝1，b ＝－4，c ＝1.b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×1＝12＞0，x ＝4±122

＝2±3. 方法总结 此类题目主要考查一元二次方程的解法及优化选择，常常涉及到配方法、

公式法、因式分解法．选择解法时要根据方程的结构特点，系数(或常数)之间的关系灵活进行，解题时要讲究技巧，尽量保证准确、迅速．

触类旁通2 解方程：x 2＋3x ＋1＝0.

考点三、一元二次方程根的判别式的应用

【例3】关于x 的一元二次方程x 2＋(m －2)x ＋m ＋1＝0有两个相等的实数根，则m 的值是( )

A ．0

B ．8

C ．4±2

D ．0或8

解析：b 2－4ac ＝(m －2)2－4(m ＋1)＝0，解得m 1＝0，m 2＝8.故选D.

答案：D

方法总结 由于一元二次方程有两个相等的实数根，可得根的判别式b 2－4ac ＝0，从而得到一个关于m 的方程，解方程求得m 的值即可．

一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况：(1)不解方程，判定根的情况；

(2)根据方程根的情况，确定方程系数中字母的取值范围；(3)应用判别式证明方程根的情况．

触类旁通3 已知关于x 的一元二次方程mx 2＋nx ＋k ＝0(m ≠0)有两个实数根，则下列关于判别式n 2－4mk 的判断正确的是( )

A ．n 2－4mk ＜0

B ．n 2－4mk ＝0

C ．n 2－4mk ＞0

D ．n 2－4mk ≥0

考点四、一元二次方程根与系数的关系

【例4】已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2.

(1)求k 的取值范围；

(2)若|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值．

解：(1)依题意，得b 2－4ac ≥0，即[－2(k －1)]2－4k 2≥0，解得k ≤12

. (2)解法一：依题意，得x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2.

以下分两种情况讨论：

①当x 1＋x 2≥0时，则有x 1＋x 2＝x 1x 2－1，

即2(k －1)＝k 2－1，解得k 1＝k 2＝1.∵k ≤12

， ∴k 1＝k 2＝1不合题意，舍去．

②当x 1＋x 2＜0时，则有x 1＋x 2＝－(x 1x 2－1)，

即2(k －1)＝－(k 2－1)．解得k 1＝1，k 2＝－3.

∵k ≤12

，∴k ＝－3.综合①②可知k ＝－3. 解法二：依题意，可知x 1＋x 2＝2(k －1)．

由(1)可知k ≤12

，∴2(k －1)＜0，即x 1＋x 2＜0.

∴－2(k －1)＝k 2－1，解得k 1＝1，k 2＝－3.

∵k ≤12

，∴k ＝－3. 方法总结 解决本题的关键是把给定的代数式经过恒等变形化为含x 1＋x 2，x 1x 2的形式，然后把x 1＋x 2，x 1x 2的值整体代入．研究一元二次方程根与系数的关系的前提为：①a ≠0，②b 2－4ac ≥0.因此利用一元二次方程根与系数的关系求方程的系数中所含字母的值或范围时，必须要考虑这一前提条件．

触类旁通4 若x 1，x 2是一元二次方程x 2＋4x ＋3＝0的两个根，则x 1x 2的值是( )

A ．4

B ．3

C ．－4

D ．－3

考点五、用一元二次方程解实际问题

【例5】汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增加．据统计，2008年我市某种品牌汽车的年产量为6.4万辆，到2010年，该品牌汽车的年产量达到10万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2008年开始五年内保持不变，则该品牌汽车2011年的年产量为多少万辆？

解：设该品牌汽车年产量的年平均增长率为x ，由题意，得6.4(1＋x )2＝10，解得x 1＝0.25，x 2＝－2.25.∵x 2＝－2.25＜0，故舍去，∴x ＝0.25＝25%.10×(1＋25%)＝12.5.

答：2011年的年产量为12.5万辆．

方法总结 此题是一道典型的增长率问题，主要考查列一元二次方程解应用题的一般步骤．解应用题的关键是把握题意，找准等量关系，列出方程．最后还要注意求出的未知数的值是否符合实际意义，不符合的要舍去．

触类旁通5 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x 元．据此规律，请回答：

(1)商场日销售量增加__________件，每件商品盈利__________元(用含x 的代数式表示)；

(2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到 2 100元？

【经典考题】

1．用配方法解方程x 2＋4x ＋1＝0，配方后的方程是( )

A ．(x ＋2)2＝3

B ．(x －2)2＝3

C ．(x －2)2＝5

D ．(x ＋2)2＝5

2．已知关于x 的一元二次方程x 2＋2x －a ＝0有两个相等的实数根，则a 的值是( )

A ．1

B ．－1

C ．14

D ．－14

3．已知关于x 的一元二次方程x 2－bx ＋c ＝0的两根分别为x 1＝1，x 2＝－2，则b 与c 的值分别为( )