4-6卷积积分及零状态响应的卷积计算法

u(t) = h(t) iS (t) = iS (t) h(t)
h (t ) = 5δ (t ) + 5e t ε (t ) V
0 < t ≤ 1S
is (t) = (1 t) A
t
求rzS(t)
u(t ) = is (t ) h(t ) = is (t ) * 5δ (t ) + is (t ) * 5etε (t ) = 5(1 t ) + ∫ (1 τ ) × 5e(t τ )ε (t τ )dτ
1 uC ( 0 + ) = C 1 1 δ (t )dt = R RC
∫
0+ 0
1 h (t ) = e RC
t RC ε (t )
零状态响应电压为
u C (t ) =
∫ = ∫u e
0 t
0 0
t
u (τ ) h ( t τ ) d τ
பைடு நூலகம்
τ
T
1 ε (τ ) e RC
t τ RC
ε (t τ ) dτ
解2 按rzS (t ) = h(t ) f (t ) = ∫ h(τ ) f (t τ ) dτ 计算
f (τ )
0
t
h (τ )
f (τ )
1
τ
τ
-1
0
τ
当 0<t <1S 时
面积 = rzS (t )
rzS (t) = ∫ e ε (τ )dτ = ∫ e dτ = 1 e
τ τ 0 0
用冲击函数来近 似代替矩形脉冲 冲击函数的强度 等于脉冲的面积 用n个冲击函数 个冲击函数 来近似代替f(t) 来近似代替
n1
fa(t) 第K+1个 个
1
2
3 n
t
ε (t kτ ) ε (t (k + 1)τ ) 2 f (t) ≈ f a (t) = ∑ f (kτ ) τ τ k =0
1 ∴iC (0) = δ (t ) A 2
1 + u C (0 + ) = ∫ 0 0.5δ (t )dtV = 10 V 0.05 1 τ = RC = 20 × 0.05S = 1S u(0+ ) = uC (0+ ) = 5 V
2 h (t ) = uδ (t ) = [5δ (t ) + 5e t ε (t ) ]V
t 0
二,卷积积分的性质:交换律,分配律等 卷积积分的性质:交换律, 1 交换律 rzS (t ) = h (t ) f (t ) = f (t ) h (t ) 注意
2 分配律 h(t) [ f1 (t) + f 2 (t)] = h(t) f1 (t) + h(t) f 2 (t)
δ (t t0 ) f (t ) = f (t ) δ (t t0 ) = f (t t0 )
dτ
t
= e
1
α
ατ 0+
=
1
α
(1 e
αt
)ε ( t )
设图示RC串联电路中电压源的电压 例2 设图示 串联电路中电压源的电压
u (t ) = u 0
t e T ε (t )
零状态响应电压u . 求 零状态响应电压 C(t). 用卷积积分公式求u 解 用卷积积分公式求 CzS(t),应先求冲激响应 ,
0
t
rzS (t) = ∫ [ε (τ ) ε (τ 1)]e(tτ )ε (t τ )dτ
t 0 t
= ∫ ε (τ )e
0 t
(t τ )
ε (t τ )dτ ∫ ε (τ 1)e
0 t 1
t
(t τ )
ε (t τ )dτ
=∫ e
0
(t τ )
dτ ∫ e(tτ )dτ
rzS (t) = ∫ [ε (τ ) ε (τ 1)]e(tτ )ε (t τ )dτ
用∞多个强度不同 , 依次 连续出现的冲击函数之 和来代替连续函数 f (t )
用 n 个强度不同 , 断续出 现的冲击函数分别单独 作用产生的 rzS 之和来近 似代替 f ( t ) 产生的 rzS
∑
n 1
→
∫
t 0
dt
f (t ) = ∫ f (τ )δ (t τ )dτ
0
t
≈→=
rzS ( t ) ≈
≈ ∑ f ( kτ ) τδ (t kτ )
k =0
n 1
δ (t ) → NzS → h(t)
δ (t Kτ ) → NzS → h(t kτ )
f ( kτ ) τδ ( t kτ ) → NzS → f ( k τ ) τh ( t k τ )
∑ f (kτ )τδ (t kτ ) →
n 1
fa(t) 第K+1个 个
3 1 2 n t
1
f (t ) ≈ f a (t ) = ∑ f ( kτ )[ε (t kτ ) ε (t ( k + 1) τ )] ε (t kτ ) ε (t (k + 1)τ ) = ∑ f (kτ ) τ τ k =0
k =0 n 1
0
t
rzS (t ) = ∫ h(τ ) f (t τ ) dτ = 面积
0
t
积分下限为什么为零? 积分下限为什么为零? 积分上限为什么为 t ?
例3 某电路的激励函数与冲激响应的波形图如图所示 求电路的零状态响应. 求电路的零状态响应.
= ε (t) ε (t 1)
解1 按rzS (t ) = f (t ) h(t ) = ∫ f (τ )h(t τ ) dτ 计算
t
( t 1)
)ε (t 1)
与解1的计算结果相同 与解 的计算结果相同
六,卷积积分在网络分析中的应用 1 求任意函数激励下的零状态响应
rzS (t) = f (t) * h(t) = h(t) * f (t)
2 求任意函数激励下的全响应
r(t) = rzi + rzs = rzi + f (t) *h(t)
0
t
f(t)
h(t)
t
t
将h (τ )取纵轴 的镜象对称
把h( τ )向右 平移到t
t 0
作f (τ )h(t τ )曲线
求面积
褶迭
Convolution
面积 = ∫ f (τ )h(t τ ) dτ = rzS (t )
如按式 rzS ( t ) = h ( t ) f ( t ) =
∫ h (τ ) f ( t τ ) d τ计算
§4-6卷积积分及零状态响应的 卷积积分及零状态响应的 卷积计算法 Convolution integral
一 卷积积分的导出
用n个矩形脉冲来近 个矩形脉冲来近 似代替连续函数f(t) 似代替连续函数 用冲击函数来近似 代替矩形脉冲 用n个冲击函数分别 个冲击函数分别 单独作用产生的r 单独作用产生的 zS(t) 之和来近似代替f(t) 之和来近似代替 产生的r 产生的 zS(t)
f (t) = ε (t)
f(t)
h(t ) = e ε (t )
rzS (t ) = f (t ) h(t ) = ∫ f (τ )h(t τ ) dτ
0 t
t
t h(t)
rzS (t) = h(t) f (t) = ∫ h(τ ) f (t τ ) dτ
0
t
t
rzS (t) = f (t) h(t) = ∫ f (τ )h(t τ ) dτ
∵δ (t ) f (t ) = ∫ δ (τ ) f (t τ )dτ = f (t )∫ δ (τ )dτ = f (t )
t t
δ (t ) f (t ) = f (t ) δ (t ) = f (t )
δ (t t0 ) f (t ) = ∫ δ (τ t 0 ) f (t τ ) dτ
t 0 t 0
0
0
= f (t t0 )∫ δ (τ t 0 )dτ = f (t t0 )
三 卷积积分的计算举例 例1 求卷积 [e 解
α t
α t
ε (t )] ε (t )
t ατ 0
[e ε (t)] ε (t) = ∫ e ε (τ )ε (t τ )dτ
=∫ e
0+ t ατ
∫ (t ) = ∫
f (τ )δ ( t τ ) d τ
f (τ )h ( t τ ) d τ
= f (t) δ (t)
=
f (t ) h (t )
记为
f (t) h (t) =
∫
t 0
f (τ ) h (t τ )d τ
h (t ) f (t ) =
∫ h (τ ) f (t τ )d τ
k =0 =0
n 1
NzS →
∑
n 1
f (kτ )τ h (t kτ )
k =0
≈ f (t )
n 1 k =0 n 1
≈ rzS (t )
f (t ) ≈ ∑ f ( kτ ) τδ (t kτ )
3
rzS ( t ) ≈
∑
f (k τ ) τ h (t k τ )
k =0
f (t ) ≈ ∑ f ( kτ ) τδ (t kτ )
u C (t ) =
∫
t
0
u (τ ) h ( t τ ) d τ
0
=
∫u
0
t
e
τ
T
1 ε (τ ) e RC
t RC
t τ RC
ε (t τ ) dτ
u0 = e RC
u0 e = RC
∫e
0+
t
T RC τ RCT
dτ
t
t RC
1 T RC RCT
e
T RC τ RCT
0+
t t u 0T T = e e RC T RC
∑ f ( kτ ) τ h (t kτ )
k =0 t
n 1
用 ∞ 多个强度不同 , 依次 连续出现的冲击函数分 别单独作用产生的 rzS 之 和来代替 f ( t )产生的 rzS
rzS ( t ) =
∫
0
f (τ )h ( t τ ) d τ
五,卷积积分几何解释 的卷积, 求f(t)与h(t)的卷积,实质上是求一个新函数 与 的卷积 的区间内的定积分. f(τ)h(tτ)在τ 由0到t的区间内的定积分.根据 在 到 的区间内的定积分 定积分的几何意义,函数在0到 区间内的定 定积分的几何意义,函数在 到t区间内的定 积分值,决定于被积函数f( 积分值,决定于被积函数 τ)h(tτ)的曲线在 的曲线在 轴之间所限定的面积. 该区间内与τ 轴之间所限定的面积. 设
t t t ( t 1)
∫ e dτ = e (e e) = (1 e )ε (t 1) t (t1) ∴rzS (t) = (1 e )ε (t) (1 e )ε (t 1) ∫e
1 t t 1
( t τ )
dτ = e
τ
积分上下限应由被积函数存在的时域范围的上下限确定. 积分上下限应由被积函数存在的时域范围的上下限确定. 用作图的方法可方便地确定出积分上下限. 用作图的方法可方便地确定出积分上下限.
k =0
n 1
rzS ( t ) ≈
∑
n 1
f (k τ ) τ h (t k τ )
令 4 取极限: n → ∞ 用∞多个冲击函数代替f (t ) 取极限: τ → dτ(无穷小量) K τ → τ (连续变量)
K = 0
k =0
∑
n 1
→
t
∫
t 0
dτ
记为
卷乘
≈→=
0 t
0
f (t ) =
rzS
t
t
t
当 0<t <1S 时
rzS (t) = ∫ e ε (τ )dτ = ∫ e dτ = 1 e
0 0
t
τ
t
τ
t
当 t >1S 时
面积 = rzS (t )
rzS (t) = ∫ e ε(τ )dτ = ∫ eτ dτ = e(t1) et
t1 t1
t
τ
t
分时间段表示 当 0<t <1S 时 当 t >1S 时
注意 卷积计算法只用于求r 卷积计算法只用于求 zS(t) 首先要求h(t) 首先要求
求零状态响应u(t) 例4 iS(t)的波形如图 所示 求零状态响应 的波形如图 所示,求零状态响应
δ (t) A iS (t )
iC (t) + uC(t) -
∵uC (0 ) = 0 解 先求冲激响应 1 u ( 0 ) = δ ( t ) × 10 = 5δ ( t )V 2 0
t 0 t
= ∫ ε (τ )e
0 t
(t τ )
ε (t τ )dτ ∫ ε (τ 1)e
0 t (t τ ) 1
t
(t τ )
ε (t τ )dτ
=∫ e
0
(t τ )
dτ ∫ e
t t
dτ
t
∫e
0 t
t
( t τ )
dτ = e
∫ e dτ = e
0 t
τ
(e 1) = (1 e )ε (t )
rzS (t) =1 et
rzS(t) = e
(t1)
e
t
用一个式子表示(用阶跃函数表示时间范围) 用一个式子表示(用阶跃函数表示时间范围)
∴ rzS (t ) = (1 e )[ε (t ) ε (t 1)] + e
t
[
( t 1)
e ε (t 1)
t
]
= (1 e )ε (t ) (1 e
ε (t )
四,卷积积分的物理解释. 卷积积分的物理解释.
f (t ) ≈ ∑ f ( kτ ) τδ (t kτ ) k =0 n→∞ τ → dτ Kτ → τ
K = 0
n 1
个强度不同,断续出 用n个强度不同 断续出 个强度不同 现的冲击函数序列来近 似代替连续函数f(t) 似代替连续函数