电磁感应中的能量转换经典问题

在电磁感应中的动力学问题中有两类常见的模型.

类型“电—动—电”型“动—电—动”型示

意

图

棒ab长L，质量m，电阻R；导轨光滑水平，电阻不计棒ab长L，质量m，电阻R；导轨光滑，电阻不计

分析S闭合，棒ab受安培力F＝

BLE

R

，此时a＝BLE

mR

，

棒ab速度v↑→感应电动势BLv↑→电流

I↓→安培力F＝BIL↓→加速度a↓，当安培

力F＝0时，a＝0，v最大，最后匀速

棒ab释放后下滑，此时a＝gsin α，棒ab

速度v↑→感应电动势E＝BLv↑→电流I＝

E

R

↑→安培力F＝BIL↑→加速度a↓，当安

培力F＝mgsin α时，a＝0，v最大，最后

匀速

运动

形式

变加速运动变加速运动

最终

状态匀速运动vm＝E

BL匀速运动vm＝

mgRsin α

B2L2

1、如图甲所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L.M、P两点间接有阻值为R的电阻．一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直．整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下．导轨和金属杆的电阻可忽略．让ab 杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦．

(1)由b向a方向看到的装置如图乙所示，请在此图中画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图．

(2)在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为v时，求此时ab杆中的电流及其加速度的大小．

(3)求在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值．

1、解析

(1)如右图所示，ab杆受重力mg，竖直向下；支持力FN，垂直斜面向上；安培力F，平行斜面向上．

(2)当ab杆速度为v时，感应电动势

E＝BLv，此时电路中电流

I＝E

R

＝BLv R

ab杆受到安培力F＝BIL＝B2L2v R

根据牛顿运动定律，有ma＝mgsin θ－F＝mgsin θ－B2L2v

R

a＝gsin θ－B2L2v mR.

(3)当B2L2v

R

＝mgsin θ时，ab杆达到最大速度vm＝mgRsin θ

B2L2

2、如图所示，足够长的光滑平行导轨MN、PQ倾斜放置，两导轨间距离为L＝1.0 m，导轨平面与水平面间的夹角为30°，磁感应强度为B的磁场垂直于导轨平面向上，导轨的M、P两端连接阻值为R＝3.0 Ω的电阻，金属棒ab垂直于导轨放置并用细线通过光滑定滑轮与重物相连，金属棒ab的质量m＝0.20 kg，电阻r＝0.50 Ω,重物的质量M＝0.60 kg，如果将金属棒和重物由静止释放，金属棒沿斜面上滑的距时间t/s 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 上滑距离/m 0 0.05 0.15 0.35 0.70 1.05 1.40

(2)所加磁场的磁感应强度B为多大？

(3)当v＝2 m/s时，金属棒的加速度为多大？

2、解析

(1)由表中数据可以看出最终ab棒将做匀速运动．

vm＝s

t

＝3.5 m/s

(2)棒受力如图所示，由平衡条件得FT＝F＋mgsin 30°

FT＝Mg

F＝B BLvm R＋r L

联立解得B＝ 5 T

(3)当速度为2 m/s时，安培力F＝B2L2v R＋r

对金属棒ab有FT－F－mgsin 30°＝ma

对重物有Mg－FT＝Ma

联立上式，代入数据得a＝2.68 m/s2

3、边长为L的正方形闭合金属线框，其质量为m，回路电阻为R.图中M、N、P为磁场区域的边界，上下两部分水平匀强磁场的磁感应强度大小均为B，方向如图4所示．现让

金属线框在图示位置由静止开始下落，金属线框在穿过M和P两界面的过程

中均为匀速运动．已知M、N之间和N、P之间的高度差相等，均为h＝L＋

5m2gR2

8B4L4

，金属线框下落过程中金属线框平面始终保持竖直，底边始终保持水

平，当地的重力加速度为g.试求：

(1)图示位置金属线框的底边到M的高度d；

(2)在整个运动过程中，金属线框中产生的焦耳热；

(3)金属线框的底边刚通过磁场边界N时，金属线框加速度的大小．

3、解析

(1)根据题意分析可知，金属线框在穿过M界面时做匀速运动，设为v1，根据运动学公式有v 21＝2gd 在金属线框穿过M的过程中，金属线框中产生的感应电动势

E＝BLv1

金属线框中产生的感应电流I＝E R

金属线框受到的安培力F＝BIL

根据物体的平衡条件有mg＝F，联立解得d＝m2gR2

2B4L4

(2)根据能的转化和守恒定律，在整个运动过程中，金属线框中产生的焦耳热为Q＝mg(2h＋L)

解得Q＝mg(3L＋5m2gR2

4B4L4)

(3)设金属线框的底边刚通过磁场边界N时，金属线框的速度大小为v2，根据题意和运动学公式有

v 22－v 21＝2g(h－L)

此时金属线框中产生的感应电动势E′＝2BLv2

金属线框中产生的感应电流I′＝E′R

金属线框受到的安培力F′＝2BI′L

根据牛顿第二定律有F′－mg＝ma′

解得金属线框的加速度大小为a′＝5g

4、如图所示，两电阻不计的足够长光滑平行金属导轨与水平面夹角为θ，导轨间距为l，所在平面

的正方形区域abcd存在有界匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直斜面向上．将甲、乙两阻值相同、质量均为m的相同金属杆放置在导轨上，甲金属杆处在磁场的上边界，甲乙相距l.静止释放两金属杆的同时，在甲金属杆上施加一个沿着导轨向下的外力F，使甲金属杆在运动过程中始终沿导轨向下做匀加速直线运动，加速度大小为gsin θ，乙金属杆刚进入磁场时做匀速运动．

(1)甲、乙的电阻R为多少；

(2)设刚释放两金属杆时t＝0，写出从开始释放到乙金属杆离开磁场，外力F随时间t的变化关系；

(3)若从开始释放到乙金属杆离开磁场，乙金属杆中共产生热量Q，试求此过程中外力F对甲做的功．

4、解析

(1)对乙受力分析知，乙的加速度大小为gsin θ，甲、乙加速度相同，所以当乙刚进入磁场时，甲刚出磁场，乙进入磁场时v＝2glsin θ

对乙由受力平衡可知

mgsin θ＝B2l2v

2R

＝B2l22glsin θ

2R

故R＝B2l22glsin θ

2mgsin θ

(2)甲在磁场中运动时，外力F始终等于安培力，F＝F安＝IlB＝Blv

2R lB

因为v＝gsin θ·t

所以F＝Bl·gsin θ·t

2R lB＝mg2sin2 θ

2g lsin θ

t

其中0≤t≤2l

gsin θ

甲出磁场以后，外力F为零．

(3)乙进入磁场前做匀加速运动，甲乙产生相同的热量，设为Q1，此过程中甲一直在磁场中，外力F始终等于安培力，则有WF＝W安＝2Q1，乙在磁场中运动产生的热量Q2＝Q－Q1，对乙利用动能定理有mglsin θ－2Q2＝0，联立解得WF＝2Q－mglsin θ.