经验技巧6-2 大数阶乘优化算法

经验技巧6-2 大数阶乘优化算法
【例6-6】给出了大数阶乘的算法，该算法使用数组存放阶乘的结果，每一个数组元素存放结果的一位。

计算十万的阶乘需要近260秒的时间，实际上只要程序中的N足够大，还可以求更大数的阶乘，但程序执行的时间会更长，可能要几个小时，甚至更长，因此需要考虑对算法进行优化。

int型数组的每一个元素可以存放的最大整数为2147483647，是一个十位数，而算法中每一个元素只存放结果的一位，显然太浪费了。

由于算法中需要计算自然数n与数组元素值的乘积加上前一位的进位，所以每个数组元素的位数不能太多，否则将超过最大整数2147483647而导致溢出，如果每个数组元素存放4位数，大约可计算到二十万的阶乘，确保结果是精确的，如果再使用无符号基本整型，大约可计算到四十万的阶乘，确保结果是精确的。

由此，定义符号常量M的值为10000作为模数，符号常量B的值为4表示数组元素存放的最多位数，符号常量N的值为600000表示n!结果位数的B分之一，存放n!结果的数组bit定义为静态无符号基本整型。

计算i!时将原来的用10除处理进位和余数改为用M除。

由于除存放最高位的元素外，每个元素都存放B位，而存放最高位的元素可能不足B位，输出前需先统计存放最高位元素bit[k]的位数，另外，低位的0（只能输出一个0）和不足B位的应使用B个输出域宽，不足的用0补足，才能保证其它各位均输出B位。

其它说明详见程序代码中的注释。

优化的程序代码：
（1）#include "stdio.h"
（2）#define M 10000//M与n的乘积不能超过4294967295
（3）#define B 4//数组元素存放的最多位数
（4）#define N 600000 //n!的位数，要足够大
（5）int fact(int bit[],int n)
（6）{
（7）int i,j,k=N-1,carry;//k表示第一个非0元素的下标
（8）bit[k]=1;
（9）for(i=2;i<=n;i++)
（10）{
（11）carry=0;//carry表示进位数，开始进位数为0
（12）for(j=N-1;j>=k;j--)
（13）{
（14）bit[j]=bit[j]*i+carry; （15）carry=bit[j]/M;//处理进位（16）bit[j]=bit[j]%M;
（17）
if(j==k&&carry)//当处理到(i-1)!的最高位元素时(即j==k)，只要有进位(即carry!=0),最高位元素下标前移
（18）k--;
（19）}
（20）}
（21）return k;
（22）}
（23）int main()
（24）{
（25）static unsigned bit[N]={0}; //存放n!的结果
（26）int i,j=0,k,n;
（27）printf("请输入一个不超过四十万的自然数，计算它的阶乘："); （28）scanf("%d",&n);
（29）k=fact(bit,n);
（30）for(i=bit[k];i;i=i/10)//统计存放最高位元素的位数
（31）j++;
（32）printf("%d!=%d",n,bit[k]);//输出最高位元素的值
（33）for(i=k+1;i<N;i++)
（34）
printf("%0*d",B,bit[i]);//输出其它各位元素的值，位数均为B，低位0均输出B个0
（35）printf("\n");
（36）printf("%d!是一个%d位数\n",n,j+(N-k-1)*B);
（37）return 0;
（38）}
优化后的程序计算十万的阶乘只需65秒，计算四十万的阶乘需要不到19分钟。