图论基础
图论知识点
图论知识点摘要：图论是数学的一个分支，它研究图的性质和应用。
图由节点（或顶点）和连接这些节点的边组成。
本文将概述图论的基本概念、类型、算法以及在各种领域的应用。
1. 基本概念1.1 节点和边图由一组节点（V）和一组边（E）组成，每条边连接两个节点。
边可以是有向的（指向一个方向）或无向的（双向连接）。
1.2 路径和环路径是节点的序列，其中每对连续节点由边连接。
环是一条起点和终点相同的路径。
1.3 度数节点的度数是与该节点相连的边的数量。
对于有向图，分为入度和出度。
1.4 子图子图是原图的一部分，包含原图的一些节点和连接这些节点的边。
2. 图的类型2.1 无向图和有向图无向图的边没有方向，有向图的每条边都有一个方向。
2.2 简单图和多重图简单图是没有多重边或自环的图。
多重图中，可以有多条边连接同一对节点。
2.3 连通图和非连通图在无向图中，如果从任意节点都可以到达其他所有节点，则称该图为连通的。
有向图的连通性称为强连通性。
2.4 树树是一种特殊的连通图，其中任意两个节点之间有且仅有一条路径。
3. 图的算法3.1 最短路径算法如Dijkstra算法和Bellman-Ford算法，用于在加权图中找到从单个源点到所有其他节点的最短路径。
3.2 最大流最小割定理Ford-Fulkerson算法用于解决网络流中的最大流问题。
3.3 匹配问题如匈牙利算法，用于解决二分图中的匹配问题。
4. 应用4.1 网络科学图论在网络科学中有广泛应用，如社交网络分析、互联网结构研究等。
4.2 运筹学在运筹学中，图论用于解决物流、交通网络优化等问题。
4.3 生物信息学在生物信息学中，图论用于分析蛋白质相互作用网络、基因调控网络等。
5. 结论图论是数学中一个非常重要和广泛应用的领域。
它不仅在理论上有着深刻的内涵，而且在实际应用中也发挥着关键作用。
随着科技的发展，图论在新的领域中的应用将会不断涌现。
本文提供了图论的基础知识点，包括概念、图的类型、算法和应用。
图论基础知识
end;
end;
end;
End； 15
End； End；
以上dfs(i)的时间复杂度为O（n*n）。 对于一个非连通图，调用一次dfs(i)，即按深度优先顺序依次访问了顶点i所在的（强）连通分支，所以 只要在主程序中加上：for i:=1 to n do {深度优先搜索每一个未被访问过的顶点}
if not Visited（I) then dfs(i);
Begin
访问顶点i；Visited[i]:=true;顶点i入队q；
while 队列q非空 do
begin
从队列q中取出队首元素v；
for j:=1 to n do
begin
if (not Visited[j]) and (a[v,j]=1) then
begin
时间：O（n*n）
访问顶点j；Visited[j]:=true;顶点j入队q
强连通分支：一个有向图的强连通分支定义为该图的最大的强连通子图， 右图含有两个强连通分支，一个是1和2构成的一个子图，一个是3独立构 成的一个子图。
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图论算法与实现
一、图论基础知识
3、图的存储结构（n阶e条边）：
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图论算法与实现
一、图论基础知识
4、图的遍历： 从图中某一顶点出发系统地访问图中所有顶点，使每个顶点恰好
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图论算法与实现
一、图论基础知识
4、图的遍历： 图的宽（广）度优先遍历：类似于树的按层次遍历。从图中某个顶点V0出 发，访问此顶点，然后依次访问与V0邻接的、未被访问过的所有顶点，然 后再分别从这些顶点出发进行广度优先遍历，直到图中所有被访问过的顶 点的相邻顶点都被访问到。若此时图中还有顶点尚未被访问，则另选图中 一个未被访问过的顶点作为起点，重复上述过程，直到图中所有顶点都被 访问到为止。
图论基础知识的名词解释
图论基础知识的名词解释图论是数学的一个分支，研究图的属性和关系。
图是由节点和节点之间的边组成的抽象模型，被广泛应用于计算机科学、网络分析、医学和社会科学等领域。
下面，我们将解释一些图论中常用的基础概念和术语。
1. 图 (Graph)图是图论研究的基本对象，由一组节点和连接这些节点的边组成。
节点也被称为顶点 (Vertex)，边则是节点之间的连接线。
图可以分为有向图 (Directed Graph) 和无向图 (Undirected Graph) 两种类型。
在有向图中，边有方向，从一个节点指向另一个节点；而在无向图中，边没有方向，节点之间的关系是双向的。
2. 顶点度数 (Degree of a Vertex)顶点度数指的是一个顶点与其他顶点相邻的边的数量。
在无向图中，顶点度数即与该顶点相连的边的数量；在有向图中，则分为入度 (In-degree) 和出度 (Out-degree)。
入度表示指向该节点的边的数量，而出度表示从该节点出发的边的数量。
3. 路径 (Path)路径指的是通过边连接的一系列节点，形成的顺序序列。
路径的长度是指路径上边的数量。
最短路径 (Shortest Path) 是指连接两个节点的最短长度的路径。
最短路径算法被广泛应用于计算机网络中的路由选择和地图导航系统中的路径规划。
4. 连通图 (Connected Graph)连通图是指图中的任意两个节点之间都存在路径的图。
如果一个图不是连通图，那么它可以被分割为多个连通分量 (Connected Component)。
连通图在社交网络分析和传感器网络等领域中具有重要的应用。
5. 完全图 (Complete Graph)完全图是指任意两个节点之间都存在边的图。
在完全图中，每对节点之间都有一条边相连。
n个节点的完全图有n(n-1)/2条边。
完全图经常用于描述需要互相交流的问题，如计算机网络中的通信。
6. 树 (Tree)树是一种无环连通图，其中任意两个节点之间有且仅有一条路径相连。
图论的基础概念和算法
图论的基础概念和算法图论是数学的一个分支，研究的对象是图。
图是由一组互不相连的节点（顶点）和连接这些节点的边（边）组成的数学结构。
图论的基础概念包括顶点、边、路径、环、度数等。
本文将介绍图论的基础概念以及常用的图算法。
一、基础概念1. 图的定义和表示图由顶点集合和边集合组成。
顶点集合用V表示，边集合用E表示。
图可以用邻接矩阵或邻接表来表示。
邻接矩阵是一个二维数组，用来表示图中顶点之间的连接关系。
邻接表是一个链表数组，用来表示每个顶点相邻顶点的列表。
2. 顶点和边顶点是图的基本组成单位，用来表示图中的一个节点。
边是连接两个顶点的线段，用来表示两个顶点之间的关系。
3. 路径和环路径是由一系列相邻顶点连接而成的顶点序列。
路径的长度是指路径上经过的边的数目。
环是起点和终点相同的路径。
4. 度数顶点的度数是指与其相邻的边的数目。
入度是指指向该顶点的边的数目，出度是指由该顶点指向其他顶点的边的数目。
图中顶点的度数可以用来判断顶点的重要性。
二、常用算法1. 广度优先搜索（BFS）广度优先搜索是一种用来遍历和搜索图的算法。
从一个起始顶点开始，逐层扩展，先访问距离起始顶点最近的顶点，然后访问它们的相邻顶点，并逐渐向外扩展。
广度优先搜索可以用来计算两个顶点之间的最短路径。
2. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是另一种常用的图遍历算法。
从一个起始顶点开始，沿着一条路径尽可能深入地访问图，直到不能再继续深入为止，然后回溯到上一个顶点，继续探索其他路径。
深度优先搜索可以用来计算连通分量、拓扑排序和寻找环等。
3. 最小生成树最小生成树是指图中通过连接所有顶点的子图，并且该子图的边权重之和最小。
常用的最小生成树算法包括Prim算法和Kruskal算法。
Prim算法从一个顶点开始，逐步扩展最小生成树的边，直到包含所有顶点为止。
Kruskal算法则是从边的权重最小的边开始，逐步增加边到最小生成树中，直到包含所有顶点为止。
4. 最短路径算法最短路径算法用来计算两个顶点之间的最短路径。
离散数学-图论基础
结点的次数
2020/1/17
问题1：是否存在这种情况：25个人中，由于意见不同，每 个人恰好与其他5个人意见一致？
在建立一个图模型时，一个基本问题是决定这个图是什么 —— 什么是结点？什么是边？ 在这个问题里，我们用结点表示对象——人； 边通常表示两个结点间的关系——表示2个人意见一致。 也就是说，意见一致的2个人（结点）间存在一条边。
第七章 图论基础
Graphs
第一节 图的基本概念
2020/1/17
一个图G定义为一个三元组：G=<V, E, Φ>
V —— 非空有限集合，V中的元素称为结点 (node)或 顶点(vertex)
E —— 有限集合（可以为空），E中的元素称为边(edge)
Φ —— 从E到V的有序对或无序对的关联映射
以v为起始结点的弧的条数，称为出度(out-degree) （引出次数），记为d+(v)
以v为终结点的弧的条数，称为入度(in-degree)
（引入次数），记为d-(v)
v3
v的出度和入度的和，称为v的度数(degree)
（次数），记为d(v) = d+(v) + d-(v)
v1 (a) v2
结点的次数
(associative mapping)
v3
v3
v3
v1 (a) v2
v1
v2
(b)
v1
v2
(c)
图的基本概念
2020/1/17
图G=<V, E, Φ>中的每条边都与图中的无序对或有序对联系
若边e E 与无序对结点[va, vb]相联系，即Φ(e)= [va, vb] （va, vb V）则称e是无向边（或边、棱）
图论基础图的表示与常见算法
图论基础图的表示与常见算法图论是数学的一个分支，研究的是图这种数学结构。
图由节点（顶点）和边组成，是研究网络、关系、连接等问题的重要工具。
在图论中，图的表示和算法是非常重要的内容，本文将介绍图的表示方法以及一些常见的图算法。
一、图的表示1. 邻接矩阵表示法邻接矩阵是表示图的一种常见方法，适用于稠密图。
对于一个有n 个节点的图，邻接矩阵是一个n×n的矩阵，其中第i行第j列的元素表示节点i到节点j是否有边相连。
如果有边相连，则该元素的值为1或边的权重；如果没有边相连，则该元素的值为0或者无穷大。
邻接矩阵的优点是可以方便地进行边的查找和修改，但缺点是对于稀疏图来说，会浪费大量的空间。
2. 邻接表表示法邻接表是表示图的另一种常见方法，适用于稀疏图。
对于一个有n 个节点的图，邻接表是一个长度为n的数组，数组中的每个元素是一个链表，链表中存储了与该节点相连的其他节点。
邻接表的优点是节省空间，适用于稀疏图，但缺点是查找边的时间复杂度较高。
3. 关联矩阵表示法关联矩阵是表示图的另一种方法，适用于有向图。
对于一个有n个节点和m条边的图，关联矩阵是一个n×m的矩阵，其中第i行第j列的元素表示节点i和边j的关系。
如果节点i是边j的起点，则该元素的值为-1；如果节点i是边j的终点，则该元素的值为1；如果节点i与边j无关，则该元素的值为0。
关联矩阵适用于有向图，可以方便地表示节点和边之间的关系。
二、常见图算法1. 深度优先搜索（Depth First Search，DFS）深度优先搜索是一种用于遍历或搜索图的算法。
从起始节点开始，沿着一条路径一直向下搜索，直到到达叶子节点，然后回溯到上一个节点，继续搜索其他路径。
DFS可以用递归或栈来实现。
2. 广度优先搜索（Breadth First Search，BFS）广度优先搜索是另一种用于遍历或搜索图的算法。
从起始节点开始，先访问起始节点的所有邻居节点，然后再依次访问邻居节点的邻居节点，以此类推。
图论基础知识
图论算法与实现
一、图论基础知识
4、图的遍历： 对下面两个图分别进行深度优先遍历，写出遍历结果。 注意：分别从a和V1出发。
左图从顶点a出发，进行深度优先遍历的结果为：a，b，c，d，e，g，f 右图从V1出发进行深度优先遍历的结果为：V1，V2，V4，V8，V5，V3，V6，V7
邻接矩阵
边集数组
邻接表
优点O（1）
存储稀疏图时，空 间效率比较好，也 比较直观
便于查找任一顶点的关联边及 关联点,查找运算的时间复杂 性平均为O(e/n)
存储稀疏图，会造 成很大的空间浪费
不适合对顶点的运 算和对任意一条边 的运算
要查找一个顶点的前驱顶点和以此顶点 为终点的边、以及该顶点的入度就不方 便了，需要扫描整个表，时间复杂度为O （n+e）。可以用十字邻接表改进
被访问一次，这种运算操作被称为图的遍历。为了避免重复访问某个 顶点，可以设一个标志数组visited[i]，未访问时值为false，访问一次 后就改为true。
图的遍历分为深度优先遍历和广度（宽度）优先遍历两种方法。 图的深度优先遍历：类似于树的先序遍历。从图中某个顶点Vi出发， 访问此顶点并作已访问标记，然后从Vi的一个未被访问过的邻接点Vj出 发再进行深度优先遍历，当Vi的所有邻接点都被访问过时，则退回到上 一个顶点Vk，再从Vk的另一个未被访问过的邻接点出发进行深度优先遍 历，直至图中所有顶点都被访问到为止。
常州市第一中学 林厚从
图论算法与实现
一、图论基础知识
4、图的遍历： 对于一个连通图，深度优先遍历的递归过程如下：
Procedure dfs(i:integer)； {图用邻接矩阵存储} Begin
访问顶点i； Visited[i]:=True； For j:=1 to n do {按深度优先搜索的顺序遍历与i相关联的所有顶点}
图论基础知识汇总
图论基础知识汇总(总32页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除图与网络模型及方法§1 概论图论起源于18世纪。
第一篇图论论文是瑞士数学家欧拉于1736 年发表的“哥尼斯堡的七座桥”。
1847年，克希霍夫为了给出电网络方程而引进了“树”的概念。
1857年，凯莱在计数烷22 n n H C 的同分异构物时，也发现了“树”。
哈密尔顿于1859年提出“周游世界”游戏，用图论的术语，就是如何找出一个连通图中的生成圈，近几十年来，由于计算机技术和科学的飞速发展，大大地促进了图论研究和应用，图论的理论和方法已经渗透到物理、化学、通讯科学、建筑学、生物遗传学、心理学、经济学、社会学等学科中。
图论中所谓的“图”是指某类具体事物和这些事物之间的联系。
如果我们用点表示这些具体事物，用连接两点的线段（直的或曲的）表示两个事物的特定的联系，就得到了描述这个“图”的几何形象。
图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提供了一个数学模型，借助于图论的概念、理论和方法，可以对该模型求解。
哥尼斯堡七桥问题就是一个典型的例子。
在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河岸联结起来问题是要从这四块陆地中的任何一块开始通过每一座桥正好一次，再回到起点。
当 然可以通过试验去尝试解决这个问题，但该城居民的任何尝试均未成功。
欧拉为了解决这个问题，采用了建立数学模型的方法。
他将每一块陆地用一个点来代替，将每一座桥用连接相应两点的一条线来代替，从而得到一个有四个“点”，七条“线”的“图”。
问题成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。
欧拉考察了一般一笔画的结构特点，给出了一笔画的一个判定法则：这个图是连通的，且每个点都与偶数线相关联，将这个判定法则应用于七桥问题，得到了“不可能走通”的结果，不但彻底解决了这个问题，而且开创了图论研究的先河。
图与网络是运筹学（Operations Research ）中的一个经典和重要的分支，所研究的问题涉及经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术、通讯与网络技术等诸多领域。
数学中的图论基础
数学中的图论基础图论作为数学中的一个重要分支，研究的是图这种数学结构。
图论不仅在数学理论中有着重要的地位，而且在计算机科学、运筹学、电路设计等领域也有着广泛的应用。
本文将介绍数学中的图论基础知识，包括图的基本概念、性质以及一些经典的应用。
1. 图的基本概念图由节点（顶点）和边组成，是图论研究的基本对象。
图可以分为有向图和无向图两种。
1.1 有向图有向图中的边是有方向的，即从一个节点指向另一个节点。
有向图用表示，其中为节点集合，为有向边的集合。
1.2 无向图无向图中的边是没有方向的，即连接两个节点的边不区分起点和终点。
无向图用表示，其中为节点集合，为无向边的集合。
2. 图的性质图论中有许多重要的性质和定理，这些性质对于研究图的结构和特点具有重要意义。
2.1 连通图在无向图中，如果任意两个节点之间都存在路径相连，则称该图是连通图。
连通图中任意两个节点都是连通的，不存在孤立的节点。
2.2 完全图完全图是一种特殊的图，任意两个节点之间都存在一条边相连。
完全图用表示，其中表示图中节点的个数。
2.3 欧拉图欧拉图是指一条路径经过图中每条边恰好一次的连通图。
欧拉图有一个著名的结论——存在欧拉回路的充要条件是该图所有节点度数为偶数。
2.4 哈密顿图对于一个图，如果存在一条路径经过图中每个节点恰好一次，则称该路径为哈密顿路径。
如果存在一条经过每个节点恰好一次的回路，则称该回路为哈密顿回路。
3. 图论的应用图论在现实生活和学术研究中有着广泛的应用。
以下介绍一些图论在实际问题中的应用场景。
3.1 网络路由在计算机网络中，路由器通过构建网络拓扑图并使用图论算法来选择最佳路径，实现数据的传输和通信。
3.2 交通规划交通规划中的交通流量分析、交通网络设计等问题可以通过图论模型进行建模和求解，帮助优化城市交通系统。
3.3 社交网络分析社交网络中的节点表示个体，边表示个体之间的关系。
通过图论分析社交网络的拓扑结构和节点之间的连接关系，可以帮助推荐系统、信息传播等问题。
图论基础
练习2.1（续）
（1）请举一个图例，使其满足以下条件： 该图中每个节点均为至少一个节点对的关 键节点。请就你的答案给出解释。 （2）请举一个图例，使其满足以下条件： 该图中每个节点均为至少两个节点对的关 键节点。请就你的答案给出解释。
（3）请举一个图例，满足以下条件：该图 中包含至少4个节点，并存在一个节点X， 它是图中所有节点对的关键节点（不包括 含X的节点对）。请就你的答案给出解释。
典型现实网络（图）
• 合作图
– 例如，一群学者之间合著关系（co-authorship） – 节点：人；边：当且仅当两个人有合著的文章
• 交流网
– 例如，一所大学师生之间的电子邮件关系网 – 节点：人；边：两人之间发过一定量的往返邮件
• 信息链接网（有向）
– 万维网上的网页之间的链接关系 – 论文之间的引用关系
（不一样的）图的个数（枚举）
• 给定节点数（n）
– 标号图？ – 无标号图？
æ n ö ç ç 2 ÷ ÷ è ø
2
• Polya定理告诉我们如何计算无标号图的个数
• 如何判断两个图是否“同构”依然是图论的最基 本挑战之一
无 标 号 图 的 个 数
无向图，有向图（directed graph）
（1）请给出一个直径比平均距离大三倍的图例；
（2）请根据你解答问题(1)的方法，说明你可以通过改变某 一特定因数的大小，来控制直径比平均距离大的倍数。（换 句话说，对于任意数字c，你能否构造一个图，使其直径比平 均距离大c倍？）
图论基础
－与网络分析有关的基本概念
图 “节点”，以及哪些节 点之间有“边”
作为一个数学概念的“图”（graph）
G(V , E ), V = {a, b,...}, E Í {( x, y) | x, y Î V, x ¹ y}
第二章图论基础
2.1 图的基本概念
4、割集——割集的方向
对有向图，若给割集定义一个方向，则称为有向割集。 以表示割集的虚线面为界，可把从割集由内向外穿出的方 向定为割集的正方向，也可把从割集由外向内穿入的方向 定为正方向。 与割集方向相同的边，称为正向边；反之，称为负向
边。
2.1 图的基本概念
4、割集——生成树与割集的关系
一个连通图的生成树是连通这个图的全部节点的边数 最少的集合，而割集则是分割—个图的节点为不相连的二 个节点子集的边数最少的集合，因此，一个图的生成树与 割集间存在着一定的联系。 [定理] 连通图G的一个割集S至少包含图G的生成树的 一条树枝。因为单纯余树弦是不能将图G分成两部分的。
2.1 图的基本概念
若偶对(V，E)是有序的，即由点和有向边组 成的图，称为有向图；若偶对(V，E)是无序的， 称为无向图；既含有向边，又含无向边的图称为 混合图。
2.1 图的基本概念
1、图
v1 e1 e2 v3 e3 e5 e6 v5 e4 e7 v4
v2
图G1是(5，7)图。图G1的边所 联接的两节点所构成的偶对是无序 的，它们是 e1=<v1,v2>,e2=<v1,v4>,e3=<v2, v3>,e4=<v3,v4>,e5=<v2,v5>,e6= <v3,v5>,e7=<v4,v5>。
2.1 图的基本概念
1、图
图中节点的个数称为图的阶，用nv表示。每一对不 同节点间均有一条边相连的简单图称为完全图，图 G2就是一个4阶的完全图。m阶完全图的边数等于 v v e m(m-1)/2。 e v
1 9 1
e1 v2 e3 e5 v3
图论基础知识点
基本知识点：一、图的基本定义：平凡图：只有一个顶点无边的图。
非平凡图：其他所有图。
空图：边集合为空的图。
简单图：既没有环也没有重边的图。
复合图：其他所有的图。
同构图：顶点集合之间存在双射（一一对应关系），对应边重数和端点对应相等。
标定图：给图的点和边标上符号。
非标定图：不标号。
非标定图代表一类相互同构的图。
完全图：每两个不同顶点之间都有一条边相连的简单图。
N 个顶点的完全图只有一个，记为n K 。
偶图（二部图）：具有二分类(,)X Y 的图，他的点集可以分解为两个（非空）子集X 和Y ，使得每条边的一个端点在X 中，另一个端点在Y 中。
完全偶图 ：指具有二分类(,)X Y 的简单偶图，其中X 的每个顶点与Y 的每个顶点相连。
若,X m Y n ==，则这样额完全偶图记为：,m n K 。
k —正则图：设(,)G V E =为简单图，如果对所有的结点v V ∈，有()d v k =，称G 为k —正则图。
完全图和完全偶图,n n K 均是正则图。
图划分：若一个n 阶简单图G 各点的度为i d ，则分正整数k 为n 个部分的划分i d ∑称为是图划分。
子图：边集合和点集合均是原图的子集，且待判定图中的边的重数不超过原图中对应的边的重数。
生成子图：点集合相等，边集合为原图子集的图。
导出子图：由顶点集为原图G 真子集的所有点，及两端点均在该集合中的边的全体组成的子图V ‘。
'[]G V 和G v -。
边导出子图：由原图G 边的真子集，该图中边的断点全体为顶点组成的子图E ‘。
'[]G E 和{}G e -。
图的运算：并，交，差，对称差，联图，积图，合成图，极图路与图的联通性：途径：迹：边互不相同的途径。
路：边和点都互不相同的途径。
连通的：两个顶点之间存在路。
连通图：每一对顶点之间都有一条路。
连通分支：将V 划分为一些等价类12,,...k V V V 。
两个顶点u 和v 是连通的当且仅当他们属于同一个子集i V ，称子图()i G V 为连通分支。
图论（基础篇）
根据此图便可找到渡河方法.
(1,1,1,1) (1,1,1,0) (1,1,0,1) (1,0,1,1) (1,0,1,0) (0,0,0,0) (0,0,0,1) (0,0,1,0) (0,1,0,0) (0,1,0,1)
－1，所以该图有一哈密尔顿路，故本题有解。
问题：
7位客人入席,A只会讲英语,B会讲英,汉语,C会 讲英,意大利,俄语,D会讲日,汉语,E会讲德,意 大利语,F会讲法,日,俄语,G会讲法,德语.能否 安排圆桌席位使每位客人与其左右邻不用翻译 便可交谈?
解:首先建立无向图模型:
结点为客人;会共同语言的2结点相邻接.则问 题归结为求此图的一条Hamilton回路.
• 对它们进行数学抽象————图。
C
A
B
D 哥尼斯堡七桥示意图
问题1(哥尼斯堡七桥问题): 能否从任一陆地出发通过每座桥恰好一次而回到出发
点？
C
A
B
D
七桥问题模拟图
欧拉指出： 如果每块陆地所连接的桥都是偶数座，则从任一陆
地出发，必能通过每座桥恰好一次而回到出发地.
例1： 一摆渡人欲将一只狼,一头羊,一篮菜从河西渡过河 到河东.由于船小,一次只能带一物过河，并且狼与羊,羊 与菜不能独处.给出渡河方法.
解 把33盏灯看成树叶，将5插头的接线板看成分 枝点，这样本问题可理解为求一个完全5叉树的分 枝点的个数的问题。 由m叉树定理1知， 有 由此得 ＝8 所以至少需要8个5插头的接线板。
例５：一笔画问题
Euler路径与Euler图
• 经过于(有向或无向)图 G 的每条边一次且仅一次的路径(回 路)称为 Euler 路径(回路). 具有 Euler 回路的连通图称为Euler图.
1.图论基本知识
E (G ) = {e1, e2 , e3 , e4 , e5 , e6 } ， e1 = v1v1，e2 = v2v3，e3 = v1v3，
e e e4 = v1v4 ， 5 = v3v4 ， 6 = v3v4 .
（见图 2）
无向图
有向图
常用术语 1) 边和它的两端点称为互相关联 边和它的两端点称为互相关联 关联. 2)与同一条边关联的两个端点称 与同一条边关联的两个端点称 相邻的顶点 的顶点， 为相邻的顶点，与同一个顶点 点关联的两条边称为相邻的边. 相邻的边 点关联的两条边称为相邻的边 3) 端点重合为一点的边称为环， 端点重合为一点的边称为环
2) 赋权图与子图 定义 若图 G = (V (G ), E (G )) 的每一条边e 都赋以 的每一条边 一个实数w(e)，称w(e)为边 的权，G 连同边上的权 为边e的 一个实数 ， 为边 赋权图. 称为赋权图 称为赋权图
3) 图的矩阵表示 (以下均假设图为简单图 以下均假设图为简单图). 以下均假设图为简单图 邻接矩阵: 邻接矩阵 1) 对无向图 G，其邻接矩阵 A = (aij )ν ×ν ，其中： 其中： 1, 若vi与v j 相邻, aij = 0, 若vi与v j不相邻. v1 v2 v3 v4 v5
u1 u2 u3 u4 0 0 A= 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 u1 0 u2 0 u3 u 0 4
3) 对有向赋权图 G = (V , E ) , 其邻接矩阵 A = (aij )ν ×ν , 其中： 其中： wij , 若(vi , v j ) ∈ E , 且wij为其权， aij = 0， i = j, ∞, 若(vi , v j ) ∉ E.
u1 u2 u3 u4 0 3 7 8 u1 ∞ 0 ∞ ∞ u 2 A= ∞ 6 0 ∞ u3 ∞ ∞ 4 0 u 4
图论基础：图的基本概念和应用
图论基础：图的基本概念和应用图论是数学中的一个分支领域，研究的是图的性质和图上的问题。
图被广泛应用于计算机科学、电子工程、运筹学、社交网络分析等领域。
本文将介绍图论的基本概念和一些常见的应用。
一、图的基本概念1. 顶点和边图是由顶点和边组成的，顶点代表图中的元素，边则代表元素之间的关系。
通常顶点表示为V，边表示为E。
2. 有向图和无向图图可以分为有向图和无向图。
在无向图中，边是没有方向的，顶点之间的关系是双向的；而在有向图中，边是有方向的，顶点之间的关系是单向的。
3. 权重在一些应用中，边可能具有权重。
权重可以表示顶点之间的距离、成本、时间等概念。
有权图是指带有边权重的图，而无权图则是指边没有权重的图。
4. 路径和环路径是指由一系列边连接的顶点序列，路径的长度是指路径上边的数量。
环是一种特殊的路径，它的起点和终点相同。
5. 度数在无向图中，顶点的度数是指与该顶点相关联的边的数量。
在有向图中分为出度和入度，出度是指从该顶点出去的边的数量，入度是指指向该顶点的边的数量。
二、图的应用1. 最短路径问题最短路径问题是图论中的一个经典问题，它研究如何在图中找到两个顶点之间的最短路径。
这个问题有许多实际应用，例如在导航系统中寻找最短驾驶路径，或者在电信网络中找到最短的通信路径。
2. 最小生成树最小生成树是指一个连接图中所有顶点的无环子图，并且具有最小的边权重之和。
这个概念在电力网络规划、通信网络优化等领域有广泛的应用。
3. 路由算法在计算机网络中，路由算法用于确定数据包在网络中的传输路径。
图论提供了许多解决路由问题的算法，如最短路径算法、Bellman-Ford 算法、Dijkstra算法等。
4. 社交网络分析图论在社交网络分析中起着重要的作用。
通过构建社交网络图，可以分析用户之间的关系、信息传播、社区发现等问题。
这些分析对于推荐系统、舆情监测等领域具有重要意义。
5. 电路设计图论在电路设计中也有应用。
通过将电路设计问题转化为图论问题，可以使用图论算法解决电路布线、最佳布局等问题。
图论基础
第一讲图论基础知识自从1736年欧拉（L.Euler）利用图论的思想解决了哥尼斯堡（Konigsberg）七桥问题以来，图论经历了漫长的发展道路。
在很长一段时期内，图论被当成是数学家的智力游戏，解决一些著名的难题。
如迷宫问题、匿门博奕问题、棋盘上马的路线问题、四色问题和哈密顿环球旅行问题等，曾经吸引了众多的学者。
图论中许多的概论和定理的建立都与解决这些问题有关。
1847年克希霍夫（Kirchhoff）第一次把图论用于电路网络的拓扑分析，开创了图论面向实际应用的成功先例。
此后，随着实际的需要和科学技术的发展，在近半个世纪内，图论得到了迅猛的发展，已经成了数学领域中最繁茂的分支学科之一。
尤其在电子计算机问世后，图论的应用范围更加广泛，在解决运筹学、信息论、控制论、网络理论、博奕论、化学、社会科学、经济学、建筑学、心理学、语言学和计算机科学中的问题时，扮演着越来越重要的角色，受到工程界和数学界的特别重视，成为解决许多实际问题的基本工具之一。
图论研究的课题和包含的内容十分广泛，专门著作很多，很难在一本教科书中概括它的全貌。
作为离散数学的一个重要内容，本书主要围绕与计算机科学有关的图论知识介绍一些基本的图论概论、定理和研究内容，同时也介绍一些与实际应用有关的基本图类和算法，为应用、研究和进一步学习提供基础。
第1章无向图和有向图学习要求：仔细领会和掌握图论的基本概论、术语和符号，对于图论研究的一些最基本的课题，如道路问题、连通性问题和着色的问题等，应掌握主要的定理内容和证明方法以及基本的构造方法，以便为下一章研究提供理论工具。
学习本章要用到集合和线性代数矩阵运算的知识，特别是集合数和矩阵秩的概念。
§4-1-1 图的基本概念图是用于描述现实世界中离散客体之间关系的有用工具。
在集合论中采用过以图形来表示二元关系的办法，在那里，用点来代表客体，用一条由点a指向点b的有向线段来代表客体a和b之间的二元关系aRb，这样，集合上的二元关系就可以用点的集合V和有向线的集合E构成的二元组（V，E）来描述。
数学中的图论基础
数学中的图论基础图论是数学中的一个重要分支，研究的对象是图。
图是由若干个顶点和连接这些顶点的边组成的数学结构。
图论作为一门独立的学科，具有广泛的应用领域，涉及计算机科学、运筹学、电子工程、通信网络等多个领域。
本文将介绍图论的基础知识，包括图的定义、常见术语、图的分类以及常用算法等内容。
**1. 图的定义**在图论中，图是由顶点集合和边集合组成的数学结构。
一个图$G$可以表示为$G=(V, E)$，其中$V$是顶点集合，$E$是边集合。
顶点集合$V$可以是任意非空集合，而边集合$E$则是顶点之间的连接关系。
边可以是有向的，也可以是无向的，分别对应有向图和无向图。
**2. 常见术语**- 顶点：图中的一个节点，用来表示实体或对象。
- 边：连接顶点的线段，用来表示顶点之间的关系。
- 有向图：图中的边有方向，即从一个顶点到另一个顶点。
- 无向图：图中的边没有方向，即边是双向的。
- 路径：顶点的一个序列，使得相邻顶点之间有边相连。
- 环：起点和终点相同的路径。
- 连通图：图中任意两个顶点之间都存在路径。
- 子图：一个图的顶点和边的非空集合，且该集合包含于原图的顶点和边的集合中。
根据图的性质和特点，图可以分为多种不同类型，常见的图包括： - 无向图：边没有方向的图。
- 有向图：边有方向的图。
- 完全图：任意两个顶点之间都有边相连的图。
- 二分图：顶点可以分为两个不相交的集合，使得同一集合内的顶点没有边相连。
- 树：无环连通图。
- 森林：由若干棵树组成的图。
- 连通图：任意两个顶点之间都存在路径的图。
- 强连通图：有向图中任意两个顶点之间都存在双向路径的图。
**4. 常用算法**在图论中，有许多经典的算法被广泛应用于解决各种问题，其中最常见的算法包括：- 深度优先搜索（DFS）：从起始顶点开始，沿着一条路径一直向下搜索，直到不能再继续为止，然后回溯到上一个顶点继续搜索。
- 广度优先搜索（BFS）：从起始顶点开始，先访问其所有相邻顶点，然后再依次访问这些相邻顶点的相邻顶点，以此类推。
图论入门之基本知识篇
一、图的基本概念
1、图的表示
G G(V , E ), 其中V V (G )为顶点集， E (G ) E 为边集， e E , e联结V中两个顶点。
有向图：边均有方向无向 图：边均 无方 向
2、V中顶点 与v间有一条边，则称 v相邻， u u与 u, v , e相关联，与顶点关联的边数称为的度， u u 记为d ( u).
5、定理2 下列命题是等价的
(1)G是树
(2)G中任两顶点之间有且仅 有一条路相通
(3)G中无圈，且 (G) V (G) 1 E
(4)G连通，且 (G) V (G) 1 E
(5)G连通，且 中任意去掉一条边后不 G 连通
(6)G无圈，而 加上一条不在 (G )中的边后 G E 恰有一个圈
在 图G中 ，V (G ) X Y , X Y , X Y 0 且E (G )中 每 一 边 的 两 个 顶 点 是 一 个 在 中 ， 都 X 一个在 中。 Y
3、定理1 一个图是二部图 它不包含奇数条边的圈 4、森林，树
பைடு நூலகம்
若 一 个 图 是 无 圈 的 ，称 为 森 林 ； 若 它 又 是通 的 ， 则 连 则称为树
n阶方阵，称为 的邻接矩阵：(G) (aij ) G A
1, v i 与v j 相 邻 aij 0, v i 与v j 不 相 邻
注意： 邻接矩阵每一行中 的个数为相应顶点的度 1 数。
三、一些特殊图
1、完全图
图中任两个顶点均有边 相邻。常记为 n , n V K
2、二部图（偶图）
n m的 关 联 矩 阵 (G ) : 每 一 行 对 应 中 的 一 个 顶 点 ， M V 每 一 列 对 应 中 一 条 边 ， 当i 与ei 相 关 联 时 ， (G ) E v M 中i行j列 元 素 为， 否 则 为。 1 0
4.1 图论基础pdf
件 学 课 程 》 工 础 息 基 信 论 与 理 信 网 通 智 信 学 任 通 大 《 电 邮 庆 重
19
院
件 学 课 程 》 工 础 息 基 信 E图去任何一边----M图 论 与 M图奇度端间加一边----E图 理 信 网 通 智 信 学 任 通 大 《 电 邮 庆 重
20
M图:只有二个奇度数端的图 •不一定是联结的 •不可能一径走完 •充要条件:存在含全边的开链
相邻二边有公共端的边的串序排列有边序列中边可重复出现重边端可重复出现重端?链中每边只出现一次?一般链中只有二个端度数为奇数起止不?径是无环的链每边每端只能出现一次?除起止端外其他各端度数均为2?即网中的路径路由15联结图
第四章 通信网结构
1
§1 图论基础
一、 基本定义
件 学 课 程 工 设端集V={v ,v ,……v } 》 础 息 边集E={e ,e ,…….e } 信 基 论E 与 V ×V ⎯ ⎯→ 理 信 网 通 智 信 =(v学) 任 e ,v 通 大 《 电 邮 图G是V，E及R的集合 庆 G={V,E}=V∪E=(V , E , R) 重
院
3
1
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2
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4
7
件 学 程 v4》课 工v3 础 息 基 信 交：A∩B={e } 论 与1 v 理 ——A，B公共元 信 v3 网 通 智 素 信 学 任 通 大 《 =φ，则 电 若A∩B 邮 A∪B= A+B称直和 庆 重
1
8
并 ： A∪B={e1， e2， e3} ——A，B 所有元 素组成
图论入门篇
实现细节
1. if (d[v] == -1) dfs(v);
//树边, 递归遍历
2. else if (f[v] == -1) show(“B”); //后向边
3. else if (d[v] > d[u]) show(“F”); // 前向边
3. begin read(n); for i:=1 to n do begin new(head[i]); head[i]^.key:=i; head[i]^.next:=nil; end; read(m); s:=0; for i:=1 to m do begin read(edgex[i],edgey[i]); new(p); p^.key:=edgey[i]; p^.next:=head[edgex[i]]; head[edgex[i]]:=p; end; fillchar(f,sizeof(f),true); fillchar(instack,sizeof(instack),false); top:=0;time:=0; for i:=1 to n do if f[i] then tarjan(i); fillchar(s1,sizeof(s1),0);
非连通图有多个连通分量(connected component, cc), 每个连通分量是一个 极大连通子图(maximal connected subgraph)
完全图和补图
完全图:N个顶点的图，有N(N-1)/2个节点 对于(u,v), 若邻接则改为非邻接, 若非邻接则改为邻接, 得到的图为原图的补
int j; DFN[i]=LOW[i]=++Dindex; instack[i]=true; Stap[++Stop]=i; for (edge *e=V[i];e;e=e->next) {
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A
C D
B
赋权图 赋权图G是一个三元组（V，E，g），其中V是顶点集， E是边集，f是定义在V上的函数，g是定义在E上的函数， f(vi)和g(ej)分别称为顶点vi和边ej上的权。 A 5 D 3 3 B 7
C
完全图 如果图G是一个简单图，并且每两个顶点之间都有一条 边，我们就称G为完全图．通常将具有n个顶点的完全 图记为Kn
图 论
图论的基本概念
图论是一新的数学分支，也是一门 很有实用价值的学科，它在自然科学、社 会科学等各领域均有很多应用。近年来它 受计算机科学蓬勃发展的刺激，发展极其 迅速。应用范围不断拓广，已渗透到诸如 语言学、逻辑学、物理学、化学、电讯工 程、计算机科学以及数学的其它分支中。 特别在计算机科学中。如形式语言、数据 结构、分布式系统、操作系统等方面均扮 演着重要的角色。
习题讲解
第4题： 下述对赋权图的正确描述是： 赋权图指的是图的边带权值 赋权图指的是图的顶点带权值 图的存储一般来说用邻接矩阵，赋权图则不能 没有权值的图可以看作权值都为1的赋权图
习题讲解 第5题： 下面两个图同构吗？ v1 v2 v7 v6 v1 v3
v3
v6
v4
v5 v2
v4
v5
v7
习题讲解 第6题： 旅行者能否经过每一座桥恰好一次，既无遗漏 也无重复？
图的表示方法和基本操作 在程序中,我们可以用一个二维数组来表示一个图及其各结点的 邻接关系(邻接矩阵).此二维数组(矩阵)各元素定义为: 例 1 A(I,J)= 0 P I,J A(I,J)= 0 当I,J两个结点不相邻或I=J时. Vj有边,则Vj Vi 当I,J两个结点不相邻或I=J时. 当I,J两个结点相邻且距离为P I,J时; 对于带权图,邻接矩阵则要表示出各边的长度: 例 当I,J两个结点相邻时;
翻动12次，使12种可能的组合各出现一次，从而每只杯 子恰好翻动11次，变为杯口朝下．
习题讲解 第10题： 13只杯子，杯口全部朝上，如何将它们全部 翻过来，使得杯口全部朝下？但规定每一次翻动时，必 须12只杯子一起翻动． 需翻动12次 需翻动13次 需翻动15次 不能实现 不可能，因为若干次翻动的杯子的总个数为偶数。而如果 可能翻成杯口朝下的话，每只杯子均翻动奇数次，因而13 只杯子翻动的总次数也是奇数。
如果图G的两个顶点vi与vj之间有边相连，就说点vi 与vj是相邻的，否则就说点vi与vj是不相邻的．如果 顶点v是边e的一个端点，就说点v与边e是相邻的， e是从v引出的边．从一个顶点v引出的边的条数称 为v的次数，记作degGv，在不致混淆的时候，也可 以写成degv．
习题讲解 第1题： 完全图Kn有多少条边？
在图的定义中，如果删去“边必须是不同的”的限制，则导致 的结果称为多重图。 A D B 连接同一对顶点的两条或者更多条边(但必须有限)被称为多重 边或平行边。 C
如果再在多重图中则去“边必须连接不同顶点”的限制， 即允许有自环的存在，则由此导出的结果称为一般图。
A C D B
有向图和无向图 在图(或简单图)的定义中，如果我们把“无序”二字改 成“有序”二字，便得到所谓有向图的概念。更确切地 讲，所谓有向图D是一个有序对(V(D)，A(D))，其中V(D) 是一个非空有限集，V(D)中的元素称为顶点，A(D)是由 V(D)中的元素组成的一些有序对构成，并且要求：①构 成有序对的两个元素不同，②任何两个有序对不同。显 然A(D)是一个有限集。A(D)中的元素称为弧。
编程找出如图的一笔画路线 3
4 6
2
5
1
3
4 6
2
5
1
构造邻接矩阵 3 数组links
4
2
6
0 1 0 0 1 1
1 0 1 1 0 1
0 1 0 1 0 0
0 1 1 0 1 1
1 0 0 1 0 1
1 1 0 1 1 0
5
1
计算每个点的度数存dgr[I]中,总度数存sum中,奇点个数存 odt中，若有奇点，则最后一个奇点位置存start中。 sum:=0;odt:=0;start:=1,dgr[i]:=0;
var dgr:array[1..n] of integer; i,j,r,sum,odt,start,nowd:integer;
procedure find; begin sum:=0;odt:=0;start:=0;
for i:=1 to n do
begin dgr[i]:=0; for j:=1 to n do dgr[i]:=dgr[i]+links[i,j]; sum:=sum+dgr[i]; if odd(dgr[i]) then begin odt:=odt+1;start:=i end; end; end;
图
• 图是由一些点和这些点之间的连线组成的。 • 1.结点和边:我们把图中的点称为结点,把两结 点之间的连线称作边. • 2.相邻:若两个结点之间由一条边连接,则称这 两个结点是相邻的. • 3.无向图和有向图:如果不考虑边的方向,这样 的图叫作无向图;反之,若边是有方向的,则这样 的图称为有向图,有向图要用箭头标明边的方 向.(树是一种有向图的特例.)
BEGIN find; if odt>2 then begin writeln('no sulution.');exit end; nowd:=start; write(start); repeat r:=0; repeat r:=r+1; until ((links[nowd,r]>0) and (dgr[r]>1))or((dgr[r]=1) and (sum=2)); links[nowd,r]:=0;links[r,nowd]:=0;sum:=sum-2; dec(dgr[nowd]);dec(dgr[r]); nowd:=r; write('-->',r); until sum=0; writeln; END.
显然,无向图的邻接矩阵是对称的,即若Vi 必有边.
例：A，B，C，D，E，F这六个城市，它们之间的交通 情况如图所示，其中箭头方向表示有单向通路。现在要 求从键盘输入一个出发点和一个到达点，判断有无通路， 并打印通路所经各点。
F
A
E C B D
数组A：
0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
关于七桥问题的回答是否定的。直观上不难发现， 为了要回到原来的地方。要求与每一个顶点相关联的边 的数目，均应为偶数，从而可得从一条边进入，而从另 一条边出去，一进一出才行。在此基础上。Euler找到了 一般的图存在这样一条回路的充分必要条件。
定义 对于连通的无向图G，若存在一简单回路，它通过 G的所有边，则这回路称为G的(Euler)回路。 定理 若连通无向图G的所有顶点的度都是偶数，则存在 一条图G的Euler回路。
主程序：
输入起点s,终点e 给数组a赋初值,并把数组b初始化
累加路径条数的计数器z ←0 表示当前是第几步的step ←1; b[step] ←s 调用递归过程try(s) y Z=0 n
输出无通路
过程：try(i)
K←0
k ←k+1 y step ←step+1; y (A[I,k]=1)and(k<>s) n b[step] ←k k=e n
什么是图？ 有序对G＝(V(G)，E(G))称为一个图，其中V(G) 是一个非空有限集。V(G)中的元素称为G的顶点， E(G)是V(G)中全体不同元素构成的不同无序对整合 的一个子集，E(G)中的元素称作G的边。我们称 V(G)是图G的顶点集，E(G)为G的边集；在不致混 淆的情况下，有时分别用V和E表示G的顶点集和边 集。G的顶点数|V(G)|有时也称作G的阶，通常用p 来表示；G的边的数目|E(G)|一般用q表示。为方便， 我们通常用uv来表示边{u,v}(其中u，v是V(G)的元 素)。如果e＝uv E(G)，则说e关联u和v，称u,v分 别是e的端点，并且称这两个顶点是相邻的。
将顶点涂上黑色或白色，使得 相邻顶点颜色互不相同．如果 所说的链存在．那么在链上的 顶点必然黑白相间，因此黑的 顶点与白的顶点的个数相同或 相差1，但图中黑点个数为7， 白点个数为9，相差为2，因此 所说的链不可能存在。
习题讲解 第9题： 12只杯子，杯口全部朝上，如何将它们全部翻 过来，使得杯口全部朝下？但规定每一次翻动时，必须 11只杯子一起翻动． 需翻动11次 需翻动12次 需翻动13次 不能实现
1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 1 0 0
0 1 1 0 0 0
数组B：用来存放找到的这条通路的各个点。
方法：从输入的起点开始试探，每一步都有5种方案， 如果对应数组A[I，J]＝1，表示有路可走，否则试下 一个结点，若走到死胡同（所有结点都试过了均无路 可走），则回溯上一步，换一个方案继续试走。
For i:=1 to n do
For j:=1 to n do
dgr[i]:=dgr[i]+links[I,j]
sum:=sum+dgr[i]
If odd(dgr[i]) then odr:=odt+1;start:=i
r:=0
r:=r+1
links[nowd,r]>0 and dgr[r]>1 OR dgr[r]=1 and sum=2 links[nowd,r]:=0;links[r,nowd]:=0 dec(dgr[nowd]);dec(dgr[r])
sum:=sum-2;write(‘’,r)
nowd:=r
Until sum=0
program as;
const n=6;
links:array[1..n,1..n] of integer= ((0,1,0,0,1,1),(1,0,1,1,0,1),(0,1,0,1,0,0),