均值定理练习
均值定理练习题
均值定理练习题一、选择题1. 均值定理，又称为算术平均数定理，是关于一个数列的哪一项与该数列的算术平均数的关系？A. 第一项B. 中项C. 最后一项D. 任意一项2. 对于一个包含n个数的数列，若数列中存在一个数a，使得a等于数列的算术平均数，那么a是数列的：A. 唯一中项B. 唯一最大项C. 唯一最小项D. 任意一项3. 如果一个数列的中项是a，数列的算术平均数是b，那么a和b的关系是：A. a > bB. a < bC. a = bD. 无法确定4. 一个数列的算术平均数是50，数列中包含10个数，那么数列的总和是：A. 450B. 500C. 550D. 6005. 如果一个数列的中项是25，且数列的算术平均数也是25，那么这个数列：A. 包含2个数B. 包含3个数C. 包含5个数D. 包含10个数二、填空题6. 若数列{a_n}的第k项是a_k，且a_k是数列的中项，那么数列的算术平均数A可以表示为A = _______。
7. 对于一个包含奇数个数的数列，其中项的值等于数列的_______。
8. 如果一个数列的算术平均数是40，且数列中包含15个数，那么数列的第8项（中项）的值是_______。
9. 一个数列中，如果所有数都相等，那么这个数列的中项和算术平均数的值是_______。
10. 若数列{a_n}的算术平均数是30，且数列中包含20个数，那么数列的总和是_______。
三、计算题11. 给定数列：2, 4, 6, 8, 10，求该数列的算术平均数和中项。
12. 一个数列的算术平均数是35，且数列中包含8个数，如果数列的第4项是37，求数列的第5项。
13. 已知数列：-3, 0, 3, 6, 9，求该数列的算术平均数，并判断该数列的中项是否等于算术平均数。
14. 一个数列的中项是20，且数列的算术平均数也是20，如果数列包含6个数，求数列的所有项。
15. 给定数列：1, 3, 5, 7, 9, 11，求该数列的算术平均数，并找出数列的中项。
高二数学均值定理试题答案及解析
高二数学均值定理试题答案及解析1.下列不等式正确的是A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴A正确；∵，∴B错误；【考点】基本不等式．2.若实数，满足，则的最小值是A．18B．6C．D．【答案】B【解析】因为，所以当且仅当时“＝”成立.故选B.【考点】1、基本不等式2、指数式的运算.3.已知F1、F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左右焦点，P是椭圆上一点，∠F1PF2＝90°，求椭圆离心率的最小值为【答案】【解析】因为∠F1PF2＝90°，所以,因为，且，可解的。
因为，整理的，即，所以【考点】椭圆的概念和离心率问题，基本不等式4.已知正数满足，则的最小值为 .【答案】【解析】因为，所以，当且仅当，即时，取得最小值，最小值为．【考点】本题主要考查了对于基本不等式的掌握．5.若正数满足，则的最小值是__________.【答案】5【解析】所以3x+4y=(3x+4y)=【考点】1.基本不等式的应用.2.构造等式一边是1.6.设的最大值为（）A．B．C．D．1【答案】D【解析】本题主要考查的是均值不等式。
由条件可知，所以。
又，所以，。
应选D。
7.设、、都是正实数，则，，这三个数（）A．都不小于2B．都不大于2C．至少有一个大于2D．至少有一个不小于2【答案】D【解析】略8.设为正实数，求证：【答案】证明：因为为正实数,由平均不等式可得,即．所以而所以【解析】略9.设x,y∈R，a＞1，b＞1，若ax="by=3," a+b=2，则的最大值A．2B．C．1D．【答案】C【解析】略10.已知且,则的最小值为【答案】9【解析】略11.（本小题满分12分）已知、，且。
求证：。
【答案】略【解析】解法一：欲证原不等式成立，只要证：，即证：，由知………………………（4分）只要证：只要证：即证：……………………………………………………（8分）即证：即证：上式显然成立，故原不等式成立。
均值定理专题归纳与训练
均值不等式的应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222ba ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） ; 若0x≠，则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 (1)y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 技巧一：凑项 例2：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值.技巧二：凑系数 例3. 当时，求(82)y x x =-的最大值.变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值.技巧三： 分离 例4. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域. 技巧四：换元 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域. 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()af x x x=+的单调性。
均值定理最值练习题
均值定理最值练习题均值定理最值练习题均值定理是微积分中的一个重要定理，它在数学分析和物理学中都有广泛的应用。
它是说，如果一个函数在某个区间上连续，并且在该区间上的导数存在，那么在该区间上，函数的平均值等于函数在该区间的两个端点处的函数值之差与该区间的长度的乘积。
在这篇文章中，我们将通过一些具体的练习题来加深对均值定理的理解和应用。
练习题一：设函数f(x) = x^2 - 2x，在区间[0,2]上应用均值定理，求函数在该区间上的最大值和最小值。
解析：首先，我们需要计算函数在区间[0,2]上的平均值。
根据均值定理，平均值等于函数在区间两个端点处的函数值之差与该区间的长度的乘积。
所以，平均值为f(2) - f(0) / (2-0) = 2 - 0 / 2 = 1。
接下来，我们需要找到函数在区间[0,2]上的极值点。
为了找到极值点，我们需要求函数的导数。
函数f(x)的导数为f'(x) = 2x - 2。
令f'(x) = 0，我们可以解得x = 1。
这意味着函数在x = 1处可能有极值点。
接下来，我们需要判断x = 1处的极值点是最大值还是最小值。
为了做到这一点，我们可以求函数的二阶导数。
函数f'(x)的二阶导数为f''(x) = 2。
由于f''(x) = 2大于0，这意味着函数在x = 1处有一个局部最小值。
综上所述，函数f(x)在区间[0,2]上的最大值和最小值分别为f(0) = 0和f(2) = 0。
练习题二：设函数g(x) = sin(x)，在区间[0,π]上应用均值定理，求函数在该区间上的最大值和最小值。
解析：首先，我们需要计算函数在区间[0,π]上的平均值。
根据均值定理，平均值等于函数在区间两个端点处的函数值之差与该区间的长度的乘积。
所以，平均值为g(π) - g(0) / (π-0) = 0 - 0 / π = 0。
接下来，我们需要找到函数在区间[0,π]上的极值点。
高三数学均值定理的应用试题答案及解析
高三数学均值定理的应用试题答案及解析1.当x＞1时，不等式x+≥a恒成立，则实数a的最大值为_____________.【答案】3【解析】不等式x+≥a恒成立，即，而，所以实数a的最大值为3.【考点】不等式恒成立，基本不等式.2.若向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)相互垂直，则9x＋3y的最小值为()A．12B．2C．3D．6【答案】D【解析】依题意得4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2,9x＋3y＝32x＋3y≥2＝2＝2＝6，当且仅当2x＝y＝1时取等号，因此9x＋3y的最小值是6，选D.3.若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________．(写出所有正确命题的编号)①b≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤＋≥2.【答案】①③⑤【解析】对于命题①，由2＝a＋b≥2，得ab≤1，命题①正确；对于命题②，当a＝b＝1时，不成立，∴命题②错误；对于命题③，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝4－2ab≥2，命题③正确；对于命题④，当a＝b＝1时，不成立，∴命题④错误；对于命题⑤，＋＝＝≥2，命题⑤正确．∴正确的结论为①③⑤.4.已知a>0，b>0，若不等式－－≤0恒成立，则m的最大值为()A．4B．16C．9D．3【答案】B【解析】因为a>0，b>0，所以由－－≤0恒成立得m≤(＋)(3a＋b)＝10＋＋恒成立．因为＋≥2＝6，当且仅当a＝b时等号成立，所以10＋＋≥16，所以m≤16，即m的最大值为16，故选B.5.规定记号“⊗”表示一种运算，即a⊗b＝＋a＋b(a，b为正实数)．若1⊗k＝3，则k的值为________，此时函数f(x)＝的最小值为________．【答案】13【解析】1⊗k＝＋1＋k＝3，即k＋－2＝0，∴＝1或＝－2(舍)，∴k＝1.f(x)＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3，当且仅当＝即x＝1时等号成立．6.已知，则函数的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于，则，所以，当且仅当，由于，即当时，上式取等号，因此函数的最小值为，故选C.【考点】基本不等式7.已知正实数x，y满足，则x+y的最小值为【答案】【解析】,由得.所以当且仅当取等号.二元关系不明确时，可利用消元，揭示本质，注意消元时隐含范围的挖掘.【考点】基本不等式.8.已知关于x的不等式的解集是，且a>b,则的最小值是( )A．B．2C．D．1【答案】A【解析】∵关于x的不等式的解集是，∴，∴，∴，∴，∴，∵且，∴，，∴.【考点】1.基本不等式；2.二次函数的性质.9.若正数，满足，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，正数，满足，所以，，，当且仅当，即时，取等号，故选C.【考点】基本不等式的应用10.已知正数满足则的最小值为（）A．B．4C．D．【答案】B【解析】由均值不等式，，所以，，故，选B。
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均值不等式的应用一．均值不等式1. （ 1）若 a,bR ，则 a 2 b 2 2ab (2)若 a, bR ，则 aba 2b 2 （当且仅当 a b 时取“ =”）22. (1) 若a, bR* ，则ab ab (2)若a,bR * ，则 a b 2 ab （当且仅当 a b 时取“ =”）2*a b (3) 若 a,b R ，则 ab22( 当且仅当 ab 时取“ =”）3. 若x，则x 12 ( 当且仅当 x 1时取“ =”） ; 若x0 ，则 x12( 当且仅当 x 1 时取“ =”） ;xx若 x 012即 x1 1 b 时取“ =”），则 x2或 x-2( 当且仅当axxx4. 若 ab0 ，则ab2 ( 当且仅当 ab 时取“ =”）若 ab 0 ，则ab 2即 ab 2或ab -2(当b abab a b a22且仅当 ab 时取“ =”） 5.若 a,b2ab （当且仅当 a b 时取“ =”）R ，则 (a b)22注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大” ．（ 2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3) 均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例 1：求下列函数的值域 (1)2 11y ＝3x＋ x 2（2）y ＝x ＋x2技巧一：凑项例 2：已知 x5 ，求函数 y 4x 21的最大值 .44 x5技巧二：凑系数 例 3. 当 时，求 y x(8 2x) 的最大值 .变式：设 0x3，求函数 y4x(3 2x) 的最大值 .2技巧三： 分离 例 4. 求 yx 2 7x 10 ( x 1) 的值域 .x 1技巧四：换元 求 yx 2 7 x 10 ( x1) 的值域 .x 1技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f ( x) xa的单调性。
高三数学均值定理试题答案及解析
高三数学均值定理试题答案及解析1.下列命题正确的是( )A．若,则B．若则C．若,则D．若,则【答案】D【解析】应用基本不等式所具备的条件是：一正、二定、三相等.由，当取等号时.所以不成立，所以选项A不正确. 若则.所以B选项不正确. ，但是可以小于零，所以C选项不正确.由，所以都大于零，所以D正确.故选D.【考点】1.基本不等式的应用.2.三角函数的知识.3.对数的知识.4.不等式的性质.2.若x>－3，则x＋的最小值为________．【答案】2－3【解析】∵x＋3>0，∴x＋＝(x＋3)＋－3≥2－3＝2－33.已知直线（）经过圆的圆心，则的最小值是( )A．9B．8C．4D．2【答案】A【解析】由圆的一般方程,知,所以,圆心的坐标为又因为直线（）经过该圆心.所以,即所以,因为,所以,所以,当且仅当,即时,取“=”号.故选A【考点】1、基本不等式；2、圆的方程.4.设实数x,y满足条件：；；，目标函数的最大值为12，则的最小值是【答案】【解析】约束条件的可行域如图所示，目标函数z=ax+by(a>0,b>0)过点（4,6）时为最大值12,所以4a+6b=12，得：2a+3b=6，a=，（）（2a+3b）,4+9+，（当时，等号成立），所以，即的最小值是.【考点】1.线性规划；2.基本不等式的性质.5.设常数，若对一切正实数成立，则的取值范围为_________.【答案】.【解析】当，时，由基本不等式得，当且仅当，即当时，函数取最小值，即.【考点】基本不等式6.已知正数满足，则的最小值为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，，又都是正数，解得.【考点】基本不等式及其应用7.已知正数满足，则的最小值为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，，又都是正数，解得.【考点】基本不等式及其应用8.函数的最大值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据均值不等式：，，则，故选B.【考点】1.均值不等式.9.设，，则当______时，取得最小值.【答案】.【解析】且，，当时，则有，，另一方面，，，当且仅当，即且时，即当时，取得最小值，此时；当，则有，，另一方面，当且仅当时，由于，，即当时，由于，解得，，上式取等号，所以，即取得最小值，由于，故当时，取得最小值.【考点】基本不等式10.函数的最小值是．【答案】【解析】，当且仅当，即时等号成立.【考点】基本不等式11.(本题满分10分)选修4 - 5 ：不等式选讲设函数，.(I)求证；(II)若成立，求x的取值范围.【答案】(I)；(II)。
基本不等式均值定理练习题(可编辑修改word版)
b 3 3 3 3 3 基本不等式（均值定理）练习题 一、选择题 1. 若 a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的 a,b 恒成立的个数为( ) ①ab≤1;② + ≤ 2; ③a 2+b 2≥2;④a 3+b 3≥3;⑤ 1 + 1 ≥ 2. a b(A)1 (B)2(C)3 (D)4 2. 已知m = a + 1 （a > 2）, n = 2b 2 a - 2 b ≠ 0）, 则 m 、n 之间的大小关系是( )(A)m>n(B)m<n (C)m=n (D)不确定 3. 设m = 1 log x, n = log 1+ x , p = log 2x , 其中 0＜a ＜1,x ＞0 且 x≠1,则下列结论正确的是( ) 2 a a 2 a 1+ x （A ）m ＜n ＜p (B)m ＜p ＜n (C)n ＜m ＜p (D)n ＜p ＜m 4. 已知不等式（x + y)( 1 + a ) ≥ 9 对任意正实数 x,y 恒成立，则正实数 a 的最小值为( ) x y (A)8 (B)6 (C)4(D)2 5. 设 a>0,b>0,若 是 3a 与 3b 的等比中项，则 1 + 1 的最小值为()a b (A)8(B)4 (C)1 (D)146. 若 a,b,c>0 且 a(a+b+c)+bc= 4 - 2 3，则 2a+b+c 的最小值为() (A ) -1(B ) +1(C ) 2 + 2 (D ) 2 - 2 7. 设 x>y>z,n∈N *,且1 + 1 ≥ n 恒成立，则 n 的最大值是( ) x - y y - z x - z(A)2(B)3 (C)4 (D)5 二、填空题1. 在 4×+9×=60 的两个中，分别填入两自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上 和. 2. 若正数 a,b 满足 ab=a+b+3,则 ab 的取值范围是 .3. 若对任意 x>0, a ≥ x x 2 + 3x +1恒成立，则 a 的取值范围是 . 4. 函数 y=log a (x+3)-1(a ＞0 且 a≠1)的图象恒过定点 A ，若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上，其中 mn ＞0，则 1 + 2 的最小值为.m n 5. 若实数满足a + b = 2 ，则3a + 3b 的最小值是 .a2 三、解答题 1. 若log 4 x + log 4 y = 2 ，求 1 + 1 的最小值.并求 x,y 的值 x y2. 若 x , y ∈ R + 且2x + y = 1，求 1 + 1 的最小值x yy 2 3. 已知 x ，y 为正实数，且 x 2＋＝1，求 x 2 1＋y 2的最大值.4. 已知 a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求 a ＋b 的最小值。
高二数学均值定理的应用试题答案及解析
高二数学均值定理的应用试题答案及解析1.设x>0，y>0，z>0，a=x+，b=y+，c=z+，则a，b，c三数A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于2【答案】C【解析】由于三者的地位彼此相同，三者的地位彼此也相同.因此设,则，即至少有一个不小于2.【考点】基本不等式.2.已知a>0,b>0,a+b=2,则的最小值是（）A．B．4C．D．5【答案】Ｃ【解析】因为a>0,b>0,a+b=2，所以，当且仅当时＂＝＂成立，故选Ｃ．【考点】基本不等式．3.设，若，则的最小值为____________.【答案】9.【解析】∵①，同理②，③，①+②+③，可得，当且仅当时，“=”成立，故的最小值为9.【考点】基本不等式求最值.4.的最大值和最小值的乘积为；【答案】【解析】当时，，所以，当时，的最大值和最小值的乘积为.【考点】基本不等式求最值5.下列不等式一定成立的是( )A．（）B．（）C．（）D．（）【答案】D【解析】A：因为，错；B：当sinx<0时显然不成立。
错；C：当x<0时，不等式不成立，错；D:因为.【考点】基本不等式的应用。
点评：.利用基本不等式求最值，要注意其适用条件，一正二定三取等，三者缺一不可。
6.已知为正实数，且，若对于满足条件的恒成立，则的取值范围为A．B．C．D．【答案】A【解析】因为为正实数，且，那么可知，所以，因此可知c小于a+b的最小值即可，故有c的取值范围是，选A.【考点】本试题主要考查了均值不等式的求解最值的运用。
点评：解决该试题的关键是能将c分离开来，转换为c恒成立即可，只要求解c小于等于a+b的最小值即可。
7.下列命题正确的是（）A．B．对任意的实数,都有恒成立.C．的最大值为2D．的最小值为2【答案】D【解析】因为A、中，所以可知，对于无理数的比较可以采用有理化或者平方的思想得到。
故错误。
高二数学均值定理的应用试题
高二数学均值定理的应用试题1.设，且恒成立，则的最大值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，即，∴要使不等式恒成立，的最大值是4.【考点】1.基本不等式；2.恒成立问题.2.设，若，则的最小值为____________.【答案】9.【解析】∵①，同理②，③，①+②+③，可得，当且仅当时，“=”成立，故的最小值为9.【考点】基本不等式求最值.3.在下列函数中，当x取正数时，最小值为2的是()A．y＝－x－B．y＝lgx＋C．y＝＋D．y＝x2－2x＋3【答案】D【解析】选项A中函数有最大值为，无最小值；选项B中，当时，，故函数无最小值；选项C中，当取正数时，有，此时函数无最小值；选项D中，函数可化为，则当时，函数有最小值为2.故正确答案为D.【考点】1.基本不等式；2.函数的最值.4.函数的最小值是( )A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】利用基本不等式，但要注意基本不等式的要求，“一正二定三相等”，∵，∴，当且仅当，即时取等号，故选C.【考点】基本不等式.5.若，则的最小值为____________.【答案】6【解析】因为，，所以，=，即的最小值为6.【考点】本题主要考查均值定理的应用。
点评：简单题，通过改造函数的表达式，应用均值定理。
应用均值定理时，“一正，二定，三相等”，缺一不可。
6. (1)已知是正常数，，，求证：，指出等号成立的条件；(2)利用(1)的结论求函数（）的最小值，指出取最小值时的值．【答案】(1) 见解析(2) 时上式取最小值，即【解析】本试题主要是考查了均值不等式和函数的最值的运用。
给你一种解题工具，让你应用它来解答某一问题，这是近年考试命题的一种新颖的题型之一，很值得考生深刻反思和领悟当中的思维本质。
（1）应用均值不等式，得，变形得到。
（2）由（1），那么可知当上式得到最小值。
解：（1）应用均值不等式，得，故．…………………5分当且仅当，即时上式取等号．……………6分（用比较法证明的自己给标准给分）(2)由（1）．当且仅当，即时上式取最小值，即．……12分7.若，且满足，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】,当且仅当时，取得最小值，最小值为7.8.函数的最小值是（）A． 2B．C．D．【答案】A【解析】解：因为，故选A9.(本题满分12分)已知都是正数，且求的最小值.【答案】的最小值为【解析】利用条件中1的代换，把中的分母1代换出来，解：∴的最小值为…………………………………………………12分10.若a,b为实数，且a+b=2,则3+3的最小值为（）A．18B．6C．2D．2【答案】B【解析】a+b="2," b="2-a" 3+3=3+32-a》611.若正实数满足的最小值是_________【答案】【解析】略12.某工厂要建造一个无盖长方体水池，底面一边长固定为8，最大装水量为72，池底和池壁的造价分别为元、元，怎样设计水池底的另一边长和水池的高，才能使水池的总造价最低？最低造价是多少？【答案】设池底一边长为，水池的高为，池底、池壁造价分别为，则总造价为——————2分由最大装水量知，————————6分当且仅当即时，总造价最低，答：将水池底的矩形另一边和长方体高都设计为时，总造价最低，最低造价为元。
均值定理例题
均值定理例题
均值定理是指对于任何正实数a、b，都有2a+b≥ab，当且仅当a=b时取等号。
以下是5个均值定理的例题及其答案：
1.例题：已知x>0，求函数y=x+x4的最小值。
答案：当x>0时，根据均值定理，有y=x+x4≥2x⋅x4=4，当且仅当x=x4即x=2时取等号。
2.例题：已知a>0，求函数y=a2+1+a2−1的最小值。
答案：令x=a2+1，则y=x+x1，根据均值定理，有y≥2x⋅x1
=2，当且仅当x=x1即x=1时取等号。
3.例题：已知正实数a、b、c满足a+b+c=1，求a1+b1+c1的最
小值。
答案：根据均值定理，有a1+b1+c1=(a1+b1+c1)(a+b+c)=3+ba +ab+bc+cb+ac+ca≥3+2ba⋅ab+2bc⋅cb+2ac⋅ca=3+2+2+2=9，当
且仅当ba=ab，bc=cb，ac=ca即a=b=c=31时取等号。
4.例题：已知正实数x、y满足x+y=4，求x1+y1的最小值。
答案：根据均值定理，有x1+y1=(x1+y1)(x+y)=5+xy+yx
≥5+2xy⋅yx=5+21=7，当且仅当xy=yx即x=y=2时取等号。
5.例题：已知正实数m、n满足m+n=3，求m+n的最大
值。
答案：根据均值定理，有(m+n)2=m+n+2mn=3+2mn
≤3+(m+n)2/4=9/4，当且仅当m=n=3/2时取等号。
所以m+n ≤3/2，即最大值为3/2。
均值定理专题归纳与训练
均值不等式的应用一.均值不等式1.（1）若 a,b w R ，则 a 2 +b 2 ^2ab （2）若a,b w R ，则 ab <a+b （当且仅当 a = b 时取"="）_ 22.⑴若 a, b w R ,则 a n jab （2）若a,b w R*,则 a+bN2J0b （当且仅当 a = b 时取"=”）2（3）若a,b 在R *，则ab 壬''七史；（当且仅当a = b 时取"=”）一 .2113.右X A0,则X +一芝2 （当且仅当X =1时取"=”）；若X <0，则X +—壬一2 （当且仅当X = — 1时取"=”）若X #0，则X+1芝2即X+1芝2或X+1 W2（当且仅当a=b 时取"=”）XXX4.若ab 》0，则a +b 芝2 （当且仅当a = b 时取"=”）若ab#0，则a +b 芝2即a +b N2或-<-2（当 b a ba ba ba22且仅当a =b 时取"=”） 5. 若a,b 在R ，则（a** <a *b （当且仅当a = b 时取"=”）{2 ~ 2注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大” .（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 211应用一：求取值 例1:求下歹0函数的值域 （1）y= 3X + 2/（2） y= X + X技巧一：凑项例2:已知xc ：，求函数y=4x -2+—1一的最大值.技巧二：凑系数 例3.当0 <4时，求y=x （8-2X ）的最大值.变式：设0 <X <：,求函数y =4X （3-2X ）的最大值. 技巧三： 分离 例4.求y=X +7X +10（XA _［）的值域.X 12 r .-技巧四：换元求y= — （XA -1）的值域.X 1技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数2.已知0 <x<1，求函数y = Jx(1-x)的最大值.；3. 0<x<Z ,求函数y= Jx(2-3x)的最大值.3,、 af (X ) = X +—的单调性。
高三数学均值定理的应用试题答案及解析
高三数学均值定理的应用试题答案及解析1.已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】据题意得，设，则，或，因为位于轴两侧所以.所以两面积之和为.【考点】1、抛物线；2、三角形的面积；3、重要不等式.2.设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是 .【答案】5【解析】易得.设，则消去得：，所以点P在以AB为直径的圆上，，所以，.法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一.【考点】1、直线与圆；2、重要不等式.3.己知，若恒成立，则实数m的取值范围是___________．【答案】【解析】因为，所以恒成立，即恒成立，解得所求实数的范围为.【考点】1.基本不等式.4.设，，若，则的最小值为( )A．B．6C．D．【答案】A【解析】由可得，.因为，，所以当且仅当即时取等号.【考点】1.基本不等式的应用.2.构造基本不等式的知识.5.已知集合A＝{x|x2－2x－3＞0 }，B＝{x|ax2＋bx＋c≤0}，若A∩B＝{x|3＜x≤4}，A∪B＝R，则的最小值为＿＿＿＿.【答案】【解析】∵，∴，∵A∩B＝{x|3＜x≤4}，，∴，∴-1和4是的根，∴，，∴，且，∴，当且仅当取等号.【考点】1.一元二次不等式的解法；2.基本不等式.6.已知正实数x，y满足，则x + y 的最小值为【答案】【解析】,由得.所以当且仅当取等号.二元关系不明确时，可利用消元，揭示本质，注意消元时隐含范围的挖掘.【考点】基本不等式.7.下列结论中①函数有最大值②函数（）有最大值. ③若，则正确的序号是____【答案】①③【解析】函数对称轴为，故当时取到最大值，①正确；函数，因为，所以，②错误；因为，则，③正确．【考点】1、二次函数的最值；2、基本不等式.8.设a,b是两个实数，且a≠b，①②，③。
均值定理求最值练习题
均值定理求最值练习题一、基础题1. 已知函数f(x) = x^2 4x + 3，求区间[1, 3]上的最大值和最小值。
2. 已知函数g(x) = 2x^3 3x^2 12x + 5，求区间[2, 2]上的最大值和最小值。
3. 已知函数h(x) = x^2 6x + 9，求区间[0, 4]上的最大值和最小值。
4. 已知函数p(x) = x^3 3x，求区间[1, 1]上的最大值和最小值。
5. 已知函数q(x) = x^4 8x^2 + 16，求区间[2, 2]上的最大值和最小值。
二、提高题6. 已知函数f(x) = e^x x^2，求区间[0, 2]上的最大值和最小值。
7. 已知函数g(x) = ln(x) x + 1，求区间[1, e]上的最大值和最小值。
8. 已知函数h(x) = sin(x) + cos(x)，求区间[0, π]上的最大值和最小值。
9. 已知函数p(x) = x^3 3x^2 + 3x，求区间[0, 3]上的最大值和最小值。
10. 已知函数q(x) = (x 1)^4 2(x 1)^2 + 2，求区间[0, 2]上的最大值和最小值。
三、综合题最大值和最小值。
12. 已知函数g(x) = x^3 3x，求区间[b, b]（b > 0）上的最大值和最小值。
13. 已知函数h(x) = e^x x，求区间[c, d]（c < d）上的最大值和最小值。
14. 已知函数p(x) = ln(x) x + 2，求区间[2, e]上的最大值和最小值。
15. 已知函数q(x) = sin(2x) + cos(2x)，求区间[0, π/2]上的最大值和最小值。
四、应用题16. 一家公司生产某种产品，其成本函数为C(x) = 3x^2 + 2x + 10，其中x为生产的产品数量。
求生产100到300单位产品时的最低成本。
17. 某商品的需求函数为p(x) = 100 x，其中x为商品的价格。
高一数学均值定理的应用试题
高一数学均值定理的应用试题1.已知，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，得，即，亦即,且，从而，当且仅当，又，即，时，取得最小值，注意乘“1”法技巧的使用.【考点】指数、对数的运算和基本不等式求最值.2.若△ABC中，，则△ABC面积S的取值范围是 .【答案】【解析】因为，又所以【考点】基本不等式求范围3.已知函数, 则在区间上的值域为．【答案】【解析】因为，且f(x)>0,因此那么可知在区间上的值域为4.已知，则函数的最小值为A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】因为，则函数的最小值为3，选C5. .若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是（）A．6B．9C．2D．12【答案】A【解析】解：∵a+b=2∴3a+3b≥ =6当且仅当a=b=1时等号成立故答案为A6.（本小题8分）已知且，求的最小值【答案】当且仅当时，取得最小值。
【解析】本试题主要是考查了均值不等式的运用求解最值的问题。
因为可知结论。
解：，当且仅当时，取得最小值。
7. 设是半径为的球面上的四个不同点，且满足，，，用分别表示△、△、△的面积，则的最大值是 .【答案】8【解析】解：设AB=a ，AC=b ，AD=c ， 因为AB ，AC ，AD 两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，所以a 2+b 2+c 2=4R 2=16 S △ABC +S △ACD +S △ADB =（ab+ac+bc ） ≤（a 2+b 2+c 2）=8 即最大值为：8 故答案为8． 8. 已知，求的最小值为【答案】【解析】解：因为，求9. 如果直角三角形周长为，则它的最大面积为 . 【答案】2【解析】解：因为设三边长为，a,b,c ，且c 为斜边，则a+b+c=2, a+b+10. 若，则的最小值是________________________.【答案】【解析】(当且仅当“”时，取“=”).11. 下列结论正确的是（ ） A ．当且时，B ．当时，C ．当时，的最小值为2D ．当时，无最大值【答案】B【解析】解：选项A 中，lgx 为负数不成立，选项B 成立，选项C ，中等号取不到。
高三数学均值定理的应用试题
高三数学均值定理的应用试题1.已知直线l经过点(，2)，其横截距与纵截距分别为a、b(a、b均为正数)，则使a＋b≥c恒成立的c的取值范围为________．【答案】(－∞，]【解析】设方程＋＝1，过点(，2)，∴＋＝1，∴a＋b＝(a＋b)(＋)＝＋＋≥，故c≤.2.设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是 .【答案】5【解析】易得.设，则消去得：，所以点P在以AB为直径的圆上，，所以，.法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一.【考点】1、直线与圆；2、重要不等式.3.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则( )A．a＜v＜B．v＝C．＜v＜D．v＝【答案】A【解析】设甲、乙两地之间的距离为s.∵a＜b，∴v＝＝＝＜＝.又v－a＝－a＝>＝0，∴v>a.4.已知第一象限的点(a，b)在直线2x＋3y－1＝0上，则代数式＋的最小值为________．【答案】25【解析】由题意知2a＋3b＝1，a＞0，b＞0，则＋＝(2a＋3b)＝4＋9＋＋≥13＋2＝25，当且仅当a＝b＝时取等号，即＋的最小值为25.5.已知△ABC中,∠C=90°,则的取值范围是()A．(0,2)B．C．D．【答案】C【解析】因为∠C=90°,所以c2=a2+b2,即c=.又有a+b>c,所以，选C.6.一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与它速度的平方成正比，除燃料费外其它费用为每小时元. 当速度为海里/小时时，每小时的燃料费是元. 若匀速行驶海里，当这艘轮船的速度为___________海里/小时时，费用总和最小.【答案】【解析】设每小时的燃料费因为速度为海里/小时时，每小时的燃料费是元，所以费用总和为当且仅当时取等号.考点:基本不等式求最值7.某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x吨(x为600的约数)，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x万元．若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买________吨．【答案】30【解析】设一年的总运费与总存储费用之和为y万元，则y＝×3＋2x≥2 ＝120，当且仅当＝2x，x＝30时，取得等号．8.过定点(1,2)的直线在正半轴上的截距分别为,则4的最小值为．【答案】32【解析】根据题意设直线方程为，则，由不等式可得，当且仅当时取等号，又，当且仅当时取等号．【考点】1.直线议程;2.基本不等式的应用9.若在处取得最小值，则（）A．B．3C．D．4【答案】B【解析】由，当且仅当即时，取得等号，故选B.【考点】均值不等式10.已知都是正实数，函数的图象过点，则的最小值是 .【答案】【解析】依题意，，则，，当且仅当，即时取等号.故的最小值是.【考点】不等式的基本性质.11.已知正实数,且，则的最小值为 ( )A．B．C．D．5【答案】A【解析】因为，正实数,且，所以，=，故选A。
高三数学均值定理的应用试题
高三数学均值定理的应用试题1.已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】据题意得，设，则，或，因为位于轴两侧所以.所以两面积之和为.【考点】1、抛物线；2、三角形的面积；3、重要不等式.2.已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是()A．3B．4C．D．【答案】B【解析】依题意，得(x＋1)(2y＋1)＝9，所以(x＋1)＋(2y＋1)≥2＝6，即x＋2y≥4.当且仅当即时等号成立，所以x＋2y的最小值是4.3.某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由形状为长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比＝x(x>1)，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？【答案】（1）S(x)＝80 (2＋)＋4160(x>1)．（2）长100米，宽40米【解析】解：(1)设休闲区的宽为a米，则长为ax米，由a2x＝4000，得a＝.则S(x)＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160＝4000＋(8x＋20)·＋160＝80 (2＋)＋4160(x>1)．(2)80 (2＋)＋4160≥80×2＋4160＝1600＋4160＝5760. 当且仅当2＝，即x＝2.5时，等号成立，此时a＝40，ax＝100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米．4.若一元二次不等式的解集为，则的最小值是( ) A．B．C．2D．1【答案】A【解析】∵一元二次不等式的解集为，∴，∴且，∴，当且仅当时取等号，∴的最小值是.【考点】二次函数的性质、基本不等式.5.[2012·陕西高考]小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则()A．a<v<B．v＝C．<v<D．v＝【答案】A【解析】由小王从甲地往返到乙地的时速为a和b，则全程的平均时速为v＝＝，又∵a<b，∴<<＝，∴a<v<，A成立．6.己知，若恒成立，则实数m的取值范围是___________．【答案】【解析】因为，所以恒成立，即恒成立，解得所求实数的范围为.【考点】1.基本不等式.7.已知，且，，则的值是 .【答案】9【解析】又，所以，当且仅当，即时等号成立，所以当时，取得最小值18，而，所以，故的值是9.【考点】基本不等式.8.如下图所示，椭圆的左顶点为，是椭圆上异于点的任意一点，点与点关于点对称．（1）若点的坐标为，求的值；（2）若椭圆上存在点，使得，求的取值范围．【答案】(1)；（2）【解析】(1)把点P坐标代入椭圆C的方程解方程即可；(2)设然后利用点M在椭圆上和建立关于的方程，再消去得到m的关于的表达式，再利用基本不等式求范围.试题解析：（1）依题意，是线段的中点，因为A（－1,0），P，所以点M的坐标为 2分由点M在椭圆上，所以，解得m= 6分（2）解：设则，且9分因为，OP⊥OM，所以11分所以（或：导数法）14分【考点】(1)椭圆的标准方程；（2）基本不等式.9.设，，若，则的最小值为( )A．B．6C．D．【答案】A【解析】由可得，.因为，，所以当且仅当即时取等号.【考点】1.基本不等式的应用.2.构造基本不等式的知识.10.若两个正实数x，y满足＋＝1，并且x＋2y＞m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( ) A．(－∞，－2)∪[4，＋∞)B．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C．(－2,4)D．(－4,2)【答案】D【解析】x＋2y＝(x＋2y)＝2＋＋2≥8，当且仅当，即4y2＝x2时等号成立．x ＋2y＞m2＋2m恒成立，则m2＋2m＜8，m2＋2m－8＜0，解得－4＜m＜2，故选D.11.已知，且，则的最小值为____.【答案】3【解析】由,则，当且仅当，即时取等号.【考点】基本不等式的应用.12.下列结论中①函数有最大值②函数（）有最大值. ③若，则正确的序号是____【答案】①③【解析】函数对称轴为，故当时取到最大值，①正确；函数，因为，所以，②错误；因为，则，③正确．【考点】1、二次函数的最值；2、基本不等式.13.函数的最小值是．【答案】【解析】将函数整理得：，当且仅当，故最小值为．【考点】基本不等式的应用14.已知正实数，满足，则的最小值是___________.【答案】9【解析】由得，，化简得，解得，所以的最小值是9.【考点】基本不等式及其应用.15.某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件. 已知2013年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）．（1）将2013年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；（2）该厂家2013年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【答案】（1）y（2）3万【解析】（1）利润=销售量x×每件产品是价格－固定投入8万－再投入资金16x－促销费用；（2）根据基本不等式的性质求出y取最大值时的m值即可.试题解析：（1）由题意可知，当时，，∴即，∴，每件产品的销售价格为元.∴2013年的利润（2）∵时，.∴，当且仅当，即时，.答：该厂家2013年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元.【考点】1.变量间的函数关系式；2.基本不等式的应用.16.已知，函数的最小值 .【答案】4【解析】因为时，，当且仅当，即时取等号.所以函数的最小值为4.【考点】基本不等式17.已知正实数,且，则的最小值为 ( )A．B．C．D．5【答案】A【解析】因为，正实数,且，所以，=，故选A。
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第一部分 集合与逻辑-------均值定理1．如果a ＞0，则aa 25+≥ .102．如果3,0,0=+>>y x y x ，则xy 的最大值是 .943．如果0≠x ，则2262xx +的最小值是 .4．如果x >0，则y ＝2－x －16x的最大值为 .-6 解析 ∵x >0，∴y ＝2－(x ＋16x )≤2－2x ·16x＝－6，当且仅当x ＝4时成立． 答案 －65．已知250<<x ，函数)25(x x y -=的最大值是 .2586．设0<a <b ，且a ＋b ＝1，在下列四个数中最大的是( B )．A.12B ．bC ．2abD ．a 2＋b 2 1. 解析 a 2＋b 2>2ab ，且 a 2＋b 2>(a ＋b )22＝12∴b －(a 2＋b 2)＝b －b 2－a 2＝b (1－b )－a 2＝ab －a 2＝a (b －a ) 0<a <b ，∴a (b －a )>0即b >a 2＋b 2 答案 B7．下列各式中最小值是2的是( D )．A.x y ＋y xB.x 2＋5x 2＋4 C ．1x x+ D ．2x ＋2－x 解析 A 中当x ，y 同号且非零时，最小值为2，x ，y 异号时，x y ＋y x <0，B 中x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4，但x 2＋4＝1x 2＋4无解，故取不到最小值2.C 中当tan x <0时不成立．答案 D8.在下列各函数中，最小值等于2的函数是( )A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝cos x ＋1cos x ⎝⎛⎭⎫0<x <π2 C ．y ＝x 2＋3x 2＋2D ．y ＝e x ＋4ex －2[答案] D[解析] x <0时，y ＝x ＋1x ≤－2，故A 错；∵0<x <π2，∴0<cos x <1，∴y ＝cos x ＋1cos x ≥2中等号不成立，故B 错；∵x 2＋2≥2，∴y ＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2中等号也取不到，故C 错，∴选D.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 .69.已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t 的最小值为________．[答案] －2[解析] y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4因为t >0，y ＝t ＋1t －4≥2t ·1t－4＝－2. 等号在t ＝1t，即t ＝1时成立．10.已知x >0，y >0，lg2x ＋lg8y ＝lg2，则xy 的最大值是________．[答案]112[解析] ∵lg2x ＋lg8y ＝lg2，∴2x ·8y ＝2，即2x ＋3y ＝2，∴x ＋3y ＝1，∴xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22＝112，等号在x ＝3y ，即x ＝12，y ＝16时成立． 11．已知a 、b ∈(0，＋∞)且a ＋b ＝1.那么下列不等式：①ab ≤14；②ab ＋1ab ≥174；③a ＋b ≤2；④1a ＋12b≥2 2.其中正确的序号是_________解析 1＝a ＋b ≥2ab ；∴ab ≤14，①对．设ab ＝t ，则0<t ≤14.由y ＝t ＋1t 在(0,1)上是减函数知当0<t ≤14时，y ≥14＋114＝174，②对． ∵(a ＋b )2－(2)2＝a ＋b ＋2ab －2＝2ab －1≤2·14－1＝0. ∴a ＋b ≤2，③对．∵a ＋b ＝1，∴1a ＋12b ＝(1a ＋12b )(a ＋b )＝1＋b a ＋a 2b ＋12≥32＋2b a ＋a 2b ＝32＋2≠22， 故④错． 答案 ①②③已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为_____【答案】161 【解析】 211414()44216x y xy x y +=⋅≤=，当且仅当x =4y=12时取等号.12．已知正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围为 .解析 ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，即(ab )2－2ab －3≥0， ∴(ab ＋1)(ab －3)≥0，∵ab ＋1>0，∴ab ≥3.即ab ≥9. 答案 [9，＋∞)不等式-----基本不等式1．设R b a ∈,，且3=+b a ，则ba22+的最小值是 BA ．6B ．24C ．22D ．62 2．下列不等式中恒成立的是AA ．22222≥++x x B ．21≥+x x C ．25422≥++x x D ．2432≥--x x3．下列结论正确的是BA ．当且时，B ．C ．x x x 1,2+≥时当的最小值为2 D ．当xx x 1,20-≤<时无最大值 0x >1x ≠1lg lg x x +2≥0x >当2≥4．1()()9ax y x y++≥对任意正实数x ，y 恒成立,则正实数a 的最小值为B A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 解析 不等式1()()9ax y x y++≥对任意正实数x ，y 恒成立， 则≥≥9，∴≥2≤－4(舍去)， 所以正实数a 的最小值为4，选B．5．已知，则 C A ．2B ．C ．4D ．5解析 因为当且仅当，且 ，即时，取“=”号。
6．下列函数中最小值是4的是CA ．x x y 4+= B ．x x y sin 4sin += C ．x x y -++=1122 D ．0,31122≠+++=x x x y 7．设的最小值为DA ． 8B ．4C ．D ．18．若直线)0,0(022>>=+-b a by ax 过圆014222=+-++y x y x 的圆心，则ab 的最大值是A A ．41 B ．21C ．1D ．2 9．点),(n m 在直线1=+y x 位于第一象限内的图象上运动，则n m 22log log +的最大值是____________. -2 10．函数)1)(511(log 3>+-+=x x x y 的最小值是_____________. 3 11．已知，，则的最小值 .312．已知0,0>>b a ，且1=+b a ，则下列不等式①41≤ab ；②4171≥+ab ab ；③2≤+b a ；④22211≥+ba 。
其中正确的序号是________________.①②④③ 1y axa x y+++1a +0,0a b >>11a b++114a b ++≥=≥11a b=a b =0,0.a b >>1133a ba b+与的等比中项，则14,,x y z R +∈230x y z -+=2y xz13．某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元。
（1）设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，求函数()y f x =的解析式； （2）为使仓库总面积S 达到最大，正面铁栅长x 应为多少米？ ．解：（1）因铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，则顶部面积为xy S =依题设，32002045240=+⨯+xy y x ，则320429xy x -=+(080)x <<，故3204()(080)29xf x x x -=<<+（2）xy S =2320429x x x -=+(080)x <<令29t x =+，则1(9),92x t t =->则2160(9)(9)1699178()t t S t t t---⨯==-+178100≤-= 当且仅当39t =，即15=x 时，等号成立所以当铁栅的长是15米时，仓库总面积S 达到最大，最大值是2100m 解法二：依题设，32002045240=+⨯+xy y x ，xy S =由基本不等式得xy xy xy y x 2012020904023200+=+⋅≥S S 20120+=，01606≤-+∴S S ，即0)6)(10(≤+-S S ，故10≤S ，从而100≤S所以S 的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是y x 9040=且100=xy ，求得15=x ，即铁栅的长是15米。
14．周长为12的矩形围成圆柱（无底），当圆柱的体积最大时，圆柱的底面周长与圆柱的高的比为多少？解：设矩形长为x ，宽为y ，成圆柱的底面半径r ，休积为V则有6x y +=，2x r π=，2xr π∴=，6y x =- 则2221()(6)24x V r y y x x ππππ===-，其中06x <<。