导数与微分测试题及答案(一)
导数与微分习题及答案
导数与微分习题及答案第二章导数与微分(A)1 .设函数y 二f x ，当自变量x 由x 0改变到x 0 * e x 时，相应函数的改变量 y =()A. f x 0 ： =x B . fx^_x C . f x 0 ： =x f x 0D . f x 0 x2. 设f(x )在 x 处可，则曲区弋ix °)= () A. - f x oB . f -X 。
C . f x oD . 2f x o3 .函数f x 在点x 0连续，是f x 在点x 0可导的( )A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4.设函数y = f u 是可导的，且u =x 2，则dy=()dxA. f x 2B . xf x 2C . 2xf x 2D . x 2f x 25. 若函数f x 在点a 连续，则f x 在点a () A .左导数存在；B .右导数存在；C .左右导数都存在D .有定义6 . f(x)=x-2在点x=2处的导数是() A . 1 B . 0 C . -1 D .不存在 7.曲线y =2x 3 -5x 2 ? 4x -5在点2,-1处切线斜率等于()A . 8B . 12C . -6D . 68. 设y=e f 卜且f(x 二阶可导，则y"=() A . e f (x ) B . e f *)f "(x )C . e f (x )〔f "(x f "(x jD . e f (x X 【f *(x 9 + f*(x 》e axx < 09. 若f"〔b+sin2x, x，0在x=°处可导'则a，b的值应为()717118.10. 若函数f x 在点X o 处有导数，而函数 g x 在点X o 处没有导数，则 F X 二 f X g X , G X A f X — g X 在x ° 处（）A .一定都没有导数B . 一定都有导数C .恰有一个有导数D .至少一个有导数11. 函数fx 与g X 在X o 处都没有导数，则Fx 二fx^gx , G x i=f x -g x 在 X o 处（）A .一定都没有导数B . 一定都有导数C .至少一个有导数D .至多一个有导数12. 已知F x 二f !g x 1,在x 二X 。
导数与微分练习题及解析
导数与微分练习题及解析在微积分学中，导数和微分是最基本的概念之一。
它们可以帮助我们研究函数的变化率和性质，广泛应用于物理、经济、工程等各个领域。
为了帮助你更好地理解导数和微分的概念，以下是一些练习题及其解析。
练习题1：求函数f(x) = x^2 + 3x + 2在x = 2处的导数和切线方程。
解析：首先，我们求函数f(x)的导数。
使用求导法则，对于多项式函数来说，可以将每一项的指数与系数相乘，并将指数减一，得到函数的导数。
f'(x) = 2x + 3接下来，我们计算x = 2处的导数值。
f'(2) = 2(2) + 3 = 7切线方程的一般形式为y = mx + b，其中m代表斜率，b代表截距。
根据导数的定义，导数即为切线的斜率。
所以切线的斜率为m = 7。
将切点的坐标代入切线方程，我们可以得到b的值。
2 = 7(2) + b2 = 14 + bb = -12最终的切线方程为y = 7x - 12。
练习题2：求函数f(x) = e^x * sin(x)的导数。
解析：考虑到函数f(x) = e^x * sin(x)是两个函数的乘积，我们可以使用乘积法则来求导。
乘积法则的公式为：(uv)' = u'v + uv'对于e^x和sin(x)两个函数，它们的导数分别为e^x和cos(x)。
根据乘积法则，我们可以将这两个导数与原函数进行组合，得到最终的导数为：f'(x) = (e^x * cos(x)) + (e^x * sin(x))练习题3：求函数f(x) = ln(x^2 + 1)的导数和微分。
解析：首先，我们求函数f(x)的导数。
根据链式法则，可以分别计算外函数和内函数的导数。
设内函数为u = x^2 + 1，则内函数的导数为du/dx = 2x。
外函数为f(u) = ln(u)，则外函数的导数为df/du = 1/u。
根据链式法则，函数f(x)的导数为：f'(x) = df/du * du/dx= (1/u) * (2x)= 2x / (x^2 + 1)接下来，我们计算函数f(x)的微分。
MPA公共管理硕士综合知识数学微积分(导数与微分)-试卷1
MPA公共管理硕士综合知识数学微积分（导数与微分）-试卷1(总分：54.00，做题时间：90分钟)一、数学部分(总题数：30，分数：54.00)1.选择题__________________________________________________________________________________________2.已知g(x)=且复合函数f(g(x))对x的导数为，那么．A.1√D.2由已知条件[f(g(x))]’=f"(g(x)).g’(x)=f"(g(x)).即(C)．3.f(x)在(一∞，+∞)内可导，若一x)]，则( )是奇函数．A.g(x)B.g(一x)C.g’(x) √D.1+∫0x g(t)dt由已知得g(一x)=g(x)，故g(x) g’(x)=一g’(一x) 故g’(x)是奇函数．4.设函数f(x)可导，则的导数y’等于( )A.B.C.D. √5.设函数f(x)在区间(一δ，δ)内有定义，若当x∈(一δ，δ)时，恒有|f(x)|≤x 2，则x=0必是f(x)的( )．A.间断点B.连续但不可导的点C.可导的点，且f"(0)=0 √D.可导的点，且f’(0)≠0令x=0，由|f(0)|≤0知f(0)=0．而0≤|f(x)一f(0)|=|f(x)|≤x 2，由夹逼定理可知所以f(x)在x=0处连续．再讨论f(x)在x=0处的左、右导数，由|f(x)|≤x 2，得一x 2≤f(x)≤x 2．6.设f"(x)=(x一1)(2x+1)，x∈(一∞，+∞)，则在区间1)内有( )．A.函数f(x)单调减少，且曲线y=f(x)为凹的√B.函数f(x)单调增加，且曲线y=f(x)为凹的C.函数f(x)单调减少，且曲线y=f(x)为凸的D.函数f(x)单调增加，且曲线y=f(x)为凸的因为时，f"(x)=(x一1)(2x+1)＜0，f"(x)=4x一1＞0 f(x)单调减少且曲线y=f(x)为凹的．7.设函数f(x)对任意的x均满足f(1+x)=af(x)，且有f"(0)=b，其中a，b为非零常数，则f(x)在x=1处( )．A.不可导B.可导且f"(1)=aC.可导且f"(1)=bD.可导且f"(1)=ab √在f(1+x)=af(x)中，令x=0，得f(1)=af(0)8.设对任意的x，总有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且．则A.存在且等于零B.存在但不一定为零C.一定不存在D.不一定存在√举反例说明．比如φ(x)=e -|x|，f(x)=2e -|x|，g(x)=3e -|x|，则有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且存在．但若取φ(x)=e -|x| +x，f(x)=2e -|x| +x，g(x)=3e -|x| +x，则有9.设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f"(x)g(x)+f(x)g’(x)＜0，则当x∈(a，b)时，有( )．A.f(x)g(x)＞f(b)g(a)B.f(x)g(x)＞f(b)g(a)C.f(a)g(b)＞f(b)g(a)D.f(x)g(x)＞f(b)g(b) √令F(x)=f(x)g(x)，则由题设可知 F’(x)=f"(x)g(x)+f(x)g’(x)＜0 (a≤x≤b)．于是，F(x)在[a，b]上单调减少，故当x∈(a，b)时，F(x)＞F(b)，即f(x)g(x)＞f(b)g(b)．10.下述极限中，等于e的是( )A.B. √C.D.11.设函数f(x)在(a，b)内可微，则( )．A.在[a，b]上连续B.若f(x)在(a，b)上严格单调递增，则f"(x)≠0C.若f(x)严格单调递增，且f(x)≠0√D.在(a，b)内f(x)必存在极限．因为f(x)严格递增，所以f"(x)≥012.填空题__________________________________________________________________________________________13.若函数f(x)在x 0点可导，则填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：3f"(x 0 )．）0 )+2f"(x 0 ) =3f"(x 0 )．14.设函数f(x)在x 0点可导，填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：不能确定．）因为由f"(x 0 )存在，可知因此，若f(x 0 )=0，则有若f(x 0 )≠0，则有原极限值不能确定．15.设函数f(x)在(一∞，+∞)上满足2f(1+x)+f(1一x)=e x，则f"(1)= 1.填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）先求f(x)的表达式．令x=一t，则等式变为由此可解得 3f(1+t)=2e t—e -t，再令1+t=x，可得于是有16.函数f(x)=(x 2 +2x-3)|x 4 -x|的不可导的点的个数是 1．填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1）由|x 4一x|=|x||x一1|(x 2 +x+1)，可知f(x)的不可导点至多有两个点：x 1 =0，x 2 =1．下面我们来分析这两点是否不可导．在x 1=0点处，在x 2=1点处所以f(x)在x 2=1点可导，因此f(x)的不可导点只有一个．17.函数y=y(x)是由方程e xy +x一y一2=0所确定，则y’(0)= 1.填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0）在等式e xy +x—y一2=0两边求导，有 e xy (y+xy’)+1一y’=0，由此可得又由方程知y(0)=一1，于是有18.设函数y=y(x)由方程x y =y x所确定，则y’(1)= 1．填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1）利用对数求导法，有ylnx=xlny，上式两边对x x=1时，可解得y(1)=1，代入上式，有y’(1)=1．19.当x≠0时，函数f(x)满足f(x 3，则f"(1)= 1.填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一1）先求函数f(x)的表达式：令等式化为 f"(1)=一1．20.已知填空项1:__________________因f"(x)=而21.计算题__________________________________________________________________________________________22.设f(x)与φ(x)在x=0处均连续，求φ(0)和φ’(0)．__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：因为f(x)在x=023.求函数x=0点处的左、右导数f - "(0)与f + "(0)．__________________________________________________________________________________________正确答案：(y=|x|在x=0点处左、右导数都存在，但不相等．因此，此函数在x=0点处导数不存在．)24.已知f"(a)=a 2，__________________________________________________________________________________________正确答案：(25.__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：先将函数化为简单函数的和差，再用导数的四则运算计算更为简单，即所以可得)26.求函数y=ln|x|的导数。
第三章 导数与微分 习题及答案
第三章 导数与微分同步练习 一、填空 1、若[]1cos 1)0()(lim=--→xf x f x x ，则)0(f '= 。
2、设)100()3)(2)(1()(----=x x x x x x f ，则)0(f '= 。
3、若)(x e f y -=，且x x x f ln )(='，则1=x dxdy = 。
4、若)()(x f x f =-，且3)1(=-'f ，则)1(f '= 。
5、设某商品的需求函数是Q=10-0.2p ，则当价格p=10时，降价10%，需求量将 。
6、设某商品的需求函数为：Q=100-2p ，则当Q=50时，其边际收益为 。
7、已知x x y ln =，则)10(y = 。
8、已知2arcsin )(),2323(x x f x x f y ='+-=，则：0=x dxdy = 。
9、设1111ln22++-+=x x y ，则y '= 。
10、设方程y y x =确定y 是x 的函数，则dy = 。
11、已知()xke x f ='，其中k 为常数，求()x f 的反函数的二阶导数=22dyxd 。
二、选择1、设f 可微，则=---→1)1()2(lim1x f x f x （ ）A 、)1(-'-x fB 、)1(-'fC 、)1(f '-D 、)2(f ' 2、若2)(0-='x f ，则=--→)()2(lim000x f x x f xx （ ）A 、41 B 、41- C 、1 D 、-1 3、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001arctan )(x x xx x f ，则)(x f 在0=x 处（ ）A 、不连续B 、极限不存在 Ｃ、连续且可导 Ｄ、连续但不可导 ４、下列函数在[]1,1-上可微的有（ ） Ａ、x x y sin 32+= Ｂ、x x y sin =Ｃ、21x x y +=Ｄ、x x y cos += ５、设)(x f 为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(=（ ） Ａ、在0=x 处极限不存在 Ｂ、有跳跃间断点0=x Ｃ、在0=x 处右极限不存在 Ｄ、有可去间断点0=x６、设函数)(),(21x y x y 的弹性分别为)0(,≠b b a ，则函数)()(21x y x y y =的弹性为（ ） Ａ、b a - Ｂ、b aＣ、2112y by ay - Ｄ、以上都不对 ７、已知)(x f e y =，则y ''＝（ ）Ａ、)(x f e Ｂ、)]()([)(x f x f e x f ''+' Ｃ、)()(x f e x f '' Ｄ、)}()]({[2)(x f x f e x f ''+'８、设函数⎩⎨⎧≤+>+=11)ln()(2x bx x x a x f 在1=x 处可导。
导数与微分习题及答案
第二章 导数与微分(A)1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，相应函数的改变量=∆y ( )A ．()x x f ∆+0B ．()x x f ∆+0C ．()()00x f x x f -∆+D ．()x x f ∆02．设()x f 在0x 处可，则()()=∆-∆-→∆xx f x x f x 000lim ( ) A ．()0x f '- B ．()0x f -' C ．()0x f ' D ．()02x f '3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dxdy ( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( )A ．左导数存在；B ．右导数存在；C ．左右导数都存在D ．有定义6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( )A ．1B ．0C ．-1D ．不存在7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( )A ．8B ．12C ．-6D ．68．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( )A ．()x f eB ．()()x f e x f ''C ．()()()[]x f x f e x f '''D ．()()[](){}x f x f e x f ''+'2 9．若()⎩⎨⎧≥+<=0,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( ) A ．2=a ，1=b B ． 1=a ，2=bC ．2-=a ，1=bD ．2=a ，1-=b10．若函数()x f 在点0x 处有导数，而函数()x g 在点0x 处没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．恰有一个有导数D ．至少一个有导数11．函数()x f 与()x g 在0x 处都没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．至少一个有导数D ．至多一个有导数12．已知()()[]x g f x F =，在0x x =处可导，则( )A ．()x f ，()x g 都必须可导B ．()x f 必须可导C ．()x g 必须可导D ．()x f 和()x g 都不一定可导13．xarctg y 1=，则='y ( ) A ．211x +- B ．211x + C ．221x x +- D ． 221x x + 14．设()x f 在点a x =处为二阶可导，则()()=-+→hh a f h a f h 0lim ( ) A ．()2a f '' B ．()a f '' C ．()a f ''2 D ．()a f ''- 15．设()x f 在()b a ,内连续，且()b a x ,0∈，则在点0x 处( )A ．()x f 的极限存在，且可导B ．()x f 的极限存在，但不一定可导C ．()x f 的极限不存在D ．()x f 的极限不一定存在16．设()x f 在点a x =处可导，则()()=--→hh a f a f n 0lim 。
大学高等数学导数与微分 自测自检题 含参考解答
第二章 导数与微分自测自检题参考解答一、填空题1、设()(1)(2)()f x x x x x n =+++ ，则()0f '= 解法一：由定义000()(0)(1)(2)()0(0)limlim0lim(1)(2)()!x x x f x f x x x x n f x x x x x n n →→→-+++-'==-=+++= 解法二：由于()(1)(2)()()f x x x x n x '=++++ ，因此()0f '=!n .2、设()01f x '=-，则()()00lim2h hf x h f x h →---=解：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()0000000000000000000000000200lim21lim 21lim21lim 2(2)212lim(2)lim 212(2)lim lim2h h h h h h h h hf x h f x h f x h f x h hf x h f x f x f x h hf x h f x f x h f x h hf x h f x f x h f x h hf x h f x f x h f x h →→→→→→-→-→---=---=--+--=+--+---⋅+--=+--+---⋅+--=+--+---+-()()()000121hf x f x -=''-+=3、设()y y x =由方程cos()0x y e xy +-=所确定，则0d x y==解：对方程两边直接求微分，得到()d cos()0x y e xy +-=，即()()()d d sin d d 0x y e x y xy y x x y +++⋅+=，解出()()sin d d sin x y x ye y xy y x e x xy +++=-+. 在方程cos()0x y e xy +-=中，当0x =时，0y =，因此()()0sin d d d sin x y x y x x y e y xy y x x e x xy ++===+=-=-+.4、曲线arctan y x =在1x =处的切线方程是 ，法线方程是 解：由于(1)4y π=，()21111(1)arctan 12x x y x x ==''===+，因此曲线arctan y x =在1x =处的切线方程为()1142y x π-=-，法线方程为()214y x π-=--，即曲线的切线方程为2420x y π-+-=，法线方程为8480x y π+--=.5、设()f x 在0x 可导，0x x x ∆=-，()()0y f x f x ∆=-，则0lim x y ∆→∆=解：()f x 在0x 可导，则()f x 在0x 连续，由连续的定义，0lim x y ∆→∆=0.二、选择题1、设可导函数()f x 是奇函数，则()f x '是（ ）A 偶函数B 奇函数C 非奇非偶函数D 不能确定解：因为()f x 是奇函数，因此()()f x f x -=-，即()()f x f x =--，所以()f x '=()()()()()1f x f x f x '''--=---=-，亦即，()()f x f x ''-=，()f x '是偶函数。
导数与微分(含答案)
第二单元 导数与微分一、基本题1、设()23f '=，则()()232limh f h f h h→--+=2、()cos x y e -=，则()0y '=3、3sin y x =，则dy =4、y =1|x dy ==5、()3ln f x x x =，则()1f ''=6、设()62ln 3x y e =+，则()8y =7、设()23sin 7n y x e -=+，则()n y =8、设210cos 2x y e x x =++，则()10y = ；()12y =9、设()()22f x x y ef e =+，则dy dx=10、曲线2x y e -=+在点0x =处的切线方程为 法线方程为 11、()()()()()123......10f x x x x x x =----，则()1f '= 12、()22,43f x y x xy y =-+，则()()1,1,limh f y h f y h→+-=13、ln 2y z x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()1,0z x ∂=∂ ；()1,0y f '=14、()zu xy =，则du = 15、2ln xz y=，则12x y dz ===16、yz x=在点()2,1处当0.1x ∆=，0.2y ∆=时的z ∆= ；dz = 17、设233z x xy y =-+，则22z x∂=∂ ；22z y ∂=∂ ；2zy x ∂=∂∂18、22,x z f x y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则x f '= ；y f '=19、一元函数可微、可导、连续、极限之间关系：可微可导是连续的 条件； 连续是极限存在的 条件 极限存在是连续的 条件； 连续是可微可导的 条件20、多元函数可微、可导（偏导数存在）、连续之间关系：（1）(),f x y 在点(),x y 处可微分是在该点连续的 条件； (),f x y 在点(),x y 处连续是在该点可微分的 条件（2）(),f x y 在点(),x y 处两偏导数存在是在该点处可微分的 条件； (),f x y 在点(),x y 处可微分是在该点处两偏导数存在的 条件 （3）(),f x y 在点(),x y 处两偏导数存在且连续是在该点处可微分的 条件（4）(),f x y 在点(),x y 处两二阶混合偏导22,z zx y y x∂∂∂∂∂∂连续 是该两混合偏导相等的 条件二、计算题1、xaaa x e y e e x =++ ()0,1a a >≠，求y ' 2、()3ln 32cos 2sin 332x x y e x x +=+-+，求(0)y '3、()2sin 2x y x =，求y ' 4、sin x y x =y '5、y =y ' 6、设ln tan x y arc t ⎧⎪=⎨=⎪⎩，求dy dx7、设sin cos t tx e ty e t⎧=⎨=⎩，求0t dy =8、设()ln(2)111x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩，求()2f '-，()f x '9、设函数()22111x f x x ax b x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩在点1x =处可导，求,a b10、设()2135f x x x -=++，求()f x '11、设()3sin 2sin 3cos24f x x x =+-，求()f x '12、设()2cos 2z x x y =-，求22z x∂∂；22z y ∂∂；2zx y ∂∂∂13、设(),,sin u v z e u xy v x y +===+，求zx ∂∂；z y∂∂ 14、设()223x z x y =-，求zx ∂∂；z y∂∂ 15、设()2,cos 2,ln 32x y z e x t y t -===+，求dz dt16、函数()y y x =由方程：()1cos x y e e xy -+=所确定的隐函数，求0x dy dx=17、设方程22220x z y z y ++=确定函数(),z z x y =，求zx ∂∂；z y∂∂ 18、设函数(),z z x y =由方程22xy z e z e -+-=所确定，求212x y dz==-19、设()22,y z xf xy g x y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求z x ∂∂；z y ∂∂三、证明题1、设()2arcsin 3y z xy x =+，证明：220z zx xy y x y ∂∂-+=∂∂ 2、设()2sin 2323x y z x y z +-=+-，证明：1z zx y∂∂+=∂∂导数与微分答案二、基本题1、设()23f '=，则()()232limh f h f h h →--+=()4212f '-=-2、设()12f '=-，则()()11limh f f h h→-+=()12f '-=3、()cos x y e -=，则()0y '=sin14、3sin y x =，则233cos dy x x dx =5、()3ln f x x x =，则()15f ''=6、设()62ln 3x y e =+，则()824x y e =7、设()2sin 7n y x -=，则()49sin 7ny x =-8、设210cos 2x y e x x =++，则()10102101021022cos 21010!22cos 210!2x x y e x e x π⎛⎫=++⋅+=-+ ⎪⎝⎭ ；()12122121221222cos 21222cos 22x x y e x e x π⎛⎫=++⋅=+ ⎪⎝⎭9、设()()22f x x y e f e =+，则()()()222222f x x x dy xe f x xf e e dx''=⋅+⋅10、曲线2x y e -=+在点0x =处的切线方程为3y x =- 法线方程为3y x =+11、()()()()()123......10f x x x x x x =----，则()19!f '=-()()()()()123......10f x x x x x x =----⇒⎡⎤⎣⎦()()()()()()()()()123......10123......10f x x x x x x x x x x x '''=----+----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()()()()()23......10123......10x x x x x x x x x '=---+----⇒⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()11121311009!f '=⋅-⋅-⋅⋅⋅-+=-12、一元函数可微、可导、连续、极限之间关系：可微可导是连续的 充分 条件； 连续是极限存在的 充分 条件 极限存在是连续的 必要 条件； 连续是可微可导的必要 条件 13、()212y x x x x =-+-不可导点2x =-14、ln 2y z x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()1,01z x ∂=∂ ；()11,02y f '=15、()22,43f x y x xy y =-+，则()()()01,1,lim1,46y h f y h f y f y y h→+-'==-+16、2lnxz y=，则1212x y dz dx dy ===-17、设233z x xy y =-+，则222z x∂=∂ ；226z y y ∂=∂ ；23zy x ∂=-∂∂ 18、()z u xy =，则()()()()11ln z z zdu yz xy dx xz xy dy xy xy dz --=++19、yz x =在点()2,1处当0.1x ∆=，0.2y ∆=时的()()2.1,1.22,10.0714z f f ∆=-= 21110.10.20.07542y dz dx dy dz x x =-+⇒=-⋅+⋅=20、22,x z f x y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则1212x f f xf y '''=+ ；1222y xf f yf y '''=--21、（1）(),f x y 在点(),x y 处可微分是在该点连续的 充分 条件； (),f x y 在点(),x y 处连续是在该点可微分的 必要 条件（2）(),f x y 在点(),x y 处两偏导数存在是在该点处可微分的 必要 条件； (),f x y 在点(),x y 处可微分是在该点处两偏导数存在的 充分 条件 （3）(),f x y 在点(),x y 处两偏导数存在且连续是在该点处可微分的 充分条件（4）(),f x y 在点(),x y 处两二阶混合偏导22,z zx y y x∂∂∂∂∂∂连续是该两混合偏导相等的 充分 条件22、曲线2cos 2sin 3x t y t z t=⎧⎪=⎨⎪=⎩上对应于6t π=处的切线方程213z x π-==- ， 法平面方程：()1302x y z π⎛⎫--+-+-= ⎪⎝⎭23、曲面27z e z xy -+=在点()2,3,0处的切平面方程()()()322310032120x y z x y z -+---=⇒+--= ， 法线方程 ：230231x y z ---==-二、计算题1、x a aa x e y e e x =++ ()0,1a a >≠，求y '【解】：()()111ln x a a x a a a x x a a e a x x a a e y e a e x e x e a a e ax e x ---'''=⋅+⋅+=⋅+⋅+2、()3ln 32cos 2sin 332xx y e x x +=+-+，求y ' 【解】：()()()33213323ln 32323cos 22sin 2032x xx x x y e x e x x ⋅⋅+-++'=-+-+ ()()33233ln 323cos 22sin 232x x x e x e x x -+=-++3、sin x y x =y ' 【解】：()1sin sin ln 223xx xy xex x ==++⇒()()1s i n l n22s i n 1c o s l n 3232x x x y e x x x x x x -⎛⎫'=⋅+++⋅+ ⎪⎝⎭4、()2sin 2x y x =，求y ' 【解】：()222lnsin 2lnsin 22cos 2sin 22ln sin 22sin 2x x xxxx y x e y e x x x x ⎛⎫'==⇒=+⋅⋅⎪⎝⎭ ()2l n s i n 222l n s i n 22c ot 2xx e x xx x =+⋅5、y =y ' 【解】：1）()()()()()21ln ln 1ln 13ln 5ln 1ln 212y x x x x x =+--++--+ 2）等式两边同时对x 求导()()212135211221221x y y x x xx x --'=-++-⇒+--+ ()()2213511122121x y y x xx x x ⎡⎤'=++--⎢⎥+--+⎣⎦()()2213511122121x x xx x x ⎡⎤=++--⎢⎥+--+⎣⎦6、函数()y y x =由方程：()1cos x y e e xy -+=所确定的隐函数，求0x dydx =【解】：1）0x =时0y =2）()()()1cos sin x y x y e e xy e e y xy y xy ''''-+=⇒-⋅=-⋅+⎡⎤⎣⎦ ()0,0sin sin 01sin sin x x x y yy e y xy e y xyy y e x xy e x xy==++''=⇒==--7、求由方程：()()cos sin xyy x =所确定的函数()y y x =的导数dydx【解】：1）等式两边同时取对数()()ln cos ln sin x y y x = 2）等式两边同时对x 求导数：()()sin cos ln cos ln sin cos sin y xy x y y x y y x-''+⋅⋅=+⋅⇒ ()()ln cos cot ln sin tan y y xdy dx x x y -=+8、设ln tan x y arc t⎧⎪=⎨=⎪⎩，求dy dx【解】：1）()()2222121ln 12tan 1tan 1t t t x t x t x y arc t y arc t y t ⎧'=⎧⎪⎧+=+⎪⎪⎪=⇒⎨⎨⎨=⎪⎪⎪⎩=⎩'=⎪+⎩2）1t t y dy dx x t'==' 9、设2323sin 10y x t t e t y ⎧=++⎨-+=⎩，求t dy dx =【解】：1）0t =时，1y =2) 6262cos sin cos 01sin t t y y yt t t y x t x t e t e y t e t y y e t '=+⎧'=+⎧⎪⇒⇒⎨⎨⋅''⋅+⋅-='=⎩⎪-⎩3）0,1cos cos 1sin 1sin 62622y y y yt t t y t e te ty dy dy e e t e t dx x t dxt ===⋅⋅'--==⇒=='++ 10、设()ln 111x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，求()2f '，()f x '【解】：1）()()()2212ln 2x x f f x x =='''===2）()()11ln x f x x f x x'>⇒=⇒=， ()()111x f x x f x '<⇒=-⇒= 1x =为分段点，且()1=ln1=0f ()()()111101lim lim 111x x f x f x f x x ---→→---'===--， ()()()()()()11111ln 01lim lim lim 11111111x x x f x f x x f f f f x x ++++-+→→→--''''====⇒=⇒=-- ()1111x f x xx ⎧>⎪'=⎨⎪≤⎩11、设函数()22111x f x x ax b x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩在点1x =处可导，求,a b【解】：1）可导必连续，故()()()()211112lim lim 1lim lim 11x x x x f x f x f ax b x -+-+→→→→==⇒=+=+ 即11a b b a +=⇒-=-2）因为可导，故()()()()()()111111lim lim 11x x f x f f x f f f x x -+-+→→--''=⇒=-- ()()()()221111211111lim lim lim lim 11111x x x x x x ax b ax a x a x x x x x -+-+→→→→--++--+=⇒==----+ 1,2a b =-=12、设()2135f x x x -=++，求()f x '【解】：1）()()()()()()22135131521325f x x x f x x x f x x x '-=++⇒=++++⇒=++=+ 13、设()3sin 2sin 3cos24f x x x =+-，求()f x '【解】：()()()3232sin 2sin 312sin 4261f x x x f x x x =+--⇒=-- ()2612f x x x '⇒=-14、设()2cos 2z x x y =-，求22z x∂∂；22z y ∂∂；2zx y ∂∂∂【解】：1）()()()()22222322cos 22sin 26sin 24cos 2z z x y x x y x x y x x y x x∂∂=---⇒=----∂∂2）()()22222sin 24cos 2z z x x y x x y y y ∂∂=-⇒=--∂∂3）()()22222sin 24cos 2zx y x x y x y∂=-+-∂∂15、设(),,sin u v z e u xy v x y +===+，求zx ∂∂；z y∂∂ 【解】：()()()()()sin u v u v x x u v z z u z ve xy e x y x u x v x++∂∂∂∂∂''''=⋅+⋅=⋅+⋅+∂∂∂∂∂()()()sin cos cos xy x y u v u v ye e x y y x y e ++++=+⋅+=++⎡⎤⎣⎦()()()()()sin u v u v y y u v z z u z ve xy e x y y u y v y++∂∂∂∂∂''''=⋅+⋅=⋅+⋅+∂∂∂∂∂()()()sin cos cos xy x y u v u v xe e x y x x y e++++=+⋅+=++⎡⎤⎣⎦16、设()223x z x y =-，求zx ∂∂；z y∂∂ 【解】：()()22ln 2323x x x y z x y e-=-=()()22ln 2322ln 2323x x y z x e x x y x x y -⎛⎫∂=⋅-+ ⎪∂-⎝⎭()212323x z x x y y -∂=--∂ ，17、设()2,cos 2,ln 32x y z e x t y t -===+，求dzdt【解】：()()()22cos2ln 32cos2ln 326ln 322sin 232t t t t t dz z ee t dt t -+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+⎛⎫=⇒=⋅-- ⎪+⎝⎭ 18、设方程22220x z y z y ++=确定函数(),z z x y =，求zx ∂∂；z y∂∂ 【解】：1）()222,,2F x y z x z y z y =++2222,41,4x y z F xz F yz F x y z '''==+=+2）2224x z F z xz x F x y z '∂=-=-'∂+， 222414y z F z yz y F x y z '∂+=-=-'∂+19、设方程()222sin xy e y x y +=+确定函数()y y x =，求dy dx【解1】：()()()()()()22222s i n 2c o s 22x y x y e y x y e y x y y x y x y '''''+=+⇒⋅++=+⋅+()()22222cos 22cos xyxy x x y ye y xe y y x y +-'⇒=+-+ 【解2】：1）()()222,sin xy F x y e y x y =+-+ ()()22222cos ,22cos xy xy x y F ye x x y F xe y y x y ''=-+=+-+2）()()()()222222222cos 2cos 2cos 2cos xy xy x xy xy y ye x x y x x y ye F dy dx F xe y x y xe y x y -++-'=-=-='-+-+ 20、设函数(),z z x y =由方程22xy z e z e -+-=所确定，求212x y dz ==-【解】：1）(),,22xy z F x y z e z e -=+--， 12,12x y z ==-⇒= ,,2xy xy z x y z F ye F xe F e --'''=-=-=- 12,,12224xy x z x y z z F z ye z e x F e xe -==-='∂∂=-=⇒='∂-∂-， 12,,12222xy y z x y z z F z xe z e y F e y e -==-='∂∂=-=⇒='∂-∂- 2）2122242x y e e dzdx dy e e==-=+-- 21、设()22,y z xf xy g x y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求z x ∂∂；z y ∂∂ 【解】：1）()()1222z y f xy xyf xy xg g x x ∂'''=++-∂2）()21212z x f xy yg g y x∂'''=++∂三、证明题1、设()2arcsin 3y z xy x =+，证明：220z z x xy y x y∂∂-+=∂∂ 2、设()2sin 2323x y z x y z +-=+-，证明：1z z x y ∂∂+=∂∂ 设()(),,2sin 2323F x y z x y z x y z =+---+。
导数与微分自测题及答案
2．设 x y 2 y, u x 2 x 2 ，则
3
二、选择题（共 1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 分，每小题 3 分） 1．下列条件与 f ( x) 在 x x0 处可导的定义等价的是（ (A) lim
）
f x0 h f x0 h ； h 0 2h f x0 2h f x0 h (B) lim ； h 0 h f x0 f x0 h (C) lim ； h 0 2h 1 (D) lim n f ( x0 ) f ( x0 ) . h 0 n 2．设函数 g ( x) 可微， h( x) e1 g ( x ) , h(1) 1, g (1) 2 ，则 g (1) 等于（ ( A) ln 3 1 ；(B). ln 3 1 ； (C) ln 2 1 ； (D) ln 2 1 .
n 3n
，则 f ( x) 在 , 内（
）
( A)处处可导 ； (C) 恰好有两个不可导点
(B) 恰好有一个不可导点 ； ； (D)至少有三个不可导点.
lim f ( x) 5. 设 f ( x) 在 x x0 处连续，则 x x0 存在且等于 A 是 f ( x0 ) 存在且等于 A
xf ( x) f ( x) ; x0 2 x 九、 由导数定义 g ( x) 。 1 f (0); x0 2
4 , x 1 七、(10 分)设 f ( x) ，试确定 a 与 b ，使 f ( x) 在 x 1 可导。 x 2 ax bx c, x 1
八、(10 分). 试确定 A, B, C 的值，使 e 1 Bx Cx
x
2
导数与微分练习题及习题详细解答
第二章 导数与微分练习题及习题详细解答练习题2.11．已知质点作直线运动的方程为23s t =+，求该质点在5t =时的瞬时速度．解 由引例2.1可知，质点在任意时刻的瞬时速度d 2d sv t t==．代入5t =，得10v =． 2．求曲线cos y x =在点π(6处的切线方程和法线方程． 解 由导数的几何意义知，曲线cos y x =在π(6点切线的斜率 ππ661(cos )(sin )2x x k x x =='==-=-，所以，切线方程为1π()226y x -=--，即612π=0x y +-．法线方程为π2()6y x =-，即1262π=0x y -+． 3．讨论函数32,0()31,013,1x f x x x x x ⎧≤⎪=+<≤⎨⎪+>⎩在0x =和1=x 处的连续性与可导性．解 在0x =处，0lim ()lim 22x x f x --→→==，0lim ()lim (31)1x x f x x ++→→=+=， 由于0lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠，所以不连续，根据可导与连续的关系知，也不可导． 在1x =处，11lim ()lim(31)4x x f x x --→→=+=，311lim ()lim(3)4x x f x x ++→→=+=，(1)4f =， 所以连续．又00(1)(1)3(1)lim lim 3x x f x f xf x x---∆→∆→+∆-∆'===∆∆， 2300(1)(1)33()()(1)lim lim 3x x f x f x x x f x x+++∆→∆→+∆-∆+∆+∆'===∆∆，所以可导．4．已知函数()f x 在点0x 处可导，且0()f x A '=，求下列极限：000(5)()(1)limx f x x f x x ∆→-∆-∆； 000(2)()(2)lim h f x h f x h →+-解 （1）000000(5)()(5)()55()55limlim x x f x x f x f x x f x f x A x x ∆→∆→-∆--∆-'=-=-=-∆-∆;(2)000000(2)()(2)()22()22limlim h h f x h f x f x h f x f x A h h →→+-+-'===．5．求抛物线2y x =上平行于直线43y x =-+的切线方程．解 由于切线平行于43y x =-+，所以斜率为4k =-．又2k y x '==，所以2x =-．对应于抛物线上的点为(2,4)-，所以切线方程为44(2)y x -=-+，即440x y ++=．练习题2.21．求下列函数的导数：（1）100(21)y x =-； （2）22e xxy +=；（3）sin(3π)y x =+； （4）2cos y x =； （5）2e sin x y x =； （6）2ln(1)y x =+； （7）tan 2y x =； （8）cot 3y x =； （9）arctan(31)y x =+； （10）arcsin(41)y x =+． 解 （1）9999100(21)(21)200(21)y x x x ''=--=-； （2）22222e (2)e (41)xxxxy x x x ++''=+=+；（3）cos(3π)(3π)3cos(3π)y x x x ''=+⋅+=+； （4）2cos (cos )2sin cos sin 2y x x x x x ''=⋅=-=-；（5）22222(e )sin e (sin )2e sin e cos e (2sin cos )xxxxxy x x x x x x '''=+=+=+； （6）22212(1)11x y x x x''=⋅+=++； （7）22sec 2(2)2sec 2y x x x ''=⋅=； （8）22csc 3(3)3csc 3y x x x ''=-⋅=-；（9）2213(31)1(31)1(31)y x x x ''=⋅+=++++；（10）(41)y x ''=+=2．设y =d d y x ．解对于y =[]1ln ln(1)ln(2)ln(3)ln(4)3y x x x x =+++-+-+ 两边对x 求导，得111111()31234y y x x x x '=+--++++ 所以1111()1234y x x x x '=+--++++ 3．求曲线31x ty t =+⎧⎨=⎩上，点(1,0)处的切线方程． 解 点(1,0)对应参数t 的值为0． 设k 为曲线上对应(1,0)点的切线斜率，则32000d ()30d (1)1t t t y t t k x t ==='===='+，于是，所求切线方程为0y =，即x 轴．4．求由方程3330y x xy --=所确定的隐函数的导数d d y x． 解 方程两边对x 求导，可得22333()0y y x y xy ''--+=由上式解出y '，便得隐函数的导数为22x yy y x+'=-（20y x -≠）． 练习题2.31．求下列函数的微分：（1）22sin 34y x x x =+-+； （2）2ln y x x x =-； （3）2(arccos )1y x =-； （4）arctan y x x =； （5）ln tan 2x y =； （6）sin ln 57xy x x x x=++-； （7）1cos 2xy -=； （8）3(e e )x x y -=+．解 （1）22d (sin 34)d (2sin 23)d y x x x x x x x '=+-+=+-； （2）2d (ln )d (ln 12)d y x x x x x x x '=-=+-； （3）2d ((arccos )1)d y x x x '=-=；（4）2d (arctan )d (arctan )d 1xy x x x x x x '==++； （5）2111d (ln tan )d sec d d csc d 222sin tan 2x x y x x x x x x x '==⋅⋅==；（6）2sin cos sin d (ln 57)d (ln 6)d x x x xy x x x x x x x x-'=++-=++； （7）11cos cos d (2)d 2ln 2sec tan d xxy x x x x --'==-⋅；（8）32d (e e )d 3(e e )(e e )d x x x x x xy x x ---'⎡⎤=+=+-⎣⎦． 2．填空． （1）23d d()x x =（2）21d d()1x x =+ （3）2cos2d d()x x = （4）21d d()x x= 解 （1）3x C +； （2）arctan x C +； （3）sin 2x C +； （4）1C x-+． 3解=()f x =064x =，1x ∆=．因为000()()()f x x f x f x x '+∆≈+∆，()f x ''==所以1188.062516=≈=+=．4．半径为10m 的圆盘，当半径改变1cm 时，其面积大约改变多少？解 圆盘面积函数为2S πR =，并取0R 10m =，R 1cm 0.01m ∆==．因为 S 2πR '= 所以面积改变量2S dS 2πR R 2π100.010.2π0.628m ∆≈=⋅∆=⨯⨯=≈．习题二1．如果函数()f x 在点0x 可导，求：（1）000()()limh f x h f x h →--； （2）000()()lim h f x h f x h hαβ→+--．解 （1）0000000()()()()limlim ()h h f x h f x f x h f x f x h h →-→----'=-=--； （2）00000000()()()()()()lim lim h h f x h f x h f x h f x f x f x h h hαβαβ→→+--+-+--=0000000()()()()limlim ()()h h f x h f x f x h f x f x h hαβαβαβαβ→→+---'=+=+-2．求函数3y x =在点(2,8)处的切线方程和法线方程． 解 由导数的几何意义，得3222()312x x k x x =='===切，112k =-法． 所以，切线方程为812(2)y x -=-即12160x y --=．法线方程为18(2)12y x -=--即12980x y +-=．3．设2, 1(), 1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩，试确定,a b 的值，使()f x 在1x =处可导．解 若()f x 在1x =处可导，则必在1x =处连续．1lim ()1x f x -→=，1lim ()x f x a b +→=+， 11lim ()lim ()x x f x f x -+→→=，即1a b +=． 又2111()(1)1(1)limlim lim(1)211x x x f x f x f x x x ----→→→--'===+=--， 111()(1)1(1)(1)lim lim lim 111x x x f x f ax b a x f a x x x ++-+→→→-+--'====--- 所以 2a =，1b =-． 4．求下列各函数的导数：（1）231251y x x x =-++； （2）2sin y x x =； （3）1cos y x x =+； （4）1ln 1ln xy x-=+．解 （1）23413(251)45y x x x x x''=-++=++；（2）22(sin )2sin cos y x x x x x x ''==+； （3）221(cos )sin 1()cos (cos )(cos )x x x y x x x x x x '+-''==-=+++；（4）21ln (1ln )(1ln )(1ln )(1ln )()1ln (1ln )x x x x x y x x ''--+--+''==++ 2211(1ln )(1ln )2(1ln )(1ln )x x x x x x x -+--==-++ ． 5．求下列函数的导数：（1）36()y x x =-； （2）y =；（3）2sin (21)y x =-； （4）21sin y x x=； （5）ln1xy x=-； （6）[]ln ln(ln )y x =； （7）ln(y x =； （8）arcsin 2x y x =+解 （1）3533526()()6()(31)y x x x x x x x ''=--=--；（2）322(1)y x -'==-； （3）2sin(21)cos(21)(21)2sin(42)y x x x x ''=-⋅-⋅-=-； （4）22221111111()sin(sin )2sin cos ()2sin cos y x x x x x x x x x x x x'''=+=+⋅-=-； （5）lnln ln(1)1x y x x x ==---，∴1111(1)y x x x x -'=-=--； （6）[]{}[]1ln ln(ln )ln(ln )(ln )ln ln(ln )y x x x x x x ''''=⋅⋅=；（7）((1y x ''==+=;（8）1arcsin22x y '=++arcsin arcsin 22x x=+=．6．若以310cm /s 的速率给一个球形气球充气，那么当气球半径为2cm 时，它的表面积增加的有多快？解 设气球的体积为V ,半径为R ，表面积为S ，则34π3V R =，24πS R =． d d d d d d V V R t R t =⋅，d d d d d d S S Rt R t =⋅， 2d d d d dV 12d 8πd d d d dt 4πd S S V R V R t R t V R R t ∴=⋅⋅=⋅⋅=, 将3d 10cm /s d V t =，2cm R =代入得，2d 10cm /s d St=．7．求下列函数的高阶导数：（1）2sin 2y x x =，求y '''； （2）y =5x y =''． 解 （1）Q 22sin 22cos2y x x x x '=+，22sin 24cos24cos24sin 2y x x x x x x x ''=++-22sin 28cos 24sin 2x x x x x =+-，∴24cos28cos216sin 28sin 28cos2y x x x x x x x x '''=+---212cos 224sin 28cos 2x x x x x =--．（2）Q 2y '==y ''==23222(24)(16)x x x -=-，∴5x y =''1027=． 8．求由下列方程所确定的隐函数的导数： （1）3330y x xy +-=； （2）arctan ln yx=． 解 （1）方程两边对x 求导，得22333()0y y x y xy ''+-+=，从中解出y '，得22y x y y x-'=-． （2）方程两边对x 求导，得2222112221()xy y x yy y x x y x''-+⋅=⋅++， 从中解出y '，得x yy x y+'=-． 9．用对数求导法求下列各函数的导数：（1）y =； （2）cos (sin )x y x = (s i n 0)x >．解 （1）方程两边取对数，得11ln ln(23)ln(6)ln(1)43y x x x =++--+，两边对x 求导，得1211234(6)3(1)y y x x x '=+-+-+， 即211[234(6)3(1)y x x x '=+-+-+ （2）方程两边取对数，得cos ln ln(sin )cos lnsin x y x x x ==⋅两边对x 求导，得11sin ln sin cos cos sin y x x x x y x'=-⋅+⋅⋅ sin lnsin cos cot x x x x =-⋅+⋅，即cos (sin )(sin lnsin cos cot )x y x x x x x '=-⋅+⋅．10．求由下列各参数方程所确定的函数()y y x =的导数：（1）33cos sin x a t y b t ⎧=⎪⎨=⎪⎩； （2）e cos e sin tt x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，求π2d d t y x =． 解 （1）22d d 3sin cos d tan d d 3cos sin d yy b t t bt t x x a t t a t===--；（2）Q d d e (sin cos )sin cos d d d e (cos sin )cos sin d t t yy t t t tt x x t t t t t++===--， ∴π2d d t y x =π2sin cos 101cos sin 01t t tt t=++===---． 11．求下列函数的微分： （1）ln sin2x y =； （2）1arctan 1x y x+=-； （3）e 0x yxy -=； （4）24ln y y x +=．解 （1）111d (lnsin )d (cos )d cot d 22222sin 2x x xy x x x x '==⋅⋅=； （2）2221(1)(1)1d d d 1(1)11()1x x y x x x x x x-++=⋅=+-++- （3）方程两边同时取微分，得d(e )d()0x yxy -=，2d de (d d )0x yy x x yy x x y y-⋅-+=， 整理得22d d xy y y x x xy-=+．（4）方程两边同时取微分，得312d d 4d y y y x x y+=， 整理得324d d 21x yy x y =+．12．利用微分求近似值：（1）sin3030︒'； （2解 （1）设()sin f x x =，则0π306x ︒==，π30360x '∆==，()cos f x x '=．11 / 11 000sin3030()()()f x x f x f x x ︒''=+∆≈+∆πππsincos 0.507666360=+⋅≈ （2）设()f x =064x =，1x ∆=，561()6f x x -'=．000()()()f x x f x f x x '=+∆≈+∆5611(64)12 2.00526192-⋅=+≈ 13．已知单摆的振动周期2T =2980cm/s g =，l 为摆长（单位为cm ），设原摆长为20cm ，为使周期T 增大0.05s ，摆长约需加长多少？解由2T =224πgT l =，02T =0.05s T ∆=，22πgT l '=． 所以027d 0.050.050.05 2.23cm 2ππgT l l l T '∆≈=⋅∆=⋅===≈， 即摆长约需加长2.23cm ．。
导数与微分测试题
由于 f ( x + 5) = f (5) , 所以 f (6) = f (1) = 0 , f ′(6) = f ′(1) = 2 .
故所求切线方程为 y = 2( x − 6) .
测 验题
(第一、二章 ) 第一、
每题3分 一、填空题 (每题 分，共12分) 每题 分
f (1 + sin x ) − 3 f (1 − sin x ) 即 lim x →0 sin x
f (1 − sin x ) − f (1) f (1 + sin x ) − f (1) = lim +3 x →0 sin x − sin x
= f ′(1) + 3 f ′(1) = 4 f ′(1) = 8 .
二、设曲线 y = x n 在点 (1,1) 处的切线与 x 轴的交点 为 (ξ n ,0), 求 lim f (ξ n ).
n→ ∞
1 c 满足关系式： 三、设 f ( x ) 满足关系式：af ( x ) + bf ( ) = (| a |≠| b |) . x x 求 f ′( x ) . x −1 ( x + 1)2 ; | x |≤ 1 四、设 f ( x ) = 4 | x |> 1 | x | −1 .
易知 , f ( x ) 在 | x |= 1 处连续 . 在 x = −1 处 ， f ( x ) − f ( −1) − x −1 = −1 , ′ (−1) = lim− f− − = lim− x → −1 x → −1 x − ( −1) x +1
f +′ (−1) = lim f ( x ) − f ( −1) − x → −1+ x − ( −1)
导数与微分单元测试答案
导数与微分单元测试答案一、 选择题（每题4分，共20分）1、B2、C3、A4、B5、C二、填空题（每题4分，共20分）1、1- 1)3(21)21()3()3(lim 2)3()3(lim00-='-=-⋅---=--→→f h f h f h f h f h h 2、)0(f ' )0(0)0()(l i m )(l i m 00f x f x f x x f x x '=--=→→ 3、ππ+x ln 1ln -+='ππππx y x ππ+='∴=x y x ln |14、x x f cos )sin 1(⋅+' ，x x f x x f sin )sin 1(cos )sin 1(2⋅+'-⋅+'' x x f y cos )sin 1(⋅+'='，x x f x x f y sin )sin 1(cos )sin 1(2⋅+'-⋅+''=''5、)1),1(ln(--e e 弦的斜率1011-=--=e e k 1)(-==='∴e e e y x x ⇒)1ln(-=e x ，当)1ln(-=e x 时，1-=e y 。
三、计算题（每题5分，共40分）（1）dx x x x e x d e dy x x )1(1cos 1sin 2)1(sin 21sin 21sin 22-⋅⋅==dx e x x x 1sin 222sin 1-= （2） 32313t tt dx dy ==，3222919t t t dx y d ==，9|122=∴=t dxy d （3）两边对x 求导：y y y'='⋅++2111⇒12+='-y y )11(2)1(2223233+-=+⋅-='⋅-=''---y y y y y y y （4）x x x y 2sin 21cos sin == )22sin(2cos π+=='∴x x y )222sin(2)22cos(2ππ⋅+=+=''x x y 设)22sin(21)(π⋅+=-n x yn n 则)2)1(2sin(2)22cos(2)1(ππ++=⋅+=+n x n x y n n n x x y 2sin 2)2502sin(24949)50(-=⋅+=∴π（5）两边取对数：)]1ln([ln ln x x x y +-=两边求导： xx x x y y +-++-='⋅11)1ln(ln 1 ]11)1ln([ln )1(xx x x x x y x +-++-+='∴ （6）利用定义：!2005)2005()3)(2)(1(lim )0()(lim )0(00=++++=-='→→x x x x xf x f f x x （7）)()()()(x a x x x f ϕϕ'-+=' )()(a a f ϕ='∴ 又ax a x a x x a x a f x f a f a x a x --'-+=-'-'=''→→)()()()(lim )()(lim )(ϕϕϕ )]()()([lim x ax a x a x ϕϕϕ'+--=→)(2)()(a a a ϕϕϕ'='+'= [注：因)(x ϕ在a x =处是否二阶可导不知，故只能用定义求。
导数与微分习题及答案
第二章导数与微分(A)1 .设函数y 二f x ，当自变量x 由x 0改变到x 0 * e x 时，相应函数的改变量 y =()A. f x 0 ： =x B . fx^_x C . f x 0 ： =x f x 0D . f x 0 x2. 设f(x )在 x 处可，则曲区弋ix °)= () A. - f x oB . f -X 。
C . f x oD . 2f x o3 .函数f x 在点x 0连续，是f x 在点x 0可导的( )A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4.设函数y = f u 是可导的，且u =x 2，则dy=()dxA. f x 2B . xf x 2C . 2xf x 2D . x 2f x 25. 若函数f x 在点a 连续，则f x 在点a () A .左导数存在；B .右导数存在；C .左右导数都存在D .有定义6 . f(x)=x-2在点x=2处的导数是() A . 1 B . 0 C . -1 D .不存在 7.曲线y =2x 3 -5x 2 • 4x -5在点2,-1处切线斜率等于()A . 8B . 12C . -6D . 68. 设y=e f 卜且f(x 二阶可导，则y"=() A . e f (x ) B . e f *)f "(x ) C . e f (x )〔f "(x f "(x jD . e f (x X 【f *(x 9 + f*(x 》e axx < 09. 若f"〔b+sin2x, x，0在x=°处可导'则a，b的值应为()717118.210. 若函数f x 在点X o 处有导数，而函数 g x 在点X o 处没有导数，则 F X 二 f X g X , G X A f X — g X 在 x ° 处（）A .一定都没有导数B . 一定都有导数C .恰有一个有导数D .至少一个有导数11. 函数fx 与g X 在X o 处都没有导数，则Fx 二fx^gx , G x i= f x -g x 在 X o 处（）A .一定都没有导数B . 一定都有导数C .至少一个有导数D .至多一个有导数12. 已知F x 二f !g x 1,在x 二X 。
《高等数学一》第三章 导数与微 试题模拟课后习题汇总(含答案解析)
第三章导数与微分[单选题]1、设函数，则高阶导数=（）A、12!B、11!C、10!D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察高阶导数计算.因为多项式的最高次幂为11，故=0.[单选题]2、f(x)=4x－x3在点(－1，－3)处的切线方程为( )A、y＝x－2B、y＝x＋2C、y＝－x＋2D、y＝－2x＋1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】f(x)＝4x－x3, f(－1)＝－4＋1＝－3,故(－1,－3)在所给的曲线上. 又f ' (x)＝4－3x2故f ' (－1)＝4－3＝1∴过(－1,－3)的切线方程为y＝(x＋1)－3＝x－2.[单选题]3、y＝cos3x－cos3x的导数为( )A、3(sin3x－sinxcos2x)B、3(sin3x＋sinxcos2x)C、3(sinx－sinxcos2x)D、3(sin3x－sin3xcos2x)【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】 y’＝(cos3x)' －(cos3x) '＝3cos2x(－sinx)－(－sin3x)×3＝3(sin3x－sinxcos2x)[单选题]4、设y＝x n＋e－x，则y(n)(0)＝（）A、n!＋(－1)nB、n!C、n!＋(－1)n－1D、n!－1【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】y(n)(x)＝n！＋(－1)n e－x，从而y(n)(0)＝n!＋(－1)n[单选题]5、设函数f(x)＝arctanx,求=( )A、-2B、1C、3D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]6、设y＝lnx，则y(n)＝()A、(－1)n n!x－nB、(－1)n(n－1)!x－2nC、(－1)n－1(n－1)!x－nD、(－1)n－1n!x－n＋1【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】y′＝x－1,y′′＝－1!x－2, y′′′＝2!x－3,…. y(n)＝ (－1)n－1(n－1)!x－n[单选题]7、已知函数，则f(x)在点x=0处()A、连续但导数不存在B、间断C、导数f ’(0)=－1D、导数f ’(0)=1【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】所以，f(x)在点x=0处间断，答案为B.[单选题]8、y＝(2x2－x＋1)2的导数为( )A、2(2x2－x＋1)(4x－1)B、(2x2－x＋1)(4x－1)C、(2x2－x＋1)(4x＋1)D、(2x2＋x＋1)(4x－1)【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】y’＝2(2x2－x＋1)(2x2－x＋1)’＝2(2x2－x＋1)(4x－1)[单选题]9、设函数f（x）在x0点可微是f（x）在该点可导的( )A、充分必要条件B、充分条件C、必要条件D、无关条件【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】设函数f（x）在x0点可导是f（x）在该点可微的充要条件，对于一元函数，两者是等价的。
大学微积分1试题及答案
大学微积分1试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^2 \) 的导数是：A. \( 2x \)B. \( x^2 \)C. \( \frac{1}{x} \)D. \( 2 \)答案：A2. 曲线 \( y = x^3 \) 在点 \( x = 1 \) 处的切线斜率是：A. 1B. 3C. 0D. 2答案：B3. 定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值是：A. 0B. 1C. \( \frac{1}{3} \)D. 2答案：C4. 函数 \( f(x) = e^x \) 的不定积分是：A. \( e^x \)B. \( e^x + C \)C. \( \ln(x) \)D. \( x^e \)答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = \sin(x) \) 的导数是 ________。
答案：\( \cos(x) \)2. 曲线 \( y = \ln(x) \) 在点 \( x = e \) 处的切线斜率是________。
答案：13. 定积分 \( \int_{0}^{1} e^x dx \) 的值是 ________。
答案：\( e - 1 \)4. 函数 \( f(x) = \ln(x) \) 的不定积分是 ________。
答案：\( x\ln(x) - x + C \)三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \) 在 \( x = 2 \) 处的导数。
答案：首先求导数 \( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \)，然后将 \( x = 2 \) 代入得到 \( f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 12 \cdot 2 + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 \)。
2. 计算定积分 \( \int_{1}^{2} (2x + 1) dx \)。
考研数学一(一元函数的导数与微分概念及其计算)模拟试卷1(题后
考研数学一（一元函数的导数与微分概念及其计算）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设函数y=f(x)可微，且曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线y=2－x垂直，则=A．－1．B．0．C．1．D．不存在．正确答案：B解析：由题设可知f′(x0)=1，又△y－dy=0(△x)，dy=f′(x0)△x=△x，于是==0，故应选(B)．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算2．设曲线y=x2+ax+b和2y=－1+xy3在点(1，－1)处相切，其中a，b是常数，则A．a=0，b=2．B．a=1，b=－3．C．a=－3，b=1．D．a=－1，b=－1．正确答案：D解析：曲线y=x2+ax+b在点(1，－1)处的斜率y′=(x2+ax+b)′｜x=1=2+a．将方程2y=－1+xy3对x求导得2y′=y3+3xy2y′．由此知，该曲线在(1，－1)处的斜率y′(1)为2y′(1)=(－1)3+3y′(1)，y′(1)=1．因这两条曲线在(1，－1)处相切，所以在该点它们的斜率相同，即2+a=1，a=－1．又曲线y=x2+ax+b过点(1，－1)，所以1+a+b=－1，b=－2－a=－1．因此选(D)．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算3．设f(x0)≠0，f(x)在x=x0连续，则f(x)在x0可导是｜f(x)｜在x0可导的( )条件．A．充分非必要B．充分必要C．必要非充分D．既非充分也非必要正确答案：B解析：由f(x0)≠0f(x0)＞0或f(x0)＜0，因f(x)在点x0处连续，则f(x)在x0某邻域是保号的，即δ＞0，当｜x－x0｜＜δ时，因此应选(B)．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算4．设f(x)在点x=x0处可导，且f(x0)=0，则f′(x0)=0是｜f(x)｜在x0可导的( )条件．A．充分非必要B．充分必要C．必要非充分D．既非充分也非必要正确答案：B解析：按定义｜f(x)｜可导存在，即(≤0)均存在且相等因此应选(B)．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算5．设F(x)=g(x)φ(x)，φ(x)在x=a连续但不可导，又g′(a)存在，则g(a)=0是F(x)在x=a可导的( )条件．A．充分必要B．充分非必要C．必要非充分D．既非充分也非必要正确答案：A解析：①因为φ′(a)不存在，所以不能对g(x)φ(x)用乘积的求导法则；②当g(a)≠0时，若F(x)在x=a可导，可对用商的求导法则．(Ⅰ)若g(a)=0，按定义考察则φ(x)=g′(x)φ(a)，即F′(a)=g′(a)φ(a)．(Ⅱ)再用反证法证明：若F′(a)存在，则必有g(a)=0．若g(a)≠0，由商的求导法则即知φ(x)=在x=a可导，与假设条件φ(a)在x=a处不可导矛盾．因此应选(A)．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算6．函数f(x)=(x2－x－2)｜x3－x｜的不可导点有A．3个．B．2个．C．1个．D．0个．正确答案：B解析：按定义考察．在x=0处，=(x2－x－2)｜x2－1｜，于是故f′+(0)≠f′－(0)．因此f(x)在x=0不可导．在x=1处，=(x2－x－2)｜x2+x｜，于是f′+(1)==－2×2×1=－4，f′－(1)==－2×2×(－1)=4．故f′+(1)≠f′－(1)．因此f(x)在x=1不可导．在x=－1处，=(x2－x－2)｜x2－x｜，因为[(x2－x－2)｜x2－x｜]=0×2=0，而且为有界变量，于是f′(－1)==0．因此f(x)在x=－1可导．应选(B)．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算7．设f(x+1)=af(x)总成立，f′(0)=b，a，b为非零常数，则f(x)在点x=1处A．不可导．B．可导且f′(1)=a．C．可导且f′(1)=b．D．可导且f′(1)=ab·正确答案：D解析：按定义考察因此，应选(D)．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算填空题8．请用等价、同阶、低阶、高阶回答：设f(x)在x0可微，f′(x0)≠0，则△x→0时f(x)在x=x0处的微分与△x比较是( )无穷小，△y=f(x0+△x)－f(x0)与△x比较是( )无穷小，△y—df(x)｜x=x0与△x比较是( )无穷小．正确答案：同阶同阶高阶解析：df(x)｜x=x0=f′(x0)△x，由=f′(x0)≠0知这时df(x)｜x=x0与△x是同阶无穷小量；按定义=f′(x0)≠0，故△y与△x也是同阶无穷小量；按微分定义可知差△y－df(x)｜x=x0=0(△x)(△x→0)是比△x高阶的无穷小．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算9．设=__________．正确答案：Acosb解析：补充定义f(a)=b，则有f′(a)==A．于是=[sinf(x)]′｜x=a=cosf(a).f′(a)=Acosb．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算10．设y=f(lnx)ef(x)，其中f(x)可微，则dy=__________．正确答案：ef(x)[f′(lnx)+f′(x)f(lnx)]dx解析：利用一阶微分形式不变性，可得dy=d[f(lnx)ef(x)]=ef(x)[df(lnx)]+f(lnx)def(x) =ef(x)[f′(lnx)dlnx]+f(lnx)ef(x)df(x) =ef(x)[f′(lnx)+f′(x)f(lnx)]dx．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算11．若y=f(x)存在反函数，且y′≠0，y″存在，则=___________．正确答案：解析：设y=f(x)的反函数是x=φ(y)，则反函数的导数可由复合函数求导法则求出：因此知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算12．设函数f(x)有任意阶导数且f′(x)=f2(x)，则f(n)(x)=___________(n＞2)．正确答案：n!fn+1(x)解析：将f′(x)=f2(x)两边求导得f″(x)=2f(x)f′(x)=2f3(x)，再求导得(x)=3!f2(x)f′(x)=3!f4(x)．由此可归纳证明f(n)(x)=n!fn+1(x)．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算13．对数螺线r=eθ在点(r，θ)=处的切线的直角坐标方程为___________．正确答案：y=－x解析：对数螺线的参数方程为于是它在点处切线的斜率为当θ=时x=0，y=．因此该切线方程为y=－x．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
导数和微分练习题(答案版)
1. 13arctan )1()(2+--=x x x x f ,求f’(1) 2. 设1lim )()1()1(2+++=--∞>-x n x n n e b ax e x x f 是区间),(+∞-∞内是可导函数，试确定常数a,b 3. 设f(x)是周期为2的周期函数，且在点x=1处连续，22cos ]3)(ln[lim 1=+>-xx f x π,求曲线y=f(x)在(-1,f(-1))处的切线方程。
4. 设函数在),(+∞-∞内有定义，对任意的x,y 都有)()()(x f e y f e y x f y x +=+,e f =)0(',求f （x ）的表达式5. 设函数0,)(;0,)()(==≠-=-x a x f x x e x x f xϕ,其中的)(x ϕ具有二阶导数，且1)0(',1)0(-==ϕϕ1) 确定常数a 的值，使得f （x ）在x=0时连续2) 求f’(x);3) 讨论f’(x)在区间),(+∞-∞内的连续性6. 设函数)()()(x g x f x F =，如果f(x)在x 0点可导，g （x ）在x 0点连续不可导，证明：F(x)在x 0点可导⇔f(x 0)=07. 设曲线y=f(x)与曲线y e y x =-++)14tan(π在（1,0）处有公切线. 1）求公切线方程2）计算极限)1(lim +∞>-n n nf n 8. 设f(x)是周期为3的连续函数，在点x=0的某一邻域内恒有x x x f x f 2tan 6)tan 1(2)tan 1(+=--+,已知f(x)在点x=1处可导，求曲线y=f(x)在点(10.f(10))处的切线方程。
9. 设函数f(x)在x ≤x 0时具有二阶导数，00200,)()()(;),()(x x c x x b x x a x F x x x f x F >+-+-=≤=,试确定常数a ，b ，c ，使得F(x)在x 0处二阶可导。
第三章“导数与微分”测试题与答案
第三章 导数与微分测试题一、选择题（每小题4分,共20分）1、若0()3f x '=-，则000()()lim h f x h f x h→--=（ ） （A ）3- （B ） 3 （C ）6 （D ）-92、设tan 2y x =，则='y （ ）（A ）2sec 2x （B ）2sec 2x （C ）2sec x （D ）22sec 2x3、设),(sin x f y =则=dy （ ）（A ） dx x f )(sin '（B ） xdx x f cos )(sin '- （C ） x d x f sin )(sin ' （D ） xdx x f sin )(sin '4、设)0()(32>=x x x f , 则(4)f '=（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）55、设)100()4)(3)(2)(1()(++-+-=x x x x x x x f ，则(0)f '=（ ）（A ）1 （B ）100！ （C ）0 （D ）50！二、填空题（每小题4分，共20分）1、3333log 3-++=x x y x ，则y '=______________..2、4(2)d x -=_________ dx3、设函数)1ln()(2x x f +=，当=x ______时，该函数的导函数等于零。
4、若函数4x y =，则=)4(y _______.5、求抛物线2y x =在2x =-处的切线方程为_____________.三、解答下列各题（每小题8分，共56分）1、设x e x e y x x-=ln ,求y ' 2、已知x y 1arctan =，则1|'-=x y =_______3、设22sin cos 1tan 1cot x x y x x=+++，求y '' （提示，可先通分化简再求导） 4、设⎩⎨⎧≥+<+-=1,11,)(22x ax x bx x x f ，试求常数a 、b 的值，使)(x f 在1=x 处可导.5、求x xy =)cos(，求dxdy 6、设函数x x y cos 3)1(+=,求'y7、某产品的需求函数和总成本函数分别为q q C p q 205000)(,10800+=-= 求利润函数和边际利润函数,并计算150=q 时的边际利润。
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导数与微分测试题（一）
一、选择题（每小题4分，共20分）
1、
设函数10
()10
2
x x f x x ≠⎪=⎨⎪=⎪⎩ 在0x =处（ ）
A 、不连续；
B 、连续但不可导；
C 、二阶可导；
D 、仅一阶可导； 2、若抛物线2
y ax =与曲线ln y x =相切，则a 等于（ ） A 、1； B 、
12； C 、12e
； D 、2e ； 3、设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x 等于（ ）
A 、1；
B 、
2e ； C 、2
e
； D 、e ； 4、设函数()f x 在点x a =处可导，则0()()
lim x f a x f a x x
→+--等于（ ）
A 、0；
B 、()f a '；
C 、2()f a '；
D 、(2)f a '；
5、设函数()f x 可微，则当0x ∆→时，y dy ∆-与x ∆相比是（ ） A 、等价无穷小； B 、同阶非等价无穷小；
C 、低阶无穷小；
D 、高阶无穷小； 二、填空题（每小题4分，共20分） 1、设函数()f x x x =，则(0)f '=______； 2、 设函数()x
f x xe =，则(0)f ''=______；
3、 设函数()f x 在0x 处可导，且0()f x =0，0()f x '=1，则
01
lim ()n nf x n
→∞+=______； 4、 曲线2
28y x x =-+上点______处的切线平行于x 轴，点______处的
切线与x 轴正向的交角为
4
π。
5、 d ______ = x
e dx - 三、解答题
1、（7分）设函数()()()
,()f x x a x x ϕϕ=-在x a =处连续，
求()f a '； 2、（7分）设函数()a
a
x
a x a f x x a a =++，求()f x '； 3、（8分）求曲线 sin cos 2x t y t
=⎧⎨
=⎩ 在 6t π
= 处的切线方程和法线方程；
4、（7分）求由方程 1
sin 02
x y y -+=所确定的隐函数y 的二阶导数22d y dx
5、（7分）设函数12
12()()
()n a a
a n y x a x a x a =---，求 y '
6、（10分）设函数2
1
2
()12
x x f x ax b x ⎧≤
⎪⎪
=⎨
⎪+>
⎪⎩
，适当选择,a b 的值，使得()f x 在1
2
x =
处可导 7（7分）若2
2
()()y f x xf y x +=，其中 ()f x 为可微函数，求dy 8、（7分）设函数()f x 在[,]a b 上连续，且满足
()()0,()()0f a f b f a f b +-''==•>，证明：()f x 在(,)a b 内至少存在一点c ，使得 ()0f c =
导数与微分测试题及答案（一）
一、1－5 CCBCD
二、1. 0； 2. 2； 3. 1； 4.（1，7）、329
(,
)24
； 5. x e --； 三、1. 解：()()()()
()lim
lim ()x a x a f x f a x a x f a a x a x a
ϕϕ→→--'===--；
2. 解：1
12()ln ln a
a x
a a a x x a f x a x ax a a a a a --'=++；
3. 解：当6
t π=
时，曲线上的点为 11(,)22
；
切线的斜率666
2sin 22cos t t t dy
dy t dt k dx dx t dt πππ===-====-， 所以，切线方程 11
2()22y x -=--， 即 4230x y +-=；
法线方程 111
()222
y x -=- ， 即 2410x y -+=；
4. 解：方程的两边对x 求12
1cos 022cos dy dy dy y dx dx dx y
-
+=⇒=- 继续求导 2223
24sin sin (2cos )(cos 2)
d y dy y
y dx y dx y =-=-- 5. 解：两边取对数 1122ln ln()ln()ln()n n y a x a a x a a x a =-+-++-
方程的两边对x 求导
1212
1
n
n
a a a y y x a x a x a '=+++
---，则 1211
12()(())()i
n n
a n i i i i n i a a a a
y y x a x a x a x a x a =='=++
+=-----∑∏ 6. 解：因为 可导一定连续，则
2112
2
11
11
(0)lim(),
(0)lim 2224x x f ax b a b f x →
→
+=+=+-==
所以
1111
,2442
a b b a +==- 由可导知
1
112
22
11111
()
1
44242()lim lim lim 1112222
x x x ax b ax a a x f a x x x +→→→
+-
+---'====---
212
1
14()lim
11
22x x f x -→-
'==- 所以 11,4a b ==- 即当11,4a b ==-时，函数()f x 在1
2
x =处可导。
7. 解：两边微分得2
2()()()()2yf x dy y f x dx f y dx xf y dy xdx ''+++=即
22()()
2()()
x y f x f y dy dx yf x xf y '--='+
8. 证明：因为 ()()0f a f b +-''•>，不妨设 ()0,()0f a f b +-''>>
()()()
()lim
lim 0x a
x a f x f a f x f a x a
x a +→+→+-'==>--，则存在 10δ>， 当 11(,)x a a δ∈+时，
11()
0f x x a
>-，又因为1x a >，所以 1()0f x > 同理可知 存在 20δ>，当 22(,)x b b δ∈-时，
22()
0f x x b
>-，又因为2x b <，所以 2()0f x <，取适当小的12,δδ，使得 12a b δδ+<-，则 12x x <，因为()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在12[,]x x 上连续，且1()0f x >，2()0f x <由零点存在定理知 至少存在一点c ，使得
()0f c =，证毕。