导数和微分练习题

第二章 导数与微分 复习自测题

一、选择题：

1、函数)(x f 在点0x 处的导数)(0x f '定义为（ ） A

x x f x x f ∆-∆+)()(00 B x

x f x x f x x ∆-∆+→)

()(lim 000 C x

x f x f x

x ∆-→)

()(lim

00

D 00)()(lim 0x x x f x f x x --→ 2、设函数)100)(99()2)(1()(--⋅⋅⋅--=x x x x x x f ，则=')0(f （ ） A 100 B 100- C 100! D 100-! 3、曲线x y sin 2

+=π

在0=x 处的切线的倾斜角为（ ）

A

2π B 4

π

C 0

D 1 4、函数1ln )(-=x x f 的导数是（ ）

A 11)(-='x x f

B 11)(-='x x f

C x x f -='11)(

D 1

11

()1

1

1x x f x x x ⎧<⎪⎪

-'=⎨⎪>⎪-⎩

5、微分运算

=)

(arccos )

(arcsin x d x d （ ）

A x arc cot

B 1-

C x tan

D 1

6、设()f x 在x a =的某个领域内有定义，则()f x 在x a =处可导的一个充分条件是（ ）

A 1

lim [()()]h h f a f a h

→+∞

+-存在 B 0(2)()

lim

h f a h f a h h →+-+存在

C 0()()

lim

2h f a h f a h h

→+--存在

D 0

()()

lim h f a f a h h

→--存在

二、填空题

1、设21arccos )(x x x x f --=，则=')0(f ；

2、若2

()(1)0

ax e x f x b x x ⎧≤=⎨->⎩ 处处可导，则=a ，=b ； 3、设曲线22-+=x x y 在点P 处的切线的斜率等于3，则P 点的坐标为 ； 4、已知)(2x x f y -=，且f 的二阶导数存在，则=''y ； 5、设)(x f y =，已知36)

2()(lim

000=+-→x

x x f x f x ，则==0

x x dy

。

三、解答题

1、设方程y x xy e y +=+)sin(2确定y 是x 的函数，求y '。

2、已知x x y sin )(tan = 求y '。

3、求x y 2sin = 的n 阶导数。

4、已知sin cos t

t

x e t y e t

⎧=⎪⎨=⎪⎩，求当3t π=时dy

dx 的值。 5、已知

1sin 0;()0

0,

x x f x x x μ

⎧≠⎪

=⎨⎪=⎩问μ为何值时，满足

（1）()f x 在0x =处连续； （2）()f x 在0x =处可导；

6、若函数2

1()1

x x f x ax b

x ⎧≤=⎨

+>⎩ 处处可导，试求,a b 的值。

7、证明：曲线2xy a =上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于22a 。

8、设()f u 可导，若22(sin )(cos )y f x f x =+，试求dy dx

。

参考答案

一、选择题：

1． D 2. C 3. B 4. B 5. B 6. D 二、填空题

1．2

π 2. 0,1a b == 3. (1, 0) 4. 222""()(21)2'()y f x x x f x x =--+- 5. 0

9x x dy dx ==-

三、解答题

1.222

1cos()

'2cos()1

y y xy y e xy xy -=+- 2.sin '(cos ln(tan )sec )tan x y x x x x =+ 3.()

2sin(2)2

n n y x n π

=+

4.2

(14-

5.提示：0

0lim 1000

x x μμμμ→∞

<⎧⎪==⎨⎪>⎩

（1）当0μ>时，()0f x x =在处连续

（2）当1μ>时，()0f x x =在处可导，且导数为0 6．提示：可导必连续！

连续即：11lim ()lim ()(1)x x f x f x f -

+

→→==，可推出1a b +=；

可导则：11()(1)()(1)

lim

lim

11

x x f x f f x f x x +

-→→--=--，可推出2a =，则1b =-。 7. 提示：2a y x =在2

0020

(,)a x y k x =-处的斜率为，

切线方程为22

000200

(),a a y y x x y x x -=--=且，则切线在x 轴，y 轴上的截距为

2

00

22,

a x x ，则三角形面积：220012222a S x a x == 8. 22

'sin 2['(sin )'(cos )]y x f x f x =-