【精品】九年级数学下册第一章1
(初中精品)第一章解直角三角形 锐角三角函数 学年浙教版九年级数学下册
【知识梳理】一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A aA c ∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A bA c ∠==的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边.同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B aB c∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA ，cosA ，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan ∠AEF ”，不能写成“tanAEF ”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA ＞0．锐角三角函数BCa bc二、特殊角的三角函数值锐角30°45° 160°要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反.三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．【典型例题】考点一锐角三角函数值的求解策略【例1】如图,在方格纸中,点A,B,C都在格点上,则tan∠ABC的值是()A.2B.12C.√55D.√5【例2】如图,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长均为1,则tan∠BAC的值为()A.12B.1C.√33D.√3【变式训练】1.如图，若点A的坐标为(1,√3),则sin∠1=.2. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B． C． D．考点二已知三角函数求边长,则BC的长为()【例3】如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=15,sin B=35A.3B.9C.4D.12【变式训练】,则AB的长是()1. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tan A=12A.2B.8C.2√5D.4√5,则斜边AB上的高为.2.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=5,sin A=35考点三特殊角的三角函数值的计算【例5】求+tan60°﹣【例6】已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0（1）试判断△ABC的形状．（2）求（1+sinA）2﹣2﹣（3+tanC）0的值．【变式训练】1. 6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°2. sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°+(√3-tanβ)2=0,则对此三角形的形状描3.若α,β是一个三角形的两个锐角,且满足sinα-√32述最准确的是 ( ) A .等腰三角形 B .直角三角形C .等边三角形D .等腰直角三角形考点三 锐角三角函数的拓展探究与应用【例6】通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC 中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BCAB==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad60°＝________．(2)对于0＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是_______．(3)如图1②，已知sinA ＝35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值．【变式训练】如图,定义:在Rt △ABC 中,锐角α的邻边与对边的比叫做∠α的余切,记作cot α,即cot α=∠α的邻边∠α的对边=ACBC .根据上述角的余切定义,解答下列问题:(1)cot30°= ;(2)已知tan A=34,其中∠A 为锐角,则cot A 的值为 .【强化练习】1. 如图,以点O 为圆心,半径为1的弧交坐标轴于A ,B 两点,P 是AB⏜上一点(不与点A ,B 重合),连结PO,设∠POB=α,则点P的坐标是()A.(sinα,sinα)B.(cosα,cosα)C.(cosα,sinα)D.(sinα,cosα)2. 如图,已知AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,AC=2√2,BC=1,那么sin∠ABD的值是.3.在Rt△ABC中,若2AB=AC,则cos C=.,AD是BC边上的高线.4. 如图,在△ABC中,∠B=45°,AC=5,cos C=35(1)求AD的长;(2)求△ABC的面积.5. 如图所示，AB是⊙O的直径，且AB＝10，CD是⊙O的弦，AD与BC相交于点P，若弦CD ＝6，试求cos∠APC的值．【典型例题】考点一 锐角三角函数值的求解策略【例1】如图,在方格纸中,点A ,B ,C 都在格点上,则tan ∠ABC 的值是 ( )A .2B .12C .√55D .√5【答案】A【例2】如图,A ,B ,C 是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长均为1,则tan ∠BAC 的值为( )A .12B .1C .√33D .√3【答案】B【解析】如图,连结BC ,则BC ⊥AB.答案及解析=1.在Rt△ABC中,AB=BC=√22+12=√5,∴tan∠BAC=BCAB【变式训练】1.如图，若点A的坐标为(1,√3),则sin∠1=.【答案】√322. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．考点二已知三角函数求边长,则BC的长为()【例3】如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=15,sin B=35A.3B.9C.4D.12【答案】D【变式训练】,则AB的长是() 1. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tan A=12A.2B.8C.2√5D.4√5【答案】C,则斜边AB上的高为.2.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=5,sin A=35【答案】125考点三特殊角的三角函数值的计算【例5】求+tan60°﹣【答案】见解析【解析】原式=+﹣=2+﹣=3﹣2+2．【例6】已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0 （1）试判断△ABC的形状．（2）求（1+sinA）2﹣2﹣（3+tanC）0的值．【答案】见解析【解析】（1）∵|1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0，∴tanA=1，sinB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°， ∴△ABC 是锐角三角形；（2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴原式=（1+）2﹣2﹣1=．【变式训练】 1. 6tan 230°﹣sin60°﹣2sin45° 2.sin60°﹣4cos 230°+sin45°•tan60°【答案】见解析 【解答】（1）原式==12- (2) 原式=×﹣4×（）2+×=﹣3+3；3. 若α,β是一个三角形的两个锐角,且满足sin α-√32+(√3-tan β)2=0,则对此三角形的形状描述最准确的是 ( ) A .等腰三角形 B .直角三角形C .等边三角形D .等腰直角三角形【答案】C 【解答】∵sin α-√32+(√3-tan β)2=0,∴sin α-√32=0,√3-tan β=0, ∴sin α=√32,tan β=√3. 又∵α,β都是锐角, ∴α=60°,β=60°,∴此三角形的形状是等边三角形. 故选C考点三 锐角三角函数的拓展探究与应用【例6】通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC 中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BC AB ==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1)sad60°＝________．(2)对于0＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是_______．(3)如图1②，已知sinA ＝35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值．．【答案】见解析【解析】(1)1； (2)0＜sadA ＜2；(3)如图2所示，延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接BD ．设AD ＝AB ＝5a ，由3sin 5BC A AB ==得BC ＝3a ， ∴ 22(5)(3)4AC a a a =-=，∴ CD ＝5a-4a ＝a ，22(3)10BD a a a =+=，∴ 10sadA BD AD ==．【变式训练】如图,定义:在Rt △ABC 中,锐角α的邻边与对边的比叫做∠α的余切,记作cot α,即cot α=∠α的邻边∠α的对边=ACBC .根据上述角的余切定义,解答下列问题:(1)cot30°= ;(2)已知tan A=34,其中∠A为锐角,则cot A的值为.【答案】（2）4 3【强化练习】1. 如图,以点O为圆心,半径为1的弧交坐标轴于A,B两点,P是AB⏜上一点(不与点A,B重合),连结PO,设∠POB=α,则点P的坐标是()A.(sinα,sinα)B.(cosα,cosα)C.(cosα,sinα)D.(sinα,cosα)【答案】C【解析】如图,过点P作PQ⊥OB,垂足为Q.在Rt△OPQ中,OP=1,∠POQ=α,∴sinα=PQOP ,cosα=OQOP,即PQ=sinα,OQ=cosα,则点P的坐标为(cosα,sinα).故选C.2. 如图,已知AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,AC=2√2,BC=1,那么sin∠ABD的值是.【答案】2√23【解析】∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,则AB=√12+(2√2)2=3.∵AB ⊥CD ,AC⏜=AD ⏜,∴∠ABC=∠ABD , ∴sin ∠ABD=sin ∠ABC=AC AB =2√23. 3. 在Rt △ABC 中,若2AB=AC ,则cos C= .【答案】.√32或2√55【解析】∵2AB=AC ,∴AB 不是最长边,即∠C ≠90°.分两种情况讨论:①当∠B=90°时,设AB=x ,则AC=2x ,∴BC=√(2x )2-x 2=√3x ,∴cos C=BC AC =√3x 2x =√32.②当∠A=90°时,设AB=y ,则AC=2y ,∴BC=√(2y )2+y 2=√5y ,∴cos C=AC BC =√5y =2√55. 综上所述,cos C 的值为√32或2√55. 4. 如图,在△ABC 中,∠B=45°,AC=5,cos C=35,AD 是BC 边上的高线.(1)求AD 的长;(2)求△ABC 的面积.【答案】见解析【解答】解:(1)∵AD ⊥BC ,∴∠ADC=∠ADB=90°.在Rt △ACD 中,AC=5,cos C=35,∴CD=AC ·cos C=3,∴AD=√AC 2-CD 2=4.(2)∵∠B=45°,∠ADB=90°,∴∠BAD=90°-∠B=45°,∴∠B=∠BAD ,∴BD=AD=4,∴S △ABC =12AD ·BC=12×4×(4+3)=14.5. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，且AB ＝10，CD 是⊙O 的弦，AD 与BC 相交于点P ，若弦CD ＝6，试求cos ∠APC 的值．【答案】见解析【解答】连结AC ，∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ACP ＝90°，又∵ ∠B ＝∠D ，∠PAB ＝∠PCD ，∴ △PCD ∽△PAB ，∴ PC CD PA AB=． 又∵ CD ＝6，AB ＝10，∴ 在Rt △PAC 中，63cos 105PC CD APC PA AB ∠====．。
北师大版九年级数学下册：第一章 1.4《解直角三角形》精品教案
北师大版九年级数学下册：第一章 1.4《解直角三角形》精品教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第一章《解直角三角形》是整个初中数学的重要内容，它不仅巩固了初中阶段的知识，同时也为高中阶段的数学学习打下了基础。
本节课的主要内容是让学生掌握直角三角形的性质，学会使用勾股定理和锐角三角函数，并能解决一些实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对直角三角形有一定的了解。
但是，对于如何运用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题，他们可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，我们需要关注学生的学习需求，引导学生主动探索，培养他们的解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解直角三角形的性质，掌握勾股定理和锐角三角函数的定义及应用。
2.能够运用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：直角三角形的性质，勾股定理和锐角三角函数的定义及应用。
2.教学难点：如何引导学生运用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生主动探索直角三角形的性质，激发学生的学习兴趣。
2.问题驱动法：设置一系列问题，引导学生思考和解决问题，培养学生的思维能力。
3.合作学习法：学生进行小组讨论和实践，提高学生的合作能力和动手能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，辅助教学。
2.教学素材：准备一些实际的直角三角形问题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如测量楼房的高度等，引出直角三角形的问题，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）通过课件展示直角三角形的性质，引导学生观察和思考，总结出直角三角形的性质。
3.操练（10分钟）让学生通过实际问题，运用勾股定理和锐角三角函数解决问题，巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）设置一些练习题，让学生独立完成，检查他们对直角三角形性质的掌握程度。
北师大版九年级数学下册：第一章 1《回顾与思考》精品教案
北师大版九年级数学下册：第一章 1《回顾与思考》精品教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第一章《回顾与思考》是对整个初中数学知识的总结与回顾。
本章通过对之前学习的知识进行梳理，帮助学生建立知识体系，提高解决问题的能力。
本节课的内容包括数的开方与乘方、勾股定理、相似三角形的性质等，旨在让学生通过回顾与思考，对所学知识有更深入的理解和掌握。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的大部分数学知识，对于数的开方与乘方、勾股定理、相似三角形的性质等概念和性质有一定的了解。
但部分学生在应用这些知识解决问题时，可能会出现混淆和错误。
因此，在教学过程中，需要关注学生的知识掌握情况，针对性地进行引导和讲解。
三. 教学目标1.帮助学生回顾和总结初中阶段的数学知识，建立知识体系。
2.提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和创新能力。
四. 教学重难点1.数的开方与乘方、勾股定理、相似三角形的性质等知识的运用。
2.学生对于实际问题进行分析，运用所学知识解决问题的能力。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动回顾和总结所学知识。
2.通过实例分析，让学生运用所学知识解决实际问题。
3.采用小组合作学习的方式，培养学生的团队合作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.准备相关知识点的PPT，用于呈现和讲解。
2.准备一些实际问题，用于引导学生运用所学知识解决。
3.准备黑板和粉笔，用于板书和标注。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些生活中的实际问题，引导学生运用所学知识解决。
例如，计算一个房间的面积，或者计算一个三角形的周长等。
通过这些问题，激发学生的学习兴趣，并引出本节课的内容。
2.呈现（10分钟）利用PPT呈现本的回顾与思考的内容，包括数的开方与乘方、勾股定理、相似三角形的性质等。
在呈现过程中，引导学生主动回顾和总结所学知识，并与同学进行交流。
3.操练（10分钟）针对每个知识点，设计一些练习题，让学生独立完成。
九年级l下册数学第一章知识点
九年级l下册数学第一章知识点数学是一门学科，它包括了许多知识点。
在九年级下册的数学课程中，第一章主要涉及了一些基础的知识点，下面我们一起来探讨一下。
一、有理数的概念有理数是指可以表示为两个整数的比值的数，包括整数和分数。
在第一章中，我们学习了如何将一个数判断为有理数，以及如何在数轴上表示有理数。
有理数的概念相对较为简单，但是在实际运用中却能发挥重要的作用。
例如，在计算中，我们经常会遇到需要比较大小、进行加减乘除等操作的数，而这些数往往都是有理数。
二、绝对值及其应用绝对值是一个数离0的距离，在数学中用符号“| |”来表示。
绝对值的性质有三个：非负性、正数的绝对值等于它本身、负数的绝对值等于它的相反数。
绝对值的应用非常广泛，例如在距离的计算中，我们常常使用绝对值来表示两个点之间的距离。
此外，在解决一些实际问题时，绝对值也可以用来表示误差、温度差等。
三、乘法的应用乘法是数学中一个非常基础而又重要的运算，它可以用来表示数量的增加或减少。
在第一章中，我们学习了乘法的应用。
乘法不仅可以用于求解两个数的乘积，还可以用来表示两个数之间的比例关系。
例如，在解决一些比例问题时，我们常常会使用乘法来计算未知数的值。
四、带有系数的一元一次方程方程是数学中一个非常重要的概念，它是通过字母和数字的组合来表示一个等式关系。
在第一章中，我们学习了带有系数的一元一次方程。
一元一次方程是指方程中只包含一个未知数，并且未知数的最高次数为1。
在解一元一次方程时，我们可以通过加减乘除等运算来求解。
一元一次方程在实际生活中的应用非常广泛，例如在物理学、化学、经济学等领域都需要使用方程来求解问题。
五、图形的认识与应用图形的认识与应用也是第一章中一个重要的知识点。
在学习图形时，我们学会了如何计算图形的周长和面积，以及如何绘制图形。
图形在日常生活中随处可见，比如街道上的交通标识、建筑物的平面图等。
掌握图形的认识与应用可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
九年级下数学第一章知识点
九年级下数学第一章知识点数学作为一门基础学科，对于学生的思维能力和逻辑思维能力有着重要的培养作用。
九年级下学期，数学的第一章内容围绕着数的整除性展开。
下面将介绍该章节的一些重要知识点和应用。
一、质数与合数在九年级下学期数学中，质数与合数是一个非常重要的概念。
质数指的是只能被1和它本身整除的自然数，比如2、3、5等。
而合数则是除了1和自身之外，还能被其他自然数整除的数，比如4、6、8等。
理解质数与合数的概念对于后面的学习很有帮助。
二、最大公因数与最小公倍数在九年级下学期数学中，最大公因数和最小公倍数是一个重要的概念。
最大公因数是指两个或多个数公有的约数中最大的那个数，最小公倍数则是指两个或多个数公有的倍数中最小的那个数。
最大公因数和最小公倍数在实际生活中有着广泛的应用，比如在分数化简、解方程等问题中都需要用到这两个概念。
三、素因数分解素因数分解也是九年级下学期数学中的重要内容。
素因数分解是将一个合数分解成几个质数的乘积的过程。
通过素因数分解，我们可以更好地理解一个数的因数结构，也可以应用到小数的化简、解方程等问题中。
四、公因式与公倍式在九年级下学期数学中，公因式与公倍式是一个需要掌握的重要知识点。
公因式指的是两个或多个数都能整除的因数，公倍式则是指两个或多个数都是其倍数的数。
通过找到两个或多个数的公因式或公倍式，可以更好地简化问题，化简分数、解方程等问题中经常会遇到。
五、约分与通分在九年级下学期数学中，约分与通分是一个非常基础的知识点。
约分是指将一个分数化简成最简形式的过程，通分则是指将多个分数的分母改成相同的公倍数的过程。
掌握约分和通分的技巧可以帮助我们更好地进行计算和化简。
六、有理数的整除性有理数的整除性也是九年级下学期数学中的一个重要知识点。
有理数是指可以表示为两个整数的比的数，包括正整数、负整数和分数。
在解方程、比大小等运算中，有理数的整除性对于帮助我们准确计算和判断有着重要的作用。
通过对九年级下数学第一章知识点的介绍，我们可以看到这些概念和技巧对于我们的数学学习和实际应用非常重要。
九年级数学下册 第一章《解直角三角形》教案 浙教版【精品教案】
第一章 解直角三角形 教案 教学目标：1、复习巩固所学的锐角三角函数与直角三角形及其应用等有关知识、方法；2、发展学生的数学应用意识，培养分析问题和解决问题的能力。
教学重点：锐角三角函数的概念、计算和解直角三角形。
教学难点：解直角三角形的实际应用教学过程：一、知识梳理 引导学生回忆本章所学知识，用图表的方式加以梳理概括。
着重说明以下几点：1、本章的重点是锐角的三角函数的概念、计算以及解直角三角形的一般方法。
2、注意对锐角三角函数概念的理解，要准确记忆30°、45°、60°角的三角函数值，有关锥度、坡度、方向角、仰角、俯角等概念的理解与应用。
二、例题教学：例1、如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB=Rt ∠，CD ⊥AB ，D 为垂足，CD=5，BD=2，求：(1) tanA; (2)cos ∠ACD;(3)AC 的长。
注意：角之间的转化，如∠ACD=∠B ，∠A=∠BCD 。
例2、在△ABC 中，∠C=90°，AB=,3D 为AC 上一点，且∠DBC=30°，COS ∠ABC=53. 求BC 和AD 的长。
注意：求AD 的长的关键在于求BC ，因此解此类问题应从两Rt △的公共边入手。
B2，求△ABC的面积。
例3 、已知：△ABC中，∠A=30°，∠C-∠B=60°，AC=2注意：画CD⊥AB，将解一般三角形问题转化为解直角三角形问题；在本题中，求公共直边CD成为求解的关键。
例4．北部湾海面上，一艘解放军军舰正在基地A的正东方向且距离A地40海里的B 处训练。
突然接到基地命令，要该舰前往C岛，接送一名病危的渔民到基地医院救治。
已知C岛在A的北偏东方向60°，且在B的北偏西45°方向，军舰从B处出发，平均每小时行驶20海里，需要多少时间才能把患病渔民送到基地医院?(精确到0.1小时)例5．如图，城市规划期间，要拆除一电线杆AB，已知距电线杆水平距离14米的D处有一大坝，背水坡的坡度i＝2:1，坝高CF为2米，在坝顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽为2米的人行道．请问：在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上?请说明理由(在地面上，以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域)。
【2019-2020】九年级数学下册 第1章 解直角三角形 1
教学资料参考范本【2019-2020】九年级数学下册第1章解直角三角形 1撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________(见A本57页)A 练就好基础基础达标1．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100 m到B地，再从B地向正南方向走200 m到C地，此时王英同学离A地( D ) A．150 m B．50m C．100 mD．100m2．如图所示，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD＝30°，在C点测得∠BCD＝60°，又测得AC＝100 m，则B点到河岸AD 的距离为( B )A．100 m B．50 m C. mD．50 m第2题图第3题图3．苏州中考如图所示，长4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°.为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为( B )A．2 m B．2 m C．(2－2) mD．(2－2) m4．西宁中考如图所示，为保护门源百里油菜花海，由“芬芳浴”游客中心A处修建通往百米观景长廊BC的两条栈道AB，AC. 若∠B＝56°，∠C＝45°，则游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为__60__ m．(sin 56°≈0.8，tan 56°≈1.5)第4题图第5题图5．如图所示，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且BD平分AC.若BD＝8，AC＝6，∠BOC＝120°，则四边形ABCD的面积为__12__(结果保留根号)．6．益阳中考如图所示，小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1 m，则旗杆PA的高度为____ m.7．绍兴中考如图所示，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60 m到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向．(1)求∠CBA的度数；(2)求出这段河的宽．(结果精确到1 m，备用数据：≈1.41，≈1.73)解：(1)由题意，得∠BAD＝45°，∠BCA＝30°，∴∠CBA＝∠BAD－∠BCA＝15°.(2)如图，作BD⊥CA交CA的延长线于D，设BD＝x，∵∠BCA＝30°，∴CD＝＝x，∵∠BAD＝45°，∴AD＝BD＝x，则x－x＝60，解得x＝≈82，即这段河的宽约为82 m.8．2017·乌鲁木齐中考一艘渔船位于港口A北偏东60°方向，距离港口20海里的B处，它沿北偏西37°方向航行至C处突然出现故障，在C处等待救援，B，C之间的距离为10海里，救援船从港口A出发20分钟到达C处，求救援艇的航行速度．(sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，≈1.732，结果取整数)解：作辅助线如图所示：BD⊥AD，BE⊥CE，CF⊥AF，由题意知，∠FAB＝60°，∠CBE＝37°，∴∠BAD＝30°，∵AB＝20海里，∴BD＝10海里，在Rt△ABD中，AD＝＝10≈17.32(海里)，在Rt△BCE中，sin37°＝，∴CE＝BC·sin37°≈0.6×10＝6(海里)，∵cos37°＝，∴EB＝BC·cos37°≈0.8×10＝8(海里)，EF＝AD＝17.32海里，∴FC＝EF－CE＝11.32(海里)，AF＝ED＝EB＋BD＝18(海里)，在Rt△AFC中，AC＝＝≈21.26(海里)，21．26÷＝64(海里/小时)．答：救援艇的航行速度大约是64海里/小时．B 更上一层楼能力提升9．扬州中考若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外(与点C在AB 同侧)，有下列三个结论：①sin∠C>sin∠D；②cos∠C>cos∠D；③tan∠C>tan∠D.正确的结论为( D )A．①②B．②③C．①②③D．①③10．如图所示，一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28 km/h的速度向正东方向航行，半小时后到达B 处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时，灯塔M与渔船的距离是( A )A．7 km B．14 km C．7 km D．14 km11．2017·苏州中考如图所示，在一笔直的沿湖道路l上有A，B 两个游船码头，观光岛屿C在码头Α北偏东60°的方向，在码头B北偏西45°的方向，AC＝4 km.游客小张准备从观光岛屿C乘船沿CA回到码头A或沿CB回到码头B.设开往码头A，B的游船速度分别为v1，v2，若回到A，B所用时间相等，则＝____(结果保留根号)．C 开拓新思路拓展创新12．如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，点P是的中点，连结PA，PB，PC.(1)如图(a)，若∠BPC＝60°，求证：AC＝AP；(2)如图(b)，若sin∠BPC＝，求tan∠PAB的值．第12题图解：(1)证明：∵∠BAC＝∠BPC＝60°.又∵AB＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵点P是的中点，∴∠ACP＝30°，又∵∠APC＝∠ABC＝60°，∴AC＝AP.(2)如图，连结AO并延长交PC于点E，交BC于点F，过点E作EG⊥AC于点G，连结OC.∵AB＝AC，∴AF⊥BC，BF＝CF.又∵点P是的中点，∴∠ACP＝∠PCB，∴EG＝EF.∵∠BPC＝∠BAC，又∵∠BAC＝∠FOC，∴∠BPC＝∠FOC，∴sin∠FOC＝sin∠BPC＝.设FC＝24a，则OC＝OA＝25a，∴OF＝7a，AF＝32a.在Rt△AFC中，AC2＝AF2＋FC2，∴AC＝40a.在Rt△AGE和Rt△AFC中，sin∠FAC＝＝，∴＝，∴EG＝12a.∴tan∠PAB＝tan∠PCB＝＝＝.13．如图所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如图(b)所示．晾衣架伸缩时，点G在射线DP上滑动，∠CED的大小也随之发生变化．已知每个菱形边长均等于20 cm，且AH＝DE＝EG＝20 cm.(1)当∠CED＝60°时，求C，D两点间的距离；(2)当∠CED由60°变为120°时，点A向左移动了多少 cm？(结果精确到0.1 cm)(3)设DG＝x，当∠CED的变化范围为60°～120°(包括端点值)时，求x的取值范围．(结果精确到0.1 cm，参考数据：≈1.732)图(b)第13题图解：(1)如图(a)，连结CD，13题答图(a)第13题答图(b)∵每个菱形的边长都是20 cm, 且DE＝20 cm，∴CE＝DE，∵∠CED＝60°，∴△CED是等边三角形，∴CD＝20 cm, ∴C，D两点之间的距离是20 cm.(2)如图(b)，作EM⊥CD于点M, 在△CED中，CE＝DE, ∠CED＝120°，∴∠ECD＝30°，∴EM＝CE＝10 cm，∴CM＝10 cm，∴CD＝20 cm，∴点C向左移动了(20－20) cm，∴点A向左移动了(20－20)×3≈43.9(cm)．(3)如图(a)，当∠CED＝60°时，∵ED＝EG, ∠CGD＝30°，在Rt△CGD中，cos 30°＝，∵CG＝40 cm，∴DG＝20≈34.6(cm)．如答图(b)，当∠CED＝120°时，∠CGD＝60°，∴DG＝CG＝20 cm，∴20 cm≤x≤34.6 cm.。
北师大版九年级数学下册：第一章 1.3《三角函数的计算》精品教学设计
北师大版九年级数学下册：第一章 1.3《三角函数的计算》精品教学设计一. 教材分析北师大版九年级数学下册第一章《三角函数的计算》的内容包括正弦、余弦、正切函数的定义，三角函数的图像和性质，以及三角函数在实际问题中的应用。
本节课的重点是让学生掌握三角函数的定义和计算方法，理解三角函数的图像和性质，能够运用三角函数解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了初中阶段的代数和几何知识，对函数的概念和性质有一定的了解。
但是，三角函数作为一种新的函数类型，对学生来说还是相对陌生的。
因此，在教学过程中，需要引导学生从已有的知识出发，逐步理解和掌握三角函数的概念和性质。
三. 教学目标1.了解三角函数的定义，掌握正弦、余弦、正切函数的计算方法。
2.理解三角函数的图像和性质，能够运用三角函数解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和创新能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.三角函数的定义和计算方法。
2.三角函数的图像和性质。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实际问题引入三角函数的概念，让学生在解决问题的过程中理解和掌握三角函数的性质。
2.数形结合法：通过绘制三角函数的图像，让学生直观地理解三角函数的性质。
3.小组合作学习：引导学生分组讨论和探究，培养学生的团队合作能力和创新能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作三角函数的图像和性质的课件，以便在课堂上进行展示和讲解。
2.练习题：准备一些有关三角函数计算和应用的练习题，以便在课堂上进行巩固和拓展。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入三角函数的概念，如在直角三角形中，边长为a、b、c的三角形的面积可以表示为S=1/2ab sinC，让学生思考sinC的定义和计算方法。
2.呈现（15分钟）讲解三角函数的定义，引导学生从已有的知识出发，理解三角函数的概念。
然后，通过绘制三角函数的图像，让学生直观地理解三角函数的性质。
3.操练（15分钟）让学生分组讨论和探究，运用三角函数的性质解决实际问题。
北师大版九年级数学下册第一章直角三角形边角关系(同步+复习)精品串讲课件
cosA等于_____. 6.在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AB=10 ， CD⊥AB，则sin∠ACD 的值是_____ .
B
3 7.在△ABC中，∠C=90°，sinA= 4 则tanB=_____ . 4 8.在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝ 3 则cosA= ______.
tanA=
A的对边 A的邻边
B
斜边 ∠A的对边 A ┌ ∠A的邻边 C
一．正切的概念
1. 2. 复习：直角三角形边边关系；角角关系—— 正切的概念
① 直角三角形中，一个锐角的大小一旦确定，它所 对的边与邻边的比值是一个确定的值。 ② 文 直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比值叫 做这个角的正切（值）。——是一个比值。 ③ 符 Rt△ABC中，锐角A确定，其对边与邻边的比值 也确定，这个比值叫做∠A的正切，记作： c B a a ∠A的对边 tanA= ———— =— b C b A ∠A的邻边 ④ 正切是对锐角定义的，是一个确定的比值，没有 单位，且与所在的直角三角形大小无关； tanA 是一个完整的符号，如果角用一个字母表示，角 的符号可以省略不写，如果角用三个字母表示， 角的符号不可省略； tanA＞0；变式使用： a=b a tanA或者：b= —— tanA
①Байду номын сангаас
α的对边 α的邻边 α的对边 α的斜边 α的邻边 α的斜边
角定值定 角变值变 角死值死
确定一个角的三个比值：一定角二定比三定值。 三值与角与比是对应的。 ② 都与三角形大小无关，只与角的大小对应的比值。 ③ 每个定义都是三个公式：一求比（角）二求两边。 ④ 0＜ sin α ＜1； 0＜ cos α ＜1； tan α任意大 ⑤ 平方： sin2 α= (sin α)2 ，而sin α2 则无意义。
北师大版九年级数学下册：第一章 1.3《三角函数的计算》精品教案
北师大版九年级数学下册：第一章 1.3《三角函数的计算》精品教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第一章第三节《三角函数的计算》主要介绍正弦、余弦和正切函数的定义及其计算方法。
本节课的内容是学生对三角函数的初步认识，是后续学习三角函数应用的基础。
教材通过实例引入三角函数的概念，引导学生理解三角函数的定义，并通过计算练习让学生掌握三角函数的计算方法。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了初中阶段的函数知识，对函数的概念和性质有一定的了解。
但是，对于三角函数这一新的函数类型，学生可能存在以下问题：1. 对三角函数的概念理解不深；2. 对三角函数的计算方法不熟悉；3. 对三角函数的实际应用能力不足。
因此，在教学过程中，需要注重对学生概念的理解和计算方法的指导，并通过实例让学生感受三角函数在实际问题中的应用。
三. 教学目标1.了解三角函数的定义，理解正弦、余弦和正切函数的概念；2. 掌握三角函数的计算方法，能够熟练进行三角函数的计算；3. 通过对实际问题的分析，体会三角函数在解决问题中的作用。
四. 教学重难点1.三角函数的定义；2. 三角函数的计算方法；3. 三角函数在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用讲授法、案例分析法、讨论法等多种教学方法，引导学生通过自主学习、合作学习，提高对三角函数的理解和应用能力。
六. 教学准备1.准备相关的案例和练习题；2. 准备三角函数的计算器；3. 准备多媒体教学设备。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入三角函数的概念，例如：“在直角三角形中，如何求解一个角的正弦、余弦和正切值？”引导学生思考三角函数的定义和计算方法。
2.呈现（10分钟）讲解三角函数的定义，引导学生理解正弦、余弦和正切函数的概念。
通过PPT展示相关的图像和实例，让学生直观地感受三角函数的特点。
3.操练（10分钟）让学生使用计算器进行三角函数的计算练习，教师巡回指导，解答学生遇到的问题。
4.巩固（5分钟）通过一些精选的练习题，让学生进一步巩固三角函数的计算方法。
北师大版九年级数学下册第1章 全章热门考点整合应用 (共27张PPT)
∴PF＝AD. ∴四边形APFD是平行四边形．
在Rt△APB中，AB＝4，BP＝3，∠B＝90°， ∴AP＝5＝PF.
∴四边形APFD是菱形．
AP 1 (3)根据tan ∠PAE＝ 可得 ＝2， PE 2
易得△ABP∽△PCE，
BP AB AP = ＝2或 ＝2， y a- 5 y 5- a
概念1
1
两个概念
锐角三角函数
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC
＝8，CD⊥AB于点D，求∠BCD的三个三角函数值.
思路导引： 求∠BCD的三个三角函数值，关键要弄清它们的 定义．由于∠BCD是Rt△BCD中的一个内角，根
据定义，仅一边BC的长是已知的，此时有两条路
可走，一是设法求出BD和CD的长，二是把∠BCD 转化成∠A，显然走第二条路较方便，因为在 Rt△ABC中，三边的长均可得出，利用三角函数 的定义即可求出答案．
方程思想是一种重要的思想方法，运用方程
思想可以建立已知量和待求量之间的关系式，
平时学习时，应该不断积累用方程思想解题 的方法．
考点
2
一个运算—— 特殊角的三角函数值与实数运算
3．计算： (1)tan 30°sin 60°＋cos230°－sin245°tan 45°； 1 1 2 (2) tan 45°＋ 2 －3cos230°＋ 4 sin 30°
BC 4 = . tan ∠BCD＝tan A＝ AC 3
概念2
解直角三角形
3 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sinB＝ ，D 5 是BC上一点，DE⊥AB于点E，CD＝DE，AC＋CD＝
9，求BE，CE的长．
思路导引： DE AC 3 = = , 可设DE 由sin B＝ DB AB 5 ＝CD＝3k，则DB＝5k，求得BC＝8k，AC＝6k，AB＝ 10k.再由AC＋CD＝9，可列出以k为未知数的方程，进而 求出各边的长．在Rt△BDE中，由勾股定理求BE的长，
【完整版】北师大版九年级下册数学第一章 直角三角形的边角关系含答案
北师大版九年级下册数学第一章直角三角形的边角关系含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，关于∠α与∠β的同一种三角函数值，有三个结论：①tanα＞tanβ，②sinα＞sinβ，③cosα＞cosβ．正确的结论为（）A.①②B.②③C.①③D.①②③2、如果∠A为锐角，sinA=，那么（）A.0°＜∠A＜30°B.30°＜∠A＜45°C.45°＜∠A＜60° D.60°＜∠A＜90°3、如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为( )A.4 米B.6 米C.12 米D.24米4、如图，在▱ABCD中，，，分别切边AB，AD于点E，F，且圆心O恰好落在DE上现将沿AB方向滚动到与边BC相切点O在的内部，则圆心O移动的路径长为A.4B.6C.D.5、如图，在△ABC中，∠C=90o， AC=3，BC=4，则sinB的值是（）A. B. C. D.6、勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣.英国佩里加（H.Perigal，1801﹣1898）用“水车翼轮法”（图1）证明了勾股定理.该证法是用线段QX，ST，将正方形BIJC分割成四个全等的四边形，再将这四个四边形和正方形ACYZ拼成大正方形AEFB（图2）.若AD＝，tan∠AON＝，则正方形MNUV的周长为（）A. B.18 C.16 D.7、如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O位于坐标＝（x＞0）的图象上，顶点B在原点，斜边AB垂直x轴，顶点A在函数y1＝（x＞0）的图象上，∠ABO＝30°，则＝（）函数y2A.﹣B.﹣C.﹣D.﹣8、如图，两条宽度均为40 m的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分（图中阴影部分）的路面面积是（）A. B. C.1600sinα(m 2) D.1600cosα(m 2)9、如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（）A. B. C. D.10、如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（）A. B. C. D.111、小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C=α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（）A. B. C. D.12、sin45°=（）A. B. C.1 D.13、如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上）．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为（）A.100 mB.50 mC.50 mD. m14、如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0,2),B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（）A. B. C. D.15、如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子的长是3米.若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离BC为（）A. 米B. 米C. 米D. 米二、填空题(共10题，共计30分)16、在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=4，BD=10，sin∠BDC=，则▱ABCD的面积是________．17、如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB= 米，背水坡CD的坡度i=1：（i为DF与FC的比值），则背水坡CD的坡长为________米．18、在Rt△ABC中，,BC=2,，则AB=________19、已知⊙O半径为，AB是⊙O的一条弦，且AB=3，则弦AB所对的圆周角度数是________.20、小明在学习“锐角三角函数”中发现，用折纸的方法可求出tan22.5°，方法如下：将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC 上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以知道tan22.5°=________21、在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝________.22、在Rt△ABC中，∠C=90°，2a=c，则∠A=________23、如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在格点上，则cosA=________24、将矩形纸片ABCD按如图M2-5方式折叠，M，N分别为AB，CD的中点。
九年级下册第一章知识点
九年级下册第一章知识点在九年级下册数学课本的第一章中，我们学习了一些重要的数学知识点。
这些知识点不仅是学习数学的基础，还在我们日常生活中起着重要的作用。
在这篇文章中，我将简要介绍并解释其中的一些知识点。
一、有理数的乘方在九年级下册第一章中，我们学习了有理数的乘方。
有理数的乘方运算是指一个有理数自乘若干次，其结果仍然是有理数。
例如，对于2的立方，即2³，可以表示为2 × 2 × 2，结果为8。
类似地，对于-2的平方，即(-2)²，可以表示为(-2) × (-2)，结果也为4。
有理数的乘方运算可以用来简化大数的表示和计算。
二、二次根式的化简在本章中，我们还学习了如何化简二次根式。
对于一个二次根式，我们可以将其化简为一个有理数。
例如，对于√12，我们可以将其分解为√(4 × 3)，然后进一步化简为2√3。
化简二次根式的方法可以帮助我们更好地理解和计算数学问题。
三、整式的加减第一章的另一个重要内容是整式的加减运算。
整式是由常数、变量和它们的乘积、幂次的和与差的代数式。
我们通过合并同类项来进行整式的加减运算。
合并同类项是指将具有相同的字母和指数的项进行合并。
例如，对于3x² + 2x² - 5x²，我们可以将其合并为(3 + 2 - 5)x²，即0x²，结果为0。
整式的加减运算可以帮助我们处理复杂的代数式，以便更好地解决数学问题。
四、一元二次方程的解法在本章中，我们还学习了一元二次方程的解法。
一元二次方程是形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知的实数，且a 不等于0。
解一元二次方程的关键是求出方程的根。
我们通过配方法、公式法和因式分解法等不同的方法来解一元二次方程。
解一元二次方程可以帮助我们求解与二次函数相关的问题。
五、平方根的性质在第一章中，我们还学习了平方根的性质。
北师大版九年级数学下册第一章 《30度,45度,60度角的三角函数值 》优课件
450 ┌
300
600 ┌
w请与同伴交流你是怎么想的?又是怎么做的?
做一做P10 3
知识在于积累
w(5)sin450,sin600等于多少? w(6)cos450,cos600等于多少?
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w(7)tan450,tan600等于多少?
驶向胜利 的彼岸
300 450
450 ┌ 600 ┌
做一做P11 4
九年级数学(下)第一章
直角三角形的边角关系
zxxkw
第二节 30°45°60°角的三角函数
学.科.网
回顾与思考1
锐角三角函数定义
驶向胜利 的彼岸
w直角三角形中边与角的关系:锐角三角函数.
w在直角三角形中,若一个锐角确定,那么这个角的对边,
邻边和斜边之间的比值也随之确定.
sin A a , cos A b ,
w例2 如图:一个小孩荡秋千,秋千链子的长度
为2.5m,当秋zxxkw千向两边摆动时,摆角恰好为600,
且两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与
其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到
0.01m). w解:如图,根据题意可知,
∠AOD 1600 300, OD=2.5m,
O
2
cos300
OC,
O C OcO D o D 30 s0 2.532.16 (m )5.
c
c
B
sin B b , cosB a ,
c
c
c a
┌
sinA和cosB,有什么关系?
A
b
C
sinA=cosB,
想一想P10 2
本领大不大
悟心来当家
驶向胜利 的彼岸
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1从梯子的倾斜程度谈起 习题课件
3
4
3
2
【解析】选C.如图，作AM⊥l4于点M，作CN⊥l4于点N， 则AM=h，CN=2h，∠ABM+∠BAM=90°， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°， ∴∠ABM+∠α=90°，∴∠BAM=∠α， ∴△ABM∽△BCN， ∴BM=AM·tan α=htan α， ∴
BM CN . AB BC
题组一：求锐角的正切值 1.如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1， 若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB的值 为( )
A．1B．1C． 2 D．3
3
2
2
【解析】选A．如图，在网格中构造含有∠ACB的Rt△ACD， 在该三角形中
AD 2，DC 6，tan ACB AD 2 1． DC 6 3
【自主解答】过点A,D分别作AH⊥BC,DF⊥BC，垂足分别为 点H,F. ∵AB=AC，AH⊥BC，
在Rt△ABH中，
∵AH∥DF，且BD是AC边上的中线，
BH 1 BC 1 10 5.
2
2
∴在Rt△DBF中A，H AB2－BH2 132－52 12.
DF 1 AH 6，CF FH， 2
htan 4 2h，tan 4 .
6
3
4.在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，则tan A=______.
【解析】由勾股定理，得
AC AB2 BC2 52 42 3，
答 t案an：A
BC AC
4 3
.
4
3
5.如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB于点D，BD＝2, 求tan A，tan B的值.
如果梯子与地面的夹角为∠A，那么sin A的值_____，梯子
初三数学教案-九年级数学下第一章北师大版 精品
教师备课笔记上课日期月日星期更陡.?从图中很容易发现∠ABC>∠EFD，所以梯子AB比梯子AC＝ED，所以只要比较BC、FD的长度即可知哪个梯子比梯子EF陡.我们再来看一个问题(用多媒体演示)我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度，即哪一个更陡，就比较困难了问中得到什么启示呢?问的图形中梯子的垂直高度即AC和ED是相等的，而水平宽度由此我想到梯子的垂直高度与水平宽度的比值越大，：及AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度和直角三角形AB2C2有什么关系?和有什么关系?没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比.是锐角的正切.?梯子的倾斜程度与tanA有关分析：比较甲、乙两个自动电梯哪一个陡，只需分别求α、tan β的值，比较大小，越大，扶梯就越陡解：甲梯中，tan α=513522-=∠∠的邻边的对边αα0.001)是坡角，∠A的正切即tanA为山的坡度.教师备课笔记上课日期月日星期如果有，是怎样的关系?你由此可得出什么结论?的三角函数(trigonometricfunction).你能用自己的语言解释一下你是如何理解“sinA、cosA、tanA都是之A的中，1B C. 陡，.sinA 的值越大，梯子越陡.正弦值也能反映. BC的三角函数概念中，∠A是自变量，确定时，三个比值分别唯一变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应.类比前一节课的内容，我们又进一步思考了正弦和余弦的值与梯子倾斜程度之间的关系以及用正弦和教师备课笔记上课日期月日星期是已知的，设BE=a米，则AD＝°角的直角三角形有一个非常重要的性质：30°的角所对的边等于斜教 师 备 课 笔 记上课日期 月 日 星期中，∠α＝16°，AB=200米，需求出BC. 根据正弦的定义，sin16°=200BCAB BC , °＝200 sin16°(米).°米中的“sin16°”是多少呢?我们知道，三角函数中，当角的大小确定时，三角函数值与直角三角形的大小无关，随着角度的确定而确定°、45°、60°可以根据勾股定理和含这些特殊角的直角三角形″的按键顺序如表所示.教师备课笔记上课日期月日星期这条斜道的倾斜角是多少?ABC中，BC=10 m，AC＝40 m， sinA＝1BC.要用到键的第二功能、、和已知键即可显示以“度、分、教学时，给学生以充分交流的时间和空间，教师要引导学生14.47751219以∠A=14°28′39″.教师巡视，对有困难的学生予以及时指导CD=19.2 mm，要求∠ACB，BC=9.8 cm，教师备课笔记上课日期月日星期在我们来看他是怎样测的，并根据他得到的数据帮他求出塔的高度.在这个图中，教师备课笔记上课日期月日星期为什么这样就能求出物体的高度，你能说明理由吗中，∠MCE=α，AN=EC=l们从小明的测量过程中得到启示，要测量底部不可以到达的物体的高度，可按下面处安置测角仪，测得此时物体MN的顶端M的仰角∠MCE处安置测角仪(A、B与N都在同一条直线上教师备课笔记上课日期月日星期(2)问，在现实生活中.一个物体的高度已知或很容易得到，你能想办法测量某测点到该物体的水平距离吗?特别是该物体从测点不容易到达的仰角∠MCE=α，以及测倾器的高到物体MN的水平距离AN.教师备课笔记上课日期月日星期根据题意可知∠CMB=30°，∠CMA ＝60输水路线是否会穿过居民区，关键看A 到MN 的最短距离大于D ．CMB ＝30°． ∴∠ABN=4560°-30°=30°． 45°，BD ＝︒45tan AD＝AD ， AMD=30°，tan30° =MDAD ，MD=tanA, tanA=A sin或可以转化为直角三角形的问题，都可以用三角函数来解决．2=43134+-++．。
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九年级数学下册第一章1第1课时利用二次函数解决实物抛物线问题、面积问题基础题知识点1 利用二次函数解决实物抛物线问题1．河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y＝－x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时，这时水面宽度AB为(C)A．－20 m B．10 m C ．20 m D．－10 m2．西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3 m，此时距喷水管的水平距离为 m，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是(C)A．y＝－(x－)2＋3B．y＝－3(x＋)2＋3C．y＝－12(x－)2＋3D．y＝－12(x＋)2＋33．某工厂大门是一抛物线水泥建筑物(如图)，大门地面宽AB＝4 m，顶部C离地面高为4.4 m.(1)以AB所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式；(2)现有一辆载满货物的汽车欲通过大门，货物顶点距地面2.8 m，装货宽度为2.4 m，请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门．解：(1)如图，过AB的中点作AB的垂直平分线，建立平面直角坐标系．点A，B，C的坐标分别为 A(－2，0)，B(2，0)，C(0，4.4)．设抛物线的表达式为y＝a(x－2)(x＋2)．将点C(0，4.4)代入得a(0－2)(0＋2)＝4.4，解得a＝－1.1，∴y＝－1.1(x－2)(x＋2)＝－1.1x2＋4.4.故此抛物线的表达式为y＝－1.1x2＋4.4.(2)∵货物顶点距地面2.8 m，装货宽度为2.4，∴只要判断点(－1.2，2.8)或点(1.2，2.8)与抛物线的位置关系即可．将x＝1.2代入抛物线，得 y＝2.816＞2.8，∴点(－1.2，2.8)和点(1.2，2.8)都在抛物线内．∴这辆汽车能够通过大门．知识点2 利用二次函数解决面积问题4．(教材P32习题T2变式)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是(C)A．60 m2 B．63 m2C．64 m2 D．66 m25．某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100 m，则池底的最大面积是(B)A．600 m2 B．625 m2C．650 m2 D．675 m26．(教材P31练习T2变式)将一根长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是cm2. 7．在一幅长80 cm、宽50 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是y cm2，设金色纸边的宽为x cm，要求纸边的宽度不得少于1 cm，同时不得超过2 cm.(1)求出y关于x的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围；(2)此时金色纸边的宽应为多少厘米时，这幅挂图的面积最大？求出最大面积．解：(1)镶金色纸边后风景画的长为(80＋2x)cm，宽为(50＋2x)cm，∴y＝(80＋2x)(50＋2x)＝4x2＋260x＋4 000(1≤x≤2)．(2)∵二次函数y＝4x2＋260x＋4 000的对称轴为直线x＝－，∴在1≤x≤2上，y随x的增大而增大．∴当x＝2时，y取最大值，最大值为4 536.答：金色纸边的宽为2 cm时，这幅挂图的面积最大，最大面积为4 536 cm2.中档题8．(2018·绵阳)如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，水面下降2 m，则水面宽度增加(4－4) m.9．某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50 m)，中间用两面墙隔开(如图)，已知计划中的建筑材料可建墙的长度为48 m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值是144m2.10．如图，小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子，给他做了个简易秋千，拴绳子的地方离地面都是 2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高 1 m 的小明距较近的那棵树0.5 m时，头部刚好接触到绳子，则绳子最低点距离地面的距离为多少米？解：如图，建立平面直角坐标系，由图可设抛物线的函数表达式为y＝ax2＋c.把(－0.5，1)，(1，2.5)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧（－0.5）2a ＋c ＝1，a ＋c ＝2.5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝12. ∴绳子所在抛物线的函数表达式为y ＝2x2＋.∵当x ＝0时，y ＝，∴绳子最低点距离地面的距离为0.5 m.11．(2018·荆州)为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18 m ，另外三边由36 m 长的栅栏围成，设矩形ABCD 空地中，垂直于墙的边AB ＝x m ，面积为y m2.(如图)(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)若矩形空地的面积为160 m2，求x 的值；(3)若该单位用8 600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵(每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表)．问丙种植物最多可购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明你的理由．解：(1)y ＝－2x2＋36x.(9≤x ＜18)(2)由题意，得－2x2＋36x ＝160.解得x1＝8(舍去)，x2＝10.∴x 的值为10.(3)设甲、乙、丙三种植物各购买a 棵，b 棵，c 棵．则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝400，14a ＋16b ＋28c ＝8 600，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1 100＋6c ，b ＝1 500－7c.∵∴183＜c＜214.∴c最大为214，即丙种植物最多可以购买214棵．当c＝214时，a＝184，b＝2，184×0.4＋2×1＋214×0.4＝161.2(m2)．∵y＝－2x2＋36x＝－2(x－9)2＋162，∴当x＝9时，空地的面积最大为162 m2.∵162＞161.2，∴这批植物可以全部栽种到这块空地上．第2课时利用二次函数解决销售问题及其他问题基础题知识点1 商品销售问题1．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售价为x元，则可卖出(350－10x)件商品，那么卖出商品所赚钱y元与售价x元之间的函数关系为(B)A．y＝－10x2－560x＋7 350B．y＝－10x2＋560x－7 350C．y＝－10x2＋350xD．y＝－10x2＋350x－7 3502．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，该件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为(A)A．5元B．10元C．0元D．6元3．某商店经营某种商品，已知每天获利y(元)与售价x(元/件)之间满足关系式y＝－x2＋80x－1 000，则每天最多可获利600元．4．(教材P32习题T3变式)一名在校大学生利用“互联网＋”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/件)之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？解：(1)设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b.将(10，30)，(16，24)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧10k ＋b ＝30，16k ＋b ＝24. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝40.∴y 与x 的函数关系式为y ＝－x ＋40(10≤x ≤16)．(2)根据题意知，W ＝(x －10)y＝(x －10)(－x ＋40)＝－x2＋50x －400＝－(x －25)2＋225.∵a ＝－1＜0，∴当x ＜25时，W 随x 的增大而增大．∵10≤x ≤16，∴当x ＝16时，W 取得最大值，最大值为144.答：当每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．5．(教材P31例变式)“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价．已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同．(1)求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？(2)若该型号自行车的进价不变，按(1)中的标价出售，该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？解：(1)设该型号自行车进价为x 元，则标价是1.5x 元，由题意，得1．5x×0.9×8－8x ＝(1.5x －100)×7－7x ，解得x＝1 000.则1.5×1 000＝1 500(元)．答：该型号自行车进价为1 000元，标价为1 500元．(2)设该型号自行车降价a元，利润为w元，由题意，得w＝(51＋×3)(1 500－1 000－a)＝－(a－80)2＋26 460.∵－＜0，∴当a＝80时，w最大＝26 460.答：该型号自行车降价80元时，每月获利最大，最大利润是26 460元．知识点2 其他最值问题6．烟花厂为长沙橘子洲头周六晚上的烟花表演特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h＝－t2＋20t＋1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为(B)A．3 s B．4 s C．5 s D．6 s7．某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橘子．设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种10棵橘子树，橘子总个数最多．中档题8．向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是(B)A．第8秒B．第10秒C．第12秒D．第15秒9．(2017·天门)飞机着陆后滑行的距离s(单位：米)关于滑行的时间t(单位：秒)的函数表达式是s＝60t－t2，则飞机着陆后滑行的最长时间为20秒．10．(2018·安徽)小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2.(单位：元)(1)用含x的代数式分别表示W1，W2；(2)当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？解：(1)第二期培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期培植盆景(50＋x)盆，花卉[100－(50＋x)]＝(50－x)盆，由题意，得W1＝(50＋x)(160－2x)＝－2x2＋60x＋8 000，W2＝19(50－x)＝－19x＋950.(2)W＝W1＋W2＝－2x2＋60x＋8 000＋(－19x＋950)＝－2x2＋41x＋8 950.∵－2＜0，－＝10.25，x为整数，∴当x＝10时，W最大，W最大＝－2×102＋41×10＋8 950＝9 160(元)．综合题11．(2018·黄冈)我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品，经分析发现月销售量y(万件)与月份x(月)的关系为：y＝每件产品的利润z(元)与月份x(月)的关系如下表：(1)请你根据表格求出每件产品利润z(元)与月份x(月)的关系式；(2)若月利润w(万元)＝当月销售量y(万件)×当月每件产品的利润z(元)，求月利润w(万元)与月份x(月)的关系式；(3)当x 为何值吋，月利润w 有最大值，最大值为多少？解：(1)根据表格可知：当1≤x ≤10(x 为整数)，z ＝－x ＋20；当11≤x ≤12(x 为整数)，z ＝10.∴z 与x 的关系式为：z ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋20（1≤x≤10，x 为整数），10（11≤x≤12，x 为整数）， 或z ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋20（1≤x≤9，x 为整数），10（10≤x≤12，x 为整数）. (2)当1≤x ≤8时，w ＝(－x ＋20)(x ＋4)＝－x2＋16x ＋80；当9≤x ≤10时，w ＝(－x ＋20)(－x ＋20)＝x2－40x ＋400；当11≤x ≤12时，w ＝10(－x ＋20)＝－10x ＋200.∴w 与x 的关系式为：w ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x2＋16x ＋80（1≤x≤8，x 为整数），x2－40x ＋400（9≤x≤10，x 为整数），－10x ＋200（11≤x≤12，x 为整数）.或w ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x2＋16x ＋80（1≤x≤8，x 为整数），x2－40x ＋400＝121（x ＝9），－10x ＋200（10≤x≤12，x 为整数）.(3)当1≤x ≤8时，w ＝－x2＋16x ＋80＝－(x －8)2＋144.∴当x ＝8时，w 有最大值为144.当9≤x≤10时，w＝x2－40x＋400＝(x－20)2.此时w随x增大而减小，∴当x＝9时，w有最大值为121.当11≤x≤12时，w＝－10x＋200，此时w随x增大而减小，∴当x＝11时，w有最大值为90.∵90＜121＜144，∴当x＝8时，w有最大值为144.或当1≤x≤8时，w＝－x2＋16x＋80＝－(x－8)2＋144，∴当x＝8时，w有最大值为144；当x＝9时，w＝121；当10≤x≤12时，w＝－10x＋200，此时w随x增大而减小，∴当x＝10时，w有最大值为100.∵100＜121＜144，∴当x＝8时，w有最大值144.11 / 11。