高二数学学案：《复合函数求导》(人教版选修)

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2019-2020学年高中数学 1.2.3复合函数的导数教案新人教版选修2-2.doc

2019-2020学年高中数学 1.2.3复合函数的导数教案新人教版选修2-2
【学情分析】：
在学习了用导数定义这种方法计算常见函数的导数,而且已经熟悉了导数加减运算法则后.本节将继续介绍复合函数的求导方法. 【教学目标】：
(1)理解掌握复合函数的求导法则.
(2)能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导
(3)培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律．【教学重点】：
简单复合函数的求导法则，也是由导数的定义导出的，要掌握复合函数的求导法则，须在理解复合过程的基础上熟记基本导数公式，从而会求简单初等函数的导数并灵活应用. 【教学难点】：
复合函数的求导法则的导入,复合函数的结构分析,可多配例题, 让学生对求导法则有一个直观的了解.
【教学过程设计】：
个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？)()]g x f ='')()])f x g =
x
u . 求下列函数的导数：32(32)31812x x =-=-，x u u y ''⋅
对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求。

高中数学 1.2.2(2)复合函数的求导法则高中教案教案新人教A版选修2-2

1.2.2复合函数的求导法则教学目标理解并掌握复合函数的求导法则．教学重点复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．教学难点正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．一．创设情景（一）基本初等函数的导数公式表（2）推论：[]''()()cf x cf x =（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）二．新课讲授复合函数的概念一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作。

复合函数的导数复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦三．典例分析例1（课本例4）求下列函数的导数：（1）2(23)y x =+；（2）0.051x y e -+=；（3）sin()y x πϕ=+（其中,πϕ均为常数）．解：（1）函数2(23)y x =+可以看作函数2y u =和23u x =+的复合函数。

根据复合函数求导法则有x u x y y u '''=⋅=2''()(23)4812u x u x +==+。

（2）函数0.051x y e -+=可以看作函数u y e =和0.051u x =-+的复合函数。

根据复合函数求导法则有x u x y y u '''=⋅=''0.051()(0.051)0.0050.005u u x e x e e -+-+=-=-。

人教版高中数学(理科)选修复合函数的导数

复合函数的导数(一)●教学目标(一)教学知识点复合函数的求导法则.(二)能力训练要求1.理解掌握复合函数的求导法则.2.能够利用上述公式，并结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导．(三)德育渗透目标1.培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律．2.培养学生归纳、猜想的数学方法．3.加深学生对一般和特殊的理解，培养学生用联系的观点看问题.4.培养学生的创新能力，提高学生的数学素质.●教学重点复合函数的求导法则的概念与应用，复合函数的导数是导数的重点，也是导数的难点.●教学难点复合函数的求导法则的导入与理解.要弄清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导.求导时对哪个变量求导要写明，可以通过具体的例子，让学生对求导法则有一个直观的了解.●教学方法建构主义式由几个具体的实例，通过学生自己动手计算，比较结果，进行观察、总结，能够自己发现规律，得到结论.让学生主动地进行学习，而不是被动地接受知识.培养学生的创新意识.●教具准备实物投影仪先由几个例子，引出复合函数的求导法则.几个例子可以先写在纸上，用表格的形式写出，分别让学生求y′，y′u，u′x和y′·u′x，答案写入表格中，让学生将y′与y′u·uu′x的结果进行比较.●教学过程Ⅰ.课题导入［师］我们已经学习一些基本初等函数的导数.基本初等函数一共有六种：①常量函数y=C(C是常数)，②幂函数y=xα(α∈R)，③指数函数y=a x(a>0，a≠1)，④对数函数，y=log a x(a>0，a≠1，x>0)，⑤三角函数y=sin x，y=cos x，y=tan x，y=cot x，⑥反三角函数y=arcsin x，y=arccos x，y=arctan x，y=arccot x.其中常量函数、幂函数、三角函数的导数，已经学过了，指数函数和对数函数，下几节课学.这节课我们来学习由基本初等函数复合而成的复合函数的导数.Ⅱ.讲授新课(一)复合函数的导数［师］我们来看几个函数.(由实物投影仪投影出来)［师］这五个函数都是由一些一次函数、二次函数、三次函数和三角函数复合而成的.像这种形式的函数，即由几个函数复合而成的函数，就叫做复合函数，下面来求一下y′x，y′u，u′x和y′·u′x，并且y′u·u′x用x表示.u(给学生时间做题，做好了，让学生回答，说出答案，老师用笔，写在纸上，让投影仪投影出来，再让学生观察表格中的数据有什么关系.虚框内的是后来填上去的)［生］这几个函数y′x与y x′·u′x的值是相同的.［师］我们把u称为中间变量，那对于一般的复合函数是不是有相同的结论呢？要求y′x，只要求y′u与u′x的乘积，也就是说y′x=y′u·u′x，我们来证明一下下面的一个命题.［板书］1.设函数u=ϕ(x)在点x处有导数u′x=ϕ′(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u)，则复合函数y=f(ϕ (x))在点x处也有导数，且y′x=y′u·u′x或f′x(ϕ (x))=f′(u) ϕ′(x).证明：设x 有增量Δx ，则对应的u ，y 分别有增量Δu ，Δy ，因为u =φ(x )在点x 可导，所以u =ϕ (x )在点x 处连续.因此当Δx →0时，Δu →0.(为了证明起来比较方便，而且不影响结论的情况下，我们只考虑)当Δu ≠0时，由x u u y x y ∆∆⋅∆∆=∆∆. 且x y u y u x ∆∆=∆∆→∆→∆00lim lim . ∴xu u y x u u y x u u y x y x u x x x x ∆∆⋅∆∆=∆∆⋅∆∆=∆∆⋅∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆000000lim lim lim lim lim lim 即y ′x =y ′u ·u ′x .［师］所以对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求y ′x 时，就可以转化为求y u ′和u ′x 的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同.上述证明的命题就是复合函数的求导法则.2.复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数.(二)课本例题［例1］求y =(2x +1)5的导数(让学生设中间变量).解：设y =u 5，u =2x +1∴y ′x =y ′u ·u ′x =(u 5)′u ·(2x +1)′x=5u 4·2=5(2x +1)4·2=10(2x +1)4注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数.［师］有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导.(三)精选例题［例1］求f (x )=sin x 2的导数(让学生设中间变量)解：令y =f (x )=sin u ;u =x 2∴y ′x =y ′u ·u ′x =(sin u )′u ·(x 2)x ′=cos u ·2x =cos x 2·2x =2x cos x 2∴f ′(x )=2x cos x 2［例5］求y =sin 2(2x +3π)的导数.［分析］设u =sin(2x +3π)时，求u ′x ，但此时u 仍是复合函数，所以可再设v =2x +3π.解：令y =u 2，u =sin(2x +3π)，再令u =sin v ，v =2x +3π∴y ′x =y ′u u ′x =y ′u (u ′v ·v ′x )∴y ′x =y ′u ·u ′v ·v ′x =(u 2)′u ·(sin v )′v ·(2x +3π)′x =2u ·cos v ·2=2sin(2x +3π)cos(2x +3π)·2 =4sin(2x +3π)cos(2x +3π)=2sin(4x +32π)即y ′x =2sin(4x +32π)［例3］求32c bx ax y ++=的导数.［学生板演］解：令y =3u ，u =ax 2+bx +c∴y ′x =y ′u ·u ′x =(3u )′u ·(ax 2+bx +c )′x =3231-u ·(2ax +b ) =31(ax 2+bx +c )32-(2ax +b ) =322)(32c bx ax bax +++即y ′x =322)(32c bx ax b ax +++［例4］求y =51x x -的导数.［学生板演］解：令x xu u y -==1,5∴y ′x =y ′u ·u ′x =(5u )′u ·(x x-1)′x即y ′x =－542)(51x x x -［例5］求y =sin 2x 1的导数.解：令y =u 2，u =sin x 1，再令u =sin v ，v =x 1∴y ′x =y ′u ·u ′v ·v ′x=(u 2)′u ·(sin v )′v ·(x 1)′x=2u ·cos v ·210x - =2sin x 1·cos x 1·21x -=－21x ·sin x 2∴y ′x =－21x sin x 2［例6］求函数y =(2x 2－3)21x +的导数.［分析］y 可看成两个函数的乘积，2x 2－3可求导，21x +是复合函数，可以先算出21x +对x 的导数.解：令y =uv ，u =2x 2－3，v =21x +令v =ω，ω=1+x 2v ′x =v ′ωω′x =(ω)′ω(1+x 2)′x =22211122)2(21xx x x x +=+=-ω ∴y ′x =(uv )′x =u ′x v +uv ′x=(2x 2－3)′x ·21x ++(2x 2－3)·21x x + =4x 23232161321x x x xxx x ++=+-++ 即y ′x =2316x xx ++ Ⅲ.课堂练习1.求下列函数的导数(先设中间变量，再求导).(1)y =(5x －3)4 (2)y =(2+3x )5(3)y =(2－x 2)3 (4)y =(2x 3+x )2解：(1)令y =u 4，u =5x －3∴y ′x =y ′u ·u ′x =(u 4)′u ·(5x －3)′x=4u 3·5=4(5x －3)3·5=20(5x －3)3(2)令y =u 5，u =2+3x∴y ′x =y ′u ·u ′x =(u 5)′u ·(2+3x )′x=5u 4·3=5(2+3x )4·3=15(2+3x )4(3)令y =u 3，u =2－x 2∴y ′x =y ′u ·u ′x =(u 3)′u ·(2－x 2)′x=3u 2·(－2x )=3(2－x 2)2(－2x )=－6x (2－x 2)2(4)令y =u 2，u =2x 3+x∴y ′x =y ′u ·u ′x =(u 2)′u ·(2x 3+x )′x=2u ·(2·3x 2+1)=2(2x 3+x )(6x 2+1)=24x 5+16x 3+2x2.求下列函数的导数(先设中间变量，再求导)(n ∈N *)(1)y =sin nx (2)y =cos nx (3)y =tan nx (4)y =cot nx解：(1)令y =sin u ，u =nx y ′x =y ′u u ′x =(sin u )′u ·(nx )′x =cos u ·n =n cos nx(2)令y =cos u ，u =nxy ′x =y ′u ·u ′x =(cos u )′u ·(nx )′x =－sin u ·n =－n sin nx(3)令y =tan u ，u =nxy ′x =y ′u ·u ′x =(tan u )′u ·(nx )′x =(uu cos sin )′u ·n =2)(cos )sin (sin cos cos u u u u u --⋅·n =nxn n u 22cos cos 1==n ·sec 2nx (4)令y =cot u ，u =nxy ′x =y ′u ·u ′x =(cot u )′u ·(nx )′x =(u u sin cos )′u ·n =2)(sin cos cos sin sin u u u u u ⋅-⋅-·n =－u 2sin 1·n =－nx n 2sin =－n csc 2nxⅣ.课时小结这节课主要学习了复合函数的求导法则，复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即y′x=y′u·u′x，并且在利用复数的求导法则求导数后，最后结果要把中间变量换成自变量的函数.复合函数，可以是一个中间变量，也可以是两个或多个中间变量，应该按照复合次序从外向内逐层求导.Ⅴ.课后作业(一)课本P125，习题3、4，1(1)(2)，2(1)(2)，3(2).(二)1.预习内容，课本P124~125例2、例3.2.预习提纲预习例2、例3的解题过程，复习巩固复合函数的求导法则.●板书设计。

人教版高中数学(理科)选修复合函数的导数教案

复合函数的导数教学目的1．使学生进一步明确复合函数的概念，并能正确地确定复合函数的中间变量；2．使学生掌握复合函数的求导公式及其推导的方法；3．使学生初步学会运用公式求复合函数的导数．教学重点和难点复合函数的求导公式是本节课的重点．复合函数概念和复合函数求导公式的推导方法是本节课的难点．教学过程一、复习提问求以下函数的导数：(1)y＝(3x－2)2；(2)y=(x2)3．(请一名学生板演，并将结果保留在黑板上，其余学生在座位上演算)．解：(1)∵(3x－2)2=9x2－12x＋4，∴ y'=(9x2－12x＋4)'=18x－12．(1)二、引入新课我们可以把复习提问第(1)题中的函数y＝(3x－2)2看成由y＝u2，u=3x－2复合而成的，而有将(1)和(3)相比较有再看复习提问第(2)题中的函数y＝(x2)3，我们也可将它看成由y＝u3，u＝x2复合而成的函数，即y=u3=(x2)3．将(2)和(4)相比较也有由此，我们可以得到以下两点启示：(要对照前面两个具体例子加以解释．)2．(*)和(**)得到的是同样的结论，它是否有普遍性？即能否作为复合函数求导的法那么？下面我们将给出证明．三、讲解新课分析：所以要证明定理的结论成立，只需证明因此上式等价于追问：以上的分析有无漏洞？(如果学生能指出分析过程中的漏洞，那么给予充分肯定，如果学生发现不了，那么教师应给予提示．)因为u是x的函数，上述分析的过程中，Δu的变化是随着Δx的变化而变化的，当x 改变Δx时，u既可能相应地有一个非零的改变量Δu，也可能有一个等于零的改变量Δu=0．而上述分析过程必须在Δu≠0的前提下才能完成(这就是前面“分析〞过程的漏洞所在)．那么Δu=0的情况如何呢？当Δu=0时，定理给出的公式也是成立的．(证明略去，有兴趣的学生可以在课余去思考或看有关参考书．)证明：(请一名学生口述，教师代其板书，师生一起完成证明过程．)上面定理实际上给出了复合函数的求导法那么：复合函数对自变量的导数，等于函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数．这个法那么通过数学归纳法可以推广到两个以上的中间变量．例如，如果y=y(u)，u＝u(v)，v＝v(x)，例1求y＝(2x＋1)5的导数．解：设y＝u5，u＝2x＋1，＝5u4·2=5(2x＋1)4·2＝10(2x＋1)4．注意：在利用复合函数的求导法那么求导数后，要把中间变量换成自变量的函数．设y=u-4，u=1－3x，那么＝2u·cosv·2(在讲解以上三例时，着重引导学生找准各复合函数的中间变量，明确每次求导是哪个变量对哪个变量求导．)四、课堂练习1．求以下复合函数的导数(设中间变量)：熟练之后，可以不写出过程中设中间变量的步骤，例如解上面练习各题可以直接写成：(1)y'＝[(x2－1)3]'(3)y'＝[(1＋sinx)2]'＝2(1＋sinx)·cosx＝2cosx(1＋sinx)．(4)y'＝[(1－cos2x)2]'＝2(1－cos2x)·sin2x·2＝4sin2x·(1－cos2x)．如果更为熟练了，那么上面求导过程中带“(*)〞号的步骤也可以省去不写．由课堂练习第(3)和第(4)题可见，对于经过多层次复合及四那么运算而成的复合函数，也可利用复合函数求导法那么，由外向里逐层求导．2．今后我们将要证明公式(xa)′＝ax a-1对一切实数a都成立．运用这个公式和复合函数求导法那么求以下无理函数的导数：(以上两题由教师带着学生完成．)五、小结2．求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，并适当选定中间变量，明确求导过程中每次是哪个变量对哪个变量求导．3．对于经过多次复合及四那么运算而成的复合函数，可以运用公式由外向里逐层求导．六、布置作业1．把以下函数看成由一些比较简单的函数复合而成的，写出它们的复合过程：2．求以下复合函数的导数(设中间变量)：3．求以下函数的导数：(3)y＝(1＋x2)2sin(ax＋b)；(4) y＝(1＋cos2x)3．4．求以下函数的导数：。

高中数学选择性必修二 5 2 3简单复合函数的导数教案

即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
例6求下列函数的导数：
（1）
（2）
（3）
解：
（1）函数可以看作函数的复合函数.根据复合函数的求导法则，有
（2）函数可以看作函数的复合函数.根据复合函数的求导法则，有
（3）函数可以看作函数和的复合函数.根据复合函数的求导法则，有
例7某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）关于时间t（单位：s）的函数满足关系式
3设函数f(x)的导函数是，若
，则 __ .
解：
则
∴
∴
∴
∴ .
4已知函数为可导的偶函数，
（c为常数），若，则 __.-2
解：
∵ ，为可导的偶函数，
∴ ，
∴
∵
∴
∴
开门见山，提出问题，引导学生探究复合函数的求导问题。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模等核心素养。
通过对复合函数的概念及求导法则的学习，发展学生数学抽象、数学运算、数学建模等核心素养。
（1）函数的中间变量为
.则函数的导数为，
（2）函数的中间变量为
.则函数的导数为，
（3）
函数的中间变量为
.则函数的导数为，
（4）
函数的中间变量为
.则函数的导数为，
（5）
函数的中间变量为
.则函数的导数为，
（6）
函数的中间变量为
，所以
则函数的导数为，
2已知函数，若，则 ___1
解：
则，则 .
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
3例题讲解
4课堂练习
板书
1复合函数
2复合函数的求导法则

【教案】简单复合函数的导数教学设计高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

第五章一元函数的导数及其应用《5.2.3简单复合函数的导数》教学设计 1.了解复合函数的概念．2．理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数．教学重点：复合函数的概念及求导法则教学难点：简单复合函数的导数PPT 课件．【新课导入】问题1：阅读课本第78~80页，回答下列问题：（1）本节将要探究哪类问题？（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．）本节课主要学习简单复合函数的导数；（函数的概念及其求导法则的学习，帮助学生进一步提高导数的运算能力，同时提升学生为运用导数解决函数问题，打下坚实的基础．在学习过程中，注意特殊到一般、数形结合、转化与化归的数学思想方法的渗透．设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．问题2：导数的四则运算法则是什么？师生活动：学生回顾并回答．预设的答案：[()()]()()f x g x f x g x +='+''；[()()]()()f x g x f x g x -='-''；[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x ''='+；2()()()()()(()0)()[()]f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤-''=≠⎢⎥⎣⎦. 特别地[()]()cf x cf x '='.设计意图：复习前节课的主要知识，温故而知新．◆ 教学过程◆ 课前准备◆ 教学重难点◆ ◆ 教学目标问题3：如何求函数y ＝ln （2x -1）的导数呢？设计意图：提出问题，开门见山，引导学生探究复合函数的求导问题．发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．【探究新知】知识点1：复合函数的概念一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过中间变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x )) ．【说一说】（1）函数y ＝ln （2x -1）是由哪些函数复合而成的？（2）函数y ＝sin2x 是由哪些函数复合而成的？师生活动：学生回答．预设的答案：（1）函数y ＝ln （2x -1）是由y ＝ln u 和u ＝2x -1复合而成．（2）函数y ＝sin2x 是由y ＝sin u 和u =2x 复合而成．问题5：如何求函数y ＝sin2x 的导数呢？师生活动：教师引导学生思考并回答．教师完善、讲解．预设的答案：(sin 2)(2sin cos )2(sin cos )y x x x x x ''''===2[(sin )cos sin (cos )]x x x x ''=+2[cos cos sin (sin )]2cos2x x x x x =⋅+-=追问：函数y ＝sin2x 是由y ＝sin u 和u =2x 复合而成的，如果以x y '表示y 对x 的导数，u y '表示y 对u 的导数，x u '表示u 对x 的导数，那么x y '与u y '及x u '有什么关系呢？师生活动：学生先求出u y '和x u '然后找关系．教师完善、讲解．预设的答案：(sin )cos u y u u ''==，(2)2x u x ''==，又x y '2cos2x =，所以x u x y y u '''=⋅．知识点2：复合函数的求导法则一般地，对于由函数y ＝f (u )，u ＝g (x )复合而成的函数y ＝f (g (x ))，它的导数与y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅．即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．设计意图：通过对复合函数的概念及求导法则的推导．发展学生数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养．【练一练】判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝sin(πx )的复合过程是y ＝sin u ，u ＝πx ． ( )(2)f (x )＝ln(3x －1)则f ′(x )＝1()31f x x '=-． ( ) (3)f (x )＝x 2cos2x ，则f ′(x )＝2x cos2x ＋2x 2sin2x ． ( )师生活动：学生独立完成，教师完善．预设的答案：(1)√ (2) × (3) ×【巩固练习】例1求下列函数的导数（1）y =（3x +5）3；（2）y =e -0.05x +1；(3) y =ln(2x -1)．师生活动：学生分组讨论，每组派一代表回答．教师完善．预设的答案：（1）函数y =（3x +5）3可以看作函数y =u 3和u =3x +5的复合函数，根据复合函数求导法则，有322()(35)339(35)x u x y y u u x u x '''''=⋅=⋅+=⋅=+；（2）函数y =e -0.05x +1可以看作函数y =e u 和u =-0.05x +1 的复合函数，根据复合函数求导法则，有0.051()(0.051)(0.05)0.05u u x x u x y y u e x e e -+'''''=⋅=⋅-+=⋅-=-；（3）函数y =ln(2x -1)可以看成是由y =ln u 和u =2x -1的复合函数，根据复合函数求导法则，有11(ln )(21)221x u x y y u u x u x '''''=⋅=⋅-=⋅=-．设计意图：通过典型例题的分析和解决，帮助学生熟练掌握复合函数的求导，发展学生数学运算、直观想象和数学抽象的核心素养．2．解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．例2某个弹簧振子在振动过程中的位移y (单位:mm)关于时间t (单位:s)的函数满足关系式218sin()32y t ππ=- .求函数在t =3s 时的导数，并解释它的实际意义．师生活动：学生分组讨论，每组派一代表回答；教师完善．预设的答案：函数218sin()32y t ππ=-可以看作函数y =18sin u 和232u t ππ=-的复合函数，根据复合函数的求导法则，有222(18sin )()18cos 12cos()32332t u t y y u u t u t ππππππ'''''=⋅=⋅-=⋅=-，当t =3时，2312cos(3)12cos 0322t y πππππ'=⨯-==．它表示当t =3s 时，弹簧振子振动的瞬时速度为0mm/s ．设计意图：通过弹射振子的位移问题，体现了复合函数求际的实际应用．发展学生数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养．方法总结：（1）复合函数求导，关键是分析复合函数的结构，找出相应的中间变量，从而根据复合函数的求导法则进行求导．（2）三角函数型函数的求导要求：对三角函数型函数的求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，再进行求导.（3）复合函数的求导法则熟悉后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外到内逐层求导.练习：教科书P 81练习1、2逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养．【课堂总结】1．板书设计：5. 2.3简单复合函数的导数新知探究巩固练习知识点1：复合函数的概念例1 知识点2：复合函数的求导法则例22．总结概括：简单复合函数的求导法则师生活动：学生总结，老师适当补充．3．课堂作业：教科书P 81习题5.22、5教科书P 81 练习3 【目标检测设计】1．函数y ＝(x 2－1)n 的复合过程正确的是( )A ．y ＝u n ，u ＝x 2－1B ．y ＝(u －1)n ，u ＝x 2C ．y ＝t n ，t ＝(x 2－1)nD ．y ＝(t －1)n ，t ＝x 2－1设计意图：进一步巩固复合函数的概念．2．函数y ＝x 2 sin 2x 的导数为( )A ．y ′＝2x sin 2x －x 2 cos 2xB ．y ′＝2x sin 2x －2x 2 cos 2xC ．y ′＝x 2 sin 2x －2x cos 2xD ．y ′＝2x sin 2x ＋2x 2 cos 2x设计意图：进一步巩固复合函数的求导法则．3．已知f (x )＝ln(3x －2021)，则f ′(1)＝________.设计意图：进一步巩固复合函数的求导法则以及求导数值．4．已知f (x )＝x e －x ，则f (x )在x ＝2处的切线斜率是________．设计意图：进一步巩固复合函数的导数以及导数的几何意义．参考答案：1．A2．D y ′＝(x 2)′sin 2x ＋x 2(sin 2x )′＝2x sin 2x ＋x 2(cos 2x )•(2x )′＝2x sin 2x +2x 2cos 2x .3．32018-∵13()33202132021f x x x '=⋅=--，∴3(1)2018f '=-. 4．21e -∵f (x )＝x e －x ，∴f ′(x )＝e －x －x e －x ＝(1－x )e －x ，∴21(2)f e '=-. 根据导数的几何意义知f (x )在x ＝2处的切线斜率为k ＝21e -.。

高二数学选修2-2复合函数的导数教案

高二数学选修2-2复合函数的导数教案一、学习目标理解并掌握复合函数的求导法则．二、重点难点本节的重点是复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．本节的难点是：正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．三、典型例题1．求复合函数的导数例1求y ＝sin （tan x 2）的导数．【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．2．和、差、积、商的导数中的复合函数的导数．例2求y ＝sin 43 x cos 3 4 x 的导数【点评】复合函数为三层复合．正确认识复合过程关键是熟悉初等函数和导数公式．例3求y ＝ax x ax 22--的导数．【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．3．开阔思路，恰当选用求导数方法．例4求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数．【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－21sin 22 x ＝1－41（1－cos 4 x ）＝43＋41cos 4 x ． y ′＝－sin 4 x ．【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．例5求y ＝A A sin 1sin 1++- （0＜A ＜2π) 【解法一】y ＝A A sin 1sin 1++-（0＜A ＜2π) ∴ y ＝)2πcos(1)2πcos(1A A -++--＝2sin （24πA -）＋2cos （24πA -）＝2 [22sin （24πA -）＋22cos （24πA -）]＝2 sin （22πA -）＝2 cos 2Ay ′＝(2 cos 2A )′＝－sin 2A ．【解法二】y ′＝(A sin 1-)′＋(A sin 1+)′ ＝21(1－sin A )21-(－cos A )＋21(1＋sin A )21-cos A ＝AA A A cos 2)sin 1sin 1(cos +-- ∵ A ∈（0，2π）＝21[（cos 2A －sin 2A ）－（cos 2A ＋sin 2A ）] ＝－sin 2A ．【解法三】∵ 0＜A ＜2π y ＝A sin 1-＋A sin 1+＝（cos 2A －sin 2A ）＋（cos 2A ＋sin 2A ）＝2 cos 2A ． y ′＝－sin 2A ．【点评】解法一和解法三都是先化简，但难易有别，繁简差异较大，恰当选择公式是关键．解法二是从和的导数求导数入手．后面的化简较繁．例6曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 xy ′＝－3 x 2＋2 x ＋2 令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－31或x ＝1．于是切点为P （1，2），Q （－31，－2714），过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为2|1271431|++-＝22716．【点评】例6复习导数的运算和导数的几何意义．。

高二数学复合函数求导导学案新人教A版

高二数学复合函数求导导学案新人教A 版【学习目标】1.理解掌握复合函数的求导法则.2.能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导3.培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律．【重点难点】重点：复合函数的求导法则的概念与应用难点：复合函数的求导法则的导入与理解【自主学习】阅读教材1716P P -，并回答下面几个问题：1．常见的导数公式：（1）=')(c （2）=')(αx ____ （3）=')(sin α（4）=')(cos α （5）=')(αa （6）=')(xe _________（7）=')(log x a （8）=')(ln x _________ 2．导数基本法则：一般地，对和，如果通过变量和______________________________________.【巩固训练，整理提高】一．例题例1：试说明下列函数是怎样复合而成的？并求其导数。

⑴32)2(x y -=； ⑵2sin x y =；（3）x y 2sin = （4）)4cos(x y -=π；例2．求5)12(+=x y 的导数例3．求32c bx ax y ++=的导数.*例4．求函数y =(2x 2－3)21x +的导数.二、练习1．求下列函数的导数(1)y =(5x －3)4 (2)y =(2+3x )5 (3)y =(2－x 2)3 (4)y =(2x 3+x )22．求下函数的导数.(1) y =sin(3x －6π) (2) y =32)12(1-x (3) y =cos(1+x 2) *(4) y =4131+x*3．已知y =21sin2x +sin x ,那么y ′是（） A.仅有最小值的奇函数 B.既有最大值，又有最小值的偶函数C.仅有最大值的偶函数D.非奇非偶函数4．函数y =sin 3(3x +4π)的导数为（） A.3sin 2(3x +4π)cos(3x +4π) B.9sin 2(3x +4π)cos(3x +4π) C.9sin 2(3x +4π) D.－9sin 2(3x +4π)cos(3x +4π) 5．函数y =cos(sin x )的导数为（）A.－［sin(sin x )］cos xB.－sin(sin x )C.［si n(sin x )］cos xD.sin(c os x )6．函数y =cos2x +sin x 的导数为（）A.－2sin2x +x x 2cosB.2sin2x +x x 2cosC.－2sin2x +x x 2sinD.2sin2x －xx 2cos 7.已知曲线 y = x 3 + x －2 在点 P 0 处的切线 1l 平行直线4x －y －1=0，且点 P 0 在第三象限, ⑴求P 0的坐标; ⑵若直线 1l l ⊥ , 且 l 也过切点P 0 ,求直线l 的方程.三．课堂总结通过本节课的学习，你有哪些收获？《导数概念及导数的运算》巩固训练班级________ 姓名____________1、已知函数2()21f x x =-的图象上一点(1,1)及邻近一点,1(1)x y ∆++∆，则y x ∆∆等于（）A ．4B ．4x ∆C ．42x +∆D ．242x +∆2、如果质点M 按规律23S t =+运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度为（）A ．4B ．4.1C ．0.41D ．33. 已知函数f(x)在x=1处的导数为1，则 xf x f x 2)1()1(lim 0-+→=( ) A ．2 B ．1 C ． 21 D ．41 4、如果质点A 按规律32S t =运动，则在3t =秒的瞬时速度为（）A ．6B ．18C ．54D ．815. 已知函数f (x )=ax 2＋c ,且f ′(1)=2,则a 的值为（）A.1B.2C.－1D.0 6. 已知函数f(x)在x=1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为（）A ．(x-1)3+3(x-1)B ．2(x-1)2C ．2(x-1)D ．x-17．下列命题正确的是（）（A ）(lgx )’=1x （B ）(lgx )’=ln10x （C ）(3x )’=3x （D ）(3x )’=3x ·ln3 8. 曲线3x 2－y ＋6=0在x =－61处的切线的倾斜角是（） A.4π B.－4π C.43π D.－43π 9. 函数y =(2x ＋1)3在x =0处的导数是（）A.0B.1C.3D.6 10．设曲线2x y =在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为（）A ．（3，9）B ．（－3，9）C ．（49,23）D ．（49,23-） 11．函数)0,4(2cos π在点x y =处的切线方程是（）A ．024=++πy xB ．024=+-πy xC ．024=--πy xD ．024=-+πy x12.曲线y=x 3+x-2在点P 0处的切线平行于直线y=4x-1,则P 0的坐标是（）A.(0,1)B.(1,0)C.(-1,0)D.(1,4) 科目：高二理科数学主备人：罗忠康审核：罗忠康时间：2019-12-22 编号：713.一质点做直线运动,由始点起经过ts 后的距离为s=41t 4-4t 3+16t 2,则速度为零的时刻是（） A.4s 末 B.8s 末 C.0s 与8s 末 D.0s,4s,8s 末14.函数xx y 12-=的导数是（） A ．x x 12- B ．x x 12+ C ．221x x - D ．221x x - 15．函数（） A ．4x +3 B ．4x -1 C ．4x -5 D ．4x -316．设f (x )为可导函数，且满足0(1)(1)lim 2x f f x x→--=－1，则曲线y =f (x )在点(1, f (1))处的切线的斜率是（）（A ）2 （B ）－1 （C ）21 （D ）－2 17．若曲线y =f (x )在点(x 0, f (x 0))处的切线方程为2x －y +1=0，则f ’(x 0)=_________18.设函数f (x )=2x 3＋ax 2＋x , f ′(1)=9,则a =______.19曲线13++=x x y 在点（1，3）处的切线方程是_____________________。

人教A版选修1-1教案：2.3复合函数的导数(含答案)

§1.2.3复合函数的导数
【学情分析】：
在学习了用导数定义这种方法计算常见函数的导数,而且已经熟悉了导数加减运算法则后.本节将继续介绍复合函数的求导方法.
【教学目标】：
(1)理解掌握复合函数的求导法则.
(2)能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导
(3)培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律．
【教学重点】：
简单复合函数的求导法则，也是由导数的定义导出的，要掌握复合函数的求导法则，须在理解复合过程的基础上熟记基本导数公式，从而会求简单初等函数的导数并灵活应用.
【教学难点】：
复合函数的求导法则的导入,复合函数的结构分析,可多配例题,让学生对求导法则有一个直观的了解.
32(32)31812u x x =-=-，x u u y ''⋅。

高中数学1.23复合函数的导数导学案新人教A版选修22

高中数学1.23复合函数的导数导学案新人教A版选修221．2.3复合函数的导数【学习目标】明确复合函数的定义及构成，掌握复合函数的求导法则【重点难点】复合函数求导法则的运用（多层复合，求导彻底）一、自主学习要点1 对于函数y ＝f [φ(x )]，令u ＝φ(x )，若y ＝f (u )是中间变量u 的函数，u ＝φ(x )是自变量x 的函数，则函数y ＝f [φ(x )]是自变量x 的要点2 复合函数y ＝f (g (x ))是y ＝f (u )，u ＝g (x )的复合，那么y ′x ＝二、合作，探究，展示，点评题型一明确复合关系例1 指出下列函数的复合关系：(1)y ＝(2－x 2)3； (2)y ＝sin x 2； (3)y ＝cos(π4－x ); (4)y ＝ln sin(3x －1)．思考题1 (1)指出下列函数的复合关系．①y ＝(sin x )2；②y ＝sin 3(1－1x)； (2)若f (x )＝x ，φ(x )＝1＋sin2x ，则f [φ(x )]＝________，φ[f (x )]＝________.题型二求复合函数的导数例2 求下列函数的导数：(1)y ＝11－2x2； (2)y ＝sin x 2； (3)y ＝a cos x (a >0，a ≠1)； (4)y ＝5log 2(2x ＋1)．思考题2 求下列函数的导数：(1)y ＝cos(3x 2－π6)； (2)y ＝ln(ln x )； (3)y ＝11＋5x3. 题型三切线问题例3 求曲线y ＝1x 2－3x在点(4，12)处的切线方程．思考题3 (1)曲线y ＝3x 2＋1在点(1,2)处的切线方程为__________________．(2)y ＝11－x2的水平切线方程是________．三、知识小结复合函数的求导过程就是对复合函数由外层向里求导，每次求导都是针对着最外层的相应变量进行的，直至求到最里层为止，所谓最里层是指可以直接引用基本公式表进行求导．《导数的四则运算》课时作业1．函数y ＝2sin x cos x 的导数为 ( )A ．y ′＝cos xB ．y ′＝2cos2xC ．y ′＝2(sin 2x －cos 2x )D ．y ′＝－sin2x2．函数f (x )＝1x 3＋2x ＋1的导数是 ( ) A.1x 3＋2x ＋12 B.3x 2＋2x 3＋2x ＋12 C.－3x 2－2x 3＋2x ＋12 D.－3x 2x 3＋2x ＋123．函数y ＝(x －a )(x －b )在x ＝a 处的导数为 ( )A ．abB ．－a (a －b )C ．0D ．a －b4．函数y ＝x ·ln x 的导数是 ( )A ．x B.1xC ．ln x ＋1D ．ln x ＋x 5．函数y ＝cos x x的导数是 ( ) A ．－sin x x 2 B ．－sin x C ．－x sin x ＋cos x x 2 D ．－x cos x ＋cos x x 26．曲线y ＝x x －2在点(1，－1)处的切线方程为 ( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝2x －3D ．y ＝－2x ＋1 7．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( ) A.193 B.163 C.133D.103 8．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，点P 处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是 ( )A.23π，πB.? ????π2，56πC.0，π2∪? ????56π，πD.0，π2∪23π，π 9．函数y ＝xcos x的导数是 ( ) A.1＋x cos x B.cos x －x sin x cos 2x C.cos x ＋x cos 2x D.cos x ＋x sin x cos 2x10．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)等于 ( )A ．0B ．－4C ．－2D ．211．已知f (1x )＝x 1＋x，则f ′(x )＝ ( ) A.11＋x B ．－11＋x C.11＋x 2 D ．－11＋x2 12．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为 ( )A ．4B ．－14C ．2D ．－1213．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为______________．14．设f (x )＝ax 2－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′(π3)＝12，则a ＝________，b ＝________. 15．求下列函数的导数．(1)f (x )＝(x 3＋1)(2x 2＋8x －5)； (2)f (x )＝1＋x 1－x ＋1－x1＋x； (3)f (x )＝ln x ＋2x x 2. 16．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图像都过点P (2,0)，且在点P 处有公共切线，求f (x )、g (x )的表达式．17．若直线y ＝kx 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，求k 的值．18．已知曲线S ：y ＝3x －x 3及点P (2,2)，则过点P 可向S 引切线，其切线条数为( )A ．0B ．1C ．2D ．319．曲线y ＝x (x ＋1)(2－x )有两条平行于y ＝x 的切线，则两切线之间的距离为________．。

高二数学选修2-2_《复合函数的导数》教学教案

复合函数的导数学习目的：理解复合函数的求导法则学习重点：复合函数的求导法则的概念与应用学习难点：复合函数的求导法则的导入与理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：复合函数的导数是导数的重点，也是导数的难点。

要弄清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导.求导时对哪个变量求导要写明，可以通过具体的例子，让学生对求导法则有一个直观的了解.学习过程：一、复习引入：1.常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=.2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭. 二、讲解新课：1.复合函数: 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数)(u f y =与)(x u ϕ=复合而成的函数一般形式是)]([x f y ϕ=，其中u 称为中间变量.2.求函数2(32)y x =-的导数的两种方法与思路：方法一：22[(32)](9124)1812x y x x x x '''=-=-+=-；方法二：将函数2(32)y x =-看作是函数2y u =和函数32u x =-复合函数，并分别求对应变量的导数如下：2()2u y u u ''==，(32)3x u x ''=-=两个导数相乘，得232(32)31812u x y u u x x ''==-=-，从而有 x u x u y y '''⋅=对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求y ′x 时，就可以转化为求y u ′和u ′x 的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同.3.复合函数的导数：设函数u =ϕ(x )在点x 处有导数u ′x =ϕ′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (ϕ (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或f ′x (ϕ (x ))=f ′(u ) ϕ′(x ).证明：（教师参考不需要给学生讲）设x 有增量Δx ，则对应的u ，y 分别有增量Δu ，Δy ，因为u =φ(x )在点x 可导，所以u =ϕ (x )在点x 处连续.因此当Δx →0时，Δu →0.当Δu ≠0时，由xu u y x y ∆∆⋅∆∆=∆∆. 且x y u y u x ∆∆=∆∆→∆→∆00lim lim . ∴xu u y x u u y x u u y x y x u x x x x ∆∆⋅∆∆=∆∆⋅∆∆=∆∆⋅∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆000000lim lim lim lim lim lim 即x u x u y y '''⋅= (当Δu ＝0时，也成立)4.复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数.5.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代.三、讲解范例：例1试说明下列函数是怎样复合而成的？（1）32)2(x y -=；（2）2sin x y =；（3）)4cos(x y -=π；（4）)13sin(ln -=x y ．解：（1）函数32)2(x y -=由函数3u y =和22x u -=复合而成；（2）函数2sin x y =由函数u y sin =和2x u =复合而成；（3）函数)4cos(x y -=π由函数u y cos =和x u -=4π复合而成；（4）函数)13sin(ln -=x y 由函数u y ln =、v u sin =和13-=x v 复合而成.说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等.例2写出由下列函数复合而成的函数：（1）u y cos =，21x u +=；（2）u y ln =，x u ln =.解：（1）)1cos(2x y +=；（2）)ln(ln x y =.例3求5)12(+=x y 的导数．解：设5u y =，12+=x u ，则x u x u y y '''⋅=)'12()'(5+⋅=x u x2)12(52534⋅+=⋅=x u 4)12(10+=x .注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数.有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导.例4求f (x )=sin x 2的导数.解：令y =f (x )=sin u ; u =x 2∴x u x u y y '''⋅==(sin u )′u ·(x 2)x ′=cos u ·2x =cos x 2·2x =2x cos x 2∴f ′(x )=2x cos x 2例5求y =sin 2(2x +3π)的导数. 分析: 设u =sin(2x +3π)时，求u ′x ，但此时u 仍是复合函数，所以可再设v =2x +3π. 解：令y =u 2，u =sin(2x +3π)，再令u =sin v ，v =2x +3π∴x u x u y y '''⋅==y ′u (u ′v ·v ′x )∴y ′x =y ′u ·u ′v ·v ′x =(u 2)′u ·(sin v )′v ·(2x +3π)′x =2u ·cos v ·2=2sin(2x +3π)cos(2x +3π)·2 =4sin(2x +3π)cos(2x +3π)=2sin(4x +32π) 即y ′x =2sin(4x +32π) 例6求32c bx ax y ++=的导数.解：令y =3u ，u =ax 2+bx +c∴x u x u y y '''⋅==(3u )′u ·(ax 2+bx +c )′x =3231-u ·(2ax +b ) =31(ax 2+bx +c )32-(2ax +b )=322)(32c bx ax b ax +++ 即y ′x =322)(32c bx ax bax +++例7求y =51xx -的导数. 解：令xx u u y -==1,5 ∴x u x u y y '''⋅==(5u )′u ·(x x -1)′x 4455221(1)(1)11(1)()55x x x x x x x u x x x --''-------=⋅=⋅21x -===即y ′x =－542)(51x x x -例8 求y =sin 2x 1的导数. 解：令y =u 2，u =sin x 1，再令u =sin v ，v =x 1 ∴x u x u y y '''⋅=·v ′x =(u 2)′u ·(sin v )′v ·(x 1)′x =2u ·cos v ·210x -=2sin x 1·cos x 1·21x-=－21x ·sin x 2 ∴y ′x =－21x sin x 2例9 求函数y =(2x 2－3)21x +的导数.分析: y 可看成两个函数的乘积，2x 2－3可求导，21x +是复合函数，可以先算出21x +对x 的导数.解：令y =uv ，u =2x 2－3，v =21x +, 令v =ω，ω=1+x 2x x v v ωω'''=⋅=ω' (1+x 2)′x =22211122)2(21xx x x x +=+=-ω ∴y ′x =(uv )′x =u ′x v +uv ′x=(2x 2－3)′x ·21x ++(2x 2－3)·21xx+ =4x 23232161321x x x xxx x ++=+-++ 即y ′x =2316x xx ++ .四、课堂练习：1．求下列函数的导数(先设中间变量，再求导).(1)y =(5x －3)4 (2)y =(2+3x )5 (3)y =(2－x 2)3(4)y =(2x 3+x )2解：(1)令y =u 4，u =5x －3 ∴x u x u y y '''⋅==(u 4)′u ·(5x －3)′x =4u 3·5=4(5x －3)3·5=20(5x －3)3(2)令y =u 5，u =2+3x∴x u x u y y '''⋅==(u 5)′u ·(2+3x )′x =5u 4·3=5(2+3x )4·3=15(2+3x )4(3)令y =u 3，u =2－x 2∴x u x u y y '''⋅==(u 3)′u ·(2－x 2)′x=3u 2·(－2x )=3(2－x 2)2(－2x )=－6x (2－x 2)2(4)令y =u 2，u =2x 3+x∴x u x u y y '''⋅==(u 2)′u ·(2x 3+x )′x=2u ·(2·3x 2+1)=2(2x 3+x )(6x 2+1)=24x 5+16x 3+2x2.求下列函数的导数(先设中间变量，再求导)(n ∈N *)(1)y =sin nx (2)y =cos nx (3)y =tan nx (4)y =cot nx解：(1)令y =sin u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(sin u )′u ·(nx )′x =cos u ·n =n cos nx(2)令y =cos u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(cos u )′u ·(nx )′x =－sin u ·n =－n sin nx(3)令y =tan u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(tan u )′u ·(nx )′x =(uu cos sin )′u ·n =2)(cos )sin (sin cos cos u u u u u --⋅·n =nxn n u 22cos cos 1==n ·sec 2nx (4)令y =cot u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(cot u )′u ·(nx )′x =(uu sin cos )′u ·n =2)(sin cos cos sin sin u u u u u ⋅-⋅-·n =－u 2sin 1·n =－nxn 2sin =－n csc 2nx .五、小结：（1）复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；（2）复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代.六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：。

高中数学 1.2.3复合函数的求导法则学案新人教A版选修2-2

1.2.3复合函数的未求导法则【学习目标】理解并掌握复合函数的求导法则【学习重难点】重点：复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积难点：正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确【学习过程】一、学前准备 1：求)4(23-=x x y 的导数2：求函数2(23)y x =+的导数二、合作探究：探究一：复合函数的求导法则问题：求(sin 2)x '=?解答：由于(sin )cos x x '=，故(sin 2)cos2x x '= 这个解答正确吗?新知：一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作：(())y f g x = 复合函数的求导法则：两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数.用公式表示为：x u x y y u '''=，其中u 为中间变量.即： y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.试试：(sin 2)x '=反思：求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量。

典型例题例1 求下列函数的导数：（1）2(23)y x =+；（2）0.051x y e -+=；（3）sin()y x πϕ=+（其中π，ϕ均为常数）变式：求下列函数的导数：（1）cos 3x y =；（2）1y x =-小结：复合函数的求导不仅可以推广到三重，还可推广到四重、五重.例2 求描述气球膨胀状态的函数33()4Vr V π=.小结：求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量。

函数33()4Vr V π=?【学习检测】1. （A)设2sin y x =，则y '=（）A ．sin 2xB ．2sin xC ．22sin xD ．2cos x2. （A)已知2()ln(1)f x x x =++，则()f x '是（） A ．奇函数 B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数3. （A)2(log (23))x '-+=4. （A)(lg tan )x '=5(B)求下列函数的导数；（1）99(1)y x =+；（2）2x y e -=；（3）2sin(25)y x x =+6.(B) 求下列函数的导数；（1）2tan y x x =；（2）32(2)(31)y x x =-+；（3）2ln xy x =；（4）23(21)x y x =+【小结与反思】。

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学习目标
复合函数的分解，求复合函数的导数.
重点：求复合函数的导数
难点：复合函数的分解
学习过程
一、课前准备
复习教材1617P P -后，疑惑之处：
复习1：求)4(23-=x x y 的导数
复习2：求函数2(23)y x =+的导数
二、新课导学
学习探究
探究任务一：复合函数的求导法则
问题：求(sin 2)x '=?
解答：由于(sin )cos x x '=，故(sin 2)cos 2x x '= 这个解答正确吗?
新知：一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作：(())y f g x =
复合函数的求导法则：
两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数.用公式表示为：x u x y y u '''=g ，
其中u 为中间变量.即： y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.
试试：(sin 2)x '=
反思：求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量。

典型例题
例1 求下列函数的导数：
（1）2(23)y x =+；（2）0.051x y e -+=；
（3）sin()y x πϕ=+（其中π，ϕ均为常数）
变式：求下列函数的导数：
（1）cos 3
x y =；（2）y =
小结：复合函数的求导不仅可以推广到三重，还可推广到四重、五重.
动手试试
练1. 函数()r V =
?求()r V '
练2. 一个距地心距离为r ，质量为m 的人造卫星，与地球之间的万有引力F 由公式2GMm F r =给出，其中M 为地球队质量，G 为常量，求F 对于r 的瞬时变化率.
三、总结提升
学习小结
1. 会分解复合函数.
2. 会求复合函数的导数. x u x y y u '''=g ；其中u 为中间变量.即：y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.
知识拓展
人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.
学习评价
当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1. 设2sin y x =，则y '=（）
A ．sin 2x
B ．2sin x
C ．22sin x
D ．2cos x
2. 已知()ln(f x x =+，则()f x '是（）
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．非奇非偶函数
D ．既是奇函数又是偶函数
3. (lg tan )x '=
4. 2(log (23))x '-+=
5. 已知2()2(1)f x x xf '=+，则(0)f '等于
课后作业
1. 求下列函数的导数；
（1）99(1)y x =+；（2）2x y e -=；
（3）2sin(25)y x x =+
2. 求下列函数的导数；
（1）2tan y x x =；（2）32(2)(31)y x x =-+；
（3）2ln x y x =；（4）2
3(21)x y x =+。