固体物理答案第3章(20200511192744)

1

3 . 1已知一维单原子链，其中第j 个格波，在第n 个格点引起的位移nj 为：

nj

a j sin( j t naq j

j

)

（2）第j 个格波的平均动能

（3） 经典的简谐运动有: 1

-格波平均能量=

2

4ma2 2N

3.2讨论N 个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为 时与一维单原子链 --- 对应。^m

a 2 j 2cos 2 ( j t

2 n

j

naq j

j

)

lma 2 2N 4

振幅a 2 吧，所以 Nm j 2 nj

1

2aj

k B T_ 2。 j

Nm 而每个原子的平方平均位移为: (nj )2

j

2 nj

1 2

2aj

j

Nm j

j 为任意相位因子。 并已知在较高温度下每个格波的平均能量为 k p T 。具体计算每个原子

的平方平均位移。 1 根据丄 T

解：（1）

T • 2 / .

o sin ( j t naq j

j

)dt

其中T

—为振动周期,

j

所以2j

a^sin 2( j t naq j

每个格波的平均动能=平均势能=

a ），其2 N 个格波的解。当m M

解：（1） 一维双原子链:

2a q 2a

声学波：

2

m M mM

4mM .2 2sin aq

(m M)2

当m M 时,

2 j

m

cosaq)

m

Jin 2 凹。

2 光学波：

2

7 1

mM

4mM (m M)2

2

sin aq

「0

3. 5已知NaCI 晶体平均每对离子的相互作用能为:

u(r)

其中马德隆常数 a 1.75,n 9 ,平衡离子间距r 0

2.82?。

(1) 试求离子在平衡位置附近的振动频率。 (2)

计算与该频率相当的电磁波的波长，并与 比较。

解：(1)处理小振动问题，一般可采用简谐近似，在平衡位置附近，可将互作用能展开至偏

r r °的二次方项。

U(r 。 )U(r 。)

U(r 。

1 2U(r 。

2 2

2

0( 4)

其中 U(r 。

2 q n

r 。

n

根据 0为平衡条件。

由r 0已知可确定

(1)式，离子偏离平衡位置 所受的恢复力为:

U(r 。

2U(r o 2 故恢复力常数为

2

U(r) 2

r

n 3

r

°

(1)

(2)

(3)

⑷

当m M 时，有

cosaq)

・cos 2oq m 2

(2) —维双原子链在

m M 时的解

2

^sin 20q

m 2

2

4

2

aq 2a 2a cos - m 2

与一维单原子链的解 是 --- 对应的。

2 4

sin 2 凹

m 2

NaCl 红外吸收频率的测量只值 61进行

对于离子晶体的长光学波,

「0

将Na 的原子质量m 23 1.66 10 24 g . Cl 的原子质量 M 35.5 1.66 10 24g ,

基本电荷电量 q 4.803 10 10esu 代入上式，得

(0)

1.11 1014H Z

(2) 相对应的电磁波波长为

2 2 3.14 2.998 108

6

——c 14

17 10 m 17 m

1.11 10

对应与远红外波，与 NaCI 红外吸收频率测量值在同一数量级。 ［注：如采用国际单位制进行计算，因在(

2)式前乘一因子

9

2

8.99 109牛顿米/库仑］

3. 6求出一维单原子链的频率分布函数 解：一维单原子链的色散关系为:

2

4

. 2 aq sin - m 2

3. 7设三维晶格的光学振动在 q 0附近的长波极限有:

(0)

2—

mM :m M

2(m M )(n 1) q

mMr 03

(5)

(6)

m

sin 2aq sin

aq 2

cos aq 2

dq

振动模式的数目：dn

Na

dq

Na a

aq m

2

m cos — \ m

2 2

2

，其中

d 2N

2

所以g()

2N

(q) 0 Aq2

求证：频率分布函数为g( V-丄(

2 人3/2、0

)12

证明：由

（q）

Aq2,(q) 2Aq。

ds V

3 (q) (2 )

4 q2

2Aq

Vq_

A

A 2( 0 )

故频率分布函数为V__ g( ) 4 2

A3/2

)12

3. 8有N个相同原子组成面积为S的二维晶格, 在德拜近似下，计算比热，并讨论在低温极限比热正比于T2。

解：（1）q空间的状态密度为

每个q对应一个纵波, C p q

，

每个q对应一个横波,

所以d范围的状态数应包括纵波和横波的状态数:

g(

dl

q j(q)

S (2 )2

其中

由于晶格振动模数有

限,

则晶格振动最咼频率由

2N m

0 g()d 决定。由此得

0 _2

2c

4 N)1

2

S

h

c( O

比热c V k B

(」)2e k B T

D k p T

0 r g()d (e k B T1)2

(h

k B

k B T)2e k B T