五年高考真题分类汇编(函数)

2021高考数学函数概念与基本初等函数五年真题分类汇编(含答案解析)

2021届高考数学-五年真题汇编：函数概念与基本初等函数一、选择题1.2016年高考真题——文科数学（新课标Ⅰ卷）若a>b>0，0<c<1，则A.log a c <log b cB.log c a <log c bC.a c c b2.2016年高考真题——文科数学（新课标Ⅰ卷）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为A. B.C. D.3.2016年高考真题——文科数学（天津卷）已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间)0,(-∞上单调递增，若实数a 满足)2()2(|1|->-f f a ，则a 的取值范围是（）A.)21,(-∞B.),23()21,(+∞-∞ C.)23,21( D.),23(+∞4.2016年高考真题——理科数学（天津卷）已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（）A.（0，23] B.[23，34] C.[13，23]{34} D.[13，23）{34}5.2017年高考真题——数学理（全国Ⅰ卷）已知集合{}{}131x A x x B x =<=<，，则（） A ．{}0=<A B x x B ．A B =R C ．{}1=>A B x xD ．A B =∅6.2017年高考真题——数学理（全国Ⅰ卷）函数f (x )在(－∞，+∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)= －1，则满足－1≤f (x －2) ≤1的x 的取值范围是（）A ．[－2，2]B ．[－1，1]C ．[0，4]D ．[1，3]7.2017年高考真题——数学理（全国Ⅰ卷）设x ，y ，z 为正数，且235x y z ==，则（） A ．235x y z << B ．523z x y << C ．352y z x <<D ．325y x z <<8.2017年高考真题——数学文（全国Ⅰ卷）函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为9.2018年高考真题——理科数学（全国卷II ）函数()2e e x xf x x--=的图像大致为10.2018年高考真题——文科数学（全国卷Ⅰ）设函数f (x )=x 3+(a －1)x 2+ax ．若f (x )为奇函数，则曲线y =f (x )在点(0,0)处的切线方程为（）A.y =－2xB. y =－xC. y =2xD. y =x设函数⎩⎨⎧>≤=-,0,1,0,2)(x x x f x 则满足f (x +1)＜f (2x )的x 的取值范围是（） A ．(－∞,1] B ．(0,+∞)C ．(－1,0)D ．(－∞,0)12.2018年高考真题——理科数学（全国卷Ⅰ）已知函数⎩⎨⎧>≤=0,ln 0,)(x x x e x f x ，g (x )=f (x )+x +a ，若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是A.[－1,0)B. [0,+∞)C. [－1,+∞)D. [1,+∞)13.2019年高考真题——文科数学（全国卷Ⅰ）设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则A ．f （log314）＞f （322-）＞f （232-） B ．f （log314）＞f （232-）＞f （322-） C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log314）D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log314）14.2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅰ）已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<15.2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅰ）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（51-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190cm已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <B. 2a b <C. 2a b >D. 2a b <18.2020年高考真题——数学（全国卷Ⅰ）数学（文）试题设3log 42a =，则4a -=（）A.116B.19C. 18D. 1619.2020年高考真题（全国卷Ⅰ）数学（理）试题设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（） A. 是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B. 是奇函数，且在11(,)22-单调递减C. 是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D. 是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减20.2020年高考真题（全国卷Ⅰ）数学（理）试题若2233x y x y ---<-，则（） A. ln(1)0y x -+> B. ln(1)0y x -+<C. ln ||0x y ->D. ln ||0x y -<二、填空题21.2020年高考真题（江苏卷）数学试题已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x = ，则f (－8)的值是____. 22.2019年高考真题——数学（江苏卷）函数y =_____. 23.2018年高考真题——理科数学（天津卷）已知0a >，函数222,0,()22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤=⎨-+->⎩若关于x 的方程()f x ax =恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是 . 24.2017年高考真题——文科数学（全国Ⅰ卷）设函数10()20xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是__________。

五年(2019-2023)年高考真题函数的基本概念与基本初等函数I(解析版)

五年（2019-2023）年高考真题分项汇编专题02函数的基本概念与基本初等函数I 高频考点：考点精析考点一函数的值域1．（2019•上海）下列函数中，值域为[0，)+∞的是()A ．2x y =B ．12y x =C ．tan y x =D ．cos y x=【解析】A ，2x y =的值域为(0,)+∞，故A 错B ，y =的定义域为[0，)+∞，值域也是[0，)+∞，故B 正确．C ，tan y x =的值域为(,)-∞+∞，故C 错D ，cos y x =的值域为[1-，1]+，故D 错．故选：B ．2．（2023•上海）已知函数1,0,()2,0x x f x x ⎧=⎨>⎩，则函数()f x 的值域为．【解析】当0x 时，()1f x =，当0x >时，()21x f x =>，所以函数()f x 的值域为[1，)+∞．故答案为：[1，)+∞．3．（2022•上海）设函数()f x 满足1()(1f x f x=+对任意[0x ∈，)+∞都成立，其值域是f A ，已知对任何满足上述条件的()f x 都有{|()y y f x =，0}f x a A =，则a 的取值范围为．【解析】法一：令11x x =+，解得x =，当151]2x -∈时，2111x x =∈+，当1)x ∈+∞时，2111x x =∈+，且当151(,)2x -∈+∞时，总存在2111)12x x -=∈+，使得12()()f x f x =，故51|(),02f y y f x x A ⎧⎫-⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭，若a <{}|(),0f y y f x x a ∉=，所以a 即实数a的取值范围为1[,)2-+∞；法二：原命题等价于任意10,()()1a f x a f x a>+=++，所以11(1)1a x a x a a ⇒-+++恒成立，即1(1)0a a-+恒成立，又0a >，所以a即实数a 的取值范围为51[,)2-+∞．故答案为：51[,)2-+∞．考点二函数的图象与图象的变换4．（2021•浙江）已知函数21()4f x x =+，()sin g x x =，则图象为如图的函数可能是()A ．1()()4y f x g x =+-B ．1()()4y f x g x =--C ．()()y f x g x =D ．()()g x y f x =【解析】由图可知，图象关于原点对称，则所求函数为奇函数，因为21()4f x x =+为偶函数，()sin g x x =为奇函数，函数21()()sin 4y f x g x x x =+-=+为非奇非偶函数，故选项A 错误；函数21()()sin 4y f x g x x x =--=-为非奇非偶函数，故选项B 错误；函数21()()()sin 4y f x g x x x ==+，则212sin ()cos 04y x x x x '=++>对(0,)4x π∈恒成立，则函数()()y f x g x =在(0,)4π上单调递增，故选项C 错误．故选：D ．5．（2020•浙江）函数cos sin y x x x =+在区间[π-，]π上的图象可能是()A ．B ．C ．D ．【解析】()cos sin y f x x x x ==+，则()cos sin ()f x x x x f x -=--=-，()f x ∴为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除C ，D ，当x π=时，()cos sin 0y f πππππ==+=-<，故排除B ，故选：A ．6．（2019•浙江）在同一直角坐标系中，函数1x y a =，1log (02a y x a =+>且1)a ≠的图象可能是()A ．B ．C ．D ．【解析】由函数1x y a =，1log (2a y x =+，当1a >时，可得1x y a =是递减函数，图象恒过(0,1)点，函数1log (2a y x =+，是递增函数，图象恒过1(2，0)；当10a >>时，可得1x y a =是递增函数，图象恒过(0,1)点，函数1log (2a y x =+，是递减函数，图象恒过1(2，0)；∴满足要求的图象为：D故选：D ．考点三．复合函数的单调性7．（2023•新高考Ⅰ）设函数()()2x x a f x -=在区间(0,1)单调递减，则a 的取值范围是()A ．(-∞，2]-B ．[2-，0)C ．(0，2]D ．[2，)+∞【解析】设2()t x x a x ax =-=-，对称轴为2ax =，抛物线开口向上，2t y = 是t 的增函数，∴要使()f x 在区间(0,1)单调递减，则2t x ax =-在区间(0,1)单调递减，即12a，即2a ，故实数a 的取值范围是[2，)+∞．故选：D ．8．（2020•海南）已知函数2()(45)f x lg x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围是()A ．(2,)+∞B ．[2，)+∞C ．(5,)+∞D ．[5，)+∞【解析】由2450x x -->，得1x <-或5x >．令245t x x =--，外层函数y lgt =是其定义域内的增函数，∴要使函数2()(45)f x lg x x =--在(,)a +∞上单调递增，则需内层函数245t x x =--在(,)a +∞上单调递增且恒大于0，则(a ，)(5+∞⊆，)+∞，即5a ．a ∴的取值范围是[5，)+∞．故选：D ．考点四函数的最值及其几何意义9．（2021•新高考Ⅰ）函数()|21|2f x x lnx =--的最小值为．【解析】法一、函数()|21|2f x x lnx =--的定义域为(0,)+∞．当102x <时，()|21|2212f x x lnx x lnx =--=-+-，此时函数()f x 在(0，12上为减函数，当12x >时，()|21|2212f x x lnx x lnx =--=--，则22(1)()2x f x x x -'=-=，当1(2x ∈，1)时，()0f x '<，()f x 单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，()f x 在(0,)+∞上是连续函数，∴当(0,1)x ∈时，()f x 单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()f x 单调递增．∴当1x =时()f x 取得最小值为f （1）211211ln =⨯--=．故答案为：1．法二、令()|21|g x x =-，()2h x lnx =，分别作出两函数的图象如图：由图可知，()f x f （1）1=，则数()|21|2f x x lnx =--的最小值为1．故答案为：1．10．（2019•浙江）已知a R ∈，函数3()f x ax x =-．若存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-，则实数a 的最大值是．【解析】存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-，即有332|(2)(2)|3a t t at t +-+-+，化为22|2(364)2|3a t t ++-，可得2222(364)233a t t -++-，即224(364)33a t t ++，由223643(1)11t t t ++=++，可得403a<，可得a 的最大值为43．故答案为：43．考点五函数奇偶性的性质与判断11．（2023•新高考Ⅱ）若21()()21x f x x a lnx -=++为偶函数，则(a =)A ．1-B ．0C ．12D ．1【解析】由21021x x ->+，得12x >或12x <-，由()f x 是偶函数，()()f x f x ∴-=，得2121()()2121x x x a lnx a ln x x ----+=+-++，即121212121()()()()()21212121x x x x x a ln x a ln x a ln x a ln x x x x -+----+=-+=-=+-+++，x a x a ∴-=+，得a a -=，得0a =．故选：B ．12．（2021•上海）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数()A ．3y x =-B ．3y x =C ．3log y x =D ．3xy =【解析】3y x =-在R 上单调递减且为奇函数，A 符合题意；因为3y x =在R 上是增函数，B 不符合题意；3log y x =，3x y =为非奇非偶函数，C 不符合题意；故选：A ．13．（2019•上海）已知R ω∈，函数2()(6)sin()f x x x ω=-⋅，存在常数a R ∈，使()f x a +为偶函数，则ω的值可能为()A ．2πB ．3πC ．4πD ．5π【解析】由于函数2()(6)sin()f x x x ω=-⋅，存在常数a R ∈，()f x a +为偶函数，则：2()(6)sin[()]f x a x a x a ω+=+-⋅+，由于函数为偶函数，故：6a =，所以：62k πωπ=+，当1k =时．4πω=故选：C ．14．（2021•新高考Ⅱ）写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x ．①1212()()()f x x f x f x =；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；③()f x '是奇函数．【解析】2()f x x =时，22212121212()()()()f x x x x x x f x f x ===；当(0,)x ∈+∞时，()20f x x '=>；()2f x x '=是奇函数．故答案为：2()f x x =．另解：幂函数()(0)a f x x a =>即可满足条件①和②；偶函数即可满足条件③，综上所述，取2()f x x =即可．15．（2021•新高考Ⅰ）已知函数3()(22)x x f x x a -=⋅-是偶函数，则a =．【解析】函数3()(22)x x f x x a -=⋅-是偶函数，3y x =为R 上的奇函数，故22x x y a -=⋅-也为R 上的奇函数，所以000|2210x y a a ==⋅-=-=，所以1a =．法二：因为函数3()(22)x x f x x a -=⋅-是偶函数，所以()()f x f x -=，即33(22)(22)x x x x x a x a ---⋅-=⋅-，即33(22)(22)0x x x x x a x a --⋅-+⋅-=，即3(1)(22)0x x a x --+=，所以1a =．故答案为：1．16．（2023•上海）已知a ，c R ∈，函数2(31)()x a x c f x x a+++=+．（1）若0a =，求函数的定义域，并判断是否存在c 使得()f x 是奇函数，说明理由；（2）若函数过点(1,3)，且函数()f x 与x 轴负半轴有两个不同交点，求此时c 的值和a 的取值范围．【解析】（1）若0a =，则2()1x x c c f x x x x++==++，要使函数有意义，则0x ≠，即()f x 的定义域为{|0}x x ≠，c y x x=+ 是奇函数，1y =是偶函数，∴函数()1c f x x x=++为非奇非偶函数，不可能是奇函数，故不存在实数c ，使得()f x 是奇函数．（2）若函数过点(1,3)，则f （1）13132311a c a c a a +++++===++，得3233a c a ++=+，得321c =-=，此时2(31)1()x a x f x x a+++=+，若数()f x 与x 轴负半轴有两个不同交点，即2(31)1()0x a x f x x a+++==+，得2(31)10x a x +++=，当0x <时，有两个不同的交点，设2()(31)1g x x a x =+++，则21212(31)4010(31)03102a x x x x a a ⎧=+->⎪=>⎪⎪⎨+=-+<⎪+⎪-<⎪⎩ ，得312312310a a a +>+<-⎧⎨+>⎩或，得11313a a a ⎧><-⎪⎪⎨⎪>-⎪⎩或，即13a >，若0x a +=即x a =-是方程2(31)10x a x +++=的根，则2(31)10a a a -++=，即2210a a +-=，得12a =或1a =-，则实数a 的取值范围是13a >且12a ≠且1a ≠-，即1(3，11(22⋃，)+∞．考点六奇偶性与单调性的综合17．（2021•新高考Ⅱ）已知函数()f x 的定义域为(()R f x 不恒为0)，(2)f x +为偶函数，(21)f x +为奇函数，则()A ．1(02f -=B ．(1)0f -=C ．f （2）0=D ．f （4）0=【解析】函数(2)f x +为偶函数，(2)(2)f x f x ∴+=-，(21)f x + 为奇函数，(12)(21)f x f x ∴-=-+，用x 替换上式中21x +，得(2)()f x f x -=-，(2)()f x f x ∴+=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=，即()(4)f x f x =+，故函数()f x 是以4为周期的周期函数，(21)f x + 为奇函数，(12)(21)f x f x ∴-=-+，即(21)(21)0f x f x ++-+=，用x 替换上式中21x +，可得，()(2)0f x f x +-=，()f x ∴关于(1,0)对称，又f （1）0=，(1)(21)f f f ∴-=-+=-（1）0=．故选：B ．18．（2020•海南）若定义在R 的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递减，且f （2）0=，则满足(1)0xf x -的x 的取值范围是()A ．[1-，1][3 ，)+∞B ．[3-，1][0- ，1]C ．[1-，0][1 ，)+∞D ．[1-，0][1 ，3]【解析】定义在R 的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递减，且f （2）0=，()f x 的大致图象如图：()f x ∴在(0,)+∞上单调递减，且(2)0f -=；故(1)0f -<；当0x =时，不等式(1)0xf x -成立，当1x =时，不等式(1)0xf x -成立，当12x -=或12x -=-时，即3x =或1x =-时，不等式(1)0xf x -成立，当0x >时，不等式(1)0xf x -等价为(1)0f x -，此时0012x x >⎧⎨<-⎩，此时13x <，当0x <时，不等式(1)0xf x -等价为(1)0f x -，即0210x x <⎧⎨--<⎩，得10x -<，综上10x -或13x ，即实数x 的取值范围是[1-，0][1 ，3]，故选：D ．考点七分段函数的应用19．（2022•上海）若函数210()000a x x f x x a x x ⎧-<⎪=+>⎨⎪=⎩，为奇函数，求参数a 的值为．【解析】函数210()000a x x f x x a x x ⎧-<⎪=+>⎨⎪=⎩，为奇函数，()()f x f x ∴-=-，(1)f f ∴-=-（1），21(1)a a ∴--=-+，即(1)0a a -=，求得0a =或1a =．当0a =时，1,0()0,0,0x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪>⎩，不是奇函数，故0a ≠；当1a =时，1,0()0,01,0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，是奇函数，故满足条件，综上，1a =，故答案为：1．20．（2022•浙江）已知函数22,1,()11,1,x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨+->⎪⎩则1(())2f f =3728；若当[x a ∈，]b 时，1()3f x ，则b a -的最大值是．【解析】函数22,1()11,1x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨+->⎪⎩，117()2244f ∴=-+=，177437(())()1244728f f f ∴==+-=；作出函数()f x的图象如图：由图可知，若当[x a ∈，]b 时，1()3f x ，则b a -的最大值是2(1)3+-=+故答案为：3728；3+考点八抽象函数及其应用21．（2022•新高考Ⅱ）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()f x y f x y f x f y ++-=，f （1）1=，则221()(k f k ==∑)A ．3-B ．2-C ．0D ．1【解析】令1y =，则(1)(1)()f x f x f x ++-=，即(1)()(1)f x f x f x +=--，(2)(1)()f x f x f x ∴+=+-，(3)(2)(1)f x f x f x +=+-+，(3)()f x f x ∴+=-，则(6)(3)()f x f x f x +=-+=，()f x ∴的周期为6，令1x =，0y =得f （1）f +（1）f =（1）(0)f ⨯，解得(0)2f =，又(1)()(1)f x f x f x +=--，f ∴（2）f =（1）(0)1f -=-，f （3）f =（2）f -（1）2=-，f （4）f =（3）f -（2）1=-，f （5）f =（4）f -（3）1=，f （6）f =（5）f -（4）2=，∴61()1121120k f k ==---++=∑，∴221()30(19)(20)(21)(22)k f k f f f f f ==⨯++++=∑（1）f +（2）f +（3）f +（4）3=-．故选：A ．22．【多选】（2023•新高考Ⅰ）已知函数()f x 的定义域为R ，22()()()f xy y f x x f y =+，则()A ．(0)0f =B ．f （1）0=C ．()f x 是偶函数D ．0x =为()f x 的极小值点【解析】由22()()()f xy y f x x f y =+，取0x y ==，可得(0)0f =，故A 正确；取1x y ==，可得f （1）2f =（1），即f （1）0=，故B 正确；取1x y ==-，得f （1）2(1)f =-，即1(1)2f f -=（1）0=，取1y =-，得()()f x f x -=，可得()f x 是偶函数，故C 正确；由上可知，(1)(0)f f f -==（1）0=，而函数解析式不确定，不妨取()0f x =，满足22()()()f xy y f x x f y =+，常数函数()0f x =无极值，故D 错误．故选：ABC ．23．（2020•上海）已知非空集合A R ⊆，函数()y f x =的定义域为D ，若对任意t A ∈且x D ∈，不等式()()f x f x t +恒成立，则称函数()f x 具有A 性质．（1）当{1}A =-，判断()f x x =-、()2g x x =是否具有A 性质；（2）当(0,1)A =，1()f x x x=+，[x a ∈，)+∞，若()f x 具有A 性质，求a 的取值范围；（3）当{2A =-，}m ，m Z ∈，若D 为整数集且具有A 性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的m 的值．【解析】（1）()f x x =- 为减函数，()(1)f x f x ∴<-，()f x x ∴=-具有A 性质；()2g x x = 为增函数，()(1)g x g x ∴>-，()2g x x ∴=不具有A 性质；（2）依题意，对任意(0,1)t ∈，()()f x f x t +恒成立，∴1()()f x x x a x=+为增函数（不可能为常值函数），由双勾函数的图象及性质可得1a ，当1a 时，函数单调递增，满足对任意(0,1)t ∈，()()f x f x t +恒成立，综上，实数a 的取值范围为[1，)+∞．（3）D 为整数集，具有A 性质的函数均为常值函数，当0m 时，取单调递减函数()f x x =-，两个不等式恒成立，但()f x 不为常值函数；当m 为正偶数时，取()0,1,n f x n ⎧=⎨⎩为偶数为奇数，两个不等式恒成立，但()f x 不为常值函数；当m 为正奇数时，根据对任意t A ∈且x D ∈，不等式()()f x f x t +恒成立，可得()()()(1)(1)()f x m f x f x m f x f x f x m -++--，则()(1)f x f x =+，所以()f x 为常值函数，综上，m 为正奇数．考点九函数的周期性24．（2019•上海）已知函数()f x 周期为1，且当01x <时，2()log f x x =，则3()2f =．【解析】因为函数()f x 周期为1，所以31((22f f =，因为当01x <时，2()log f x x =，所以1()12f =-，故答案为：1-．考点十函数恒成立问题25．（2021•上海）已知1x ，2x R ∈，若对任意的21x x S -∈，21()()f x f x S -∈，则有定义：()f x 是在S 关联的．（1）判断和证明()21f x x =-是否在[0，)+∞关联？是否有[0，1]关联？（2）若()f x 是在{3}关联的，()f x 在[0x ∈，3)时，2()2f x x x =-，求解不等式：2()3f x ．（3）证明：()f x 是{1}关联的，且是在[0，)+∞关联的，当且仅当“()f x 在[1，2]是关联的”．【解析】（1）()f x 在[0，)+∞关联，在[0，1]不关联，任取12[0x x -∈，)+∞，则1212()()2()[0f x f x x x -=-∈，)+∞，()f x ∴在[0，)+∞关联；取11x =，20x =，则121[0x x -=∈，1]，1212()()2()2[0f x f x x x -=-=∉ ，1]，()f x ∴在[0，1]不关联；（2）()f x 在{3}关联，∴对于任意123x x -=，都有12()()3f x f x -=，∴对任意x ，都有(3)()3f x f x +-=，由[0x ∈，3)时，2()2f x x x =-，得()f x 在[0x ∈，3)的值域为[1-，3)，()f x ∴在[3x ∈，6)的值域为[2，6)，2()3f x ∴仅在[0x ∈，3)或[3x ∈，6)上有解，[0x ∈，3)时，2()2f x x x =-，令2223x x -13x +<，[3x ∈，6)时，2()(3)3818f x f x x x =-+=-+，令228183x x -+，解得35x ，∴不等式2()3f x 的解为1，5]，（3）证明：①先证明：()f x 是在{1}关联的，且是在[0，)+∞关联的()f x ⇒在[1，2]是关联的，由已知条件可得，(1)()1f x f x +=+，()()f x n f x n ∴+=+，n Z ∈，又()f x 是在[0，)+∞关联的，∴任意21x x >，21()()f x f x >成立，若2112x x -，12112x x x ∴++，121(1)()(2)f x f x f x ∴++，即121()1()()2f x f x f x ++，211()()2f x f x ∴-，()f x ∴是[1，2]关联，②再证明：()f x 在[1，2]是关联的()f x ⇒是在{1}关联的，且是在[0，)+∞关联的，()f x 在[1，2]是关联的，∴任取12[1x x -∈，2]，都有12()()[1f x f x -∈，2]成立，即满足1212x x -，都有121()()2f x f x -，下面用反证法证明(1)()1f x f x +-=，若(1)()1f x f x +->，则(2)()(2)(1)(1)()2f x f x f x f x f x f x +-=+-+++->，与()f x 在[1，2]是关联的矛盾，若(1)()1f x f x +-<，而()f x 在[1，2]是关联的，则(1)()1f x f x +-，矛盾，(1)()1f x f x ∴+-=成立，即()f x 是在{1}关联的，再证明()f x 是在[0，)+∞关联的，任取12[x x n -∈，)()n N +∞∈，则存在n N ∈，使得任取12[x x n -∈，1]()n n N +∈，121(1)2x n x --- ，1212[(1)]()()(1)()[1f x n f x f x n f x ∴---=---∈，2]，12()()[f x f x n ∴-⊆，1][0n +⊆，)+∞，()f x ∴是在[0，)+∞关联的；综上所述，()f x 是{1}关联的，且是在[0，)+∞关联的，当且仅当“()f x 在[1，2]是关联的”，故得证．考点十一对数的运算性质26．（2022•浙江）已知25a =，8log 3b =，则34(a b -=)A ．25B ．5C ．259D ．53【解析】由25a =，8log 3b =，可得3823b b ==，则22333224(2)52544(2)39a a a bb b -====，故选：C ．考点十二对数值大小的比较27．（2022•新高考Ⅰ）设0.10.1a e =，19b =，0.9c ln =-，则()A ．a b c<，则211()f x x x '=-，0x >，当()0f x '=时，1x =，01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，()f x ∴在1x =处取最小值f （1）1=，∴11lnx x>-，(0x >且1)x ≠，110.910.99ln ∴>-=-，10.99ln ∴-<，c b ∴<；10910.9191010ln ln -=>-= ，∴0.1109e >，0.110.19e ∴<，a b ∴<；设()(1)(01)x g x xe ln x x =+-<<，则21(1)1()(1)11x xx e g x x e x x -+'=++=--，令2()(1)1x h x e x =-+，2()(21)x h x e x x '=+-，当01x <<-时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，11x <<时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，(0)0h = ，∴当01x <<-时，()0h x <，当01x <<-时，()0g x '>，()(1)x g x xe ln x =+-单调递增，(0.1)(0)0g g ∴>=，0.10.10.9e ln ∴>-，a c ∴>，c a b ∴<<．故选：C ．28．（2021•新高考Ⅱ）已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是()A ．c b a<=，a cb ∴<<．故选：C ．考点十三反函数29．（2021•上海）已知3()2f x x=+，则1f -（1）=．【解析】因为3()2f x x=+，令()1f x =，即321x+=，解得3x =-，故1f -（1）3=-．故答案为：3-．30．（2020•上海）已知函数3()f x x =，1()f x -是()f x 的反函数，则1()f x -=．【解析】由3()y f x x ==，得x =，把x 与y 互换，可得3()f x x =的反函数为1()f x -=．．考点十四函数与方程的综合运用31．（2019•浙江）设a ，b R ∈，函数32,0,()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++⋅⎪⎩若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则()A ．1a <-，0b C ．1a >-，0b <D ．1a >-，0b >【解析】当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1bx a=-；()y f x ax b =--最多一个零点；当0x 时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-，2(1)y x a x '=-+，当10a +，即1a -时，0y '，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；当10a +>，即1a >-时，令0y '>得(1,)x a ∈++∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点⇔函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点，如右图：∴01b a <-且3211(1)(1)(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩，解得0b <，10a ->，31(1)6b a >-+．31(1)06a b ∴-+<<，11a -<<故选：C ．32．（2019•上海）已知2()||(1,0)1f x a x a x =->>-，()f x 与x 轴交点为A ，若对于()f x 图象上任意一点P ，在其图象上总存在另一点(Q P 、Q 异于)A ，满足AP AQ ⊥，且||||AP AQ =，则a =．【解析】由题意，可知：令2()||01f x a x =-=-，解得：21x a=+，∴点A 的坐标为：2(1a +，0)．则2,11()2,1AAa x x x f x a x x x ⎧-<⎪⎪-=⎨⎪-+>⎪-⎩．()f x ∴大致图象如下：由题意，很明显P 、Q 两点分别在两个分段曲线上，不妨设点P 在左边曲线上，点Q 在右边曲线上．设直线AP 的斜率为k ，则2:(1)AP l y k x a=--．联立方程：2(1)21y k x ay a x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩，整理，得：222[(2)](1)20kx a k x k a a a +-+++--=．2(2)22P A a k a a x x k a k -+∴+=-=+-．21A x a=+ ，221P A a a x x a k k∴=+--=-．再将1P ax k=-代入第一个方程，可得：2P k y a a=--．∴点P 的坐标为：(1a k -，2k a a--．||AP ∴===．AP AQ ⊥ ，∴直线AQ 的斜率为1k -，则12:(1)AQ l y x k a=---．同理类似求点P 的坐标的过程，可得：点Q 的坐标为：2(1,ak a ak-+．||AQ ∴===||||AP AQ = ，及k 的任意性，可知：224a a=，解得：a =．．33．（2019•上海）已知1()1f x ax x =++，a R ∈．（1）当1a =时，求不等式()1(1)f x f x +<+的解集；（2）若()f x 在[1x ∈，2]时有零点，求a 的取值范围．【解析】（1）1()()1f x ax a R x =+∈+．当1a =时，1()1f x x x =++．所以：()1(1)f x f x +<+转换为：111112x x x x ++<++++，即：1112x x <++，解得：21x -<<-．故：{|21}x x -<<-．（2）函数1()1f x ax x =++在[1x ∈，2]时，()f x 有零点，即函数在该区间上有解，即：1(1)a x x =-+，即求函数()g x 在[1x ∈，2]上的值域，由于：(1)x x +在[1x ∈，2]上单调递减，故：(1)[2x x +∈，6]，所以：111[,](1)26x x -∈--+，故：11[,26a ∈--考点十五根据实际问题选择函数类型34．（2020•山东）基本再生数0R 与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：()rt I t e =描述累计感染病例数()I t 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与0R ，T 近似满足01R rT =+．有学者基于已有数据估计出0 3.28R =，6T =．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为()(20.69)ln ≈A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天【解析】把0 3.28R =，6T =代入01R rT =+，可得0.38r =，0.38()t I t e ∴=，当0t =时，(0)1I =，则0.382t e =，两边取对数得0.382t ln =，解得2 1.80.38ln t =≈．故选：B ．35．【多选】（2023•新高考Ⅰ）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级020p p L lg p =⨯，其中常数00(0)p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m 声压级/dB燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为1p ，2p ，3p ，则()A ．12p p B ．2310p p >C ．30100p p =D ．12100p p 【解析】由题意得，10602090p lg p ，92010100010p p p ，20502060p lg p ，52020101000p p p ，302040p lg p =，30100p p =，可得12p p ，A 正确；230101000p p p =，B 错误；30100p p =，C 正确；952210021010010100p p p p =⨯，12100p p ，D 正确．故选：ACD ．36．（2023•上海）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数”00F S V =，其中0F 为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），0V 为建筑物的体积（单位：立方米）．（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为R ，高度为H ，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的“体形系数”S ；（结果用含R 、H 的代数式表示）（2）定义建筑物的“形状因子”为2L f A=，其中A 为建筑物底面面积，L 为建筑物底面周长，又定义T 为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设n 为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为13S n=+．当18f =，10000T =时，试求当该宿舍楼的层数n 为多少时，“体形系数”S 最小．【解析】（1）由圆柱体的表面积和体积公式可得：22002F RH R V R H πππ=+⋅=，所以020(2)2F R H R H R S V R H HRππ++===．（2）由题意可得132131003S n n=+=+，*n N ∈，所以32221922003600n S n n -'==，令0S '=，解得 6.27n =≈，所以S 在[1，6.27]单调递减，在[6.27，)+∞单调递增，所以S 的最小值在6n =或7取得，当6n =时，32610.3110036S =+≈⨯，当7n =时，32710.1610037S =+≈⨯，所以在6n =时，该建筑体S 最小．37．（2021•上海）已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05亿元，第一季度的利润为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长4%．（1）求今年起的前20个季度的总营业额；（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%？【解析】（1）由题意可知，可将每个季度的营业额看作等差数列，则首项1 1.1a =，公差0.05d =，20120(201)2020 1.110190.0531.52S a d -∴=+=⨯+⨯⨯=，即营业额前20季度的和为31.5亿元．（2）解法一：假设今年第一季度往后的第*()n n N ∈季度的利润首次超过该季度营业额的18%，则0.16(14%)(1.10.05)18%n n ⨯+>+⋅，令()0.16(14%)(1.10.05)18%n f n n =⨯+-+⋅，*()n N ∈，即要解()0f n >，则当2n 时，1()(1)0.0064(14%)0.009n f n f n ---=⋅+-，令()(1)0f n f n -->，解得：10n ，即当19n 时，()f n 递减；当10n 时，()f n 递增，由于f （1）0<，因此()0f n >的解只能在10n 时取得，经检验，(24)0f <，(25)0f >，所以今年第一季度往后的第25个季度的利润首次超过该季度营业额的18%．解法二：设今年第一季度往后的第*()n n N ∈季度的利润与该季度营业额的比为n a ，则1 1.04(1.050.05) 1.04261.0410.04(1)1.10.052222n n a n a n n n++==-=+-+++，∴数列{}n a 满足1234567a a a a a a a >>>=<<<⋯⋯，注意到，250.178a =⋯，260.181a =⋯，∴今年第一季度往后的第25个季度利润首次超过该季度营业额的18%．38．（2020•上海）在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为q v x=，x 为道路密度，q 为车辆密度，交通流量801100135(),040()3(40)85,4080x x v f x k x x ⎧⎪-⋅<<==⎨⎪--+⎩．（1）若交通流量95v >，求道路密度x 的取值范围；（2）已知道路密度80x =时，测得交通流量50v =，求车辆密度q 的最大值．【解析】（1）按实际情况而言，交通流量v 随着道路密度x 的增大而减小，故()v f x =是单调递减函数，所以0k >，当4080x 时，v 最大为85，于是只需令801100135()953x -⋅>，解得803x <，故道路密度x 的取值范围为80(0,)3．（2）把80x =，50v =代入()(40)85v f x k x ==--+中，得504085k =-⋅+，解得78k =．801100135(),04037(40)85,40808x x x x q vx x x x x ⎧-⋅⋅<<⎪⎪∴==⎨⎪--+⎪⎩，①当040x <<时，801100135()1003x v =-⋅<，100404000q vx =<⨯=．②当4080x 时，q 是关于x 的二次函数，271208q x x =-+，对称轴为4807x =，此时q 有最大值，为2748048028800(12040008777-⨯+⨯=>．综上所述，车辆密度q 的最大值为288007．。

2024年高考数学真题分类汇编(三角函数篇,解析版)

专题三角函数1(新课标全国Ⅰ卷)已知cos (α+β)=m ,tan αtan β=2，则cos (α-β)=()A.-3mB.-m3C.m 3D.3m【答案】A【分析】根据两角和的余弦可求cos αcos β,sin αsin β的关系，结合tan αtan β的值可求前者，故可求cos α-β 的值.【详解】因为cos α+β =m ，所以cos αcos β-sin αsin β=m ，而tan αtan β=2，所以=12×2b ×kb ×sin A 2+12×kb ×b ×sin A2，故cos αcos β-2cos αcos β=m 即cos αcos β=-m ，从而sin αsin β=-2m ，故cos α-β =-3m ，故选：A .2(新课标全国Ⅰ卷)当x ∈[0,2π]时，曲线y =sin x 与y =2sin 3x -π6 的交点个数为()A.3B.4C.6D.8【答案】C【分析】画出两函数在0,2π 上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数y =sin x 的的最小正周期为T =2π，函数y =2sin 3x -π6 的最小正周期为T =2π3，所以在x ∈0,2π 上函数y =2sin 3x -π6有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C3(新课标全国Ⅱ卷)设函数f (x )=a (x +1)2-1，g (x )=cos x +2ax ，当x ∈(-1,1)时，曲线y =f (x )与y =g (x )恰有一个交点，则a =()A.-1B.12C.1D.22024年高考数学真题分类汇编——三角函数篇【分析】解法一：令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，分析可知曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得a =2，并代入检验即可；解法二：令h x =f (x )-g x ,x ∈-1,1 ，可知h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即可得a =2，并代入检验即可.【详解】解法一：令f (x )=g x ，即a (x +1)2-1=cos x +2ax ，可得ax 2+a -1=cos x ，令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，原题意等价于当x ∈(-1,1)时，曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，注意到F x ,G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得F 0 =G 0 ，即a -1=1，解得a =2，若a =2，令F x =G x ，可得2x 2+1-cos x =0因为x ∈-1,1 ，则2x 2≥0,1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，可得2x 2+1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，则方程2x 2+1-cos x =0有且仅有一个实根0，即曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，所以a =2符合题意；综上所述：a =2.解法二：令h x =f (x )-g x =ax 2+a -1-cos x ,x ∈-1,1 ，原题意等价于h x 有且仅有一个零点，因为h -x =a -x 2+a -1-cos -x =ax 2+a -1-cos x =h x ，则h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即h 0 =a -2=0，解得a =2，若a =2，则h x =2x 2+1-cos x ,x ∈-1,1 ，又因为2x 2≥0,1-cos x ≥0当且仅当x =0时，等号成立，可得h x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，即h x 有且仅有一个零点0，所以a =2符合题意；故选：D .4(全国甲卷数学(理)(文))已知cos αcos α-sin α=3，则tan α+π4=()A.23+1 B.23-1C.32D.1-3【答案】B【分析】先将cos αcos α-sin α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos αcos α-sin α=3，所以11-tan α=3，⇒tan α=1-33，所以tan α+π4 =tan α+11-tan α=23-1，故选：B .5(新高考北京卷)已知f x =sin ωx ω>0 ，f x 1 =-1，f x 2 =1，|x 1-x 2|min =π2，则ω=()A.1B.2C.3D.4【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：x 1为f x 的最小值点，x 2为f x 的最大值点，则x 1-x 2 min =T 2=π2，即T =π，且ω>0，所以ω=2πT=2.故选：B .6(新高考天津卷)已知函数f x =sin3ωx +π3ω>0 的最小正周期为π．则函数在-π12,π6 的最小值是()A.-32B.-32C.0D.32【答案】A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得f x =-sin2x ，再整体求出x ∈-π12,π6时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】f x =sin3ωx +π3 =sin 3ωx +π =-sin3ωx ，由T =2π3ω=π得ω=23，即f x =-sin2x ，当x ∈-π12,π6 时，2x ∈-π6,π3，画出f x =-sin2x 图象，如下图，由图可知，f x =-sin2x 在-π12,π6上递减，所以，当x =π6时，f x min =-sin π3=-32故选：A7(新高考上海卷)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x +cos xB.sin x cos xC.sin 2x +cos 2xD.sin 2x -cos 2x【答案】A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .【详解】对A ，sin x +cos x =2sin x +π4，周期T =2π，故A 正确；对B ，sin x cos x =12sin2x ，周期T =2π2=π，故B 错误；对于选项C ，sin 2x +cos 2x =1，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；对于选项D ，sin 2x -cos 2x =-cos2x ，周期T =2π2=π，故D 错误，故选：A ．8(新课标全国Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin2x-π4，下列说法正确的有() A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴【答案】BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A选项，令f(x)=sin2x=0，解得x=kπ2,k∈Z，即为f(x)零点，令g(x)=sin2x-π4=0，解得x=kπ2+π8,k∈Z，即为g(x)零点，显然f(x),g(x)零点不同，A选项错误；B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f(x),g(x)的周期均为2π2=π，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+π2⇔x=kπ2+π4,k∈Z，g(x)的对称轴满足2x-π4=kπ+π2⇔x=kπ2+3π8,k∈Z，显然f(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC9(新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，则sin(α+β)=.【答案】-22 3【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tanα+β=-22，再缩小α+β的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得tanα+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ=41-2+1=-22，因为α∈2kπ,2kπ+π2,β∈2mπ+π,2mπ+3π2，k,m∈Z，则α+β∈2m+2kπ+π,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，又因为tanα+β=-22<0，则α+β∈2m+2kπ+3π2,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，则sinα+β<0，则sinα+βcosα+β=-22，联立sin2α+β+cos2α+β=1，解得sinα+β=-223.法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosα>0,cosβ<0,cosα=cosαsin2α+cos2α=11+tan2α，cosβ=cosβsin2β+cos2β=-11+tan2β，则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=cosαcosβ(tanα+tanβ)=4cosαcosβ=-41+tan2α1+tan2β=-4(tanα+tanβ)2+(tanαtanβ-1)2=-442+2=-223故答案为：-22 3.10(全国甲卷数学(文))函数f x =sin x-3cos x在0,π上的最大值是．【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】f x =sin x -3cos x =2sin x -π3 ，当x ∈0,π 时，x -π3∈-π3,2π3，当x -π3=π2时，即x =5π6时，f x max =2.故答案为：2一、单选题1(2024·宁夏石嘴山·三模)在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 1,2 ，则7cos 2θ-2sin2θ=()A.-15B.15C.-2D.2【答案】A【分析】由题意可知：tan θ=2，根据倍角公式结合齐次化问题分析求解.【详解】由题意可知：tan θ=2，所以7cos 2θ-2sin2θ=7cos 2θ-4sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=7-4tan θtan 2θ+1=7-4×222+1=-15.故选：A .2(2024·广东茂名·一模)已知cos α+π =-2sin α，则sin 2α-3cos α+π2cos αcos2α+1=()A.-1B.-25C.45D.78【答案】D【分析】根据给定条件，求出tan α，再结合诱导公式及二倍角的余弦公式，利用正余弦齐次式法计算得解.【详解】由cos α+π =-2sin α，得cos α=2sin α，则tan α=12，所以sin 2α-3cos α+π2 cos αcos2α+1=sin 2α+3sin αcos α2cos 2α=12tan 2α+32tan α=18+34=78.故选：D3(2024·河北保定·二模)函数f (x )=1-e x1+e xcos2x 的部分图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】根据函数的奇偶性判断即可.【详解】设g x =1-e x1+e x，则g-x=1-e-x1+e-x=e x-11+e x=-g x ，所以g x 为奇函数，设h x =cos2x，可知h x 为偶函数，所以f x =1-e x1+e xcos2x为奇函数，则B，C错误，易知f0 =0，所以A正确，D错误．故选：A.4(2024·山东济宁·三模)已知函数f(x)=(3sin x+cos x)cos x-12，若f(x)在区间-π4,m上的值域为-3 2,1，则实数m的取值范围是()A.π6,π2B.π6,π2C.π6,7π12D.π6,7π12【答案】D【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数f(x)，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.【详解】依题意，函数f(x)=3sin x cos x+cos2x-12=32sin2x+12cos2x=sin2x+π6，当x∈-π4,m时，2x+π6∈-π3,2m+π6，显然sin-π3=sin4π3=-32,sinπ2=1，且正弦函数y=sin x在π2,4π3上单调递减，由f(x)在区间-π4,m上的值域为-32,1，得π2≤2m+π6≤4π3，解得π6≤m≤7π12，所以实数m的取值范围是π6,7π12.故选：D5(2024·江西景德镇·三模)函数f x =cosωx x∈R在0,π内恰有两个对称中心，fπ=1，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数g x 的图象.若fα +gα =35，则cos4α+π3=()A.725B.1625C.-925D.-1925【答案】A【分析】根据y轴右边第二个对称中心在0,π内，第三个对称中心不在0,π内可求得32≤ω<52，结合fπ=1可得ω=2，再利用平移变换求出g x ，根据三角变换化简fα +gα =35可得sin2α+π6=35，然后由二倍角公式可解.【详解】由x∈0,π得ωx∈0,ωπ，因为函数f x 在0,π内恰有两个对称中心，所以3π2≤ωπ5π2>ωπ，解得32≤ω<52，又fπ=cosωπ=1，所以ωπ=kπ,k∈Z，即ω=k,k∈Z，所以ω=2，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数y=cos2x-π3=cos2x-2π3，即g x =cos2x-2π3，因为fα +gα =cos2α+cos2α-2π3=32sin2α+12cos2α=sin2α+π6=35，所以cos4α+π3=1-2sin22α+π6=1-2×35 2=725.故选：A6(2024·安徽马鞍山·三模)已知函数f(x)=sin2ωx+cos2ωx(ω>1)的一个零点是π2，且f(x)在-π6,π16上单调，则ω=()A.54B.74C.94D.114【答案】B【分析】整理可得f(x)=2sin2ωx+π4，以2ωx+π4为整体，根据单调性分析可得1<ω≤2，再结合零点分析求解.【详解】因为f(x)=sin2ωx+cos2ωx=2sin2ωx+π4，x∈-π6,π16，且ω>1时，可得2ωx+π4∈-π3ω+π4,π8ω+π4，且-π3ω+π4<0<π8ω+π4，若f(x)在-π6,π16上单调，则-π3ω+π4≥-π2π8ω+π4≤π2，解得1<ω≤2，又因为f(x)的一个零点是π2，则πω+π4=kπ,k∈Z，解得ω=k-14,k∈Z，所以k=2,ω=7 4 .故选：B.7(2024·山东临沂·二模)已知函数f x =sin2x+φϕ <π2图象的一个对称中心为π6,0，则()A.f x 在区间-π8,π3上单调递增B.x=5π6是f x 图象的一条对称轴C.f x 在-π6,π4上的值域为-1,32D.将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称【答案】D【分析】借助整体代入法结合正弦函数的性质可得A、B；结合正弦函数最值可得C；得到平移后的函数解析式后借助诱导公式即可得D.【详解】由题意可得2×π6+φ=kπk∈Z，解得φ=-π3+kπk∈Z，又ϕ <π2，故φ=-π3，即f x =sin2x-π3；对A ：当x ∈-π8,π3 时，2x -π3∈-7π12,π3，由函数y =sin x 在-7π12,π3上不为单调递增，故f x 在区间-π8,π3上不为单调递增，故A 错误；对B ：当x =5π6时，2x -π3=4π3，由x =4π3不是函数y =sin x 的对称轴，故x =5π6不是f x 图象的对称轴，故B 错误；对C ：当x ∈-π6,π4 时，2x -π3∈-2π3,π6，则f x ∈-1,12，故C 错误；对D ：将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，可得y =sin 2x +2×5π12-π3 =sin 2x +π2=cos2x ，该函数关于y 轴对称，故D 正确.故选：D .8(2024·广东广州·二模)已知函数f (x )=2sin (ωx +φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，若将函数f (x )的图象向右平移θ(θ>0)个单位后所得曲线关于y 轴对称，则θ的最小值为()A.π8B.π4C.3π8D.π2【答案】A【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出ω和φ，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可得解.【详解】由f π4=1，得sin π4ω+φ =22，又点π4,1 及附近点从左到右是上升的，则π4ω+φ=π4+2k π,k ∈Z ，由f 5π8 =0，点5π8,0 及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得5π8ω+φ=π+2k π,k ∈Z ，联立解得ω=2，φ=-π4+2k π,k ∈Z ，而|φ|<π2，于是φ=-π4，f (x )=2sin 2x -π4，若将函数f (x )的图像向右平移θ(θ>0)个单位后，得到y =sin 2x -2θ-π4，则-2θ-π4=π2-k π,k ∈Z ，而θ>0，因此θ=-3π8+k π2,k ∈N ，所以当k =1时，θ取得最小值为π8.故选：A9(2024·四川雅安·三模)已知函数f x =sin ωx +3cos ωx (ω>0)，则下列说法中正确的个数是()①当ω=2时，函数y =f x -2log πx 有且只有一个零点；②当ω=2时，函数y =f x +φ 为奇函数，则正数φ的最小值为π3；③若函数y =f x 在0,π3 上单调递增，则ω的最小值为12；④若函数y =f x 在0,π 上恰有两个极值点，则ω的取值范围为136,256.A.1 B.2C.3D.4【答案】B【分析】利用辅助角公式化简函数，由图象分析判断①；由正弦函数的性质判断②③；由极大值的意义结合正弦函数的性质判断④.【详解】依题意，ω>0，函数f (x )=212sin ωx +32cos ωx =2sin ωx +π3，对于①：f (x )=2sin 2x +π3，令y =f x -2log πx =0，即f x =2log πx ，作出函数y =f (x )和函数y =2log πx 的图象，如图，观察图象知，两个函数在0,7π12 上只有一个零点，f 13π12 =2sin 5π2=2，当x =13π12时，y =2log π13π12=2log π1312+2log ππ=2+2log π1312>2，当x >13π12时，2log πx >2≥f (x )，因此函数y =f x 与函数y =2log πx 的图象有且只有一个交点，①正确；对于②：f (x +φ)=2sin 2x +2φ+π3 为奇函数，则2φ+π3=k π,k ∈Z ，φ=-π6+k π2,k ∈Z ，即正数φ的最小值为π3，②正确；对于③：当x ∈0,π3 时，ωx +π3∈π3,π(ω+1)3，由y =f x 在0,π3 上单调递增，得π(ω+1)3≤π2ω>0，解得0<ω≤12，正数ω有最大值12，③错误；对于④：当x ∈(0,π)时，ωx +π3∈π3,ωπ+π3，而y =f x 在(0,π)上恰有两个极值点，由正弦函数的性质得3π2<ωπ+π3≤5π2，解得76<ω≤136，因此ω的取值范围是76,136，④错误.综上，共2个正确，故选：B .10(2024·河北保定·二模)已知tan α=3cos αsin α+11，则cos2α=()A.-78B.78C.79D.-79【答案】B【分析】利用切化弦和同角三角函数的关系，解出sin α，再结合二倍角公式即可求解.【详解】因为sin αcos α=3cos αsin α+11，所以4sin 2α+11sin α-3=0，解得sin α=14或sin α=-3(舍去)，所以cos2α=1-2sin 2α=78．故选：B .11(2024·河北衡水·三模)已知sin (3α-β)=m sin (α-β)，tan (2α-β)=n tan α，则m ，n 的关系为()A.m =2nB.n =m +1mC.n =m m -1D.n =m +1m -1【答案】D【分析】利用和差角的正弦公式化简，结合已知列出方程即可求解.【详解】依题意，sin (3α-β)=sin [(2α-β)+α]=sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α，sin (α-β)=sin [(2α-β)-α]=sin (2α-β)cos α-cos (2α-β)sin α，则sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α=m sin (2α-β)cos α-m cos (2α-β)sin α，即sin (2α-β)cos αcos (2α-β)sin α=m +1m -1，即tan (2α-β)tan α=m +1m -1=n .故选：D12(2024·辽宁沈阳·三模)已知tan α2=2，则sin 2α2+sin α的值是()A.25B.45C.65D.85【答案】D【分析】利用二倍角公式和同角之间的转化，进行求解判断选项【详解】当tan α2=2，则sin 2α2+sin α=sin 2α2+2sin α2cos α2sin 2α2+cos 2α2=tan 2α2+2tan α2tan 2α2+1=22+2×222+1=85故选：D13(2024·贵州黔东南·二模)已知0<α<β<π，且sin α+β =2cos α+β ，sin αsin β-3cos αcos β=0，则tan α-β =()A.-1 B.-32C.-12D.12【答案】C【分析】找出tan α和tan β的关系，求出tan α和tan β即可求解.【详解】∵sin αsin β-3cos αcos β=0，∴sin αsin β=3cos αcos β，∴tan αtan β=3①，∵sin α+β =2cos α+β ，∴tan α+β =2⇒tan α+tan β1-tan αtan β=2⇒tan α+tan β1-3=2，∴tan α+tan β=-4②，由①②解得tan α=-1tan β=-3或tan α=-3tan β=-1 ，∵0<α<β<π，∴tan α<tan β，∴tan α=-3tan β=-1 ，∴tan α-β =tan α-tan β1+tan αtan β=-12.故选：C .二、多选题14(2024·河北张家口·三模)已知函数f (x )=23cos 2x +2sin x cos x ，则下列说法正确的是()A.函数f (x )的一个周期为2πB.函数f (x )的图象关于点π3,0 对称C.将函数f (x )的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的最小值为5π12D.若f 12α-5π24 -3=12，其中α为锐角，则sin α-cos α的值为6-308【答案】ACD【分析】利用三角恒等变换公式化简，由周期公式可判断A ；代入验证可判断B ；根据平移变化求g (x )，由奇偶性可求出φ，可判断C ；根据已知化简可得sin α-π12 =14，将目标式化为2sin α-π12 -π6 ，由和差角公式求解可判断D .【详解】对于A ，因为f (x )=31+cos2x +sin2x =2sin 2x +π3+3，所以f (x )的最小值周期T =2π2=π，所以2π是函数f (x )的一个周期，A 正确；对于B ，因为f π3 =2sin 2×π3+π3 +3=3，所以，点π3,0 不是函数f (x )的对称中心，B 错误；对于C ，由题知，g x =f (x -φ)=2sin 2(x -φ)+π3 +3=2sin 2x +π3-2φ +3，若函数g (x )为偶函数，则π3-2φ=π2+k π,k ∈Z ，得φ=-π12-k π2,k ∈Z ，因为φ>0，所以φ的最小值为5π12，C 正确；对于D ，若f 12α-5π24-3=2sin 212α-5π24 +π3 =2sin α-π12 =12，则sin α-π12 =14，因为α为锐角，-π12<α-π12<5π12，所以cos α-π12 =154，所以sin α-cos α=2sin α-π4 =2sin α-π12 -π6=232sin α-π12 -12cos α-π12=232×14-12×154=6-308，D 正确.故选：ACD 15(2024·辽宁鞍山·模拟预测)已知函数f x =sin x ⋅cos x ，则()A.f x 是奇函数B.f x 的最小正周期为2πC.f x 的最小值为-12D.f x 在0,π2上单调递增【答案】AC【分析】首先化简函数f x =12sin2x ，再根据函数的性质判断各选项.【详解】f x =sin x ⋅cos x =12sin2x ，函数的定义域为R ，对A ，f -x =-12sin2x =-f x ，所以函数f x 是奇函数，故A 正确；对B ，函数f x 的最小正周期为2π2=π，故B 错误；对C ，函数f x 的最小值为-12，故C 正确；对D ，x ∈0,π2 ，2x ∈0,π ，函数f x 不单调，f x 在0,π4 上单调递增，在π4,π2上单调递减，故D 错误.故选：AC16(2024·安徽·三模)已知函数f x =sin x -3cos x ，则()A.f x 是偶函数B.f x 的最小正周期是πC.f x 的值域为-3,2D.f x 在-π,-π2上单调递增【答案】AC【分析】对于A ，直接用偶函数的定义即可验证；对于B ，直接说明f 0 ≠f π 即可否定；对于C ，先证明-3≤f x ≤2，再说明对-3≤u ≤2总有f x =u 有解即可验证；对于D ，直接说明f -5π6>f -2π3 即可否定.【详解】对于A ，由于f x 的定义域为R ，且f -x =sin -x -3cos -x =-sin x -3cos x =sin x -3cos x =f x ，故f x 是偶函数，A 正确；对于B ，由于f 0 =sin0 -3cos0=-3，f π =sinπ -3cosπ=3，故f 0 ≠f π ，这说明π不是f x 的周期，B 错误；对于C ，由于f x =sin x -3cos x ≤sin x +3cos x =sin x +3cos x 2≤sin x +3cos x 2+3sin x -cos x 2=sin 2x +3cos 2x +23sin x cos x +3sin 2x +cos 2x -23sin x cos x =4sin 2x +4cos 2x =4=2，且f x =sin x -3cos x ≥-3cos x ≥-3，故-3≤f x ≤2.而对-3≤u ≤2，有f 0 =-3≤u ，f 5π6 =2≥u ，故由零点存在定理知一定存在x ∈0,5π6使得f x =u .所以f x 的值域为-3,2 ，C 正确；对于D ，由于-π<-5π6<-2π3<-π2，f -5π6 =2>3=f -2π3 ，故f x 在-π,-π2上并不是单调递增的，D 错误.故选：AC .17(2024·山西太原·模拟预测)已知函数f x =sin 2x +φ 0<φ<π2 的图象关于直线x =π12对称，且h x =sin2x -f x ，则()A.φ=π12B.h x 的图象关于点π6,0中心对称C.f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称 D.h x 在区间π6,5π12内单调递增【答案】BCD【分析】根据正弦函数的对称性求解φ判断A ，先求出h x =sin 2x -π3，然后利用正弦函数的对称性求解判断B ，根据对称函数的性质判断C ，结合正弦函数的单调性代入验证判断D .【详解】由题意得2×π12+φ=π2+k π，k ∈Z ，解得φ=π3+k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以φ=π3，A 错误；由φ=π3可知f x =sin 2x +π3，则h x =sin2x -sin 2x +π3 =12sin2x -32cos2x =sin 2x -π3，令2x -π3=k π，k ∈Z ，解得x =π6+k π2，k ∈Z ，令k =0，得x =π6，所以点π6,0 是曲线y =h x 的对称中心，B 正确；因为f π2-x =sin 2π2-x +π3 =sin 4π3-2x =sin 2x -π3=h x ，所以f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称，C 正确；当x ∈π6,5π12 时，2x -π3∈0,π2 ，故h x 在区间π6,5π12内单调递增，D 正确.故选：BCD 18(2024·浙江金华·三模)已知函数f x =sin2ωx cos φ+cos2ωx sin φω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则()A.φ=π6B.ω=2C.f x +π6为偶函数 D.f x 在区间0,π2的最小值为-12【答案】ACD【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出f x =sin 2x +π6，可得A 正确，B 错误；由诱导公式可得C 正确；整体代入由正弦函数的值域可得D 正确.【详解】由题意得f x =sin 2ω+φ ，由图象可得f 0 =12⇒sin φ=12，又0<φ<π2，所以φ=π6，由五点法可得ω×4π3+π6=3π2⇒ω=1，所以f x =sin 2x +π6 .A ：由以上解析可得φ=π6，故A 正确；B ：由以上解析可得ω=1，故B 错误；C ：f x +π6 =sin 2x +π6 +π6=cos2x ，故C 正确；D ：当x ∈0,π2 ⇒2x +π6∈π6,7π6 时，sin 2x +π6 ∈-12,1，所以最小值为-12，故D 正确；故选：ACD .19(2024·浙江温州·二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，P -3,4 为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，则()A.cos π+α =35B.β=2k π+π2+2αk ∈Z C.tan β=724D.角β的终边在第一象限【答案】ACD【分析】根据三角函数的定义，可求角α的三角函数，结合诱导公式判断A 的真假；利用二倍角公式，求出2α的三角函数值，结合三角函数的概念指出角2α的终边与单位圆的交点，由对称性确定角β终边与单位圆交点，从而判断BCD 的真假.【详解】因为角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P -3,4 ，所以：OP =5，所以sin α=45，cos α=-35，所以cos π+α =-cos α=35，故A 对；又sin2α=2sin α⋅cos α=2×45×-35 =-2425，cos2α=cos 2α-sin 2α=-35 2-45 2=-725，所以2α的终边与单位圆的交点坐标为：-725,-2425 ，因为角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，所以角β的终边与单位圆的交点为2425,725，所以tan β=724，且β的终边在第一象限，故CD 正确；又因为终边在直线y =-x 的角为：k π-π4,k ∈Z ，角2α的终边与角β的终边关于y =-x 对称，所以2α+β2=k π-π4⇒β=2k π-π2-2αk ∈Z ，故B 错误.故选：ACD20(2024·广东佛山·二模)已知函数f x =sin x +cos2x 与g x =sin2x +cos x ，记h x =λf x +μg x ，其中λ，μ∈R 且λ2+μ2≠0．下列说法正确的是()A.h x 一定为周期函数B.若λ⋅μ>0，则h x 在0,π2上总有零点C.h x 可能为偶函数 D.h x 在区间0,2π 上的图象过3个定点【答案】ABD【分析】对于A ：计算h x +2π ，化简即可；对于B ：求出h x ，然后计算h 0 h π2的正负即可；对于C ：计算h x ,h -x 是否恒相等即可；对于D ：令f x =0g x =0，求解x 即可.【详解】对于A ，∀x ∈R ，h x +2π =λf x +2π +μg x +2π =λf x +μg x =h x ，A 正确；对于B ，h x =λcos x -2sin2x +μ2cos2x -sin x ，则h 0 =λ+2μ，h π2=-3μ，因为λμ>0，即λ，μ同号，所以h 0 h π2<0，由零点存在定理知h x 在0,π2上总有零点，故B 正确；对于C ，h x =λsin x +λcos2x +μsin2x +μcos x ，h -x =-λsin x +λcos2x -μsin2x +μcos x ，由h x =h -x 得2λsin x +2μsin2x =2λsin x +2μ⋅2sin x cos x =2sin x λ+2μcos x =0对x ∈R 恒成立，则λ=μ=0与题意不符，故C 错误；对于D ，令f x =0g x =0 ，则sin x +cos2x =1-2sin 2x +sin x =-sin x -1 2sin x +1 =0sin2x +cos x =cos x 2sin x +1 =0 ⇒sin x =1或sin x =-12cos x =0或sin x =-12，即x ∈-π6+2k π,π2+2k π,7π6+2k π ，k ∈Z ，故所有定点坐标为-π6+2k π,0 ，π2+2k π,0 ，7π6+2k π,0 ，k ∈Z ，又因为x ∈0,2π ，所以函数h x 的图象过定点π2,0 ，7π6,0 ，11π6,0 ，故D 正确；故选：ABD ．21(2024·湖南·二模)已知函数f x =12cos 2x -π3 ，把y =f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x 的图象，以下说法正确的是()A.x =π6是y =f x 图象的一条对称轴B.f x 的单调递减区间为k π+π6,k π+2π3k ∈Z C.y =g x 的图象关于原点对称D.f x +g x 的最大值为12【答案】ABD【分析】根据题意，求得g x =-12cos2x 的图象，结合三角函数的图象与性质，以及两角差的正弦公式，逐项判定，即可求解.【详解】将函数f x =12cos 2x -π3 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x =12cos 2x -π =-12cos2x 的图象，对于A 中，令x =π6，求得f x =12，即为函数y =f x 最大值，所以直线x =π6是函数f x 图象的一条对称轴，所以A 正确；对于B 中，令2k π≤2x -π3≤2k π+π,k ∈Z ，解得k π+π6≤x ≤k π+2π3,k ∈Z ，可得f x 的单调减区间为k π+π6,k π+2π3,k ∈Z ，所以B 正确.对于C 中，由于g x =-12cos2x 是偶函数，可得函数g x 的图象关于y 轴对称，所以C 错误.对于D 中，由f x +g x =12cos 2x -π3 +-12cos2x =1212cos2x +32sin2x -12cos2x =34sin2x -14cos2x =12sin 2x -π6 ≤12，即f x +g x 的最大值为12，所以D 正确.故选：ABD .22(2024·广东江门·一模)已知函数f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8【答案】BCD【分析】根据三角恒等变换化简f x =2sin 2ωx +π3，进而根据周期可判断A ，根据整体法求解函数的值域判断B ，根据函数图象的平移可判断C ，根据零点个数确定不等式满足的条件可判断D .【详解】f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3=sin2ωx cos π3+cos2ωx sin π3+sin2ωx cos π3-cos2ωx sin π3+3cos2ωx=sin2ωx +3cos2ωx =2sin 2ωx +π3，对于A ，若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则T =2×π2=π=2π2ω,故ω=1，A 错误，对于B ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3 ，当x ∈0,π2 时，2x +π3∈π3,4π3，则f x 的值域为-3,2 ，B 正确，对于C ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为f x +π6 =2sin 2x +π6 +π3 =2sin 2x +2π3 =2cos 2x +π6，C 正确，对于D ，当x ∈0,π6 时，2ωx +π3∈π3,2ωπ6+π3，若f x 在区间0,π6 上有且仅有两个零点，则2π≤2ωπ6+π3<3π，解得5≤ω<8，故D 正确，故选：BCD 三、填空题23(2024·北京·三模)已知函数f (x )=sin x cos ωx ,x ∈R ．①若ω=1，则f (x )的最小正周期是；，②若ω=2，则f (x )的值域是．【答案】π[-1,1]【分析】把ω=1代入，t 明智二倍角的正弦，结合正弦函数的周期求出f (x )的最小正周期；把ω=2代入，利用二倍角的余弦公式，借助换元法，利用导数求出f (x )的值域.【详解】当ω=1时，f (x )=sin x cos x =12sin2x ，函数f (x )的最小正周期为2π2=π；当ω=2时，f (x )=sin x cos2x =sin x (1-2sin 2x )，令sin x =t ∈[-1,1]，g (t )=t (1-2t 2)=-2t 3+t ，求导得g (t )=-6t 2+1，当-1≤t <-66或66<t ≤1时，g (t )<0，当-66<t <66时，g (t )>0，函数g (t )在-1,-66 ，66,1 上单调递减，在-66,66上单调递增，g (-1)=1,g 66 =69，g (1)=-1,g -66 =-69，所以g (t )min =-1,g (t )max =1，f (x )的值域是[-1,1].故答案为：π；[-1,1]24(2024·北京·模拟预测)已知函数f (x )=sin ωx -2cos ωx (ω>0)，且f α+x =f α-x .若两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，则sin4α=.【答案】-45/-0.8【分析】利用辅助角公式化简f (x )的解析式，再由题意可得函数关于x =α对称，且最小正周期T =π，即可求出ω的值，从而得到2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得．【详解】因为f (x )=sin ωx -2cos ωx =5sin ωx -φ ，其中tan φ=2，由f α+x =f α-x ，可得f x 关于x =α对称，又两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，所以f x 的最小正周期T =π，又ω>0，所以2πω=π，解得ω=2，所以f x =5sin 2x -φ ，所以2α-φ=π2+k π,k ∈Z ，则2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，所以sin4α=sin2φ+π2+k π =sin 2φ+π+2k π =-sin2φ=-2sin φcos φsin 2φ+cos 2φ=-2tan φtan 2φ+1=-2×222+1=-45.故答案为：-4525(2024·湖北荆州·三模)设0<α<β<π2，tan α=m tan β，cos α-β =35，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =，tan αtan β=.【答案】191【分析】由tan α=m tan β得到sin αcos β=m cos αsin β，再结合cos α-β =35，利用sin α-β =-45，得到cos αsin β=-45m -1 ，sin αcos β=-4m5m -1 ，从而sin α+β =-4m +1 5m -1，再由满足条件的α与β存在且唯一，得到α+β唯一，从而sin α+β =-4m +15m -1=1，求得m 即可.【详解】解：由tan α=m tan β，得sin αcos α=m sin βcos β，即sin αcos β=m cos αsin β，因为0<α<β<π2，tan α=m tan β，所以-π2<α-β<0，0<m <1，又cos α-β =35，所以sin α-β <0，从而sin α-β =sin αcos β-cos αsin β=m -1 cos αsin β=-45，所以cos αsin β=-45m -1，所以sin αcos β=m cos αsin β=-4m5m -1，所以sin α+β =sin αcos β+cos αsin β=-4m +15m -1，因为α,β∈0,π2，所以α+β∈0,π ，因为满足条件的α与β存在且唯一，所以α+β唯一，所以sin α+β =-4m +1 5m -1=1，所以m =19，经检验符合题意，所以tan α=19tan β，则tan α-β =-43=tan α-tan β1+tan αtan β=tan α-9tan α1+9tan 2α，解得tan α=13，所以tan αtan β=9tan 2α=1.故答案为：19，1【点睛】关键点点睛：关键是结合已知得出sin α+β =-4m +15m -1 =1，求出m ，由此即可顺利得解.。

近5年高考数学理科试卷(全国卷1)分类汇编函数(解析版)(大题版)

2011（21）（本小题满分12分）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。

（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围。

解：（Ⅰ）221(ln )'()(1)x x b x f x x xα+-=-+由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩ 解得1a =，1b =。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln 11x x x++，所以22ln 1(1)(1)()()(2ln )11x k k x f x x x x x x---+=+--。

考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x --(0)x >，则22(1)(1)2'()k x xh x x -++=。

(i)设0k ≤，由222(1)(1)'()k x x h x x+--=知，当1x ≠时，'()0h x <。

而(1)0h =，故当(0,1)x ∈时，()0h x >，可得21()01h x x>-；当x ∈（1，+∞）时，h （x ）<0，可得211x - h （x ）>0 从而当x>0,且x ≠1时，f （x ）-（1ln -x x +x k ）>0，即f （x ）>1ln -x x +x k.（ii ）设0<k<1.由于当x ∈（1，k -11）时，（k-1）（x 2 +1）+2x>0,故h ’ （x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈（1，k -11）时，h （x ）>0，可得211x -h （x ）<0,与题设矛盾。

五年(2018-22)高考数学真题分类汇编(全国卷新高考卷卷等)专题16 三角函数单选题(解析版)

A．0B．1C．2D．3
【答案】C解析:法1：由基本不等式有，
同理，，
故，故不可能均大于．
取，，，则，
故三式中大于的个数的最大值为2，故选C．
法2：不妨设，则，
由排列不等式可得：
，
而，
故不可能均大于．
取，，，则，
故三式中大于的个数的最大值为2，故选C．
【题目栏目】三角函数\三角恒等变换\三角恒等变换的综合应用
又因为函数图象关于点对称，所以，且，
所以，所以，，
所以．故选：A
【题目栏目】三角函数\三角函数的图像与性质\三角函数的图象
【题目来源】2022新高考全国I卷·第6题
6．(2022年高考全国乙卷数学(文)·第11题)函数在区间的最小值、最大值分别为( )
A． B． C． D．
【答案】D
2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编
专题16三角函数单选题
一、选择题
1．(2022高考北京卷·第5题)已知函数，则( )
A．在上单调递减B．在上单调递增
C．在上单调递减D．在上单调递增
【答案】C
解析:因为．
对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；
对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；
对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；
对于D选项，当时，，则在上不单调，D错．
故选,C．
【题目栏目】三角函数\三角函数的图像与性质\三角函数的单调性与周期性
【题目来源】2022高考北京卷·第5题
2．(2022年浙江省高考数学试题·第6题)为了得到函数 1年新高考Ⅰ卷·第4题

三角函数(原卷版)-五年(2018-2022)高考数学真题分项汇编(全国通用)

专题09三角函数1．【2022年全国甲卷】将函数op =sin B (>0)的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则的最小值是（）A ．16B ．14C ．1D ．122．【2022年全国甲卷】设函数op =sin B +(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（）A B ,6C D 3．【2022年全国乙卷】函数=cos ++1sin +1在区间0,2π的最小值、最大值分别为（）A ．−π2，π2B ．−3π2，π2C ．−π2，π2+2D ．−3π2，π2+24．【2022年新高考1卷】记函数op =sin(B +4)+o >0)的最小正周期为T ．若23<<，且=op 的图象关于点(32,2)中心对称，则o2)=（）A ．1B ．32C ．52D ．35．【2022年新高考2卷】若sin(+p +cos(+p =22cos +sin ，则（）A ．tan(−p =1B ．tan(+p =1C ．tan(−p =−1D ．tan(+p =−16．【2021年甲卷文科】若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪-⎝⎭，则tan α=（）A 15B C ．3D ．37．【2021年乙卷文科】函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（）A ．3πB ．3π和2C ．6πD ．6π和28．【2021年乙卷文科】22π5πcos cos 1212-=（）A ．12B C ．2D 9．【2021年乙卷理科】把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，则()f x =（）A ．7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭10．【2021年新高考1卷】下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（）A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭11．【2021年新高考1卷】若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（）A ．65-B ．25-C ．25D ．6512．【2021年新高考2卷】北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O ，半径r 为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为22(1cos )S r πα=-（单位：2km ），则S 占地球表面积的百分比约为（）A ．26%B ．34%C ．42%D ．50%13．【2020年新课标1卷理科】设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（）A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π214．【2020年新课标1卷理科】已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（）A B ．23C ．13D15．【2020年新课标2卷理科】若α为第四象限角，则（）A ．cos2α>0B ．cos2α<0C ．sin2α>0D ．sin2α<016．【2020年新课标3卷理科】已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（）A ．–2B ．–1C ．1D ．217．【2020年新课标3卷文科】已知πsin sin =31θθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则πsin =6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A ．12B ．3C ．23D ．218．【2020年新课标3卷文科】在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B =（）AB ．C ．D ．19．【2019年新课标1卷理科】函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．20．【2019年新课标1卷理科】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π,π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③21．【2019年新课标1卷文科】tan255°=A ．－2B ．－C ．2D ．22．【2019年新课标2卷理科】下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=│cos 2x │B ．f (x )=│sin 2x │C ．f (x )=cos│x │D ．f (x )=sin│x │23．【2019年新课标2卷理科】已知α∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A ．15BC D 24．【2019年新课标2卷文科】若x 1=4π，x 2=34π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω=A ．2B ．32C ．1D ．1225．【2019年新课标3卷理科】设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④26．【2019年新课标3卷文科】函数()2sin sin2f x x x =-在[]0,2π的零点个数为A ．2B ．3C ．4D ．527．【2018年新课标1卷文科】已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为428．【2018年新课标1卷文科】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos23α=，则a b -=A ．15B ．5C ．5D ．129．【2018年新课标2卷理科】若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是A ．4πB ．2πC ．34πD ．π30．【2018年新课标3卷理科】若1sin 3α=，则cos2α=A ．89B ．79C ．79-D ．89-31．【2018年新课标3卷文科】函数()2tan 1tan xf x x=+的最小正周期为A ．4πB ．2πC ．πD ．2π32．【2022年新高考2卷】已知函数op =sin(2+p(0<<π)0中心对称，则（）A ．op 在区间0,12B ．op 在区间−π12C ．直线=7π是曲线=op 的对称轴D ．直线=是曲线=op 的切线33．【2020年新高考1卷（山东卷）】下图是函数y =sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)=（）A ．πsin(3x +）B ．πsin(2)3x -C ．πcos(26x +）D ．5πcos(2)6x -34．【2022年全国乙卷】记函数op =cos(B +p(>0,0<<π)的最小正周期为T ，若op ==9为op 的零点，则的最小值为____________．35．【2021年甲卷文科】已知函数()()2cos f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭_______________.36．【2021年甲卷理科】已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则满足条件74()()043f x f f x f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小正整数x 为________．37．【2020年新课标2卷文科】若2sin 3x =-，则cos 2x =__________．38．【2020年新高考1卷（山东卷）】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC =35，//BH DG ，EF =12cm ，DE=2cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．39．【2019年新课标1卷文科】函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________．40．【2018年新课标2卷理科】已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+__________．41．【2018年新课标2卷文科】已知51tan 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=__________．42．【2018年新课标3卷理科】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．43．【2019年新课标1卷文科】已知函数f （x ）=2sin x －x cos x －x ，f′（x ）为f （x ）的导数．（1）证明：f′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．。

五年高考题库：函数

易
选择题
3
B
2, 1 Ｂ． 1, 0
Ｃ．
0,1
，
Ｄ．
1, 2
2
16.（2011 天津文 6）设
a log5 4
）．
b log 5 3
9 函数的，性质
中
选择题
3
D
c log 4 5
，则（
Ａ． a c b Ｃ． a b c
Ｂ． b c a Ｄ． b a c
x3的
易
选择题
3
C
m 的值为 M
2 2
(D)
(A)
1 4
(B)
1 2
(C)
3 2
| x a|
31【2012 高考真题上海理 7】已知函数 f ( x) e
（ a 为常数）。若 f ( x) 在区间 [1,) 上是增函数，则。 a 的取值范围是 32【2012 高考江苏 5】函数 f ( x) 1 2 log 6 x 的定义域为．
17. （ 2010 辽宁文数 10 ）设 2 5 m ，且
a b
15. 指对运算
中
选择题
2
A
1 1 2 ，则 m （ a b
（A） 10
）（C）20 （D）100
x
（B）10
18.（2010 重庆文数 4）函数 y 16 4 的值域是（）
19 函数的值域与最值

易
选择题
2
A
9.（2011 北京理 6）根据统计，一名工人组装第 x 件某产
中
选择题
4
D
f ( x)

高考数学五年(2019-2023)年高考真题分项汇编解析—导数及其应用

高考数学五年（2019-2023）年高考真题分项汇编解析—导数及其应用考点一导数的运算1．【多选】（2022•新高考Ⅰ）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x ='．若3(2)2f x -，(2)g x +均为偶函数，则()A ．(0)0f =B ．1()02g -=C ．(1)f f -=（4）D ．(1)g g -=（2）【解析】3(2)2f x - 为偶函数，∴可得33(2)(2)22f x f x -=+，()f x ∴关于32x =对称，令54x =，可得3535(2(22424f f -⨯=+⨯，即(1)f f -=（4），故C 正确；(2)g x + 为偶函数，(2)(2)g x g x ∴+=-，()g x 关于2x =对称，故D 不正确；()f x 关于32x =对称，32x ∴=是函数()f x 的一个极值点，∴函数()f x 在3(2，)t 处的导数为0，即33(()022g f ='=，又()g x ∴的图象关于2x =对称，53(()022g g ∴==，∴函数()f x 在5(2，)t 的导数为0，52x ∴=是函数()f x 的极值点，又()f x 的图象关于32x =对称，5(2∴，)t 关于32x =的对称点为1(2，)t ，由52x =是函数()f x 的极值点可得12x =是函数()f x 的一个极值点，11()()022g f ∴='=，进而可得17((022g g ==，故72x =是函数()f x 的极值点，又()f x 的图象关于32x =对称，7(2∴，)t 关于32x =的对称点为1(2-，)t ，11()(022g f ∴-='-=，故B 正确；()f x 图象位置不确定，可上下移动，即每一个自变量对应的函数值不是确定值，故A 错误．解法二：构造函数法，令()1sin f x x π=-，则3(2)1cos 22f x x π-=+，则()()cos g x f x x ππ='=-，(2)cos(2)cos g x x x πππππ+=-+=-，满足题设条件，可得只有选项BC 正确，故选：BC ．考点二利用导数研究曲线上某点切线方程2．（2021•新高考Ⅰ）若过点(,)a b 可以作曲线x y e =的两条切线，则()A ．b e a恒成立，函数的图象如图，0y >，即切点坐标在x 轴上方，如果(,)a b 在x 轴下方，连线的斜率小于0，不成立．点(,)a b 在x 轴或下方时，只有一条切线．如果(,)a b 在曲线上，只有一条切线；(,)a b 在曲线上侧，没有切线；由图象可知(,)a b 在图象的下方，并且在x 轴上方时，有两条切线，可知0a b e <<．故选：D ．法二：设过点(,)a b 的切线横坐标为t ，则切线方程为()t t y e x t e =-+，可得(1)t b e a t =+-，设()(1)f t a t =+-，可得()()t f t e a t '=-，(,)t a ∈-∞，()0f t '>，()f t 是增函数，(,)t a ∈+∞，()0f t '<，()f t 是减函数，因此当且仅当0a b e <<时，上述关于t 的方程有两个实数解，对应两条切线．故选：D ．3．（2022•新高考Ⅰ）若曲线()x y x a e =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是．【解析】()x x y e x a e '=++，设切点坐标为0(x ，00())x x a e +，∴切线的斜率000()x xk e x a e =++，∴切线方程为000000()(())()x x xy x a e e x a e x x -+=++-，又切线过原点，000000()(())()x x x x a e e x a e x ∴-+=++-，整理得：2000x ax a +-=，切线存在两条，∴方程有两个不等实根，∴△240a a =+>，解得4a <-或0a >，即a 的取值范围是(-∞，4)(0-⋃，)+∞，故答案为：(-∞，4)(0-⋃，)+∞．4．（2022•新高考Ⅱ）曲线||y ln x =过坐标原点的两条切线的方程为，．【解析】当0x >时，y lnx =，设切点坐标为0(x ，0)lnx ，1y x '=，∴切线的斜率01k x =，∴切线方程为0001()y lnx x x x -=-，又切线过原点，01lnx ∴-=-，0x e ∴=，∴切线方程为11()y x e e-=-，即0x ey -=，当0x <时，()y ln x =-，与y lnx =的图像关于y 轴对称，∴切线方程也关于y 轴对称，∴切线方程为0x ey +=，综上所述，曲线||y ln x =经过坐标原点的两条切线方程分别为0x ey -=，0x ey +=，故答案为：0x ey -=，0x ey +=．5．（2021•新高考Ⅱ）已知函数()|1|x f x e =-，10x <，20x >，函数()f x 的图象在点1(A x ，1())f x 和点2(B x ，2())f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 的取值范围是．【解析】当0x <时，()1x f x e =-，导数为()x f x e '=-，可得在点1(A x ，_11)x e -处的斜率为_11x k e =-，切线AM 的方程为_1_11(1)()x x y e e x x --=--，令0x =，可得_1_111x x y e x e =-+，即_1_11(0,1)x x M e x e -+，当0x >时，()1x f x e =-，导数为()x f x e '=，可得在点2(B x ，_21)x e -处的斜率为_22x k e =，令0x =，可得_2_221x x y e x e =--，即_2_22(0,1)x x N e x e --，由()f x 的图象在A ，B 处的切线相互垂直，可得_1_2121x x k k e e =-⋅=-，即为120x x +=，10x <，20x >，所以2||1(0,1)||x AM BN e ===∈．故答案为：(0,1)．考点三利用导数研究函数的单调性6．（2023•新高考Ⅱ）已知函数()x f x ae lnx =-在区间(1,2)上单调递增，则a 的最小值为()A ．2eB ．eC ．1e -D ．2e -【解析】对函数()f x 求导可得，1()x f x ae x'=-，依题意，10x ae x - 在(1,2)上恒成立，即1x a xe在(1,2)上恒成立，设1(),(1,2)x g x x xe =∈，则22()(1)()()()x x x x x e xe e x g x xe xe -++'==-，易知当(1,2)x ∈时，()0g x '<，则函数()g x 在(1,2)上单调递减，则11()(1)max a g x g e e-=== ．故选：C ．7．（2023•新高考Ⅰ）已知函数()()x f x a e a x =+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，3()22f x lna >+．【解析】（1）()()x f x a e a x =+-，则()1x f x ae '=-，①当0a时，()0f x '<恒成立，()f x 在R 上单调递减，②当0a >时，令()0f x '=得，1x ln a=，当1(,x ln a ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1(x ln a∈，)+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，综上所述，当0a时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()f x 在1(,)ln a-∞上单调递减，在1(lna，)+∞上单调递增．证明：（2）由（1）可知，当0a >时，2111()(()1min f x f ln a a ln a lna a a a==+-=++，要证3()22f x lna >+，只需证23122a lna lna ++>+，只需证2102a lna -->，设g （a ）212a lna =--，0a >，则g '（a ）21212a a a a-=-=，令g '（a ）0=得，2a =，当22a ∈时，g '（a ）0<，g （a ）单调递减，当2(2a ∈，)+∞时，g '（a ）0>，g （a ）单调递增，所以g （a ）21212(022222g ln ln =--=-> ，即g （a ）0>，所以2102a lna -->得证，即3()22f x lna >+得证．8．（2022•浙江）设函数()(0)2ef x lnx x x=+>．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）已知a ，b R ∈，曲线()y f x =上不同的三点1(x ，1())f x ，2(x ，2())f x ，3(x ，3())f x处的切线都经过点(,)a b ．证明：（ⅰ）若a e >，则0b f <-（a ）1(1)2ae<-；（ⅱ）若0a e <<，123x x x <<，则2213211266e a e ae e x x a e --+<+<-．（注: 2.71828e =⋯是自然对数的底数）【解析】（Ⅰ）函数()(0)2ef x lnx x x=+>，∴2212()22e x ef x x x x -'=-+=，(0)x >，由22()02x e f x x -'=>，得2e x >，()f x ∴在(2e，)+∞上单调递增；由22()02x e f x x -'=<，得02e x <<，()f x ∴在(0,)2e上单调递减．（Ⅱ）()i 证明：过(,)a b 有三条不同的切线，设切点分别为1(x ，1())f x ，2(x ，2())f x ，3(x ，3())f x ，()()()i i i f x b f x x a ∴-='-，(1i =，2，3)，∴方程()()()f x b f x x a -='-有3个不同的根，该方程整理为21()()022e ex a lnx b x x x ----+=，设21()()()22e eg x x a lnx b x x x=----+，则223231111()()()()22e e e g x x a x e x a x x x x x x x'=-+-+--+=---，当0x e <<或x a >时，()0g x '<；当e x a <<时，()0g x '>，()g x ∴在(0,)e ，(,)a +∞上为减函数，在(,)e a 上为增函数，()g x 有3个不同的零点，g ∴（e ）0<且g （a ）0>，21()()022e e e a lne b e e e ∴----+<，且21()022e ea a lnab a a a----+>，整理得到12a b e <+且()2eb lna f a a>+=，此时，12a b e <+，且()2e b lna f a a>+=，此时，1()(1)1()02222a a e eb f a lna lna b e e a a---<+-+--+>，整理得12a b e <+，且()2e b lna f a a>+=，此时，b f -（a ）113(1)1()2222222a a e a elna lna e e a e a--<+-+-+=--，设μ（a ）为(,)e +∞上的减函数，μ∴（a ）3022e lne e<--=，∴10()(1)2ab f a e<-<-．()ii 当0a e <<时，同()i 讨论，得：()g x 在(0,)a ，(,)e +∞上为减函数，在(,)a e 上为增函数，不妨设123x x x <<，则1230x a x e x <<<<<，()g x 有3个不同的零点，g ∴（a ）0<，且g （e ）0>，21()()022e e e a lne b e e e ∴----+>，且21()022e e a a lna b a a a----+<，整理得122a ab lna e e+<<+，123x x x << ，1230x a x e x ∴<<<<<，2()12a e eag x lnx b x x+=-+-+ ，设,(0,1)e a t m x e ==∈，则方程2102a e ealnx b x x +-+-+=即为：202a e a t t lnt b e e +-+++=，即为2(1)02mm t t lnt b -++++=，记123123,,e e et t t x x x ===，则1t ，2t ，3t 为2(1)02m m t t lnt b -++++=有三个不同的根，设31311x t e k t x a==>>，1am e =<，要证：2213211266e a e ae e x x a e --+<+<-，即证132266e a e e at t e a e--+<+<-，即证：213132(13)(12)236()m m m t t m m t t --++--<+，而2111(1)02m m t t lnt b -++++=，且2333(1)02mm t t lnt b -++++=，∴22131313()(1)()02m lnt lnt t t m t t -+--+-=，∴131313222lnt lnt t t m m t t -+--=-⨯-，∴即证21313132(13)(12)36()lnt lnt m m m m t t m t t ---+-⨯<-+，即证1132313()(13)(12)072t t t lnt m m m t t +--++>-，即证2(1)(13)(12)0172k lnk m m m k +--++>-，记(1)(),11k lnkk k k ϕ+=>-，则211()(2)0(1)k k lnk k kϕ=-->-，()k ϕ∴在(1,)+∞为增函数，()()k m ϕϕ∴>，∴22(1)(13)(12)(1)(13)(12)172172k lnk m m m m lnm m m m k m +--++--++>+--，设2(1)(13)(12)()72(1)m m m m m lnm m ω---+=++，01m <<，则2322322(1)(3204972)(1)(33)()072(1)72(1)m m m m m m x m m m m ω---+-+'=>>++，()m ω∴在(0,1)上是增函数，()m ωω∴<（1）0=，2(1)(13)(12)072(1)m m m m lnm m ---+∴+<+，即2(1)(13)(12)0172m lnm m m m m +--++>-，∴若0a e <<，123x x x <<，则2213211266e a e ae e x x a e--+<+<-．9．（2022•新高考Ⅱ）已知函数()ax x f x xe e =-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围；（3）设*n N ∈，证明：(1)ln n ⋯+>+．【解析】（1）当1a =时，()(1)x x x f x xe e e x =-=-，()(1)x x x f x e x e xe '=-+=，0x e > ，∴当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减．（2）令()()11(0)ax x g x f x xe e x =+=-+>，()1f x <- ，()10f x +<，()(0)0g x g ∴<=在0x >上恒成立，又()ax ax x g x e axe e '=+-，令()()h x g x ='，则()()(2)ax ax ax x ax ax x h x ae a e axe e a e axe e '=++-=+-，(0)21h a ∴'=-，①当210a ->，即12a >，存在0δ>，使得当(0,)x δ∈时，()0h x '>，即()g x '在(0,)δ上单调递增．因为()(0)0g x g '>'=，所以()g x 在(0,)δ内递增，所以()1f x >-，这与()1f x <-矛盾，故舍去；②当210a -，即12a ，()(1)ax ax x ax x g x e axe e ax e e '=+-=+-，若10ax +，则()0g x '<，所以()g x 在[0，)+∞上单调递减，()(0)0g x g = ，符合题意．若10ax +>，则1111(1)(1)2222()0x ln x x axaxxax ln ax xxx g x e axe e ee ee ee +++++'=+-=---= ，所以()g x 在(0,)+∞上单调递减，()(0)0g x g = ，符合题意．综上所述，实数a 的取值范围是12a ．另解：()f x 的导数为()(1)(0)ax x f x ax e e x '=+->，①当1a时，()(1)0ax x ax x x f x ax e e e ex e e '=+->--= ，所以()f x 在(0,)+∞递增，所以()1f x >-，与题意矛盾；②当0a时，()10ax x x f x e e e '--< ，所以()f x 在(0,)+∞递减，所以()1f x <-，满足题意；．③当102a < 时，11122211()(1)[(1)]22x x x xf x x e e e e '+-=+- ．设121()(1)(0)2x G x x e x =+->，1211()022x G x e '=-<，则()G x 在(0,)+∞递减，所以()0G x <，12()()0x f x e G x '=<，所以()f x 在(0,)+∞递减，所以()1f x <-，满足题意；④当112a <<时，(1)()[(1)]ax a x f x e ax e -'=+-，令(1)()(1)a x H x ax e -=+-，则()()ax f x e H x '=，(1)()(1)a x H x a a e -'=+-，可得()H x '递减，(0)21H a '=-，所以存在00x >，使得0()0H x '=．当0(0,)x x ∈时，()0H x '>，()H x 在0(0,)x 递增，此时()0H x >，所以当0(0,)x x ∈时，()()0ax f x e H x '=>，()f x 在0(0,)x 递增，所以()1f x >-，与题意矛盾．综上可得，a 的取值范围是(-∞，1]2．（3）由（2）可知，当12a =时，12()1(0)x x f x xe e x =-<->，令*1(1)x ln n N n=+∈得，111(1(121(1)1ln ln n n ln e e n +++⋅-<-，整理得，11(1)0ln n n+<，∴11(1nln n >+，∴1()n ln n +>，∴11231((...(1)12n nk k k n ln ln ln n k n ==++>=⨯⨯⨯=+∑，...(1)ln n ++．另解：运用数学归纳法证明．当1n =时，左边222ln =>成立．假设当(1,*)n k k k N =∈...(1)ln k +++>+．当1n k =+时，要证...(2)ln k ++，只要证(1)(2)ln k ln k +++，21(2)(1)(1)11k ln k ln k lnln k k +>+-+==+++．可令11t k =+，则(0t ∈，1]2(1)ln t >+，再令6(1,])2x x =∈，则需证明162((1,])2x lnx x x ->∈．构造函数1()2()((1g x lnx x x x =--∈，6])2，22211()1(10g x x x x'=--=--<，可得()g x 在(1上递减，则()g x g <（1）0=，所以原不等式成立，即1n k =+...(2)ln k ++成立．...(1)ln n ++成立．10．（2021•新高考Ⅱ）已知函数2()(1)x f x x e ax b =--+．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）从下面两个条件中选一个，证明：()f x 恰有一个零点．①2122e a < ，2b a >；②102a <<，2b a．【解析】（Ⅰ）2()(1)x f x x e ax b =--+ ，()(2)x f x x e a '=-，①当0a 时，当0x >时，()0f x '>，当0x <时，()0f x '<，()f x ∴在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，②当0a >时，令()0f x '=，可得0x =或(2)x ln a =，()i 当102a <<时，当0x >或(2)x ln a <时，()0f x '>，当(2)0ln a x <<时，()0f x '<，()f x ∴在(-∞，(2))ln a ，(0,)+∞上单调递增，在((2)ln a ，0)上单调递减，1()2ii a =时，()(1)0x f x x e '=- 且等号不恒成立，()f x ∴在R 上单调递增，()iii 当12a >时，当0x <或(2)x ln a >时，()0f x '>，当0(2)x ln a <<时，()0f x '<，()f x 在(,0)-∞，((2)ln a ，)+∞上单调递增，在(0，(2))ln a 上单调递减．综上所述：当0a时，()f x 在(,0)-∞上单调递减；在(0,)+∞上单调递增；当102a <<时，()f x 在(-∞，(2))ln a 和(0,)+∞上单调递增；在((2)ln a ，0)上单调递减；当12a =时，()f x 在R 上单调递增；当12a >时，()f x 在(,0)-∞和((2)ln a ，)+∞上单调递增；在(0，(2))ln a 上单调递减．（Ⅱ）证明：若选①，由（Ⅰ）知，()f x 在(,0)-∞上单调递增，(0，(2))ln a 单调递减，((2)ln a ，)+∞上()f x 单调递增．注意到((1)0,(0)1210f ef b a =<=->->．()f x ∴在(上有一个零点；22((2))((2)1)222(2)222(2)(2(2))f ln a ln a a a ln a b aln a a aln a a aln a ln a =-⋅-⋅+>--+=-，由2122e a < 得0(2)2ln a < ，(2)(2(2))0aln a ln a ∴- ，((2))0f ln a ∴>，当0x 时，()((2))0f x f ln a > ，此时()f x 无零点．综上：()f x 在R 上仅有一个零点．另解：当1(2a ∈，2]2e 时，有(2)(0ln a ∈，2]，而(0)1210f b a =->-=，于是2((2))((2)1)2(2)f ln a ln a a aln a b =-⋅-+(2)(2(2))(2)0ln a a ln a b a =-+->，所以()f x 在(0,)+∞没有零点，当0x <时，(0,1)x e ∈，于是2()()0bf x ax b f a<-+⇒-<，所以()f x在(，0)上存在一个零点，命题得证．若选②，则由（Ⅰ）知：()f x 在(-∞，(2))ln a 上单调递增，在((2)ln a ，0)上单调递减，在(0,)+∞上单调递增．22((2))((2)1)222(2)222(2)(2(2))f ln a ln a a aln a b aln a a aln a a aln a ln a =--+--+=- ，102a <<，(2)0ln a ∴<，(2)(2(2))0aln a ln a ∴-<，((2))0f ln a ∴<，∴当0x时，()((2))0f x f ln a < ，此时()f x 无零点．当0x >时，()f x 单调递增，注意到(0)1210f b a =--< ，取c =21b a << ，∴1c >>，又易证1c e c >+，∴22221()(1)(1)(1)(1)11111102c f c c e ac b c c ac b a c b c b b b =--+>-+-+=-+->+-=-++-=>，()f x ∴在(0,)c 上有唯一零点，即()f x 在(0,)+∞上有唯一零点．综上：()f x 在R 上有唯一零点．11．（2021•浙江）设a ，b 为实数，且1a >，函数2()()x f x a bx e x R =-+∈．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对任意22b e >，函数()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围；（Ⅲ）当a e =时，证明：对任意4b e >，函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x ，满足22122blnb e x x e b>+．（注: 2.71828e = 是自然对数的底数）【解析】（Ⅰ）()x f x a lna b '=-，①当0b时，由于1a >，则0x a lna >，故()0f x '>，此时()f x 在R 上单调递增；②当0b >时，令()0f x '>，解得b lnlna x lna >，令()0f x '<，解得blnlna x lna<，∴此时()f x 在(,b lnlna lna -∞单调递减，在(,)blnlna lna+∞单调递增；综上，当0b时，()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞；当0b >时，()f x 的单调递减区间为(,b lnlna lna -∞，单调递增区间为(,)blnlna lna+∞；（Ⅱ）注意到x →-∞时，()f x →+∞，当x →+∞时，()f x →+∞，由（Ⅰ）知，要使函数()f x 有两个不同的零点，只需()()0min blnlna f x f lna=<即可，∴20b blnlnlna lna a b e lna lna-⋅+<对任意22b e >均成立，令b lnlna t lna =，则20t a bt e -+<，即20tlna e bt e -+<，即20blnlna bln lna e b e lna-⋅+<，即20b lnblna b e lna lna-⋅+<，∴20bb b lne lna lna-⋅+<对任意22b e >均成立，记22(),2b g b b b lne lna b e lna =-⋅+>，则1()1(()b lna g b ln b ln lna lnb lna b lna'=-+⋅⋅=-，令g '（b ）0=，得b lna =，①当22lna e >，即22e a e >时，易知g （b ）在2(2e ，)lna 单调递增，在(,)lna +∞单调递减，此时g （b ）22()1(1)0g lna lna lna ln e lna lna e =-⋅+=⋅+>，不合题意；②当22lna e ，即221e a e < 时，易知g （b ）在2(2e ，)+∞单调递减，此时2222222222()(2)2222[(2)()]e g b g e e e ln e lna e e ln e ln lna e lna lna<=-⋅+=--+，故只需22[22()]0ln ln lna lna -+-+ ，即2()222lna ln lna ln ++ ，则2lna，即2a e ；综上，实数a 的取值范围为(1，2]e ；（Ⅲ）证明：当a e =时，2()x f x e bx e =-+，()x f x e b '=-，令()0f x '=，解得4x lnb =>，易知22222422()()433(13)0lnb min f x f lnb e b lnb e b blnb e b b e e b e e e e ==-⋅+=-+<-+=-<-=-<，()f x ∴有两个零点，不妨设为1x ，2x ，且12x lnb x <<，由2222()0x f x e bx e =-+=，可得222x e e x b b=+，∴要证22122blnb e x x e b >+，只需证2122x e blnb x b e>，只需证22122x b lnb e x e >，而222222222222(20e eb b e e f e e e e e e e b =-+=-<-<，则212e x b<，∴要证22122x b lnbe x e>，只需证2x e blnb >，只需证2()x ln blnb >，而()222221(())()()(4)404ln blnb f ln blnb e bln blnb e blnb bln blnb e blnb bln b e b ln e e bln =-+=-+<-+=⋅+=-<，2()x ln blnb ∴>，即得证．12．（2021•新高考Ⅰ）已知函数()(1)f x x lnx =-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且blna alnb a b -=-，证明：112e a b<+<．【解析】（1）解：由函数的解析式可得()11f x lnx lnx '=--=-，(0,1)x ∴∈，()0f x '>，()f x 单调递增，(1,)x ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减，则()f x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减．（2）证明：由blna alnb a b -=-，得111111ln ln a a b b b a -+=-，即1111(1)(1ln ln a a b b-=-，由（1）()f x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，所以()max f x f =（1）1=，且f （e ）0=，令11x a =，21x b=，则1x ，2x 为()f x k =的两根，其中(0,1)k ∈．不妨令1(0,1)x ∈，2(1,)x e ∈，则121x ->，先证122x x <+，即证212x x >-，即证211()()(2)f x f x f x =<-，令()()(2)h x f x f x =--，则()()(2)(2)[(2)]h x f x f x lnx ln x ln x x '='+'-=---=--在(0,1)单调递减，所以()h x h '>'（1）0=，故函数()h x 在(0,1)单调递增，1()h x h ∴<（1）0=．11()(2)f x f x ∴<-，122x x ∴<+，得证．同理，要证12x x e +<，（法一）即证211x e x <<-，根据（1）中()f x 单调性，即证211()()()f x f x f e x =>-，令()()()x f x f e x ϕ=--，(0,1)x ∈，则()[()]x ln x e x ϕ'=--，令0()0x ϕ'=，0(0,)x x ∈，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，0(x x ∈，1)，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减，又0x e <<时，()0f x >，且f （e ）0=，故0lim ()0x x ϕ+→=，ϕ（1）f =（1）(1)0f e -->，()0x ϕ∴>恒成立，12x x e +<得证，（法二）12()()f x f x =，1122(1)(1)x lnx x lnx -=-，又1(0,1)x ∈，故111lnx ->，111(1)x lnx x ->，故12112222(1)(1)x x x lnx x x lnx x +<-+=-+，2(1,)x e ∈，令()(1)g x x lnx x =-+，()1g x lnx '=-，(1,)x e ∈，在(1,)e 上，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()g x g <（e ）e =，即222(1)x lnx x e -+<，所以12x x e +<，得证，则112e a b<+<．13．（2020•海南）已知函数1()x f x ae lnx lna -=-+．（1）当a e =时，求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若()1f x ，求a 的取值范围．【解析】（1）当a e =时，()1x f x e lnx =-+，1()x f x e x∴'=-，f ∴'（1）1e =-，f （1）1e =+，∴曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为(1)(1)(1)y e e x -+=--，当0x =时，2y =，当0y =时，21x e -=-，∴曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积1222211S e e =⨯⨯=--．（2）方法一：由()1f x ，可得11x ae lnx lna --+ ，即11x lna e lnx lna -+-+ ，即11x lna lnx e lna x lnx x e lnx -+++-+=+ ，令()t g t e t =+，则()10t g t e '=+>，()g t ∴在R 上单调递增，(1)()g lna x g lnx +- 1lna x lnx ∴+- ，即1lna lnx x -+，令()1h x lnx x =-+，11()1xh x x x-∴'=-=，当01x <<时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，当1x >时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，()h x h ∴ （1）0=，0lna ∴ ，1a ∴ ，故a 的范围为[1，)+∞．方法二：由()1f x 可得11x ae lnx lna --+ ，0x >，0a >，即11x ae lnx lna --- ，设()1x g x e x =--，()10x g x e ∴'=->恒成立，()g x ∴在(0,)+∞单调递增，()(0)1010g x g ∴>=--=，10x e x ∴-->，即1x e x >+，再设()1h x x lnx =--，11()1x h x x x-∴'=-=，当01x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，当1x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，()h x h ∴ （1）0=，10x lnx ∴-- ，即1x lnx -1x e x -∴ ，则1x ae ax - ，此时只需要证ax x lna -，即证(1)x a lna -- ，当1a时，(1)0x a lna ∴->>-恒成立，当01a <<时，(1)0x a lna -<<-，此时(1)x a lna -- 不成立，综上所述a 的取值范围为[1，)+∞．方法三：由题意可得(0,)x ∈+∞，(0,)a ∈+∞，11()x f x ae x-∴'=-，易知()f x '在(0,)+∞上为增函数，①当01a <<时，f '（1）10a =-<，11111()(1)0a a f ae a a e a--'=-=->，∴存在01(1,x a∈使得0()0f x '=，当0(1,)x x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，()f x f ∴<（1）1a lna a =+<<，不满足题意，②当1a时，10x e ->，0lna >，1()x f x e lnx -∴- ，令1()x g x e lnx -=-，11()x g x e x-∴'=-，易知()g x '在(0,)+∞上为增函数，g ' （1）0=，∴当(0,1)x ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，()g x g ∴ （1）1=，即()1f x ，综上所述a 的取值范围为[1，)+∞．方法四：1()x f x ae lnx lna -=-+ ，0x >，0a >，11()x f x ae x-∴'=-，易知()f x '在(0,)+∞上为增函数，1x y ae -= 在(0,)+∞上为增函数，1y x =在0，)+∞上为减函数，1x y ae -∴=与1y x=在0，)+∞上有交点，∴存在0(0,)x ∈+∞，使得01001()0x f x ae x -'=-=，则0101x ae x -=，则001lna x lnx +-=-，即001lna x lnx =--，当0(0,)x x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当0(x x ∈，)+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，0100()()x f x f x ae lnx lna-∴=-+ 0000000111211lnx x lnx lnx x x x =-+--=-+- ∴000120lnx x x --设1()2g x lnx x x=--，易知函数()g x 在(0,)+∞上单调递减，且g （1）1010=--=，∴当(0x ∈，1]时，()0g x，0(0x ∴∈，1]时，000120lnx x x -- ，设()1h x x lnx =--，(0x ∈，1]，1()10h x x∴'=--<恒成立，()h x ∴在(0，1]上单调递减，()h x h ∴ （1）1110ln =--=，当0x →时，()h x →+∞，01lna ln ∴= ，1a ∴ ．方法五：()1f x 等价于11x ae lnx lna --+ ，该不等式恒成立．当1x =时，有1a lna +，其中0a >．设g （a ）1a lna =+-，则g '（a ）110a=+>，则g （a ）单调递增，且g （1）0=．所以若1a lna +成立，则必有1a ．∴下面证明当1a时，()1f x 成立．设()1x h x e x =--，()1x h x e ∴'=-，()h x ∴在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增，()(0)1010h x h ∴=--= ，10x e x ∴-- ，即1x e x + ，把x 换成1x -得到1x e x - ，1x lnx - ，1x lnx ∴- ．11()1x x f x ae lnx lna e lnx x lnx --∴=-+-- ，当1x =时等号成立．综上，1a．14．（2019•浙江）已知实数0a ≠，设函数()f x alnx =+0x >．（Ⅰ）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）对任意21[x e ∈，)+∞均有()2f x a，求a 的取值范围．注： 2.71828e =⋯为自然对数的底数．【解析】（1）当34a =-时，3()4f x lnx =-+0x >，3()4f x x '=-=∴函数()f x 的单调递减区间为(0,3)，单调递增区间为(3,)+∞．（2）由f （1）12a，得0a <当204a < 时，()2f x a ，等价于22120lnx a a-- ，令1t a=，则t ，设()22g t t lnx =，t，则2()2g t t lnx=-，()i 当1[7x ∈，)+∞，则()2g x g lnx =- ，记()p x lnx =-，17x ，则1()p x x '=-=列表讨论：x 171(7，1)1(1,)+∞()p x '-0+()P x 1()7p 单调递减极小值p （1）单调递增()p x p ∴ （1）0=，()2()2()0g t g p x p x ∴== ．()ii 当211[,7x e ∈时，()g t g = ，令()(1)q x x =++，21[x e ∈，17，则()10q x'=>，故()q x 在21[e ，1]7上单调递增，1()()7q x q ∴ ，由()i 得11()()7777q p p =-<-（1）0=，()0q x ∴<，()0g t g ∴=> ，由()()i ii 知对任意21[x e∈，)+∞，t ∈，)+∞，()0g t ，即对任意21[x e ∈，)+∞，均有()2f x a ，综上所述，所求的a 的取值范围是(0，24．考点四利用导数研究函数的极值15．【多选】（2023•新高考Ⅱ）若函数2()(0)b c f x alnx a x x =++≠既有极大值也有极小值，则()A ．0bc >B ．0ab >C ．280b ac +>D ．0ac <【解析】函数定义域为(0,)+∞，且223322()a b c ax bx c f x x x x x --'=--=，由题意，方程()0f x '=即220ax bx c --=有两个正根，设为1x ，2x ，则有120b x x a +=>，1220c x x a-=>，△280b ac =+>，0ab ∴>，0ac <，20ab ac a bc ∴⋅=<，即0bc <．故选：BCD ．16．【多选】（2022•新高考Ⅰ）已知函数3()1f x x x =-+，则()A ．()f x 有两个极值点B ．()f x 有三个零点C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线【解析】2()31f x x '=-，令()0f x '>，解得x <或x >，令()0f x '<，解得x <()f x ∴在33(,),()33-∞-+∞上单调递增，在33()33-上单调递减，且(0,0f f ==，()f x ∴有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项A 正确，选项B 错误；又33()()112f x f x x x x x +-=-+-++=，则()f x 关于点(0,1)对称，故选项C 正确；假设2y x =是曲线()y f x =的切线，设切点为(,)a b ，则23122a a b ⎧-=⎨=⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩或12a b =-⎧⎨=-⎩，显然(1,2)和(1,2)--均不在曲线()y f x =上，故选项D 错误．故选：AC ．17．（2023•新高考Ⅱ）（1）证明：当01x <<时，2sin x x x x -<<；（2）已知函数2()cos (1)f x ax ln x =--，若0x =为()f x 的极大值点，求a 的取值范围．【解析】（1）证明：设2()sin g x x x x =--，(0,1)x ∈，则()12cos g x x x '=--，()2sin 0g x x ∴''=-+<，()g x ∴'在(0,1)上单调递减，()(0)0g x g ∴'<'=，()g x ∴在(0,1)上单调递减，()(0)0g x g ∴<=，即2sin 0x x x --<，(0,1)x ∈，2sin x x x ∴-<，(0,1)x ∈，设()sin h x x x =-，(0,1)x ∈，则()1cos 0h x x '=->，()h x ∴在(0,1)上单调递增，()(0)0h x h ∴>=，(0,1)x ∈，即sin 0x x ->，(0,1)x ∈，sin x x ∴<，(0,1)x ∈，综合可得：当01x <<时，2sin x x x x -<<；（2）解：22()sin 1x f x a ax x '=-+- ，222222()cos (1)x f x a ax x +∴''=-+-，且(0)0f '=，2(0)2f a ''=-+，①若2()20f x a ''=->，即a <<时，易知存在10t >，使得1(0,)x t ∈时，()0f x ''>，()f x ∴'在1(0,)t 上单调递增，()(0)0f x f ∴'>'=，()f x ∴在1(0,)t 上单调递增，这显然与0x =为函数的极大值点相矛盾，故舍去；②若2()20f x a ''=-<，即a <a >时，存在20t >，使得2(x t ∈-，2)t 时，()0f x ''<，()f x ∴'在2(t -，2)t 上单调递减，又(0)0f '=，∴当20t x -<<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当20x t <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，满足0x =为()f x 的极大值点，符合题意；③若2()20f x a ''=-=，即a =()f x 为偶函数，∴只考虑a =的情况，此时22())1x f x x '=+-，(0,1)x ∈时，2221()22(1)011x f x x x x x '>-+=->--，()f x ∴在(0,1)上单调递增，与显然与0x =为函数的极大值点相矛盾，故舍去．综合可得：a 的取值范围为(-∞，⋃，)+∞．考点五利用导数研究函数的最值18．（2022•新高考Ⅰ）已知函数()x f x e ax =-和()g x ax lnx =-有相同的最小值．（1）求a ；（2）证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【解析】（1）()f x 定义域为R ，()x f x e ax =- ，()x f x e a '∴=-，若0a，则()0f x '>，()f x 无最小值，故0a >，当()0f x '=时，x lna =，当x lna <时，()0f x '<，函数()f x 在(,)lna -∞上单调递减，当x lna >时，()0f x '>，函数()f x 在(,)lna +∞上单调递增，故()()min f x f lna a alna ==-，()g x 的定义域为(0,)+∞，()g x ax lnx =- ，1()g x a x'∴=-，令()0g x '=，解得1x a =，当10x a <<时，()0g x '<，函数()g x 在1(0,)a上单调递减，当1x a >时，()0g x '>，函数()g x 在1(a，)+∞上单调递增，故()1min g x lna =+，函数()x f x e ax =-和()g x ax lnx =-有相同的最小值1a alna lna ∴-=+，0a > ，1a alna lna ∴-=+化为101a lna a --=+，令1()1x h x lnx x -=-+，0x >，则222211(1)121()(1)(1)(1)x x x h x x x x x x x +--+'=-=-=+++，0x > ，221()0(1)x h x x x +'∴=>+恒成立，()h x ∴在(0,)+∞上单调递增，又h （1）0=，h ∴（a ）h =（1），仅有此一解，1a ∴=．（2）证明：由（1）知1a =，函数()x f x e x =-在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，函数()g x x lnx =-在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，设()()()2(0)x u x f x g x e x lnx x =-=-+>，则1()22x x u x e e x'=-+>-，当1x 时，()20u x e '-> ，所以函数()u x 在(1,)+∞上单调递增，因为u （1）20e =->，所以当1x 时，()u x u （1）0>恒成立，即()()0f x g x ->在1x时恒成立，所以1x 时，()()f x g x >，因为(0)1f =，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，g （1）1=，函数()g x 在(0,1)上单调递减，所以函数()f x 与函数()g x 的图象在(0,1)上存在唯一交点，设该交点为(m ，())(01)f m m <<，此时可作出函数()y f x =和()y g x =的大致图象，31由图象知当直线y b =与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点时，直线y b =必经过点(M m ，())f m ，即()b f m =，因为()()f m g m =，所以m e m m lnm -=-，即20m e m lnm -+=，令()()f x b f m ==得x m e x e m m lnm -=-=-，解得x m =或x lnm =，由01m <<，得0lnm m <<，令()()g x b f m ==得m x lnx e m m lnm -=-=-，解得x m =或m x e =，由01m <<，得1m m e <<，所以当直线y b =与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点时，从左到右的三个交点的横坐标依次为，lnm ，m ，m e ，因为20m e m lnm -+=，所以2m e lnm m +=，所以lnm ，m ，m e 成等差数列．∴存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．。

全国卷近五年高考函数真题

全国卷近五年高考函数真题1.已知函数f(x)的定义域为(-1.)，求函数f(2x+1)的定义域。

答案：(-1/2.)2.若函数f(x)=x^2+ax+b是增函数，则a的取值范围是？答案：[0.3]3.若函数f(x)=(1-x^2)(x^2+ax+b)的图像关于直线x=-2对称，则f(x)的最大值为多少？答案：9/44.已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c，下列结论中错误的是？答案：若x是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(-∞。

x)单调递减。

5.曲线y=xex^-1在点(1,1)处切线的斜率等于多少？答案：26.设函数f(x)和g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是？答案：|f(x)•g(x)|是奇函数。

7.已知函数f(x)=ax^3-3x^2+1，若f(x)存在唯一的零点x，且x>0，则实数a的取值范围是？答案：(1.+∞)8.设曲线y=ax^-ln(x+1)在点(1,2)处的切线方程为y=2x，则a=多少？答案：19.已知偶函数f(x)在[0.+∞)单调递减，f(2)=0，若f(x-1)>0，则x的取值范围是多少？答案：(1.2]10.设函数f(x)=e^x(2x-1)-ax+a，其中a<1，若存在唯一的整数x使得f(x)<0，则a的取值范围是？答案：(ln2-1.ln2)11.若函数f(x)=xln(x+1)为偶函数，则a=多少？答案：1/212.设函数f(x)=3^x，则f(-2)+f(log2 12)等于多少？答案：913.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(-1)=0，当x>0时，xf'(x)-f(x)0成立的x的取值范围是？答案：(-1.0)已知函数 $f(x)=ax^2-ax-x\ln{x}$，且 $f(x)\geq0$。

首先，我们需要找到 $f(x)$ 的零点。

历年(2020-2023)全国高考数学真题分类(函数)汇编(附答案)

历年(2020‐2023)全国高考数学真题分类(函数)汇编【2023年真题】1.（2023·新课标I 卷第4题）设函数()()2x x a f x -=在区间(0,1)单调递减，则a 的取值范围是( ) A. (,2]-∞-B. [2,0)-C. (0,2]D. [2,)+∞2.（2023·新课标II 卷第4题）若21()()ln 21x f x x a x -=++为偶函数，则a =( ) A. 1-B. 0C.12D. 13.（2023·新课标I 卷第10题）（多选）噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级020lgp pL p =⨯，其中常数00(0)p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压.下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB 燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为1p ，2p ，3p ，则( ) A. 12p p …B. 2310p p >C. 30100p p =D. 12100p p …4. （2023·新课标I 卷第11题）（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，22()()()f xy y f x x f y =+，则( ) A. (0)0f = B. (1)0f =C. ()f x 是偶函数D. 0x =为()f x 的极小值点【2022年真题】5.（2022·新高考I 卷第12题）（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域为R ，记()().g x f x ='若3(2)2f x -，(2)g x +均为偶函数，则( )A. (0)0f =B. 1()02g -=C. (1)(4)f f -=D. (1)(2)g g -=6.（2022·新高考II 卷第8题）若函数()f x 的定义域为R ，且()()()()f x y f x y f x f y ++-=，(1)1f =，则221()k f k ==∑( )A. 3-B. 2-C. 0D. 1【2021年真题】7.（2021·新高考I 卷第13题）已知函数3()(22)x x f x x a -=⋅-是偶函数，则a =__________. 8.（2021·新高考II 卷第7题）已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是( ) A. c b a << B. b a c << C. a c b << D. a b c <<9.（2021·新高考II 卷第8题）设函数()f x 的定义域为R ，且(2)f x +为偶函数，(21)f x +为奇函数，则 ( )A. 102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B. (1)0f -=C. (2)0f =D. (4)0f =10.（2021·新高考II 卷第14题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x ：_________. ①()()()1212f x x f x f x =；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；③()f x '是奇函数．【2020年真题】11.（2020·新高考I 卷第6题）基本再生数0R 与世代间隔T 是新冠肺炎流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：()rt I t e =描述累计感染病例数()I t 随时间(t 单位：天)的变化规律，指数增长率 r 与0R ，T 近似满足01.R rT =+有学者基于已有数据估计出0 3.28R =， 6.T =据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 20.69)≈( ) A. 1.2天B. 1.8天C. 2.5天D. 3.5天12.（2020·新高考I 卷、II 卷第8题）若定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递减，且(2)0f =，则满足(1)0xf x -…的x 的取值范围是( ) A. [1,1][3,)-⋃+∞ B. [3,1][0,1]--⋃ C. [1,0][1,)-⋃+∞D. [1,0][1,3]-⋃13.（2020·新高考II 卷第7题）已知函数2()lg(45)f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围是( ) A. (2,)+∞ B. [2,)+∞ C. (5,)+∞ D. [5,)+∞14.（2020·新高考I 卷第12题）（多选）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1，2，，n ，且()0(1,2,,)i P X i p i n ==>= ，11ni i p ==∑，定义X 的信息熵21()logni i i H X p p ==-∑( )A. 若1n =，则()0H x =B. 若2n =，则()H x 随着1p 的增大而增大C. 若i p =1n(1,2,i =，)n ，则()H x 随着n 的增大而增大 D. 若2n m =，随机变量Y 的所有可能取值为1，2，，m ，且()P Y j ==j p +21j m p +-(1,2,j = ，)m ，则()H X ()H Y参考答案1.（2023·新课标I 卷第4题）解：结合复合函数单调性的性质，易得12a …，所以a 的取值范围是[2,);+∞故选.D 2.（2023·新课标II 卷第4题）解：()f x 为偶函数，(1)(1)f f =-，1(1)ln(1)ln 33a a ∴+=-+，0a ∴=，故选.B 3.（2023·新课标I 卷第10题）（多选）解：1211200220lg20lg 20lg 0p p p L L p p p -=⨯-⨯=⨯> ，121pp ∴>，12p p ∴>，所以A 正确; 223320lg 10p L L p -=⨯ …，231lg 2p p ∴…，1223p e p ∴…，所以B 错误;33020lg40p L p =⨯= ，30100pp ∴=，所以C 正确; 112220lg 905040p L L p -=⨯-= …，12lg 2p p ∴…，12100pp ∴…，所以D 正确．故选ACD4. （2023·新课标I 卷第11题）（多选）解：选项A ，令0x y ==，则(0)0(0)0(0)f f f =⨯+⨯，则(0)0f =，故A 正确; 选项B ，令1x y ==，则(1)1(1)1(1)f f f =⨯+⨯，则(1)0f =，故B 正确; 选项C ，令1x y ==-，则22(1)(1)(1)(1)(1)f f f =-⨯-+-⨯-，则(1)0f -=，再令1y =-，则22()(1)()(1)f x f x x f -=-+-，即()()f x f x -=，故C 正确;选项D ，不妨设()0f x =为常函数，且满足原题22()()()f xy y f x x f y =+，而常函数没有极值点，故D 错误. 故选：.ABC5.（2022·新高考I 卷第12题）（多选）解：由3(2)2f x -为偶函数可知()f x 关于直线32x =对称，由(2)g x +为偶函数可知()g x 关于直线2x =对称，结合()()g x f x ='，根据()g x 关于直线2x =对称可知()f x 关于点(2,)t 对称，根据()f x 关于直线32x =对称可知：()g x 关于点3(,0)2对称，综上，函数()f x 与()g x 均是周期为2的周期函数，所以有(0)(2)f f t ==，所以A 不正确;(1)(1)f f -=，(4)(2)f f =，(1)(2)f f =，故(1)(4)f f -=，所以C 正确.13()()022g g -==，(1)(1)g g -=，所以B 正确;又(1)(2)0g g +=，所以(1)(2)0g g -+=，所以D 不正确. 6.（2022·新高考II 卷第8题）解：令1y =得(1)(1)()(1)()(1)()(1)f x f x f x f f x f x f x f x ++-=⋅=⇒+=-- 故(2)(1)()f x f x f x +=+-，(3)(2)(1)f x f x f x +=+-+，消去(2)f x +和(1)f x +得到(3)()f x f x +=-，故()f x 周期为6; 令1x =，0y =得(1)(1)(1)(0)(0)2f f f f f +=⋅⇒=，(2)(1)(0)121f f f =-=-=-， (3)(2)(1)112f f f =-=--=-， (4)(3)(2)2(1)1f f f =-=---=-， (5)(4)(3)1(2)1f f f =-=---=， (6)(5)(4)1(1)2f f f =-=--=，故221()3[(1)(2)(6)](19)(20)(21)(22)k f k f f f f f f f ==+++++++∑(1)(2)(3)(4)1(1)(2)(1)3f f f f =+++=+-+-+-=-即7.（2021·新高考I 卷第13题）解：函数3()(22)x x f x x a -=⋅-是偶函数；33()(22)=()()(22)x x x x f x x a f x x a --∴=⋅--=-⋅-，化简可得3(2222)0x x x x x a a --⋅-+⋅-=，解得1a =，故答案为1.8.（2021·新高考II 卷第7题）解：5881log 2log log log 32a b =<==<=，即.a c b << 故选.C9.（2021·新高考II 卷第8题）解：因为函数为偶函数，则()()22f x f x +=-，可得()()31f x f x +=-，因为函数为奇函数，则()()1221f x f x -=-+，所以()()11f x f x -=-+，所以，(3)(1)f x f x +=-+，即(4)(2)()f x f x f x +=-+=，故函数是以4为周期的周期函数，因为函数()()21F x f x =+为奇函数，则()()010F f ==，故()()110f f -=-=，其它三个选项未知. 故选.B10.（2021·新高考II 卷第14题）解：取2()f x x =，则22212121212()()()()f x x x x x x f x f x ===，满足①，()2f x x '=，0x >时有，满足②， ()2f x x '=的定义域为R ，又()2()f x x f x ''-=-=-，故是奇函数，满足③.故答案为：2()(f x x =答案不唯一，()()2*nf x x n N =∈均满足)11.（2020·新高考I 卷第6题）解：将0 3.28R =，6T =代入01R rT =+，得01 3.2810.386R r T--===，(2)f x +(21)f x +()f x ()0f x '>由()0.38tI t e=得()()ln 0.38I t t =，当增加1倍时，，所需时间为故选.B12.（2020·新高考I 卷、II 卷第8题）解：根据题意，不等式(1)0xf x -…可化为()010x f x ≥⎧⎨-≥⎩ 或()010x f x ≤⎧⎨-≤⎩，由奇函数性质得(2)-(2)0f f -==，()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以或，解得13x 剟或10.x -剟满足(1)0xf x -…的x 的取值范围是[1,0][1,3].x ∈-⋃ 故选.D13.（2020·新高考II 卷第7题）解：由2450x x -->，得1x <-或 5.x > 令245t x x =--，外层函数lg y t =是其定义域内的增函数，∴要使函数2()lg(45)f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，则需内层函数245t x x =--在(,)a +∞上单调递增且恒大于0，则(,)(5,)a +∞⊆+∞，即 5.a …a ∴的取值范围是[5,).+∞故选：.D14.（2020·新高考I 卷第12题）（多选）解：A 选项中，由题意知11p =，此时2()1log 10H X =-⨯=，故A 正确； B 选项中，由题意知121p p +=，且1(0,1)p ∈，121222121121()log log log (1)log (1)H X p p p p p p p p =--=----，设22()log (1)log (1)f x x x x x =----，(0,1)x ∈ ，则222111()log log (1)log (1)ln 2ln 2f x x x x '=--+-+=-，当1(,1)2x ∈时，()0f x '<，当1(0,)2x ∈时，()0f x '>，故当11(0,2p ∈ 时，()H X 随着1p 的增大而增大，当11(,1)2p ∈ 时，()H X 随着1p 的增大而减小，故B 错误；C 选项中，由题意知2211()(log H X n log n n n=⨯-=，故()H X 随着n 的增大而增大，故C 正确；D 选项中，由题意知j21j2j 21j j 1()()log ()mm m H Y p pp p +-+-==-++∑，2j 2j j 2j 21j 221j j 1j 1()log (log log )mmm m H X p p p p p p +-+-===-=-+∑∑，j 21jj 21j2j 21j 2j 221jj 1j 1()()log ()(log log )m m mmp p pp m m H X H Y p p p p +-+-++-+-==-=+-+∑∑j 21j j 21jj 21jj 21jj 21j j 21j j 21j 22j 1j 1j 21j j 21j()()()=log log m m m m p p pp mmm m m pp pp m m p p p p p p p p p p +-+-+-+-++-+-+-==+-+-+++=∑∑j 21j21j j 2j 1j21j=log (1)(1)0,m mpp m m p p p p +-+-=+-++>∑故D 错误. 故答案为： .AC。

通用版五年高考2024_2025高考数学真题专题归纳专题06三角函数及解三角形含解析理

1 1
tan tan
2 2
1 1
22 22
3， 5
tan( ) tan 1 2 1 1 ， 4 1 tan 1 2 3
11.（2024·江苏卷）已知 sin2 ( ) = 2 ，则 sin 2 的值是____.
4
3
【答案】 1 3
【解析】 sin2 ( ) ( 2 cos 2 sin )2 1 (1 sin 2 )
图1
9
图2
图3
4．【2024·全国Ⅱ卷】已知 α∈(0， )，2sin2α=cos2α+1，则 sinα= 2
A． 1 5
B． 5 5
C． 3 3
【答案】B
D． 2 5 5
【解析】
2sin 2α cos 2α 1，4sin α cos α 2 cos2 α .
α
0,
2
,
cos
α
0
，
sin α 0, 2sin α cos α ，又 sin2 cos2 1，5sin2 α 1,sin2 α 1 ，又 5
f
x
可得：
cos
4 9
6
0
.又
4 9
,
0
是函数
f
x 图象与
x
轴负半轴的第一个交点，
所以 4 ，解得： 3
9
62
2
所以函数
f
x 的最小正周期为T
2
2 3
4 3
2
2.（2024·新课标Ⅰ）已知 (0, π) ，且 3cos2 8cos 5 ，则 sin （
A5 3
B. 2 3
7.（2024·山东卷）下图是函数 y= sin(ωx+φ)的部分图像，则 sin(ωx+φ)= （）

【创新方案】(人教通用版)高考数学五年高考真题分类汇编第二章函数、导数及其应用理

五年高考真题分类汇编：函数、导数及其应用一.选择题1．（2013·湖南高考理）函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为( )A．3 B．2 C．1 D．0【解析】选B 本小题主要考查二次函数和对数函数的图象及性质，考查对数值的取值范围的探究及数形结合思想．由已知g(x)＝(x－2)2＋1，所以其顶点为(2,1)，又f(2)＝2ln 2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f(x)＝2ln x图象的下方，故函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象有2个交点．2．（2013·福建高考理）设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是( )A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C．－x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点【解析】选D 本题考查函数的极值点、导数等基础知识，意在考查考生的数形结合能力．取函数f(x)＝x3－x，则x＝－33为f(x)的极大值点，但f(3)>f⎝⎛⎭⎪⎫－33，排除A.取函数f(x)＝－(x－1)2，则x＝1是f(x)的极大值点，但－1不是f(－x)的极小值点，排除B；－f(x)＝(x－1)2，－1不是－f(x)的极小值点，排除C.故选D.3．（2013·福建高考理）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝f(x)满足：(ⅰ)T＝{f(x)|x∈S}；(ⅱ)对任意x1，x2∈S，当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是( )A．A＝N*，B＝NB．A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x＝－8或0<x≤10}C．A＝{x|0<x<1}，B＝RD．A＝Z，B＝Q【解析】选D 本题考查新定义知识与集合、函数的单调性等基础知识，意在考查考生对新定义的理解与应用能力、数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力．对选项A，取f(x)＝x－1，x∈N*，所以A＝N*，B＝N是“保序同构”，应排除A；对选项B，取f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－8，x ＝－1，x ＋1，－1<x ≤0，x 2＋1，0<x ≤3，所以A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＝－8或0<x ≤10}是“保序同构”，应排除B ；对选项C ，取f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π2(0<x <1)，所以A ＝{x |0<x <1}，B ＝R 是“保序同构”，应排除C ，故选D. 4.（2013·重庆高考理）－aa ＋(－6≤a ≤3)的最大值为( )A ．9 B.92 C ．3 D.322【解析】选B 本题考查函数的最值问题，意在考查考生的运算求解能力．法一：因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0，a ＋6≥0，则由基本不等式可知，－aa ＋≤－a ＋a ＋2＝92，当且仅当a ＝－32时等号成立．法二：－aa ＋＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋814≤92，当且仅当a ＝－32时等号成立．5．（2013·重庆高考理）若a 0，f (b )<0，f (c )>0，故函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内．6．（2013·新课标Ⅰ高考理）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，x ＋，x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]【解析】选D 本题考查一次函数、二次函数、对数函数、分段函数及由不等式恒成立求参数的取值范围问题，意在考查考生的转化能力和利用数形结合思想解答问题的能力．当x ≤0时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤0，所以|f (x )|≥ax 化简为x 2－2x ≥ax ，即x 2≥(a ＋2)x ，因为x ≤0，所以a ＋2≥x 恒成立，所以a ≥－2；当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)＞0，所以|f (x )|≥ax 化简为ln(x ＋1)＞ax 恒成立，由函数图象可知a ≤0，综上，当－2≤a ≤0时，不等式|f (x )|≥ax 恒成立，选择D.7．（2013·新课标II 高考理）设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则 ( ) A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞b D ．a ＞b ＞c【解析】选D 本题主要考查对数的基本运算以及同真数不同底数对数值大小的比较，意在考查考生分析问题与合理运用知识巧妙求解问题的能力．a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝log 510＝1＋log 52，c ＝log 714＝1＋log 72，则只要比较log 32，log 52，log 72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y ＝log 3x ，y ＝log 5x ，y ＝log 7x 的图象，由三个图象的相对位置关系，可知a ＞b ＞c ，故选D.8．（2013·新课标II 高考理）已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是 ( ) A.∃ x 0∈R ，f (x 0)＝0B.函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形C.若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)单调递减D.若x 0是f (x )的极值点，则 f ′(x 0)＝0【解析】选C 本题考查三次函数的性质，考查数形结合思想，考查考生分析问题和解决问题的能力．由于三次函数的三次项系数为正值，当x →－∞时，函数值→－∞，当x →＋∞时，函数值也→＋∞，又三次函数的图象是连续不断的，故一定穿过x 轴，即一定∃x 0∈R ，f (x 0)＝0，选项A 中的结论正确；函数f (x )的解析式可以通过配方的方法化为形如(x ＋m )3＋n (x ＋m )＋h 的形式，通过平移函数图象，函数的解析式可以化为y ＝x 3＋nx 的形式，这是一个奇函数，其图象关于坐标原点对称，故函数f (x )的图象是中心对称图形，选项B 中的结论正确；由于三次函数的三次项系数为正值，故函数如果存在极值点x 1，x 2，则极小值点x 2＞x 1，即函数在－∞到极小值点的区间上是先递增后递减的，所以选项C 中的结论错误；根据导数与极值的关系，显然选项D 中的结论正确.9．（2013·辽宁高考理）已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}，H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B ＝ ( )A ．16B ．－16C ．a 2－2a －16 D ．a 2＋2a －16 【解析】选B 本题考查了二次函数的图象和性质的应用，试题以信息的形式给出，增加了试题的难度．试题同时考查了数形结合的数学思想和转化与化归的数学思想，解题过程中要能够结合图象特点，将问题转化为研究函数图象交点问题．函数f (x )的图象是开口向上的抛物线，g (x )的图象是开口向下的抛物线，两个函数图象相交，则A 必是两个函数图象交点中较低的点的纵坐标，B 是两个函数图象交点中较高的点的纵坐标．令x 2－2(a ＋2)x ＋a 2＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8，解得x ＝a ＋2或x ＝a －2.当x ＝a ＋2时，因为函数f (x )的对称轴为x ＝a ＋2，故可判断A ＝f (a ＋2)＝－4a －4，B ＝f (a －2)＝－4a ＋12，所以A －B ＝－16. 10．（2013·辽宁高考理）设函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝e 28，则x >0时，f (x )( )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值【解析】选D 本题考查导数的应用以及转化能力．由题意[x 2f (x )]′＝e xx，令g (x )＝x 2f (x )，则g ′(x )＝e xx，且f (x )＝g x x2，因此f ′(x )＝xgx －2g x x 3＝e x－2g xx 3.令h (x )＝e x－2g (x )，则h ′(x )＝e x－2g ′(x )＝e x－2e xx＝exx －x，所以x >2时，h ′(x )>0；0<x <2时，h ′(x )<0.从而有h (x )≥h (2)＝0，即f ′(x )≥0，所以当x >0时，f (x )是单调递增的，f (x )既无极大值也无极小值．11．（2013·安徽高考理）若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f (x 1)＝x 1，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】选A 本题考查三次函数、导数的运算、二次方程等知识，考查分类讨论思想与数形结合思想．因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b,3f 2(x )＋2af (x )＋b ＝0且方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的两根分别为x 1，x 2，所以f (x )＝x 1或f (x )＝x 2.当x 1是极大值点时，x 2为极小值点，且x 2>x 1，如图1所示可知方程f (x )＝x 1有2个实根，f (x )＝x 2有1个实根，故方程3f 2(x )＋2af (x )＋b ＝0共有3个不同实根．当x 1是极小值点时，f (x 1)＝x 1，x 2为极大值点，且x 2<x 1，如图2可知方程f (x )＝x 1有2个实根，f (x )＝x 2有1个实根，故方程3f 2(x )＋2af (x )＋b ＝0共有3个不同实根．综上，可知方程3f 2(x )＋2af (x )＋b ＝0共有3个不同实根．12．（2013·浙江高考理）已知x ，y 为正实数，则 ( ) A ．2lg x ＋lg y＝2lg x＋2lg yB ．2lg(x ＋y )＝2lg x·2lg yC ．2lg x ·lg y ＝2lg x ＋2lg yD ．2lg(xy )＝2lg x·2lg y【解析】选D 本题考查理解有理指数幂的含义、幂的运算，考查指数、对数函数的概念及其运算性质，意在考查考生基本的运算能力．取特殊值即可．如取x ＝10，y ＝1,2lg x ＋lg y＝2,2lg(xy)＝2,2lg x＋2lg y＝3,2lg(x＋y)＝2lg 11,2lg x·lg y＝1,2lg x·2lg y＝2.13.（2013·浙江高考理）已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(e x－1)(x－1)k(k＝1,2)，则 ( ) A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1 处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值【解析】选C 本题考查函数极值的概念以及两类基本函数的性质、单调性，函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，意在考查考生数形结合及灵活运用知识的能力．当k＝1时，f(x)＝(e x－1)(x－1)，0,1是函数f(x)的零点．当0<x<1时，f(x)＝(e x－1)(x－1)<0，当x>1时，f(x)＝(e x－1)(x－1)>0,1不会是极值点．当k＝2时，f(x)＝(e x－1)(x－1)2，零点还是0,1，但是当0<x<1，x>1时，f(x)>0，由极值的概念，知选C.14.（2013·北京高考理）函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝e x 关于y轴对称，则f(x)＝( )A．e x＋1 B．e x－1 C．e－x＋1 D. e－x－1【解析】选D 本题考查函数的平移及对称性，意在考查考生对基础知识的掌握情况．与曲线y＝e x关于y轴对称的曲线为y＝e－x，函数y＝e－x的图象向左平移一个单位长度即可得到函数f(x)的图象，即f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.15.（2013·陕西高考理）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是( )A．[15,20] B．[12,25] C．[10,30] D．[20,30]【解析】选C 本题考查三角形相似的性质，考查考生构建函数和不等式模型，利用解不等式求解实际应用题的能力．如图，过A 作AH ⊥BC 于H ，交DE 于F ，易知DE BC ＝x 40＝AD AB ＝AF AH ＝AF40，则有AF ＝x ，FH ＝40－x ，由题意知阴影部分的面积S ＝x (40－x )≥300，解得10≤x ≤30，即x ∈[10,30]．16．（2013·陕西高考理）设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y 有 ( ) A ．[－x ]＝－[x ] B ．[2x ]＝2[x ] C ．[x ＋y ]≤[x ]＋[y ] D ．[x －y ]≤[x ]－[y ]【解析】选D 本题考查新定义问题，把握取整函数的意义，取特殊值进行判断即可．取特殊值进行判断．当x ＝1.1时，[－x ]＝－2，－[x ]＝－1，故A 错；当x ＝1.9时，[2x ]＝3,2[x ]＝2，故B 错；当x ＝1.1，y ＝1.9时，[x ＋y ]＝3，[x ]＋[y ]＝2，故C 错；由排除法知，选D.17．（2013·江西高考理）函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( )A ．(0,1)B ．[0,1)C ．(0,1]D ．[0,1]【解析】选B 本题考查函数的定义域，意在考查考生的运算能力．根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ≥0，解得0≤x <1，即所求定义域为[0,1)．18．（2013·江西高考理）若S 1＝∫21x 2d x ，S 2＝∫211xd x ，S 3＝∫21e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为 ( ) A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 2<S 1<S 3 C ．S 2<S 3<S 1 D ．S 3<S 2<S 1【解析】选B 本题考查定积分的计算及实数大小的比较，意在考查考生的运算能力． S 1＝13x 3⎪⎪⎪21＝83－13＝73，S 2＝ln x ⎪⎪⎪21＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝e x⎪⎪⎪21＝e 2－e≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.19．（2013·广东高考理）定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是 ( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【解析】选C 本题考查函数的奇偶性，考查考生对函数性质——奇偶性的了解．由奇函数的概念可知，y ＝x 3，y ＝2sin x 是奇函数．20．（2013·山东高考理）已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时， f (x ) ＝x 2＋1x，则f (－1)＝ ( )A ．－2B ．0C ．1D ．2【解析】选A 本题考查函数的奇偶性，考查运算求解能力，考查化归与转化的数学思想方法．f (－1)＝－f (1)＝－2.21．（2013·山东高考理）函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为 ( )【解析】选D 本题考查函数的性质在分析判断函数图象中的综合运用，考查一般与特殊的数学思想方法，考查运算求解能力，考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力．函数是奇函数，图象关于坐标原点对称，当0<x <π2时，显然y >0，而当x ＝π时，y ＝－π<0，据此排除选项A 、B 、C ，正确选项为D.22．（2013·大纲卷高考理）已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )A ．(－1,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 C ．(－1,0) D .⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1【解析】选 B 本题考查函数定义域问题．由－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－12，故函数f (2x＋1)的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12. 23．（2013·大纲卷高考理）函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x (x >0)的反函数f －1(x )＝( ) A.12x－1(x >0) B.12x －1(x ≠0) C ．2x －1(x ∈R ) D ．2x－1(x >0) 【解析】选A 本题考查反函数的概念．由y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 得x ＝12y －1，所以原函数的反函数为y ＝12x －1，又由原函数的定义域可得原函数中y >0，故反函数中x >0，故选A.24．（2013·大纲卷高考理）若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞是增函数，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[－1，＋∞)C ．[0,3]D ．[3，＋∞) 【解析】选D 本题考查函数的单调性等知识．f ′(x )＝2x ＋a －1x 2，因为函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞是增函数，所以f ′(x )≥0在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，即a ≥1x 2－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，设g (x )＝1x 2－2x ，g ′(x )＝－2x 3－2，令g ′(x )＝－2x 3－2＝0，得x ＝－1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，g ′(x )<0，故g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2＋1＝3，所以a ≥3，故选D.25．（2013·湖北高考理）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113 C ．4＋25ln 5 D ．4＋50ln 2【解析】选C 本题考查定积分及定积分在物理中的应用，意在考查考生的知识迁移能力．令v (t )＝0，得7－3t ＋251＋t ＝0，解得t ＝4或t ＝－83(舍去)，所以s ＝⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝7t －32t 2＋25ln(1＋t )|40＝7×4－32×42＋25ln 5＝4＋25 ln 5，故选C. 26.（2013·湖北高考理）已知a 为常数，函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则( )A ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞－12B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜－12C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜－12D ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞－12【解析】选D 本题主要考查函数与导数的基础知识与基本运算，意在考查考生分析问题、处理问题的能力．∵f (x )＝x (ln x －ax )，∴f ′(x )＝ln x －2ax ＋1.又函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2，∴f ′(x )＝ln x －2ax ＋1有两个零点x 1，x 2，即函数g (x )＝ln x 与函数h (x )＝2ax －1有两个交点．∴a >0，且0<x 1<x 2.设经过点(0，－1)的曲线g (x )＝ln x 的切线与曲线g (x )＝ln x 相切于点(x 0，ln x 0)，则切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，将点(0，－1)代入，得x 0＝1，故切点为(1,0)．此时，切线的斜率k ＝1，∴要使函数g (x )＝ln x 与函数h (x )＝2ax －1的图象有两个交点，结合图象可知，0<2a <1，即0<a <12且0<x 1<1<x 2.由函数的单调性得：∴f (x 1)<0，f (x 2)>f (1)＝－a >－2.故选D.27．（2013·四川高考理）函数y ＝x 33x－1的图象大致是( )【解析】选C 本题考查函数的图象及其性质，意在考查考生对函数的定义域及值域等知识的理解与掌握．因为函数的定义域是非零实数集，所以A 错；当x <0时，y >0，所以B 错；当x →＋∞时，y →0，所以D 错，故选C.28．（2013·四川高考理）设函数f (x )＝e x＋x －a (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．若曲线y ＝sin x 上存在点(x 0，y 0)使得f (f (y 0))＝y 0，则a 的取值范围是( )A ．[1，e]B ．[e －1－1,1] C ．[1，e ＋1] D ．[e －1－1，e ＋1] 【解析】选A 本题考查三角函数、指数函数、根式函数及方程的零点等基本知识，意在考查数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想，同时考查考生的运算能力．因为y 0＝sinx 0∈[－1,1]，而f (x )≥0，f (f (y 0))＝y 0，所以y 0∈[0,1]，设e x ＋x －a ＝x ，x ∈[0,1]．①，所以e x＋x －x 2＝a 在x ∈[0,1]上有解，令g (x )＝e x ＋x －x 2，所以g ′(x )＝e x＋1－2x ，设h (x )＝e x ＋1－2x ，则h ′(x )＝e x －2，所以当x ∈(0，ln 2)时，h ′(x )＜0，当x ∈(ln 2,1)时，h ′(x )＞0，所以g ′(x )≥g ′(ln 2)＝3－2ln 2＞0.所以g (x )在[0,1]上单调递增．所以原题中的方程有解必须方程①有解．所以g (0)≤a ≤g (1)．故选A.29．（2013·天津高考理）函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】选B 本题考查函数零点，意在考查考生的数形结合能力．函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数即为函数y ＝|log 0.5x |与y ＝12图象的交点个数．在同一直角坐标系中作出函数y ＝|log 0.5x |与y ＝12x 的图象，易知有2个交点．30．（2013·北京高考理）下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是 ( )A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1 D. y ＝lg|x |【解析】选C 本题主要考查一些常见函数的图像和性质，意在考查考生对幂函数、二次函数、指数函数、对数函数以及函数图像之间的变换关系的掌握情况．y ＝1x是奇函数，选项A 错；y ＝e －x 是指数函数，非奇非偶，选项B 错；y ＝lg |x |是偶函数，但在(0，＋∞)上单调递增，选项D 错；只有选项C 是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减． 31．（2013·重庆高考文）函数y ＝1log 2x －的定义域是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)【解析】选C 本题主要考查函数的定义域．由题可知⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，x －2≠1，所以x >2且x ≠3，故选C.32．（2013·重庆高考文）已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 2 10))＝5，则f (lg(lg2))＝( )A ．－5B ．－1C ．3D ．4【解析】选C 本题主要考查函数的求值、对数的运算．因为f (lg(log 2 10))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg ⎝⎛⎭⎪⎫1lg 2＝f (－lg(lg 2))＝5，又f (x )＋f (－x )＝8，所以f (－lg(lg 2))＋f (lg(lg 2))＝8，所以f (lg(lg 2))＝3，故选C.33．（2013·安徽高考文）函数y ＝f (x )的图像如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f x 1x 1＝f x 2x 2＝…＝f x nx n，则n 的取值范围为 ( )A ．{2,3}B ．{2,3,4}C ．{3,4}D ．{3,4,5} 【解析】选B 本题以函数图像为载体，考查数形结合思想，意在考查考生的创新意识和化归与转化的能力．令f x 1x 1＝f x 2x 2＝…＝f x nx n＝k ，即把该问题转化为看函数y ＝f (x )的图像与直线y ＝kx 有几个不同的交点，过原点作直线y ＝kx ，发现直线y ＝kx 与y ＝f (x )的图像可能有2,3或4个不同的交点．34．（2013·安徽高考文）已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2.若f (x 1)＝x 1<x 2，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】选A 本题主要考查函数与导数以及函数与方程的基础知识，意在考查考生的数形结合思想、推理论证能力以及创新意识．因为函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2，可知关于导函数的方程f ′(x )＝3x2＋2ax ＋b ＝0有两个不等的实根x 1，x 2.则方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0有两个不等的实根，即f (x )＝x 1或f (x )＝x 2，原方程根的个数就是这两个方程f (x )＝x 1和f (x )＝x 2的不等实根的个数之和．由上述可知函数f (x )在区间(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上是单调递增的，在区间(x 1，x 2)上是单调递减的，又f (x 1)＝x 1<x 2，如图所示，由数形结合可知，f (x )＝x 1时，有两个不同实根，f (x )＝x 2时有一个实根，所以不同实根的个数为3.35．（2013·山东高考文）已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时， f (x ) ＝x 2＋1x，则f (－1)＝ ( )A ．2B ．1C ．0D ．－2【解析】选 D 本题主要考查函数奇偶性的应用，考查运算求解能力和转化思想．由f (x )为奇函数知f (－1)＝－f (1)＝－2.36．（2013·山东高考文）函数f (x )＝1－2x＋1x ＋3的定义域为( )A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1]【解析】选A 本题主要考查函数的定义域的求法，考查运算能力．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3>0，所以－3<x ≤0.37．（2013·山东高考文）函数y ＝x cos x ＋sin x 的图像大致为 ( )【解析】选D 本题主要考查函数图像的识别能力．函数y ＝x cos x ＋sin x 在x ＝π时为负，排除A ；易知函数为奇函数，图像关于原点对称，排除B ；再比较C ，D ，不难发现当x 取接近于0的正数时y >0，排除C.38．（2013·大纲卷高考文）函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x (x >0)的反函数f －1(x )＝( ) A.12x －1(x >0) B.12x－1(x ≠0) C ．2x －1(x ∈R ) D. 2x－1(x >0) 【解析】选A 本题主要考查反函数的求法．设y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ，则2y ＝1＋1x ，解得x ＝12y －1，所以f －1(x )＝12x －1(x >0)．39．（2013·大纲卷高考文）已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a ＝( )A ．9B ．6C ．－9D ．－6【解析】选D 本题主要考查导数的几何意义，以及逆向思维的能力．y ′＝4x 3＋2ax ，因为曲线在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，所以y ′|x ＝－1＝－4－2a ＝8，解得a ＝－6. 40．（2013·福建高考文）函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图像大致是( )【解析】选A 本题主要考查函数图像的奇偶性与根据特殊点判断函数图像等基础知识，意在考查考生的数形结合能力和运算求解能力．依题意，得f (－x )＝ln(x 2＋1)＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，即函数f (x )的图像关于y 轴对称，故排除C.因为函数f (x )过定点(0,0)，排除B ，D ，应选A.41．（2013·福建高考文）设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( )A ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．－x 0是f (－x )的极小值点C ．－x 0是－f (x )的极小值点D ．－x 0是－f (－x )的极小值点【解析】选D 本题主要考查函数的极值点、导数等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力．取函数f (x )＝x 3－x ，则x ＝－33为f (x )的极大值点，但f (3)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，∴排除A ；取函数f (x )＝－(x －1)2，则x ＝1是f (x )的极大值点，但－1不是f (－x )的极小值点，∴排除B ；－f (x )＝(x －1)2，－1不是－f (x )的极小值点，∴排除C ，故选D.42．（2013·浙江高考文）已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则 ( )A ．a >0,4a ＋b ＝0B ．a <0,4a ＋b ＝0C ．a >0,2a ＋b ＝0D ．a <0,2a ＋b ＝0【解析】选A 本题主要考查二次函数的图像与性质等基础知识，意在考查考生的数形结合能力以及分析问题、解决问题的能力．由f (0)＝f (4)得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝－b2a＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，∴f (x )先减后增，于是a >0.43．（2013·浙江高考文）已知函数y ＝f (x )的图像是下列四个图像之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则该函数的图像是 ( )【解析】选B 本题主要考查函数导数的几何意义等基础知识，意在考查考生基本的函数与图像的转化能力．由函数f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像自左至右是先增后减，可知函数y ＝f (x )图像的切线的斜率自左至右选增大后减小．44．（2013·浙江高考文）设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ∨b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b .若正数a ，b ，c ，d 满足ab ≥4，c ＋d ≤4，则 ( ) A ．a ∧b ≥2，c ∧d ≤2 B ．a ∧b ≥2，c ∨d ≥2 C ．a ∨b ≥2，c ∧d ≤2 D ．a ∨b ≥2，c ∨d ≥2【解析】选 C 本题主要考查考生的阅读能力，转化问题的能力，综合利用基础知识分析问题、发现问题和解决问题的能力．事实上本题的“∧”和“∨”运算就是取最小值和最大值运算，而ab ≥4，则a ，b 中至少有一个大于或等于2，否则ab <4，∴a ∨b ≥2；同理c ＋d ≤4，则c ，d 中至少有一个小于或等于2，∴c ∧d ≤2.45．（2013·新课标Ⅰ高考文）函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图像大致为 ( )【解析】选C 本题主要考查数形结合思想，以及对问题的分析判断能力．首先知函数为奇函数，排除B.其次只需考虑x ∈[0，π]的情形，又当x ∈[0，π]时，f (x )≥0，于是排除A.∵f (x )＝(1－cos x )sin x ，∴f ′(x )＝sin x ·sin x ＋(1－cos x )cos x ＝1－cos 2x ＋cosx －cos 2x ＝－2cos 2x ＋cos x ＋1，令f ′(x )＝0，则cos x ＝1或cos x ＝－12，结合x ∈[－π，π]，求得f (x )在[0，π]上的极大值点为23π，靠近π，可知C 对．46．（2013·新课标Ⅰ高考文）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，x ＋，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]【解析】选D 本题主要考查数形结合思想、函数与方程思想，利用导数研究函数间关系，对分析能力有较高要求．y ＝|f (x )|的图像如图所示，y ＝ax 为过原点的一条直线，当a >0时，与y ＝|f (x )|在y 轴右侧总有交点，不合题意．当a ＝0时成立．当a <0时，有k ≤a <0，其中k 是y ＝|－x 2＋2x |在原点处的切线斜率，显然k ＝－2，于是－2≤a <0.综上，a ∈[－2,0]．47．（2013·天津高考文）已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增. 若实数a 满足f (log 2a )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 12a ≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2] B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D ．(0,2] 【解析】选C 本题主要考查函数性质的综合应用，意在考查考生分析问题的能力．因为log 12a ＝－log 2 a ，且f (x )是偶函数，所以f (log 2 a )＋f (log 12a )＝2f (log 2 a )＝2f (|log 2 a |)≤2f (1)，即f (|log 2a |)≤f (1)，又函数在[0，＋∞)上单调递增，所以0≤|log 2 a |≤1，即－1≤log 2 a ≤1，解得12≤a ≤2.48．（2013·天津高考文）设函数f (x )＝e x＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( )A ．g (a )<0<f (b )B ．f (b )<0<g (a )C ．0<g (a )<f (b )D ．f (b )<g (a )<0【解析】选 A 本题主要考查函数的性质，意在考查考生的数形结合能力．因为函数f (x )＝e x＋x －2在R 上单调递增，且f (0)＝1－2<0，f (1)＝e －1>0，所以f (a )＝0时a ∈(0,1)．又g (x )＝ln x ＋x 2－3在(0，＋∞)上单调递增，且g (1)＝－2<0，所以g (a )<0.由g (2)＝ln 2＋1>0，g (b )＝0得b ∈(1,2)，又f (1)＝e －1>0，且f (x )＝e x＋x －2在R 上单调递增，所以f (b )>0.综上可知，g (a )<0<f (b )．49.（2013·湖北高考文）小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图像是( )【解析】选C 本题主要考查函数的相关知识，考查考生的识图能力．出发时距学校最远，先排除A ，中途堵塞停留，距离没变，再排除D ，堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B. 50．（2013·湖北高考文）x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数f (x )＝x －[x ]在R上为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．周期函数【解析】选D 本题主要考查函数的图像和性质．当x ∈[0,1)时，画出函数图像(图略)，再左右扩展知f (x )为周期函数．故选D.51.（2013·湖北高考文）已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(－∞，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(0,1) D ．(0，＋∞)【解析】选B 本题主要考查导数的应用，利用导数研究函数极值的方法，考查考生运算能力、综合分析问题的能力和化归与转化能力．由题知，x >0，f ′(x )＝ln x ＋1－2ax ，由于函数f (x )有两个极值点，则f ′(x )＝0有两个不等的正根，显然a ≤0时不合题意，必有a <0.令g (x )＝ln x ＋1－2ax ，g ′(x )＝1x －2a ，令g ′(x )＝0，得x ＝12a ，故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞上单调递减，所以g (x )在x ＝12a 处取得最大值，即f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝ln 12a >0，所以0<a <12.52．（2013·陕西高考文）设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是 ( ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a (bc )＝log a b ·log a cD ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c【解析】选B 本题主要考查对数的有关运算，考查运算能力．利用对数的换底公式进行验证，log a b ·log c a ＝log c blog c a·log c a ＝log c b ，则B 对．53．（2013·陕西高考文）设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，有 ( )A ．[－x ]＝－[x ] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋12＝[x ]C ．[2x ]＝2[x ]D ．[x ]＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋12＝[2x ] 【解析】选D 本题主要考查新定义问题的探究方法，借助取整函数的意义，取特殊值进行判断．取特殊值进行判断，当x ＝1.1时，[－x ]＝－2，－[x ]＝－1，故A 错；当x ＝－1.1时，[x ]＝－2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋12＝[－0.6]＝－1，故B 错；当x ＝1.9时，[2x ]＝3,2[x ]＝2，故C 错，由排除法，选D.54．（2013·江西高考文）如图，已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1 m 的圆O 在t ＝0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1 m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为x ，令y ＝cos x ，则y 与时间t (0≤t ≤1，单位：s)的函数y ＝f (t )的图像大致为 ( )【解析】选B 本题主要考查函数建模、函数图像的变化，考查运动变化的观点以及观察、分析、判断、解决问题的能力．设经过t (0≤t ≤1)秒直线l 2与圆交于M ，N 两点，直线l 1与圆被直线l 2所截上方圆弧交于点E ，则∠MON ＝x ，AE ＝t ，OA ＝1－t .所以cos x 2＝OA OM ＝1－t 1＝1－t ，所以y ＝cos x ＝2cos 2x2－1＝2(1－t )2－1＝2t 2－4t ＋1.故其对应的图像为B.55．（2013·四川高考文）设函数f (x )＝e x＋x －a (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．若存在b ∈[0,1]使f (f (b ))＝b 成立，则a 的取值范围是( )A ．[1，e]B ．[1,1＋e]C ．[e,1＋e]D ．[0,1] 【解析】选A 本题主要考查函数的零点等基础知识，意在考查函数与方程、转化与化归等数学思想，同时考查考生的运算能力．由题意得 e x ＋x －a ＝x ，x ∈[0,1]①.化简得e x＋x －x 2＝a ，x ∈[0,1]．令g (x )＝e x ＋x －x 2，所以g ′(x )＝e x ＋1－2x ，设h (x )＝e x＋1－2x ，则h ′(x )＝e x－2，所以当x ∈(0，ln 2)时，h ′(x )＜0，当x ∈(ln 2,1)时，h ′(x )＞0.所以g ′(x )≥g ′(ln 2)＝3－2ln 2＞0，所以g (x )在[0,1]上单调递增，所以原题中的方程有解必须方程①有解，所以g (0)≤a ≤g (1)． 56．（2013·广东高考文）函数y ＝x ＋x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)【解析】选 C 本题主要考查函数定义域知识，意在考查考生的运算求解能力．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x －1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1，x ≠1，故选C.57．（2013·辽宁高考文）已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2【解析】选D 本题主要考查函数的奇偶性、对数的运算、判断两个对数的关系，意在考查考生准确找出问题切入点的能力，从而使计算简化．由已知，得f (－x )＝ln(1＋9x 2＋3x )＋1，所以f (x )＋f (－x )＝2.因为lg 2，lg 12互为相反数，所以f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝2. 58.（2013·辽宁高考文）已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2)x －a2＋8.设H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}，H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B ＝ ( )A ．a 2－2a －16 B ．a 2＋2a －16 C ．－16 D ．16 【解析】选C本题是一道新定义题，考查函数的图像性质．f (x )的图像的顶点坐标为(a ＋2，－4a －4)，g (x )的图像的顶点坐标为(a －2，－4a ＋12)，并且f (x )与g (x )的图像的顶点都在对方的图像上，如图所示，所以A －B ＝－16. 59.（2012·重庆高考理）设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)【解析】选D 由图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．60．（2012·广东高考理）下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是 ( )A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝(12)xD ．y ＝x ＋1x【解析】选A 选项A 的函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．61．（2012·山东高考理）定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )．当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012)＝( )A ．335B ．338C ．1 678D ．2 012【解析】选B 由f (x ＋6)＝f (x )可知，函数f (x )的周期为6，所以f (－3)＝f (3)＝－1，f (－2)＝f (4)＝0，f (－1)＝f (5)＝－1，f (0)＝f (6)＝0，f (1)＝1，f (2)＝2，所以在一个周期内有f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＝f (1)＋f (2)＋335×1＝1＋2＋335＝338. 62．（2012·山东高考理）函数y ＝cos 6x2x －2－x 的图像大致为 ( )【解析】选D 函数为奇函数，所以其图像关于原点对称，排除A ；令y ＝0得cos 6x ＝0，所以6x ＝π2＋k π(k ∈Z )，x ＝π12＋k6π(k ∈Z )，函数的零点有无穷多个，排除C ；函数在y轴右侧的第一个零点为(π12，0)，又函数y ＝2x －2－x 为增函数，当0<x <π12时，y ＝2x －2－x>0，cos 6x >0，所以函数y ＝cos 6x 2x －2－x >0，排除B. 63．（2012·山东高考理）设函数f (x )＝1x，g (x )＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)．若y ＝f (x )的图像与y ＝g (x )的图像有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列判断正确的是 ( )A ．当a <0时，x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0B ．当a <0时，x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0C ．当a >0时，x 1＋x 2<0，y 1＋y 2<0D ．当a >0时，x 1＋x 2>0，y 1＋y 2>0 【解析】选B不妨设a <0，在同一坐标系中分别画出两个函数的图像，如图所示，其中点A (x 1，y 1)关于原点的对称点C 也在函数y ＝1x的图像上，坐标为(－x 1，－y 1)，而点B 的坐标(x 2，y 2)在图像上也明显的显示出来．由图可知，当a <0时，x 2>－x 1，所以x 1＋x 2>0，y 2<－y 1，所以y 1＋y 2<0，同理当a >0时，则有x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0.64．（2012·江西高考理）下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( ) A ．y ＝1sin x B ．y ＝ln x x C ．y ＝x e xD ．y ＝sin x x【解析】选D 函数y ＝13x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而y ＝1sin x 的定义域为{x |x∈R ，x ≠k π，k ∈Z }，y ＝ln x x 的定义域为(0，＋∞)，y ＝x e x的定义域为R ，y ＝sin x x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．故选D.65．（2012·江西高考理）若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，lg x ，x >1，则f (f (10))＝( )A ．lg 101B ．2C ．1D ．0 【解析】选B f (10)＝lg 10＝1，故f (f (10))＝f (1)＝12＋1＝2.66．（2012·四川高考理）函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－9x －3，x <3，x －，x ≥3在x ＝3处的极限( )A ．不存在B ．等于6C ．等于3D ．等于0【解析】选 A 依题意可知，lim x ―→3－f (x )＝lim x ―→3－ x 2－9x －3＝lim x ―→3－ (x＋3)＝6，lim x ―→3＋f (x )＝lim x ―→3＋ln(x －2)＝ln (3－2)＝0，因此函数f (x )在x ＝3处的极限不存在．67．（2012·四川高考理）函数y ＝a x －1a(a >0，且a ≠1)的图像可能是 ( )【解析】选D 法一：当0<a <1时，函数y ＝a x－1a是减函数，且其图像可视为是由函数y＝a x的图像向下平移1a个单位长度得到的，结合各选项知选D.法二：因为函数y ＝a x－1a(a >0，且a ≠1)，必过点(－1,0)，所以选D.68．（2012·辽宁高考理）设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝|x cos(πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在[－12，32]上的零点个数为 ( )A ．5B ．6C ．7D ．8 【解析】选B由题意知函数f (x )是偶函数，且周期是2.作出g (x )，f (x )的函数图像，如图．由图可知函数y ＝g (x )，y ＝f (x )在[－12，32]图像有6个交点，故h (x )＝g (x )－f (x )在[－12，32]上的零点有6个．69．（2012·天津高考理）函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是 ( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】选B 法一：函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数即为函数y ＝2x，y ＝2－x 3在区间(0,1)内的图像的交点个数，作出图像即可知两个函数图像在区间(0,1)内有1个交点，故原函数在区间(0,1)内的零点个数是1.法二：由题意知f (x )为单调增函数且f (0)＝－1<0，f (1)＝1>0，所以在区间(0,1)内有且只有一个零点．70．（2012·陕西高考理）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为 ( )。

【创新方案】(人教通用版)高考数学五年高考真题分类汇编第二章函数、导数及其应用理

五年高考真题分类汇编：函数、导数及其应用一.选择题1．（2013·湖南高考理）函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为( )A．3 B．2 C．1 D．0【解析】选B 本小题主要考查二次函数和对数函数的图象及性质，考查对数值的取值范围的探究及数形结合思想．由已知g(x)＝(x－2)2＋1，所以其顶点为(2,1)，又f(2)＝2ln 2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f(x)＝2ln x图象的下方，故函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象有2个交点．2．（2013·福建高考理）设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是( )A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C．－x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点【解析】选D 本题考查函数的极值点、导数等基础知识，意在考查考生的数形结合能力．取函数f(x)＝x3－x，则x＝－33为f(x)的极大值点，但f(3)>f⎝⎛⎭⎪⎫－33，排除A.取函数f(x)＝－(x－1)2，则x＝1是f(x)的极大值点，但－1不是f(－x)的极小值点，排除B；－f(x)＝(x－1)2，－1不是－f(x)的极小值点，排除C.故选D.3．（2013·福建高考理）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝f(x)满足：(ⅰ)T＝{f(x)|x∈S}；(ⅱ)对任意x1，x2∈S，当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是( )A．A＝N*，B＝NB．A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x＝－8或0<x≤10}C．A＝{x|0<x<1}，B＝RD．A＝Z，B＝Q【解析】选D 本题考查新定义知识与集合、函数的单调性等基础知识，意在考查考生对新定义的理解与应用能力、数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力．对选项A，取f(x)＝x－1，x∈N*，所以A＝N*，B＝N是“保序同构”，应排除A；对选项B，取f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－8，x ＝－1，x ＋1，－1<x ≤0，x 2＋1，0<x ≤3，所以A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＝－8或0<x ≤10}是“保序同构”，应排除B ；对选项C ，取f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π2(0<x <1)，所以A ＝{x |0<x <1}，B ＝R 是“保序同构”，应排除C ，故选D. 4.（2013·重庆高考理）－aa ＋(－6≤a ≤3)的最大值为( )A ．9 B.92 C ．3 D.322【解析】选B 本题考查函数的最值问题，意在考查考生的运算求解能力．法一：因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0，a ＋6≥0，则由基本不等式可知，－aa ＋≤－a ＋a ＋2＝92，当且仅当a ＝－32时等号成立．法二：－aa ＋＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋814≤92，当且仅当a ＝－32时等号成立．5．（2013·重庆高考理）若a 0，f (b )<0，f (c )>0，故函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内．6．（2013·新课标Ⅰ高考理）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，x ＋，x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]【解析】选D 本题考查一次函数、二次函数、对数函数、分段函数及由不等式恒成立求参数的取值范围问题，意在考查考生的转化能力和利用数形结合思想解答问题的能力．当x ≤0时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤0，所以|f (x )|≥ax 化简为x 2－2x ≥ax ，即x 2≥(a ＋2)x ，因为x ≤0，所以a ＋2≥x 恒成立，所以a ≥－2；当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)＞0，所以|f (x )|≥ax 化简为ln(x ＋1)＞ax 恒成立，由函数图象可知a ≤0，综上，当－2≤a ≤0时，不等式|f (x )|≥ax 恒成立，选择D.7．（2013·新课标II 高考理）设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则 ( ) A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞b D ．a ＞b ＞c【解析】选D 本题主要考查对数的基本运算以及同真数不同底数对数值大小的比较，意在考查考生分析问题与合理运用知识巧妙求解问题的能力．a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝log 510＝1＋log 52，c ＝log 714＝1＋log 72，则只要比较log 32，log 52，log 72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y ＝log 3x ，y ＝log 5x ，y ＝log 7x 的图象，由三个图象的相对位置关系，可知a ＞b ＞c ，故选D.8．（2013·新课标II 高考理）已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是 ( ) A.∃ x 0∈R ，f (x 0)＝0B.函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形C.若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)单调递减D.若x 0是f (x )的极值点，则 f ′(x 0)＝0【解析】选C 本题考查三次函数的性质，考查数形结合思想，考查考生分析问题和解决问题的能力．由于三次函数的三次项系数为正值，当x →－∞时，函数值→－∞，当x →＋∞时，函数值也→＋∞，又三次函数的图象是连续不断的，故一定穿过x 轴，即一定∃x 0∈R ，f (x 0)＝0，选项A 中的结论正确；函数f (x )的解析式可以通过配方的方法化为形如(x ＋m )3＋n (x ＋m )＋h 的形式，通过平移函数图象，函数的解析式可以化为y ＝x 3＋nx 的形式，这是一个奇函数，其图象关于坐标原点对称，故函数f (x )的图象是中心对称图形，选项B 中的结论正确；由于三次函数的三次项系数为正值，故函数如果存在极值点x 1，x 2，则极小值点x 2＞x 1，即函数在－∞到极小值点的区间上是先递增后递减的，所以选项C 中的结论错误；根据导数与极值的关系，显然选项D 中的结论正确.9．（2013·辽宁高考理）已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}，H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B ＝ ( )A ．16B ．－16C ．a 2－2a －16 D ．a 2＋2a －16 【解析】选B 本题考查了二次函数的图象和性质的应用，试题以信息的形式给出，增加了试题的难度．试题同时考查了数形结合的数学思想和转化与化归的数学思想，解题过程中要能够结合图象特点，将问题转化为研究函数图象交点问题．函数f (x )的图象是开口向上的抛物线，g (x )的图象是开口向下的抛物线，两个函数图象相交，则A 必是两个函数图象交点中较低的点的纵坐标，B 是两个函数图象交点中较高的点的纵坐标．令x 2－2(a ＋2)x ＋a 2＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8，解得x ＝a ＋2或x ＝a －2.当x ＝a ＋2时，因为函数f (x )的对称轴为x ＝a ＋2，故可判断A ＝f (a ＋2)＝－4a －4，B ＝f (a －2)＝－4a ＋12，所以A －B ＝－16. 10．（2013·辽宁高考理）设函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝e 28，则x >0时，f (x )( )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值【解析】选D 本题考查导数的应用以及转化能力．由题意[x 2f (x )]′＝e xx，令g (x )＝x 2f (x )，则g ′(x )＝e xx，且f (x )＝g x x2，因此f ′(x )＝xgx －2g x x 3＝e x－2g xx 3.令h (x )＝e x－2g (x )，则h ′(x )＝e x－2g ′(x )＝e x－2e xx＝exx －x，所以x >2时，h ′(x )>0；0<x <2时，h ′(x )<0.从而有h (x )≥h (2)＝0，即f ′(x )≥0，所以当x >0时，f (x )是单调递增的，f (x )既无极大值也无极小值．11．（2013·安徽高考理）若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f (x 1)＝x 1，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】选A 本题考查三次函数、导数的运算、二次方程等知识，考查分类讨论思想与数形结合思想．因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b,3f 2(x )＋2af (x )＋b ＝0且方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的两根分别为x 1，x 2，所以f (x )＝x 1或f (x )＝x 2.当x 1是极大值点时，x 2为极小值点，且x 2>x 1，如图1所示可知方程f (x )＝x 1有2个实根，f (x )＝x 2有1个实根，故方程3f 2(x )＋2af (x )＋b ＝0共有3个不同实根．当x 1是极小值点时，f (x 1)＝x 1，x 2为极大值点，且x 2<x 1，如图2可知方程f (x )＝x 1有2个实根，f (x )＝x 2有1个实根，故方程3f 2(x )＋2af (x )＋b ＝0共有3个不同实根．综上，可知方程3f 2(x )＋2af (x )＋b ＝0共有3个不同实根．12．（2013·浙江高考理）已知x ，y 为正实数，则 ( ) A ．2lg x ＋lg y＝2lg x＋2lg yB ．2lg(x ＋y )＝2lg x·2lg yC ．2lg x ·lg y ＝2lg x ＋2lg yD ．2lg(xy )＝2lg x·2lg y【解析】选D 本题考查理解有理指数幂的含义、幂的运算，考查指数、对数函数的概念及其运算性质，意在考查考生基本的运算能力．取特殊值即可．如取x ＝10，y ＝1,2lg x ＋lg y＝2,2lg(xy)＝2,2lg x＋2lg y＝3,2lg(x＋y)＝2lg 11,2lg x·lg y＝1,2lg x·2lg y＝2.13.（2013·浙江高考理）已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(e x－1)(x－1)k(k＝1,2)，则 ( ) A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1 处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值【解析】选C 本题考查函数极值的概念以及两类基本函数的性质、单调性，函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，意在考查考生数形结合及灵活运用知识的能力．当k＝1时，f(x)＝(e x－1)(x－1)，0,1是函数f(x)的零点．当0<x<1时，f(x)＝(e x－1)(x－1)<0，当x>1时，f(x)＝(e x－1)(x－1)>0,1不会是极值点．当k＝2时，f(x)＝(e x－1)(x－1)2，零点还是0,1，但是当0<x<1，x>1时，f(x)>0，由极值的概念，知选C.14.（2013·北京高考理）函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝e x 关于y轴对称，则f(x)＝( )A．e x＋1 B．e x－1 C．e－x＋1 D. e－x－1【解析】选D 本题考查函数的平移及对称性，意在考查考生对基础知识的掌握情况．与曲线y＝e x关于y轴对称的曲线为y＝e－x，函数y＝e－x的图象向左平移一个单位长度即可得到函数f(x)的图象，即f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.15.（2013·陕西高考理）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是( )A．[15,20] B．[12,25] C．[10,30] D．[20,30]【解析】选C 本题考查三角形相似的性质，考查考生构建函数和不等式模型，利用解不等式求解实际应用题的能力．如图，过A 作AH ⊥BC 于H ，交DE 于F ，易知DE BC ＝x 40＝AD AB ＝AF AH ＝AF40，则有AF ＝x ，FH ＝40－x ，由题意知阴影部分的面积S ＝x (40－x )≥300，解得10≤x ≤30，即x ∈[10,30]．16．（2013·陕西高考理）设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y 有 ( ) A ．[－x ]＝－[x ] B ．[2x ]＝2[x ] C ．[x ＋y ]≤[x ]＋[y ] D ．[x －y ]≤[x ]－[y ]【解析】选D 本题考查新定义问题，把握取整函数的意义，取特殊值进行判断即可．取特殊值进行判断．当x ＝1.1时，[－x ]＝－2，－[x ]＝－1，故A 错；当x ＝1.9时，[2x ]＝3,2[x ]＝2，故B 错；当x ＝1.1，y ＝1.9时，[x ＋y ]＝3，[x ]＋[y ]＝2，故C 错；由排除法知，选D.17．（2013·江西高考理）函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( )A ．(0,1)B ．[0,1)C ．(0,1]D ．[0,1]【解析】选B 本题考查函数的定义域，意在考查考生的运算能力．根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ≥0，解得0≤x <1，即所求定义域为[0,1)．18．（2013·江西高考理）若S 1＝∫21x 2d x ，S 2＝∫211xd x ，S 3＝∫21e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为 ( ) A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 2<S 1<S 3 C ．S 2<S 3<S 1 D ．S 3<S 2<S 1【解析】选B 本题考查定积分的计算及实数大小的比较，意在考查考生的运算能力． S 1＝13x 3⎪⎪⎪21＝83－13＝73，S 2＝ln x ⎪⎪⎪21＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝e x⎪⎪⎪21＝e 2－e≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.19．（2013·广东高考理）定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是 ( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【解析】选C 本题考查函数的奇偶性，考查考生对函数性质——奇偶性的了解．由奇函数的概念可知，y ＝x 3，y ＝2sin x 是奇函数．20．（2013·山东高考理）已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时， f (x ) ＝x 2＋1x，则f (－1)＝ ( )A ．－2B ．0C ．1D ．2【解析】选A 本题考查函数的奇偶性，考查运算求解能力，考查化归与转化的数学思想方法．f (－1)＝－f (1)＝－2.21．（2013·山东高考理）函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为 ( )【解析】选D 本题考查函数的性质在分析判断函数图象中的综合运用，考查一般与特殊的数学思想方法，考查运算求解能力，考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力．函数是奇函数，图象关于坐标原点对称，当0<x <π2时，显然y >0，而当x ＝π时，y ＝－π<0，据此排除选项A 、B 、C ，正确选项为D.22．（2013·大纲卷高考理）已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )A ．(－1,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 C ．(－1,0) D .⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1【解析】选 B 本题考查函数定义域问题．由－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－12，故函数f (2x＋1)的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12. 23．（2013·大纲卷高考理）函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x (x >0)的反函数f －1(x )＝( ) A.12x－1(x >0) B.12x －1(x ≠0) C ．2x －1(x ∈R ) D ．2x－1(x >0) 【解析】选A 本题考查反函数的概念．由y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 得x ＝12y －1，所以原函数的反函数为y ＝12x －1，又由原函数的定义域可得原函数中y >0，故反函数中x >0，故选A.24．（2013·大纲卷高考理）若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞是增函数，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[－1，＋∞)C ．[0,3]D ．[3，＋∞) 【解析】选D 本题考查函数的单调性等知识．f ′(x )＝2x ＋a －1x 2，因为函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞是增函数，所以f ′(x )≥0在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，即a ≥1x 2－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，设g (x )＝1x 2－2x ，g ′(x )＝－2x 3－2，令g ′(x )＝－2x 3－2＝0，得x ＝－1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，g ′(x )<0，故g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2＋1＝3，所以a ≥3，故选D.25．（2013·湖北高考理）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113 C ．4＋25ln 5 D ．4＋50ln 2【解析】选C 本题考查定积分及定积分在物理中的应用，意在考查考生的知识迁移能力．令v (t )＝0，得7－3t ＋251＋t ＝0，解得t ＝4或t ＝－83(舍去)，所以s ＝⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝7t －32t 2＋25ln(1＋t )|40＝7×4－32×42＋25ln 5＝4＋25 ln 5，故选C. 26.（2013·湖北高考理）已知a 为常数，函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则( )A ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞－12B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜－12C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜－12D ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞－12【解析】选D 本题主要考查函数与导数的基础知识与基本运算，意在考查考生分析问题、处理问题的能力．∵f (x )＝x (ln x －ax )，∴f ′(x )＝ln x －2ax ＋1.又函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2，∴f ′(x )＝ln x －2ax ＋1有两个零点x 1，x 2，即函数g (x )＝ln x 与函数h (x )＝2ax －1有两个交点．∴a >0，且0<x 1<x 2.设经过点(0，－1)的曲线g (x )＝ln x 的切线与曲线g (x )＝ln x 相切于点(x 0，ln x 0)，则切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，将点(0，－1)代入，得x 0＝1，故切点为(1,0)．此时，切线的斜率k ＝1，∴要使函数g (x )＝ln x 与函数h (x )＝2ax －1的图象有两个交点，结合图象可知，0<2a <1，即0<a <12且0<x 1<1<x 2.由函数的单调性得：∴f (x 1)<0，f (x 2)>f (1)＝－a >－2.故选D.27．（2013·四川高考理）函数y ＝x 33x－1的图象大致是( )【解析】选C 本题考查函数的图象及其性质，意在考查考生对函数的定义域及值域等知识的理解与掌握．因为函数的定义域是非零实数集，所以A 错；当x <0时，y >0，所以B 错；当x →＋∞时，y →0，所以D 错，故选C.28．（2013·四川高考理）设函数f (x )＝e x＋x －a (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．若曲线y ＝sin x 上存在点(x 0，y 0)使得f (f (y 0))＝y 0，则a 的取值范围是( )A ．[1，e]B ．[e －1－1,1] C ．[1，e ＋1] D ．[e －1－1，e ＋1] 【解析】选A 本题考查三角函数、指数函数、根式函数及方程的零点等基本知识，意在考查数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想，同时考查考生的运算能力．因为y 0＝sinx 0∈[－1,1]，而f (x )≥0，f (f (y 0))＝y 0，所以y 0∈[0,1]，设e x ＋x －a ＝x ，x ∈[0,1]．①，所以e x＋x －x 2＝a 在x ∈[0,1]上有解，令g (x )＝e x ＋x －x 2，所以g ′(x )＝e x＋1－2x ，设h (x )＝e x ＋1－2x ，则h ′(x )＝e x －2，所以当x ∈(0，ln 2)时，h ′(x )＜0，当x ∈(ln 2,1)时，h ′(x )＞0，所以g ′(x )≥g ′(ln 2)＝3－2ln 2＞0.所以g (x )在[0,1]上单调递增．所以原题中的方程有解必须方程①有解．所以g (0)≤a ≤g (1)．故选A.29．（2013·天津高考理）函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】选B 本题考查函数零点，意在考查考生的数形结合能力．函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数即为函数y ＝|log 0.5x |与y ＝12图象的交点个数．在同一直角坐标系中作出函数y ＝|log 0.5x |与y ＝12x 的图象，易知有2个交点．30．（2013·北京高考理）下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是 ( )A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1 D. y ＝lg|x |【解析】选C 本题主要考查一些常见函数的图像和性质，意在考查考生对幂函数、二次函数、指数函数、对数函数以及函数图像之间的变换关系的掌握情况．y ＝1x是奇函数，选项A 错；y ＝e －x 是指数函数，非奇非偶，选项B 错；y ＝lg |x |是偶函数，但在(0，＋∞)上单调递增，选项D 错；只有选项C 是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减． 31．（2013·重庆高考文）函数y ＝1log 2x －的定义域是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)【解析】选C 本题主要考查函数的定义域．由题可知⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，x －2≠1，所以x >2且x ≠3，故选C.32．（2013·重庆高考文）已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 2 10))＝5，则f (lg(lg2))＝( )A ．－5B ．－1C ．3D ．4【解析】选C 本题主要考查函数的求值、对数的运算．因为f (lg(log 2 10))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg ⎝⎛⎭⎪⎫1lg 2＝f (－lg(lg 2))＝5，又f (x )＋f (－x )＝8，所以f (－lg(lg 2))＋f (lg(lg 2))＝8，所以f (lg(lg 2))＝3，故选C.33．（2013·安徽高考文）函数y ＝f (x )的图像如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f x 1x 1＝f x 2x 2＝…＝f x nx n，则n 的取值范围为 ( )A ．{2,3}B ．{2,3,4}C ．{3,4}D ．{3,4,5} 【解析】选B 本题以函数图像为载体，考查数形结合思想，意在考查考生的创新意识和化归与转化的能力．令f x 1x 1＝f x 2x 2＝…＝f x nx n＝k ，即把该问题转化为看函数y ＝f (x )的图像与直线y ＝kx 有几个不同的交点，过原点作直线y ＝kx ，发现直线y ＝kx 与y ＝f (x )的图像可能有2,3或4个不同的交点．34．（2013·安徽高考文）已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2.若f (x 1)＝x 1<x 2，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】选A 本题主要考查函数与导数以及函数与方程的基础知识，意在考查考生的数形结合思想、推理论证能力以及创新意识．因为函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2，可知关于导函数的方程f ′(x )＝3x2＋2ax ＋b ＝0有两个不等的实根x 1，x 2.则方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0有两个不等的实根，即f (x )＝x 1或f (x )＝x 2，原方程根的个数就是这两个方程f (x )＝x 1和f (x )＝x 2的不等实根的个数之和．由上述可知函数f (x )在区间(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上是单调递增的，在区间(x 1，x 2)上是单调递减的，又f (x 1)＝x 1<x 2，如图所示，由数形结合可知，f (x )＝x 1时，有两个不同实根，f (x )＝x 2时有一个实根，所以不同实根的个数为3.35．（2013·山东高考文）已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时， f (x ) ＝x 2＋1x，则f (－1)＝ ( )A ．2B ．1C ．0D ．－2【解析】选 D 本题主要考查函数奇偶性的应用，考查运算求解能力和转化思想．由f (x )为奇函数知f (－1)＝－f (1)＝－2.36．（2013·山东高考文）函数f (x )＝1－2x＋1x ＋3的定义域为( )A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1]【解析】选A 本题主要考查函数的定义域的求法，考查运算能力．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3>0，所以－3<x ≤0.37．（2013·山东高考文）函数y ＝x cos x ＋sin x 的图像大致为 ( )【解析】选D 本题主要考查函数图像的识别能力．函数y ＝x cos x ＋sin x 在x ＝π时为负，排除A ；易知函数为奇函数，图像关于原点对称，排除B ；再比较C ，D ，不难发现当x 取接近于0的正数时y >0，排除C.38．（2013·大纲卷高考文）函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x (x >0)的反函数f －1(x )＝( ) A.12x －1(x >0) B.12x－1(x ≠0) C ．2x －1(x ∈R ) D. 2x－1(x >0) 【解析】选A 本题主要考查反函数的求法．设y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ，则2y ＝1＋1x ，解得x ＝12y －1，所以f －1(x )＝12x －1(x >0)．39．（2013·大纲卷高考文）已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a ＝( )A ．9B ．6C ．－9D ．－6【解析】选D 本题主要考查导数的几何意义，以及逆向思维的能力．y ′＝4x 3＋2ax ，因为曲线在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，所以y ′|x ＝－1＝－4－2a ＝8，解得a ＝－6. 40．（2013·福建高考文）函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图像大致是( )【解析】选A 本题主要考查函数图像的奇偶性与根据特殊点判断函数图像等基础知识，意在考查考生的数形结合能力和运算求解能力．依题意，得f (－x )＝ln(x 2＋1)＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，即函数f (x )的图像关于y 轴对称，故排除C.因为函数f (x )过定点(0,0)，排除B ，D ，应选A.41．（2013·福建高考文）设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( )A ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．－x 0是f (－x )的极小值点C ．－x 0是－f (x )的极小值点D ．－x 0是－f (－x )的极小值点【解析】选D 本题主要考查函数的极值点、导数等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力．取函数f (x )＝x 3－x ，则x ＝－33为f (x )的极大值点，但f (3)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，∴排除A ；取函数f (x )＝－(x －1)2，则x ＝1是f (x )的极大值点，但－1不是f (－x )的极小值点，∴排除B ；－f (x )＝(x －1)2，－1不是－f (x )的极小值点，∴排除C ，故选D.42．（2013·浙江高考文）已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则 ( )A ．a >0,4a ＋b ＝0B ．a <0,4a ＋b ＝0C ．a >0,2a ＋b ＝0D ．a <0,2a ＋b ＝0【解析】选A 本题主要考查二次函数的图像与性质等基础知识，意在考查考生的数形结合能力以及分析问题、解决问题的能力．由f (0)＝f (4)得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝－b2a＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，∴f (x )先减后增，于是a >0.43．（2013·浙江高考文）已知函数y ＝f (x )的图像是下列四个图像之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则该函数的图像是 ( )【解析】选B 本题主要考查函数导数的几何意义等基础知识，意在考查考生基本的函数与图像的转化能力．由函数f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像自左至右是先增后减，可知函数y ＝f (x )图像的切线的斜率自左至右选增大后减小．44．（2013·浙江高考文）设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ∨b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b .若正数a ，b ，c ，d 满足ab ≥4，c ＋d ≤4，则 ( ) A ．a ∧b ≥2，c ∧d ≤2 B ．a ∧b ≥2，c ∨d ≥2 C ．a ∨b ≥2，c ∧d ≤2 D ．a ∨b ≥2，c ∨d ≥2【解析】选 C 本题主要考查考生的阅读能力，转化问题的能力，综合利用基础知识分析问题、发现问题和解决问题的能力．事实上本题的“∧”和“∨”运算就是取最小值和最大值运算，而ab ≥4，则a ，b 中至少有一个大于或等于2，否则ab <4，∴a ∨b ≥2；同理c ＋d ≤4，则c ，d 中至少有一个小于或等于2，∴c ∧d ≤2.45．（2013·新课标Ⅰ高考文）函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图像大致为 ( )【解析】选C 本题主要考查数形结合思想，以及对问题的分析判断能力．首先知函数为奇函数，排除B.其次只需考虑x ∈[0，π]的情形，又当x ∈[0，π]时，f (x )≥0，于是排除A.∵f (x )＝(1－cos x )sin x ，∴f ′(x )＝sin x ·sin x ＋(1－cos x )cos x ＝1－cos 2x ＋cosx －cos 2x ＝－2cos 2x ＋cos x ＋1，令f ′(x )＝0，则cos x ＝1或cos x ＝－12，结合x ∈[－π，π]，求得f (x )在[0，π]上的极大值点为23π，靠近π，可知C 对．46．（2013·新课标Ⅰ高考文）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，x ＋，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]【解析】选D 本题主要考查数形结合思想、函数与方程思想，利用导数研究函数间关系，对分析能力有较高要求．y ＝|f (x )|的图像如图所示，y ＝ax 为过原点的一条直线，当a >0时，与y ＝|f (x )|在y 轴右侧总有交点，不合题意．当a ＝0时成立．当a <0时，有k ≤a <0，其中k 是y ＝|－x 2＋2x |在原点处的切线斜率，显然k ＝－2，于是－2≤a <0.综上，a ∈[－2,0]．47．（2013·天津高考文）已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增. 若实数a 满足f (log 2a )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 12a ≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2] B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D ．(0,2] 【解析】选C 本题主要考查函数性质的综合应用，意在考查考生分析问题的能力．因为log 12a ＝－log 2 a ，且f (x )是偶函数，所以f (log 2 a )＋f (log 12a )＝2f (log 2 a )＝2f (|log 2 a |)≤2f (1)，即f (|log 2a |)≤f (1)，又函数在[0，＋∞)上单调递增，所以0≤|log 2 a |≤1，即－1≤log 2 a ≤1，解得12≤a ≤2.48．（2013·天津高考文）设函数f (x )＝e x＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( )A ．g (a )<0<f (b )B ．f (b )<0<g (a )C ．0<g (a )<f (b )D ．f (b )<g (a )<0【解析】选 A 本题主要考查函数的性质，意在考查考生的数形结合能力．因为函数f (x )＝e x＋x －2在R 上单调递增，且f (0)＝1－2<0，f (1)＝e －1>0，所以f (a )＝0时a ∈(0,1)．又g (x )＝ln x ＋x 2－3在(0，＋∞)上单调递增，且g (1)＝－2<0，所以g (a )<0.由g (2)＝ln 2＋1>0，g (b )＝0得b ∈(1,2)，又f (1)＝e －1>0，且f (x )＝e x＋x －2在R 上单调递增，所以f (b )>0.综上可知，g (a )<0<f (b )．49.（2013·湖北高考文）小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图像是( )【解析】选C 本题主要考查函数的相关知识，考查考生的识图能力．出发时距学校最远，先排除A ，中途堵塞停留，距离没变，再排除D ，堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B. 50．（2013·湖北高考文）x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数f (x )＝x －[x ]在R上为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．周期函数【解析】选D 本题主要考查函数的图像和性质．当x ∈[0,1)时，画出函数图像(图略)，再左右扩展知f (x )为周期函数．故选D.51.（2013·湖北高考文）已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(－∞，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(0,1) D ．(0，＋∞)【解析】选B 本题主要考查导数的应用，利用导数研究函数极值的方法，考查考生运算能力、综合分析问题的能力和化归与转化能力．由题知，x >0，f ′(x )＝ln x ＋1－2ax ，由于函数f (x )有两个极值点，则f ′(x )＝0有两个不等的正根，显然a ≤0时不合题意，必有a <0.令g (x )＝ln x ＋1－2ax ，g ′(x )＝1x －2a ，令g ′(x )＝0，得x ＝12a ，故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞上单调递减，所以g (x )在x ＝12a 处取得最大值，即f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝ln 12a >0，所以0<a <12.52．（2013·陕西高考文）设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是 ( ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a (bc )＝log a b ·log a cD ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c【解析】选B 本题主要考查对数的有关运算，考查运算能力．利用对数的换底公式进行验证，log a b ·log c a ＝log c blog c a·log c a ＝log c b ，则B 对．53．（2013·陕西高考文）设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，有 ( )A ．[－x ]＝－[x ] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋12＝[x ]C ．[2x ]＝2[x ]D ．[x ]＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋12＝[2x ] 【解析】选D 本题主要考查新定义问题的探究方法，借助取整函数的意义，取特殊值进行判断．取特殊值进行判断，当x ＝1.1时，[－x ]＝－2，－[x ]＝－1，故A 错；当x ＝－1.1时，[x ]＝－2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋12＝[－0.6]＝－1，故B 错；当x ＝1.9时，[2x ]＝3,2[x ]＝2，故C 错，由排除法，选D.54．（2013·江西高考文）如图，已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1 m 的圆O 在t ＝0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1 m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为x ，令y ＝cos x ，则y 与时间t (0≤t ≤1，单位：s)的函数y ＝f (t )的图像大致为 ( )【解析】选B 本题主要考查函数建模、函数图像的变化，考查运动变化的观点以及观察、分析、判断、解决问题的能力．设经过t (0≤t ≤1)秒直线l 2与圆交于M ，N 两点，直线l 1与圆被直线l 2所截上方圆弧交于点E ，则∠MON ＝x ，AE ＝t ，OA ＝1－t .所以cos x 2＝OA OM ＝1－t 1＝1－t ，所以y ＝cos x ＝2cos 2x2－1＝2(1－t )2－1＝2t 2－4t ＋1.故其对应的图像为B.55．（2013·四川高考文）设函数f (x )＝e x＋x －a (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．若存在b ∈[0,1]使f (f (b ))＝b 成立，则a 的取值范围是( )A ．[1，e]B ．[1,1＋e]C ．[e,1＋e]D ．[0,1] 【解析】选A 本题主要考查函数的零点等基础知识，意在考查函数与方程、转化与化归等数学思想，同时考查考生的运算能力．由题意得 e x ＋x －a ＝x ，x ∈[0,1]①.化简得e x＋x －x 2＝a ，x ∈[0,1]．令g (x )＝e x ＋x －x 2，所以g ′(x )＝e x ＋1－2x ，设h (x )＝e x＋1－2x ，则h ′(x )＝e x－2，所以当x ∈(0，ln 2)时，h ′(x )＜0，当x ∈(ln 2,1)时，h ′(x )＞0.所以g ′(x )≥g ′(ln 2)＝3－2ln 2＞0，所以g (x )在[0,1]上单调递增，所以原题中的方程有解必须方程①有解，所以g (0)≤a ≤g (1)． 56．（2013·广东高考文）函数y ＝x ＋x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)【解析】选 C 本题主要考查函数定义域知识，意在考查考生的运算求解能力．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x －1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1，x ≠1，故选C.57．（2013·辽宁高考文）已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2【解析】选D 本题主要考查函数的奇偶性、对数的运算、判断两个对数的关系，意在考查考生准确找出问题切入点的能力，从而使计算简化．由已知，得f (－x )＝ln(1＋9x 2＋3x )＋1，所以f (x )＋f (－x )＝2.因为lg 2，lg 12互为相反数，所以f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝2. 58.（2013·辽宁高考文）已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2)x －a2＋8.设H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}，H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B ＝ ( )A ．a 2－2a －16 B ．a 2＋2a －16 C ．－16 D ．16 【解析】选C本题是一道新定义题，考查函数的图像性质．f (x )的图像的顶点坐标为(a ＋2，－4a －4)，g (x )的图像的顶点坐标为(a －2，－4a ＋12)，并且f (x )与g (x )的图像的顶点都在对方的图像上，如图所示，所以A －B ＝－16. 59.（2012·重庆高考理）设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)【解析】选D 由图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．60．（2012·广东高考理）下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是 ( )A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝(12)xD ．y ＝x ＋1x【解析】选A 选项A 的函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．61．（2012·山东高考理）定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )．当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012)＝( )A ．335B ．338C ．1 678D ．2 012【解析】选B 由f (x ＋6)＝f (x )可知，函数f (x )的周期为6，所以f (－3)＝f (3)＝－1，f (－2)＝f (4)＝0，f (－1)＝f (5)＝－1，f (0)＝f (6)＝0，f (1)＝1，f (2)＝2，所以在一个周期内有f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＝f (1)＋f (2)＋335×1＝1＋2＋335＝338. 62．（2012·山东高考理）函数y ＝cos 6x2x －2－x 的图像大致为 ( )【解析】选D 函数为奇函数，所以其图像关于原点对称，排除A ；令y ＝0得cos 6x ＝0，所以6x ＝π2＋k π(k ∈Z )，x ＝π12＋k6π(k ∈Z )，函数的零点有无穷多个，排除C ；函数在y轴右侧的第一个零点为(π12，0)，又函数y ＝2x －2－x 为增函数，当0<x <π12时，y ＝2x －2－x>0，cos 6x >0，所以函数y ＝cos 6x 2x －2－x >0，排除B. 63．（2012·山东高考理）设函数f (x )＝1x，g (x )＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)．若y ＝f (x )的图像与y ＝g (x )的图像有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列判断正确的是 ( )A ．当a <0时，x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0B ．当a <0时，x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0C ．当a >0时，x 1＋x 2<0，y 1＋y 2<0D ．当a >0时，x 1＋x 2>0，y 1＋y 2>0 【解析】选B不妨设a <0，在同一坐标系中分别画出两个函数的图像，如图所示，其中点A (x 1，y 1)关于原点的对称点C 也在函数y ＝1x的图像上，坐标为(－x 1，－y 1)，而点B 的坐标(x 2，y 2)在图像上也明显的显示出来．由图可知，当a <0时，x 2>－x 1，所以x 1＋x 2>0，y 2<－y 1，所以y 1＋y 2<0，同理当a >0时，则有x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0.64．（2012·江西高考理）下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( ) A ．y ＝1sin x B ．y ＝ln x x C ．y ＝x e xD ．y ＝sin x x【解析】选D 函数y ＝13x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而y ＝1sin x 的定义域为{x |x∈R ，x ≠k π，k ∈Z }，y ＝ln x x 的定义域为(0，＋∞)，y ＝x e x的定义域为R ，y ＝sin x x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．故选D.65．（2012·江西高考理）若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，lg x ，x >1，则f (f (10))＝( )A ．lg 101B ．2C ．1D ．0 【解析】选B f (10)＝lg 10＝1，故f (f (10))＝f (1)＝12＋1＝2.66．（2012·四川高考理）函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－9x －3，x <3，x －，x ≥3在x ＝3处的极限( )A ．不存在B ．等于6C ．等于3D ．等于0【解析】选 A 依题意可知，lim x ―→3－f (x )＝lim x ―→3－ x 2－9x －3＝lim x ―→3－ (x＋3)＝6，lim x ―→3＋f (x )＝lim x ―→3＋ln(x －2)＝ln (3－2)＝0，因此函数f (x )在x ＝3处的极限不存在．67．（2012·四川高考理）函数y ＝a x －1a(a >0，且a ≠1)的图像可能是 ( )【解析】选D 法一：当0<a <1时，函数y ＝a x－1a是减函数，且其图像可视为是由函数y＝a x的图像向下平移1a个单位长度得到的，结合各选项知选D.法二：因为函数y ＝a x－1a(a >0，且a ≠1)，必过点(－1,0)，所以选D.68．（2012·辽宁高考理）设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝|x cos(πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在[－12，32]上的零点个数为 ( )A ．5B ．6C ．7D ．8 【解析】选B由题意知函数f (x )是偶函数，且周期是2.作出g (x )，f (x )的函数图像，如图．由图可知函数y ＝g (x )，y ＝f (x )在[－12，32]图像有6个交点，故h (x )＝g (x )－f (x )在[－12，32]上的零点有6个．69．（2012·天津高考理）函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是 ( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】选B 法一：函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数即为函数y ＝2x，y ＝2－x 3在区间(0,1)内的图像的交点个数，作出图像即可知两个函数图像在区间(0,1)内有1个交点，故原函数在区间(0,1)内的零点个数是1.法二：由题意知f (x )为单调增函数且f (0)＝－1<0，f (1)＝1>0，所以在区间(0,1)内有且只有一个零点．70．（2012·陕西高考理）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为 ( )。

5年函数高考试题及答案

5年函数高考试题及答案一、选择题1. 设函数 f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + 1 ，其中 a, b 为常数，则 f(x) 是奇函数的充要条件是：A. a = 0， b = 0B. a = 2， b = 0C. a = 0， b = 1D. a = 1， b = 0答案：A2. 函数 f(x) 的图像向右平移 3 个单位得到函数 g(x)，则 g(x) 的表达式是：A. g(x) = f(x-3)B. g(x) = f(x+3)C. g(x) = f(x)+3D. g(x) = f(x-3)+3答案：A3. 函数 f(x) 的值域为 [-1, 2]，则函数 2f(x) 的值域为：A. [-2, 4]B. [-2, 2]C. [-1, 2]D. [-1, 4]答案：A4. 已知函数 f(x) = x^3 - 2x^2 + ax + b 是偶函数，那么 a 和 b 的值分别为：A. a = 0， b = 0B. a = 2， b = 0C. a = 0， b = 2D. a = 2， b = 2答案：C5. 函数 f(x) = x^2 - 4x 在区间 [a, 4] 上是增函数，则 a 的取值范围是：A. (0, 4)B. (-∞, 0)C. (0, 2)D. (-∞, 4)答案：C二、填空题1. 函数 f(x) = kx^2 - 2 在 x = 1 处的导数为 4，则 k 的值为 ______。

答案：62. 已知函数 g(x) = x^3 - 3x，若 g(x) 的最小值为 -2，则 x 的值为_______。

答案：-13. 函数 f(x) = x^3 + ax^2 + (a+1)x + 1 的图像关于 x 轴对称，则 a 的值为 _______。

答案：-14. 函数 f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x + c 的图像与 x 轴有两个交点，则 c 的取值范围为 _______。

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