函数反函数对数及对数函数

函数

一、函数：1．函数的概念

(1)函数的定义：

设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为A x x f y ∈=),( (2)函数的定义域、值域

在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}

A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2．映射的概念

设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为

B A f →:

重、难点突破

重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域 难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域 重难点：1．关于抽象函数的定义域

求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误 问题1：已知函数)(x f y =的定义域为][b a ，，求)2(+=x f y 的定义域 问题2：已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义

1． 求值域的几种常用方法

（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数

4cos 2sin 2+--=x x y ，可变为2)1(cos 4cos 2sin 22+-=+--=x x x y 解决

（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数

)32(log 22

1++-=x x y 就是利用函数u y 2

1log =和322++-=x x u 的值域来求。

（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数2

21

22

+-+=

x x x y 的值域 由2

2122+-+=x x x y 得012)1(22

=-++-y x y yx ，若0=y ，则得21-=x ，所以0

=y 是函数值域中的一个值；若0≠y ，则由0)12(4)]1(2[2

≥--+-=∆y y y 得

021332133≠+≤≤-y y 且，故所求值域是]2

13

3,2133[+- （4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数1

cos 3

cos 2+-=x x y 的值域，因为

1cos 521cos 3cos 2+-=+-=x x x y ，而]2,0(1cos ∈+x ，所以]2

5

,(1cos 5--∞∈+-x ，故

]2

1

,(--∞∈y

（5）利用基本不等式求值域：如求函数4

32+=x x

y 的值域

当0=x 时，0=y ；当0≠x 时，x

x y 43+

=

，若0>x ，则44

24=⋅≥+

x

x x x 若0

x x x x x x ，从而得所求值域是]4

3

,43[- （6）利用函数的单调性求求值域：如求函数])2,1[(222

4

-∈+-=x x x y 的值域

因)14(2282

3

-=-=x x x x y ，故函数])2,1[(222

4

-∈+-=x x x y 在)2

1

,1(--上递减、

在)0,21(-上递增、在)21,0(上递减、在)2,21(上递增，从而可得所求值域为]30,8

15

[

（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法 一、选择题

1．下列四种说法正确的一个是 （ ） A ．)(x f 表示的是含有x 的代数式 B ．函数的值域也就是其定义中的数集B

C ．函数是一种特殊的映射

D ．映射是一种特殊的函数 2．已知f 满足f (ab )=f (a )+ f (b)，且f (2)=p ，q f =)3(那么)72(f 等于 （ ） A ．q p + B ．q p 23+ C ．q p 32+ D ．2

3

q p + 3．下列各组函数中，表示同一函数的是

（ ）

A ．x

x

y y =

=,1 B ．1,112-=+⨯-=

x y x x y

C ．33,x y x y ==

D ． 2

)(|,|x y x y ==

4．已知函数2

3212

---=

x x x

y 的定义域为

（ ）

A ．]1,(-∞

B ．]2,(-∞

C ．]1,21

()21

,(-

⋂--∞ D ． ]1,2

1()21,(-

⋃--∞ 5．设⎪⎩

⎪⎨⎧<=>+=)0(,0)0(,)

0(,1)(x x x x x f π，则=-)]}1([{f f f

（ ）

A ．1+π

B ．0

C ．π

D ．1-

6．下列图中，画在同一坐标系中，函数bx ax y +=2

与)0,0(≠≠+=b a b ax y 函数的图

象只可能是 （ ）

7．设函数x x x

f =+-)11(，则)(x f 的表达式为 （ ）

A ．x x -+11

B ． 11-+x x

C ．x

x +-11

D ．

1

2+x x

8．已知二次函数)0()(2

>++=a a x x x f ，若0)(

9．已知在x 克%a 的盐水中，加入y 克%b 的盐水，浓度变为%c ，将y 表示成x 的函数关系式 （ ）

A ．x b c a c y --=

B ．x c b a c y --=

C ．x a

c b

c y --=

D ．x a

c c

b y --= 10．已知)(x f 的定义域为)2,1[-，则|)(|x f 的定义域为

（ ）

A ．)2,1[-

B ．]1,1[-

C ．)2,2(-

D ．)2,2[-

二、填空题：

11．已知x x x f 2)12(2

-=+，则)3(f = . 12．若记号“*”表示的是2

*b

a b a +=

，则用两边含有“*”和“+”的运算对于任意三个实数“a ，b ，c ”成立一个恒等式 .

13．集合A 中含有2个元素，集合A 到集合A 可构成 个不同的映射.

14．从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水加满，再倒出1升混合溶液，再用水加满. 这样继续下去，建立所倒次数x 和酒精残留量y 之间的函数关系式 . 三、解答题： 15、①．求函数|

1||1|1

3

-++-=

x x x y 的定义域；

②求函数x x y 21-+=的值域；

③求函数1

3

2222+-+-=x x x x y 的值域.

16、在同一坐标系中绘制函数x x y 22

+=，||22

x x y +=得图象.

17已知函数x x f x x f x =+-+-)()1

1

(

)1(，其中1≠x ，求函数解析式.