高等代数II期末考试试卷及答案A卷.doc

高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（每小题3分，共15分）
1、线性空间[]P
x 的两个子空间的交()
()11L x L x -+=
2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是
3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是
4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()2
1,,1,λλ
λ+
则其特征矩阵E A λ-的标准形是
5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：
二、 单项选择题（每小题3分，共15分）
1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：
（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。

2、（ ）设 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：
（A ） 的核是零子空间的充要条件是 是满射； （B ） 的核是V 的充要条件是 是满射； （C ） 的值域是零子空间的充要条件是 是满射； （D ） 的值域是V 的充要条件是 是满射。

3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0;
A A
B A λλ≠是一个非零常数；
()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。

4、（ ）设实二次型
f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为：
222
1122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是：
()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。

5、（ ）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”，则A 的若当 标准形是：
()()()200200200020;120;120;002002012A B C ---⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()D 以上各情形皆有可能。

三、 是非题（每小题2分，共10分）
（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“⨯”） 1、（ ）设V 1，V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且{}1
20V V =
则12V
V V =⊕。

2、（ ）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下 的矩阵是一对角矩阵。

3、（ ）同阶方阵A 与B 相似的充要条件是E A λ-与E B λ- 等价。

4、（ ）n 维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。

5、（ ）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。

四、 解答题（每小题10分，共30分）
1、在线性空间4
P 中，定义线性变换：
()()()(
)
4
,,,,,,,,,a b c d a b a c b d a b c d P ''
'=++∀∈
（1）求该线性变换 在自然基：()()121,0,0,0,0,1,0,0εε''==
()()340,0,1,0,0,0,0,1εε''==下的矩阵A ；
（2）求矩阵A 的所有特征值和特征向量。

2、（1）求线性空间[]3P
x 中从基()()()
2
:1,1,1I x x --到基
()()()2
:1,1,1II x x ++的过渡矩阵；
（2）求线性空间[]3P
x 中向量()2123f x x x =-+在基
()()()
2
:1,1,1I x x --下的坐标。

3、在R 2中，()()1212,,,a a b b α
β∀==，规定二元函数：
()11122122,4a b a b a b a b αβ=--+
（1） 证明：这是R 2的一个内积。

（2） 求R 2的一个标准正交基。

五、 证明题（每小题10分，共30分）
1、 设P 3的两个子空间分别为：
(){}(){}
11
2
3
12
321
2
3
1
2
3,,0,,,0
W x x x x x
x W x x x x x
x =
++==
--= 证明：（1）3
12P W W =+；
（2）12W W +不是直和。

2、设 是数域P 上线性空间V 的线性变换，证明()12,,...,r W L ααα= 是 的不变子空间的兖要条件是()1,2,...,i W
i r α∈=。