数值分析第五版答案

第一章 绪论

3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指

出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *

456.430x =,*57 1.0.x =⨯

解：*

1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。

4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x .

其中****

1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解：

*4

1*

3

2*

13*

3

4*

1

51()1021()1021()1021()1021()102

x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯

***

124***1244333

(1)()()()()

1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***

123*********123231132143

(2)()

()()()

111

1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222

0.215

x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈

**

24****

24422

*

4

33

5

(3)(/)

()()

11

0.0311056.430102256.43056.430

10x x x x x x x εεε---+≈

⨯⨯+⨯⨯=

⨯=

5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343

V R π=

则何种函数的条件数为

2

3'4343

p R V R R C V R ππ===

(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=

又

(*)1r V ε=

故度量半径R 时允许的相对误差限为1

(*)1

0.333

r R ε=⨯≈ 6．设028Y =，按递推公式1

n n Y Y -= （n=1,2,…） 计算到100Y

27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？

解：1n n Y Y -=

10099Y Y ∴=

9998Y Y =

9897Y Y =……

10Y Y =

依次代入后，有1000100Y Y =-

即1000Y Y =，

27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-

*

310001()()(27.982)102

Y Y εεε-∴=+=⨯

100Y ∴的误差限为31

102

-⨯。

7．求方程2

5610x x -+=的两个根，使它至少具有427.982=）。

解：2

5610x x -+=，

故方程的根应为1,228x =

故 1282827.98255.982x =≈+=

1x ∴具有5位有效数字

211

280.0178632827.98255.982

x =-=

≈

=≈+

2x 具有5位有效数字

9．正方形的边长大约为了100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过2

1cm ？ 解：正方形的面积函数为2

()A x x =

(*)2*(*)A A x εε∴=.

当*100x =时，若(*)1A ε≤, 则21

(*)102

x ε-≤

⨯ 故测量中边长误差限不超过0.005cm 时，才能使其面积误差不超过2

1cm 11．序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=- (n=1,2,…),

若0 1.41y =≈（三位有效数字），计算到10y 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？ 解：

02 1.41y =≈

201

(*)102

y ε-∴=⨯

又

1101n n y y -=-

10101y y ∴=- (*)10(*)y y εε∴=

又

21101y y =-

21(*)10(*)y y εε∴=

220(*)10(*)......

y y εε∴=

101001028(*)10(*)

1

10102

1

102

y y εε-∴==⨯

⨯=⨯

计算到10y 时误差为

81

102

⨯，这个计算过程不稳定。 12

．计算6

1)f =

≈1.4，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？

,

3

(3-,

，

99- 解：设6

(1)y x =-，

若x =

* 1.4x =，则*11

102

x -ε()=⨯。

计算y 值，则 ***7

**

*7

**1

(1)

6(1)

y x x y x x y x ε()=--6⨯ε()+ =

ε()+ =2.53ε()

若通过3

(3-计算y 值，则

**2****

**(32)6

32y x x y x x

y x ε()=-3⨯2⨯-ε() =

ε()- =30ε()

计算y 值，则