第1次作业

第一次作业（如有疑问或发现有问题的答案，请联系*****************，刘淞佳，西一A段410）

P35 习题2.1.1 图2-8中时一个滚大理石球玩具，在A或B处扔下一个大理石球。杠杆x1、x2和x3让大理石球落向左方或右方。每当一个大理石球遇到一个杠杆时，就引起这个杠杆在大理石球通过之后改变方向，所以下一个大理石球会走相反的分支。

a）用有穷自动机为这个玩具建模。设输入A和B表示扔进大理石球的入口。设接受对应于大理石球从D出来，不接受则表示大理石球从C出来。

b）非形式化地描述这个自动机的语言。

答案

a）状态用四位表示，

前三位用x1x2x3表示杠杆的方向，0向左，1向右，

第四位用a和r表示，

a表示前一个输入后结果为拒绝，

r表示前一个输入后结果为接受。

右边为转移表

b)这个语言是包含最后一个输出结果为D的所有投入A和B的球

的串。

P36 习题2.2.4 给出接受下列在字母表{0,1}上的语言的DFA：

A）所有以00结尾的串的集合。

B）所有带3个连续的0（不必在结尾）的串的集合。

C）带011字串的串的集合。

答案。

a）可以用转移图或者转移表。转移表如下所示。

b）c）

0 1

→A B A

B C A

* C C A

0 1

→A B A

B B C

C B D

* D D D

0 1

→A B A

B C A

C D A

* D D D

A B

→000r 100r011r

*000a 100r 011r

001r

*001a 101r000a

010r 110r 001a

*010a 110r001a

011r 111r010a

*011a

100r 010r111r

*100a 010r 111r

101r 011r100a

*101a 011r 100a

110r 000a 101a

*110a 000a 101a

111r 001a 110a

*111a

0 1 →A A B * B B A

P36 习题2.2.10 考虑带下列转移表的DFA: 非形式化地描述这个DFA 接受的语言，通过对输入串的长度进行归纳，证明这个描述是正确的。

提示：当建立归纳假设时，断言什么样的输入导致每个状态，

而不只是断言什么样的输入导致接受状态，这样更明智些。

答案

这个自动机表示：状态A 表示偶数个1，状态B 表示奇数个1，

只有串有奇数个1的时候，串才会被接受。

当且仅当串w 中有偶数个1时， (A,w) = A.。用归纳法证明如下

基础: |w| = 0。空串当然有偶数个 1 ，即0个 1，且 (A,w) = A.

归纳：假设对于比w 短的串命题成立。令 w = za, 其中 a 为 0 或1。

情形1： a = 0. 如果w 有偶数个 1, 则z 有偶数个1。由归纳假设， (A,z) = A 。由转移表的DFA 知 (A,w) = A.如果w 有奇数个1, 则z 有奇数个1. 由归纳假设， (A,z) = B, 由转移表的 DFA 知 (A,w) = B. 因此这种情况下 (A,w) = A 当且仅当 w 有偶数个 1。

情形2： a = 1. 如果w 有偶数个 1, 则z 有奇数个1。由归纳假设， (A,z) = B. 由转移表的DFA 知 (A,w) = A. 如果w 有奇数个 1, 则z 有偶数个1。由归纳假设, (A,z) = A, 由转移表的DFA 知 (A,w) = B. 因此这种情况下 (A,w) = A 当且仅当 w 有偶数个 1.

综合上述情形，命题得证。

P45 习题2.3.4 给出接受下列语言的非确定型有穷自动机。尝试尽可能多利用非确定性。

a ）在字母表{0,1,...,9}上的串的集合，使得结尾数字在前面出现过。

c ）0和1的串的集合，使得有两个0间隔的位置数是4的倍数。注意，0算是4的倍数。

答案

a) qs 为初始状态，qf 为终止状态，可一直停与qs ，即尚未猜测。转移表/图如下所示。

记qi 为已看到i 并猜测i 是结尾将要重复的数字，i=0,1, (9)

c)

0 1 ... 9 →qs {qs,q0} {qs,q1} ... {qs,q9} q0

{qf} {q0} ... {q0} q1

{q1} {qf} ... {q1} ...

... ... ... ... q9

{q9} {q9} ... {qf} * qs

{} {} ... {}

0 1 →qs

{q0} {qs} q0

{qf} {q1} q1

{q0,q2} {q2} q2

{q0,q3} {q3} q3

{q0,q4} {q4} q4

{qf} {q1} * qf

{qf} {qf}