算法设计与分析c卷及答案

算法设计与分析试题C及答案

一．填空题：（每题4分，共20分）

1. 实例特征是指决定问题规模的那些因素.如两个n⨯n矩阵的相乘，则 n为实例特征. 2．估算程序运行时间的方法通常有两种，分别为和

。

（操作计数方法，统计程序的执行步数）

3．递归函数的两大基本要素是和

。

（递归方程和边界条件）

4．给定如下顺序搜索算法，则最坏时间复杂性是O(n)最好时间复杂性是O(1)。 int seqSearch(Type *a, int n, Type k){

for(int i=0;i

}

5．采用回溯法求解问题时，通常采用两种策略（即两种剪枝函数）避免无效的搜索，它们分别是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽和⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。

（约束函数，限界函数）

二．简答题：（每小题6分，共18分）

1.描述由分治法产生的子问题的基本特征

往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。

2.在什么情况下可以应用贪心方法获得问题的最优解?

a）问题满足贪心选择性质。即所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优的选择，即贪心选择来达到。

b）问题满足最优子结构性质。即所求问题的最优解包含其子问题的最优解。

3.算法设计通常有哪些方法？(至少列出4种)并指出哪些算法具有的某个共有性质。

答：算法设计方法有分治算法，贪心算法，动态规划算法，归纳算法，回溯算法，分支限界算法等。

分治算法，贪心算法，动态规划算法等算法都具有最优子结构性质。

4.对下图中的有向图，应用Dijkstra算法计算从源顶点4到其它顶点间最短路

径的过程。

三．算法分析解答题：（每题20分，共60分）

1. 设有n 个活动的集合E={1,2,…,n}，其中每个活动都要求使用同一资源，并且在同一

时间内只有一个活动能使用这一资源。 每个活动i 都有一个要求使用该资源的起始时

间s i

和一个结束时间f i

,且s i

< f i

。 如果选择了活动i ，则它在半开时间区间 [s i

, f i

)

内占用资源。若区间[s i

, f i

)与区间[s j

, f j

)不相交，则称活动 i 与活动 j 是相容的。

a ） 给出活动 i 与活动 j 是相容的定义。

b ） 描述求解活动安排问题的贪心算法，并分析算法的时间复杂性。

a ）若区间[s i

, f i

)与区间[s j

, f j

)不相交，则称活动 i 与活动 j 是相容的。

b ）void GreedySelector(int n, Type s[], Type f[], bool A[]) { sort(s[],f[],n);//按照活动的结束时间的非降序排列。 A[1]=true; int j=1;

for (int i=2;i<=n;i++) {

if (s[i]>=f[j]) { A[i]=true; j=i; } else A[i]=false; } }

S u dist[1] dist[2] dist[3] dist[5] 初始 {4} - maxint maxint 6 16 1 {4,3} 3 36 maxint 6 16 2 {4,3,5} 5 36 41 6 16 3 {4,3,5,1} 1 36 41 6 16 4

{1,2,4,3,5}

2

16

41

6

16

算法中，如果活动按照其结束时间的非降序排列，则其时间复杂性是O(n)；如果没有排序，则要考虑为n个活动排序所需要的时间，则其时间复杂性是O(nlogn)。

2．简述0-1背包问题和背包问题的差别，描述求解背包问题的贪心算法。

给定n种物品和一个背包。物品i的重量是Wi，其价值为Vi，背包的容量为C。应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?

0-1背包问题：在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有2种选择，即装入背包或不装入背包。不能将物品i装入背包多次，也不能只装入部分的物品i。

背包问题：与0-1背包问题所不同的是在选择物品i装入背包时，可以选择物品i的一部分，而不一定要全部装入背包。

这2类问题都具有最优子结构性质，极为相似，但背包问题可以用贪心算法求解，而0-1背包问题却不能用贪心算法求解。

用贪心算法解背包问题的基本：首先计算每种物品单位重量的价值Vi/Wi，然后，依贪心选择策略，将尽可能多的单位重量价值最高的物品装入背包。若将这种物品全部装入背包后，背包内的物品总重量未超过C，则选择单位重量价值次高的物品并尽可能多地装入背包。依此策略一直地进行下去，直到背包装满为止。

void Knapsack(int n,float M,float v[],float w[],float x[]){

Sort(n,v,w); //按物品单位重量的价值降序排序。

int i;

for (i=1;i<=n;i++) x[i]=0;

float c=M;

for (i=1;i<=n;i++) {

if (w[i]>c) break;

x[i]=1;

c-=w[i];

}

if (i<=n) x[i]=c/w[i];//部分装入物品i。

}

3．在用回溯法求解0/1背包问题时，

1）假设n=4，画出该问题的解空间树；

2）用伪代码描述用于剪枝的限界函数。

3）假设n=5，物品的重量是W={10,8,9,12,11},价值P={18,12,3,8,20},背包的容量是40。试用你给出的限界函数计算i=3时的上界。

解答：