探究圆锥曲线中的存在性问题
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探究圆锥曲线中的存在性问题
圆锥曲线是解析几何的核心内容,是中学数学的重点、难点,是高考命题的热点之一,各种解得到了很好的体现和充分的展示,尤其是在最近几年的高考试题中,平面向量与解析几何的融合,提高了解题方法在本章题目的综合性,形成了题目多变,解法灵活的特点,充分体现了高考中以能力立意的命题方向
近年来圆锥曲线在高考中比较稳定,解答题往往以中档题或以押轴题的形式出现,主要考察学生逻辑推理能力、运算能力,考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。
但圆锥曲线在新课标中化归到选学内容,要求有所降低,估计2010年高考对本讲的考察,仍将以以下两类题型为主
1.求曲线(或轨迹)的方程。
对于这类问题,高考常常不给出图形或不给出坐标系,以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力;
2.与圆锥曲线有关的最值(或极值)和取值范围问题,圆锥曲线中的定值、定点问题,探究型的存在性问题。
这类问题的综合型较大,解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、平面向量、函数、不等式、三角函数知识,正确的构造不等式或方程,体现了解析几何与其他数学知识的联系。
存在性问题是一种具有开放性和发散性的问题,此类题目的条件和结论不完备,要求学生结合已有的条件进行观察、分析、比较和概括,它对数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力有较高的要求,特别是在解析几何第二问中经常考到“是否存在这样的点”的问题,也就是是否存在定值定点定直线的问题。
今天,我就圆锥曲线中的存在性问题从五个方面给大家做一个分享,也希望能给大家带来一点点的启示。
一、是否存在这样的常数 例1.(2007宁夏理19题)
在平面直角坐标系xOy 中,经过点(02),且斜率为k 的直线l 与椭圆2
212
x y +=有两个不同的交点P 和Q .
(I )求k 的取值范围;
(II )设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ,,是否存在常数k ,使得向量OP OQ +与
AB 共线?如果存在,求k 值;如果不存在,请说明理由.
解:(Ⅰ)由已知条件,直线l 的方程为2y kx =+
代入椭圆方程得22(2)12x kx ++=.整理得2212102k x kx ⎛⎫
+++= ⎪⎝⎭
① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2
221844202k k k ⎛⎫
∆=-+=->
⎪⎝⎭
,
解得k <
k >.即k
的取值范围为2
22⎛⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,,∞∞. (Ⅱ)设1122()()P x y Q x y ,,,,则12
12()OP OQ x x y y +=++,, 由方程①,12
x x +=. ② 又1212()
y y k x x +=++ ③
而(01)(A
B AB =-,,. 所以OP OQ +与AB
共线等价于1212)x x y y
+=+,
将②③代入上式,解得2
k =
. 由(Ⅰ)知2k <-
或2
k >,故没有符合题意的常数k . 练习1:(08陕西卷20).(本小题满分12分)
已知抛物线C :2
2y x =,直线2y kx =+交C 于A B ,两点,M 是线段AB 的中点,过M 作x 轴的垂线交C 于点N .
(Ⅰ)证明:抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行;
(Ⅱ)是否存在实数k 使0NA NB =,若存在,求k 的值;若不存在,说明理由.
解法一:(Ⅰ)如图,设211(2)A x x ,
,222(2)B x x ,,把2y kx =+代入22y x =得2220x kx --=, 由韦达定理得122
k
x x +=
,121x x =-, ∴1224N M x x k
x x +===,∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭
,.
设抛物线在点N 处的切线l 的方程为284k k y m x ⎛
⎫-=- ⎪⎝
⎭, 将2
2y x =代入上式得22
2048
mk k x mx -+-=, 直线l 与抛物线C 相切,
22
22282()04
8mk k m m mk k m k ⎛⎫
∴∆=--=-+=-=
⎪⎝⎭,m k ∴=.
即l AB ∥.
(Ⅱ)假设存在实数k ,使0NA NB =,则NA NB ⊥,又M 是AB 的中点,
1
||||2
MN AB ∴=
. 由(Ⅰ)知121212111
()(22)[()4]222
M y y y kx kx k x x =+=+++=++
2
2142224
k k ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. MN ⊥x 轴,22216
||||2488
M N k k k MN y y +∴=-=+-=
.
又2
212121||||1()4AB x x k
x x x x =-=++-
2
2
2214(1)11622k k k ⎛⎫
=-⨯-=++ ⎪
⎝⎭
.
22161
168k k +∴=+,解得2k =±.
即存在2k =±,使0NA NB =.
解法二:(Ⅰ)如图,设221122(2)(2)A x x B x x ,
,,,把2y kx =+代入2
2y x =得 2220x kx --=.由韦达定理得121212
k
x x x x +==-,.
∴1224N M x x k
x x +===,∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭
,.
22y x =,4y x '∴=,
∴抛物线在点N 处的切线l 的斜率为44
k
k ⨯
=,l AB ∴∥. (Ⅱ)假设存在实数k ,使0NA NB =.
由(Ⅰ)知2222
1122224848k k k k NA x x NB x x ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,,,则
22221212224488k k k k NA NB x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=--+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
222212124441616k k k k x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=--+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1212144444k k k k x x x x ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=--+++ ⎪⎪
⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣
⎦
()221212121214()4164k k k x x x x x x k x x ⎡⎤⎡⎤
=-++++++⎢⎥
⎢⎥⎣
⎦⎣⎦
22114(1)421624k k k k k k ⎛⎫
⎡⎤=--⨯++⨯-+⨯+ ⎪
⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
22313164k k ⎛⎫⎛⎫
=---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
0=,
21016k --<,23304
k ∴-+=,解得2k =±.
即存在2k =±,使0NA NB =.
练习 2.直线1ax
y
与曲线22
21x y 相交于P 、Q 两点。
(1) 当 a 为何值时,221PQ
a ;
(2) 是否存在实数a ,使得以PQ 为直径的圆经过原点O ?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由。
解:(1)联立方程
22
2
2
1(12)43021
ax y a x ax x
y
得,
2
2
2P ,Q ,120
1612(12)
a
a a 又知直线与曲线相交于两点可得,即6
2a
a 且, 设P 、Q 两点的坐标为112212
12
2
2
43(,),(,),21
21
a
P x y Q x y x x x a a
则x ,
所以22222
4(1)(32)
21(21)a a PQ a a ,
化简得22
2(1
2)(12)
2
0,1a a a
解得即为所求。
(3) 假设存在实数a ,使得以PQ 为直径的圆经过原点O ,
12121212222
121
222
2
.1,0,(1)(1)
0,3(1)4(1
)()1
0,1
021
122,,.
OP OQ
k k x x y y x x ax ax a a a x x a x x a a
a a
a 则也就是整理得故有
解得即不存在实数
二、是否存在这样的点
例2.(2009全国卷Ⅱ)(本小题满分12分)
已知椭圆22
22:1(0)
x y C a b a b +=>>,过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点,当l
的斜率为1时,坐标原点O 到l 的距离为2
2
(I )求a ,b 的值;
(II )C 上是否存在点P ,使得当l 绕F 转到某一位置时,有OP OA OB =+成立?若存在,求出所有的P 的坐标与l 的方程;若不存在,说明理由。
解析:本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力,第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算,第二问利用向量坐标关系及方程的思想,借助根与系数关系解决问题,注意特殊情况的处理。
解:(Ⅰ)设(),0,c F 当l 的斜率为1时,其方程为O c y x ,0=--到l 的距离为
2
2
00c c
=
-- ,故
2
2
2
=
c , 1=c , 由 3
3==
a c e ,得 3=a ,22c a
b -==2 (Ⅱ)C 上存在点P ,使得当l 绕F 转到某一位置时,有OB OA OP +=成立。
由 (Ⅰ)知椭圆C 的方程为2
2x +2
3y =6. 设).,(),,(2211y x B y x A (ⅰ) )1(-=x k y l x l 的方程为轴时,设不垂直当
假设C 上存在点P ,且有OP OA OB =+成立,则)点的坐标为(2121,y y x x P ++,
6)(3)(2221221=+++y y x x ,整理得 664323221212
2222121=+++++y y x x y x y x
632,6322
2222121=+=+y x y x C B A 上,即在、又
故 03322121=++y y x x ①
将 并化简得代入,632)1(2
2
=+-=y x x k y
0636)32(2222=-+-+k x k x k ②
于是 2221326k k x x +=+, 21x x =223263k k +-, 22212
21324)2)(1(k k x x k y y +-=--= ,
代入①解得,22
=k ,此时2
3
21=+x x 于是)2(2121-+=+x x k y y =2k -
, 即)2
,23(k P -
因此, 当2-=k 时,)2
2
,
23(P , 022=-+y x l 的方程为; 当2=
k 时,)2
2
,23(-
P , 022=--y x l 的方程为。
(ⅱ)当l 垂直于x 轴时,由)0,2(=+OB OA 知,C 上不存在点P 使OB OA OP +=成立。
综上,C 上存在点)2
2
,23
(±
P 使OB OA OP +=成立,此时l 的方程为022=-±y x . 例3.(2009福建卷)(本小题满分14分)
已知直线220x y -+=经过椭圆22
22:1(0)
x y C a b a b +=>>的左顶
点A 和上顶点D ,椭圆C 的右顶点为B ,点S 是椭圆C 上位于x 轴上
方的动点,直线,AS BS 与直线10
:3l x =
分别交于,M N 两点。
(I )求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)求线段MN 的长度的最小值;
(Ⅲ)当线段MN 的长度最小时,在椭圆C 上是否存在这样的点T ,使得TSB ∆的面积为1
5?若存
在,确定点T 的个数,若不存在,说明理由
(I )由已知得,椭圆C 的左顶点为(2,0),A -上顶点为(0,1),2,1D a b ∴==
故椭圆C 的方程为2
214
x y += (Ⅱ)直线AS 的斜率k 显然存在,且0k >,故可设直线AS 的方程为(2)y k x =+,从而1016(
,)33
k
M 由22
(2)14
y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222
(14)16164k x k x k +++-=0 设11(,),S x y 则212164(2),14k x k --=+得2122814k x k -=+,从而12
414k
y k
=+即222284(,),1414k k S k k -++
又(2,0)B ,由1(2)410
3y x k x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
得10313x y k ⎧
=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 101(,)33N k ∴-故161||33k MN k =
+ 又16116180,||233333k k k MN k k >∴
=+≥⋅=,当且仅当16133k k =,即1
4
k =时等号成立 1
4
k ∴=
时,线段MN 的长度取最小值83
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当MN 取最小值时,1
4
k =
此时BS 的方程为64
42
20,(,),||55
5
x y s BS +-=∴
= 要使椭圆C 上存在点T ,使得TSB ∆的面积等于
1
5
,只须T 到直线BS 的距离等于2,所以T
在平行于BS 且与BS 距离等于
2
4
的直线l 上。
设直线'
:0l x
y t
,则由
2
,42
=解得32t =-或52t =-
练习:1.(2008湖北卷20题).(本小题满分12分)
已知双曲线2
2
2x y -=的左、右焦点分别为1F ,2F ,过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ,两点. (I )若动点M 满足1111F M F A F B FO =++(其中O 为坐标原点)
,求点M 的轨迹方程; (II )在x 轴上是否存在定点C ,使CA ·CB 为常数?若存在,求出点C 的坐标;若不存在,请说明理由.
解:由条件知1(20)F -,
,2(20)F ,,设11()A x y ,,22()B x y ,. 解法一:(I )设()M x y ,,则1
(2)FM x y =+,,111(2)F A x y =+,, 1221(2)(20)F B x y FO =+=,,,,由1111F M F A F B FO =++得 121226x x x y y y +=++⎧⎨
=+⎩,即1212
4x x x y y y +=-⎧⎨+=⎩,
于是AB 的中点坐标为422x y -⎛⎫
⎪⎝⎭
,.
当AB 不与x 轴垂直时,1212
24822
y
y y y x x x x -==
----,即1212()8y y y x x x -=--. 又因为A B ,两点在双曲线上,所以22112x y -=,22
222x y -=,两式相减得
12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+,即1212()(4)()x x x y y y --=-.
将1212()8
y
y y x x x -=
--代入上式,化简得22(6)4x y --=. 当AB 与x 轴垂直时,122x x ==,求得(80)M ,,也满足上述方程. 所以点M 的轨迹方程是2
2
(6)4x y --=.
(II )假设在x 轴上存在定点(0)C m ,,使CA CB 为常数.
当AB 不与x 轴垂直时,设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±. 代入2
2
2x y -=有2
2
2
2
(1)4(42)0k x k x k -+-+=.
则12x x ,是上述方程的两个实根,所以212241k x x k +=-,2122421
k x x k +=-,
于是2
1212()()(2)(2)CA CB x m x m k x x =--+--
22221212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+-++++
22222222
(1)(42)4(2)
411k k k k m k m k k +++=-++-- 222
22
2(12)2442(12)11
m k m m m m k k -+-=+=-++--. 因为CA CB 是与k 无关的常数,所以440m -=,即1m =,此时CA CB =1-.
当AB 与x 轴垂直时,点A B ,的坐标可分别设为(22),,(22)-,
, 此时(12)(12)1CA CB =-=-,,
. 故在x 轴上存在定点(10)C ,,使CA CB 为常数.
练习2.(08山东卷22) (本小题满分14分)
如图,设抛物线方程为x 2=2py (p >0),M 为直线y =-2p 上任意一点,过M 引抛物线的切线,切点分别为A ,B .
(Ⅰ)求证:A ,M ,B 三点的横坐标成等差数列;
(Ⅱ)已知当M 点的坐标为(2,-2p
)时,AB =
(Ⅲ)是否存在点M ,使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线2
2(0)x py p =>上,其中,点C 满足OC OA OB =+(O 为坐标原点).若存在,求出所有适合题意的点M 的坐标;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)证明:由题意设22
12
12120(,),(,),,(,2).22x x A x B x x x M x p p p
-<
由2
2x py =得2
2x y p
=,则,x y p '=
所以12,.MA MB x x
k k p p
=
=
因此直线MA 的方程为1
02(),x y p x x p
+=
- 直线MB 的方程为202().x y p x x p +=-
所以211102(),2x x
p x x p p +=- ① 2
22202().2x x
p x x p p
+=- ② 由①、②得 212120,2x x x x x +=+-因此 2
12
02
x x x +=,即0122.x x x =+ 所以A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,当x 0=2时, 将其代入①、②并整理得:
22
11440,x x p --=
22
22440,x x p --=
所以 x 1、x 2是方程22
440x x p --=的两根,
因此2
12124,4,x x x x p +==-
又22
210122122,2AB
x x x x x p p k x x p p
-
+===-
所以2
.AB k p
=
由弦长公式得
AB ==
又AB = 所以p =1或p =2,
因此所求抛物线方程为2
2x y =或2
4.x y =
(Ⅲ)解:设D (x 3,y 3),由题意得C (x 1+ x 2, y 1+ y 2),
则CD 的中点坐标为123123
(
,),22
x x x y y y Q ++++
设直线AB 的方程为0
11(),x y y x x p
-=
-
由点Q 在直线AB 上,并注意到点1212
(,)22
x x y y ++也在直线AB 上,
代入得0
33.x y x p
=
若D (x 3,y 3)在抛物线上,则2
330322,x py x x ==
因此 x 3=0或x 3=2x 0.
即D (0,0)或20
02(2,).x D x p
(1)当x 0=0时,则12020x x x +==,此时,点M (0,-2p )适合题意.
(2)当00x ≠,对于D (0,0),此时22
12
22
22
12
12000
2(2,),,224CD
x x x x x x p
C x k p
x px +++==
又0
,AB x k p
=
AB ⊥CD , 所以2222
012122
01,44AB CD
x x x x x k k p px p
++===- 即222
124,x x p +=-矛盾.
对于2002(2,),x D x p 因为2212
0(2,),2x x C x p
+此时直线CD 平行于y 轴, 又0
0,AB x k p
=
≠ 所以,直线AB 与直线CD 不垂直,与题设矛盾, 所以00x ≠时,不存在符合题意的M 点.
综上所述,仅存在一点M (0,-2p )适合题意.
练习3.(2007广东理18). (本小题满分14分)
在平面直角坐标系xoy 中,已知圆心在第二象限、半径为的圆C 与直线y x =相切于坐标原点
O .椭圆22
219
x y a +=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.
(1)求圆C 的方程;
(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ,使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长.若存在,请求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.
解: (1)设圆心坐标为(m ,n)(m<0,n>0),则该圆的方程为(x -m )2+(y -n )2=8已知该圆与直线y=x 相切,那么圆心到该直线的距离等于圆的半径,则
2
n m -=22 即n m -=4 ①
又圆与直线切于原点,将点(0,0)代入得 ,m 2+n 2=8 ② 联立方程①和②组成方程组解得⎩⎨
⎧=-=22
n m ,
故圆的方程为(x +2)2+(y -2)2=8
(2)a =5,∴a 2=25,则椭圆的方程为
22125
9
x
y
其焦距c=925-=4,右焦点为(4,0),那么OF =4。
要探求是否存在异于原点的点Q ,使得该点到右焦点F 的距离等于OF 的长度4,我们可以转化为探求以右焦点F 为顶点,半径为4的圆(x ─4)2+y 2=8与(1)所求的圆的交点数。
通过联立两圆的方程解得x=
54
,y=512 即存在异于原点的点Q(54,5
12
),使得该点到右焦点F 的距离等于OF 的长。
三、是否存在这样的直线
例4.(2007湖北理19).(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy 中,过定点(0)C p ,作直线与抛物线
22x py =(0p >)相交于A B ,两点.
(I )若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点,求ANB △面积的
最小值;
(II )是否存在垂直于y 轴的直线l ,使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在,求出l 的方程;若不存在,说明理由.(此题不要求在答题卡上画图)
解析:本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识,考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力.
解法1:(Ⅰ)依题意,点N 的坐标为(0)N p -,,可设1122()()A x y B x y ,,,,
直线AB 的方程为y kx p =+,与2
2x py =联立得22x py y kx p ⎧=⎨=+⎩,.
消去y 得22220x pkx p --=.
由韦达定理得122x x pk +=,2
122x x p =-.
于是12122
ABN BCN ACN S S S p x x =+=-△△△·.
12p x x =-=
2p ==,
∴当0k =
时,2min ()ABN S =△.
(Ⅱ)假设满足条件的直线l 存在,其方程为y a =,
AC 的中点为O ',l 与AC 为直径的圆相交于点P ,Q PQ ,的中点为H ,
则O H PQ '⊥,Q '点的坐标为112
2x y p +⎛⎫
⎪⎝⎭,.
12O P AC '=
==∵, 111
222
y p O H a a y p +'=-
=--, 222
PH O P O H ''=-∴2221111()(2)44y p a y p =+---
1()2p a y a p a ⎛
⎫=-+- ⎪⎝
⎭,
2
2(2)PQ PH =∴14()2p a y a p a ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
.
令02p a -
=,得2p a =,此时PQ p =为定值,故满足条件的直线l 存在,其方程为2
p
y =, 即抛物线的通径所在的直线. 解法2:(Ⅰ)前同解法1,再由弦长公式得
12AB x =-==
2=
又由点到直线的距离公式得d =
从
而
112222ABN S d AB p ===△···
,
∴当0k =时,2min ()ABN S =△.
(Ⅱ)假设满足条件的直线l 存在,其方程为y a =,则以AC 为直径的圆的方程为
11(0)()()()0x x x y p y y -----=,
将直线方程y a =代入得2
11()()0x x x a p a y -+--=,
则2
1114()()4()2p x a p a y a y a p a ⎡⎤
⎛
⎫=---=-
+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
△. 设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为3344()()P x y Q x y ,,,,
则有34PQ x x =-==
令02p a -
=,得2p a =,此时PQ p =为定值,故满足条件的直线l 存在,其方程为2
p
y =, 即抛物线的通径所在的直线. 练习1.已知双曲线方程为2
2
12
y x
,问:是否存在过点M(1,1)的直线l,使得直线与双曲线交于P 、
Q 两点,且M 是线段PQ 的中点?如果存在,求出直线的方程,如果不存在,请说明理由。
解:显然x=1不满足条件,设:1(1)l y
k x .
联立1(1)y k x 和2
2
12
y x
,消去y 得22
2
2
(2)(22)23
0k x k k x
k k
,
由
>0,得k<3
2
,21
2
22()
2k k x x k ,
由M(1,1)为PQ 的中点,得21
2
2
122x x k k k ,解得2k
,这与k <3
2
矛盾,所以不存在满足条
件的直线l.
四、是否存在这样的圆
例5.(2009年广东卷文)已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率为23
,两个焦点分别为1F 和
2F ,椭圆G 上一点到1F 和2F 的距离之和为12,圆k C :0214222=--++y kx y x )(R k ∈的圆心为点k
A .(1)求椭圆G 的方程;(2)求
2
1F F A k ∆的面积;(3)问是否存在圆
k
C 包围椭圆G?请说明理由.
【解析】(1)设椭圆G 的方程为:22
221x y a b
+= (0a b >>)半焦距为c;
则212
32a c a =⎧⎪⎨=
⎪⎩
, 解得633a c =⎧⎪⎨
=⎪⎩ , 222
36279b a c ∴=-=-= 所求椭圆G 的方程为:
22
1369
x y +=. (2 )点K A 的坐标为(),2K - 12
1211
26326322
K A F F S
F F =⨯⨯=⨯=(3)若0k ≥,由2
2
60120215120k k ++--=+可知点(6,0)在圆k C 外, 若0k <,由2
2
(6)0120215120k k -+---=-可知点(-6,0)在圆k C 外;
∴不论K 为何值圆k C 都不能包围椭圆G. 例6.(2009山东卷理)(本小题满分14分)
设椭圆E: 22
2
21x y a b +=(a ,b>0)过M (22) ,6,1)两点,O 为坐标原点,
(I )求椭圆E 的方程;
(II )是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。
解:(1)因为椭圆E: 22
221x y a b
+=(a ,b>0)过M (22 ,6,1)两点,
所以2222421611a b a b +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得2211
8
114a b
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2284a b ⎧=⎨=⎩椭圆E 的方程为
22184x y += (2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥,
设该圆的切线方程为y kx m =+解方程组2218
4x y y kx m
+==+⎧⎪⎨⎪⎩得22
2()8x kx m ++=,即
222(12)4280k x kmx m +++-=,
则△=2
2
2
2
2
2
164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22
840k m -+>
122
2
12241228
12km x x k m x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
, 2222222
2
212121212222
(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k
--=++=+++=-+=+++要使OA OB ⊥,需使12120x x y y +=,即222
22
28801212m m k k k --+=++,所以223880m k --=, 所以22
38
08
m k -=
≥又22840k m -+>, 所以22238
m m ⎧>⎨≥⎩,所以2
83m ≥,
即m ≥
m ≤,
因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径
为r =
,
2
22
22
8381318
m m r m k ==
=-++
,r =
所求的圆为2
2
8
3
x y +=
,此时圆的切线y kx m =+
都满足m ≥
m ≤,而当切线的斜率
不存在时切线为x =22
184
x y +=
的两个交点为
或(满足OA OB ⊥,综上,存在圆心在原点的圆228
3
x y +=
,使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥.
【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系
五、是否存在这样的最值
例7. (2009年浙江卷)
已知椭圆1C :22
221(0)
y x a b a b +=>>的右顶点为(1,0)A ,过1C
的焦点且垂直长轴的弦长为1.
(I )求椭圆
1
C 的方程;
(II )设点P 在抛物线2C :2()y x h h =+∈R 上,2C 在点P 处的切线与1C 交于点,M N .当
线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时,求h 的最小值.
解析:(I )由题意得21
2,,1
21b a b b a =⎧=⎧⎪∴⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩所求的椭圆方程为2
214y x +=,
(II )不妨设
21122(,),(,),(,),
M x y N x y P t t h +则抛物线
2
C 在点P 处的切线斜率为
2x t
y t
='
=,
直线MN 的方程为22y tx t h =-+,将上式代入椭圆1C 的方程中,得
222
4(2)40x tx t h +-+-=,即
()22222414()()40
t x t t h x t h +--+--=,因为直线MN 与椭圆
1
C 有两个不同的交点,所以有
422
1162(2)40
t h t h ⎡⎤∆=-++-+>⎣⎦,
设线段MN 的中点的横坐标是3x ,则21232
()
22(1)x x t t h x t +-==+, 设线段PA 的中点的横坐标是4x ,
则
41
2t x +=
,由题意得34x x =,即有2
(1)10t h t +++=,其中的22(1)40,1h h ∆=+-≥∴≥或
3h ≤-;
当3h ≤-时有220,40h h +<-<,因此不等式4221162(2)40t h t h ⎡⎤∆=-++-+>⎣⎦不成立;因此1h ≥,当1h =时代入方程2
(1)10t h t +++=得1t =-,将1,1h t ==-代入不等式
422
1162(2)40
t h t h ⎡⎤∆=-++-+>⎣⎦成立,因此h 的最小值为1.
掌握研究解析几何问题的基本方法
近几年解析几何的考题在难度、计算的复杂程度等方面都有所下降,突出对解析几何基本思想和基本方法的考查,重点要掌握解析几何的一些基本方法来解决问题,解析几何中解题的基本方法有解析法、待定系数法、变换法、参数法等方法.课堂教学中选择例题要突出题目的普遍性,解题方法要具有代表性,即通性通法.所以在复习时应做到:
1.牢固掌握圆锥曲线定义
圆锥曲线定义反映了圆锥曲线的本质属性,是构建有关知识网络的基础。
同时,定义直接用于解题常常使一些看似很难解决的问题变得简单。
2.重视基础知识,基本题型的复习
(1)注意课本典型例题、习题的延伸
教材中的例题、习题虽然大多比较容易,但其解法往往具有示范性,可延伸性,适当地编拟题组进行复习训练,有利于系统地掌握知识,融会贯通。
如教材中题:“过抛物线y2=2px焦点的一条直线和抛物线相交,两个交点的纵坐标为y1,y2,求证y1y2=-p2。
”
给出的结论是关于抛物线焦点弦的一条重要性质,而其证明方法也是解决有关直线与圆锥曲线的位置关系问题的最基本最典型的方法。
(2)注意转化条件,优化解题方法
解析几何中有一些基本问题,如两直线垂直的证明、求弦的中点、弦长的计算等等,对这些问题的处理方法是熟知的。
但有不少题目,所给的条件无法直接使用,或者使用起来比较困难,此时,可考虑对条件进行适当的转化,使解题过程纳入到学生所熟悉的轨道。
3.重视判别式的作用
有关直线与圆锥曲线的位置关系问题,通常都是利用一元二次方程来解决的。
其中,根的判别式往往起着关键的作用。
4.强化数学思想方法的训练和运用
(1)函数与方程思想
解析几何的研究对象和方法决定了它与函数、方程的“不解之缘”,很多解析几何问题实际上就是建立方程后研究方程的解或建立函数后研究函数的性质。
(2)分类讨论思想
解析几何中,有些公式,性质是有适用条件的,解题时必须注意分类讨论、区别处理。
例如直线方程的点斜式、斜截式中斜率必须存在,截距式只适用在两轴上的截距存在且不为零的情况,两点式不适用于与坐标轴垂直的直线。
(3)数形结合思想
解析几何的本质就是将“数”与“形”有机地联系起来,曲线的几何特征必然在方程、函数或不等式中有所反映,而函数、方程或不等式的数字特征也一定体现出曲线的特性。