圆锥曲线解答题中存在性问题 (2)
2024年高考数学复习大题全题型专练：专题16 圆锥曲线中的存在性问题(原卷版)
专题16圆锥曲线中的存在性问题1．（2022·上海黄浦·二模）已知双曲线 ：221412x y ，F 为左焦点，P 为直线1x 上一动点，Q 为线段PF 与 的交点．定义：||()||FP d P FQ ．(1)若点Q()d P 的值；(2)设()d P ，点P 的纵坐标为t ，试将2t 表示成 的函数并求其定义域；(3)证明：存在常数m 、n ，使得()||md P PF n ．2．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知椭圆M ：22221x y a b （a >b >0）的离心率为2，AB 为过椭圆右焦点的一条弦，且AB 长度的最小值为2.(1)求椭圆M 的方程；(2)若直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点，点 2,0P ，记直线PC 的斜率为1k ，直线PD 的斜率为2k ，当12111k k 时，是否存在直线l 恒过一定点？若存在，请求出这个定点；若不存在，请说明理由.3．（2022·上海青浦·二模）已知椭圆22:143x y 的右焦点为F ，过F 的直线l 交 于,A B两点．(1)若直线l 垂直于x 轴，求线段AB 的长；(2)若直线l 与x 轴不重合，O 为坐标原点，求△AOB 面积的最大值；(3)若椭圆 上存在点C 使得||||AC BC ，且△ABC 的重心G 在y 轴上，求此时直线l 的方程．4．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）圆O ：224x y 与x 轴的两个交点分别为 12,0A ， 22,0A ，点M 为圆O 上一动点，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点R 满足12NR NM (1)求点R 的轨迹方程；(2)设点R 的轨迹为曲线C ，直线1x my 交C 于P ，Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点S ，试问：是否存在一个定点T ，当m 变化时，2A TS 为等腰三角形5．（2022·上海交大附中模拟预测）已知椭圆221214x y F F ：，，是左、右焦点．设M 是直线 2l x t t ：上的一个动点，连结1MF ，交椭圆 于 0N N y ．直线l 与x 轴的交点为P ，且M 不与P 重合．(1)若M 的坐标为58，，求四边形2PMNF 的面积；(2)若PN 与椭圆 相切于N 且1214NF NF ，求2tan PNF 的值；(3)作N 关于原点的对称点N ，是否存在直线2F N ，使得1F N 上的任一点到2F N若存在，求出直线2F N 的方程和N 的坐标，若不存在，请说明理由．6．（2022·广东·华南师大附中三模）已知在△ABC 中， 2,0B ， 2,0C ，动点A满足AB 90ABC ，AC 的垂直平分线交直线AB 于点P ．(1)求点P 的轨迹E 的方程；(2)直线 x m m 交x 轴于D ，与曲线E 在第一象限的交点为Q ，过点D 的直线l 与曲线E 交于M ，N 两点，与直线3x m交于点K ，记QM ，QN ，QK 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，①求证：123k k k 是定值．②若直线l 的斜率为1，问是否存在m 的值，使1236k k k 若存在，求出所有满足条件的m 的值，若不存在，请说明理由．7．（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）已知△ABC 的顶点 4,0A ， 4,0B ，满足：9tan tan 16A B ．(1)记点C 的轨迹为曲线 ，求 的轨迹方程；(2)过点 0,2M 且斜率为k 的直线l 与 相交于P ，Q 两点，是否存在与M 不同的定点N ，使得NP MQ NQ MP 恒成立？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知椭圆 2222:10x y C a b a b的左、右顶点分别为1A ，2A ，且124A A ，离心率为12，过点 3,0M 的直线l 与椭圆C 顺次交于点Q ，P ．(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在定直线:l x t 与直线2A P 交于点G ，使1A ，G ，Q 共线．9．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）已知1(2,0)F ，2(2,0)F 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b的左、右焦点，且A 5(2,)3为椭圆上的一点.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线2y x t 与抛物线22(0)y px p 相交于,P Q 两点，射线1F P ，1FQ 与椭圆E 分别相交于M ､N .试探究：是否存在数集D ，对于任意p D 时，总存在实数t ，使得点1F 在以线段MN 为直径的圆内？若存在，求出数集D 并证明你的结论；若不存在，请说明理由.10．（2022·江西师大附中三模（理））已知椭圆22221(0)x y a b a b的右焦点为F ，上顶点为M ，O 为坐标原点，若OMF的面积为12，且椭圆的离心率为2．(1)求椭圆的方程；(2)是否存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 点恰为PQM 的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．11．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）如图，已知离心率为2的椭圆 2222:10x y M a b a b 的左右顶点分别为A ､B ，P 是椭圆M 上异于A ､B 的一点，直线AP ､BP 分别交直线:4l x 于C ､D 两点.直线l 与x 轴交于点H ，且퐴⋅퐴=36.(1)求椭圆M 的方程；(2)若线段CD 的中点为E ，问在x 轴上是否存在定点N ，使得当直线NP ､NE 的斜率NP k ､NE k 存在时，NP NE k k 为定值？若存在，求出点N 的坐标及NP NE k k 的值；若不存在，请说明理由.12．（2022·上海·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点(1,1)A 关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP的斜率之积等于13．(1)求动点P 的轨迹方程C ；(2)设直线y t 与第（1）问的曲线C 交于不同的两点E 、F ，以线段EF 为直径作圆D ，圆心为D ，设 ,G G G x y 是圆D 上的动点，当t 变化时，求G y 的最大值；(3)设直线AP 和BP 分别与直线3x 交于点M 、N ，问：是否存在点P 使得PAB △与PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．13．（2022·江苏南京·模拟预测）已知椭圆C ：22221x y a b （0a b ）过点，直线l ：y x m 与椭圆C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，直线OM 的斜率为-0.5.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当1m 时，椭圆C 上是否存在P ，Q 两点，使得P ，Q 关于直线l 对称，若存在，求出P ，Q 的坐标，若不存在，请说明理由．14．（2022·重庆八中模拟预测）已知抛物线2:4C y x 的焦点为F ，不过原点的直线l 交抛物线C 于A ，B 两不同点，交x 轴的正半轴于点D ．(1)当ADF 为正三角形时，求点A 的横坐标；(2)若||||FA FD ，直线1//l l ，且1l 和C 相切于点E ；①证明：直线AE 过定点，并求出定点坐标；②ABE △的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．15．（2022·辽宁沈阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，12,F F 分别为等轴双曲线 2222:10,0x y a b a b的左、右焦点，若点A为双曲线右支上一点，且12||||AF AF 2AF 交双曲线于B 点，点D 为线段1F O 的中点，延长AD ，BD ，分别与双曲线 交于P ，Q两点．(1)若1122(,),(,)A x y B x y ，求证： 1221214x y x y y y ；(2)若直线AB ，PQ 的斜率都存在，且依次设为12,k k ，试判断21k k 是否为定值，如果是，请求出21k k 的值；如果不是，请说明理出．16．（2022·浙江·绍兴一中模拟预测）如图，过抛物线2:2(0)E y px p 的焦点F 的直线1l 交抛物线于第一象限的点02,Q y ，且3QF ，过点()(,00)P a a （不同于焦点F ）的直线2l 与抛物线E 交于A ，B ，过A 作抛物线的切线交y 轴于M ，过B 作MP 的平行线交y 轴于N．(1)求抛物线方程及直线1l 的斜率；(2)记1S 为,AM BN 与y 轴围成三角形的面积，是否存在实数 使1 OAB S S ，若存在，求出实数 的值，若不存在，请说明理由．17．（2022·全国·模拟预测（文））已知椭圆22:143x y 的右焦点为F ， 11,A x y ， 22,C x y 为 上不同的两点，且122x x ，31,2B．(1)证明：AF ，BF ，CF 成等差数列；(2)试问：x 轴上是否存在一点D ，使得DA DC ？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2022·湖北·鄂南高中模拟预测）已知曲线2:2(0)C y px p 的焦点为F ，曲线C 上有一点 0,Q x p 满足2QF .(1)求抛物线C 的方程；(2)过原点作两条相互垂直的直线交曲线C 于异于原点的两点,A B ，直线AB 与x 轴相交于N ，试探究x 轴上存在一点是否存在异于N 的定点M 满足AMANBM BN 恒成立.若存在，请求出M 点坐标；若不存在，请说明理由.19．（2022·广东·模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的左、右焦点分别为12,F F ，点D 为线段1F O 的中点，过2F 的直线l 与C 的右支交于 1122,,,M x y N x y 两点，延长,MD ND 分别与C 交于点,P Q 两点，若C的离心率为 为C 上一点.(1)求证： 1221212x y x y y y ；(2)已知直线l 和直线PQ 的斜率都存在，分别记为121,,0k k k ，判断21k k 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.20．（2022·辽宁大连·二模）已知抛物线2:2(0)E y px p 的焦点为F ，点P 在抛物线上，O 为坐标原点，且32OP PF .(1)抛物线E 的标准方程；(2)如图所示，过点(,0)M t 和点(2,0)(26)N t t 分别做两条斜率为k 的平行弦分别和抛物线E 相交于点A ，B 和点C ，D ，得到一个梯形ABCD .记梯形两腰AD 和BC 的斜率分别为1k 和2k ，且12120k k k k .（i ）试求实数k 的值；（ii ）若存在实数 ，使得OAB ABCD S S 梯形△，试求实数 的取值范围.。
圆锥曲线存在性问题的探究(五大题型)(学生版)-高中数学
圆锥曲线存在性问题的探究目录题型一：存在点使向量数量积为定值题型二：存在点使斜率之和或之积为定值题型三：存在点使两角度相等题型四：存在点使等式恒成立题型五：存在点使线段关系式为定值方法技巧总结解决存在性问题的技巧：(1)特殊值(点)法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其他情况均成立．(2)假设法：先假设存在，推证满足条件的结论．若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．必考题型归纳题型一：存在点使向量数量积为定值1(2023·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期末)已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆的左顶点坐标为-2,0 ，离心率为e =22．1 求椭圆E 的方程；2 过点1,0 作直线l 交E 于P 、Q 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点M ，使MP ⋅MQ为定值？若存在，求出这个定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2(2023·山西大同·高二统考期末)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的一个焦点与抛物线y 2=43x 的焦点F 重合，且椭圆短轴的两个端点与F 构成正三角形.(1)求椭圆的方程；(2)若过点(1,0)的直线l 与椭圆交于不同两点P 、Q ，试问在x 轴上是否存在定点E (m ,0)，使PE ⋅QE 恒为定值?若存在，求出E 的坐标及定值；若不存在，请说明理由.3(2023·重庆渝北·高二重庆市松树桥中学校校考阶段练习)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，其左、右焦点分别为F 1，F 2，短轴长为2 3.点P 在椭圆C 上，且满足ΔPF 1F 2的周长为6.(I )求椭圆C 的方程；(Ⅱ)过点(-1,0)的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，试问在x 轴上是否存在一定点M ，使得MA ⋅MB 恒为定值？若存在，求出该点M 的坐标；若不存在，请说明理由.1(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22，椭圆经过点A -1,22.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点(1,0)作直线l 交C 于M ,N 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点P ，使PM ⋅PN为定值？若存在，求出这个定点P 的坐标；若不存在，请说明理由.2(2023·辽宁锦州·统考模拟预测)已知F 1､F 2为双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，E 的离心率为5,M 为E 上一点，且MF 2 -MF 1 =2.(1)求E 的方程；(2)设点M 在坐标轴上，直线l 与E 交于异于M 的A ､B 两点，且点M 在以线段AB 为直径的圆上，过M 作MC ⊥AB ，垂足为C ，是否存在点D ，使得CD 为定值？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.3(2023·山西大同·统考模拟预测)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为22，且直线y =x +b 是抛物线C 2:y 2=4x 的一条切线．(1)求椭圆C 1的方程；(2)过点S 0,-13的动直线L 交椭圆C 1于A ,B 两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点T ，使得以AB 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出T 的坐标；若不存在，请说明理由．4(2023·江苏扬州·统考模拟预测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左顶点为A ，过右焦点F 且平行于y 轴的弦PQ =AF =3．(1)求△APQ 的内心坐标；(2)是否存在定点D ，使过点D 的直线l 交C 于M ,N ，交PQ 于点R ，且满足MR ⋅ND =MD ⋅RN若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．题型二：存在点使斜率之和或之积为定值4(2023·山东泰安·统考模拟预测)已知为O 坐标原点，A 2,0 ,B 0,1 ,C 0,-1 ,D 2,1 ，OE =λOA ,DF=λDA,0<λ≤1，CE 和BF 交点为P .(1)求点P 的轨迹G ；(2)直线y =x +m (m ≠0)和曲线G 交与M ，N 两点，试判断是否存在定点Q 使k MQ k NQ =14如果存在，求出Q 点坐标，不存在请说明理由.5(2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知点A -2,0 ，B 2,0 ，P x ,y 是异于A ，B 的动点，k AP ，k BP 分别是直线AP ，BP 的斜率，且满足k AP ⋅k BP =-34.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)在线段AB 上是否存在定点E ，使得过点E 的直线交P 的轨迹于M ，N 两点，且对直线x =4上任意一点Q ，都有直线QM ，QE ，QN 的斜率成等差数列.若存在，求出定点E ，若不存在，请说明理由.6(2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测)以双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F为圆心作圆，与C的一条渐近线相切于点Q43,253(1)求C的方程.(2)在x轴上是否存在定点M，过点M任意作一条不与坐标轴垂直的直线l，当l与C交于A,B两点时，直线AF,BF的斜率之和为定值？若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由.5(2023·湖北荆州·高二荆州中学校考阶段练习)已知圆C方程为x2+y2-8mx-(6m+2)y+6m+1 =0(m∈R,m≠0)，椭圆中心在原点，焦点在x轴上.(1)证明圆C恒过一定点M，并求此定点M的坐标；(2)判断直线4x+3y-3=0与圆C的位置关系，并证明你的结论；(3)当m=2时，圆C与椭圆的左准线相切，且椭圆过(1)中的点M，求此时椭圆方程；在x轴上是否存在两定点A，B使得对椭圆上任意一点Q(异于长轴端点)，直线QA，QB的斜率之积为定值？若存在，求出A，B坐标；若不存在，请说明理由.6(2023·河北·高三校联考阶段练习)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2，实轴长为4.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 1不与x 轴重合的直线l 与椭圆C 相交于E ，D 两点，试问在x 轴上是否存在一个点M ，使得直线ME ，MD 的斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由.7(2023·吉林长春·高三长春外国语学校校考开学考试)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为12，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，P 是椭圆上一点，且△PF 1F 2的周长是6.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过椭圆的右焦点F 2且与C 交于不同的两点M ，N ，试问：在x 轴上是否存在点Q ，使得直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.8(2023·全国·高三专题练习)设椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率是22，过点P 0,1 的动直线L 于椭圆相交于A ,B 两点，当直线L 平行于x 轴时，直线L 被椭圆C 截得弦长为22．(Ⅰ)求E 的方程；(Ⅱ)在y 上是否存在与点P 不同的定点Q ，使得直线AQ 和BQ 的倾斜角互补？若存在，求Q 的坐标；若不存在，说明理由．题型三：存在点使两角度相等7(2023·新疆阿勒泰·统考三模)已知椭圆C 1:x 2a2+y 2=1(a >1)的左右焦点分别为F 1、F 2，A ,B 分别为椭圆C 1的上，下顶点，F 2到直线AF 1的距离为3．(1)求椭圆C 1的方程；(2)直线x =x 0与椭圆C 1交于不同的两点C ,D ，直线AC ,AD 分别交x 轴于P ,Q 两点．问：y 轴上是否存在点R ，使得∠ORP +∠ORQ =π2？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由．8(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0经过点A-2,0且两个焦点及短轴两顶点围成四边形的面积为4.(1)求椭圆C的方程和离心率；(2)设P，Q为椭圆C上不同的两个点，直线AP与y轴交于点E，直线AQ与y轴交于点F，且P、O、Q三点共线.其中O为坐标原点.问：x轴上是否存在点M，使得∠AME=∠EFM？若存在，求点M的坐标，若不存在，说明理由.9(2023·四川绵阳·模拟预测)已知点A是圆C:x-12+y2=16上的任意一点，点F-1,0，线段AF的垂直平分线交AC于点P．(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)若过点G3,0且斜率不为O的直线l交(1)中轨迹E于M、N两点，O为坐标原点，点B2,0．问：x 轴上是否存在定点T，使得∠MTO=∠NTB恒成立．若存在，请求出点T的坐标，若不存在，请说明理由．9(2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测)已知椭圆C:x2a2+y23=1(a>0)经过点-1,32，过点T3,0的直线交该椭圆于P，Q两点.(1)求△OPQ面积的最大值，并求此时直线PQ的方程；(2)若直线PQ与x轴不垂直，在x轴上是否存在点S s,0使得∠PST=∠QST恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由.10(2023·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考开学考试)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0过点1,2 2，且上顶点与右顶点的距离为3．(1)求椭圆C的方程；(2)若过点P3,0的直线l交椭圆C于A,B两点，x轴上是否存在点Q使得∠PQA+∠PQB=π，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．11(2023·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，动点M到点D2,0的距离等于点M到直线x=1距离的2倍，记动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)已知直线l：y=12x+t t≥2与曲线C交于A,B两点，问曲线C上是否存在两点P,Q满足∠APB=∠AQB=90°，若存在，请求出两点坐标，不存在，请说明理由.题型四：存在点使等式恒成立10(2023·福建漳州·统考模拟预测)已知R是圆M：x+32+y2=8上的动点，点N3,0，直线NR与圆M的另一个交点为S，点L在直线MR上，MS∥NL，动点L的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)若过点P-2,0的直线l与曲线C相交于A，B两点，且A，B都在x轴上方，问：在x轴上是否存在定点Q，使得△QAB的内心在一条定直线上?请你给出结论并证明.11(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，过点B 0,b 且与直线BF 2垂直的直线交x 轴负半轴于D ，且2F 1F 2 +F 2D =0．(1)求椭圆Γ的离心率；(2)若过B 、D 、F 2三点的圆恰好与直线l :x -3y -6=0相切，求椭圆Γ的方程；(3)设a =2．过椭圆Γ右焦点F 2且不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆Γ交于P 、Q 两点，点M 是点P 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得M 、Q 、N 三点共线？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由．12(2023·福建福州·福州三中校考模拟预测)如图，双曲线的中心在原点，焦点到渐近线的距离为3，左、右顶点分别为A 、B ．曲线C 是以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴，且离心率为12的椭圆，设P 在第一象限且在双曲线上，直线BP 交椭圆于点M ，直线AP 与椭圆交于另一点N ．(1)求椭圆及双曲线的标准方程；(2)设MN 与x 轴交于点T ，是否存在点P 使得x P =4x T (其中x P ，x T 为点P ，T 的横坐标)，若存在，求出P 点的坐标，若不存在，请说明理由．12(2023·福建福州·福州四中校考模拟预测)已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E :x 24+y 23=1的左顶点和右焦点分别为A ,F ，动点P 满足|PA |2+12|PF |2=92，记动点P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)设点Q 在E 上，过Q 作C 的两条切线，分别与y 轴相交于M ,N 两点.是否存在点Q ，使得MN 等于E 的短轴长？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.13(2023·甘肃定西·统考模拟预测)已知点M 到点F 0,32 的距离比它到直线l ：y =-2的距离小12，记动点M 的轨迹为E .(1)求E 的方程；(2)若过点F 的直线交E 于A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 两点，则在x 轴的正半轴上是否存在点P ，使得PA ，PB 分别交E 于另外两点C ，D ，且AB =3CD？若存在，请求出P 点坐标，若不存在，请说明理由.14(2023·北京海淀·中关村中学校考三模)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2，长轴长为4.(1)求椭圆E的方程及离心率；(2)过点M-3,0且与x轴不重合的直线l与椭圆E交于不同的两点B、C，点B关于x轴的对称点为B .问：平面内是否存在定点P，使得B 恒在直线PC上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.题型五：存在点使线段关系式为定值13(2023·全国·高三专题练习)椭圆E经过两点1,2 2，22,32，过点P的动直线l与椭圆相交于A，B两点．(1)求椭圆E的方程；(2)若椭圆E的右焦点是P，其右准线与x轴交于点Q，直线AQ的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，求证：k1+k2=0；(3)设点P(t,0)是椭圆E的长轴上某一点(不为长轴顶点及坐标原点)，是否存在与点P不同的定点Q，使得QAQB=PAPB恒成立？只需写出点Q的坐标，无需证明．14(2023·福建宁德·校考模拟预测)已知双曲线C 与双曲线x 212-y 23=1有相同的渐近线，且过点A (22,-1).(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知点D (2,0)，E ，F 是双曲线C 上不同于D 的两点，且DE ·DF =0，DG ⊥EF 于点G ，证明:存在定点H ，使GH 为定值.15(2023·四川成都·高三校考阶段练习)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为12，过椭圆右焦点F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当直线l 与x 轴垂直时，AB =3．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当直线l 的斜率为k k ≠0 时，在x 轴上是否存在一点P (异于点F )，使x 轴上任意一点到直线PA 与到直线PB 的距离相等？若存在，求P 点坐标；若不存在，请说明理由．15(2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测)已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点A 2,0 ，B 1,32 .直线x =t (不经过点B )与椭圆E 交于M ,N 两点，Q 1,0 ，直线MQ 与椭圆E交于另一点C ，点P 满足QP ⋅NC=0，且P 在直线NC 上.(1)求E 的方程；(2)证明：直线NC 过定点，且存在另一个定点R ，使PR 为定值.16(2023·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考阶段练习)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点，右顶点分别为F ，A ，B 0,b ，AF =1，点M 在线段AB 上，且满足BM =3MA ，直线OM 的斜率为1，O 为坐标原点.(1)求双曲线C 的方程.(2)过点F 的直线l 与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，在x 轴上是否存在与F 不同的定点E ，使得EP ⋅FQ =EQ ⋅FP 恒成立？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.17(2023·河北秦皇岛·校联考模拟预测)如图，椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ．左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为22，点M (2,1)在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知P ，Q 是椭圆C 上两动点，记直线AP 的斜率为k 1，直线BQ 的斜率为k 2，k 1=2k 2．过点B 作直线PQ 的垂线，垂足为H ．问：在平面内是否存在定点T ，使得TH 为定值，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，试说明理由．18(2023·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习)在平面直角坐标系xOy 中，设点P 的轨迹为曲线C .①过点F 1,0 的动圆恒与y 轴相切，FP 为该圆的直径；②点P 到F 1,0 的距离比P 到y 轴的距离大1.在①和②中选择一个作为条件:(1)选择条件：求曲线C 的方程；(2)在x 轴正半轴上是否存在一点M ，当过点M 的直线l 与抛物线C 交于Q ，R 两点时，1MQ +1MR为定值？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由.19(2023·四川成都·高三树德中学校考开学考试)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为e=22，且经过点1,e．P为椭圆C在第一象限内部分上的一点．(1)若A a,0，B0,b，求△ABP面积的最大值；(2)是否存在点P，使得过点P作圆M:x+12+y2=1的两条切线，分别交y轴于D，E两点，且DE= 143．若存在，点求出P的坐标；若不存在，说明理由．。
圆锥曲线中的存在性问题
第11讲圆锥曲线中的存在性问题一、考情分析圆锥曲线中的存在性问题、探索问题是高考常考题型之一,它是在题设条件下探索某个数学对象(点、线、数等)是否存在或某个结论是否成立.由于题目多变,解法不一,我们在平时的教学中对这类题目训练较少,因而学生遇到这类题目时,往往感到无从下手,本文针对圆锥曲线中这类问题进行了探讨．二、经验分享探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备。
要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括。
它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。
它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。
探索性问题一般可分为：条件追溯型，结论探索型、条件重组型，存在判断型，规律探究型，实验操作型。
1、条件追溯型这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断。
解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件。
在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意。
2、结论探索型这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定。
解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论。
在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论。
3、条件重组型这类问题是指给出了一些相关命题，但需对这些命题进行重新组合构成新的复合命题，或题设的结求的方向，条件和结论都需要去探求的一类问题。
此类问题更难，解题要有更强的基础知识和基本技能，需要要联想等手段。
一般的解题的思路是通过对条件的反复重新组合进行逐一探求。
应该说此类问题是真正意义上的创新思维和创造力。
4、存在判断型这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立。
圆锥曲线中的证明与存在性问题
1
1
2
同理，联立直线 BC 与抛物线 W 的方程，并消去 y 得 x ＋ x － x 0－ 02
＝0，且｜ BC ｜＝ 1 +
＝ 1+
1 1
2
+ 20 ，
1 2
−
·｜ x 2－ x 0｜＝
1+
1 2
1
−
·−
− 20
∴｜ AB ｜＋｜ BC ｜＝ 1 +
−4
−
3+2−6
−2
＝
9−6+18 −2 +4 3+2−6
，
−62 +4−8+24
−62 +4−8+24
＝ 2
＝ 2
2
9 +8 +6−12−36
9 +72−182 +6−12−36
2 −32 +2−4+12
−62 +4−8+24
｜，｜ ｜，｜ ｜成等差数列，并求该数列的公差.
(2)由题意得 F (1，0).设 P ( x 3， y 3)，
则( x 3－1， y 3)＋( x 1－1， y 1)＋( x 2－1， y 2)＝(0，0).
由(1)及题设得 x 3＝3－( x 1＋ x 2)＝1，
y 3＝－( y 1＋ y 2)＝－2 m ＜0.
圆锥曲线中的证明与存在性问题
考点一
例1
圆锥曲线中的证明问题
(2023·新高考Ⅰ卷)在直角坐标系 xOy 中，点 P 到 x 轴的距离等于点 P
圆锥曲线中的存在性问题
为解决实际问题提供更多思路和方法。
05
圆锥曲线中的体存在性问题
体在圆锥曲线上的存在性定理
1 2
圆锥曲线上的体存在性定理
在给定条件下，圆锥曲线上存在一个或多个满足 特定性质的点或物体。
适用范围
适用于椭圆、抛物线、双曲线等圆锥曲线。
3
证明方法
利用数学分析、代数和几何等工具进行证明。
体在圆锥曲线上的存在性证明
线在圆锥曲线上的存在性证明
代数证明
通过代数方法，利用圆锥曲线的 方程和导数，证明切线和割线的 存在性。这种方法需要一定的数 学基础。
几何证明
通过几何方法，利用圆锥曲线的 性质和几何关系，证明切线和割 线的存在性。这种方法需要较强 的几何直觉和推理能力。
线在圆锥曲线上的存在性应用
几何作图
利用切线和割线的存在性定理，可以方便地进行几何作图，解决一些几何问题。
定理的适用范围
适用于不同类型和形状的圆锥曲线，但需满足特定的几何条件和约 束。
定理的证明方法
通常采用代数几何、微分几何或解析几何的方法进行证明。
面在圆锥曲线上的存在性证明
01
02
03
证明过程
通过数学推导和证明，证 明在给定条件下，圆锥曲 线上确实存在满足特定性 质的平面。
关键步骤
确定合适的参数和方程， 利用代数、微分或解析技 巧进行推导和求解。
代数证明
通过代数方法，如解方程或不等 式，证明圆锥曲线上存在满足条 件的点或物体。
几何证明
利用几何性质和定理，如平行线、 相似三角形等，证明圆锥曲线上 存在满足条件的点或物体。
反证法
通过假设不存在满足条件的点或 物体，然后推导出矛盾，从而证 明存在性。
浅谈高考圆锥曲线中的存在性问题
浅谈高考圆锥曲线中的存在性问题
邹玲平吴瑾
厦门第六中学 福建厦门３６１０１２
摘要：在新课标、新考纲和新考试说明的精神指导下，高考数学科解析几何试题与以往大纲课程背景下考查形式和内容，有了显著的变化，这些试题不论在考试评价、命题研究还是高考复习，都成为专家、教师探讨的重点、热点，也是高考命题改革的一块试验田．本文通过对近几年高考数学解析几何试题存在性问题的探究来揭示这些试题是如何贯彻课程标准，反应考试说明的意图，进而思考教师在解析几何的教学与高三复习策略。
课程标准；数学高考； 解析几何；存在性问题；思考
＠＠ ［１］中华人民共和国教育部制订．普通高中数学课程标准（实验）［Ｍ］．北京：人民教育出版社２００３
＠＠ ［２福建省教育考试院编．２０１２年普通高等学校招生全国统一考试福建省数学考试说明［Ｍ］．福建：福建教育出版社２０１２
＠＠ ［３］王尚志．数学教学研究与案例［Ｍ］．北京：高等教育出版社２００６
＠＠［１］郭秀兰．构建我国现代高等教育的ＫＡＱ人才培养模式［Ｄ］．华中师范大学，２０００．
＠＠ ［２］姜运生．地方院校应用型本科人才培养模式研究与实践［Ｄ］．东北师范大学，２００６．
浅谈高考圆锥曲线中的存在性问题
作者：邹玲平， 吴瑾
作者单位：厦门第六中学 福建厦门361012
刊名：
新教育时代电子杂志（教师版）
英文刊名：New Education Era
年，卷(期)：2014(15)
本文链接：/Periodical_xjysddzzz-e201415076.aspx。
例说圆锥曲线问题中的“存在性”
点 ， Ｍ 引抛物 线 的切线 ， 过 切点 分别 为 Ａ、 ． Ｂ
一
２
— 孥 詈 口 ， ＝
一
。
・ ・
设 线 Ｂ 方 为— 一 （ Ｘ 直 Ａ 的 程 詈Ｘ １ －）
设 Ｄ（ ３ ｙ ） 由题 意 得 Ｃ（ １ ｚ １ ２ ， ｘ ，３ ， ｘ ＋ｚ ，ｙ ＋ｙ ）
则 Ｃ 的 中 点 坐标 为 Ｄ
＋ ２ Ｘｌ ｚ 一 ｚ ｐ （
。
又 ‘ Ｂ一 Ｏ， ＬＣＤ， ・ 。 Ａ Ｉ ＡＢ
‘ 一
．
直 Ｍ 的 程 ｙ ２ 詈 ３３． 线 Ｂ 方 为 ＋ｐ （ ７ 一 Ｃ０ －）
・
・
・
） ，
①
即 ． ＋ｚ 一 一 ４ 盾． １ ７ ｝ ； ｐ 矛
《 数外学习》ｏ８ ２ 语 ２０年１丹号中旬刊 ４ ５
点 Ｃ满足 一 ＋蔬 （ ０为坐标原点）若存 ．
在 ， 出所 有 适 合 题 意 的点 Ｍ 的 坐 标 ； 不 存 在 ， 求 若 请 说 明 理 由．
若 Ｄ（ａ Ｙ ） 抛 物 线 上 ， ｘ ， ｓ在
贝 ； ｐ ３ ｘ ３ Ｕ 一２ ｙ ＝２ ２ ｏ ３ ｘ．
Ｂ ） （ ２． （ ， Ｍ 秀 ｚ ＜ 一ｐ ）
由 ２， 一 一 ， ＝ｐ得 ， 詈 ｙ
‘ ・
（ 勘。于（， ｃ ，蕉， ２ ≠ Ｄ。 时（ 堑 ） ） ， 。此 去 当 对 ， ）
。 ＝
一
号 一－ 詈
丢 一
詈・ 一 一 ，
。 ・ ・
直 Ｍ 的 程 ｙ ２ 詈ＸＸ ， 线 Ａ 方 为 ＋ｐ （ Ｏ －）
【析 Ｉ 明由 意 Ａ ， ， 解 】（） ：题 设 （ ） 证
2019届高考数学二轮复习 圆锥曲线定值定点问题和存在性问题(非韦达定理类)(带解析)
m2 y0 2 n 2 x0 2 y0 2 n 2
4
M , P 在圆 C： x 2 y 2 R2 上， n2 R2 m2 , y02 R2 x02 ，
则 xE xF
m2 ( R 2 x0 2 ) ( R 2 m2 ) x0 2 R 2 (m2 x0 2 ) R2 ( R 2 x0 2 ) ( R 2 m2 ) (m2 x0 2 )
x0 2 m2 2 2 ) b (1 ) x0 b 2 (m2 x0 2 ) a2 a2 a 2 （定值） 2 2 2 x b m (m2 x0 2 ) b 2 (1 02 ) b 2 (1 2 ) 2 a a a
…………. 12 分
xE xF 是与 MN 和点 P 位置无关的定值
当 2 a ﹥2 c 时，轨迹是椭圆， 当 2 a =2 c 时，轨迹是一条线段 F1 F2 当 2 a ﹤2 c 时，轨迹不存在 焦点在 x 轴上时：
的轨迹叫双曲线.即 MF1 MF2 2a 当 2 a ﹤2 c 时，轨迹是双曲线 当 2 a =2 c 时，轨迹是两条射线 当 2 a ﹥2 c 时，轨迹不存在
x2 y2 1 a2 b2
y2 x2 1 a2 b2
焦点在 x 轴上时：
x2 y2 1 a2 b2
y2 x2 1 a2 b2
标准方 程
焦点在 y 轴上时：
焦点在哪一坐 标轴上 注：是根据项的正负来判断焦点所 在的位置 实轴长 2a，虚轴长 2b （实半轴 a ，虚半轴 b）
．
2.（静安一模理 12）已知椭圆 C :
x2 y2 1 的上、下焦点分别为 F1 、 F2 ，过椭圆 C 上一点 P(1, 2 ) 作倾斜角互 2 4
圆锥曲线中的定点,定值,存在性问题
基础训练 1. 抛物线的焦点到准线的距离为_____________2. 已知命题,命题,则下列判断正确的是( ) A. 是假命题 B. 是真命题 C. 是真命题 D.是真命题3. 设，则“”是“”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 4. 已知,若,使得,则实数的取值范围是( )A.B.C.D.5. 两定点，点在椭圆上，且满足，则为( )A. B. C.D.圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题考点一：定点问题例1：已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与 轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明直线l 过定点． [解] (1)如图，设动圆圆心O 1(x ，y )，由题意，|O 1A |＝|O 1M |，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点， ∴|O 1M |＝x 2＋42，又|O 1A |＝(x －4)2＋y 2，∴(x －4)2＋y 2＝x 2＋42，化简得y 2＝8x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明：如图，由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0， 其中Δ＝－32kb ＋64>0.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bk k 2，①x 1x 2＝b 2k 2，②因为x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0，2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③ 将①②代入③，得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0，∴k ＝－b ，此时Δ>0， ∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，∴直线l 过定点(1,0)．小结：1．求解直线和曲线过定点问题的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量x ，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x ，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．2．由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．练习：如图，已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点A (1,2)作抛物线C 的弦AP ，AQ .若AP ⊥AQ ，证明：直线PQ 过定点，并求出定点的坐标．点的坐标．解：(1)设直线PQ 的方程为x ＝my ＋n ，点P ，Q 的坐标分别为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，y 2＝4x .得y 2－4my －4n ＝0.由Δ＞0，得m 2＋n ＞0，y 1＋y 2＝4m ，y 1·y 2＝－4n . ∵AP ⊥AQ ，∴AP ·AQ ＝0，∴(x 1－1)(x 2－1)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0.又x 1＝y 214，x 2＝y 224，∴(y 1－2)(y 2－2)[(y 1＋2)(y 2＋2)＋16]＝0，∴(y 1－2)(y 2－2)＝0或(y 1＋2)(y 2＋2)＋16＝0.∴n ＝－2m ＋1或n ＝2m ＋5，∵Δ＞0恒成立．∴n ＝2m ＋5.∴直线PQ 的方程为x －5＝m (y ＋2)， ∴直线PQ 过定点(5，－2)． 考点二;定值问题例2：椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，a ＋b ＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m .证明：2m －k 为定值．[解] (1)因为e ＝32＝c a ，所以a ＝23c ，b ＝13c .代入a ＋b ＝3得，c ＝3，a ＝2，b ＝1. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：因为B (2,0)，P 不为椭圆顶点，则直线BP 的方程为y ＝k (x －2)⎝⎛⎭⎫k ≠0，k ≠±12，①把①代入x24＋y 2＝1，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1. 直线AD 的方程为：y ＝12x ＋1.②①与②联立解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋22k －1，4k 2k －1.由D (0,1)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1，N (x,0)三点共线知－4k4k 2＋1－18k 2－24k 2＋1－0＝0－1x －0，解得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －22k ＋1，0.所以MN 的斜率为m ＝4k2k －1－04k ＋22k －1－4k －22k ＋1＝4k (2k ＋1)2(2k ＋1)2－2(2k －1)2＝2k ＋14， 则2m －k ＝2k ＋12－k ＝12(定值)．小结：1．解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值． 2．求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．练习：已知抛物线y 2＝4x ，过点M (0,2)的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且直线l 与x 轴交于点C .(1)求证：|MA |，|MC |，|MB |成等比数列；(2)设MA ＝αAC ，MB ＝βBC ，试问α＋β是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．解析：(1)证明：由题意知，直线l 的斜率存在，可设直线l 的方程为：y ＝kx ＋2(k ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝4x ，消去y 并化简整理得：k 2x 2＋(4k －4)x ＋4＝0.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C ⎝⎛⎭⎫－2k ，0，则x 1＋x 2＝－4k －4k 2，x 1·x 2＝4k 2.② ∵|MA |·|MB |＝1＋k 2|x 1－0|·1＋k 2|x 2－0|＝(1＋k 2)·|x 1x 2|＝4(1＋k 2)k 2，|MC |2＝⎝⎛⎭⎫1＋k 2⎪⎪⎪⎪－2k －02＝4(1＋k 2)k2，∴|MC |2＝|MA |·|MB |， 即|MA |，|MC |，|MB |成等比数列．(2)由MA ＝αAC ，MB ＝βBC 得，(x 1，y 1－2)＝α⎝⎛⎭⎫－x 1－2k ，－y 1， (x 2，y 2－2)＝β(－x 2－2k ，－y 2)，即得：α＝－kx 1kx 1＋2，β＝－kx 2kx 2＋2，得α＋β＝－2k 2x 1x 2－2k (x 1＋x 2)k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4，由(1)中②代入得α＋β＝－1，故α＋β为定值且定值为－1.考点三：探究存在性问题例3：已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)以抛物线y 2＝8x 的焦点为顶点，且离心率为12.(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 相交于A ，B 两点，与直线x ＝－4相交于Q 点，P 是椭圆E 上一点且满足OP ＝OA ＋OB (其中O 为坐标原点)，试问在x 轴上是否存在一点T ，使得OP ·TQ 为定值？若存在，求出点T 的坐标及OP ·TQ 的值；若不存在，请说明理由． [解] (1)抛物线y 2＝8x 的焦点为椭圆E 的顶点，即a ＝2.又c a ＝12， 故c ＝1，b ＝ 3.∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12.得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0. 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋3，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6m4k 2＋3.将P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km4k 2＋3，6m 4k 2＋3代入椭圆E 的方程，得64k 2m 24(4k 2＋3)2＋36m 23(4k 2＋3)2＝1. 整理，得4m 2＝4k 2＋3.设T (t,0)，Q (－4，m －4k )．∴TQ ＝(－4－t ，m －4k )，OP ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km4k 2＋3，6m 4k 2＋3.即OP ·TQ ＝32km ＋8kmt 4k 2＋3＋6m (m －4k )4k 2＋3＝6m 2＋8km ＋8kmt 4k 2＋3.∵4k 2＋3＝4m 2，∴OP ·TQ ＝6m 2＋8km ＋8kmt 4m 2＝32＋2k (1＋t )m .要使OP ·TQ 为定值，只需⎣⎡⎦⎤2k (1＋t )m 2＝4k 2(1＋t )2m 2＝(4m 2－3)(1＋t )m 2为定值，则1＋t ＝0，∴t ＝－1，∴在x 轴上存在一点T (－1,0)，使得OP ·TQ 为定值32. 变式：本例(2)中条件变为“过椭圆E 的右焦点F 2且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于P ，Q 两点，线段OF 2上是否存在点M (m,0)使得QP ·MP ＝PQ ·MQ ？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，说明理由. 解：假设存在这样的点M 符合题意．设线段PQ 的中点为N ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，N (x 0，y 0)，直线PQ 的斜率为k (k ≠0)，注意到F 2(1,0)，则直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －1).得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，所以x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，故x 0＝x 1＋x 22＝4k 24k 2＋3，又点N 在直线PQ 上，所以N ⎝⎛⎭⎫4k 24k 2＋3，－3k 4k 2＋3.由QP ·MP ＝PQ ·MQ 可得PQ ·(MQ ＋MP )＝2PQ ·MN ＝0，即PQ ⊥MN ，所以k MN ＝0＋3k4k 2＋3m －4k 24k 2＋3＝－1k， 整理得m ＝k 24k 2＋3＝14＋3k2∈⎝⎛⎭⎫0，14，所以线段OF 2上存在点M (m,0)符合题意，其中m ∈⎝⎛⎭⎫0，14. 小结：解决存在性问题应注意以下几点存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在． (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径． 练习：1．已知椭圆C 过点M ⎝⎛⎭⎫1，62 ，点F (－2，0)是椭圆的左焦点，点P ，Q 是椭圆C 上的两个动点，且|PF |，|MF |，|QF |成等差数列．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A .解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由已知，得⎩⎨⎧1a 2＋64b 2＝1，a 2－b 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝2，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)证明：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1，可知|PF |＝ (x 1＋2)2＋y 21＝()x 1＋22＋2－x 212＝2＋22x 1，同理|QF |＝2＋22x 2，|MF |＝(1＋2)2＋⎝⎛⎭⎫622＝2＋22，∵2|MF |＝|PF |＋|QF |，∴2⎝⎛⎭⎫2＋22＝4＋22(x 1＋x 2)，∴x 1＋x 2＝2.(ⅰ)当x 1≠x 2时，由⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4.得x 21－x 22＋2(y 21－y 22)＝0， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2.设线段PQ 的中点为N (1，n )，由k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12n ，得线段PQ 的中垂线方程为y －n ＝2n (x －1)，∴(2x －1)n －y ＝0，该直线恒过一定点A ⎝⎛⎭⎫12，0. (ⅱ)当x 1＝x 2时，P ⎝⎛⎭⎫1，－62，Q ⎝⎛⎭⎫1，62或P ⎝⎛⎭⎫1，62，Q ⎝⎛⎭⎫1，－62， 线段PQ 的中垂线是x 轴，也过点A ⎝⎛⎭⎫12，0.综上，线段PQ 的中垂线过定点A ⎝⎛⎭⎫12，0. 2.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且过点(2，2)．(1)求椭圆的标准方程；＝－b 2a2.(2)四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线AC ，BD 过原点O ，若k AC ·k BD 求证：四边形ABCD 的面积为定值．解：(1)由题意e ＝c a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，又a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝8，b 2＝4，故椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋2y 2＝8.得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0，Δ＝(4km )2－4(1＋2k 2)(2m 2－8)＝8(8k 2－m 2＋4)＞0, ① 由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－81＋2k2.∵k AC ·k BD ＝－b 2a 2＝－12，∴y 1y 2x 1x 2＝－12，∴y 1y 2＝－12x 1x 2＝－12·2m 2－81＋2k 2＝－m 2－41＋2k2.又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 22m2－81＋2k 2＋km －4km 1＋2k 2＋m 2＝m 2－8k 21＋2k 2，∴－m 2－41＋2k 2＝m 2－8k 21＋2k 2，∴－(m 2－4)＝m 2－8k 2，∴4k 2＋2＝m 2. 设原点到直线AB 的距离为d ，则S △AOB ＝12|AB |·d ＝121＋k 2·|x 2－x 1|·|m |1＋k 2＝|m |2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝|m |2⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋2k 22－4×2m 2－81＋2k 2＝|m |28m 2(1＋2k 2)2＝22，∴S 四边形ABCD ＝4S △AOB ＝82，即四边形ABCD 的面积为定值．3.已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，点F 1，F 2分别为其左、右焦点，点A 为左顶点，直线l 的方程为x ＝4，过点F 2的直线l ′与椭圆交于异于点A 的P ，Q 两点．(1)求AP ·AQ 的取值范围；(2)若AP ∩l ＝M ，AQ ∩l ＝N ，求证：M ，N 两点的纵坐标之积为定值，并求出该定值． 解：(1)①当直线PQ 的斜率不存在时，由F 2(1,0)可知PQ 的方程为x ＝1，代入椭圆C ：x 24＋y 23＝1，得点P ⎝⎛⎭⎫1，32，Q ⎝⎛⎭⎫1，－32， 又点A (－2,0)，故AP ＝⎝⎛⎭⎫3，32，AQ ＝⎝⎛⎭⎫3，－32，AP ·AQ ＝274. ②当直线PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入椭圆C ：x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，得x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，y 1y 2＝k 2(x 1－1)·(x 2－1)＝k 2(－x 1－x 2＋x 1x 2＋1)＝－9k 23＋4k 2，故AP ·AQ ＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋y 1y 2＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2＝27k 23＋4k 2＝273k 2＋4∈⎝⎛⎭⎫0，274， 综上，AP ·AQ 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，274. (2)证明：由(1)知，直线AP 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，与直线l 的方程x ＝4联立，得M ⎝⎛⎭⎫4，6y 1x 1＋2，同理，得N ⎝⎛⎭⎫4，6y 2x 2＋2，故M ，N 两点的纵坐标之积y M y N ＝6y 1x 1＋2·6y 2x 2＋2＝36y 1y 2x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4. ①当直线PQ 的斜率不存在时，y M y N ＝36×32×⎝⎛⎭⎫－321×1＋2(1＋1)＋4＝－9；②当直线PQ 的斜率存在时，由(1)可知，y M y N ＝ －324k 23＋4k 24k 2－123＋4k 2＋16k 23＋4k 2＋4＝－9.综上所述，M ，N 两点的纵坐标之积为定值，该定值为－9.又k AB ＝k AD ＝－12y 0＋y 0x 0＋x 0＝y 04x 0，代入上式可得k PB ＝⎝⎛⎭⎫－14÷y 04x 0＝－x0y 0， 所以k P A k PB ＝y 0x 0·⎝⎛⎭⎫－x 0y 0＝－1，即P A ⊥P B.。
圆锥曲线综合问题—5. 存在性问题
圆锥曲线综合问题—5. 存在性问题（一）存在性问题是近几年高考试题对解析几何考查的一种热点题型，以判断满足条件的点、直线、参数是否存在，证明直线与圆锥曲线的位置关系，数量关系(等量或不等量)为主要呈现方式，多以解答题的形式考查；对这类问题，若存在，需要找出来，若不存在，需说明理由，其解法有：一、假设法 假设法的一般解法是，先假定存在，然后根据已知条件或其他定理、公理、法则等推导下去，如与已知定理、公理、法则等不发生矛盾，即推出的结果合理，并经验证成立，那么结论成立，若发生矛盾，则结论不成立。
1.（2015届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的焦距为， 且过点31(,)22A .（1）求椭圆的方程；（2）已知:1l y kx =-，是否存在k 使得点A 关于l 的对称点B （不同于点A ）在椭圆C 上？若存在求出此时直线l 的方程，若不存在说明理由.【答案】（1）2213x y +=；（2）不存在k 满足条件2. 【2015届吉林省实验中学高三上学期第四次模拟考试数学（理）】已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1；（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线l ：()y kx m k =+∈R ，使得22OA OB OA OB +=-成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）(-∞，-7]∪[7，+∞)3. （河北省容城中学2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知点A (-2,0),B (2,0),直线P A 与直线PB 的斜率之积为34-，记点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程.(2)设M ,N 是曲线C 上任意两点,且OM ON OM ON -=+，问是否存在以原点为圆心且与MN 总相切的圆?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由.【答案】（1）221(0)43x y y +=≠(2) 存在以原点为圆心且与MN 总相切的圆，其方程为22127x y +=4. 【浙江省温州八校2014届高三10月期初联考数学(理)】如图，椭圆2222+=1(>>0)x y C a b a b ：经过点3(1,),2P 离心率1=2e ，直线l 的方程为=4x .(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记,,PA PB PM 的斜率分别为123,,.k k k 问:是否存在常数λ，使得123+=.k k k λ若存在求λ的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）2λ=5. 【中原名校联盟2013-2014学年高三上期第一次摸底考试理】（本小题满分12分） 已知椭圆长轴的左右端点分别为A ，B ，短轴的上端点为M ，O 为椭圆的中心，F 为椭圆的右焦点，且AF u u u r ·FB uur ＝1，｜OF uu u r｜＝1．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（2）若直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使得点F 恰为△PQM 的垂心?若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212x y +=（2）存在，方程为43y x =-6. 【河北省邯郸市2014届高三9月摸底考试数学理科】（本题满分12分）已知定点(3,0)G -，S 是圆22:(3)72C x y -+=（C 为圆心）上的动点，SG 的垂直平分线与SC 交于点E .设点E 的轨迹为M . (1),求M 的方程； (2)是否存在斜率为1的直线l ，使得直线l 与曲线M 相交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）221189x y +=（2）y x y x =+=-7. 直线1ax y -= 与曲线2221x y -=相交于P 、Q 两点。
专题五圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题(大题)
第 4 讲 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题(大题) __________________________ 热点分类突破 __________________________-典例研撕 各吓击區-热点一 定点问题解决圆锥曲线中的定点问题应注意(1) 分清问题中哪些是定的，哪些是变动的；(2) 注意“设而不求”思想的应用，引入参变量，最后看能否把变量消去；(3) “先猜后证”，也就是先利用特殊情况确定定点，然后验证，这样在整理式子时就有了明 确的方向.例1已知P (0,2)是椭圆C ： a 2+b 2 =l (a >b >0)的一个顶点，C 的离心率e=g.(1)求椭圆的方程；⑵过点P 的两条直线l 1，l 2分别与C 相交于不同于点P 的A , B 两点，若*与12的斜率之和 为一4,则直线AB 是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.厂b = 2 ,解(1)由题意可得c =¥，a 3—2 - b 2 + c 2 ,解得a -眉,b-2 , c -辭,・•・椭圆的方程为手+芍-1. ⑵当直线AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y - kx + t ， A (x 1， y 1)， B (x 2， y 2)，y-kx + t ,联立,x 2 y 2消去y 并整理， X 2 + y 2 — 1€ 6 4' 可得(3k + 2)x 2 + 6ktx + 3t 2 - 12-0 ,- 36(kt )2 - 4 x (3k 2 + 2)⑶2 - 12)>0 ,即24(6k2－t2＋4)>0，则x i+x2_^^^- ,x i x2_3^-121 23k2+2 1 23k2+ 2由l1与l2的斜率之和为-4 , 可得y!-+ y2-_-4,x1 x2又y i = kx1 + t, y2二kx2+1 ,y1- 2 _ y2- 2 _ kx1+1 - 2 _ kx2+1 - 2 . + _ +x1 x2 x1 x2- 6kt(t - 2)・----(t - 2)(x1+ x2) 3k2 + 2_2k+1——忆 _2k+ _- 4 ,3t2 - 12x1x23k2＋2化简可得t二-k - 2 ,.*.y _ kx - k - 2 _ k(x - 1) - 2 ,•°•直线AB经过定点(1 , - 2).当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x _ m , A(m , yj , B(m , y2),y i-2,y2-2_y i+y2-4,m m m又点A， B 均在椭圆上，. A ， B 关于x 轴对称，. y i+ y2_ 0，. m_ i，故直线AB的方程为x_1 ,也过点(1 ,-2),综上直线AB经过定点，定点为(1 , - 2).跟踪演练1 (2019・攀枝花模拟)已知抛物线C：y2=2px(p>0)上一点P(4，t)(t>0)到焦点F的距离等于5.(1)求抛物线C的方程和实数t的值；(2)若过F的直线交抛物线C于不同的两点A, B(均与P不重合)，直线PA, PB分别交抛物线的准线l于点M，N.试判断以MN为直径的圆是否过点F,并说明理由.解 ⑴由抛物线定义可知I PF I 二4 f 2）二5，解得P 二2 ,故抛物线C 的方程为y 2二4x ,将P （4 , t ）（t >0）代入抛物线方程解得t 二4.⑵以MN 为直径的圆一定过点F ,理由如下：设 A （x 1， y 1）， B （x 2， y 2），设直线AB 的方程为x 二my + l （m 丘R ），代入抛物线C ：y 2 = 4x , 化简整理得y 2 - 4my -4 = 0,环2 二-4，由⑴知P （4,4）,所以直线PA 的方程为y -4二乩三(x -4)二丄三(x -4), x l - 4 my l - 3令x =-1得y 二的-5)儿+ 8, my l - 3__ - (4m - + 8、即 M - 1 , ------ 丛一,€ m y 1 -3 丿 同理可得j - 1 ,的-5汕+ 8€ m y 2 - 3 丿(4m - 5)y〔 + 8 (4m - 5)y 2 + 8 (2m - D 2y 1y 2 + (8m - 10)(y 1+y 2) + 16m 2y 1y 2- 3m (y 1+ y 2)+ 9-4(2m - |,2 + 4m (8m - 10) + 16-4m 2 - 3m ・4m + 916m 2- 9= 二-1 ,- 16m 2+ 9:.MF 丄NF , 故以MN 为直径的圆过点F .(也可用MF ・NF=0).热点二 定值问题 ：'k MF k NF2(my 1 - 3) 2(my 2 - 3)求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊情况入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.例2已知椭圆C：02+b2=l(a>b>O)经过点(0, V3),离心率为2,左、右焦点分别为厲(一c,0),F2(c,0).(1)求椭圆C的方程；3(2)P, N是C上异于M的两点，若直线PM与直线PN的斜率之积为一4证明：M, N两点的横坐标之和为常数.(1)解因为椭圆经过点(0，间，所以b =\：3 , 又因为e二2,所以V，2 a 2又C2 = a2~ b2 ,解得a 二 2 , b 二护, 所以椭圆C的方程为》+等二1.⑵证明设P , M , N三点坐标分别为(x p, y p) , (x M, y M) , (x N, y N), 设直线PM , PN斜率分别为k i, k2, 则直线pM方程为y~y p = k1(x - x P),x2+y2 二 1 由方程组,4 3' 消去y,得、y-y P二k1…x - x P(3 + 4k#)x2 - 8k1(k1x p- y p)x + 4k x p - 8k1x p y p+ 4y p - 12 二0 , 由根与系数的关系可得x +x二贴伙1Xp - yp),M p3+ 4k21故x_8k1(k1x p-y p) X_ 4k2x p- 8k”- 3x p,M_ 3 + 4* p_ 3 + 4k2 '从而 X N + X M =0，即 M ，N 两点的横坐标之和为常数 0.跟踪演练2 (2019.四川百校冲刺卷)已知椭圆C ： X 2+y 2=l 的左、右焦点分别为F ], F 2,点 P (m , n )在椭圆C 上.(1)设点P 到直线l ： x =4的距离为d 证明：韵为定值；⑵若0V m V 2, A , B 是椭圆C 上的两个动点(都不与点P 重合)，且直线PA , PB 的斜率互为 相反数，求直线AB 的斜率(结果用n 表示).(1)证明 由已知，得a 2 = 4 , b 2 = 3 , :.C 2 = a 2 - b 2=1 ,即 F 1(- 1,0)， F 2(1,0).(2)解 当0 < m < 2时，则n M 0 ,直线PA , PB 的斜率一定存在.同理可得S + Xp 二 sag 一 y p )3＋4k 22.d…l PF 2l 2 为定值.2l m - 4l设 A (X 1, y 1) , B (x 2 , y 2)，直线 PA 的斜率为 k ,则直线PA 的方程为y - n 二k (x - m ),即y-kx- km + n ,与椭圆C 的方程3x 2 + 4y 2二12 , 联立组成方程组，消去y ,整理得，(3 + 4k 2)x 2 - 8k (km - n )x + 4(km - n )2 - 12-0.工是4(km - n )2 - 12 于疋 x 二 ',y - kx, - km + n . 1 (3 + 4k 2)m I II 1根据直线PB 的斜率为-k ，将上式中的k 用-k 代替,4( - km - n )2 - 12 4(km + n )2 - 12 得x 二 - 2 [3 + 4( - k )2]m (3 + 4k 2)my 2-- kx 2+ km + n .于是 y 1 - y 2 二(kx 1 - km + n ) - (- kx 2 + km + n )- k (x 1+ x 2)- 2km(3 + 4k 2)m (3 + 4k 2)m 8(k 2m 2 + n 2)- 24 - 2m 2(3 + 4k 2) k •一(3 + 4k 2)m8n 2- 24- 6m 2注意到 3m 2+ 4n 2- 12，得 12- 4n 2- 3m 2，(3 + 4k 2)m k ，4(km - n )2 -12x 1 - x 2 -II 2 (3 + 4k 2)m 由根与系数的关系，得m ・x i4(km - n )2 - 123 + 4k 2 -k 4(km - n )2 - 12 4(km + n )2_ 2km4(km + n )2- 12 (3 + 4k 2)m 4[(km - n )2 - (km + n )2] _ - 16kmn(3 + 4k 2)m(3 + 4k 2)m 因此，直线AB 的斜率为J y^2 x 1 -x 2_ (8n2 - 24 - 6m2)k－16kmn_ 3m2- 4n2+ 12 _ 6m2 _3m_ 寸9- 3m8mn 8mn 4n 2n热点三存在性问题存在性问题的求解策略(1)若给出问题的一些特殊关系，要探索一般规律，并证明所得规律的正确性，通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括一般规律；(2)若只给出条件，求“不存在”“是否存在”等语句表述问题时，一般先对结论给出肯定存在的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，从而得出结论.例3 (2019•乐山、峨眉山联考)已知椭圆G：a2+b2=1(a>b>0)过点人(1，和点B(0，T)・⑴求椭圆G的方程；(2)设直线y=x+m与椭圆G相交于不同的两点M, N,记线段MN的中点为P,是否存在实数m,使得I BM I = I BN I?若存在，求出实数m；若不存在，请说明理由.解(1)椭圆G：a+b2_1(a>b>0)过点A,1,普…和点B(0，-1)，:.b_1 ,由丄+ — _ 1，解得。
圆锥曲线中＂是否存在＂型问题求解的若干策略
圆 的左 、右 焦 点 ，
为顶 点 的三 角形 周长 为
由 定 Ｘ２ ， 筹 ， 韦 理ｌ＝ 达 得＋羔 Ｘ 所 以
＝
４√ ＋） 一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点 ， （ １， 设
瓜
－，・ ４５ ／
．
２ １ 年第 ３ ０２ 期
福建 中学数 学
３ ７
同 理可得Ｉ ｌ４－ ｃ ＝ｘ（ Ｄ ／ ２
了突 出的成绩 ．特别是第 ５ １届国际数学奥林 匹克 （ ） Ｉ ＭＯ 竞赛的金牌， 这是我省 中学数学领域时隔十 三年后在 国际数学奥林匹克获得的最高荣誉 ．
另一方面 ， 开展数学课外活动也锻炼了教师队 伍 ，它有利于中学数学教师的专业发展 ．数学课外 活动涉及的内容十分广泛 ，难度较高 ，而且参加数 学兴趣小组 的同学大多都是数学尖子 ，这就要求指 导教师必须认真备课 ，不断收集 国内外的最新资料， 了解最新动态 ，研究命题趋势 ，深入学习有关知识 ， 拓展知识面 ，改进教学方法 ．提高 自身的数学教研 水平 ．可以说 ，开展数学课外活动也是促进数学教
证明： ・ ：１算题、 明题不一 证 样 ，需要解题者 自己作 出抉择 ．若满足条件 的对象 存在，则只需找出一个 ，问题就算解决 ；若不存在 ， 则 还 须加 以论证 ， 由于 命 题结 论 的多重 性 ，增 加 了 问题 的繁难 度 ，使不 少学 生往往对 此感到无从 入 手． 而且这种题型是近几年来高考的“ 热门” 题型 ， 尤 其 ２ １ 年更为突出，本文仅对圆锥曲线中这类问题 ００ 解法 作一 些探 究 ， 旨在抛 砖 引玉 ． １ “ 代数式辨析” 的策 略 根据题设条件 ，层层推进 ，逐步缩小范围 ，最 后结合题意 ，对代数式进行辨析，归结到一点 ．
2020新课标高考数学讲义：圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题含解析
(2)设P、M、N为抛物线上不同的三点、且PM⊥PN、若P点的横坐标为8、判断直线MN是否过定点？若是、求出定点的坐标；若不是、请说明理由．
解：(1)由题意知、直线AB的方程为y＝x＋ .
由 、得y2－3py＋ ＝0.
设A(x3、y3)、B(x4、y4)、则y3＋y4＝3p.
即(x1＋2、y1)·(x2＋2、y2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝0、
所以 ＋2× ＋4＋ ＝0、
所以7m2－16mk＋4k2＝0、
解得m1＝2k、m2＝ k、且均满足3＋4k2－m2>0、
当m1＝2k时、l的方程为y＝kx＋2k＝k(x＋2)、直线恒过点(－2、0)、与已知矛盾；
高考真题
思维方法
(20xx·高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)、直线l不过原点O且不平行于坐标轴、l与C有两个交点A、B、线段AB的中点为M.
(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
(2)若l过点 、延长线段OM与C交于点P、四边形OAPB能否为平行四边形？若能、求此时l的斜率；若不能、说明理由.
【关键2：用P点坐标表示|AN|】
所以|AN|·|BM|＝|2＋ |·|1＋ |
＝| |
＝| |
＝4.【关键3：计算|AN|·|BM|并化简得出定值】
当x0＝0时、y0＝－1、|BM|＝2、|AN|＝2、
所以|AN|·|BM|＝4.【关键4：讨论特殊情况、并计算|AN|·|BM|】
综上、|AN|·|BM|为定值.
(1)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0、b≠0)、A(x1、y1)、B(x2、y2)、M(xM、yM)．【关键1：设出直线方程及直线与椭圆交点坐标】
圆锥曲线中最值、范围、定值及存在性问题
法 、函数 法 、不 等式 法．几 何 法是根 据 图形几 何性 质
求解 的方法 ；函数 法是指 将所 求 变量 表示成 某个 相
关 变量 的 函数 ，再 求 函数 的最 值 ；不 等式 法 是 根 据
曲线 性 质及条 件建 立一个 关 于所 求 变量 的不 等式 ，
再解 不 等式求 其最 值 的方法 ．
参 考 文 献
刘 清源．构建 高效教 学 探 求数 学本 质— — 如何 解好 三 角形 ［Ｊ］．数 学教 学与研 究 ，２０１１ （３６）：７８—７９． ［２］ 覃埋 基 ．一 类解三 角形 问题 的 另一 解 法 ［Ｊ］． 数 学通 讯 ，２００３（１２）：９．
圆 锥 曲 线 中 最 值 、范 围 、定 值 及 存 在 性 问 题
·３５ ·
显然 △＝（３ｍ） 一４×３（ｍ 一３）＝３（１２一ｍ ）＞０，
故
一 １２＜ｍ＜￣／／ｌ２且 ｍ≠Ｏ．
由韦 达定 理 ，得
ｍ 一３
Ｘａ＋ｘＢ ｍ，ＹＡ＋ＹＢ 丁 ’
因此 ｌＡＢ ｌ＝ｖ／１＋ｋＡＢ Ｉ Ａ一 Ｂ Ｉ＝
【
＝
பைடு நூலகம்
·
又 因为点 Ｐ（２，１）到直 线 Ｚ的距离 为
●Ｊ寞金 龙 （绍兴市第一中学 浙江绍兴 ３１２０００）
１ 考点 回顾
圆锥 曲线中最值 、范 围、定值及存在性 问题是 历年 高考 命题 的热 点之 一．此 类 问题 涉及 的知识 面
广、综合性大、隐蔽性强 、计算量大 ，常常令考生头
疼．解决 此类 问题 常 常 要 用 到 数学 思 想 方 法 ，有 时
【△＝（一４ｍ） 一４（ｍ ＋３）＞０，
解得
圆锥曲线中存在性问题的解法探究
x1
x +1
义域，值域和对称中心．
分析 ：这两个题目可以用分离常数法求解．
(1)分离常数得 y = 2( x
1) + 3 =2+
3
,
x1
x1
所以定义域为 {x | x ≠1} ，值域为 {y | y ≠2} ,对称
中心为 {1,2} ．
(2)利用分离常数法可得
y=
3( x + 1) +1 =
3+
1
.
32
福建中学数学
2008 年第 4 期
往 都是粗心大 意所引起的． 所以笔者认 为，执行计
划 关键要做到 细心缜密．在 上一步骤中 已经做到对
问 题解答蓝图 的规划，只要 能够“执行 你的方案，
检 查每一步骤”，“清楚的 看出每一步骤 是正确的，
验回顾 波 利亚在《怎 样解题》 中的“怎样 解题表”的
2
22
pk
=
1 2
k( x1
+
x2
)
1 pk
2
x1 + x2 = p ．则
x 1
+
x 2
<
0 ，与
x 1
+
x 2
>
0 矛盾．
故不存在题设中所求的两点．
评注 ：圆锥曲线中的对称性问题、中点弦问题
是重点题型，本题涉及斜率与中点坐标的性质，利
这 种方法是把 问题当作 求解题求解 ，根据题设 先 假定曲线方程 的存在，然 后充分利用 条件进行推 导 计算，若能将 满足条件的 数学对象计 算出来，就 是 存在，否则就 是不存在， 而计算的过 程也是证明
的过程． 例 1 是否存在圆锥曲线 C ，同时满足下列两个
圆锥曲线中的综合问题(二)
p 6
,
所以
x
y
2p t2 3 2 pt , 3
p ,
3 所以 kOM=
2t = 2t 2 1
1 t 1
2t
≤
1 21
2
=
2 ,所以(kOM)max= 2
2, 2
故选 C.
三 范围问题
【例 3】 已知椭圆 C: x2 + y2 =1(a>b>0)与双曲线 x2 -y2=1 的离心率互为倒数,且直
故
y1 x1
·
y2 x2
=
k2x1x2 km x1 x2 m2
x1x2
=k2
-
8k 1
2m2 4k 2
+m2=0.
由 m≠0 得 k2= 1 ,解得 k=± 1 .又由Δ=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)=16(4k2-m2+1)>0,
4
2
得 0<m2<2,显然 m2≠1(否则 x1x2=0,x1,x2 中至少有一个为 0,直线 OM,ON 中至少
>
1 a2
+
3 4b2
知,C
不经过点
P1,所以点 P2 在 C
上.
1
因此
b2 1
a2
1,
3 4b2
1,
解得
a2 b2
4, 1.
故 C 的方程为 x2 +y2=1. 4
一 定点与定值问题
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和 为-1,证明:l过定点.
AP
的斜率为
k,k=
x2
1 4
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圆锥曲线解答题中存在性问题
121,1)1.3
123,1.2
1XOY B A O P AP BP P AP BP x M N P F x -=∆∆1.在平面直角坐标系中，点与点（关于原点对称，是动点，
且直线与的斜率之积等于-（）求动点的轨迹方程；
（）设直线和分别与直线交于点。
问：是否存在点，
使得PAB 与PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存
在，说明理由。
2.已知椭圆E 经过点A （2,3），对称轴为坐标轴，焦点F ，在轴上，离
心率e=（）求1223E F AF E ∠椭圆的方程；
（）求的角平分线所在直线l 的方程；
（）在椭圆上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；
若不存在，说明理由。
3.已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A （2,3），且点F （2,0）为其右
焦点。
（1）求椭圆C 的方程；
（2）是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线
OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由。
1122112222
12121222114.:2.
12,11A B A B B F B F x y C A A B B F F a b
A B S S C P A B OP AP PB ===⋅=如图，椭圆+=1的顶点为，，，，焦点为，，（）求椭圆的方程；
（）设n 是过原点的直线，l 是与n 垂直相交于点，与椭圆相交于两点的直线，，是否存在上述直线，使成立？若存在，
求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.
2
15.2
312
.
x C PA PB PM m -⋅=已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，且经过点（，）.过点P （2,1）的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M.(1)求椭圆C 的方程；
（2）求直线l 的方程以及点M 的坐标；
（3）是否存在过点P 的直线m 与椭圆C 相交于不同的两点A,B ，满足
？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由
226.:36,20.
1.
220.;M x y N P M Q NP G P MP NQ GQ NP G C l C A B O OS OA OB l OASB l ++==⋅==+已知圆（点），为圆上的动点，在上，在M 上，且满足，（）求点轨迹方程（）过点（，）作直线与曲线交于、两点，为原点，且是否存在直线，使四边形对角线相等?若存在，求出直线若不存在，请说明理由.
7.如图，A 、B
、22
221(0),2.
12x y a b A BC a b
O AC BC BC AC C E E P Q PC QC x PQ +=>>⊥==C 是椭圆E ：上的三点，其中点的坐标为（），过椭圆的中心，且（）求点的坐标及椭圆的方程；
（）若椭圆上存在两点、，使得直线与直线关于直线的斜率.。