2020年湖南省常德市中考数学试卷
2020年湖南省常德市中考数学试卷(附详解)
一、选择题（本大题 8 个小题，每小题 3 分，满分 24 分） 1．（3 分）（2020•常德）4 的倒数为（ ）
A．
B．2
C．1
D．﹣4
2．（3 分）（2020•常德）下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（3 分）（2020•常德）如图，已知 AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE 的度数为
解决问题：求方程 x3﹣5x+2＝0 的解为
．
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三、（本大题 2 个小题，每小题 5 分，满分 10 分） 17．（5 分）（2020•常德）计算：20+（ ）﹣1• 4tan45°．
18．（5 分）（2020•常德）解不等式组
＜①
． ②
四、（本大题 2 个小题，每小题 6 分，满分 12 分）
次．
15．（3 分）（2020•常德）如图 1，已知四边形 ABCD 是正方形，将△DAE，△DCF 分别沿
DE，DF 向内折叠得到图 2，此时 DA 与 DC 重合（A、C 都落在 G 点），若 GF＝4，EG
＝6，则 DG 的长为
．
16．（3 分）（2020•常德）阅读理解：对于 x3﹣（n2+1）x+n 这类特殊的代数式可以按下面的
且△AOB 的面积为 6，则 k＝
．
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13．（3 分）（2020•常德）4 月 23 日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随 机收集了 30 名学生每周课外阅读的时间，统计如下：
阅读时间（x 小时）
x≤3.5
湖南省常德市2020年中考数学试题
2020年湖南省常德市中考数学试卷一．选择题（共8小题）1.4的倒数为（）A. 14B. 2C. 1D. ﹣42.下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（）A. B. C. D.3.如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（）A. 70°B. 65°C. 35°D. 5°4.下列计算正确的是（）A. a2+b2＝（a+b）2B. a2+a4＝a6C. a10÷a5＝a2D. a2•a3＝a55.下列说法正确的是（）A. 明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨B. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C. 了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式D. 一组数据的众数一定只有一个6.一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（）A. 3B. 3πC. 5πD. 57.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a ﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 18.如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG 的顶点A 处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k 次移动k 个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B 处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D 处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（ ）A. C 、EB. E 、FC. G 、C 、ED. E 、C 、F二．填空题（共8小题） 9.分解因式：24xy x -=_________________．10.若代数式26x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是_____． 11.计算：92﹣1+82＝_____． 12.如图，若反比例函数y ＝k x（x ＜0）的图象经过点A ，AB ⊥x 轴于B ，且△AOB 的面积为6，则k ＝_____．13.4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如表： 阅读时间（x 小时）x ≤3.5 3.5＜x ≤5 5＜x ≤6.5 x ＞6.5 人数12 8 6 4若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为_____．14.今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是_____次．15.如图1，已知四边形ABCD 是正方形，将DAE △，DCF 分别沿DE ，DF 向内折叠得到图2，此时DA 与DC 重合（A 、C 都落在G 点），若GF ＝4，EG ＝6，则DG 的长为_____．16.阅读理解：对于x 3﹣（n 2+1）x +n 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x 3﹣（n 2+1）x +n ＝x 3﹣n 2x ﹣x +n ＝x （x 2﹣n 2）﹣（x ﹣n ）＝x （x ﹣n ）（x +n ）﹣（x ﹣n ）＝（x ﹣n ）（x 2+nx ﹣1）．理解运用：如果x 3﹣（n 2+1）x +n ＝0，那么（x ﹣n ）（x 2+nx ﹣1）＝0，即有x ﹣n ＝0或x 2+nx ﹣1＝0， 因此，方程x ﹣n ＝0和x 2+nx ﹣1＝0的所有解就是方程x 3﹣（n 2+1）x +n ＝0的解．解决问题：求方程x 3﹣5x +2＝0的解为_____．三．解答题（共10小题）17.计算：20+（13）﹣14﹣4tan45°． 18.解不等式组2142311323x x x x -<+⎧⎪⎨+-≤⎪⎩①②． 19.先化简，再选一个合适的数代入求值：（x +1﹣79x x -）÷29x x-． 20.第5代移动通信技术简称5G ，某地已开通5G 业务，经测试5G 下载速度是4G 下载速度的15倍，小明和小强分别用5G 与4G 下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G 与5G 的下载速度分别是每秒多少兆？21.已知一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象经过A （3，18）和B （﹣2，8）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象与反比例函数y ＝m x（m ≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标． 22.如图1是自动卸货汽车卸货时状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC 的底部支撑点B 在水平线AD 的下方，AB 与水平线AD 之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD 成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，2≈1.41）23.今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．24.如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且EF＝EC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．25.如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，94）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A，M（32，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．26.已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE ＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．答案一．选择题（共8小题）1.A根据倒数的定义进行解答即可.【详解】4的倒数为14．故选：A．2.C根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项逐个分析判断即可解答.【详解】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：C．3.B作CF∥AB，根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，从而可得∠BCE的度数，本题得以解决．【详解】作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥DE，∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，∵∠1＝30°，∠2＝35°，∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，∴∠BCE＝65°，故选：B．4.【详解】解：A、a2+2ab+b2＝（a+b）2，原计算错误，故此选项不符合题意；B、a2与a4不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；C、a10÷a5＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；D、a2•a3＝a5，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D ．此题主要考查幂与整式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．5.C根据必然事件的概念、众数的定义、随机事件的概率逐项分析即可得出答案．【详解】解：A 、明天的降水概率为80%，则明天下雨可能性较大，故本选项错误；B 、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是12，故本选项错误； C 、了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式，故本选项正确；D 、一组数据的众数不一定只有一个，故本选项错误；故选：C ．此题主要考查统计与概率的定义，解题的关键是熟知概率的定义、统计调查的方法及众数的定义． 6.这个圆锥的侧面积＝12． 故选：C ．此题主要考查圆锥的侧面积，解题的关键是熟知母线的定义及圆锥侧面积的公式．7.B【分析】先由抛物线与x 轴的交点个数判断出结论①，先由抛物线的开口方向判断出a ＜0，进而判断出b ＞0，再用抛物线与y 轴的交点的位置判断出c ＞0，判断出结论②，利用抛物线的对称轴为x ＝2，判断出结论③，最后用x ＝﹣2时，抛物线在x 轴下方，判断出结论④，即可得出结论．【详解】解：由图象知，抛物线与x 轴有两个交点，∴方程ax 2+bx +c ＝0有两个不相等的实数根，∴b 2﹣4ac ＞0，故①正确， 由图象知，抛物线的对称轴直线为x ＝2， ∴﹣2b a＝2， ∴4a +b ＝0，故③正确，由图象知，抛物线开口方向向下，∴a ＜0，∵4a +b ＝0，∴b ＞0，而抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，∴c ＞0，∴abc ＜0，故②正确，由图象知，当x ＝﹣2时，y ＜0，∴4a ﹣2b +c ＜0，故④错误，即正确的结论有3个，故选：B ．此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知各系数与图像的关系．8.D 设顶点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k 次后走过的总格数是1+2+3+…+k ＝12k （k +1），然后根据题目中所给的第k 次依次移动k 个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．【详解】设顶点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k 次后走过的总格数是1+2+3+…+k ＝12k （k +1），应停在第12k （k +1）﹣7p 格， 这时P 是整数，且使0≤12k （k +1）﹣7p ≤6，分别取k ＝1，2，3，4，5，6，7时， 12k （k +1）﹣7p ＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋， 若7＜k ≤2020，设k ＝7+t （t ＝1，2，3）代入可得，12k （k +1）﹣7p ＝7m +12t （t +1）， 由此可知，停棋的情形与k ＝t 时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C ，E 和F 棋子不可能停到．故选：D ．本题考查的是探索图形、数字变化规律，从图形中提取信息，转化为数字信息，探索数字变化规律是解答的关键.二．填空题（共8小题）9.x （y+2）（y-2）首先提公因式x ，然后利用平方差公式分解即可；【详解】解：224)4(2)((2)x y x y y y x x --+-==故答案为：x （y+2）（y-2）本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解止． 10.x ＞3本题考查二次根式是否有意义以及分式是否有意义，按照对应自变量要求求解即可．【详解】因为二次根式有意义必须满足被开方数为非负数所以有260x -≥．又因为分式分母不为零所以260x -≠．故综上：26x -＞0则：3x ＞．故答案为：x ＞3二次根式以及分式的结合属于常见组合，需要着重注意分母不为零的隐藏陷阱．直接化简二次根式进而合并得出答案．＝故答案为：本题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解答的关键.12.﹣12根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题．【详解】解：∵AB ⊥OB ，∴S △AOB ＝||2k ＝6， ∴k ＝±12， ∵反比例函数的图象在二四象限，∴k ＜0，∴k ＝﹣12，故答案为﹣12．此题主要考查反比例函数的图像与性质，解题的关键是熟知反比例函数比例系数的几何意义．13.400用总人数×每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数所占的百分比即可得到结论．【详解】解：1200×6412864++++＝400（人）， 答：估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为400人．故答案为：400．本题主要考查了用样本所占百分比估算总体的数量的知识．正确的理解题意是解题的关键．14.4设李红出门没有买到口罩的次数是x ，买到口罩的次数是y ，根据买口罩的次数是10次和家里现有口罩35只，可列出关于x 和y 的二元一次方程组，求解即可．【详解】解：设李红出门没有买到口罩的次数是x ，买到口罩的次数是y ，由题意得：1015110535x y y +=⎧⎨-⨯+=⎩， 整理得：10530x y y +=⎧⎨=⎩， 解得：46x y =⎧⎨=⎩． 故答案为：4．此题主要考查二元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出方程组求解．15.12 设正方形ABCD 的边长为x ，由翻折及已知线段的长，可用含x 的式子分别表示出BE 、BF 及EF 的长；在Rt BEF △中，由勾股定理得关于x 的方程，解得x 的值，即为DG 的长．【详解】设正方形ABCD 的边长为x ，则AB BC DC DA x ====，90B ∠=︒由翻折的性质得：DG DA DC x ===，AE EG =，CF GF =∵4,6GF EG ==∴6AE =，4CF =，10EF GF EG =+=∴6BE AB AE x =-=-，4BF BC CF x =-=-如图，在Rt BEF △中，由勾股定理得：222BE BF EF +=即222(6)1()04x x -=+- 整理得：210240x x --=，即(12)(2)0x x -+=解得12x =或2x =-（不符题意，舍去）则12DG =故答案为：12．本题考查了正方形的性质、翻折的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握翻折的性质是解题关键．16.x＝2或x＝﹣2或x＝﹣12将原方程左边变形为x3﹣4x﹣x+2＝0，再进一步因式分解得（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，据此得到两个关于x的方程求解可得．【详解】解：∵x3﹣5x+2＝0，∴x3﹣4x﹣x+2＝0，∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，解得x＝2或x＝﹣12±故答案为：x＝2或x＝﹣2或x＝﹣12．此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到解方程的方法．三．解答题（共10小题）17.先计算204（13）﹣1、tan45°，再按运算顺序求值即可．【详解】20+（13）﹣14﹣4tan45°＝1+3×2﹣4×1＝1+6﹣4＝3．本题考查了零指数、负整数指数幂、特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式的运算及特殊角的三角函数值是解决本题的关键．18.【详解】解：2142311323x xxx-<+⎧⎪⎨+-≤⎪⎩①②，由①得：x＜5，由②得：x ≥﹣1，不等式组的解集为：﹣1≤x ＜5．此题主要考查不等式组的求解，解题的关键是熟知不等式的性质．19.【详解】解：（x +1﹣79x x -）÷29x x- ＝(1)(79)(3)(3)x x x x x x x +--⋅+- ＝279(3)(3)x x x x x +-++- ＝2(3)(3)(3)x x x -+- ＝33x x -+， 当x ＝2时，原式＝2323-+＝﹣15． 此题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟知分式的运算法则．20.【详解】解：设该地4G 的下载速度是每秒x 兆，则该地5G 的下载速度是每秒15x 兆， 由题意得：600x ﹣60015x＝140， 解得：x ＝4，经检验：x ＝4是原分式方程的解，且符合题意，15x =15×4＝60，答：该地4G 的下载速度是每秒4兆，则该地5G 的下载速度是每秒60兆．本题主要考察的是分式方程的应用；解答此题，首先确定5G 与4G 下载的速度关系，在根据题意找出下载600兆的公益片所用时间的等量关系，是解答此题的关键．21.【详解】解：（1）把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y ＝kx +b （k ≠0），得31828k b k b +=⎧⎨-+=⎩， 解得212k b =⎧⎨=⎩， ∴一次函数的解析式为y ＝2x +12；（2）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝m x（m≠0）的图象只有一个交点，∴212y xmyx=+⎧⎪⎨=⎪⎩只有一组解，即2x2+12x﹣m＝0有两个相等的实数根，∴△＝122﹣4×2×（﹣m）＝0，∴m＝-18．把m＝-18代入求得该方程的解为：x＝-3，把x＝-3代入y＝2x+12得：y＝6，即所求的交点坐标为（-3，6）．本题主要考查了用待定系数法确定一次函数的解析式，运用判别式△求两个不同函数的交点坐标；特别地，小题（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式，运用只有一个交点时△＝0的知识点，是解答本小题关键所在．22.【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，∵在Rt△ACE中，∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°，∴cos C＝cos70°＝CEAC，即CE＝AC×cos70°≈2×0.34＝0.68，sin C＝sin70°＝AEAC，AE＝AC×sin70°≈2×0.94＝1.88，又∵在Rt△AEB中，∠ABC＝45°，∴△AEB是等腰直角三角形∴AE＝BE，∴BC＝BE+CE＝0.68+1.88＝2.56≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．本题考查了运用锐角三角函数解直角三角形，正确做出辅助线、构造合适的直角三角形是解答本题的关键．23.（1）160人；（2）100万元；（3）2.15万；（4）1 10（1）因为总人数已知，由轻症患者所占的百分比即可求出其的人数；（2）求出该市危重症患者所占的百分比，即可求出其共花费的钱数；（3）用加权平均数公式求出各种患者的平均费用即可；（4）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中B、D两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】解：（1）轻症患者的人数＝200×80%＝160（人）；（2）该市为治疗危重症患者共花费钱数＝200×（1﹣80%﹣15%）×10＝100（万元）；（3）所有患者的平均治疗费用＝1.51603(20015%)100200⨯+⨯⨯+＝2.15（万元）；（4）列表得：A B C D EA （B，A）（C，A）（D，A）（E，A）B （A，B）（C，B）（D，B）（E，B）C （A，C）（B，C）（D，C）（E，C）D （A，D）（B，D）（C，D）（E，D）E （A，E）（B，E）（C，E）（D，E）由列表格，可知：共有20种等可能的结果，恰好选中B、D两位同学的有2种情况，∴P（恰好选中B、D）＝220＝110．此题主要考查统计与概率，解题的关键是熟知列表的方法及概率公式的应用．24.【详解】解：（1）连接OC，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∵DE⊥AB，∴∠OBC+∠DFB＝90°，∵EF＝EC，∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB，∴∠OCB+∠ECF＝90°，∴OC⊥CE，∴EC是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OB＝5，∴AB＝10，∴AC6，∵cos∠ABC＝BD BC BF AB=，∴8410BF=，∴BF＝5，∴CF＝BC﹣BF＝3，∵∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BFD＝90°，∴∠BFD＝∠A，∴∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∴△OAC∽△ECF，∴EC CF OA AC=，∴EC＝OA CFAC⋅＝536⨯＝52．此题主要考查切线的判定与性质与相似三角形综合，解题的关键是熟知切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质．25.（1）y＝14x2；（2）见解析；（3）P（﹣1，2+2）或（﹣，2﹣2）或（﹣2，1）．（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）构建方程组确定点B的坐标，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（3）如图2中，设P（t，14t2），根据PD＝CD构建方程求出t即可解决问题．【详解】解：（1）把点A（﹣3，94）代入y＝ax2，得到94＝9a，∴a＝14，∴抛物线的解析式为y＝14x2．（2）设直线l的解析式为y＝kx+b，则有934302k b k b⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得1234k b⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线l的解析式为y＝﹣12x+34，令x＝0，得到y＝34，∴C（0，34），由2141324y xy x⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得114xy=⎧⎪⎨=⎪⎩或394xy=-⎧⎪⎨=⎪⎩，∴B（1，14），如图1中，过点A作AA1⊥x轴于A1，过B作BB1⊥x轴于B1，则BB1∥OC∥AA1，∴BMMC＝1MBMO＝31232-＝13，MCMA＝1MOMA＝323(3)2--＝13，∴BMMC＝MCMA，即MC2＝MA•MB．（3）如图2中，设P（t，14t2）∵OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，∴PD∥OC，PD＝OC，∴D（t，﹣12t+34），∴|14t2﹣（﹣12t+34）|＝34，整理得：t2+2t﹣6＝0或t2+2t＝0，解得t＝﹣1717或﹣2或0（舍弃），∴P（﹣17，7）或（﹣7，27）或（﹣2，1）．此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、平行线分线段成比例的性质．26.【详解】证明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°∴∠A＝90°﹣30°＝60°同理∠EDF＝60°∴∠A＝∠EDF＝60°∴AC∥DE∴∠DMB＝∠ACB＝90°∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC∥DM∴12 BM BD BC AB==即M是BC的中点∵EP＝CE，即E是PC的中点∴ED∥BP∴∠CBP＝∠DMB＝90°∴△CBP是直角三角形∴BE＝12PC＝EP②∵∠ABC＝∠DFE＝30°∴BC∥EF由①知：∠CBP＝90°∴BP⊥EF∵EB＝EP∴EF是线段BP的垂直平分线∴PF＝BF∴∠PFE＝∠BFE＝30°（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP∴△QEP≌△DEC（SAS）则PQ＝DC＝DB∵QE＝DE，∠DEF＝90°∴EF是DQ的垂直平分线∴QF＝DF∵CD＝AD∴∠CDA＝∠A＝60°∴∠CDB＝120°∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP∴△FQP≌△FDB（SAS）∴∠QFP＝∠BFD∵EF是DQ的垂直平分线∴∠QFE＝∠EFD＝30°∴∠QFP+∠EFP＝30°∴∠BFD+∠EFP＝30°本题考点较多，涉及平行与角等的互推，垂直平分线的应用，全等的证明，特殊角度的利用，难度主要在于辅助线的构造，该类型题目必须多做专题训练以培养题感．。
2020年湖南省常德市中考数学试题(含答案)
2020年湖南省常德市中考数学试卷一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）4的倒数为（）A．B．2C．1D．﹣4 2．（3分）下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（）A．B．C．D．3．（3分）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（）A．70°B．65°C．35°D．5°4．（3分）下列计算正确的是（）A．a2+b2＝（a+b）2B．a2+a4＝a6C．a10÷a5＝a2D．a2•a3＝a55．（3分）下列说法正确的是（）A．明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式D．一组数据的众数一定只有一个6．（3分）一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（）A．100πB．200πC．100πD．200π7．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．18．（3分）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B 处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．（3分）分解因式：xy2﹣4x＝．10．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．11．（3分）计算：﹣+＝．12．（3分）如图，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB 的面积为6，则k＝．13．（3分）4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如下：阅读时间（x小时）x≤3.5 3.5＜x≤55＜x≤6.5x＞6.5人数12864若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为．14．（3分）今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是次．15．（3分）如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为．16．（3分）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．（5分）计算：20+（）﹣1•﹣4tan45°．18．（5分）解不等式组．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．（6分）先化简，再选一个合适的数代入求值：（x+1﹣）÷．20．（6分）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G 下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．（7分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（3，18）和B（﹣2，8）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．22．（7分）如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．（8分）今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E 五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．24．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB 于D，DE交BC于F，且EF＝EC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A，M（，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D 的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．26．（10分）已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．2020年湖南省常德市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）4的倒数为（）A．B．2C．1D．﹣4【分析】根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，求倒数的方法，是把一个数的分子和分母互换位置即可，是带分数的化成假分数，再把分子分母互换位置，据此解答．【解答】解：4的倒数为．故选：A．【点评】本题主要考查倒数的意义．解题的关键倒数的意义，注意求倒数的方法，把分子分母互换位置．2．（3分）下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后完全可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分完全重合．3．（3分）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（）A．70°B．65°C．35°D．5°【分析】根据平行线的性质和∠1＝30°，∠2＝35°，可以得到∠BCE的度数，本题得以解决．【解答】解：作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥DE，∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，∵∠1＝30°，∠2＝35°，∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，∴∠BCE＝65°，故选：B．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．4．（3分）下列计算正确的是（）A．a2+b2＝（a+b）2B．a2+a4＝a6C．a10÷a5＝a2D．a2•a3＝a5【分析】根据完全平方公式、合并同类项法则、同底数幂的乘除法计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、a2+2ab+b2＝（a+b）2，原计算错误，故此选项不符合题意；B、a2与a4不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；C、a10÷a5＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；D、a2•a3＝a5，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D．【点评】此题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．（3分）下列说法正确的是（）A．明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式D．一组数据的众数一定只有一个【分析】根据必然事件的概念、众数的定义、随机事件的概率逐项分析即可得出答案．【解答】解：A、明天的降水概率为80%，则明天下雨可能性较大，故本选项错误；B、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是，故本选项错误；C、了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式，故本选项正确；D、一组数据的众数不一定只有一个，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了必然事件的概念、众数的定义、求随机事件的概率，解题的关键是熟练掌握众数的定义以及求随机事件的概率．6．（3分）一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（）A．100πB．200πC．100πD．200π【分析】先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．【解答】解：这个圆锥的母线长＝＝10，这个圆锥的侧面积＝×2π×10×10＝100π．故选：C．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．7．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1【分析】先由抛物线与x周董交点个数判断出结论①，利用抛物线的对称轴为x＝2，判断出结论②，先由抛物线的开口方向判断出a＜0，进而判断出b＞0，再用抛物线与y 轴的交点的位置判断出c＞0，判断出结论③，最后用x＝﹣2时，抛物线在x轴下方，判断出结论④，即可得出结论．【解答】解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴直线为x＝2，∴﹣＝2，∴4a+b＝0，故③正确，由图象知，抛物线开口方向向下，∴a＜0，∵4a+b＝0，∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴abc＜0，故②正确，由图象知，当x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，故④错误，即正确的结论有3个，故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数图形与系数的关系，抛物线与y轴的交点，抛物线的对称轴，掌握抛物线的性质是解本题的关键．8．（3分）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B 处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F【分析】设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），然后根据题目中所给的第k次依次移动k个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．【解答】解：经实验或按下方法可求得顶点C，E和F棋子不可能停到．设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），应停在第k（k+1）﹣7p 格，这时P是整数，且使0≤k（k+1）﹣7p≤6，分别取k＝1，2，3，4，5，6，7时，k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7＜k≤2020，设k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得，k（k+1）﹣7p＝7m+t（t+1），由此可知，停棋的情形与k＝t时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到．故选：D．【点评】本题考查规律型：图形的变化类，理解题意能力，关键是知道棋子所停的规则，找到规律，然后得到不等式求解．二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．（3分）分解因式：xy2﹣4x＝x（y+2）（y﹣2）．【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝x（y2﹣4）＝x（y+2）（y﹣2），故答案为：x（y+2）（y﹣2）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．10．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x＞3．【分析】根据二次根式有意义的条件可得2x﹣6＞0，再解即可．【解答】解：由题意得：2x﹣6＞0，解得：x＞3，故答案为：x＞3．【点评】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．11．（3分）计算：﹣+＝3．【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案．【解答】解：原式＝﹣+2＝3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．12．（3分）如图，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB 的面积为6，则k＝﹣12．【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题．【解答】解：∵AB⊥OB，＝＝6，∴S△AOB∴k＝±12，∵反比例函数的图象在二四象限，∴k＜0，∴k＝﹣12，故答案为﹣12．【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13．（3分）4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如下：阅读时间（x小时）x≤3.5 3.5＜x≤55＜x≤6.5x＞6.5人数12864若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为400人．【分析】用总人数×每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数所占的百分比即可得到结论．【解答】解：1200×＝400（人），答：估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为400人．【点评】本题考查了频数（率）分布表，用样本估计总体，正确的理解题意是解题的关键．14．（3分）今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是4次．【分析】设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，根据买口罩的次数是10次和家里现有口罩35只，可列出关于x和y的二元一次方程组，求解即可．【解答】解：设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，由题意得：，整理得：，解得：．故答案为：4．【点评】本题考查了二元一次方程组在实际问题中的应用，本题数量关系清晰，难度不大．15．（3分）如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为12．【分析】设正方形ABCD的边长为x，由翻折及已知线段的长，可用含x的式子分别表示出BE、BF及EF的长；在Rt△BEF中，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值，即为DG的长．【解答】解：设正方形ABCD的边长为x，由翻折可得：DG＝DA＝DC＝x，∵GF＝4，EG＝6，∴AE＝EG＝6，CF＝GF＝4，∴BE＝x﹣6，BF＝x﹣6，EF＝6+4＝10，如图1所示：在Rt△BEF中，由勾股定理得：BE2+BF2＝EF2，∴（x﹣6）2+（x﹣4）2＝102，∴x2﹣12x+36+x2﹣8x+16＝100，∴x2﹣10x﹣24＝0，∴（x+2）（x﹣12）＝0，∴x1＝﹣2（舍），x2＝12．∴DG＝12．故答案为：12．【点评】本题主要考查了翻折变换、正方形的性质、勾股定理及解一元二次方程，数形结合并明确相关性质及定理是解题的关键．16．（3分）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．【分析】将原方程左边变形为x3﹣4x﹣x+2＝0，再进一步因式分解得（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，据此得到两个关于x的方程求解可得．【解答】解：∵x3﹣5x+2＝0，∴x3﹣4x﹣x+2＝0，∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，解得x＝2或x＝﹣1，故答案为：x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．【点评】本题主要考查因式分解的应用，因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．（5分）计算：20+（）﹣1•﹣4tan45°．【分析】先计算20、、（）﹣1、tan45°，再按运算顺序求值即可．【解答】解：原式＝1+3×2﹣4×1＝1+6﹣4＝3．【点评】本题考查了零指数、负整数指数幂、特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式的运算及特殊角的三角函数值是解决本题的关键．18．（5分）解不等式组．【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集．【解答】解：，由①得：x＜5，由②得：x≥﹣1，不等式组的解集为：﹣1≤x＜5．【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的确定方法：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．（6分）先化简，再选一个合适的数代入求值：（x+1﹣）÷．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（x+1﹣）÷＝＝＝＝，当x＝2时，原式＝＝﹣．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．20．（6分）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G 下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？【分析】首先设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，根据题意可得等量关系：4G下载600兆所用时间﹣5G下载600兆所用时间＝140秒．然后根据等量关系，列出分式方程，再解即可．【解答】解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，由题意得：﹣＝140，解得：x＝4，经检验：x＝4是原分式方程的解，且符合题意，15×4＝60，答：该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是每秒60兆．【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数列出方程．五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．（7分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（3，18）和B（﹣2，8）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．【分析】（1）直接把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y＝kx+b中可得关于k、b的方程组，再解方程组可得k、b的值，进而求出一次函数的解析式；（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式，根据题意得到△＝0，解方程即可得到结论．【解答】解：（1）把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y＝kx+b（k≠0），得，解得，∴一次函数的解析式为y＝2x+12；（2）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，∴只有一组解，即2x2+12x﹣m＝0有两个相等的实数根，∴△＝122﹣4×2×（﹣m）＝0，∴m＝﹣18．把m＝﹣18代入求得该方程的解为：x＝﹣3，把x＝﹣3代入y＝2x+12得：y＝6，即所求的交点坐标为（﹣3，6）．【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．22．（7分）如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）【分析】直接过点C作CF⊥AB于点F，利用锐角三角函数关系得出CF的长，进而得出BC的长．【解答】方法一：解：如图1，过点C作CF⊥AB于点F，在Rt△ACF中，∵sin∠CAB＝sin（60°+5°）＝sin65°＝，∴CF＝AC•sin65°≈2×0.91＝1.82，在Rt△BCF中，∵∠ABC＝45°，∴CF＝BF，∴BC＝CF＝1.41×1.82＝2.5662≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．方法二：解：如图2，过点A作AE⊥BC于点E，在Rt△ACE中，∵∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°，∴cos C＝cos70°＝，即CE＝AC×cos70°≈2×0.34＝0.68，sin C＝sin70°＝，即AE＝AC×sin70°≈2×0.94＝1.88，又∵在Rt△AEB中，∠ABC＝45°，∴AE＝BE，∴BC＝BE+CE＝0.68+1.88＝2.56≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．（8分）今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E 五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．【分析】（1）因为总人数已知，由轻症患者所占的百分比即可求出其的人数；（2）求出该市危重症患者所占的百分比，即可求出其共花费的钱数；（3）用加权平均数公式求出各种患者的平均费用即可；（4）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中B、D两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）轻症患者的人数＝200×80%＝160（人）；（2）该市为治疗危重症患者共花费钱数＝200×（1﹣80%﹣15%）×10＝100（万元）；（3）所有患者的平均治疗费用＝＝2.15（万元）；（4）列表得：A B C D EA（B，A）（C，A）（D，A）（E，A）B（A，B）（C，B）（D，B）（E，B）C（A，C）（B，C）（D，C）（E，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（E，D）E（A，E）（B，E）（C，E）（D，E）由列表格，可知：共有20种等可能的结果，恰好选中B、D两位同学的有2种情况，∴P（恰好选中B、D）＝＝．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及条形统计图的应用．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．24．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB 于D，DE交BC于F，且EF＝EC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．【分析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得∠OCB+∠ECF＝90°，可证EC是⊙O的切线；（2）由勾股定理可求AC＝6，由锐角三角函数可求BF＝5，可求CF＝3，通过证明△OAC ∽△ECF，可得，可求解．【解答】解：（1）连接OC，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∵DE⊥AB，∴∠OBC+∠DFB＝90°，∵EF＝EC，∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB，∴∠OCB+∠ECF＝90°，∴OC⊥CE，∴EC是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OB＝5，∴AB＝10，∴AC＝＝＝6，∵cos∠ABC＝，∴，∴BF＝5，∴CF＝BC﹣BF＝3，∵∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BFD＝90°，∴∠BFD＝∠A，∴∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∴△OAC∽△ECF，∴，∴EC＝＝＝．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，切线的判定和性质，锐角三角函数等知识，证明△OAC∽△ECF是本题的关键．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A，M（，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D 的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）构建方程组确定点B的坐标，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（3）如图2中，设P（t，t2），根据PD＝CD构建方程求出t即可解决问题．【解答】解：（1）把点A（﹣3，）代入y＝ax2，得到＝9a，∴a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2．（2）设直线l的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线l的解析式为y＝﹣x+，令x＝0，得到y＝，∴C（0，），由，解得或，∴B（1，），如图1中，过点A作AA1⊥x轴于A1，过B作BB1⊥x轴于B1，则BB1∥OC∥AA1，∴＝＝＝，＝＝＝，∴＝，即MC2＝MA•MB．（3）如图2中，设P（t，t2）∵OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，∴PD∥OC，PD＝OC，∴D（t，﹣t+），∴|t2﹣（﹣t+）|＝，整理得：t2+2t﹣6＝0或t2+2t＝0，解得t＝﹣1﹣或﹣1＝或﹣2或0（舍弃），∴P（﹣1﹣，2+）或（﹣1+，2﹣）或（﹣2，1）．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．26．（10分）已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．【分析】（1）①证明△CBP是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论；②根据同位角相等可得BC∥EF，由平行线的性质得BP⊥EF，可得EF是线段BP的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，证明△QEP≌△DEC（SAS），则PQ＝DC＝DB，由QE＝DE，∠DEF＝90°，知EF是DQ的垂直平分线，证明△FQP ≌△FDB（SAS），再由EF是DQ的垂直平分线，可得结论．【解答】证明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝90°﹣30°＝60°，同理∠EDF＝60°，∴∠A＝∠EDF＝60°，∴AC∥DE，∴∠DMB＝∠ACB＝90°，∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC∥DM，∴，即M是BC的中点，∵EP＝CE，即E是PC的中点，∴ED∥BP，∴∠CBP＝∠DMB＝90°，∴△CBP是直角三角形，∴BE＝PC＝EP；②∵∠ABC＝∠DFE＝30°，∴BC∥EF，由①知：∠CBP＝90°，∴BP⊥EF，∵EB＝EP，∴EF是线段BP的垂直平分线，∴PF＝BF，∴∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP，∴△QEP≌△DEC（SAS），则PQ＝DC＝DB，∵QE＝DE，∠DEF＝90°∴EF是DQ的垂直平分线，∴QF＝DF，∵CD＝AD，∴∠CDA＝∠A＝60°，∴∠CDB＝120°，∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP，∴△FQP≌△FDB（SAS），∴∠QFP＝∠BFD，∵EF是DQ的垂直平分线，∴∠QFE＝∠EFD＝30°，∴∠QFP+∠EFP＝30°，∴∠BFD+∠EFP＝30°．【点评】本题是三角形的综合题，考查了平行线分线段成比理、勾股定理、三角形全等的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，难度适中，属于中考常考题型．。
2020年湖南省常德市中考数学试卷
2020年湖南省常德市中考数学试卷一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）4的倒数为（）A．B．2C．1D．﹣42．（3分）下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（）A．B．C．D．3．（3分）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（）A．70°B．65°C．35°D．5°4．（3分）下列计算正确的是（）A．a2+b2＝（a+b）2B．a2+a4＝a6C．a10÷a5＝a2D．a2•a3＝a55．（3分）下列说法正确的是（）A．明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式D．一组数据的众数一定只有一个6．（3分）一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（）A．100πB．200πC．100πD．200π7．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．18．（3分）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B 处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．（3分）分解因式：xy2﹣4x＝．10．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．11．（3分）计算：﹣+＝．12．（3分）如图，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB 的面积为6，则k＝．13．（3分）4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如下：阅读时间（x小时）x≤3.5 3.5＜x≤55＜x≤6.5x＞6.5人数12864若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为．14．（3分）今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是次．15．（3分）如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为．16．（3分）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．（5分）计算：20+（）﹣1•﹣4tan45°．18．（5分）解不等式组．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．（6分）先化简，再选一个合适的数代入求值：（x+1﹣）÷．20．（6分）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G 下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．（7分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（3，18）和B（﹣2，8）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．22．（7分）如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．（8分）今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E 五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．24．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB 于D，DE交BC于F，且EF＝EC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A，M（，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D 的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．26．（10分）已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．。
2020年湖南省常德市中考数学试题及参考答案(word解析版)
2020年湖南省常德市中考数学试题及参考答案与解析（本试题卷共七道大题，满分120分，考试时量120分钟）一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．4的倒数为（）A．B．2 C．1 D．﹣42．下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（）A．B．C．D．3．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（）A．70°B．65°C．35°D．5°4．下列计算正确的是（）A．a2+b2＝（a+b）2B．a2+a4＝a6C．a10÷a5＝a2D．a2•a3＝a55．下列说法正确的是（）A．明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式D．一组数据的众数一定只有一个6．一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（）A．100π B．200π C．100π D．200π7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．18．如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．分解因式：xy2﹣4x＝．10．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．11．计算：﹣+＝．12．如图，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为6，则k＝．13．4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如下：阅读时间（x小时）x≤3.5 3.5＜x≤5 5＜x≤6.5 x＞6.5人数12 8 6 4 若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为．14．今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是次．15．如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为．16．阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x ﹣n）（x2+nx﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．（5分）计算：20+（）﹣1•﹣4tan45°．18．（5分）解不等式组．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．（6分）先化简，再选一个合适的数代入求值：（x+1﹣）÷．20．（6分）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．（7分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（3，18）和B（﹣2，8）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．22．（7分）如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．（8分）今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．24．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且EF＝EC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A，M（，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．26．（10分）已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．参考答案与解析一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．4的倒数为（）A．B．2 C．1 D．﹣4【知识考点】倒数．【思路分析】根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，求倒数的方法，是把一个数的分子和分母互换位置即可，是带分数的化成假分数，再把分子分母互换位置，据此解答．【解题过程】解：4的倒数为．故选：A．【总结归纳】本题主要考查倒数的意义．解题的关键倒数的意义，注意求倒数的方法，把分子分母互换位置．2．下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（）A．B．C．D．【知识考点】轴对称图形；中心对称图形．【思路分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解题过程】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：C．【总结归纳】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后完全可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分完全重合．3．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（）A．70°B．65°C．35°D．5°【知识考点】平行线的性质．【思路分析】根据平行线的性质和∠1＝30°，∠2＝35°，可以得到∠BCE的度数，本题得以解决．【解题过程】解：作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥DE，∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，∵∠1＝30°，∠2＝35°，∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，∴∠BCE＝65°，故选：B．【总结归纳】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．4．下列计算正确的是（）A．a2+b2＝（a+b）2B．a2+a4＝a6C．a10÷a5＝a2D．a2•a3＝a5【知识考点】合并同类项；同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式．【思路分析】根据完全平方公式、合并同类项法则、同底数幂的乘除法计算得到结果，即可作出判断．【解题过程】解：A、a2+2ab+b2＝（a+b）2，原计算错误，故此选项不符合题意；B、a2与a4不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；C、a10÷a5＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；D、a2•a3＝a5，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D．【总结归纳】此题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．下列说法正确的是（）A．明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式D．一组数据的众数一定只有一个【知识考点】全面调查与抽样调查；众数；概率的意义；概率公式．【思路分析】根据必然事件的概念、众数的定义、随机事件的概率逐项分析即可得出答案．【解题过程】解：A、明天的降水概率为80%，则明天下雨可能性较大，故本选项错误；B、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是，故本选项错误；C、了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式，故本选项正确；D、一组数据的众数不一定只有一个，故本选项错误；故选：C．【总结归纳】本题考查了必然事件的概念、众数的定义、求随机事件的概率，解题的关键是熟练掌握众数的定义以及求随机事件的概率．6．一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（）A．100π B．200π C．100π D．200π【知识考点】圆锥的计算．【思路分析】先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．【解题过程】解：这个圆锥的母线长＝＝10，这个圆锥的侧面积＝×2π×10×10＝100π．故选：C．【总结归纳】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【知识考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．【思路分析】先由抛物线与x周董交点个数判断出结论①，利用抛物线的对称轴为x＝2，判断出结论②，先由抛物线的开口方向判断出a＜0，进而判断出b＞0，再用抛物线与y轴的交点的位置判断出c＞0，判断出结论③，最后用x＝﹣2时，抛物线在x轴下方，判断出结论④，即可得出结论．【解题过程】解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴直线为x＝2，∴﹣＝2，∴4a+b＝0，故②正确，由图象知，抛物线开口方向向下，∴a＜0，∵4a+b＝0，∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴abc＜0，故③正确，由图象知，当x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，故④错误，即正确的结论有3个，故选：B．【总结归纳】此题主要考查了二次函数图形与系数的关系，抛物线与y轴的交点，抛物线的对称轴，掌握抛物线的性质是解本题的关键．8．如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F【知识考点】规律型：图形的变化类．【思路分析】设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），然后根据题目中所给的第k次依次移动k个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．【解题过程】解：经实验或按下方法可求得顶点C，E和F棋子不可能停到．设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），应停在第k（k+1）﹣7p格，这时P是整数，且使0≤k（k+1）﹣7p≤6，分别取k＝1，2，3，4，5，6，7时，k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7＜k≤2020，设k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得，k（k+1）﹣7p＝7m+t（t+1），由此可知，停棋的情形与k＝t时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到．故选：D．【总结归纳】本题考查规律型：图形的变化类，理解题意能力，关键是知道棋子所停的规则，找到规律，然后得到不等式求解．二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．分解因式：xy2﹣4x＝．【知识考点】提公因式法与公式法的综合运用．【思路分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．【解题过程】解：原式＝x（y2﹣4）＝x（y+2）（y﹣2），故答案为：x（y+2）（y﹣2）【总结归纳】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．10．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．【知识考点】二次根式有意义的条件．【思路分析】根据二次根式有意义的条件可得2x﹣6＞0，再解即可．【解题过程】解：由题意得：2x﹣6＞0，解得：x＞3，故答案为：x＞3．【总结归纳】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．11．计算：﹣+＝．【知识考点】二次根式的加减法．【思路分析】直接化简二次根式进而合并得出答案．【解题过程】解：原式＝﹣+2＝3．故答案为：3．【总结归纳】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．12．如图，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为6，则k＝．【知识考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．【思路分析】根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题．【解题过程】解：∵AB⊥OB，∴S△AOB＝＝6，∴k＝±12，∵反比例函数的图象在二四象限，∴k＜0，∴k＝﹣12，故答案为﹣12．【总结归纳】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13．4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如下：阅读时间（x小时）x≤3.5 3.5＜x≤5 5＜x≤6.5 x＞6.5人数12 8 6 4 若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为．【知识考点】用样本估计总体；频数（率）分布表．【思路分析】用总人数×每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数所占的百分比即可得到结论．【解题过程】解：1200×＝400（人），答：估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为400人．【总结归纳】本题考查了频数（率）分布表，用样本估计总体，正确的理解题意是解题的关键．14．今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是4次．【知识考点】二元一次方程组的应用．【思路分析】设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，根据买口罩的次数是10次和家里现有口罩35只，可列出关于x和y的二元一次方程组，求解即可．【解题过程】解：设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，由题意得：，整理得：，解得：．故答案为：4．【总结归纳】本题考查了二元一次方程组在实际问题中的应用，本题数量关系清晰，难度不大．15．如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为．【知识考点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）．【思路分析】设正方形ABCD的边长为x，由翻折及已知线段的长，可用含x的式子分别表示出BE、BF及EF的长；在Rt△BEF中，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值，即为DG的长．【解题过程】解：设正方形ABCD的边长为x，由翻折可得：DG＝DA＝DC＝x，∵GF＝4，EG＝6，∴AE＝EG＝6，CF＝GF＝4，∴BE＝x﹣6，BF＝x﹣6，EF＝6+4＝10，如图所示：在Rt△BEF中，由勾股定理得：BE2+BF2＝EF2，∴（x﹣6）2+（x﹣4）2＝102，∴x2﹣12x+36+x2﹣8x+16＝100，∴x2﹣10x﹣24＝0，∴（x+2）（x﹣12）＝0，∴x1＝﹣2（舍），x2＝12．∴DG＝12．故答案为：12．【总结归纳】本题主要考查了翻折变换、正方形的性质、勾股定理及解一元二次方程，数形结合并明确相关性质及定理是解题的关键．16．阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x ﹣n）（x2+nx﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为．【知识考点】因式分解的应用．【思路分析】将原方程左边变形为x3﹣4x﹣x+2＝0，再进一步因式分解得（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，据此得到两个关于x的方程求解可得．【解题过程】解：∵x3﹣5x+2＝0，∴x3﹣4x﹣x+2＝0，∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，解得x＝2或x＝﹣1，故答案为：x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．【总结归纳】本题主要考查因式分解的应用，因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．（5分）计算：20+（）﹣1•﹣4tan45°．【知识考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【思路分析】先计算20、、（）﹣1、tan45°，再按运算顺序求值即可．【解题过程】解：原式＝1+3×2﹣4×1＝1+6﹣4＝3．【总结归纳】本题考查了零指数、负整数指数幂、特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式的运算及特殊角的三角函数值是解决本题的关键．18．（5分）解不等式组．【知识考点】解一元一次不等式组．【思路分析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集．【解题过程】解：，由①得：x＜5，由②得：x≥﹣1，不等式组的解集为：﹣1≤x＜5．【总结归纳】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的确定方法：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．（6分）先化简，再选一个合适的数代入求值：（x+1﹣）÷．【知识考点】分式的化简求值．【思路分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．【解题过程】解：（x+1﹣）÷＝＝＝＝，当x＝2时，原式＝＝﹣．【总结归纳】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．20．（6分）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？【知识考点】分式方程的应用．【思路分析】首先设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，根据题意可得等量关系：4G下载600兆所用时间﹣5G下载600兆所用时间＝140秒．然后根据等量关系，列出分式方程，再解即可．【解题过程】解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，由题意得：﹣＝140，解得：x＝4，经检验：x＝4是原分式方程的解，且符合题意，15×4＝60，答：该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是每秒60兆．【总结归纳】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数列出方程．五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．（7分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（3，18）和B（﹣2，8）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．【知识考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【思路分析】（1）直接把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y＝kx+b中可得关于k、b的方程组，再解方程组可得k、b的值，进而求出一次函数的解析式；（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式，根据题意得到△＝0，解方程即可得到结论．【解题过程】解：（1）把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y＝kx+b（k≠0），得，解得，∴一次函数的解析式为y＝2x+12；（2）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，∴只有一组解，即2x2+12x﹣m＝0有两个相等的实数根，∴△＝122﹣4×2×（﹣m）＝0，∴m＝﹣18．把m＝﹣18代入求得该方程的解为：x＝﹣3，把x＝﹣3代入y＝2x+12得：y＝6，即所求的交点坐标为（﹣3，6）．【总结归纳】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．22．（7分）如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）【知识考点】解直角三角形的应用．【思路分析】直接过点C作CF⊥AB于点F，利用锐角三角函数关系得出CF的长，进而得出BC 的长．【解题过程】方法一：解：如图1，过点C作CF⊥AB于点F，在Rt△ACF中，∵sin∠CAB＝sin（60°+5°）＝sin65°＝，∴CF＝AC•sin65°≈2×0.91＝1.82，在Rt△BCF中，∵∠ABC＝45°，∴CF＝BF，∴BC＝CF＝1.41×1.82＝2.5662≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．方法二：解：如图2，过点A作AE⊥BC于点E，在Rt△ACE中，∵∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°，∴cosC＝cos70°＝，即CE＝AC×cos70°≈2×0.34＝0.68，sinC＝sin70°＝，即AE＝AC×sin70°≈2×0.94＝1.88，又∵在Rt△AEB中，∠ABC＝45°，∴AE＝BE，∴BC＝BE+CE＝0.68+1.88＝2.56≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．【总结归纳】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．（8分）今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．【知识考点】条形统计图；加权平均数；列表法与树状图法．【思路分析】（1）因为总人数已知，由轻症患者所占的百分比即可求出其的人数；（2）求出该市危重症患者所占的百分比，即可求出其共花费的钱数；（3）用加权平均数公式求出各种患者的平均费用即可；（4）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中B、D两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解题过程】解：（1）轻症患者的人数＝200×80%＝160（人）；（2）该市为治疗危重症患者共花费钱数＝200×（1﹣80%﹣15%）×10＝100（万元）；（3）所有患者的平均治疗费用＝＝2.15（万元）；（4）列表得：A B C D EA （B，A）（C，A）（D，A）（E，A）B （A，B）（C，B）（D，B）（E，B）C （A，C）（B，C）（D，C）（E，C）D （A，D）（B，D）（C，D）（E，D）E （A，E）（B，E）（C，E）（D，E）由列表格，可知：共有20种等可能的结果，恰好选中B、D两位同学的有2种情况，∴P（恰好选中B、D）＝＝．【总结归纳】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及条形统计图的应用．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．24．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且EF＝EC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．【知识考点】圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质．【思路分析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得∠OCB+∠ECF＝90°，可证EC是⊙O的切线；（2）由勾股定理可求AC＝6，由锐角三角函数可求BF＝5，可求CF＝3，通过证明△OAC∽△ECF，可得，可求解．【解题过程】解：（1）连接OC，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∵DE⊥AB，∴∠OBC+∠DFB＝90°，∵EF＝EC，∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB，∴∠OCB+∠ECF＝90°，∴OC⊥CE，∴EC是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OB＝5，∴AB＝10，∴AC＝＝＝6，∵cos∠ABC＝，∴，∴BF＝5，∴CF＝BC﹣BF＝3，∵∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BFD＝90°，∴∠BFD＝∠A，∴∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∴△OAC∽△ECF，∴，∴EC＝＝＝．【总结归纳】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，切线的判定和性质，锐角三角函数等知识，证明△OAC∽△ECF是本题的关键．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A，M（，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）构建方程组确定点B的坐标，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（3）如图2中，设P（t，t2），根据PD＝CD构建方程求出t即可解决问题．【解题过程】解：（1）把点A（﹣3，）代入y＝ax2，得到＝9a，∴a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2．（2）设直线l的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线l的解析式为y＝﹣x+，令x＝0，得到y＝，∴C（0，），由，解得或，∴B（1，），如图1中，过点A作AA1⊥x轴于A1，过B作BB1⊥x轴于B1，则BB1∥OC∥AA1，∴＝＝＝，＝＝＝，∴＝，即MC2＝MA•MB．（3）如图2中，设P（t，t2）∵OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，∴PD∥OC，PD＝OC，∴D（t，﹣t+），∴|t2﹣（﹣t+）|＝，整理得：t2+2t﹣6＝0或t2+2t＝0，解得t＝﹣1﹣或﹣1＝或﹣2或0（舍弃），∴P（﹣1﹣，2+）或（﹣1+，2﹣）或（﹣2，1）．【总结归纳】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．26．（10分）已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．【知识考点】三角形综合题．【思路分析】（1）①证明△CBP是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论；②根据同位角相等可得BC∥EF，由平行线的性质得BP⊥EF，可得EF是线段BP的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，证明△QEP≌△DEC（SAS），则PQ＝DC＝DB，由QE＝DE，∠DEF＝90°，知EF是DQ的垂直平分线，证明△FQP≌△FDB （SAS），再由EF是DQ的垂直平分线，可得结论．。
2020年湖南省常德市中考数学试卷(解析版)
2020年湖南省常德市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）4的倒数为（ ）A．B．2C．1D．﹣4【分析】根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，求倒数的方法，是把一个数的分子和分母互换位置即可，是带分数的化成假分数，再把分子分母互换位置，据此解答．【解答】解：4的倒数为．故选：A．2．（3分）下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（ ）A．B ．C ．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：C．第1页（共23页）3．（3分）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ）A．70°B．65°C．35°D．5°【分析】根据平行线的性质和∠1＝30°，∠2＝35°，可以得到∠BCE的度数，本题得以解决．【解答】解：作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥DE，∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，∵∠1＝30°，∠2＝35°，∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，∴∠BCE＝65°，故选：B．4．（3分）下列计算正确的是（ ）A．a2+b2＝（a+b）2B．a2+a4＝a6C．a10÷a5＝a2D．a2•a3＝a5【分析】根据完全平方公式、合并同类项法则、同底数幂的乘除法计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、a2+2ab+b2＝（a+b）2，原计算错误，故此选项不符合题意；B、a2与a4不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；第2页（共23页）C、a10÷a5＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；D、a2•a3＝a5，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D．5．（3分）下列说法正确的是（ ）A．明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式D．一组数据的众数一定只有一个【分析】根据必然事件的概念、众数的定义、随机事件的概率逐项分析即可得出答案．【解答】解：A、明天的降水概率为80%，则明天下雨可能性较大，故本选项错误；B 、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是，故本选项错误；C、了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式，故本选项正确；D、一组数据的众数不一定只有一个，故本选项错误；故选：C．6．（3分）一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（ ）A．100πB．200πC．100πD．200π【分析】先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．【解答】解：这个圆锥的母线长＝＝10，这个圆锥的侧面积＝×2π×10×10＝100π．故选：C．7．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：第3页（共23页）①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（ ）A．4B．3C．2D．1【分析】先由抛物线与x周董交点个数判断出结论①，利用抛物线的对称轴为x＝2，判断出结论②，先由抛物线的开口方向判断出a＜0，进而判断出b＞0，再用抛物线与y轴的交点的位置判断出c＞0，判断出结论③，最后用x＝﹣2时，抛物线在x轴下方，判断出结论④，即可得出结论．【解答】解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴直线为x＝2，∴﹣＝2，∴4a+b＝0，故②正确，由图象知，抛物线开口方向向下，∴a＜0，∵4a+b＝0，∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴abc＜0，故③正确，由图象知，当x＝﹣2时，y＜0，第4页（共23页）∴4a﹣2b+c＜0，故④错误，即正确的结论有3个，故选：B．8．（3分）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（ ）A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F【分析】设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），然后根据题目中所给的第k次依次移动k个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．【解答】解：经实验或按下方法可求得顶点C，E和F棋子不可能停到．设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k ＝k（k+1），应停在第k（k+1）﹣7p格，这时P是整数，且使0≤k（k+1）﹣7p≤6，分别取k＝1，2，3，4，5，6，7时，k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7＜k≤2020，设k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得，k（k+1）﹣7p＝7m +t（t+1），由此可知，停棋的情形与k＝t时相同，第5页（共23页）故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到．故选：D．二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．（3分）分解因式：xy2﹣4x＝ x（y+2）（y﹣2） ．【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝x（y2﹣4）＝x（y+2）（y﹣2），故答案为：x（y+2）（y﹣2）10．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x＞3 ．【分析】根据二次根式有意义的条件可得2x﹣6＞0，再解即可．【解答】解：由题意得：2x﹣6＞0，解得：x＞3，故答案为：x＞3．11．（3分）计算：﹣+＝ 3 ．【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案．【解答】解：原式＝﹣+2＝3．故答案为：3．12．（3分）如图，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为6，则k＝ ﹣12 ．第6页（共23页）第7页（共23页）【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题．【解答】解：∵AB ⊥OB ，∴S △AOB ＝＝6，∴k ＝±12，∵反比例函数的图象在二四象限，∴k ＜0，∴k ＝﹣12，故答案为﹣12．13．（3分）4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如下：阅读时间（x 小时）x ≤3.5 3.5＜x ≤55＜x ≤6.5x ＞6.5人数12864若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为 400人 ．【分析】用总人数×每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数所占的百分比即可得到结论．【解答】解：1200×＝400（人），答：估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为400人．14．（3分）今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是 4 次．【分析】设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，根据买口罩的次数是10次和家里现有口罩35只，可列出关于x和y的二元一次方程组，求解即可．【解答】解：设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y ，由题意得：，整理得：，解得：．故答案为：4．15．（3分）如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2， ．此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为 12【分析】设正方形ABCD的边长为x，由翻折及已知线段的长，可用含x的式子分别表示出BE、BF及EF 的长；在Rt△BEF中，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值，即为DG的长．【解答】解：设正方形ABCD的边长为x，由翻折可得：DG＝DA＝DC＝x，∵GF＝4，EG＝6，∴AE＝EG＝6，CF＝GF＝4，∴BE＝x﹣6，BF＝x﹣6，EF＝6+4＝10，如图1所示：第8页（共23页）第9页（共23页）在Rt △BEF 中，由勾股定理得：BE 2+BF 2＝EF 2，∴（x ﹣6）2+（x ﹣4）2＝102，∴x 2﹣12x +36+x 2﹣8x +16＝100，∴x 2﹣10x ﹣24＝0，∴（x +2）（x ﹣12）＝0，∴x 1＝﹣2（舍），x 2＝12．∴DG ＝12．故答案为：12．16．（3分）阅读理解：对于x 3﹣（n 2+1）x +n 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x 3﹣（n 2+1）x +n ＝x 3﹣n 2x ﹣x +n ＝x （x 2﹣n 2）﹣（x ﹣n ）＝x （x ﹣n ）（x +n ）﹣（x ﹣n ）＝（x ﹣n ）（x 2+nx ﹣1）．理解运用：如果x 3﹣（n 2+1）x +n ＝0，那么（x ﹣n ）（x 2+nx ﹣1）＝0，即有x ﹣n ＝0或x 2+nx ﹣1＝0，因此，方程x ﹣n ＝0和x 2+nx ﹣1＝0的所有解就是方程x 3﹣（n 2+1）x +n ＝0的解．解决问题：求方程x 3﹣5x +2＝0的解为 x ＝2或x ＝﹣1+或x ＝﹣1﹣ ．【分析】将原方程左边变形为x 3﹣4x ﹣x +2＝0，再进一步因式分解得（x ﹣2）[x （x +2）﹣1]＝0，据此得到两个关于x 的方程求解可得．【解答】解：∵x 3﹣5x +2＝0，∴x 3﹣4x ﹣x +2＝0，∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，解得x＝2或x＝﹣1，故答案为：x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．（5分）计算：20+（）﹣1•﹣4tan45°．【分析】先计算20、、（）﹣1、tan45°，再按运算顺序求值即可．【解答】解：原式＝1+3×2﹣4×1＝1+6﹣4＝3．18．（5分）解不等式组．【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集．【解答】解：，由①得：x＜5，由②得：x≥﹣1，不等式组的解集为：﹣1≤x＜5．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）第10页（共23页）19．（6分）先化简，再选一个合适的数代入求值：（x +1﹣）÷．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（x +1﹣）÷＝＝＝＝，当x＝2时，原式＝＝﹣．20．（6分）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G 与5G的下载速度分别是每秒多少兆？【分析】首先设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，根据题意可得等量关系：4G下载600兆所用时间﹣5G下载600兆所用时间＝140秒．然后根据等量关系，列出分式方程，再解即可．【解答】解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，由题意得：﹣＝140，解得：x＝4，经检验：x＝4是原分式方程的解，且符合题意，15×4＝60，第11页（共23页）答：该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是每秒60兆．五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．（7分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（3，18）和B（﹣2，8）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y ＝（m≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．【分析】（1）直接把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y＝kx+b中可得关于k、b的方程组，再解方程组可得k、b的值，进而求出一次函数的解析式；（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式，根据题意得到△＝0，解方程即可得到结论．【解答】解：（1）把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y＝kx+b（k≠0），得，解得，∴一次函数的解析式为y＝2x+12；（2）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，∴只有一组解，即2x2+12x﹣m＝0有两个相等的实数根，∴△＝122﹣4×2×（﹣m）＝0，∴m＝﹣18．把m＝﹣18代入求得该方程的解为：x＝﹣3，把x＝﹣3代入y＝2x+12得：y＝6，即所求的交点坐标为（﹣3，6）．第12页（共23页）22．（7分）如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）【分析】直接过点C作CF⊥AB于点F，利用锐角三角函数关系得出CF的长，进而得出BC的长．【解答】方法一：解：如图1，过点C作CF⊥AB于点F，在Rt△ACF中，∵sin∠CAB＝sin（60°+5°）＝sin65°＝，∴CF＝AC•sin65°≈2×0.91＝1.82，在Rt△BCF中，∵∠ABC＝45°，∴CF＝BF，∴BC＝CF＝1.41×1.82＝2.5662≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．方法二：解：如图2，过点A作AE⊥BC于点E，在Rt△ACE中，∵∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°，∴cos C＝cos70°＝，第13页（共23页）即CE＝AC×cos70°≈2×0.34＝0.68，sin C＝sin70°＝，即AE＝AC×sin70°≈2×0.94＝1.88，又∵在Rt△AEB中，∠ABC＝45°，∴AE＝BE，∴BC＝BE+CE＝0.68+1.88＝2.56≈2.6，米．答：所求BC的长度约为2.6六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．（8分）今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E五位患者任选两位第14页（共23页）转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．【分析】（1）因为总人数已知，由轻症患者所占的百分比即可求出其的人数；（2）求出该市危重症患者所占的百分比，即可求出其共花费的钱数；（3）用加权平均数公式求出各种患者的平均费用即可；（4）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中B、D两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）轻症患者的人数＝200×80%＝160（人）；（2）该市为治疗危重症患者共花费钱数＝200×（1﹣80%﹣15%）×10＝100（万元）；（3）所有患者的平均治疗费用＝＝2.15（万元）；（4）列表得：A B C D EA（B，A）（C，A）（D，A）（E，A）B（A，B）（C，B）（D，B）（E，B）C（A，C）（B，C）（D，C）（E，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（E，D）第15页（共23页）第16页（共23页）E （A ，E ）（B ，E ）（C ，E ）（D ，E ）由列表格，可知：共有20种等可能的结果，恰好选中B 、D 两位同学的有2种情况，∴P （恰好选中B 、D ）＝＝．24．（8分）如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，D 是AB 上的一点，DE ⊥AB 于D ，DE 交BC 于F，且EF ＝EC ．（1）求证：EC 是⊙O 的切线；（2）若BD ＝4，BC ＝8，圆的半径OB ＝5，求切线EC 的长．【分析】（1）连接OC ，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得∠OCB +∠ECF ＝90°，可证EC 是⊙O 的切线；（2）由勾股定理可求AC ＝6，由锐角三角函数可求BF ＝5，可求CF ＝3，通过证明△OAC ∽△ECF ，可得，可求解．【解答】解：（1）连接OC ，∵OC ＝OB ，∴∠OBC ＝∠OCB ，∵DE⊥AB，∴∠OBC+∠DFB＝90°，∵EF＝EC，∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB，∴∠OCB+∠ECF＝90°，∴OC⊥CE，∴EC是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OB＝5，∴AB＝10，∴AC＝＝＝6，∵cos∠ABC＝，∴，∴BF＝5，∴CF＝BC﹣BF＝3，∵∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BFD＝90°，∴∠BFD＝∠A，∴∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，第17页（共23页）∴△OAC∽△ECF，∴，∴EC＝＝＝．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A，M （，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）构建方程组确定点B的坐标，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（3）如图2中，设P（t ，t2），根据PD＝CD构建方程求出t即可解决问题．【解答】解：（1）把点A（﹣3，）代入y＝ax2，得到＝9a，∴a＝，第18页（共23页）∴抛物线的解析式为y＝x2．（2）设直线l的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线l的解析式为y＝﹣x +，令x＝0，得到y ＝，∴C（0，），由，解得或，∴B（1，），如图1中，过点A作AA1⊥x轴于A1，过B作BB1⊥x轴于B1，则BB1∥OC∥AA1，第19页（共23页）∴＝＝＝，＝＝＝，∴＝，即MC2＝MA•MB．（3）如图2中，设P（t ，t2）∵OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，∴PD∥OC，PD＝OC，∴D（t，﹣t +），∴|t2﹣（﹣t +）|＝，整理得：t2+2t﹣6＝0或t2+2t＝0，解得t＝﹣1﹣或﹣1＝或﹣2或0（舍弃），∴P（﹣1﹣，2+）或（﹣1+，2﹣）或（﹣2，1）．26．（10分）已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF 交于N．第20页（共23页）（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；．（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°【分析】（1）①证明△CBP是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论；②根据同位角相等可得BC∥EF，由平行线的性质得BP⊥EF，可得EF是线段BP的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，证明△QEP≌△DEC（SAS），则PQ＝DC＝DB，由QE＝DE，∠DEF＝90°，知EF是DQ的垂直平分线，证明△FQP≌△FDB（SAS），再由EF是DQ的垂直平分线，可得结论．【解答】证明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝90°﹣30°＝60°，同理∠EDF＝60°，∴∠A＝∠EDF＝60°，∴AC∥DE，∴∠DMB＝∠ACB＝90°，∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC∥DM，∴，即M是BC的中点，第21页（共23页）∵EP＝CE，即E是PC的中点，∴ED∥BP，∴∠CBP＝∠DMB＝90°，∴△CBP是直角三角形，∴BE ＝PC＝EP；②∵∠ABC＝∠DFE＝30°，∴BC∥EF，由①知：∠CBP＝90°，∴BP⊥EF，∵EB＝EP，∴EF是线段BP的垂直平分线，∴PF＝BF，∴∠PFE＝∠BFE＝30°；，（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP，∴△QEP≌△DEC（SAS），则PQ＝DC＝DB，第22页（共23页）∵QE＝DE，∠DEF＝90°∴EF是DQ的垂直平分线，∴QF＝DF，∵CD＝AD，∴∠CDA＝∠A＝60°，∴∠CDB＝120°，∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP，∴△FQP≌△FDB（SAS），∴∠QFP＝∠BFD，∵EF是DQ的垂直平分线，∴∠QFE＝∠EFD＝30°，∴∠QFP+∠EFP＝30°，∴∠BFD+∠EFP＝30°．第23页（共23页）。
湖南省常德市2020年中考数学试题(word无答案)
湖南省常德市2020年中考数学试题一、单选题(★) 1. 4的倒数为（）A．B．2C．1D．﹣4 (★) 2. 下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（）A．B．C．D．(★) 3. 如图，已知AB∥ DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠ BCE的度数为（）A．70°B．65°C．35°D．5°(★) 4. 下列计算正确的是（）A．a2+b2＝（a+b）2B．a2+a4＝a6C．a10÷a5＝a2D．a2•a3＝a5(★) 5. 下列说法正确的是（）A．明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式D．一组数据的众数一定只有一个(★) 6. 一个圆锥的底面半径 r＝10，高 h＝20，则这个圆锥的侧面积是（）A．100πB．200πC．100πD．200π(★★) 7. 二次函数 y＝ ax 2+ bx+ c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：① b 2﹣4 ac＞0；② abc＜0；③4 a+ b＝0；④4 a﹣2 b+ c＞0．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1(★★★★) 8. 如图，将一枚跳棋放在七边形 ABCDEFG的顶点 A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第 k次移动 k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在 B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在 D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F二、填空题(★) 9. 分解因式：_________________．(★) 10. 若代数式在实数范围内有意义，则 x的取值范围是_____．(★) 11. 计算：﹣＝_____．(★) 12. 如图，若反比例函数 y＝（ x＜0）的图象经过点 A，AB⊥ x轴于 B，且△ AOB的面积为6，则 k＝_____．(★★) 13. 4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如表：阅读时间（x小x≤3.5 3.5＜x≤55＜x≤6.5x＞6.5时）人数12864若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为_____．(★) 14. 今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是_____次．(★★) 15. 如图1，已知四边形 ABCD是正方形，将，分别沿 DE， DF向内折叠得到图2，此时 DA与 DC重合（ A、 C都落在 G点），若 GF＝4， EG＝6，则 DG的长为_____．(★★) 16. 阅读理解：对于 x 3﹣（ n 2+1） x+ n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式： x 3﹣（ n 2+1） x+ n＝ x 3﹣ n 2 x﹣ x+ n＝ x（ x 2﹣ n 2）﹣（ x﹣ n）＝ x（ x﹣ n）（ x+ n）﹣（ x﹣ n）＝（ x﹣ n）（ x 2+ nx﹣1）．理解运用：如果 x 3﹣（ n 2+1） x+ n＝0，那么（ x﹣ n）（ x 2+ nx﹣1）＝0，即有 x﹣ n＝0或x 2+ nx﹣1＝0，因此，方程 x﹣ n＝0和 x 2+ nx﹣1＝0的所有解就是方程 x 3﹣（ n 2+1） x+ n＝0的解．解决问题：求方程 x 3﹣5 x+2＝0的解为_____．三、解答题(★★) 17. 计算：2 0+（）﹣1• ﹣4tan45°．(★) 18. 解不等式组．(★) 19. 先化简，再选一个合适的数代入求值：（ x+1﹣）÷ ．(★★) 20. 第5代移动通信技术简称5 G，某地已开通5 G业务，经测试5 G下载速度是4 G下载速度的15倍，小明和小强分别用5 G与4 G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4 G与5 G的下载速度分别是每秒多少兆？(★★) 21. 已知一次函数 y＝ kx+ b（k≠0）的图象经过 A（3，18）和 B（﹣2，8）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数 y＝ kx+ b（k≠0）的图象与反比例函数 y＝（m≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．(★★) 22. 如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆 BC的底部支撑点 B在水平线 AD的下方， AB与水平线 AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线 AD成60°，此时 AB与支撑顶杆 BC的夹角为45°，若 AC＝2米，求 BC的长度．（结果保留一位小数）（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）(★) 23. 今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的 A、 B、 C、 D、 E五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中 B、 D两位患者的概率．(★★) 24. 如图，已知 AB是⊙ O的直径， C是⊙ O上的一点， D是 AB上的一点，DE⊥ AB 于 D， DE交 BC于 F，且 EF＝ EC．（1）求证： EC是⊙ O的切线；（2）若 BD＝4， BC＝8，圆的半径 OB＝5，求切线 EC的长．(★★★★) 25. 如图，已知抛物线 y＝ ax 2过点 A（﹣3，）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线 l过点 A， M（，0）且与抛物线交于另一点 B，与 y轴交于点 C，求证：MC 2＝MA• MB；（3）若点 P， D分别是抛物线与直线 l上的动点，以 OC为一边且顶点为 O， C， P， D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的 P点坐标．(★★★★★) 26. 已知 D是Rt△ ABC斜边 AB的中点，∠ ACB＝90°，∠ ABC＝30°，过点 D 作Rt△ DEF使∠ DEF＝90°，∠ DFE＝30°，连接 CE并延长 CE到 P，使 EP＝ CE，连接 BE，FP， BP，设 BC与 DE交于 M， PB与 EF交于 N．（1）如图1，当 D， B， F共线时，求证：① EB＝ EP；②∠ EFP＝30°；（2）如图2，当 D， B， F不共线时，连接 BF，求证：∠ BFD+∠ EFP＝30°．。
2020年湖南省常德市中考数学试卷(含答案解析)
2020年湖南省常德市中考数学试卷副标题题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.4的倒数为()B. 2C. 1D. −4A. 142.下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是()A. B. C. D.3.如图，已知AB//DE，∠1=30°，∠2=35°，则∠BCE的度数为()A. 70°B. 65°C. 35°D. 5°4.下列计算正确的是()A. a2+b2=(a+b)2B. a2+a4=a6C. a10÷a5=a2D. a2⋅a3=a55.下列说法正确的是()A. 明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨B. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C. 了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式D. 一组数据的众数一定只有一个6.一个圆锥的底面半径r=10，高ℎ=20，则这个圆锥的侧面积是()A. 100√3πB. 200√3πC. 100√5πD. 200√5π7.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①b2−4ac>0；②abc<0；③4a+b=0；④4a−2b+c>0．其中正确结论的个数是()A. 4B. 3C. 2D. 18.如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点(如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处)，按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是()A. C、EB. E、FC. G、C、ED. E、C、F二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.分解因式：xy2−4x=______．10.若代数式√2x−6在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．11.计算：√92−√12+√8=______．12.如图，若反比例函数y=kx(x<0)的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为6，则k=______．13.4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如下：阅读时间(x小时)x≤3.5 3.5<x≤55<x≤6.5x>6.5人数12864为______．14.今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是______次．15.如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合(A、C都落在G点)，若GF=4，EG=6，则DG的长为______．16.阅读理解：对于x3−(n2+1)x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3−(n2+1)x+n=x3−n2x−x+n=x(x2−n2)−(x−n)=x(x−n)(x+n)−(x−n)=(x−n)(x2+nx−1)．理解运用：如果x3−(n2+1)x+n=0，那么(x−n)(x2+nx−1)=0，即有x−n=0或x2+nx−1=0，因此，方程x−n=0和x2+nx−1=0的所有解就是方程x3−(n2+1)x+n=0的解．解决问题：求方程x3−5x+2=0的解为______．三、计算题（本大题共3小题，共20.0分）17.计算：20+(13)−1⋅√4−4tan45°．18. 已知一次函数y =kx +b(k ≠0)的图象经过A(3,18)和B(−2,8)两点．(1)求一次函数的解析式；(2)若一次函数y =kx +b(k ≠0)的图象与反比例函数y =m x(m ≠0)的图象只有一个交点，求交点坐标．19. 今年2−4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图(不完整)，图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题． (1)轻症患者的人数是多少？(2)该市为治疗危重症患者共花费多少万元？ (3)所有患者的平均治疗费用是多少万元？(4)由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A 、B 、C 、D 、E 五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B 、D 两位患者的概率．四、解答题（本大题共7小题，共52.0分） 20. 解不等式组{2x −1<x +4①23x −3x+12≤13②．21.先化简，再选一个合适的数代入求值：(x+1−7x−9x )÷x2−9x．22.第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？23.如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC=2米，求BC的长度．(结果保留一位小数)(参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，√2≈1.41)24.如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且EF=EC．(1)求证：EC是⊙O的切线；(2)若BD=4，BC=8，圆的半径OB=5，求切线EC的长．).25.如图，已知抛物线y=ax2过点A(−3,94(1)求抛物线的解析式；,0)且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：(2)已知直线l过点A，M(32MC2=MA⋅MB；(3)若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．26.已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB=90°，∠ABC=30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF=90°，∠DFE=30°，连接CE并延长CE到P，使EP=CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．(1)如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB=EP；②∠EFP=30°；(2)如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP=30°．答案和解析1.【答案】A．【解析】解：4的倒数为14故选：A．根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，求倒数的方法，是把一个数的分子和分母互换位置即可，是带分数的化成假分数，再把分子分母互换位置，据此解答．本题主要考查倒数的意义．解题的关键倒数的意义，注意求倒数的方法，把分子分母互换位置．2.【答案】C【解析】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：C．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后完全可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分完全重合．3.【答案】B【解析】解：作CF//AB，∵AB//DE，∴CF//DE，∴AB//DE//DE，∴∠1=∠BCF，∠FCE=∠2，∵∠1=30°，∠2=35°，∴∠BCF=30°，∠FCE=35°，∴∠BCE=65°，故选：B．根据平行线的性质和∠1=30°，∠2=35°，可以得到∠BCE的度数，本题得以解决．本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．4.【答案】D【解析】解：A、a2+2ab+b2=(a+b)2，原计算错误，故此选项不符合题意；B、a2与a4不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；C、a10÷a5=a5，原计算错误，故此选项不符合题意；D、a2⋅a3=a5，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D．根据完全平方公式、合并同类项法则、同底数幂的乘除法计算得到结果，即可作出判断．此题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5.【答案】C【解析】解：A、明天的降水概率为80%，则明天下雨可能性较大，故本选项错误；B、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是1，故本选项错误；2C、了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式，故本选项正确；D、一组数据的众数不一定只有一个，故本选项错误；故选：C．根据必然事件的概念、众数的定义、随机事件的概率逐项分析即可得出答案．本题考查了必然事件的概念、众数的定义、求随机事件的概率，解题的关键是熟练掌握众数的定义以及求随机事件的概率．6.【答案】C【解析】解：这个圆锥的母线长=√102+202=10√5，×2π×10×10√5=100√5π.这个圆锥的侧面积=12故选：C．先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．7.【答案】B【解析】解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，∴b2−4ac>0，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴直线为x=2，∴−b=2，2a∴4a+b=0，故②正确，由图象知，抛物线开口方向向下，∴a<0，∵4a+b=0，∴b>0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c>0，∴abc<0，故③正确，由图象知，当x=−2时，y<0，∴4a−2b+c<0，故④错误，即正确的结论有3个，故选：B．先由抛物线与x周董交点个数判断出结论①，利用抛物线的对称轴为x=2，判断出结论②，先由抛物线的开口方向判断出a<0，进而判断出b>0，再用抛物线与y轴的交点的位置判断出c>0，判断出结论③，最后用x=−2时，抛物线在x轴下方，判断出结论④，即可得出结论．此题主要考查了二次函数图形与系数的关系，抛物线与y轴的交点，抛物线的对称轴，掌握抛物线的性质是解本题的关键．8.【答案】D【解析】解：经实验或按下方法可求得顶点C，E和F棋子不可能停到．设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+⋯+k=12k(k+1)，应停在第12k(k+1)−7p格，这时P是整数，且使0≤12k(k+1)−7p≤6，分别取k=1，2，3，4，5，6，7时，12k(k+1)−7p=1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7<k≤2020，设k=7+t(t=1,2，3)代入可得，12k(k+1)−7p=7m+12t(t+1)，由此可知，停棋的情形与k=t时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到．故选：D．设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+⋯+k=12k(k+1)，然后根据题目中所给的第k次依次移动k个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．本题考查规律型：图形的变化类，理解题意能力，关键是知道棋子所停的规则，找到规律，然后得到不等式求解．9.【答案】x(y+2)(y−2)【解析】解：原式=x(y2−4)=x(y+2)(y−2)，故答案为：x(y+2)(y−2)原式提取x，再利用平方差公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．10.【答案】x>3【解析】解：由题意得：2x−6>0，解得：x>3，故答案为：x>3．根据二次根式有意义的条件可得2x−6>0，再解即可．此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．11.【答案】3√2【解析】解：原式=3√22−√22+2√2=3√2．故答案为：3√2．直接化简二次根式进而合并得出答案．此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．12.【答案】−12【解析】解：∵AB⊥OB，∴S△AOB=|k|2=6，∴k=±12，∵反比例函数的图象在二四象限，∴k <0， ∴k =−12， 故答案为−12．根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题．本题考查反比例函数系数k 的几何意义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13.【答案】400人【解析】解：1200×6+412+8+6+4=400(人)，答：估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为400人．用总人数×每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数所占的百分比即可得到结论． 本题考查了频数(率)分布表，用样本估计总体，正确的理解题意是解题的关键． 14.【答案】4【解析】解：设李红出门没有买到口罩的次数是x ，买到口罩的次数是y ，由题意得： {x +y =1015−1×10+5y =35， 整理得：{x +y =105y =30，解得：{x =4y =6．故答案为：4．设李红出门没有买到口罩的次数是x ，买到口罩的次数是y ，根据买口罩的次数是10次和家里现有口罩35只，可列出关于x 和y 的二元一次方程组，求解即可．本题考查了二元一次方程组在实际问题中的应用，本题数量关系清晰，难度不大． 15.【答案】12【解析】解：设正方形ABCD 的边长为x ，由翻折可得： DG =DA =DC =x ， ∵GF =4，EG =6，∴AE =EG =6，CF =GF =4，∴BE =x −6，BF =x −6，EF =6+4=10，如图1所示：在Rt △BEF 中，由勾股定理得： BE 2+BF 2=EF 2，∴(x −6)2+(x −4)2=102，∴x 2−12x +36+x 2−8x +16=100， ∴x 2−10x −24=0， ∴(x +2)(x −12)=0， ∴x 1=−2(舍)，x 2=12． ∴DG =12．故答案为：12．设正方形ABCD 的边长为x ，由翻折及已知线段的长，可用含x 的式子分别表示出BE 、BF 及EF 的长；在Rt △BEF 中，由勾股定理得关于x 的方程，解得x 的值，即为DG 的长．本题主要考查了翻折变换、正方形的性质、勾股定理及解一元二次方程，数形结合并明确相关性质及定理是解题的关键．16.【答案】x =2或x =−1+√2或x =−1−√2【解析】解：∵x 3−5x +2=0， ∴x 3−4x −x +2=0， ∴x(x 2−4)−(x −2)=0，∴x(x +2)(x −2)−(x −2)=0，则(x −2)[x(x +2)−1]=0，即(x −2)(x 2+2x −1)=0， ∴x −2=0或x 2+2x −1=0， 解得x =2或x =−1±√2，故答案为：x =2或x =−1+√2或x =−1−√2． 将原方程左边变形为x 3−4x −x +2=0，再进一步因式分解得(x −2)[x(x +2)−1]=0，据此得到两个关于x 的方程求解可得．本题主要考查因式分解的应用，因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入． 17.【答案】解：原式=1+3×2−4×1 =1+6−4 =3．【解析】先计算20、√4、(13)−1、tan45°，再按运算顺序求值即可．本题考查了零指数、负整数指数幂、特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式的运算及特殊角的三角函数值是解决本题的关键． 18.【答案】解：(1)把(3,18)，(−2,8)代入一次函数y =kx +b(k ≠0)，得 {3k +b =18−2k +b =8， 解得{k =2,b =12，∴一次函数的解析式为y =2x +12；(2)∵一次函数y =kx +b(k ≠0)的图象与反比例函数y =m x(m ≠0)的图象只有一个交点，∴{y =2x +12y =m x只有一组解， 即2x 2+12x −m =0有两个相等的实数根， ∴△=122−4×2×(−m)=0， ∴m =−18．把m =−18代入求得该方程的解为：x =−3， 把x =−3代入y =2x +12得：y =6， 即所求的交点坐标为(−3,6)．【解析】(1)直接把(3,18)，(−2,8)代入一次函数y=kx+b中可得关于k、b的方程组，再解方程组可得k、b的值，进而求出一次函数的解析式；(2)联立一次函数解析式和反比例函数解析式，根据题意得到△=0，解方程即可得到结论．此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．19.【答案】解：(1)轻症患者的人数=200×80%=160(人)；(2)该市为治疗危重症患者共花费钱数=200×(1−80%−15%)×10=100(万元)；(3)所有患者的平均治疗费用=1.5×160+3×(200×15%)+100200=2.15(万元)；2种情况，∴P(恰好选中B、D)=220=110．【解析】(1)因为总人数已知，由轻症患者所占的百分比即可求出其的人数；(2)求出该市危重症患者所占的百分比，即可求出其共花费的钱数；(3)用加权平均数公式求出各种患者的平均费用即可；(4)首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中B、D两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及条形统计图的应用．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．20.【答案】解：{2x−1<x+4①23x−3x+12≤13②，由①得：x<5，由②得：x≥−1，不等式组的解集为：−1≤x<5．【解析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集．此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的确定方法：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．21.【答案】解：(x+1−7x−9x )÷x2−9x=x(x+1)−(7x−9)x⋅x(x+3)(x−3)=x2+x−7x+9 (x+3)(x−3)=(x−3)2 (x+3)(x−3)=x−3x+3，当x=2时，原式=2−32+3=−15．【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．22.【答案】解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x 兆，由题意得：600 x −60015x=140，解得：x=4，经检验：x=4是原分式方程的解，且符合题意，15×4=60，答：该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是每秒60兆．【解析】首先设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，根据题意可得等量关系：4G下载600兆所用时间−5G下载600兆所用时间=140秒．然后根据等量关系，列出分式方程，再解即可．此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数列出方程．23.【答案】方法一：解：如图1，过点C作CF⊥AB于点F，在Rt△ACF中，∵sin∠CAB=sin(60°+5°)=sin65°=CFAC，∴CF=AC⋅sin65°≈2×0.91=1.82，在Rt△BCF中，∵∠ABC=45°，∴CF=BF，∴BC=√2CF=1.41×1.82=2.5662≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．方法二：解：如图2，过点A作AE⊥BC于点E，在Rt△ACE中，∵∠C=180°−65°−45°=70°，∴cosC=cos70°=CEAC，即CE=AC×cos70°≈2×0.34=0.68，sinC=sin70°=AEAC，即AE=AC×sin70°≈2×0.94=1.88，又∵在Rt△AEB中，∠ABC=45°，∴AE=BE，∴BC=BE+CE=0.68+1.88=2.56≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．【解析】直接过点C作CF⊥AB于点F，利用锐角三角函数关系得出CF的长，进而得出BC的长．此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．24.【答案】解：(1)连接OC，∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB，∵DE⊥AB，∴∠OBC+∠DFB=90°，∵EF=EC，∴∠ECF=∠EFC=∠DFB，∴∠OCB+∠ECF=90°，∴OC⊥CE，∴EC是⊙O的切线；(2)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵OB=5，∴AB=10，∴AC=√AB2−BC2=√100−64=6，∵cos∠ABC=BDBF =BCAB，∴810=4BF，∴BF=5，∴CF=BC−BF=3，∵∠ABC+∠A=90°，∠ABC+∠BFD=90°，∴∠BFD=∠A，∴∠A=∠BFD=∠ECF=∠EFC，∵OA=OC，∴∠OCA=∠A=∠BFD=∠ECF=∠EFC，∴△OAC∽△ECF，∴ECOA =CFAC，∴EC=OA⋅CFAC =5×36=52．【解析】(1)连接OC，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得∠OCB+∠ECF= 90°，可证EC是⊙O的切线；(2)由勾股定理可求AC=6，由锐角三角函数可求BF=5，可求CF=3，通过证明△OAC∽△ECF，可得ECOA =CFAC，可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，切线的判定和性质，锐角三角函数等知识，证明△OAC∽△ECF 是本题的关键．25.【答案】解：(1)把点A(−3,94)代入y =ax 2，得到94=9a ， ∴a =14，∴抛物线的解析式为y =14x 2．(2)设直线l 的解析式为y =kx +b ，则有{94=−3k +b0=32k +b， 解得{k =−12b =34， ∴直线l 的解析式为y =−12x +34， 令x =0，得到y =34， ∴C(0,34)，由{y =14x 2y =−12x +34，解得{x =1y =14或{x =−3y =94， ∴B(1,14)，如图1中，过点A 作AA 1⊥x 轴于A 1，过B 作BB 1⊥x 轴于B 1，则BB 1//OC//AA 1，∴BMMC =MB 1MO =32−132=13，MC MA =MOMA 1=3232−(−3)=13，∴BMMC =MCMA ， 即MC 2=MA ⋅MB ．(3)如图2中，设P(t,14t 2)∵OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，∴PD//OC，PD=OC，∴D(t,−12t+34)，∴|14t2−(−12t+34)|=34，整理得：t2+2t−6=0或t2+2t=0，解得t=−1−√7或−1=√7或−2或0(舍弃)，∴P(−1−√7,2+√72)或(−1+√7,2−√72)或(−2,1)．【解析】(1)利用待定系数法即可解决问题．(2)构建方程组确定点B的坐标，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．(3)如图2中，设P(t,14t2)，根据PD=CD构建方程求出t即可解决问题．本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．26.【答案】证明(1)①∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠A=90°−30°=60°，同理∠EDF=60°，∴∠A=∠EDF=60°，∴AC//DE，∴∠DMB=∠ACB=90°，∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC//DM，∴BMBC =BDAB=12，即M是BC的中点，∵EP=CE，即E是PC的中点，∴ED//BP，∴∠CBP=∠DMB=90°，∴△CBP是直角三角形，∴BE=12PC=EP；②∵∠ABC=∠DFE=30°，∴BC//EF，由①知：∠CBP=90°，∴BP⊥EF，∵EB=EP，∴EF是线段BP的垂直平分线，∴PF=BF，∴∠PFE=∠BFE=30°；(2)如图2，延长DE到Q，使EQ=DE，连接CD，PQ，FQ，∵EC=EP，∠DEC=∠QEP，∴△QEP≌△DEC(SAS)，则PQ=DC=DB，∵QE=DE，∠DEF=90°∴EF是DQ的垂直平分线，∴QF=DF，∵CD=AD，∴∠CDA=∠A=60°，∴∠CDB=120°，∴∠FDB=120°−∠FDC=120°−(60°+∠EDC)=60°−∠EDC=60°−∠EQP=∠FQP，∴△FQP≌△FDB(SAS)，∴∠QFP=∠BFD，∵EF是DQ的垂直平分线，∴∠QFE=∠EFD=30°，∴∠QFP+∠EFP=30°，∴∠BFD+∠EFP=30°．【解析】(1)①证明△CBP是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论；②根据同位角相等可得BC//EF，由平行线的性质得BP⊥EF，可得EF是线段BP的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE=∠BFE=30°；(2)如图2，延长DE到Q，使EQ=DE，连接CD，PQ，FQ，证明△QEP≌△DEC(SAS)，则PQ=DC=DB，由QE=DE，∠DEF=90°，知EF是DQ的垂直平分线，证明△FQP≌△FDB(SAS)，再由EF是DQ的垂直平分线，可得结论．本题是三角形的综合题，考查了平行线分线段成比理、勾股定理、三角形全等的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，难度适中，属于中考常考题型．。
2020年湖南省常德市中考数学试卷(含详细解析)
x≤3.5
3.5＜x≤5
5＜x≤6.5
x＞6.5
人数
12
8
6
4
若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为_____．
14．今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是_____次．
（1）求证：EC是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．
25．如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3， ）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知直线l过点A，M（ ，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；
（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．
（1）轻症患者的人数是多少？
（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？
（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？
（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．
24．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且EF＝EC．
18．解不等式组 ．
19．先化简，再选一个合适的数代入求值：（x+1﹣ ）÷ ．
20．第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？
2020年湖南省常德市中考数学试卷(含答案)
2020年湖南省常德市中考数学试卷一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）4的倒数为（）A．B．2C．1D．﹣4 2．（3分）下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（）A．B．C．D．3．（3分）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（）A．70°B．65°C．35°D．5°4．（3分）下列计算正确的是（）A．a2+b2＝（a+b）2B．a2+a4＝a6C．a10÷a5＝a2D．a2•a3＝a55．（3分）下列说法正确的是（）A．明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式D．一组数据的众数一定只有一个6．（3分）一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（）A．100πB．200πC．100πD．200π7．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．18．（3分）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B 处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．（3分）分解因式：xy2﹣4x＝．10．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．11．（3分）计算：﹣+＝．12．（3分）如图，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB 的面积为6，则k＝．13．（3分）4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如下：阅读时间（x小时）x≤3.5 3.5＜x≤55＜x≤6.5x＞6.5人数12864若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为．14．（3分）今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是次．15．（3分）如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为．16．（3分）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．（5分）计算：20+（）﹣1•﹣4tan45°．18．（5分）解不等式组．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．（6分）先化简，再选一个合适的数代入求值：（x+1﹣）÷．20．（6分）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G 下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．（7分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（3，18）和B（﹣2，8）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．22．（7分）如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．（8分）今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E 五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．24．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB 于D，DE交BC于F，且EF＝EC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A，M（，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D 的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．26．（10分）已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．2020年湖南省常德市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）4的倒数为（）A．B．2C．1D．﹣4【解答】解：4的倒数为．故选：A．【点评】本题主要考查倒数的意义．解题的关键倒数的意义，注意求倒数的方法，把分子分母互换位置．2．（3分）下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后完全可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分完全重合．3．（3分）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（）A．70°B．65°C．35°D．5°【解答】解：作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥DE，∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，∵∠1＝30°，∠2＝35°，∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，∴∠BCE＝65°，故选：B．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．4．（3分）下列计算正确的是（）A．a2+b2＝（a+b）2B．a2+a4＝a6C．a10÷a5＝a2D．a2•a3＝a5【解答】解：A、a2+2ab+b2＝（a+b）2，原计算错误，故此选项不符合题意；B、a2与a4不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；C、a10÷a5＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；D、a2•a3＝a5，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D．【点评】此题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．（3分）下列说法正确的是（）A．明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式D．一组数据的众数一定只有一个【解答】解：A、明天的降水概率为80%，则明天下雨可能性较大，故本选项错误；B、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是，故本选项错误；C、了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式，故本选项正确；D、一组数据的众数不一定只有一个，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了必然事件的概念、众数的定义、求随机事件的概率，解题的关键是熟练掌握众数的定义以及求随机事件的概率．6．（3分）一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（）A．100πB．200πC．100πD．200π【解答】解：这个圆锥的母线长＝＝10，这个圆锥的侧面积＝×2π×10×10＝100π．故选：C．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．7．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴直线为x＝2，∴﹣＝2，∴4a+b＝0，故②正确，由图象知，抛物线开口方向向下，∴a＜0，∵4a+b＝0，∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴abc＜0，故③正确，由图象知，当x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，故④错误，即正确的结论有3个，故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数图形与系数的关系，抛物线与y轴的交点，抛物线的对称轴，掌握抛物线的性质是解本题的关键．8．（3分）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B 处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F【解答】解：经实验或按下方法可求得顶点C，E和F棋子不可能停到．设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），应停在第k（k+1）﹣7p 格，这时P是整数，且使0≤k（k+1）﹣7p≤6，分别取k＝1，2，3，4，5，6，7时，k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7＜k≤2020，设k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得，k（k+1）﹣7p＝7m+t（t+1），由此可知，停棋的情形与k＝t时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到．【点评】本题考查规律型：图形的变化类，理解题意能力，关键是知道棋子所停的规则，找到规律，然后得到不等式求解．二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．（3分）分解因式：xy2﹣4x＝x（y+2）（y﹣2）．【解答】解：原式＝x（y2﹣4）＝x（y+2）（y﹣2），故答案为：x（y+2）（y﹣2）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．10．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x＞3．【解答】解：由题意得：2x﹣6＞0，解得：x＞3，故答案为：x＞3．【点评】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．11．（3分）计算：﹣+＝3．【解答】解：原式＝﹣+2＝3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．12．（3分）如图，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB 的面积为6，则k＝﹣12．【解答】解：∵AB⊥OB，＝＝6，∴S△AOB∵反比例函数的图象在二四象限，∴k＜0，∴k＝﹣12，故答案为﹣12．【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13．（3分）4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如下：阅读时间（x小时）x≤3.5 3.5＜x≤55＜x≤6.5x＞6.5人数12864若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为400人．【解答】解：1200×＝400（人），答：估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为400人．【点评】本题考查了频数（率）分布表，用样本估计总体，正确的理解题意是解题的关键．14．（3分）今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是4次．【解答】解：设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，由题意得：，整理得：，解得：．故答案为：4．【点评】本题考查了二元一次方程组在实际问题中的应用，本题数量关系清晰，难度不大．15．（3分）如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为12．【解答】解：设正方形ABCD的边长为x，由翻折可得：DG＝DA＝DC＝x，∵GF＝4，EG＝6，∴AE＝EG＝6，CF＝GF＝4，∴BE＝x﹣6，BF＝x﹣6，EF＝6+4＝10，如图1所示：在Rt△BEF中，由勾股定理得：BE2+BF2＝EF2，∴（x﹣6）2+（x﹣4）2＝102，∴x2﹣12x+36+x2﹣8x+16＝100，∴x2﹣10x﹣24＝0，∴（x+2）（x﹣12）＝0，∴x1＝﹣2（舍），x2＝12．∴DG＝12．故答案为：12．【点评】本题主要考查了翻折变换、正方形的性质、勾股定理及解一元二次方程，数形结合并明确相关性质及定理是解题的关键．16．（3分）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．【解答】解：∵x3﹣5x+2＝0，∴x3﹣4x﹣x+2＝0，∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，解得x＝2或x＝﹣1，故答案为：x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．【点评】本题主要考查因式分解的应用，因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．（5分）计算：20+（）﹣1•﹣4tan45°．【解答】解：原式＝1+3×2﹣4×1＝1+6﹣4＝3．【点评】本题考查了零指数、负整数指数幂、特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式的运算及特殊角的三角函数值是解决本题的关键．18．（5分）解不等式组．【解答】解：，由①得：x＜5，由②得：x≥﹣1，不等式组的解集为：﹣1≤x＜5．【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的确定方法：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．（6分）先化简，再选一个合适的数代入求值：（x+1﹣）÷．【解答】解：（x+1﹣）÷＝＝＝＝，当x＝2时，原式＝＝﹣．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．20．（6分）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G 下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？【解答】解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，由题意得：﹣＝140，解得：x＝4，经检验：x＝4是原分式方程的解，且符合题意，15×4＝60，答：该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是每秒60兆．【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数列出方程．五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．（7分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（3，18）和B（﹣2，8）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．【解答】解：（1）把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y＝kx+b（k≠0），得，解得，∴一次函数的解析式为y＝2x+12；（2）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，∴只有一组解，即2x2+12x﹣m＝0有两个相等的实数根，∴△＝122﹣4×2×（﹣m）＝0，∴m＝﹣18．把m＝﹣18代入求得该方程的解为：x＝﹣3，把x＝﹣3代入y＝2x+12得：y＝6，即所求的交点坐标为（﹣3，6）．【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．22．（7分）如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）【解答】方法一：解：如图1，过点C作CF⊥AB于点F，在Rt△ACF中，∵sin∠CAB＝sin（60°+5°）＝sin65°＝，∴CF＝AC•sin65°≈2×0.91＝1.82，在Rt△BCF中，∵∠ABC＝45°，∴CF＝BF，∴BC＝CF＝1.41×1.82＝2.5662≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．方法二：解：如图2，过点A作AE⊥BC于点E，在Rt△ACE中，∵∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°，∴cos C＝cos70°＝，即CE＝AC×cos70°≈2×0.34＝0.68，sin C＝sin70°＝，即AE＝AC×sin70°≈2×0.94＝1.88，又∵在Rt△AEB中，∠ABC＝45°，∴AE＝BE，∴BC＝BE+CE＝0.68+1.88＝2.56≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．（8分）今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E 五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．【解答】解：（1）轻症患者的人数＝200×80%＝160（人）；（2）该市为治疗危重症患者共花费钱数＝200×（1﹣80%﹣15%）×10＝100（万元）；（3）所有患者的平均治疗费用＝＝2.15（万元）；（4）列表得：A B C D EA（B，A）（C，A）（D，A）（E，A）B（A，B）（C，B）（D，B）（E，B）C（A，C）（B，C）（D，C）（E，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（E，D）E（A，E）（B，E）（C，E）（D，E）由列表格，可知：共有20种等可能的结果，恰好选中B、D两位同学的有2种情况，∴P（恰好选中B、D）＝＝．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及条形统计图的应用．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．24．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB 于D，DE交BC于F，且EF＝EC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．【解答】解：（1）连接OC，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∵DE⊥AB，∴∠OBC+∠DFB＝90°，∵EF＝EC，∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB，∴∠OCB+∠ECF＝90°，∴OC⊥CE，∴EC是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OB＝5，∴AB＝10，∴AC＝＝＝6，∵cos∠ABC＝，∴，∴BF＝5，∴CF＝BC﹣BF＝3，∵∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BFD＝90°，∴∠BFD＝∠A，∴∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∴△OAC∽△ECF，∴，∴EC＝＝＝．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，切线的判定和性质，锐角三角函数等知识，证明△OAC∽△ECF是本题的关键．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A，M（，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D 的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．【解答】解：（1）把点A（﹣3，）代入y＝ax2，得到＝9a，∴a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2．（2）设直线l的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线l的解析式为y＝﹣x+，令x＝0，得到y＝，∴C（0，），由，解得或，∴B（1，），如图1中，过点A作AA1⊥x轴于A1，过B作BB1⊥x轴于B1，则BB1∥OC∥AA1，∴＝＝＝，＝＝＝，∴＝，即MC2＝MA•MB．（3）如图2中，设P（t，t2）∵OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，∴PD∥OC，PD＝OC，∴D（t，﹣t+），∴|t2﹣（﹣t+）|＝，整理得：t2+2t﹣6＝0或t2+2t＝0，解得t＝﹣1﹣或﹣1＝或﹣2或0（舍弃），∴P（﹣1﹣，2+）或（﹣1+，2﹣）或（﹣2，1）．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．26．（10分）已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．【解答】证明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝90°﹣30°＝60°，同理∠EDF＝60°，∴∠A＝∠EDF＝60°，∴AC∥DE，∴∠DMB＝∠ACB＝90°，∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC∥DM，∴，即M是BC的中点，∵EP＝CE，即E是PC的中点，∴ED∥BP，∴∠CBP＝∠DMB＝90°，∴△CBP是直角三角形，∴BE＝PC＝EP；②∵∠ABC＝∠DFE＝30°，∴BC∥EF，由①知：∠CBP＝90°，∴BP⊥EF，∵EB＝EP，∴EF是线段BP的垂直平分线，∴PF＝BF，∴∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP，∴△QEP≌△DEC（SAS），则PQ＝DC＝DB，∵QE＝DE，∠DEF＝90°∴EF是DQ的垂直平分线，∴QF＝DF，∵CD＝AD，∴∠CDA＝∠A＝60°，∴∠CDB＝120°，∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP，∴△FQP≌△FDB（SAS），∴∠QFP＝∠BFD，∵EF是DQ的垂直平分线，∴∠QFE＝∠EFD＝30°，∴∠QFP+∠EFP＝30°，∴∠BFD+∠EFP＝30°．【点评】本题是三角形的综合题，考查了平行线分线段成比理、勾股定理、三角形全等的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，难度适中，属于中考常考题型．。
常德市2020年中考数学试题与答案
常德市2020年中考数学试题与答案注意事项：1、本试卷满分 120 分，考试时间 120 分钟。
2、本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上。
答在试卷上的答案无效。
一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．4的倒数为（）A．B．2 C．1 D．﹣42．下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（）A．B．C．D．3．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（）A．70°B．65°C．35°D．5°4．下列计算正确的是（）A．a2+b2＝（a+b）2B．a2+a4＝a6C．a10÷a5＝a2D．a2•a3＝a55．下列说法正确的是（）A．明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式D．一组数据的众数一定只有一个6．一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（）A．100πB．200πC．100πD．200π7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．18．如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．分解因式：xy2﹣4x＝．10．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．11．计算：﹣+＝．12．如图，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为6，则k＝．13．4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如表：阅读时间（x小时）x≤3.5 3.5＜x≤5 5＜x≤6.5 x＞6.5人数12 8 6 4若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为．14．今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是次．15．如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为．16．阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx ﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．计算：20+（）﹣1•﹣4tan45°．18．解不等式组．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．先化简，再选一个合适的数代入求值：（x+1﹣）÷．20．第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（3，18）和B（﹣2，8）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，求交点22．如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．24．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A，M（，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．26．已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．参考答案一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．A 2.C 3.B 4.D 5.C 6.C 7.B 8.D二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．x（y+2）（y﹣2）10．x＞3．11．3．12．﹣12．13．400．14．4．15．12．16．x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．解：原式＝1+3×2﹣4×1＝1+6﹣4＝3．18．解：，由①得：x＜5，由②得：x≥﹣1，不等式组的解集为：﹣1≤x＜5．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．解：（x+1﹣）÷＝＝＝＝，当x＝2时，原式＝＝﹣．20．解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，由题意得：﹣＝140，解得：x＝4，经检验：x＝4是原分式方程的解，且符合题意，15×4＝60，答：该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是每秒60兆．五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．解：（1）把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y＝kx+b（k≠0），得，解得，∴一次函数的解析式为y＝2x+12；（2）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，∴只有一组解，即2x2+12x﹣m＝0有两个相等的实数根，∴△＝122﹣4×2×（﹣m）＝0，∴m＝﹣18．把m＝﹣18代入求得该方程的解为：x＝﹣3，把x＝﹣3代入y＝2x+12得：y＝6，即所求的交点坐标为（﹣3，6）．22．解：如图2，过点A作AE⊥BC于点E，在Rt△ACE中，∵∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°，∴cos C＝cos70°＝，即CE＝AC×cos70°≈2×0.34＝0.68，sin C＝sin70°＝，即AE＝AC×sin70°≈2×0.94＝1.88，又∵在Rt△AEB中，∠ABC＝45°，∴AE＝BE，∴BC＝BE+CE＝0.68+1.88＝2.56≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．解：（1）轻症患者的人数＝200×80%＝160（人）；（2）该市为治疗危重症患者共花费钱数＝200×（1﹣80%﹣15%）×10＝100（万元）；（3）所有患者的平均治疗费用＝＝2.15（万元）；（4）列表得：A B C D EA（B，A）（C，A）（D，A）（E，A）B（A，B）（C，B）（D，B）（E，B）C（A，C）（B，C）（D，C）（E，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（E，D）E（A，E）（B，E）（C，E）（D，E）由列表格，可知：共有20种等可能的结果，恰好选中B、D两位同学的有2种情况，∴P（恰好选中B、D）＝＝．24．解：（1）连接OC，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∵DE⊥AB，∴∠OBC+∠DFB＝90°，∵EF＝EC，∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB，∴∠OCB+∠ECF＝90°，∴OC⊥CE，∴EC是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OB＝5，∴AB＝10，∴AC＝＝＝6，∵cos∠ABC＝，∴，∴BF＝5，∴CF＝BC﹣BF＝3，∵∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BFD＝90°，∴∠BFD＝∠A，∴∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∴△OAC∽△ECF，∴，∴EC＝＝＝．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．解：（1）把点A（﹣3，）代入y＝ax2，得到＝9a，∴a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2．（2）设直线l的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线l的解析式为y＝﹣x+，令x＝0，得到y＝，∴C（0，），由，解得或，∴B（1，），如图1中，过点A作AA1⊥x轴于A1，过B作BB1⊥x轴于B1，则BB1∥OC∥AA1，∴＝＝＝，＝＝＝，∴＝，即MC2＝MA•MB．（3）如图2中，设P（t，t2）∵OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，∴PD∥OC，PD＝OC，∴D（t，﹣t+），∴|t2﹣（﹣t+）|＝，整理得：t2+2t﹣6＝0或t2+2t＝0，解得t＝﹣1﹣或﹣1＝或﹣2或0（舍弃），∴P（﹣1﹣，2+）或（﹣1+，2﹣）或（﹣2，1）．26．证明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝90°﹣30°＝60°，同理∠EDF＝60°，∴∠A＝∠EDF＝60°，∴AC∥DE，∴∠DMB＝∠ACB＝90°，∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC∥DM，∴，即M是BC的中点，∵EP＝CE，即E是PC的中点，∴ED∥BP，∴∠CBP＝∠DMB＝90°，∴△CBP是直角三角形，∴BE＝PC＝EP；②∵∠ABC＝∠DFE＝30°，∴BC∥EF，由①知：∠CBP＝90°，∴BP⊥EF，∵EB＝EP，∴EF是线段BP的垂直平分线，∴PF＝BF，∴∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP，∴△QEP≌△DEC（SAS），则PQ＝DC＝DB，∵QE＝DE，∠DEF＝90°∴EF是DQ的垂直平分线，∴QF＝DF，∵CD＝AD，∴∠CDA＝∠A＝60°，∴∠CDB＝120°，∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP，∴△FQP≌△FDB（SAS），∴∠QFP＝∠BFD，∵EF是DQ的垂直平分线，∴∠QFE＝∠EFD＝30°，∴∠QFP+∠EFP＝30°，∴∠BFD+∠EFP＝30°．。
2020年湖南省常德市中考数学试卷和答案解析
2020年湖南省常德市中考数学试卷和答案解析一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）4的倒数为（）A．B．2C．1D．﹣4解析：根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，求倒数的方法，是把一个数的分子和分母互换位置即可，是带分数的化成假分数，再把分子分母互换位置，据此解答．参考答案：解：4的倒数为．故选：A．点拨：本题主要考查倒数的意义．解题的关键倒数的意义，注意求倒数的方法，把分子分母互换位置．2．（3分）下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（）A．B．C．D．解析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．参考答案：解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：C．点拨：此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后完全可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分完全重合．3．（3分）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE 的度数为（）A．70°B．65°C．35°D．5°解析：根据平行线的性质和∠1＝30°，∠2＝35°，可以得到∠BCE的度数，本题得以解决．参考答案：解：作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥DE，∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，∵∠1＝30°，∠2＝35°，∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，∴∠BCE＝65°，故选：B．点拨：本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．4．（3分）下列计算正确的是（）A．a2+b2＝（a+b）2B．a2+a4＝a6C．a10÷a5＝a2D．a2•a3＝a5解析：根据完全平方公式、合并同类项法则、同底数幂的乘除法计算得到结果，即可作出判断．参考答案：解：A、a2+2ab+b2＝（a+b）2，原计算错误，故此选项不符合题意；B、a2与a4不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；C、a10÷a5＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；D、a2•a3＝a5，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D．点拨：此题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．（3分）下列说法正确的是（）A．明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式D．一组数据的众数一定只有一个解析：根据必然事件的概念、众数的定义、随机事件的概率逐项分析即可得出答案．参考答案：解：A、明天的降水概率为80%，则明天下雨可能性较大，故本选项错误；B、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是，故本选项错误；C、了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式，故本选项正确；D、一组数据的众数不一定只有一个，故本选项错误；故选：C．点拨：本题考查了必然事件的概念、众数的定义、求随机事件的概率，解题的关键是熟练掌握众数的定义以及求随机事件的概率．6．（3分）一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（）A．100πB．200πC．100πD．200π解析：先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．参考答案：解：这个圆锥的母线长＝＝10，这个圆锥的侧面积＝×2π×10×10＝100π．故选：C．点拨：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．7．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1解析：先由抛物线与x周董交点个数判断出结论①，利用抛物线的对称轴为x＝2，判断出结论②，先由抛物线的开口方向判断出a＜0，进而判断出b＞0，再用抛物线与y轴的交点的位置判断出c ＞0，判断出结论③，最后用x＝﹣2时，抛物线在x轴下方，判断出结论④，即可得出结论．参考答案：解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴直线为x＝2，∴﹣＝2，∴4a+b＝0，故③正确，由图象知，抛物线开口方向向下，∴a＜0，∵4a+b＝0，∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴abc＜0，故②正确，由图象知，当x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，故④错误，即正确的结论有3个，故选：B．点拨：此题主要考查了二次函数图形与系数的关系，抛物线与y 轴的交点，抛物线的对称轴，掌握抛物线的性质是解本题的关键．8．（3分）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k 个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F解析：设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k （k+1），然后根据题目中所给的第k次依次移动k个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．参考答案：解：经实验或按下方法可求得顶点C，E和F棋子不可能停到．设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），应停在第k（k+1）﹣7p格，这时P是整数，且使0≤k（k+1）﹣7p≤6，分别取k＝1，2，3，4，5，6，7时，k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7＜k≤2020，设k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得，k（k+1）﹣7p＝7m+t（t+1），由此可知，停棋的情形与k＝t时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到．故选：D．点拨：本题考查规律型：图形的变化类，理解题意能力，关键是知道棋子所停的规则，找到规律，然后得到不等式求解．二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．（3分）分解因式：xy2﹣4x＝x（y+2）（y﹣2）．解析：原式提取x，再利用平方差公式分解即可．参考答案：解：原式＝x（y2﹣4）＝x（y+2）（y﹣2），故答案为：x（y+2）（y﹣2）点拨：此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．10．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x＞3．解析：根据二次根式有意义的条件可得2x﹣6＞0，再解即可．参考答案：解：由题意得：2x﹣6＞0，解得：x＞3，故答案为：x＞3．点拨：此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．11．（3分）计算：﹣+＝3．解析：直接化简二次根式进而合并得出答案．参考答案：解：原式＝﹣+2＝3．故答案为：3．点拨：此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．12．（3分）如图，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A，AB ⊥x轴于B，且△AOB的面积为6，则k＝﹣12．解析：根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题．参考答案：解：∵AB⊥OB，∴S△AOB＝＝6，∴k＝±12，∵反比例函数的图象在二四象限，∴k＜0，∴k＝﹣12，故答案为﹣12．点拨：本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13．（3分）4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如下：阅读时间（x小时）x≤3.5 3.5＜x≤55＜x≤6.5x＞6.5人数12864若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为400人．解析：用总人数×每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数所占的百分比即可得到结论．参考答案：解：1200×＝400（人），答：估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为400人．点拨：本题考查了频数（率）分布表，用样本估计总体，正确的理解题意是解题的关键．14．（3分）今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是4次．解析：设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，根据买口罩的次数是10次和家里现有口罩35只，可列出关于x 和y的二元一次方程组，求解即可．参考答案：解：设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，由题意得：，整理得：，解得：．故答案为：4．点拨：本题考查了二元一次方程组在实际问题中的应用，本题数量关系清晰，难度不大．15．（3分）如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF 分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C 都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为12．解析：设正方形ABCD的边长为x，由翻折及已知线段的长，可用含x的式子分别表示出BE、BF及EF的长；在Rt△BEF中，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值，即为DG的长．参考答案：解：设正方形ABCD的边长为x，由翻折可得：DG＝DA＝DC＝x，∵GF＝4，EG＝6，∴AE＝EG＝6，CF＝GF＝4，∴BE＝x﹣6，BF＝x﹣6，EF＝6+4＝10，如图1所示：在Rt△BEF中，由勾股定理得：BE2+BF2＝EF2，∴（x﹣6）2+（x﹣4）2＝102，∴x2﹣12x+36+x2﹣8x+16＝100，∴x2﹣10x﹣24＝0，∴（x+2）（x﹣12）＝0，∴x1＝﹣2（舍），x2＝12．∴DG＝12．故答案为：12．点拨：本题主要考查了翻折变换、正方形的性质、勾股定理及解一元二次方程，数形结合并明确相关性质及定理是解题的关键．16．（3分）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x ﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．解析：将原方程左边变形为x3﹣4x﹣x+2＝0，再进一步因式分解得（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，据此得到两个关于x的方程求解可得．参考答案：解：∵x3﹣5x+2＝0，∴x3﹣4x﹣x+2＝0，∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，解得x＝2或x＝﹣1，故答案为：x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．点拨：本题主要考查因式分解的应用，因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．（5分）计算：20+（）﹣1•﹣4tan45°．解析：先计算20、、（）﹣1、tan45°，再按运算顺序求值即可．参考答案：解：原式＝1+3×2﹣4×1＝1+6﹣4＝3．点拨：本题考查了零指数、负整数指数幂、特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式的运算及特殊角的三角函数值是解决本题的关键．18．（5分）解不等式组．解析：首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集．参考答案：解：，由①得：x＜5，由②得：x≥﹣1，不等式组的解集为：﹣1≤x＜5．点拨：此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的确定方法：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．（6分）先化简，再选一个合适的数代入求值：（x+1﹣）÷．解析：根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．参考答案：解：（x+1﹣）÷＝＝＝＝，当x＝2时，原式＝＝﹣．点拨：本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．20．（6分）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G 与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？解析：首先设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，根据题意可得等量关系：4G下载600兆所用时间﹣5G下载600兆所用时间＝140秒．然后根据等量关系，列出分式方程，再解即可．参考答案：解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，由题意得：﹣＝140，解得：x＝4，经检验：x＝4是原分式方程的解，且符合题意，15×4＝60，答：该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是每秒60兆．点拨：此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数列出方程．五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．（7分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（3，18）和B（﹣2，8）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m ≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．解析：（1）直接把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y＝kx+b中可得关于k、b的方程组，再解方程组可得k、b的值，进而求出一次函数的解析式；（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式，根据题意得到△＝0，解方程即可得到结论．参考答案：解：（1）把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y＝kx+b （k≠0），得，解得，∴一次函数的解析式为y＝2x+12；（2）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m ≠0）的图象只有一个交点，∴只有一组解，即2x2+12x﹣m＝0有两个相等的实数根，∴△＝122﹣4×2×（﹣m）＝0，∴m＝﹣18．把m＝﹣18代入求得该方程的解为：x＝﹣3，把x＝﹣3代入y＝2x+12得：y＝6，即所求的交点坐标为（﹣3，6）．点拨：此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．22．（7分）如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）解析：直接过点C作CF⊥AB于点F，利用锐角三角函数关系得出CF的长，进而得出BC的长．参考答案：方法一：解：如图1，过点C作CF⊥AB于点F，在Rt△ACF中，∵sin∠CAB＝sin（60°+5°）＝sin65°＝，∴CF＝AC•sin65°≈2×0.91＝1.82，在Rt△BCF中，∵∠ABC＝45°，∴CF＝BF，∴BC＝CF＝1.41×1.82＝2.5662≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．方法二：解：如图2，过点A作AE⊥BC于点E，在Rt△ACE中，∵∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°，∴cosC＝cos70°＝，即CE＝AC×cos70°≈2×0.34＝0.68，sinC＝sin70°＝，即AE＝AC×sin70°≈2×0.94＝1.88，又∵在Rt△AEB中，∠ABC＝45°，∴AE＝BE，∴BC＝BE+CE＝0.68+1.88＝2.56≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．点拨：此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．（8分）今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．解析：（1）因为总人数已知，由轻症患者所占的百分比即可求出其的人数；（2）求出该市危重症患者所占的百分比，即可求出其共花费的钱数；（3）用加权平均数公式求出各种患者的平均费用即可；（4）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中B、D两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．参考答案：解：（1）轻症患者的人数＝200×80%＝160（人）；（2）该市为治疗危重症患者共花费钱数＝200×（1﹣80%﹣15%）×10＝100（万元）；（3）所有患者的平均治疗费用＝＝2.15（万元）；（4）列表得：A B C D EA（B，A）（C，A）（D，A）（E，A）B（A，B）（C，B）（D，B）（E，B）C（A，C）（B，C）（D，C）（E，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（E，D）E（A，E）（B，E）（C，E）（D，E）由列表格，可知：共有20种等可能的结果，恰好选中B、D两位同学的有2种情况，∴P（恰好选中B、D）＝＝．点拨：此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及条形统计图的应用．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．24．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D 是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且EF＝EC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．解析：（1）连接OC，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得∠OCB+∠ECF＝90°，可证EC是⊙O的切线；（2）由勾股定理可求AC＝6，由锐角三角函数可求BF＝5，可求CF＝3，通过证明△OAC∽△ECF，可得，可求解．参考答案：解：（1）连接OC，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∵DE⊥AB，∴∠OBC+∠DFB＝90°，∵EF＝EC，∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB，∴∠OCB+∠ECF＝90°，∴OC⊥CE，∴EC是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OB＝5，∴AB＝10，∴AC＝＝＝6，∵cos∠ABC＝，∴，∴BF＝5，∴CF＝BC﹣BF＝3，∵∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BFD＝90°，∴∠BFD＝∠A，∴∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∴△OAC∽△ECF，∴，∴EC＝＝＝．点拨：本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，切线的判定和性质，锐角三角函数等知识，证明△OAC∽△ECF是本题的关键．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A，M（，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．解析：（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）构建方程组确定点B的坐标，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（3）如图2中，设P（t，t2），根据PD＝CD构建方程求出t即可解决问题．参考答案：解：（1）把点A（﹣3，）代入y＝ax2，得到＝9a，∴a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2．（2）设直线l的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线l的解析式为y＝﹣x+，令x＝0，得到y＝，∴C（0，），由，解得或，∴B（1，），如图1中，过点A作AA1⊥x轴于A1，过B作BB1⊥x轴于B1，则BB1∥OC∥AA1，∴＝＝＝，＝＝＝，∴＝，即MC2＝MA•MB．（3）如图2中，设P（t，t2）∵OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，∴PD∥OC，PD＝OC，∴D（t，﹣t+），∴|t2﹣（﹣t+）|＝，整理得：t2+2t﹣6＝0或t2+2t＝0，解得t＝﹣1﹣或﹣1＝或﹣2或0（舍弃），∴P（﹣1﹣，2+）或（﹣1+，2﹣）或（﹣2，1）．点拨：本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．26．（10分）已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．解析：（1）①证明△CBP是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论；②根据同位角相等可得BC∥EF，由平行线的性质得BP⊥EF，可得EF是线段BP的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，证明△QEP≌△DEC（SAS），则PQ＝DC＝DB，由QE＝DE，∠DEF＝90°，知EF是DQ的垂直平分线，证明△FQP≌△FDB （SAS），再由EF是DQ的垂直平分线，可得结论．参考答案：证明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝90°﹣30°＝60°，同理∠EDF＝60°，∴∠A＝∠EDF＝60°，∴AC∥DE，∴∠DMB＝∠ACB＝90°，∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC∥DM，∴，即M是BC的中点，∵EP＝CE，即E是PC的中点，∴ED∥BP，∴∠CBP＝∠DMB＝90°，∴△CBP是直角三角形，∴BE＝PC＝EP；②∵∠ABC＝∠DFE＝30°，∴BC∥EF，由①知：∠CBP＝90°，∴BP⊥EF，∵EB＝EP，∴EF是线段BP的垂直平分线，∴PF＝BF，∴∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP，∴△QEP≌△DEC（SAS），则PQ＝DC＝DB，∵QE＝DE，∠DEF＝90°∴EF是DQ的垂直平分线，∴QF＝DF，∵CD＝AD，∴∠CDA＝∠A＝60°，∴∠CDB＝120°，∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP，∴△FQP≌△FDB（SAS），∴∠QFP＝∠BFD，∵EF是DQ的垂直平分线，∴∠QFE＝∠EFD＝30°，∴∠QFP+∠EFP＝30°，∴∠BFD+∠EFP＝30°．点拨：本题是三角形的综合题，考查了平行线分线段成比理、勾股定理、三角形全等的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，难度适中，属于中考常考题型．。
湖南省常德市2020年中考数学试卷
2020年湖南省常德市中考数学试卷一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）4的倒数为（）A．B．2C．1D．﹣4 2．（3分）下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（）A．B．C．D．3．（3分）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（）A．70°B．65°C．35°D．5°4．（3分）下列计算正确的是（）A．a2+b2＝（a+b）2B．a2+a4＝a6C．a10÷a5＝a2D．a2•a3＝a55．（3分）下列说法正确的是（）A．明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式D．一组数据的众数一定只有一个6．（3分）一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（）A．100πB．200πC．100πD．200π7．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．18．（3分）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．（3分）分解因式：xy2﹣4x＝．10．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．11．（3分）计算：﹣+＝．12．（3分）如图，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为6，则k＝．13．（3分）4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如下：小时以上的学生人数为．14．（3分）今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是次．15．（3分）如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为．16．（3分）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx ﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．（5分）计算：20+（）﹣1•﹣4tan45°．18．（5分）解不等式组．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．（6分）先化简，再选一个合适的数代入求值：（x+1﹣）÷．20．（6分）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．（7分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（3，18）和B（﹣2，8）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．22．（7分）如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．（8分）今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．24．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且EF＝EC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A，M（，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．26．（10分）已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF ＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB 与EF交于N．（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．2020年湖南省常德市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）4的倒数为（）A．B．2C．1D．﹣4【分析】根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，求倒数的方法，是把一个数的分子和分母互换位置即可，是带分数的化成假分数，再把分子分母互换位置，据此解答．【解答】解：4的倒数为．故选：A．2．（3分）下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：C．3．（3分）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（）A．70°B．65°C．35°D．5°【分析】根据平行线的性质和∠1＝30°，∠2＝35°，可以得到∠BCE的度数，本题得以解决．【解答】解：作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥DE，∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，∵∠1＝30°，∠2＝35°，∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，∴∠BCE＝65°，故选：B．4．（3分）下列计算正确的是（）A．a2+b2＝（a+b）2B．a2+a4＝a6C．a10÷a5＝a2D．a2•a3＝a5【分析】根据完全平方公式、合并同类项法则、同底数幂的乘除法计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、a2+2ab+b2＝（a+b）2，原计算错误，故此选项不符合题意；B、a2与a4不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；C、a10÷a5＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；D、a2•a3＝a5，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D．5．（3分）下列说法正确的是（）A．明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式D．一组数据的众数一定只有一个【分析】根据必然事件的概念、众数的定义、随机事件的概率逐项分析即可得出答案．【解答】解：A、明天的降水概率为80%，则明天下雨可能性较大，故本选项错误；B、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是，故本选项错误；C、了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式，故本选项正确；D、一组数据的众数不一定只有一个，故本选项错误；故选：C．6．（3分）一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（）A．100πB．200πC．100πD．200π【分析】先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．【解答】解：这个圆锥的母线长＝＝10，这个圆锥的侧面积＝×2π×10×10＝100π．故选：C．7．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1【分析】先由抛物线与x周董交点个数判断出结论①，利用抛物线的对称轴为x＝2，判断出结论②，先由抛物线的开口方向判断出a＜0，进而判断出b＞0，再用抛物线与y轴的交点的位置判断出c＞0，判断出结论③，最后用x＝﹣2时，抛物线在x轴下方，判断出结论④，即可得出结论．【解答】解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴直线为x＝2，∴﹣＝2，∴4a+b＝0，故②正确，由图象知，抛物线开口方向向下，∴a＜0，∵4a+b＝0，∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴abc＜0，故③正确，由图象知，当x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，故④错误，即正确的结论有3个，故选：B．8．（3分）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F【分析】设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），然后根据题目中所给的第k次依次移动k个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．【解答】解：经实验或按下方法可求得顶点C，E和F棋子不可能停到．设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），应停在第k（k+1）﹣7p格，这时P是整数，且使0≤k（k+1）﹣7p≤6，分别取k＝1，2，3，4，5，6，7时，k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7＜k≤2020，设k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得，k（k+1）﹣7p＝7m+t（t+1），由此可知，停棋的情形与k＝t时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到．故选：D．二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．（3分）分解因式：xy2﹣4x＝x（y+2）（y﹣2）．【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝x（y2﹣4）＝x（y+2）（y﹣2），故答案为：x（y+2）（y﹣2）10．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x＞3．【分析】根据二次根式有意义的条件可得2x﹣6＞0，再解即可．【解答】解：由题意得：2x﹣6＞0，解得：x＞3，故答案为：x＞3．11．（3分）计算：﹣+＝3．【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案．【解答】解：原式＝﹣+2＝3．故答案为：3．12．（3分）如图，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为6，则k＝﹣12．【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题．【解答】解：∵AB⊥OB，∴S△AOB＝＝6，∴k＝±12，∵反比例函数的图象在二四象限，∴k＜0，∴k＝﹣12，故答案为﹣12．13．（3分）4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如下：小时以上的学生人数为400人．【分析】用总人数×每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数所占的百分比即可得到结论．【解答】解：1200×＝400（人），答：估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为400人．14．（3分）今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是4次．【分析】设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，根据买口罩的次数是10次和家里现有口罩35只，可列出关于x和y的二元一次方程组，求解即可．【解答】解：设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，由题意得：，整理得：，解得：．故答案为：4．15．（3分）如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为12．【分析】设正方形ABCD的边长为x，由翻折及已知线段的长，可用含x的式子分别表示出BE、BF及EF 的长；在Rt△BEF中，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值，即为DG的长．【解答】解：设正方形ABCD的边长为x，由翻折可得：DG＝DA＝DC＝x，∵GF＝4，EG＝6，∴AE＝EG＝6，CF＝GF＝4，∴BE＝x﹣6，BF＝x﹣6，EF＝6+4＝10，如图1所示：在Rt△BEF中，由勾股定理得：BE2+BF2＝EF2，∴（x﹣6）2+（x﹣4）2＝102，∴x2﹣12x+36+x2﹣8x+16＝100，∴x2﹣10x﹣24＝0，∴（x+2）（x﹣12）＝0，∴x1＝﹣2（舍），x2＝12．∴DG＝12．故答案为：12．16．（3分）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx ﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．【分析】将原方程左边变形为x3﹣4x﹣x+2＝0，再进一步因式分解得（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，据此得到两个关于x的方程求解可得．【解答】解：∵x3﹣5x+2＝0，∴x3﹣4x﹣x+2＝0，∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，解得x＝2或x＝﹣1，故答案为：x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．（5分）计算：20+（）﹣1•﹣4tan45°．【分析】先计算20、、（）﹣1、tan45°，再按运算顺序求值即可．【解答】解：原式＝1+3×2﹣4×1＝1+6﹣4＝3．18．（5分）解不等式组．【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集．【解答】解：，由①得：x＜5，由②得：x≥﹣1，不等式组的解集为：﹣1≤x＜5．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．（6分）先化简，再选一个合适的数代入求值：（x+1﹣）÷．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（x+1﹣）÷＝＝＝＝，当x＝2时，原式＝＝﹣．20．（6分）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G 与5G的下载速度分别是每秒多少兆？【分析】首先设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，根据题意可得等量关系：4G下载600兆所用时间﹣5G下载600兆所用时间＝140秒．然后根据等量关系，列出分式方程，再解即可．【解答】解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，由题意得：﹣＝140，解得：x＝4，经检验：x＝4是原分式方程的解，且符合题意，15×4＝60，答：该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是每秒60兆．五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．（7分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（3，18）和B（﹣2，8）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．【分析】（1）直接把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y＝kx+b中可得关于k、b的方程组，再解方程组可得k、b的值，进而求出一次函数的解析式；（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式，根据题意得到△＝0，解方程即可得到结论．【解答】解：（1）把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y＝kx+b（k≠0），得，解得，∴一次函数的解析式为y＝2x+12；（2）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，∴只有一组解，即2x2+12x﹣m＝0有两个相等的实数根，∴△＝122﹣4×2×（﹣m）＝0，∴m＝﹣18．把m＝﹣18代入求得该方程的解为：x＝﹣3，把x＝﹣3代入y＝2x+12得：y＝6，即所求的交点坐标为（﹣3，6）．22．（7分）如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）【分析】直接过点C作CF⊥AB于点F，利用锐角三角函数关系得出CF的长，进而得出BC的长．【解答】方法一：解：如图1，过点C作CF⊥AB于点F，在Rt△ACF中，∵sin∠CAB＝sin（60°+5°）＝sin65°＝，∴CF＝AC•sin65°≈2×0.91＝1.82，在Rt△BCF中，∵∠ABC＝45°，∴CF＝BF，∴BC＝CF＝1.41×1.82＝2.5662≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．方法二：解：如图2，过点A作AE⊥BC于点E，在Rt△ACE中，∵∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°，∴cos C＝cos70°＝，即CE＝AC×cos70°≈2×0.34＝0.68，sin C＝sin70°＝，即AE＝AC×sin70°≈2×0.94＝1.88，又∵在Rt△AEB中，∠ABC＝45°，∴AE＝BE，∴BC＝BE+CE＝0.68+1.88＝2.56≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．（8分）今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．【分析】（1）因为总人数已知，由轻症患者所占的百分比即可求出其的人数；（2）求出该市危重症患者所占的百分比，即可求出其共花费的钱数；（3）用加权平均数公式求出各种患者的平均费用即可；（4）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中B、D两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）轻症患者的人数＝200×80%＝160（人）；（2）该市为治疗危重症患者共花费钱数＝200×（1﹣80%﹣15%）×10＝100（万元）；（3）所有患者的平均治疗费用＝＝2.15（万元）；（4）列表得：2种情况，∴P（恰好选中B、D）＝＝．24．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且EF＝EC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．【分析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得∠OCB+∠ECF＝90°，可证EC是⊙O 的切线；（2）由勾股定理可求AC＝6，由锐角三角函数可求BF＝5，可求CF＝3，通过证明△OAC∽△ECF，可得，可求解．【解答】解：（1）连接OC，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∵DE⊥AB，∴∠OBC+∠DFB＝90°，∵EF＝EC，∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB，∴∠OCB+∠ECF＝90°，∴OC⊥CE，∴EC是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OB＝5，∴AB＝10，∴AC＝＝＝6，∵cos∠ABC＝，∴，∴BF＝5，∴CF＝BC﹣BF＝3，∵∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BFD＝90°，∴∠BFD＝∠A，∴∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∴△OAC∽△ECF，∴，∴EC＝＝＝．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A，M（，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）构建方程组确定点B的坐标，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（3）如图2中，设P（t，t2），根据PD＝CD构建方程求出t即可解决问题．【解答】解：（1）把点A（﹣3，）代入y＝ax2，得到＝9a，∴a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2．（2）设直线l的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线l的解析式为y＝﹣x+，令x＝0，得到y＝，∴C（0，），由，解得或，∴B（1，），如图1中，过点A作AA1⊥x轴于A1，过B作BB1⊥x轴于B1，则BB1∥OC∥AA1，∴＝＝＝，＝＝＝，∴＝，即MC2＝MA•MB．（3）如图2中，设P（t，t2）∵OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，∴PD∥OC，PD＝OC，∴D（t，﹣t+），∴|t2﹣（﹣t+）|＝，整理得：t2+2t﹣6＝0或t2+2t＝0，解得t＝﹣1﹣或﹣1＝或﹣2或0（舍弃），∴P（﹣1﹣，2+）或（﹣1+，2﹣）或（﹣2，1）．26．（10分）已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF ＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB 与EF交于N．（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．【分析】（1）①证明△CBP是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论；②根据同位角相等可得BC∥EF，由平行线的性质得BP⊥EF，可得EF是线段BP的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，证明△QEP≌△DEC（SAS），则PQ＝DC＝DB，由QE＝DE，∠DEF＝90°，知EF是DQ的垂直平分线，证明△FQP≌△FDB（SAS），再由EF是DQ的垂直平分线，可得结论．【解答】证明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝90°﹣30°＝60°，同理∠EDF＝60°，∴∠A＝∠EDF＝60°，∴AC∥DE，∴∠DMB＝∠ACB＝90°，∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC∥DM，∴，即M是BC的中点，∵EP＝CE，即E是PC的中点，∴ED∥BP，∴∠CBP＝∠DMB＝90°，∴△CBP是直角三角形，∴BE＝PC＝EP；②∵∠ABC＝∠DFE＝30°，∴BC∥EF，由①知：∠CBP＝90°，∴BP⊥EF，∵EB＝EP，∴EF是线段BP的垂直平分线，∴PF＝BF，∴∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP，∴△QEP≌△DEC（SAS），则PQ＝DC＝DB，∵QE＝DE，∠DEF＝90°∴EF是DQ的垂直平分线，∴QF＝DF，∵CD＝AD，∴∠CDA＝∠A＝60°，∴∠CDB＝120°，∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP，∴△FQP≌△FDB（SAS），∴∠QFP＝∠BFD，∵EF是DQ的垂直平分线，∴∠QFE＝∠EFD＝30°，∴∠QFP+∠EFP＝30°，∴∠BFD+∠EFP＝30°．。
湖南省常德市2020年中考数学试卷
湖南省常德市2020年中考数学试卷一、单选题（共8题；共16分）1.4的倒数为（）A. B. 2 C. 1 D. ﹣42.下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（）A. B. C. D.3.如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（）A. 70°B. 65°C. 35°D. 5°4.下列计算正确的是（）A. a2+b2＝（a+b）2B. a2+a4＝a6C. a10÷a5＝a2D. a2•a3＝a55.下列说法正确的是（）A. 明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨B. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C. 了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式D. 一组数据的众数一定只有一个6.一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（）A. 100 πB. 200 πC. 100 πD. 200 π7.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a ﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 18.如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）A. C、EB. E、FC. G、C、ED. E、C、F二、填空题（共8题；共8分）9.分解因式：________．10.若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．11.计算：﹣＝________．12.如图，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为6，则k ＝________．13.4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如表：若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为________．14.今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是________次．15.如图1，已知四边形ABCD是正方形，将，分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为________．16.阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx ﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为________．三、解答题（共10题；共90分）17.计算：20+（）﹣1• ﹣4tan45°．18.解不等式组．19.先化简，再选一个合适的数代入求值：（x+1﹣）÷ ．20.第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G 的下载速度分别是每秒多少兆？21.已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（3，18）和B（﹣2，8）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．22.如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，t an65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）23.今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．24.如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且EF＝EC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．25.如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A，M（，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．26.已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE ＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB 与EF交于N．（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．答案解析部分一、单选题1.【答案】A2.【答案】C3.【答案】B4.【答案】D5.【答案】C6.【答案】C7.【答案】B8.【答案】D二、填空题9.【答案】10.【答案】x＞311.【答案】312.【答案】﹣1213.【答案】40014.【答案】415.【答案】1216.【答案】x＝2或x＝﹣1+ 或x＝﹣1﹣三、解答题17.【答案】解：20+（）﹣1• ﹣4tan45°＝1+3×2﹣4×1＝1+6﹣4＝3．18.【答案】解：，由①得：x＜5，由②得：x≥﹣1，不等式组的解集为：﹣1≤x＜5．19.【答案】解：（x+1﹣）÷＝＝＝＝，当x＝2时，原式＝＝﹣．20.【答案】解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，由题意得：﹣＝140，解得：x＝4，经检验：x＝4是原分式方程的解，且符合题意，15x =15×4＝60，答：该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是每秒60兆．21.【答案】（1）解：把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y＝kx+b（k≠0），得，解得，∴一次函数的解析式为y＝2x+12；（2）解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，∴只有一组解，即2x2+12x﹣m＝0有两个相等的实数根，∴△＝122﹣4×2×（﹣m）＝0，∴m＝-18．把m＝-18代入求得该方程的解为：x＝-3，把x＝-3代入y＝2x+12得：y＝6，即所求的交点坐标为（-3，6）．22.【答案】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，∵在Rt△ACE中，∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°，∴cosC＝cos70°＝，即CE＝AC×cos70°≈2×0.34＝0.68，sinC＝sin70°＝，AE＝AC×sin70°≈2×0.94＝1.88，又∵在Rt△AEB中，∠ABC＝45°，∴△AEB是等腰直角三角形∴AE＝BE，∴BC＝BE+CE＝0.68+1.88＝2.56≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．23.【答案】（1）解：轻症患者的人数＝200×80%＝160（人）；（2）解：该市为治疗危重症患者共花费钱数＝200×（1﹣80%﹣15%）×10＝100（万元）；（3）解：所有患者的平均治疗费用＝＝2.15（万元）；（4）解：列表得：由列表格，可知：共有20种等可能的结果，恰好选中B、D两位同学的有2种情况，∴P（恰好选中B、D）＝＝．24.【答案】（1）解：连接OC，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∵DE⊥AB，∴∠OBC+∠DFB＝90°，∵EF＝EC，∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB，∴∠OCB+∠ECF＝90°，∴OC⊥CE，∴EC是⊙O的切线；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OB＝5，∴AB＝10，∴AC＝＝＝6，∵cos∠ABC＝，∴，∴BF＝5，∴CF＝BC﹣BF＝3，∵∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BFD＝90°，∴∠BFD＝∠A，∴∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∴△OAC∽△ECF，∴，∴EC＝＝＝．25.【答案】（1）解：把点A（﹣3，）代入y＝ax2，得到＝9a，∴a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2．（2）解：设直线l的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线l的解析式为y＝﹣x+ ，令x＝0，得到y＝，∴C（0，），由，解得或，∴B（1，），如图1中，过点A作AA1⊥x轴于A1，过B作BB1⊥x轴于B1，则BB1∥OC∥AA1，∴＝＝＝，＝＝＝，∴＝，即MC2＝MA•MB．（3）解：如图2中，设P（t，t2）∵OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，∴PD∥OC，PD＝OC，∴D（t，﹣t+ ），∴| t2﹣（﹣t+ ）|＝，整理得：t2+2t﹣6＝0或t2+2t＝0，解得t＝﹣1﹣或﹣1＝或﹣2或0（舍弃），∴P（﹣1﹣，2+ ）或（﹣1+ ，2﹣）或（﹣2，1）．26.【答案】（1）解：①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°∴∠A＝90°﹣30°＝60°同理∠EDF＝60°∴∠A＝∠EDF＝60°∴AC∥DE∴∠DMB＝∠ACB＝90°∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC∥DM∴即M是BC的中点∵EP＝CE，即E是PC的中点∴ED∥BP∴∠CBP＝∠DMB＝90°∴△CBP是直角三角形∴BE＝PC＝EP②∵∠ABC＝∠DFE＝30°∴BC∥EF由①知：∠CBP＝90°∴BP⊥EF∵EB＝EP∴EF是线段BP的垂直平分线∴PF＝BF∴∠PFE＝∠BFE＝30°（2）解：如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP∴△QEP≌△DEC（SAS）则PQ＝DC＝DB∵QE＝DE，∠DEF＝90°∴EF是DQ的垂直平分线∴QF＝DF∵CD＝AD∴∠CDA＝∠A＝60°∴∠CDB＝120°∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP ∴△FQP≌△FDB（SAS）∴∠QFP＝∠BFD∵EF是DQ的垂直平分线∴∠QFE＝∠EFD＝30°∴∠QFP+∠EFP＝30°∴∠BFD+∠EFP＝30°。
2020年湖南省常德市中考数学试卷及答案解析
2020年湖南省常德市中考数学试卷
一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
1．4的倒数为（）
A ．B．2C．1D．﹣4 2．下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（）
A．70°B．65°C．35°D．5°4．下列计算正确的是（）
A．a2+b2＝（a+b）2B．a2+a4＝a6
C．a10÷a5＝a2D．a2•a3＝a5
5．下列说法正确的是（）
A．明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨
B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上
C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式
D．一组数据的众数一定只有一个
6．一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（）A．100πB．200πC．100πD．200π7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：
①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．
其中正确结论的个数是（）
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B 、 a2 与 a4 不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意； C 、 a10 a5 a5 ，原计算错误，故此选项不符合题意； D 、 a2 a3 a5 ，原计算正确，故此选项符合题意； 故选： D ． 【点评】此题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．（3 分）下列说法正确的是 ( )
七、（本大题 2 个小题，每小题 10 分，满分 20 分） 25．（10 分）如图，已知抛物线 y ax2 过点 A(3, 9) ．
4 （1）求抛物线的解析式； （2）已知直线 l 过点 A ， M (3 ， 0) 且与抛物线交于另一点 B ，与 y 轴交于点 C ，求证：
2 MC2 MA MB ； （3）若点 P ，D 分别是抛物线与直线 l 上的动点，以 OC 为一边且顶点为 O ，C ，P ，D 的 四边形是平行四边形，求所有符合条件的 P 点坐标．
AB / /DE ，
CF / /DE ，
AB / /DE / /DE ，
1 BCF ， FCE 2 ，
1 30 ， 2 35 ，
BCF 30 ， FCE 35 ，
BCE 65 ，
故选： B ．
【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答． 4．（3 分）下列计算正确的是 ( )
A．明天的降水概率为 80% ，则明天 80% 的时间下雨， 20% 的时间不下雨
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B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上 C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式 D．一组数据的众数一定只有一个 【分析】根据必然事件的概念、众数的定义、随机事件的概率逐项分析即可得出答案． 【解答】解： A 、明天的降水概率为 80% ，则明天下雨可能性较大，故本选项错误； B 、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是 1 ，故本选项错误；
x 3.5
3.5 x 5 5 x 6.5
x 6.5
人数
128Βιβλιοθήκη 64第 2 页（共 27 页）
若该校共有 1200 名学生，试估计全校每周课外阅读时间在 5 小时以上的学生人数为 ． 14．（3 分）今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购 5 只．李红 出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回 5 只．已知李红家原有库存 15 只，出门 10 次购买后，家里现有口罩 35 只．请问李红出门没 有买到口罩的次数是 次． 15．（3 分）如图 1，已知四边形 ABCD 是正方形，将 DAE ， DCF 分别沿 DE ， DF 向内 折叠得到图 2，此时 DA 与 DC 重合 ( A 、 C 都落在 G 点），若 GF 4 ， EG 6 ，则 DG 的长 为．
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2020 年湖南省常德市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题 8 个小题，每小题 3 分，满分 24 分）
1．（3 分）4 的倒数为 ( )
A． 1 4
B．2
C．1
D． 4
【分析】根据倒数的意义，乘积是 1 的两个数叫做互为倒数，求倒数的方法，是把一个数的
分子和分母互换位置即可，是带分数的化成假分数，再把分子分母互换位置，据此解答．
2x 1 x 4①
18．（5
分）解不等式组
2 3
x
3x 2
1
1②． 3
四、（本大题 2 个小题，每小题 6 分，满分 12 分）
19．（6 分）先化简，再选一个合适的数代入求值： (x 1 7x 9) x2 9 ．
x
x
20．（6 分）第 5 代移动通信技术简称 5G ，某地已开通 5G 业务，经测试 5G 下载速度是 4G 下
完全重合．
3．（3 分）如图，已知 AB / /DE ， 1 30 ， 2 35 ，则 BCE 的度数为 ( )
第 7 页（共 27 页）
A． 70
B． 65
C． 35
D． 5
【分析】根据平行线的性质和 1 30 ，2 35 ，可以得到 BCE 的度数，本题得以解决．
【解答】解：作 CF / / AB ，
2020 年湖南省常德市中考数学试卷
一、选择题（本大题 8 个小题，每小题 3 分，满分 24 分）
1．（3 分）4 的倒数为 ( )
A． 1 4
B．2
C．1
2．（3 分）下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是 (
D． 4 )
A．
B．
C．
D．
3．（3 分）如图，已知 AB / /DE ， 1 30 ， 2 35 ，则 BCE 的度数为 ( )
【解答】解：4 的倒数为 1 ． 4
故选： A ．
【点评】本题主要考查倒数的意义．解题的关键倒数的意义，注意求倒数的方法，把分子分
母互换位置．
2．（3 分）下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是 ( )
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解： A 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
能停留的顶点是 ( )
A． C 、 E
B． E 、 F
C． G 、 C 、 E
二、填空题（本大题 8 个小题，每小题 3 分，满分 24 分）
D． E 、 C 、 F
9．（3 分）分解因式： xy2 4x ．
10．（3 分）若代数式 2 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ． 2x 6
11．（3 分）计算： 9 1 8 ． 22
2 C 、了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式，故本选项正确； D 、一组数据的众数不一定只有一个，故本选项错误； 故选： C ． 【点评】本题考查了必然事件的概念、众数的定义、求随机事件的概率，解题的关键是熟练 掌握众数的定义以及求随机事件的概率． 6．（3 分）一个圆锥的底面半径 r 10 ，高 h 20 ，则这个圆锥的侧面积是 ( )
16．（3 分）阅读理解：对于 x3 (n2 1)x n 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
x3 (n2 1)x n x3 n2x x n x(x2 n2 ) (x n) x(x n)(x n) (x n) (x n)(x2 nx 1)
．
理 解 运 用 ： 如 果 x3 (n2 1)x n 0 ， 那 么 (x n) (x2 n x 1 ) ，0 即 有 x n 0 或
x2 nx 1 0 ，
因此，方程 x n 0 和 x2 nx 1 0 的所有解就是方程 x3 (n2 1)x n 0 的解．
解决问题：求方程 x3 5x 2 0 的解为 ．
三、（本大题 2 个小题，每小题 5 分，满分 10 分）
17．（5 分）计算： 20 (1)1 4 4 tan 45 ． 3
A． 70
B． 65
4．（3 分）下列计算正确的是 ( )
C． 35
D． 5
A． a2 b2 (a b)2 B． a2 a4 a6
C． a10 a5 a2
D． a2 a3 a5
5．（3 分）下列说法正确的是 ( ) A．明天的降水概率为 80% ，则明天 80% 的时间下雨， 20% 的时间不下雨 B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上 C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式 D．一组数据的众数一定只有一个
x 求交点坐标． 22．（7 分）如图 1 是自动卸货汽车卸货时的状态图，图 2 是其示意图．汽车的车厢采用液 压机构、车厢的支撑顶杆 BC 的底部支撑点 B 在水平线 AD 的下方， AB 与水平线 AD 之间 的夹角是 5 ，卸货时，车厢与水平线 AD 成 60 ，此时 AB 与支撑顶杆 BC 的夹角为 45 ，若 AC 2 米，求 BC 的长度．（结果保留一位小数）
12．（3 分）如图，若反比例函数 y k (x 0) 的图象经过点 A ， AB x 轴于 B ，且 AOB 的 x
面积为 6，则 k ．
13．（3 分）4 月 23 日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了 30 名学生每周课外阅读的时间，统计如下：
阅读时间 (x 小时）
26．（10 分）已知 D 是 RtABC 斜边 AB 的中点， ACB 90 ， ABC 30 ，过点 D 作
第 5 页（共 27 页）
RtDEF 使 DEF 90 ， DFE 30 ，连接 CE 并延长 CE 到 P ，使 EP CE ，连接 BE ， FP ， BP ，设 BC 与 DE 交于 M ， PB 与 EF 交于 N ． （1）如图 1，当 D ， B ， F 共线时，求证： ① EB EP ； ② EFP 30 ； （2）如图 2，当 D ， B ， F 不共线时，连接 BF ，求证： BFD EFP 30 ．
6．（3 分）一个圆锥的底面半径 r 10 ，高 h 20 ，则这个圆锥的侧面积是 ( )
A．100 3
B． 200 3
C．100 5
D． 200 5
7．（3 分）二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图象如图所示，下列结论：
① b2 4ac 0 ；② abc 0 ；③ 4a b 0 ；④ 4a 2b c 0 ．
（参考数据：sin 65 0.91，cos65 0.42 ，tan 65 2.14 ，sin 70 0.94 ，cos70 0.34 ， tan 70 2.75 ， 2 1.41) 六、（本大题 2 个小题，每小题 8 分，满分 16 分） 23．（8 分）今年 2 4 月某市出现了 200 名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者 进行了免费治疗．图 1 是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整）， 图 2 是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题． （1）轻症患者的人数是多少？ （2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？ （3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？ （4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的 A 、 B 、C 、 D 、 E 五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中 B 、 D 两位患者的