基本初等函数定义及性质知识点归纳
初等基本函数知识点总结
初等基本函数知识点总结函数是数学中最基本的概念之一，它在数学的各个分支中都有着重要的应用。
初等基本函数是指在初等数学范围内常见的基本函数，包括常数函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等。
本文将对这些初等基本函数的概念、性质等进行总结和介绍。
一、常数函数常数函数的定义是f(x) = c （c为常数）。
这里的c就是常数函数的函数值，它是一个常数，和x的取值无关。
在坐标系中，常数函数的图象是一条水平的直线，它的斜率为0。
常数函数的性质有：1. 常数函数的图象是一条水平的直线。
2. 常数函数的定义域是全体实数集R，值域为{c}。
3. 常数函数的导数为0，即f'(x) = 0。
4. 常数函数是一个一一对应的函数。
5. 常数函数是奇函数，偶函数，周期函数，增函数，减函数等的特殊情况。
二、一次函数一次函数的定义是f(x) = kx + b （k和b为常数，k≠0）。
在坐标系中，一次函数的图象是一条通过点P(k，b)的直线，它的斜率为k，截距为b。
一次函数的性质有：1. 一次函数的图象是一条直线，斜率k决定了直线的倾斜程度，截距b决定了直线与y轴的交点位置。
2. 一次函数的定义域是全体实数集R，值域是一切实数集R。
3. 一次函数的导数为k，即f'(x) = k。
4. 当k>0时，一次函数是增函数；当k<0时，一次函数是减函数；当k=0时，一次函数是常数函数。
5. 一次函数是一个奇函数，因为f(-x) = -kx + b = -f(x)。
三、二次函数二次函数的定义是f(x) = ax^2 + bx + c （a、b和c为常数，a≠0）。
二次函数的图象是一个开口向上或者向下的抛物线，它的开口方向由a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二次函数的性质有：1. 二次函数的图象是一个抛物线，它关于y轴对称，对称轴方程为x = -b/2a。
基本初等函数知识总结
1
0
x
y loga x
y log2 x
y log3 x y log1 x x
3
y log1 x
2
性 质
底数互为倒数的两个指数
一 函数的图象关于y轴对称。
底数互为倒数的两个对数 函数的图象关于x轴对称。
性
质 在 y轴的右边看图象,图象 二 越高底数越大.即底大图高
在 x=1的右边看图象,图象 越高底数越小.即底小图高
幂函数
函数y=xα叫做幂函数, 其中x是自变量, α是常 数.
对于幂函数，我们只
讨论 1, 2, 3, 1 , 1
2
时的情形
y y x3
y x2
1 -1
O1
-1
yx
1
y x2
y1 x
x
幂函数的性质
函数 性质
定义域 值域
奇偶性
单调性
公共点
y=x y=x2
R
R
R [0,+∞) 奇偶
增
[0,+∞)增
n am
同时: 0的正分数指数幂等于0； 0的负分数指数幂
没有意义
2.有理数指数幂的运算性质
a a a r s
r s(a 0,r, s Q) 同底数幂相乘,底数不变指数相加
r
a a r -s (a 0,r, s Q) 同底数幂相除, 底数不变指数相减 as
(a ) a r s
rs (a 0,r, s Q) 幂的乘方底数不变,指数相乘
o
x
①x∈ (0,+∞) ； ② y∈ R;
③过定点(1, 0)
性 ④当x＞ 1时,y＞ 0, 质 0＜ x＜ 1时, y＜ 0
数学必修一基本初等函数知识点
数学必修一基本初等函数知识点一、函数的概念函数是自然界和社会现象中的各种数学规律在数学上的抽象和推广。
一般来说，对于自变量x的每一个取值，都有唯一的因变量y与之对应。
数学上，函数用来描述自变量和因变量之间的对应关系。
二、函数的表示函数的一般表示形式为y=f(x)，其中y为因变量，x为自变量，f(x)为函数关系式，描述了x与y之间的对应关系。
常用的函数表示形式包括算式、表格、图像和文字等。
三、函数的性质1.定义域和值域：一个函数的定义域是该函数所有可能的自变量的值的集合，值域是函数所有可能的因变量的值的集合。
2.奇偶性：如果函数满足f(-x)=-f(x)对于所有的x成立，则称该函数为奇函数；如果函数满足f(-x)=f(x)对于所有的x成立，则称该函数为偶函数。
3.单调性：如果对于自变量的每一个取值，函数的值只随着自变量的增加而增加，则称该函数为递增函数；如果对于自变量的每一个取值，函数的值只随着自变量的增加而减小，则称该函数为递减函数。
4.周期性：如果存在正数T，使得对于每一个自变量的取值x，有f(x+T)=f(x)，则称该函数为周期函数。
四、函数图像函数图像是将函数的自变量和因变量之间的对应关系通过图像的方式展示出来。
通过函数图像可以直观地了解函数的各种性质。
一般来说，函数的图像在直角坐标系中表示，自变量x沿横轴，因变量y沿纵轴。
五、函数的变换函数的变换是通过改变自变量或者函数关系式的形式，对函数图像进行平移、伸缩、翻转等变换。
常见的函数变换包括平移变换、纵向伸缩变换、横向伸缩变换和翻转变换等。
六、常见的初等函数1. 一次函数：f(x)=kx+b，其中k和b为常数，k称为斜率，b称为截距。
一次函数的图像为直线，斜率决定了直线的倾斜程度，截距决定了直线与纵轴的交点。
2. 二次函数：f(x)=ax^2+bx+c，其中a、b和c为常数，a不为零。
二次函数的图像为抛物线，开口方向由a的正负确定，a越大，抛物线越开口向上。
基本初等函数知识点
基本初等函数知识点1.函数的定义：函数是一种特殊的关系，它将一个或多个输入数值映射到唯一的输出数值。
函数通常用f(x)来表示，其中x是输入变量，f(x)是输出变量。
函数可以用图形、符号或表格来表示。
2.定义域和值域：函数的定义域是所有可输入的数值的集合，而函数的值域是所有可能的输出数值的集合。
定义域可写作D(f)，值域可写作R(f)。
3.线性函数：线性函数是一种具有常数斜率的函数。
它的形式为f(x) = mx + b，其中m是斜率，b是截距。
线性函数的图形是一条直线。
4.幂函数：幂函数是一种形如f(x) = ax^b的函数，其中a和b是常数。
幂函数的图形通常是一条平滑的曲线。
当b为正偶数时，曲线在x轴的正半轴都是上升的；当b为负偶数时，曲线在x轴的正半轴是下降的。
5.指数函数：指数函数是以常数e为底的函数，它的形式为f(x)=a^x，其中a是指数底数。
指数函数的图形为一条逐渐增长（或逐渐减小）的曲线。
6.对数函数：对数函数是指以常数a为底的对数函数，它的形式为f(x) =log_a(x)，其中a为底数，x为函数的输入值。
对数函数是指数函数的反函数，即f(x) = a^x的反函数。
7.三角函数：三角函数是有关三角形角度与边长之间的关系的函数。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
三角函数的图形是周期性的曲线，周期为2π。
8.反函数：反函数是指满足f(f^(-1)(x))=x和f^(-1)(f(x))=x的函数对。
反函数可以通过交换函数的输入和输出得到。
9.复合函数：复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入的函数关系。
复合函数可以表示为f(g(x))，其中g(x)是一个函数，f(x)是另一个函数。
10.奇偶函数：奇函数是满足f(-x)=-f(x)的函数，而偶函数是满足f(-x)=f(x)的函数。
奇函数的图形关于原点对称，偶函数的图形关于y轴对称。
这些是基本初等函数的一些常见知识点，掌握了这些知识点可以帮助你理解函数的基本概念、性质和图像，为进一步学习更高级的数学知识打下坚实的基础。
三大基本初等函数
第一讲：三大基本初等函数一、一元二次函数：()()0442222≠-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++==a a b ac a b x a c bx ax x f y 01性质：以0>a 为例：（1）开口向上；（2）对称轴：ab x 2-=； （3)单调性：在⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b 2,↓；在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,2a b ↑ （4）定义域：R ；值域：⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,442a b ac ； （5）()x f 零点个数：∆。
02最值：()()02≠++==a c bx ax x f y 在[]n m ,上的最值：（三点一轴） ()()()⎪⎩⎪⎨⎧+>-+≤-=22,22,max n m a b m f n m a b n f x f ， 注：比较对称轴与区间的中点的大小，两种情况；()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-<-=n a b n f n a b m a b f m a b m f x f 2,2,22,min 注：比较对称轴与区间两个端点的大小关系，三种情况。
典型例题：例1：已知函数()122--=x x x f ，求()x f 在区间[]1,+t t 上的最大值()t M 与最小值()t N 。
答案：()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤--=21,221,1222t t t t t t M ； ()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤-<-=1,1210,20,222t t t t t t t N 变式：求()()t N t M -？例2：已知函数()4212a ax x x f -++-=在区间[]1,0上最大值为2，求a 的值。
解析：法一：分类讨论求最值；法二：利用最大值只可能在两端点或对称轴处取得，求出a ，再检验。
答案：6310-=或a 练习：已知函数()()32log 221+-=ax x x f （1）已知()x f 定义域为R ，求a 的取值范围；（2）已知()x f 值域为R ，求a 的取值范围；（3）()x f 在[)+∞-∈,1x 上有意义，求a 的取值范围；（4）()x f 的值域为(]1,-∞-，求a 的值。
基本初等函数知识总结
基本初等函数知识总结含义:常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数1.常数函数（y=C）（1）定义域: D（f）＝（-∞，+∞）（2）值域: Z(f)=C(3) 性质: 它的图像是一条平行于x轴并通过点(0，C)在y轴上截距为C的直线(4 )图像：(5)周期性：常值函数是一个周期函数. 因对于任何x∈(-∞,+∞)和实数T，f(x+T)=f(x)=T,但并无最小正周期【注】常值函数不含自变量且不存在反函数2.幂函数(1)定义：形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数.(2)性质：在(0，+∞)内总有意义①当α＞0时函数图像过点(0，0)和(1，1)，在(0，+∞)内单调增加且无界②当α＜0时函数图像过点(1，1)，在(0，+∞)内单调减少且无界(3)图像：3.指数函数y=a^x(a>0且a≠1)(1)定义域：x∈R(2)值域：(0，+∞)(3)性质：①单调性：1.当0＜a＜1时，在(-∞，+∞)内单调减少 2.当a ＞1时，在(-∞，+∞)内单调增加②奇偶性：非奇非偶函数③周期性：非周期函数④有界性：无界函数(4)图像：①由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。
②由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。
③指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低” 如图：(5)运算法则：①②③④4.对数函数y=logax（a>0 且a≠1）(1)定义：如果a^x=N（a>0，且a ≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数一般地，函数y=logax（a>0，且a ≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数(2)定义域：(0，+∞)，即x>0(3)值域：R(4)性质：①单调性：1.当0＜a＜1时，在(0，+∞)内单调减少 2.当a ＞1时，在(0，+∞)内单调增加②奇偶性：非奇非偶函数③周期性：非周期函数④有界性：无界函数(5)图像：【注】①负数和零没有对数②1的对数是零③底数的对数等于1(6)常用法则/公式：5.三角函数⑴正弦函数y=sin x(1)定义：对边与斜边的比(2)定义域：R(3)值域：【-1，1】(4)最值：1.当X=2Kπ(K∈Z)时，Y 取最大值1 2.当X=2Kπ+3π/2(K∈Z时，Y取最小值－1(5)性质：①周期性：最小正周期都是2πT=2π②奇偶性：奇函数③对称性：对称中心是(Kπ,0)，K ∈Z；对称轴是直线x=Kπ+π/2，K ∈Z④单调性：在[2Kπ-π/2,2Kπ+π/2]，K∈Z上单调递增；在[2Kπ+π/2,2Kπ+3π/2]，K∈Z上单调递减⑤有界性：有界函数(6)图像：(2)余弦函数y=cos x(1)定义：邻边与斜边之比(2)定义域：R(3)值域：【-1，1】(4)最值：1.当X=2Kπ +π /2(K∈Z)时，Y取最大值1 2.当X=2Kπ +π (K∈Z)时，Y取最小值－1(5)性质：①周期性：最小正周期都是2πT=2π②奇偶性：偶函数③对称性：对称中心是(Kπ+π/2,0)，K∈Z；对称轴是直线x=Kπ，K∈Z④单调性：在[2Kπ,2Kπ+π]，K∈Z上单调递减；在[2Kπ+π,2Kπ+2π]，K∈Z上单调递增⑤有界性：有界函数(6)图像：(3)正切函数y=tan x(1)定义：对边与邻边之比(2)定义域：{x∣x≠Kπ+π/2,K∈Z}(3)值域：R(4)最值：无最大值和最小值(5)性质：①周期性：最小正周期都是πT=π②奇偶性：奇函数③对称性：对称中心是(Kπ/2,0)，K∈Z④单调性：在[Kπ-π/2,Kπ+π/2]，K∈Z上单调递增⑤有界性：无界函数(6)图像：(4)余切函数y=cot x(1)定义：在直角三角形中，某锐角的相邻直角边和相对直角边的比，叫做该锐角的余切。
基本初等函数知识点
基本初等函数知识点一、函数的定义和性质函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素对应到另一个集合中的唯一元素。
函数通常用f(x)表示，其中x是自变量，f(x)是因变量。
函数有以下性质：1. 定义域和值域：函数的定义域是所有可输入的自变量的集合，值域是所有对应的因变量的集合。
2. 奇偶性：一个函数可以是奇函数或偶函数，奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
3. 单调性：函数可以是单调递增或单调递减的。
单调递增函数满足当x1小于x2时，f(x1)小于f(x2)；单调递减函数则相反。
二、常见的基本初等函数1. 幂函数：指数函数是形如y=x^n的函数，其中n是一个实数。
根据n的不同取值，幂函数可以分为多种情况，如正幂函数、负幂函数、倒数函数等。
2. 指数函数：指数函数是以指数为自变量的函数，常见的指数函数有以e为底的自然指数函数（y=e^x）和以10为底的常用对数函数（y=log(x)）。
3. 对数函数：对数函数是指以某个正实数为底的函数，常见的对数函数有以e为底的自然对数函数（y=ln(x)）和以10为底的常用对数函数。
4. 三角函数：三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，常见的三角函数有正弦函数（y=sin(x)）、余弦函数（y=cos(x)）、正切函数（y=tan(x)）等。
5. 反三角函数：反三角函数是三角函数的逆函数，常见的反三角函数有反正弦函数（y=arcsin(x)）、反余弦函数（y=arccos(x)）、反正切函数（y=arctan(x)）等。
三、基本初等函数的图像和性质1. 幂函数的图像与性质：平方函数（y=x^2）的图像是一个开口上的抛物线，立方函数（y=x^3）的图像则是一个S形曲线。
幂函数的性质与指数n的奇偶性、正负有关。
2. 指数函数的图像与性质：自然指数函数（y=e^x）具有递增的特点，其图像是一条通过原点且向上增长的曲线。
常用对数函数（y=log(x)）的图像则是一条斜率逐渐减小的曲线。
基本初等函数知识点总结
基本初等函数知识点总结1.常数函数：常数函数是指函数的值在定义域内都保持不变的函数。
表示为f(x)=c，其中c是常数。
常数函数的图像是一条平行于x轴的直线。
常数函数的性质是恒等性，即f(x)=f(x')，对于任意x和x'都成立。
2.平方函数：平方函数是指函数的值与自变量的平方成正比的函数。
表示为f(x)=x²。
平方函数的图像是一条开口向上的抛物线。
平方函数的性质是奇偶性，即f(-x)=f(x)，对于任意实数x都成立。
3.立方函数：立方函数是指函数的值与自变量的立方成正比的函数。
表示为f(x)=x³。
立方函数的图像是一条通过原点且存在于所有象限的曲线。
立方函数的性质是单调性，即在定义域内，当x₁<x₂时，有f(x₁)<f(x₂)或f(x₁)>f(x₂)成立。
4.绝对值函数：绝对值函数是指函数的值与自变量的绝对值成正比的函数。
表示为f(x)=，x。
绝对值函数的图像是一条以原点为顶点且对称于y轴的V字形曲线。
绝对值函数的性质是非负性，即对于任意实数x，有f(x)≥0成立。
5.指数函数：指数函数是指函数的值与自变量的指数幂成正比的函数。
表示为f(x)=aˣ，其中a是一个正实数且a≠1、指数函数的图像是一条通过点(0,1)且与x轴和y轴都无交点的曲线。
指数函数的性质是增长性，即在定义域内，当x₁<x₂时，有f(x₁)<f(x₂)成立。
6. 对数函数：对数函数是指函数的值与自变量的对数成正比的函数。
表示为f(x)=logₐ(x)，其中a是一个正实数且a≠1、对数函数的图像是一条通过点(1, 0)且与x轴和y轴都无交点的曲线。
对数函数的性质是单调性，即在定义域内，当x₁<x₂时，有f(x₁)<f(x₂)成立。
7. 三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
正弦函数表示为f(x)=sin(x)，余弦函数表示为f(x)=cos(x)，正切函数表示为f(x)=tan(x)。
(完整版)基本初等函数知识点及函数的基本性质
定义
函数y logax(a 0且a
1）叫做对数函数
a1
0a1
x1
x1
yx 1
y
y logax
yy logax
图象
(1,0)
O
(1,0)
x
Ox
定义域
(0,,0)，即当x
1时，y 0．
奇偶性
非奇非偶
② 对数函数对底数的限制：（a 0，且a1）． 三、对数函数的图像和性质：
指数函数及其性质
、指数与指数幂的运算
一）根式的概念
1、如果xna,a R,x R,n1，且n N，那么x叫做a的n次方根．当n是奇数时，a
函数名称
指数函数
定义
函数y ax（a 0且a1）叫做指数函数
图象
a1
0a1
y 1yy ax
(0,1)
Ox
y axy
y 1(0,1)
Ox
定义域
R
值域
(0,+∞)
过定点
在第一象限内，a越小图象越高， 越靠近y轴；
图象影响
在第二象限内，a越大图象越低， 越靠近x轴．
在第二象限内，a越小图象越低， 越靠近x轴．
注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
1）
在[a，
b]上，
f (x)
ax(a 0且a
1)值域是[f (a),f(b)]或[f(b),f(a)]
2）
若x
0，则
对数函数及其性质
、对数与对数的运算
一）对数
1．对数的概念： 一般地， 如果ax
N (a
0,a
1），那么数x叫做以．a为．底．N的对数， 记作：
x
函数知识及基本初等函数知识总结
函数1. 映射定义：设A ，B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对集合A 中任一元素x ，在集合B 中有唯一元素y 与之对应，则称f 是从集合A 到集合B 的映射。
这时，称y 是x 在映射f 的作用下的象记作f （x ）。
x 称作y 的原象。
2.函数定义：函数就是定义在非空数集A ，B 上的映射，此时称数集A 为定义域，象集C={f(x)|x ∈A}为值域。
定义域，对应法则，值域构成了函数的三要素3.求函数的定义域常涉及到的依据为 ①分母不为0；11+=x y②偶次根式中被开方数不小于0；x x y --=21③实际问题要考虑实际意义 ④零指数幂的底数不等于零；⑤对数的真数大于0，底数大于零且不等于1； ⑥注意同一表达式中的两变量的取值范围是否相互影响4.函数值域： ①xy 23= ②xx y -+=535、函数图像变换知识①平移变换：形如：y=f(x+a)：把函数y=f(x)的图象沿ｘ轴方向向左或向右平移｜a ｜个单位，就得到y=f(x+a)的图象。
形如：y=f(x)+a ：把函数y=f(x)的图象沿ｙ轴方向向上或向下平移｜a ｜个单位，就得到y=f(x)+a 的图象②.对称变换 y=f(x)→ y=f(－x),关于ｙ轴对称 y=f(x)→ y=－f(x) ,关于ｘ轴对称 ③.翻折变换y=f(x)→y=f|x|, (左折变换)把ｙ轴右边的图象保留，然后将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称 y=f(x)→y=|f(x)|（上折变换）把ｘ轴上方的图象保留，ｘ轴下方的图象关于ｘ轴对称在第一象限内，底数越大，图像（逆时针方向）越靠近y 轴。
6函数的表示方法①列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法②图像法：如果图形F是函数)fy=的图像，则图像上的任意点的坐标满足(x函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图像上.这种由图形表示函数的方法叫做图像法.③如果在函数)x∈中，)(xf是用代数式来表达的，这种方法叫做(Ay=)(xf解析法7．分段函数在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。
基本初等函数知识点
基本初等函数知识点1.函数的定义与性质函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的运算关系。
函数可以通过一条或多条有序对来表示，其中每个有序对由自变量和对应的函数值组成。
常见的函数表示方法有显式函数、隐式函数和参数方程等。
函数的性质有定义域、值域、奇偶性、增减性等。
其中，定义域是自变量的取值范围，值域是函数值的取值范围。
奇偶性描述了函数图像的对称性，增减性描述了函数在定义域的变化趋势。
2.常见初等函数常见的初等函数包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数和双曲函数等。
-多项式函数是形如f(x)=aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+...+a₁x+a₀的函数，其中aₙ,aₙ₋₁,...,a₁,a₀是常数，x是自变量，n是非负整数。
-指数函数是形如f(x)=aᵢx的函数，其中a是一个正常数，x是自变量。
- 对数函数是指数函数的逆运算，形如 f(x) = logₐx 的函数，其中a 是正常数，x 是自变量。
-三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
-双曲函数是以指数函数为基础构造的一类函数，包括双曲正弦函数、双曲余弦函数等。
3.函数的运算函数之间可以进行四则运算、函数的复合和逆函数的求解等运算。
-四则运算是指两个函数之间进行加减乘除的运算。
加法运算表示两个函数的对应值相加，减法运算表示两个函数的对应值相减，乘法运算表示两个函数的对应值相乘，除法运算表示两个函数的对应值相除。
-函数的复合是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
复合函数可以通过符号f(g(x))表示，其中f和g是两个函数。
-逆函数是指将一个函数的自变量和函数值交换后得到的新函数。
逆函数可以通过符号f^(-1)(x)表示，其中f是一个函数。
4.函数的图像与性质函数的图像是函数关系在一些坐标系中的几何表现。
函数的图像可以用来研究函数的性质和变化趋势。
-函数的图像可以用点集、曲线或面积等形式来表示。
-函数的对称性可以通过图像来判断，如关于原点对称、关于x轴对称、关于y轴对称等。
初中数学知识点初等函数的概念与性质
初中数学知识点初等函数的概念与性质初中数学知识点初等函数的概念与性质初等函数是初中数学学习中的一个重要概念，它在数学的各个分支中均有广泛应用。
掌握初等函数的概念及其性质，对于学习数学和解决实际问题具有重要意义。
本文将从初等函数的定义、常见类型以及性质等方面进行论述。
一、初等函数的定义初等函数是指由有限次的常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及其反函数，以及这些函数的有限次四则运算、函数复合而成的函数。
初等函数是数学中最基本的函数之一，是许多复杂函数的基础。
二、常见类型的初等函数1. 常数函数：常数函数是指函数在定义域上的函数值全都相等的函数，例如f(x) = 2。
2. 幂函数：幂函数是指以自变量为底数，自变量的指数为指数的函数，例如f(x) = x²。
3. 指数函数：指数函数是以常数e（自然对数的底数）为底数，自变量为指数的函数，例如f(x) = eˣ。
4. 对数函数：对数函数是指以常数e为底数，函数值为自变量的指数的函数的自变量，例如f(x) = logₑx。
5. 三角函数：三角函数是指以单位圆上的点坐标值作为函数值的函数，常见的有正弦函数、余弦函数和正切函数等。
三、初等函数的性质初等函数具有以下一些重要的性质：1. 定义域和值域：初等函数的定义域可以是整个实数集R，也可以是实数集上的一个区间，值域则取决于具体函数的性质。
2. 奇偶性：根据函数的定义和性质，初等函数可以具有奇函数和偶函数的特点。
3. 单调性：初等函数具有单调递增和单调递减的性质，这取决于其导数的正负性。
4. 极值点：初等函数在定义域上可能存在极值点，可以通过求导数和分析函数的增减性来确定。
5. 对称轴：初等函数可能存在对称轴，可以通过观察函数的图像或者函数表达式来确定。
6. 渐近线：初等函数的图像可能趋近于某些直线，可以是水平渐近线、垂直渐近线或斜渐近线。
7. 周期性：三角函数具有周期性，周期可以通过观察函数的图像或者函数表达式来确定。
基本初等函数知识点
基本初等函数知识点一、引言在数学中，初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）以及复合运算得到的函数。
基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数以及反三角函数。
本文将详细介绍这些基本初等函数的定义、性质和图像。
二、常数函数定义：常数函数 \( f(x) = c \)，其中 \( c \) 是一个实数常数。
性质：常数函数的图像是一条平行于 \( x \) 轴的直线，其所有点的函数值都等于常数 \( c \)。
图像：见附录图1。
三、幂函数定义：幂函数 \( f(x) = x^n \)，其中 \( n \) 是实数。
性质：幂函数的性质取决于指数 \( n \) 的值。
当 \( n \) 为正整数时，函数图像是 \( n \) 次幂的曲线；当 \( n \) 为负整数时，函数图像是倒数的幂函数曲线。
图像：见附录图2。
四、指数函数定义：指数函数 \( f(x) = a^x \)，其中 \( a > 0 \) 且 \( a\neq 1 \)。
性质：指数函数的底数 \( a \) 决定了函数图像的形状。
当 \( a > 1 \) 时，函数是增长的；当 \( 0 < a < 1 \) 时，函数是衰减的。
图像：见附录图3。
五、对数函数定义：对数函数 \( f(x) = \log_a(x) \)，其中 \( a > 0 \) 且\( a \neq 1 \)。
性质：对数函数是指数函数的逆函数。
当 \( a > 1 \) 时，函数是单调增加的；当 \( 0 < a < 1 \) 时，函数是单调减少的。
图像：见附录图4。
六、三角函数1. 正弦函数 \( \sin(x) \)2. 余弦函数 \( \cos(x) \)3. 正切函数 \( \tan(x) \)定义：这些函数与单位圆上的点的坐标有关。
性质：三角函数具有周期性，它们的周期为 \( 2\pi \)。
基本初等函数
g(x)的定义域为{x|x≥1 或 x≤－1}．
∴两函数的定义域不同．故选 A.
1 1 2 跟踪训练 2 (1)已知 f(x＋x)＝x ＋ 2，求 f(x)的解析式． x
1 1 12 2 解 (1)∵f(x＋x )＝x ＋x2＝(x＋x ) －2， 1 1 且 x＋x ≥2 或 x＋x≤－2,
图象 描述 自左向右看图象是
上升的
自左向右看图象是
下降的
2．单调性与单调区间 如 果一 个函 数在某 个区 间 M 上是 增函数 或 是 减函数 ，就说这个函数在这个区间 M 上具有 单调性，区间 M 称为
单调区间 ．
1．函数 f(x)中，满足“对任意 x1，x2∈(0，＋∞)，当 x1<x2 时， 都有 f(x1)>f(x2)”的是 1 A．f(x)＝x B．f(x)＝(x－1)2 C．f(x)＝ex
a(x－m)2＋n(a≠0) a(x－x1)(x－x2) (a≠0) k≠0
)．
． ． ．
2．一次函数与二次函数的定义及性质
函数名称 解析式
一次函数 y＝kx＋b (k≠0) k>0 k<0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0) a>0 ab>0 b<0，c>0 R b > 0， c < 0
1 3 所以函数 g(x)的定义域是[2，2]．
x＋1>0 (2)由 2 －x －3x＋4>0
，得－1<x<1.
函数的单调性
1．函数单调性的定义 增函数 减函数 设函数 f(x)的定义域为 A：区间 M⊆A，如果取区间 M 中任意两个值 x1，x2，改变量 Δx＝x2－x1>0，则当 定义 Δy＝f(x2)－f(x1)>0 Δy＝f(x2)－f(x1)<0 时， 就称函数 时，就称函数 y＝f(x) y＝f(x)在区间 M 上是减函数 在区间 M 上是增函数
高考基本初等函数知识点总结
基本初等函数综合复习一、知识点总结 1. 对数函数的概念一般地，把函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是 . 2. 对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象与性质定义 y ＝log a x (a >0，且a ≠1)底数a >10<a <1图象定义域 值域 R单调性 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数共点性 图象过定点 ，即x ＝1时，y ＝0函数值特点x ∈(0,1)时，y ∈ ；x ∈[1，＋∞)时，y ∈ x ∈(0,1)时，y ∈ ；x ∈[1，＋∞)时，y ∈ 对称性函数y ＝log a x 与y ＝1log ax 的图象关于 对称【易错题1】 如图，已知正方形ABCD 的边长为2，BC 平行于x 轴，顶点A ，B 和C 分别在 函数y 1＝3log a x ，y 2＝2log a x 和y 3＝log a x （a ＞1）的图象上，则实数a 的值为________。
【题模1】 函数图象（1）底数与图像位置关系：1、指数函数图象恒过（0，1）在第一象限是“底大图高”，2、对数函数图象恒过（1，0）：在直线1x =的右侧，当1a >时，底数越大，图象越靠近x 轴；当01a <<时，底数越小，图象越靠近x 轴，即“底大图低”．3、幂函数图象恒过（1，1），在（1，1）右侧：是“指大图高”.2）函数图象变换①y ＝f (x )―――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )． ②y ＝f (x )―――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )． ③y ＝f (x )―――――→关于原点对称y ＝－f (－x )．④y ＝a x (a >0且a ≠1)―――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)． (3)伸缩变换①y ＝f (x )――――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变0<a <1，横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变 y ＝f (ax )．②y ＝f (x )―――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变 y ＝af (x )． (4)翻折变换①y ＝f (x )――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去 y ＝|f (x )|. ②y ＝f (x )―――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象 y ＝f (|x |)． 【讲透例题】1．设0,1a a >≠且，函数2log (2)a y x =++的图象恒过定点P ，则P 点的坐标是A ．(1,2)-B ．(2,1)-C ．(3,2)-D ．(3,2)2、不论a 为何值时,函数图象恒过一定点,这个定点坐标是 .3． 函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ． C ． D ．5、设函数f (x )＝2x ，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是( ) A ．y ＝f (|x |) B ．y ＝－|f (x )| C ．y ＝－f (－|x |) D ．y ＝f (－|x |)6．(多选)若函数y ＝a x ＋b －1(a >0，且a ≠1)的图象经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有( )A ．a >1B ．0<a <1C ．b >0D ．b <07、已知指数函数()x f x a =，将函数()f x 的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数()g x 的图象，再将()g x 的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数()f x 的图象重合，则a 的值是（ ） A ．32B ．23C ．33D ．3【相似题练习】1． 已知函数2(log )y x a b =++的图象不经过第四象限，则实数a b 、满足( ) A ．1,0a b ≥≥ B ．0,1a b >≥ C ． 2log 0b a +≥ D ．20b a +≥ 2．函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( )3、 已知()g x 图像与x y e =关于y 轴对称，将函数()g x 的图像向左平移1个单位长度，得到()f x ，则()f x =（ ）A. 1x e +B.1x e -C.1x e -+D. 1x e -- 4、（多选题）为了得到函数ln()y ex =的图象，可将函数ln y x =的图象（ ）A ．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的e 倍B ．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1eC ．向上平移一个单位长度D ．向下平移一个单位长度 5、函数y =a x －a (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点（ ， ） 6、函数(其中且的图象一定不经过第 象限。
基本初等函数定义及性质知识点归纳
基本函数图像及性质一、基本函数图像及其性质：1、一次函数：(0)y kx b k 2、正比例函数：(0)y kx k 3、反比例函数：(0)k yxx4、二次函数：2(0)y axbx c a （1）、作图五要素：2124(,0),(,0),(0,),(),(,)()224b b ac bx x c x aaa 对称轴顶点（2）、函数与方程：2=4=00bac 两个交点一个交点没有交点（3）、根与系数关系：12b x x a，12c x x a5、指数函数：(0,1)xya aa 且（1）、图像与性质：（i ）1()(0,1)xxya ya aa与且关于y 轴对称。
（ii ）1a 时，a 越大，图像越陡。
(2)、应用：（i ）比较大小：（ii ）解不等式：1、回顾：（1）()mmmab ab（2）()m mma a bb2、基本公式：（1）mnm naaa（2）m m nna aa（3）()m nm na a3、特殊:（1）1(0)aa （2）11(0)aa a（3）1(;0)nnaa n a R n a 为奇数，为偶数，（4）;0;0||nna n a a aaaa n 为奇其中，为偶例题1：（1）22232[()()]3x xyxy y xx y x y ；32235()()(5)x xy xy （2）11232170.027()(2)(21)79；20.52371037(2)0.1(2)392748（3）44(3)；1122aaa例题2：（1）化简：212212)9124()144(a aa a（2）方程016217162xx的解是。
（3）已知32121xx，计算（1）1x x ；（2）37122xxx x例题3：（1）若4812710,310yx，则yx 210= 。
（2）设,0,,,xyzR z y x 且zyx14464，则（）A.yxz111 B.yxz112 C.yxz121 D.yxz211（3）已知,123ba 则aba339= 。
基本初等函数知识点
基本初等函数知识点一、函数的概念：函数是自变量与因变量之间的一种对应关系。
其中，自变量是函数的输入，因变量是函数的输出。
函数可以用来描述不同变量之间的关系或者用来描述一些变量随着另一个变量的变化而发生的变化。
二、函数的表示法：函数可以用不同的表示法来表示。
最常见的表示法有解析式表示法、图像表示法和表格表示法。
例如，一元一次函数y=ax+b就是一个常见的初等函数。
三、函数的性质：1.定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的因变量的可能取值范围。
2.奇偶性：对于函数f(x)，如果对于任意x，有f(-x)=f(x)成立，则函数具有偶性；如果对于任意x，有f(-x)=-f(x)成立，则函数具有奇性。
3.单调性：如果对于任意x1>x2，有f(x1)>f(x2)成立，则函数为递增函数；如果对于任意x1>x2，有f(x1)<f(x2)成立，则函数为递减函数。
4.周期性：如果对于任意x，有f(x+T)=f(x)成立，则函数具有周期T。
四、常见初等函数的性质和图像：1.常数函数：f(x)=c（c为常数），图像为平行于x轴的一条直线。
2. 一次函数：f(x) = ax + b（a和b为常数），图像为一条直线，斜率a决定了直线的倾斜程度，b为与y轴交点的纵坐标。
3.幂函数：f(x)=x^n（n为常数），图像的形状与n的奇偶性以及正负有关，例如，当n为正奇数时，图像的右上和左下部分都在x轴上方。
4.指数函数：f(x)=a^x（a为常数且大于0且不等于1），图像呈现出一种快速增长的趋势。
5. 对数函数：f(x) = loga(x)（a为常数且大于0且不等于1），图像为一条光滑的上升曲线，a决定了函数增长的速度。
五、初等函数的运算：1.四则运算：对于两个初等函数f(x)和g(x)，可以进行加减乘除运算，得到新的初等函数。
2.复合运算：对于两个初等函数f(x)和g(x)，可以将g(x)的值代入f(x)进行运算，得到新的初等函数。
基本初等函数知识点
基本初等函数知识点基本初等函数是数学中常见的一类函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
它们在数学和科学领域应用广泛，对于理解和解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍基本初等函数的定义、性质和应用，以帮助读者全面理解和掌握这些知识点。
一、常数函数常数函数是指函数的函数值始终保持不变的函数。
它的定义域是全体实数，通常表示为f(x) = c，其中c为常数。
常数函数的图像是一条水平的直线，平行于x轴。
无论自变量取何值，函数值始终为常数。
常数函数在数学中的应用较少，但在物理、经济学等学科中有时会用到。
二、幂函数幂函数是指自变量的指数和函数值之间的关系为幂关系的函数。
幂函数的表达式可以写作f(x) = x^a，其中a为实数。
幂函数的图像形状与指数a的正负、大小有关。
当a为正数时，函数图像是递增的曲线；当a为负数时，函数图像是递减的曲线；当a为0时，函数图像是一条常数函数的直线。
三、指数函数指数函数是自变量为指数的函数。
指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a为正实数且不等于1。
指数函数的图像是一条递增或递减的曲线。
当a大于1时，函数图像是递增曲线；当a介于0和1之间时，函数图像是递减曲线。
指数函数在经济学、生物学、物理学等领域有广泛的应用。
四、对数函数对数函数是指自变量和函数值之间的关系为指数关系的函数。
对数函数的一般形式为f(x) = logₐ(x)，其中a为正实数且不等于1。
对数函数的图像是一条递增或递减的曲线。
当a大于1时，函数图像是递增曲线；当a介于0和1之间时，函数图像是递减曲线。
对数函数在科学计算、数据处理等领域被广泛运用。
五、三角函数三角函数是指以角度或弧度为自变量的函数。
常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。
三角函数的图像是周期性曲线。
它们的性质和图像形态与角度或弧度的取值范围有关。
三角函数在物理学、几何学、信号处理等领域具有重要应用价值。
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基本函数图像及性质
一、基本函数图像及其性质： 1、一次函数：(0)y kx b k =+≠
2、正比例函数：(0)y kx k =≠
3、反比例函数：
(0)k
y x x
=
≠
4、二次函数：2
(0)y ax bx c a =++≠
（1）、作图五要素：2
124(,0),(,0),(0,),(),(,)()224b b ac b x x c x a a a -=--对称轴顶点 （2）、函数与方程：2
=4=0
0b ac >⎧⎪∆-⎨⎪<⎩
两个交点一个交点没有交点
（3）、根与系数关系：12b x x a +=-，12c x x a
⋅=
5、指数函数：(0,1)x
y a a a =>≠且 （1）、图像与性质：
（i ）1()(0,1)x x y a y a a a
==>≠与且关于y 轴对称。
（ii ）1a >时，a 越大，图像越陡。
(2)、应用：
（i ）比较大小： （ii ）解不等式： 1、回顾：
（1）()m
m
m
ab a b =⋅ （2）()m
m m a a b b
=
2、基本公式：
（1）m n m n
a a a
+⋅= （2）m m n n a a a
-= （3）()m n m n
a a ⨯=
3、特殊:
（1）0
1(0)a a =≠ （2）11
(0)a a a
-=
≠ （3
）1;0)n
a n a R n a =∈≥为奇数，为偶数，
（4
;0;0||
a n a
a a
a a n ≥⎧⎧==⎨⎨
-<⎩⎩为奇其中，为偶
例题1：（1）22232
[()()]3x x y xy y x x y x y ---÷；32235()()(5)x xy xy ÷
（2
）11203
2170.027()(2)1)79----+-；20.52
0371037(2)0.1(2)392748
π--++-+
（3
例题2：（1）化简：2
12
2
12)9124()144(+-+++a a a a
（2）方程016217162=+⨯-x
x 的解是 。
（3）已知
32
12
1=+-x
x ，计算（1）1
--x
x ；（2）
3
7
122++-+--x x x x
例题3：（1）若48
12710,310==-y
x
，则y x -210= 。
（2）设,0,,,≠∈xyz R z y x 且z y x 14464==，则（ ）
A.
y x z 111+= B.y x z 112+= C.y x z 121+= D.y
x z 211+=
（3）已知,123=+b a 则
a b a 3
39⨯= 。
6、对数函数：log (0,1)a y x a a =>≠且 (1)、图像与性质：
(2)、应用：
（i ）比较大小： （ii ）解不等式：
对数运算
1、与指数运算的关系：互为逆运算 log (01)(0)a b a b >≠>且
557log 7x x =→= （注：底数不变）
2、基本公式：
（1）log log log a a a M N M N +=⋅； （2）log log log a a a
M M N N
-=； （3）log log n
a a M n M =
3、特殊：
（1）log 10a =；1
log 1a
a
=-；log a b a b = （2）换底公式：log lg ln log (10,)(,)log lg ln c a c b b b
b c c e a a a
=
====常用对数自然对数；
注：log log 1a b b a ⋅=；log log m n a a n
b b m
=
例题1：指数式与对数式的转化
→=62554 ；→=-1.0101 ；→=2x e ；
→=3log 2x ；→-=201.0lg ；→=2ln x ；
例题2：求下列x 的值：3
2log ln 100lg 642-
==-=x x
e x
例题3：用z y x a a a log ,log ,log 表示下列各式（1）;log z xy
a （2）;log 32z
y x a
例题4：（1）若2log 2,log 3,m n
a a m n a +=== 。
（2）已知2log 3=a ，那么6log 28log 33-用a 表示为 。
例题5：化简计算（1）3log 7925
log 8log 93
(lg 2lg 2)2
⋅+-+；
（2）5
21log 2
3
322log (log 16)(5)++
（3）12
lg12
321162log lg 20lg 2(log 2)(log 3)1)49⎛⎫
++--⋅+ ⎪⎝⎭
★随堂训练：
1、已知0)](log [log log 237=x ，那么2
1-x 等于 。
2、方程12
log 1log )1(2=++x x 的解是=x 。
3、若53,32==b a ，试用a 与b 表示72log 45
4、2
1
6log log 3log 9362=⋅⋅m ，则实数m 的值为 。
5、若0>ab ，则下列正确的序号是 。
①b a ab lg lg )lg(+=；②b a b a lg lg lg -=；③b
a
b a lg )lg(212=；④10log 1)lg(ab ab =
6、若0>a 且0,0,1>>≠c b a ，则下列式子正确的个数为 。
①c b
c b a a a log log log =；②)(log )(log c b c b a a +=⋅；③c b c b a a a log log )(log +=⋅；④c
b
c b a a a log log )(log =-；
⑤c b c b a a a log log )(log ⋅=+；⑥c b c
b
a a a
log log log -=
7、若y=log 56·log 67·log 78·log 89·log 910,则有 （ ）
A. y ∈(0 , 1) B . y ∈(1 , 2 ) C. y ∈(2 , 3 ) D. y =1
8、计算：（1）(log )log log 2222
545415
-++
（2）100011
3
43460022
++
-++-lg .lg lg lg lg .
7、正弦函数：sin y x = 8、余弦函数：cos y x = 9、正切函数：tan y x =
10、幂函数：a
y x =
(1)、基本图像：
(2)、幂函数图像不过第四象限。
二、绝对值图像：
x ：将0x >保留，擦去0x <，再将0x >部分沿y 轴对折 y ：将0y >保留，再将0y <部分沿x 轴对折
三、图像平移变换： 左加右减；上加下减。
---精心整理，希望对您有所帮助。