三角函数与三角恒等变换(知识点)

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三角函数的概念及三角恒等变换

三角函数专题复习知识点一：三角函数的概念、同角三角函数的关系式及诱导公式一．考试要求二．基础知识1.角的概念的推广：按逆时针方向旋转所形成的角叫角，按顺时针方向旋转所形成的角叫_______角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个角。

射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。

2、象限角（1）定义：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。

如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角任何象限。

（2）象限角的集合：第一象限角的集合为第二象限角的集合为第三象限角的集合为___________________________________第四象限角的集合为___________________________________终边在轴上的角的集合为终边在轴上的角的集合为______________________终边在坐标轴上的角的集合为_____________________（3）终边相同的角：与终边相同的角注意：相等的角的终边一定________，终边相同的角_____________.3、与的终边关系：若是第二象限角，则是第_____象限角4.弧度制:弧度与角度互换公式：1rad＝、1°＝（rad）。

弧长公式：（是圆心角的弧度数），扇形面积公式：【典例】已知扇形周长为10，面积为4，求扇形的圆心角.5、任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，是的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是，那么，，.注：三角函数值与角的大小关，与终边上点P的位置关。

思考：判断各三角函数在每个象限的符号？【典型例题】1.（2014全国）已知角的终边经过点，则=（）A.B.C.D.2.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=____________,=____________,=____________3.（2011江西）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，若是角终边上一点，且，则=_____________.【变式训练】1.（2014湖北孝感）点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若，且，则所在的象限为_______________.3.已知角的终边上一点，且，求的值.6.特殊角的三角函数值：7.同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：（2）商数关系：【典型例题】1.已知，，则（）A.B.C.D.无法确定2：已知,,则__________3.（2012江西）若，则=_________.【变式训练】1.（2011全国）已知，，则=______.2.如果，且，那么的值是（）A.B.或C.D.或3.若，则=____________，=_______，=_____________.8、三角函数的诱导公式（重难点）【规律总结】奇偶（对而言，取奇数或偶数），符号___________（看原函数，同时把看成是锐角）.诱导公式的应用的一般步骤：（1）负角变正角，再写成+,；（2）转化为锐角三角函数.【典型例题】1.（2013广东）已知，那么（）A．B．C．D．2.如果为锐角，（）A.B．C．D．3.的值等于（）A.B．－C．D．－4.+的值是 .【变式训练】1.=_________；2.已知的值等于___________.3.已知.（1）化简；（2）若角的终边在第二象限且，求.【迁移应用】1．下列各命题正确的是（）A.终边相同的角一定相等B.第一象限的角都是锐角C.锐角都是第一象限的角D.小于的角都是锐角2．等于（）ABCD3.（2013山东诸城）集合中的角的终边所在的范围（阴影部分）是（）4.化为弧度等于（）A.B.C.D.5．点在第（）象限.A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6.点在第三象限,则角的终边在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7.点从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点,则Q的坐标为（）A.B.C.D.8.设,角的终边经过点,那么的值等于( )A.B.C.D.9.已知,且,则的值为( )A.B.[C.D.10.化简的结果是（）A．B．1 C．D．11.已知角的顶点在坐标原点,始边与轴正半轴重合,终边在直线上，则=（）A．B．2 C．0 D．12.（2014山东济南质检）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=_________.13.（2011全国）已知，，则__________.14.已知,则____________.15..扇形的圆心角是，半径为20cm，则扇形的面积为16.（2012山东）如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于时，的坐标为__________________.17.化简：（1）（2）18.已知，求（1）；（2）的值19.（2013江苏启东中学测试）已知是关于的方程的两个根.（1）求的值.（2）求的值.知识点二：三角恒等变换1．考试要求二．基础知识（1）两角和与差的三角函数（正余余正号相同）（余余正正号相反）（2）．二倍角公式______________=_____________=______________.（3）降幂公式；____________；___________.（4）辅助角公式。

三角函数与三角恒等变换复习PPT优秀课件

偶函数
A sin( x ) 的图象（A>0, 2、函数 y
第一种变换:
>0 )
y sin( x )
y sin x
图象向左( 向右(
0
)或
1 1)或缩短( 1)到原来的横坐标伸长( 0 纵坐标不变
纵坐标伸长(A>1 )或缩短( 0<A<1 )到原来的A倍

例3:已知函数
2 2 y sin x 2 sin x cos x 3 cos x , x R ,
求：⑴函数的最小正周期；⑵函数的单增区间；⑶函数的最大值及相应的x的值； ⑷函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到。 y 2 sin 2 x ,x R
2 2 2 y sin x 2 sin x cos x 3 cos x 1 sin 2 x 2 cos x 解： 1 sin 2 x cos 2 x 1 2 2 sin( 2 x ) 4 2 ⑴ T 2 3 k x k , k Z ⑵由 2 k 2 x 2 k , 得
3 函数的单增区间为 [ k , k ]( k Z ) 8 8 2 x 2 k , 即 x k ( k Z ) 时 , y 2 2 ⑶当最大值 4 2 8 y 2 sin( 2 x ) 2x 图象向左平移 8 个单位 ⑷ y 2sin 4
1
2 -1
o
2

3 2
2 x

2 -1

3 2
2 x
R [-1，1] T=2
R

[-1，1] T=2

三角函数与三角恒等变换

三角函数与三角恒等变换三角函数是数学中的一个重要分支，它研究的是与三角形内角或者圆周上的角度之间的关系。

三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

正弦函数（sin）是一个周期为2π的周期函数，定义为直角三角形中对边与斜边的比值。

余弦函数（cos）也是一个周期为2π的周期函数，定义为直角三角形的邻边与斜边的比值。

正切函数（tan）是一个以π为周期的函数，定义为直角三角形的对边与邻边的比值。

在三角函数的研究中，常常会用到三角恒等变换。

三角恒等变换是指等式两边含有三角函数的等式，在一些条件下能够相互转换的变换关系。

以下是一些常见的三角恒等变换：1.度与弧度的转换：弧度=度数*π/180度数=弧度*180/π2.正弦函数的基本关系：sin²θ + cos²θ = 13.余弦函数的基本关系：1 + tan²θ = sec²θ1 + cot²θ = csc²θ4.正弦函数的正负关系：sin(-θ) = -sin(θ)5.余弦函数的正负关系：cos(-θ) = cos(θ)6.正切函数的正负关系：tan(-θ) = -tan(θ)7.三角函数的周期性：sin(θ + 2π) = sin(θ)cos(θ + 2π) = cos(θ)tan(θ + π) = tan(θ)此外，还有许多其他的三角恒等变换，包括和差公式、倍角公式、半角公式等等。

这些三角恒等变换在解决三角函数相关问题时非常有用，可以简化计算过程，拓宽解题思路。

三角函数与三角恒等变换在数学中有着广泛的应用，例如在解决三角方程、证明恒等式、描绘周期函数的图像等方面。

同时，它们也在物理学、工程学等应用科学中扮演着重要角色，如在振动、波动、电磁学等领域的研究中都会用到三角函数的知识。

总之，三角函数与三角恒等变换是数学中的重要知识点，它们的研究有助于我们更深入地理解角度与三角形之间的关系，并在实际问题中灵活运用这些知识。

00三角函数、三角恒等变换、解三角形知识点归纳

T
P
A
Mo
x
P A
oM x
（Ⅱ） T
（Ⅰ）
y
T
y
M
A
o
x
P （Ⅲ）
MA
o
x
（Ⅳ） P T
由四个图看出：
当角的终边不在坐标轴上时，有向线段 OM x, MP y ，于是有
sin y y y MP ， cos x x x OM ， tan y MP AT AT
r1
r1
x OM OA
B.方法与要点一个口诀 1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．
2、四种方法
在求值与化简时，常用方法有：
(1)弦切互化法：主要利用公式 tan α＝sin α化成正、余弦． cos α
(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．
（ sin cos 、 sin cos 、 sin cos 三个式子知一可求二）
第一象限角的集合为 k 360 k 360 90, k 第二象限角的集合为 k 360 90 k 360 180, k 第三象限角的集合为 k 360 180 k 360 270, k 第四象限角的集合为 k 360 270 k 360 360, k 终边在 x 轴上的角的集合为 k 180, k 终边在 y 轴上的角的集合为 k 180 90, k 终边在坐标轴上的角的集合为 k 90, k
三角函数知识点总结
一、任意角、弧度制及任意角的三角函数
1．任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．
正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角
零角:不作任何旋转形成的角

三角恒等变换和三角函数性质专题

三角恒等变换和三角函数性质专题
知识梳理 1.正弦、余弦、正切函数图像与性质
函数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
图像
定义域值域奇偶性最小正周期
单调性
R
[－1,1] 奇函数 2π
在[－��＋2kπ，��＋2kπ](k∈Z)上递增．
2
2
在[��＋2kπ，3��＋2kπ](k∈Z)上递减
2
x＝－��＋2kπ，k∈Z时，y取得最小值－1
2
x＝2kπ，k∈Z时，y取得最大值1. 无最值
x＝π＋2kπ，k∈Z时，y取得最小值－1
对称中心：(kπ，0)(k∈Z)．对称轴：x＝��+kπ(k∈Z)
2
对称中心：(��+kπ，0)(k∈Z)．
2
对称轴：x＝kπ(k∈Z)
2
2
R [－1,1] 偶函数 2π
在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增．在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上递减
{x|x≠��＋kπ，k∈Z}
2
R 奇函数 π
在 ( － �� ＋ kπ ， �� ＋ kπ)(k ∈ Z)
2
2
上递增
最值对称性
x＝��＋2kπ，k∈Z时，y取得最大值1.
例4.已知f ��
= sin
��
+
�� 6
+ sin
��
−
�� 6
+�� + ��的最大值为1

三角恒等变换-知识点+例题+练习

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两角和与差的正弦、余弦和正切基础梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1）C(α－β）：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；(2）C（α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β; (3）S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β;(4)S（α－β）：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；(5)T（α＋β）：tan（α＋β)＝错误!；(6）T（α－β)：tan（α－β）＝错误!。

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1）S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α;（2）C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α;（3）T2α：tan 2α＝2tan α1－tan2α.3．有关公式的逆用、变形等（1)tan α±tan β＝tan（α±β）（1∓tan_αtan_β）；（2)cos2α＝错误!，sin2α＝错误!；（3)1＋sin 2α＝（sin α＋cos α）2，1－sin 2α＝(sin α－cos α）2，sin α±cos α＝错误!sin错误!。

4．函数f(α)＝a cos α＋b sin α（a,b为常数），可以化为f（α)＝a2＋b2sin （α＋φ)或f（α）＝a2＋b2cos(α－φ）,其中φ可由a，b的值唯一确定．两个技巧(1）拆角、拼角技巧:2α＝（α＋β)＋(α－β）；α＝(α＋β)－β；β＝错误!－错误!；错误!＝错误!－错误!.（2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等．三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”．(2）变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．（3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分"、“分解与组合"、“配方与平方”等．双基自测1．（人教A 版教材习题改编）下列各式的值为14的是( ）． A ．2cos 2 错误!－1B ．1－2sin 275°C 。

三角函数与三角恒等变换讲义

三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数一、基础知识1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }．终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同． 2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．二、常用结论汇总——规律多一点(1)一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r ，cos α＝xr ，tan α＝yx(x ≠0)．(3)象限角(4)轴线角考点一象限角及终边相同的角[典例] (1)若α是第二象限角，试分别确定2α，2α，3α的终边所在的位置。

(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________．[题组训练]1．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π≤α≤k π＋π4，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )2.在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．3.（1）用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合，如图所示（不包括边界）。

高考数学复习：三角函数恒等变换求值

知识点一．两角和与差的正余弦与正切①sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；②cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ；③tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=；知识点二．二倍角公式①sin22sin cos ααα=；②2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；③22tan tan 21tan ααα=-；补充：2倍角公式变形（扩角降幂）221cos 21cos 2sin cos 22αααα-+==；；知识点三．辅助角公式)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a （其中a bb a a b a b =+=+=ϕϕϕtan cos sin 2222，，）．【常见式子变形】①2221cos 22cos 1cos 22sin 1sin 2(sin cos )ααααααα+=-=±=±；；②sin cos cos cos cos 22p p αβααβæöæö=Þ-=-=ç÷ç÷èøèø，具体是选2p α-还是2p α-要看题目给出的范围③sin cos tan 1tan sin cos tan 14βββp ββββ--æöÞ=+ç÷++èø高考数学复习：三角函数恒等变换求值2023新高考二卷T7：配完全平方公式【详解】因为cos 1α=-α为锐角，解得：sin2α==2023·新高考I 卷T8——和差公式+二倍角公式【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin()αβ+，再利用二倍角的余弦公式计算作答.【详解】因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，而1cos sin 6αβ=，因此1sin cos 2αβ=，则2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=，所以2221cos(22)cos 2()12sin ()12(39αβαβαβ+=+=-+=-´=.2022·新高考II 卷T6——和差公式【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】[方法一]：直接法由已知得：()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin αβαβαβαβααβ++-=-,即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ-++=，即：()()sin cos 0αβαβ-+-=所以()tan 1αβ-=-故选：C[方法二]：特殊值排除法解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取=2pα，排除A, B ；再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β=4p，排除D ；选C.[方法三])cos()]44cos sin sin 444p pβαβαβαβp p pαβαβαβ+++++++=++++（）（）（（cos sin 44p pαβαβ+=+（）（）sin cos cos sin =044p p αβαβ+-+（）（）即sin =04pαβ+-（）sin =sin cos cos sin =0444p p p αβαβαβαβαβ\-+-+---（）（）（）（）（）sin =cos αβαβαβ\----（）（）即t an(）=-1,2018全国II 卷（理）T15——一题多解【答案】12-【分析】方法一：将两式平方相加即可解出．【详解】［方法一］：【最优解】两式两边平方相加得22sin()1αβ++=，1in()s 2αβ+=-．［方法二］：利用方程思想直接解出sin 1αα=-=-1cos 2β=，则1sin 2α=．又cos sin αβìïïíïïîcos sin αβì=ïïíï=ïî，所以1in()s 2αβ+=-．［方法三］：诱导公式+二倍角公式由cos sin 0αβ+=，可得3sin cos sin 2p βααæö=-=+ç÷èø，则322k pβp α=++或32()2k k p βp p αæö=+-+Îç÷èøZ ．若32()2k k pβp α=++ÎZ ，代入得sin cos 2sin 1αβα+==，即2131sin ,sin()sin 22cos22sin 1222k p ααβp αααæö=+=++=-=-=-ç÷èø．若2()2k k pβp α=--ÎZ ，代入得sin cos 0αβ+=，与题设矛盾．综上所述，1in()s 2αβ+=-．［方法四］：平方关系＋诱导公式由2222cos sin (1sin )(cos )22sin 1ββααα+=-+-=-=，得1sin 2α=．又sin 1cos tan tan tan cos sin 22αβββααβ-æö===-=-ç÷-èø，()2k k βαp =-ÎZ ，即22k αp β=-，则2()k k αβp α+=-ÎZ ．从而1sin()sin(2)sin 2k αβp αα+=-=-=-．［方法五］：和差化积公式的应用由已知得1(sin cos )(cos sin )(sin 2sin 2)cos()2αβαβαβαβ++=++-sin()cos()cos()0αβαβαβ=+-+-=，则cos()0αβ-=或sin()1αβ+=-．若cos()0αβ-=，则()2k k pαβp -=+ÎZ ，即()2k k pαβp =++ÎZ ．当k为偶数时，sin cos αβ=，由sin cos 1αβ+=，得1sin cos 2αβ==，又23cos sin 0,cos sin sin 4αβαββ+==-=-，所以131sin()sin cos cos sin 442αβαβαβ+=+=-=-．当k 为奇数时，sin cos αβ=-，得sin cos 0αβ+=，这与已知矛盾．若sin()1αβ+=-，则2()2k k pαβp +=-ÎZ ．则sin sin 2cos 2k p αp ββæö=--=-ç÷èø，得sin cos 0αβ+=，这与已知矛盾．综上所述，1in()s 2αβ+=-．【整体点评】方法一：结合两角和的正弦公式，将两式两边平方相加解出，是该题的最优解；方法二：通过平方关系利用方程思想直接求出四个三角函数值，进而解出；方法三：利用诱导公式寻求角度之间的关系，从而解出；方法四：基本原理同方法三，只是寻找角度关系的方式不同；方法五：将两式相乘，利用和差化积公式找出角度关系，再一一验证即可解出，该法稍显麻烦．题型一知1求2长沙市明德中学2023-2024学年高三上学期入学考试T8【分析】由已知条件算出tan ,tan αβ即可求解.【详解】因为3πsin ,,π52ααæö=Îç÷èø，所以4sin 3cos ,tan 5cos 4αααα==-==-，因为()sin sin cos cos sin 34sin cos tan tan 4cos cos 55αβαβαβααββββ++==+=-=g ，所以17tan 4β=-，所以()317tan tan 1644tan 3171tan tan 7144αβαβαβ--++===-æöæö--´-ç÷ç÷èøèø.2024届·重庆市西南大学附中、重庆育才中学九月联考T15，【答案】4p【分析】根据已知得4sin 5α=，sin ββ==且π02αβ<-<，应用差角正弦公式求角的大小.【详解】由题设4sin 5α=，sin ββ==π0,2βæöÎç÷èø，而sin sin αβ>，故π02βα<<<，则π02αβ<-<，所以sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-=，则π4αβ-=题型二结合平方公式sin cos q q ±，2sin 2q ±2024届·湖南长郡中学阶段考T73．已知π0,2αæöÎç÷èøπ2sin 4ααæö=+ç÷èø，则sin 2α=（）A ．34-B ．34C ．1-D ．1【答案】B【分析】法1：展开，结合平方公式；法2：换元+诱导公式.【详解】π2sin()4αα=+Q ，)22cos )cos sin αααα=+-Q ,1(cos sin )(cos sin )02αααα\+--=，又π0,2αæöÎç÷èø，则sin 0,cos 0αα>>，即cos sin 0αα+>所以1cos sin 2αα-=，因为π0,2αæöÎç÷èø，所以2(0,π)αÎ，sin20α>.由1cos sin 2αα-=平方可得11sin 24α-=，即3sin 24α=，符合题意.综上，3sin 24α=.湖北省部分学校2024届高三上学期10月联考·T7【分析】由倍角公式结合同角三角函数关系计算化简即可.πcos 2sin 4αααæö===-=-ç÷èø，且π3π,24αæöÎç÷èø，则π2π4π,4αæö-Îç÷èø，可得πsin 04αæö->ç÷èø，)π2sin sin cos 4αααæö=--ç÷èø；cos α=，且π3π,24αæöÎç÷，可得cos 0α<，α=；)sin cos αααα=-=.5．已知22ppαβ-<-<，sin 2cos 1αβ+=，cos 2sin αβ-=sin(3pβ+=A B C D 【答案】A【分析】先由sin 2cos 1αβ+=，cos 2sin αβ-=αβ、的关系式，代入sin 3p βæö+ç÷èø，即可求出结果.【详解】由sin 2cos 1αβ+=，cos 2sin αβ-=将两个等式两边平方相加，得()543sin αβ+-=，()12sin αβ-=-，22p p αβ-<-<Q ，6pαβ\-=-，即6p αβ=-，代入sin 2cos 1αβ+=，得13p βæö+=ç÷èø，即sin 3p βæö+ç÷èø故选A 2023·浙江杭州二模T15【分析】将sin cos 2sin q q α+=平方，结合2sin cos sin q q β=可得22124sin 0sin βα+=-，利用二倍角余弦公式将224cos 2cos 2αβ-化简求值，可得答案.【详解】将sin cos 2sin q q α+=平方得212sin cos 4sin q q α+=，结合2sin cos sin q q β=可得221i s n 2i 4s n αβ+=，即22124sin 0sin βα+=-，则224cos 2cos 2(2cos 2cos 2)(2cos 2cos 2)αβαβαβ-=-+()()2214sin 2sin 2cos 2cos 20αβαβ=-++=2024届·浙江省Z20名校联盟第一次联考题T7【分析】利用和差公式和同角三角函数关系以及二倍角即可得出结论.【详解】将1sin cos 5αα-=平方得112sin cos 25αα-=，所以242sin cos 25αα=，则π0,2αæöÎç÷èø．所以()22449sin cos 12sin cos 12525αααα+=+=+=，从而7sin cos 5αα+=．联立1sin cos 57sin cos 5ααααì-=ïïíï+=ïî，得4sin 53cos 5ααì=ïïíï=ïî．所以24sin 22sin cos 25ααα==，2222347cos 2cos sin5525αααæöæö=-=-=-ç÷ç÷èø．故)π247sin 2sin 2cos 242525éùæöæö-=---=ç÷ç÷êúèøèøëûααα题型三和差公式2024届·长沙一中校月考（三）T78．已知角(),0,παβÎ，且()()sin cos 0,sin sin 3cos cos 0αβαβαβαβ++-=-=，则()tan αβ+=（）A ．2-B ．12-C ．12D ．2【答案】D【分析】由两角和与差公式化简后求解．【详解】由()()sin cos 0αβαβ++-=，可得sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ+++=，即sin cos cos sin 1cos cos sin sin αβαβαβαβ+=-+，故tan tan 11tan tan αβαβ+=-+.又sin sin 3cos cos 0αβαβ-=，故sin sin αβ3cos cos αβ=，即tan tan 3αβ=，代入tan tan 11tan tan αβαβ+=-+可得tan tan 4αβ+=-.故()tan tan tan 21tan tan αβαβαβ++==-云南师范大学附属中学2024届高三高考适应性月考卷（一）数学试题T7A ．()sin 31αβ-=B ．()sin 31αβ+=-C ．()sin 21αβ-=D ．()sin 21αβ+=-【答案】C【分析】对题中条件进行变化化简，可以得到π22αβ-=，进一步即可判断正确答案.【详解】tan cos 1sin ,αββ×=+Q sin cos 1sin ,cos αββα\×=+即sin cos cos sin cos ,αβαβα×=+×sin cos sin cos cos ,αββαα×-×=即πsin()cos sin(),2αβαα-==-又0,2p αæöÎç÷èø，0,2p βæöÎç÷èø，则ππππ,0,2222αβα-<-<<-<所以π2,sin(2)1,2αβαβ-=\-=，故C 正确.2024届·重庆市西南大学附中、重庆育才中学十月联考T7【分析】根据题意，由同角的平方关系可得()cos αβ+，再由余弦的和差角公式，即可得到结果.【详解】因为(),0,παβÎ，且1cos 7α=，所以sin α因为()sin αβ+=，所以()sin sin ααβ>+，所以()αβ+为钝角，所以()11cos 14αβ+==-，则()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+-=+++=éùû11111472-´+=，且()0,βp Î，则π3β=2024届·重庆市第八中学校适应性月考（一）T7【分析】根据两角和与差的正弦公式，化简得到sin 1sin tan βαα=，得到πsin sin()2βα=-，再由π,0,2αβæöÎç÷èø，结合正弦函数的性质，即可求解【详解】由()()()sin 2sin[()]2cos 2cos sin sin αβααβαβαβαα+++-+=-+()sin cos()cos sin()2cos sin ααβααβαβα+++=-+cos sin()cos sin()sin cos()cos()sin sin ααβααβααβαβαα++-+=-+=sin[()]sin sin sin αβαβαα+-==，所以sin 1sin tan βαα=，可得sin cos sin sin βααα=，即sin cos βα=，即πsin sin()2βα=-，因为π,0,2αβæöÎç÷èø，可得ππ0,22αæö-Îç÷èø，所以π2βα=-，所以π2αβ+=【分析】法一：利用两角和与差的三角函数公式求解；法二：利用特殊值法求解.【详解】法1：()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==--Q .tan tan tan tan 1αβαβ\+=-，()()()()cos sin 1tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan 2cos cos βααβαβαβαβαβαβ--+\=-++=--+=.2=èø题型四 2倍角公式2023届广州市一模T7【分析】由,2p αp æöÎç÷èø及二倍角的余弦公式可得()sin 1sin cos cos αβαβ+=，根据两角和的余弦公式可得()sin cos ααβ=+，由诱导公式及,αβ的范围即可求解.【详解】,,2p αβp æöÎç÷èøQ ，sin 0α\¹.由()()1cos 21sin sin 2cos αβαβ-+=，可得()22sin 1sin 2sin cos cos αβααβ+=，即()sin 1sin cos cos αβαβ+=.()sin cos cos sin sin cos ααβαβαβ\=-=+，()cos cos 2p αβαæö\+=-ç÷èø，,,2p αβp æöÎç÷èøQ ，2p αβp \<+<，且022pp α-<-<，根据函数cos y x =易知：22pαβαp +=-+，即得：522pαβ+=.【分析】利用降幂升角公式和诱导公式化简即可得到结果.【详解】221cos 21cos 222cos sin 4422x x x x p p p p æöæö++--ç÷ç÷æöæöèøèø++-=+ç÷ç÷èøèø1111sin 2sin 21sin 22222x x x =-+-=-【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式先化已知角x 为2x，然后再由正切的二倍角公式求tan x ．【详解】2222112sin 2sin cos 2sin 2sin cos 1cos sin 22222221cos sin 2cos 2sin cos 12cos 12sin cos222222x x x x x x x x x x x x x x x x æö--++ç÷-+èø-===++æö++-+ç÷èø2sin (sin cos )222tan 22cos (cos sin )222x x x x x x x +==+，∴222tan2(2)42tan 1(2)31tan 2xx x ´-===---．2024届广东实验中学校考T1516．若两个锐角α，β满足1cos21cos22cos sin2sin2αβααβ+-=+，则cos 23p αβæö++=ç÷èø.【答案】【分析】根据二倍角的正弦、余弦公式，化简可得角α，β的关系，代入cos 23p αβæö++ç÷èø即可求解.【详解】因为1cos21cos22cos sin2sin2αβααβ+-=+，所以()22112sin 12cos 12cos 2sin cos 2sin cos βααααββ--+-=+所以22cos sin cos sin cos sin cos αβαααββ=+，因为α，β为锐角，所以有cos sin 1sin cos αβαβ=+，所以()cos cos sin 1sin αββα=+，即cos cos sin sin sin αβββα=+，所以cos cos cos cos sin αβαββ-=，即()cos +sin αββ=，因为α，β为锐角，所以有+2pαββ+=，即+22pαβ=，所以cos 2cos sin 3233p p p p αβæöæö++=+=-=ç÷ç÷èøèø2024届·广州市越秀区高三月考（十月）T7【分析】由倍角余弦公式并整理得23sin 2sin 10αα+-=，结合角的范围得1sin 3α=，进而求tan α，应用倍角正切公式求值即可.【详解】由23cos24sin 36sin 4sin 1αααα-=--=，即23sin 2sin 1(3sin 1)(sin 1)0αααα+-=-+=，所以1sin 3α=或sin 1α=-，又π,π2αæöÎç÷èø，则1sin 3α=，所以cos α=，则tanα=由22tan tan 21tan ααα==-2024届·广州市天河区高三综合测试（一）T7【分析】由商数关系及两角差的正切公式将已知化为ππtan 2tan 34αβæöæö-=-ç÷ç÷èøèø，得出ππ2π34k αβ-=-+，再根据二倍角的余弦公式即可得解.【详解】由πtan tanπsin cos tan 1π4tan 2tan π3sin cos tan 141tan tan 4ββββαβββββ---æöæö-====-ç÷ç÷++èøèø+，所以ππ2π34k αβ-=-+，即π2π,Z 12k k αβ=++Î，()()2π12cos 2cos 22cos 2π12k αβαβββæö--=--=-++-ç÷èøπππcos 2πcos 2πcos 1266k k æöæö=-+=-+=-=ç÷ç÷èøèø武汉市硚口区2024届高三上学期起点质量检测T15【答案】9798【分析】根据辅助角公式可得π1 sin614qæö-=ç÷èø，再根据二倍角与诱导公式求解即可.【详解】17cosq q=+即114cos12q qö-=÷÷ø，故π1sin614qæö-=ç÷èø.故2ππ97cos212sin3698q qæöæö-=--=ç÷ç÷èøèø.则97sin2sin2cos2632398p p p pq q qæöæöæö+=-+=-=ç÷ç÷ç÷èøèøèø.题型五统一角度化简2024届·重庆市第一中学校高三上学期9月月考·T15【分析】利用和角的正余弦公式化简，再利用诱导公式及齐次式求法求解即可.【详解】πtan9α=，7π7ππππcos cos sin sin cos sin sin cos tan tan1818999πππππsin cos cos sin sin cos cos sin tan tan99999αααααααααα---==+++3=.2023届·江苏省七市三模·T7【分析】利用和差角公式展开，得到2cos40cos cos80cos sin80sin0q q q°+°+°=，即可得到2cos40cos80tansin80q°+°=-°，再利用两角差的余弦公式计算可得.【详解】因为()()()cos40cos40cos800q q q°-+°++°-=，所以cos 40cos sin 40sin cos 40cos sin 40sin cos80cos sin 80sin 0q q q q q q °+°+°-°+°+°=，所以2cos 40cos cos80cos sin80sin 0q q q °+°+°=，所以2cos 40cos80sin80tan 0q °+°+°=，所以2cos 40cos80tan sin 80q °+°=-°()2cos 12080cos80sin 80°-°+°=-°()2cos120cos80sin120sin 80cos80sin 80°°+°°+°=-==°2022届·广东省汕头二模·T7【分析】根据诱导公式、同角三角函数基本关系、两角差的正弦公式和正弦的二倍角公式化简即可求解.【详解】因为sin160tan 20cos 70l ++=o o o 即()(sin 18020tan 20cos 9020l -++-o o o o o所以sin 20sin 20sin 20cos 20l ++=ooo o所以sin 20cos 20sin 20sin 20cos 20l ++=o o o o o o ，所以()11sin 20cos 2020sin 20220sin 202l ö+-=-÷÷øo o o oo o ，所以()()1sin 402sin 60cos 20cos 60sin 202sin 60202sin 402l +=-=-=o o o o o o o o ，所以122l +=，所以3l =题型六和差公式+倍角公式2023湖南省五市十校高二下期末·T15【答案】19-【分析】化切为弦，然后逆用两角和正弦公式，求得1cos cos 2αβ=，再利用两角和与差的余弦公式求得()2cos 3αβ-=，根据二倍角公式即可得结果.【详解】()()sin sin cos sin cos 2sin tan tan cos cos cos cos αβαββααβαβαβαβ+++=+==，因为()1cos 3αβ+=，则()sin 0αβ+¹，因此1cos cos 2αβ=，而()1cos cos cos sin sin 3αβαβαβ+=-=，从而111sin sin 236αβ=-=，因此()112cos cos cos sin sin 263αβαβαβ-=+=+=，则()()21cos22cos 19αβαβ-=--=-.故答案为：19-.2024届·重庆市巴蜀中学适应性月考（二）·T11【分析】根据3cos25α=-，判断α的范围，再根据cos 2α，求出tan α，再由cos()αβ+=sin()αβ+，tan()βα-，cos()βα-，从而得出答案.【详解】因为0πα<<，所以022πα<<，又3cos 205α=-<，所以π3π222α<<，π3π44<<α，由3cos25α=-，得tan 2α=±.对于A 选项，若tan 2α=-，则π3π24α<<，又3ππ2β<<，所以3π9π24αβ<+<，而cos()0αβ+=<矛盾，所以tan 2α¹-.故A 错误；对于B 选项，根据A 选项知， tan 2α=，则ππ42α<<，又3ππ2β<<，所以5π2π4αβ<+<，而cos()0αβ+=<，所以5π3π42αβ<+<，这样sin()αβ+=B 正确；对于C 选项，根据A 2=，再根据B 选项中sin()αβ+=cos()αβ+=知tan()7αβ+=，从而tan()tan 1tan tan()1tan()tan 3αβαβαβααβα+-=+-==++，则tan tan tan()11tan tan βαβαβα--==-+，又3ππ2β<<，ππ24α-<-<-，π5π24βα<-<，所以3π4βα-=，故C 正确；对于D 选项，根据C 选项知3π4βα-=，所以cos()cos cos sin sinβαβααβ-=+=又cos()cos cos sinsin αβαβαβ+=-=解得cos cos αβ=D 错误2024·江苏省海安高级中学高三上学期10月月考·T6A ．53-B ．【答案】C【分析】根据三角函数的定义可得πtan 4,4q æö+=-ç÷èø进而又和差角公式得5tan θ3=，又二倍角和齐次式即可求解.【详解】由图可知πtan 4,4q æö+=-ç÷èø所以ππtan tan544tan ππ31tan tan44q q q æö+-ç÷èø==æö++ç÷èø，则()()()2sin cos 1sin 2sin cos tan 14cos 2cos sin cos sin cos sin 1tan q q q q q q q q q q q q q q++++====-+---【分析】注意到2236ππαβαβæö+=++-ç÷èø，后结合()0,πα，ππ,22βæöÎ-ç÷èø，利用二倍角，两角和的正弦公式可得答案.【详解】因()0,παÎ，则4333πππ，αæö+Îç÷è，又π1πsin sin 333æö+=<=ç÷èøα，则3πα+Îπ,π2æöç÷èø，得3πcos αæö+=ç÷èø.因πcos 6βæö-=ç÷èø22221663ππcos cosββéùæöæö-=--=-êúç÷ç÷èøèøëû.又ππ,22βæöÎ-ç÷èø，则π2ππ,633æö-Î-ç÷èøβ，结合π1πcos cos 623æö-=<=ç÷èøβ，则ππ,062æö-Î-ç÷èøβ，得6πsi n βæö-=-ç÷èø则22666πππsi n cos si n βββéùæöæöæö-=--=-êúç÷ç÷ç÷èøèøèøëû又注意到2236ππαβαβæö+=++-ç÷èø，则()ππππsin 2sin cos 2cos sin 23636éùéùæöæöæöæö+=+-++-ç÷ç÷ç÷ç÷êúêúøøèøëûαβαβαβ1233ææö=´-+´-=çç÷çèøè.。

7-三角恒等变换

三角恒等变换一、高考风向标主要考查三角函数的定义，三角函数的符号，同角三角函数关系式及诱导公式，两角和与差的三角函数，二倍角的正弦、余弦、正切公式，三角函数的图象与性质，包括周期性、奇偶性、单调性、和最值性．对于三角函数，高考都是送分为主，因此要求同学们对公式要熟记，对图像和性质方法要理解掌握好！对每次考试存在的三角问题要懂得反思。

同时对如下的高考题尽量理解掌握。

二、知识框图：如果求y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)、y=Atan(ωx+φ)的单调性、对称性、最值等采取整体思想解题。

四、解三角函数性质问题的技巧及注意事项1。

求三角函数的定义域事实上就是解最简单的三角不等式（组）。

通常可用三角函数的图像来求解，注意数形结合思想的应用。

2。

三角函数的值域问题，实质上大多是含有三角函数的复合函数的值域问题。

如求y=(sinx-2)2-3的最值。

常用的方法有：化为代数函数的值域或化为关于sinx(或cosx)的二次函数式，再利用换元、配方等方法转化为求二次函数在限定区间上的值域。

3。

若利用到公式asinα+bcosα,若a<0，则先化为-（-asinα-bcosα）,确保sinα的系数为正，便于快速确定初相。

4。

求y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)、y=Atan(ωx+φ)的单调区间都必须确保ω>0,确记！！！5。

比较三角函数值的大小，往往是利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的两个同名函数值，再利用单调性比较。

6。

研究函数y=Asin(ωx+φ)的奇偶性时，在定义域关于原点对称的前提下，当φ=kπ时，函数为奇函数；当φ=kπ+π/2时，函数为偶函数。

其余为非奇非偶函数。

一同角三角函数的关系、诱导公式总结提高1.对于同角三角函数基本关系式中“同角”的含义，只要是“同一个角”，那么基本关系式就成立，如：sin 2(－2α)＋cos 2(－2α)＝1是恒成立的.2.诱导公式的重要作用在于：它揭示了终边在不同象限且具有一定对称关系的角的三角函数间的内在联系，从而可化负为正，化复杂为简单.二两角和与差、二倍角的三角函数总结提高1.两角和与差的三角函数公式以及倍角公式等是三角函数恒等变形的主要工具. (1)它能够解答三类基本题型：求值题，化简题，证明题； (2)对公式会“正用”、“逆用”、“变形使用”； (3)掌握角的演变规律，如“2α＝(α＋β)＋(α－β)”等.2.通过运用公式，实现对函数式中角的形式、升幂、降幂、和与差、函数名称的转化，以达到求解的目的，在运用公式时，注意公式成立的条件.三三角恒等变换总结提高三角恒等式的证明，一般考虑三个“统一”：①统一角度，即化为同一个角的三角函数；②统一名称，即化为同一种三角函数；③统一结构形式.四三角函数的图象和性质总结提高1.求三角函数的定义域和值域应注意利用三角函数图象.2.三角函数的最值都是在给定区间上得到的，因而特别要注意题设中所给的区间.3.求三角函数的最小正周期时，要尽可能化为三角函数的一般形式，要注意绝对值、定义域对周期的影响.4.判断三角函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性.五函数y ＝A sin (ωx ＋ )的图象和性质总结提高1.用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，关键是五个点的选取，一般令ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π，即可得到作图所需的五个点的坐标，同时，若要求画出给定区间上的函数图象时，应适当调整ωx ＋φ的取值，以便列表时能使x 在给定的区间内取值.2.在图象变换时，要注意相位变换与周期变换的先后顺序改变后，图象平移的长度单位是不同的，这是因为变换总是对字母x 本身而言的，无论沿x 轴平移还是伸缩，变化的总是x .3.在解决y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关性质时，应将ωx ＋φ视为一个整体x 后再与基本函数y ＝sin x 的性质对应求解.一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan 令＝＝ αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=-例1.下列各式中，值为12的是（） A 、1515sin cos B 、221212cos sin ππ- C 、22251225tan .tan .- D例2.命题P ：0tan(A B )+=，命题Q ：0tan A tan B +=，则P 是Q 的（）A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件例3.已知35sin()cos cos()sin αβααβα---=，那么2cos β的值为____ 例4.110sin ______例5.已知0tan110a =，求0tan 50的值（用a，乙求得的结果是212a a -，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______答案：C C7254 甲、乙都对二、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路一角二名三结构即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。

三角函数与三角恒等变换知识点

三角函数与三角恒等变换（知识点）1．⑴ 角度制与弧度制的互化：π弧度180=o ，1180π=o 弧度，1弧度180()π=o '5718≈o .⑵ 弧长公式：||l R α=；扇形面积公式：211||22S R Rl α==. 2．三角函数定义：⑴ 设α是一个任意角，终边与单位圆交于点P (x ,y )，那么y 叫作α的正弦，记作sin α；x 叫作α的余弦，记作cos α；yx叫作α的正切，记作tan α. ⑵ 角α中边上任意一点P 为(,)x y ，设||OP r =，则：sin ,cos ,y x r r αα==tan yxα=.三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 3．三角函数线：正弦线：MP ；余弦线：OM ；正切线： AT . 4．诱导公式：六组诱导公式统一为“()2k Z α±∈”，记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. 5．同角三角函数基本关系：22sin cos 1αα+=（平方关系）；sin tan cos ααα=（商数关系）.6．两角和与差的正弦、余弦、正切：①sin()sin coscos sin αβαβαβ±=±；② cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m ； ③ tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=m .7．二倍角公式：① sin22sin cos ααα=；② 2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-； ③ 22tan tan 21tan ααα=-. 变形：21cos2sin 2αα-=；21cos2cos 2αα+=. （降次公式）8．化一：sin cos )y a x b x x x =+)x ϕ+. 9. 物理意义：物理简谐运动sin(),[0,)y A x x ωϕ=+∈+∞，其中0,0A ω>>. 振幅为A ，表示物体离开平衡位置的最大距离；周期为2T πω=，表示物体往返运动一次所需的时间；频率为12f T ωπ==，表示物体在单位时间内往返运动的次数；x ωϕ+为相位；ϕ为初相.11. 正弦型函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的性质及研究思路：① 最小正周期2T πω=，值域为[,]A A -.② 五点法图：把“x ωϕ+”看成一个整体，取30,,,,222x ππωϕππ+=时的五个自变量值，相应的函数值为0,,0,,0A A -，描出五个关键点，得到一个周期内的图象.③ 三角函数图象变换路线：sin y x =ϕ−−−−−→左移个单位sin()y x ϕ=+ ω−−−−−→1横坐标变为倍sin()y x ωϕ=+A −−−−−→纵坐标变为倍sin()y A x ωϕ=+. 或：sin y x = ω−−−−−→1横坐标变为倍sin y x ω=ϕω−−−−−→左移个单位sin ()y x ϕωω=+A −−−−−→纵坐标变为倍sin()y A x ωϕ=+. ④ 单调性：sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的增区间，把“x ωϕ+”代入到sin y x =增区间[2,2]()22k k k Z ππππ-++∈，即求解22()22k x k k Z πππωϕπ-+≤+≤+∈.⑤ 整体思想：把“x ωϕ+”看成一个整体，代入sin y x =与tan y x =的性质中进行求解. 这种整体思想的运用，主要体现在求单调区间时，或取最大值与最小值时的自变量取值.。

三角恒等变换讲义及常用三角函数

1、由二倍角公式引导学生思考：2αα与有什么样的关系？例1、试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα．解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=；因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=．又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+．思考：代数式变换与三角变换有什么不同？例2．试以tan α表示sin 2,cos 2,tan 2ααα分析: 首先寻找式子所包含的各个角之间的联系222222222222sin cos 2tan sin 22sin cos sin cos 1tan cos sin 1tan cos 2cos sin sin cos 1tan αααααααααααααααααα===++--=-==++ 例3、求证：（１）、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦；（２）、sin sin 2sin cos 22θϕθϕθϕ+-+=．证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-；即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦；（２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=，那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sincos 22θϕθϕθϕ+-+=．思考：在例3证明中用到哪些数学思想？要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．三、教学设想：三角函数的和（差）公式，倍角公式三角函数公式是三角变换的理论依据，基本的三角公式包括同角关系公式，诱导公式，和差公式和二倍角公式等（二）新课讲授：1、由二倍角公式引导学生思考：2αα与有什么样的关系？例1、试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα．解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=；因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=．又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+．思考：代数式变换与三角变换有什么不同？例2．试以tan α表示sin 2,cos 2,tan 2ααα分析: 首先寻找式子所包含的各个角之间的联系222222222222sin cos 2tan sin 22sin cos sin cos 1tan cos sin 1tan cos 2cos sin sin cos 1tan αααααααααααααααααα===++--=-==++ 例3、求证：（１）、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦；（２）、sin sin 2sin cos 22θϕθϕθϕ+-+=．证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-；即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦；（２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=，那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sincos 22θϕθϕθϕ+-+=．思考：在例3证明中用到哪些数学思想？（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．反三角函数主要是三个：y ＝arcsin(x)，定义域[-1,1] ，值域[-π/2,π/2]图象用红色线条；y=arccos(x)，定义域[-1,1] ，值域[0,π]，图象用蓝色线条；y=arctan(x)，定义域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)，图象用绿色线条；sin(arcsin x)=x,定义域[-1,1],值域 [-1,1] arcsin(-x)=-arcsinx其他公式:三角函数其他公式arcsin(-x)=-arcsinxarccos(-x)=π－arccosxarctan(-x)=-arctanxarccot(-x)=π－arccotxarcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotxsin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)当x∈[—π/2，π/2]时，有arcsin(sinx)=x当x∈[0,π],arccos(cosx)=xx∈(—π/2，π/2),arctan(tanx)=xx∈(0，π),arccot(cotx)=xx〉0,arctanx=π/2-arctan1/x,arccotx类似若(arctanx+arctany)∈(—π/2，π/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)本文来自:【爱学啦】原文地址：/shuxue/jiangjie/10816.html同角三角函数间的基本关系式：平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)·积的关系：sinα=tanα*cosαcosα=cotα*sinαtanα=sinα*secαcotα=cosα*cscαsecα=tanα*cscαcscα=secα*cotα·倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边,·三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)·辅助角公式：Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·三倍角公式：sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα·半角公式：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2·其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0三角函数的角度换算公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)。

三角函数、三角恒等变换知识点总结

高中数学必修4三角函数知识点总结一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：注意：若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。

（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或与α角终边在同一条直线上的角的集合：；与α角终边关于x 轴对称的角的集合：；与α角终边关于y 轴对称的角的集合：；与α角终边关于x y =轴对称的角的集合：（3）区间角的表示：①象限角：第一象限角：；第四象限角：；第一、三象限角：；②写出图中所表示的区间角：（4）由α的终边所在的象限，来判断2α所在的象限，来判断3α所在的象限（5）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一角α的弧度数的绝对值rl=||α，其中l 为以角α为圆心角时所对圆弧的长。

（6）弧长公式：；半径公式：；扇形面积公式：；练习：已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。

（22cm ）二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系I ）在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则=αsin ；=αcos ；=αtan （注意r>0）练习：已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααcos sin +的值为＿＿。

角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。

II ）作单位元交角α的终边上点),(y x P ，则=αsin ；=αcos ；=αtan （2）在图中画出角α的正弦线、余弦线、正切线；练习：（1）若α为锐角，则,sin ,tan ααα的大小关系为_____ （sin tan ααα<<）（2）函数)3sin 2lg(cos 21+++=x x y 的定义域是______222,33xk x k k Z ππππ⎧⎫∣-<≤+∈⎨⎬⎩⎭（3）特殊角的三角函数值：三、同角三角函数的关系与诱导公式：（1）同角三角函数的关系平方关系__________________；商数关系_____________________ 练习；（1）已知53sin +-=m m θ，)2(524cos πθπθ<<+-=m m ，则θtan ＝____（125-）（2）若11tan tan -=-αα，则ααααcos sin cos 3sin +-＝____；2cos sin sin 2++ααα＝___（35-；513）；（3）已知x x f 3cos )(cos =，则)30(sinf 的值为______（－1）。

三角恒等变换各种题型归纳分析

三角恒等变换各种题型归纳分析三角恒等变换基础知识及题型分类汇总一、知识点：一）公式回顾：cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta $，简记为C（$\alpha\pm\beta$）sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta $，简记为S（$\alpha\pm\beta$）sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$，简记为S2cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$，简记为C2tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$，其中$\alpha\neq\frac{k\pi}{2}$，简记为T2二）公式的变式1\pm\cos2\alpha=2\cos^2\alpha$，简记为1±C2frac{1\pm\cos\alpha}{2}=\sin^2\frac{\alpha}{2}$，简记为S2/2sin\alpha\pm\sin\beta=2\sin\frac{\alpha\pm\beta}{2}\cos\frac {\alpha\mp\beta}{2}$，简记为S±Scos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\al pha-\beta}{2}$，简记为C+Ccos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$，简记为C-Ctan\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}$，简记为T1辅助角（合一）公式：begin{cases}\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\\\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha\end{cases}$begin{cases}\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha\\\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha\end{cases}$begin{cases}\sin(-\alpha)=-\sin\alpha\\\cos(-\alpha)=\cos\alpha\end{cases}$begin{cases}\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cos\alpha\\\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha\end{cases}$begin{cases}\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\cos\alpha\\\cos(\frac {\pi}{2}+\alpha)=-\sin\alpha\end{cases}$begin{cases}\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\\\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha\end{cases}$二典例剖析：基础题型例1：已知$\sin2\alpha=\frac{5\pi}{13}$，$\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$，求$\sin4\alpha$，$\cos4\alpha$，$\tan4\alpha$。

必修四三角函数和三角恒等变换知识点及题型分类总结

必修四三角函数和三角恒等变换知识点及题型分类总结三角函数知识点总结１、任意角: 正角:;负角：;零角:; ２、角得顶点与重合,角得始边与重合，终边落在第几象限,则称为第几象限角、第一象限角得集合为第二象限角得集合为第三象限角得集合为第四象限角得集合为终边在轴上得角得集合为终边在轴上得角得集合为终边在坐标轴上得角得集合为３、与角终边相同得角得集合为4 4 、已知就就是第几象限角，确定所在象限得方法: : 先把各象限均分等份, , 再从轴得正半轴得上方起, , 依次将各区域标上一、二、三、四, , 则原来就就是第几象限对应得标号即为终边所落在得区域、5、叫做弧度、6、半径为得圆得圆心角所对弧得长为,则角得弧度数得绝对值就就是、７、弧度制与角度制得换算公式:8 、若扇形得圆心角为, 半径为，弧长为, 周长为，面积为, 则l＝、S=９、设就就是一个任意大小得角,得终边上任意一点得坐标就就是,它与原点得距离就就是，则,,、10、三角函数在各象限得符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正，第三象限正切为正,第四象限余弦为正、1１、三角函数线：、12 、同角三角函数得基本关系：(1)；(2); ; （３) )1３、三角函数得诱导公式: ,,、,，、，,、，,、，、,、口诀: : 奇变偶不变, , 符号瞧象限、重要公式⑴；⑵；⑶;⑷; ⑸(); ⑹（）、二倍角得正弦、余弦与正切公式: ⑴、(2)(,）、⑶、公式得变形: :, 辅助角公式,其中、1４、函数得图象平移变换变成函数得图象、1５、函数得性质：① 振幅：; ② 周期:; ③ 频率:; ④ 相位:; ⑤ 初相:、16、图像正弦函数、余弦函数与正切函数得图象与性质:三角函数题型分类总结一．求值１、===2、(1)7 (07 全国Ⅰ) ) 就就是第四象限角，,则(2)(０9 北京文)若,则、(3)(09 全国卷Ⅱ文）已知△AＢC 中,,则、(4) 就就是第三象限角，,则=＝3 3 、(1））（（7 07 陕西) ) 已知则=、(２）（０４全国文）设,若,则=、(3)(06 福建）已知则=4 4 （0 0 ７重庆) )下列各式中,值为得就就是(）(Ａ) (B)(C)(D) 5、(1 ）(0 ７福建) ) =（2)（0６陕西)＝。

三角恒等变换知识点

三角恒等变换一、三角基础知识1．定义α终边过点),(y x P ,22y x OP r +==,则,sin r y =α,cos r x =α,tan x y =α ,csc y r =α,sec x r =α.cot yx =α其中αsec 称为角α的正割，αcsc 称为角α的余割.2．同角三角函数的基本关系式(1) 平方关系：1cos sin 22=+αααα22sec 1tan =+ αα22csc 1cot =+(2) 商数关系：ααααααsin cos cot ,cos sin tan == (3) 倒数关系：1cot tan =∙αα1csc sin =⋅αα 1sec cos =⋅αα3．诱导公式4．三角函数恒等变形公式（1）两角和与差公式()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=± ()βαβαβαsin sin cos cos cos =±()βαβαβαtan tan 1tan tan tan ±=±（2）二倍角公式αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= ααα2tan 1tan 22tan -=（3）三倍角公式ααα3sin 4sin 33sin -= αααcos 3cos 43cos 3-=（4）半角公式2cos 12sinαα-±= 2cos 12cos αα+±= αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan-=+=+-±= （5）万能公式2tan 12tan2sin 2ααα+=，2tan 12tan 1cos 22ααα+-=，2tan 12tan2tan 2ααα-=（6）积化和差()()[]βαβαβα-++=sin sin 21cos sin ， ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21sin cos ，()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos ，()()[]βαβαβα--+-=cos cos 21sin sin（7）和差化积2cos2sin2sin sin ϕθϕθϕθ-+=+，2sin 2cos 2sin sin ϕθϕθϕθ-+=-，2cos 2cos 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=+，2sin 2sin 2cos cos ϕθϕθϕθ-+-=-，二、例题讲解例1．（2004北京高考）在ABC ∆中，,3,2,22cos sin ===+AB AC A A 求A tan 的值和ABC ∆的面积.[解法一] 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1cos sin 22cos sin 22A A A A 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=462cos 462sin A A ，故 32tan --=A 。

《三角恒等变换》知识点及常见题型总结

简单的三角恒等变换一、考点、热点回顾模块一、两角和与差的三角函数要点一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan 令＝＝ αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=-要点二、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路①巧变角：()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等②三角函数名互化：切割化弦③公式变形使用：tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±， 1±sin2α=sin 2α+cos 2α±2sinα·cosα=（sinα±cosα）2 ④三角函数次数的降升：降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=；升幂公式：21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-= ⑤常值变换主要指“1”的变换：221sin cos x x =+tan sin 42ππ===等模块二、简单的三角恒等变换要点三、半角公式：sin α2＝cos 2α= tan2α=sin 1cos 1cos sin αααα-=+ 要点四、三角函数的积化和差公式1sin cos [sin()sin()].2αβαβαβ=++-1cos sin [sin()sin()].2αβαβαβ=+--1cos cos [cos()cos()].2αβαβαβ=++-1sin sin [cos()cos()].2αβαβαβ=-+--记忆口诀：前角用和后角差，正余二分正弦和，余正二分正弦差，余余二分余弦和，正正负半余弦差。

专题4.3 三角函数--简单的三角恒等变换(有详细答案)

专题4.3 三角函数---简单的三角恒等变换【考点定位】2020考纲解读和近几年考点分布一、简单的三角恒等变换（一）两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．（二）二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑵2222cos2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan ααα=-．（三）辅助角公式1、尝试：将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为)sin(βα+A ()0A >的形式（11cos 2αα+ （2）sin αα 2、辅助角公式对于一般形式ααcos sin b a +（a 、b 不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角形式？sin cos ))a b αααααβ+==+其中辅助角β由cos sin ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩β（通常πβ20<≤）的终边经过点(,)a b我们称上述公式为辅助角公式，其中角β为辅助角。