【精品】选修44坐标系与参数方程

【关键字】精品专题八选修4系列选讲第一讲选修4－4 坐标系与参数方程考点一极坐标方程及应用1．直角坐标与极坐目标互化公式把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则2．几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r.(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝2acosθ.(3)当圆心位于M，半径为a：ρ＝2asinθ.3．几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0.(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a.(3)直线过M且平行于极轴：ρsinθ＝b.[解题指导] (1)→→→(2)→→→[解] (1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程ρ＝4cosθ(ρ>0)．因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB面积S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα·＝2≤2＋.当α＝－时，S取得最大值2＋.所以△OAB面积的最大值为2＋.解决极坐标问题应关注的两点(1)用极坐标系解决问题时要注意已知的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题来解决．(2)在极坐标与直角坐标互化的过程中，需要注意当条件涉及“角度”和“距离”时，利用极坐标将会给问题的解决带来很大的便利．[对点训练](2018·福建福州四校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，直线C2的方程为y＝x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求＋.[解] (1)由曲线C1的参数方程为(α为参数)，得曲线C1的普通方程为(x－2)2＋(y －2)2＝1，则C1的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋7＝0，由于直线C2过原点，且倾斜角为，故其极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．(2)由得ρ2－(2＋2)ρ＋7＝0，设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝2＋2，ρ1ρ2＝7，∴＋＝＝＝.考点二参数方程及应用1．圆的参数方程以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是其中α是参数．2．椭圆的参数方程椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是其中φ是参数．3．直线的参数方程(1)经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是其中t是参数．(2)若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M 所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：①t0＝；②|PM|＝|t0|＝；③|AB|＝|t2－t1|；④|PA|·|PB|＝|t1·t2|.角度1：参数方程与普通方程的互化[解题指导](1)(2)设出曲线C上点的坐标→表示出点到直线的距离→对参数a 进行讨论从而确定a 的值[解] (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎨⎧ x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17. 当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917.由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117.由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.角度2：直线参数方程中参数几何意义的应用[解] (1)曲线C 的普通方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的普通方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α，当cos α＝0时，l 的普通方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的普通方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 上，所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0.又由①得t 1＋t 2＝4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α， 故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.解决参数方程问题的3个要点(1)把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法．(2)把普通方程化为参数方程的关键是选准参数，注意参数的几何意义及变化范围．(3)直线参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(α为倾斜角，t 为参数)，其中|t |＝|PM |，P (x ，y )为动点，M (x 0，y 0)为定点，在解决与点P 有关的弦长和距离的乘积问题时广泛应用．[对点训练]1．[角度1]设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)． (1)若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的斜率；(2)若直线l 与圆C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围．[解] (1)由已知得直线l 经过的定点是P (3,4)，而圆C 的圆心是C (1，－1)，所以，当直线l 经过圆C 的圆心时，直线l 的斜率为k ＝52.(2)解法一：由圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ，得圆C 的圆心是C (1，－1)，半径为2.由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，得直线l 的普通方程为y －4＝k (x －3)(斜率存在)，即kx －y ＋4－3k ＝0.当直线l 与圆C 交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径， 即|5－2k |k 2＋1<2，解得k >2120. 即直线l 的斜率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫2120，＋∞. 解法二：将圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ化成普通方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝4 ①，将直线l 的参数方程代入①式，得t 2＋2(2cos α＋5sin α)t ＋25＝0. ②.当直线l 与圆C 交于两个不同的点时，方程②有两个不相等的实根，即Δ＝4(2cos α＋5sin α)2－100>0，即20sin αcos α>21cos 2α，两边同除以20cos 2α，得tan α>2120，即直线l 的斜率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫2120，＋∞.2．[角度2](2018·郑州一模)已知直线l ：⎩⎨⎧ x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. (1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程．(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值．[解] (1)∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，∴曲线C 的直线坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1.(2)将直线l ：⎩⎨⎧ x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)代入曲线C 的直角坐标方程中，化简得t 2＋53t ＋18＝0，且Δ>0.∴t 1t 2＝18.∵点M (5，3)在直线l 上，根据直线参数方程中参数t 的几何意义，得|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.考点三 极坐标方程与参数方程的综合应用1．对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标方程，这样思路可能更加清晰．2．对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程或极坐标方程计算会比较简捷．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5＋2cos t ，y ＝3＋2sin t 消去参数t ，得(x ＋5)2＋(y －3)2＝2，所以圆C 的普通方程为(x ＋5)2＋(y －3)2＝2.由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－2，得ρcos θ－ρsin θ＝－2. 可得直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(2)直线l 与x 轴，y 轴的交点分别为A (－2,0)，B (0,2)，化为极坐标为A (2，π)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2， 设点P 的坐标为(－5＋2cos t,3＋2sin t )，则点P 到直线l 的距离为d ＝|－5＋2cos t －3－2sin t ＋2|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋π42，所以d min ＝42＝22，又|AB |＝22， 所以△P AB 面积的最小值＝12×22×22＝4.解决极坐标与参数方程问题的关键(1)会转化：把直线与圆的参数方程转化为普通方程时，要关注参数的取值范围的限定，还需掌握极坐标与直角坐标的互化公式．(2)懂技巧：合理选择直角坐标形式运算、极坐标形式运算、参数坐标形式运算，利用参数及其几何意义，结合关系式寻找关于参数的方程或函数．[对点训练]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数，0<r <4)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22cos θ，y ＝2＋22sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线θ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2与曲线C 1交于点N ，与曲线C 2交于O ，P 两点，且|PN |的最大值为2 2.(1)将曲线C 1与曲线C 2化成极坐标方程，并求r 的值．(2)射线θ＝α＋π4与曲线C 1交于点Q ，与曲线C 2交于O ，M 两点，求四边形MPNQ 面积的最大值．[解] (1)将曲线C 1的参数方程化为普通方程为x 2＋y 2＝r 2.所以曲线C 1的极坐标方程为ρ＝r .将曲线C 2的参数方程化为普通方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8，即x 2＋y 2－4x －4y ＝0.所以曲线C 2的极坐标方程为ρ－4cos θ－4sin θ＝0，即ρ＝42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4. 因为|PN |max ＝|ρP －ρN |max ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－r max ＝22， 所以r ＝22，所以C 1：ρ＝2 2.(2)S 四边形MPNQ ＝S △OPM －S △ONQ ＝12OP ·OM sin π4－12ON ·OQ ·sin π4＝12×42sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4×42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2×22－12×22×22×22＝42sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＋4－2 2. 所以当α＝π8时，四边形MPNQ 面积的最大值为4＋2 2.1．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．[解] (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)由(1)知C 2是圆心为A (－1,0)，半径为2的圆．由题设知，C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0，经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点．当l 2与C 2只有一个公共点时，A 到l 2所在直线的距离为2，所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝0或k ＝43.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点．综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.2．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．[解] (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1.当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋k 2<1，解得k <－1或k >1，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4. 综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4. (2)l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α(t 为参数，π4<α<3π4)． 设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B 2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0. 于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α. 所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧ x ＝22sin2α，y ＝－22－22cos2α(α为参数，π4<α<3π4)．1.坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用．2．全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用．专题跟踪训练(三十一)1．(2018·湖南长沙联考)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程．(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点分别为M ，N ，求△C 2MN 的面积．[解] (1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴C 1：x ＝－2的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1的极坐标方程为(ρcos θ－1)2＋(ρsin θ－2)2＝1，化简，得ρ2－(2ρcos θ＋4ρsin θ)＋4＝0.(2)把直线C 3的极坐标方程θ＝π4(ρ∈R )代入圆C 2：ρ2－(2ρcos θ＋4ρsin θ)＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.∴|MN |＝|ρ1－ρ2|＝ 2.∵圆C 2的半径为1，∴C 2M 2＋C 2N 2＝MN 2，∴C 2M ⊥C 2N .∴△C 2MN 的面积为12·C 2M ·C 2N ＝12×1×1＝12.2．(2018·洛阳联考)在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2＝31＋2sin 2θ，已知点R ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4. (1)以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标．(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P 点的直角坐标．[解] (1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2.∴曲线C 的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1.点R 的直角坐标为(2,2)．(2)设点P (3cos θ，sin θ)，根据题意得Q (2，sin θ)，即可得|PQ |＝2－3cos θ，|QR |＝2－sin θ，∴|PQ |＋|QR |＝4－2sin(θ＋60°)．∴当θ＝30°时，|PQ |＋|QR |取最小值2，∴矩形PQRS 周长的最小值为4.此时点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12. 3．(2018·安徽皖南八校联考)在平面直角坐标系xOy 中，C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝1＋22t(t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－3＝0. (1)说明C 2是哪种曲线，并将C 2的方程化为直角坐标方程．(2)C 1与C 2有两个公共点A ，B ，定点P 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，求线段AB 的长及定点P 到A ，B 两点的距离之积．[解] (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，x 2＋y 2＝ρ2代入C 2的极坐标方程中得C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝4，所以C 2是圆．(2)将C 1的参数方程⎩⎨⎧ x ＝1－22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，代入(x －1)2＋y 2＝4中得⎝ ⎛⎭⎪⎫－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22t 2＝4，化简，得t 2＋2t －3＝0. 设两根分别为t 1，t 2，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝－2，t 1·t 2＝－3. 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝2＋12＝14，定点P 到A ，B 两点的距离之积|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝3.4．(2018·河北衡水中学模拟)在极坐标系中，曲线C 1的极坐标方程是ρ＝244cos θ＋3sin θ，在以极点为原点O ，极轴为x 轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系xOy 中，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)． (1)求曲线C 1的直角坐标方程与曲线C 2的普通方程；(2)将曲线C 2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝22x ，y ′＝2y 后得到曲线C 3，若M 、N 分别是曲线C 1和曲线C 3上的动点，求|MN |的最小值．[解] (1)∵C 1的极坐标方程是ρ＝244cos θ＋3sin θ，∴4ρcos θ＋3ρsin θ＝24，∴4x ＋3y －24＝0，故C 1的直角坐标方程为4x ＋3y －24＝0.∵曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ，∴x 2＋y 2＝1， 故C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.(2)将曲线C 2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝22x ，y ′＝2y后得到曲线C 3，则曲线C 3的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝22cos α，y ′＝2sin α(α为参数)．设N (22cos α，2sin α)，则点N 到曲线C 1的距离d ＝|4×22cos α＋3×2sin α－24|5＝|241sin (α＋φ)－24|5＝24－241sin (α＋φ)5(其中φ满足tan φ＝423)． 当sin(α＋φ)＝1时，d 有最小值24－2415， 所以|MN |的最小值为24－2415.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。