【精品】选修44坐标系与参数方程

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专题八选修4系列选讲

第一讲选修4－4 坐标系与参数方程

考点一极坐标方程及应用

1．直角坐标与极坐目标互化公式

把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则2．几个特殊位置的圆的极坐标方程

(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r.

(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝2acosθ.

(3)当圆心位于M，半径为a：ρ＝2asinθ.

3．几个特殊位置的直线的极坐标方程

(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0.

(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a.

(3)直线过M且平行于极轴：ρsinθ＝b.

[解题指导] (1)→→→

(2)→→

→

[解] (1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.

由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程

ρ＝4cosθ(ρ>0)．

因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．

(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．

由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB面积

S＝|OA|·ρB·sin∠AOB

＝4cosα·

＝2≤2＋.

当α＝－时，S取得最大值2＋.

所以△OAB面积的最大值为2＋.

解决极坐标问题应关注的两点

(1)用极坐标系解决问题时要注意已知的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表

示时，可以先化为直角坐标，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题来解决．

(2)在极坐标与直角坐标互化的过程中，需要注意当条件涉及“角度”和“距离”时，利用极坐标将会给问题的解决带来很大的便利．

[对点训练]

(2018·福建福州四校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，直线C2的方程为y＝x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；

(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求＋.

[解] (1)由曲线C1的参数方程为(α为参数)，得曲线C1的普通方程为(x－2)2＋(y －2)2＝1，

则C1的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋7＝0，

由于直线C2过原点，且倾斜角为，故其极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．

(2)由得ρ2－(2＋2)ρ＋7＝0，设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝2＋2，ρ1ρ2＝7，

∴＋＝＝＝.

考点二参数方程及应用

1．圆的参数方程

以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是其中α是参数．

2．椭圆的参数方程

椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是其中φ是参数．

3．直线的参数方程

(1)经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是其中t是参数．

(2)若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M 所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：

①t0＝；

②|PM|＝|t0|＝；

③|AB|＝|t2－t1|；

④|PA|·|PB|＝|t1·t2|.

角度1：参数方程与普通方程的互化

[解题指导](1)

(2)设出曲线C上点的坐标→表示出点到直线的距离

→对参数a 进行讨论从而确定a 的值

[解] (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.

当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.

由⎩⎨⎧ x ＋4y －3＝0，

x 29＋y 2＝1

解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2125，y ＝2425.

从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)

到l 的距离d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17

. 当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917.由题设得a ＋917

＝17，所以a ＝8；

当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117.由题设得－a ＋117

＝17，所以a ＝－16.

综上，a ＝8或a ＝－16.

角度2：直线参数方程中参数几何意义的应用

[解] (1)曲线C 的普通方程为x 24＋y 2

16＝1.

当cos α≠0时，l 的普通方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α，

当cos α＝0时，l 的普通方程为x ＝1.

(2)将l 的参数方程代入C 的普通方程，整理得关于t 的方程(1＋

3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①

因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 上，

所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0.

又由①得t 1＋t 2＝4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α

， 故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.

解决参数方程问题的3个要点

(1)把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法．

(2)把普通方程化为参数方程的关键是选准参数，注意参数的几何意义及变化范围．

(3)直线参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(α为倾斜角，t 为参数)，其中|t |＝|PM |，P (x ，y )为动点，M (x 0，y 0)为定点，在解决与点P 有关的弦长和距离的乘积问题时广泛应用．

[对点训练]

1．[角度1]设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α

(t 为参数，α为倾斜角)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)． (1)若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的斜率；

(2)若直线l 与圆C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围．

[解] (1)由已知得直线l 经过的定点是P (3,4)，而圆C 的圆心是C (1，－1)，