回溯法
回溯法课程知识点总结
回溯法课程知识点总结在回溯法中，通常使用递归的方式来遍历解空间树，每次遍历到下一层时，都会尝试选择一个决策。
如果选择的决策不满足约束条件，则进行回溯，取消该决策，重新选择其他决策。
当所有的决策都尝试完毕后，就回到上一层继续尝试其他决策，直至搜索到满足约束条件的解，或者搜索完整个解空间树。
回溯法的优点是能够有效地遍历解空间树，找到满足约束条件的解。
它也具有灵活性高、适用范围广等优点。
但同时，回溯法也存在着时间复杂度高、搜索空间大等缺点。
在实际应用中，回溯法通常需要结合具体问题进行适当地优化，以提高搜索效率。
下面我们将介绍回溯法的具体实现和应用。
1. 回溯法的实现回溯法的实现通常由两部分组成：递归函数和决策函数。
递归函数用于遍历解空间树，决策函数用于判断是否满足约束条件和进行决策选择。
下面以求解八皇后问题为例，介绍回溯法的实现。
八皇后问题是一个经典的回溯法应用题目，在一个8×8的棋盘上摆放八个皇后，使得它们互相不攻击。
互相不攻击的条件是：任意两个皇后不在同一行、同一列或同一斜线上。
```pythondef solve_n_queens(n):res = []def backtrack(path):if len(path) == n:res.append(path[:])returnfor i in range(n):if is_valid(path, i):path.append(i)backtrack(path)path.pop()def is_valid(path, col):row = len(path)for i in range(row):if path[i] == col or abs(row - i) == abs(col - path[i]):return Falsereturn Truebacktrack([])return res```在上面的代码中，solve_n_queens函数用于求解八皇后问题，其实现思路如下：首先，定义一个回溯函数backtrack，用于遍历解空间树。
第5章 回溯法
教学要求
回溯
了解回溯算法的概念与回溯设计要领 掌握应用回溯算法求解桥本分数式、素数环、 数码串珠以及情侣拍照等典型案例
本章重点
理解回溯法 “向前走，碰壁回头”的实现
5.1 回溯概述
1. 回溯的概念
(1) 回溯法（Back track method）有“通用解题法”之美 称，是一种比枚举“聪明”的效率更高的搜索技术。
4. 4皇后问题的回溯举例
如何在4×4的方格棋盘上放置4个皇后，使它们互不攻击:
4皇后问题回溯描述
i=1;a[i]=1; while
(1) { g=1;for(k=i-1;k>=1;k--) if(a[i]=a[k] || abs(a[i]-a[k])=i-k) g=0; // 检测约束条件,不满足则返回 if(g && i==4) printf(a[1：4]); // 输出一个解 if(i<4 && g) {i++;a[i]=1;continue;} while(a[i]==4 && i>1) i--; // 向前回溯 if(a[i]==4 && i==1) break; //退出循环结束探索 else a[i]=a[i]+1; }
（2） 回溯描述 对于一般含参量m,n的搜索问题,输入正整数n,m,(n≥m) i=1;a[i]=<元素初值>; while (1) {for(g=1,k=i-1;k>=1;k--) if( <约束条件1> ) g=0; // 检测约束条件,不满足则返回 if(g && <约束条件2>) printf(a[1：m]); // 输出解 if(i<n && g) {i++;a[i]=<取值点>;continue;} while(a[i]=<回溯点> && i>1) i--; // 向前回溯 if(a[i]==n && i==1) break; // 退出循环，结束 else a[i]=a[i]+1; }
第5章回溯法PPT课件
二、回溯的一般描述
一旦某个j元组（x1，x2，…，xj）违反D中仅涉及 x1，x2，…，xj 的一个约束，就可以肯定，以（x1， x2，…，xj）为前缀的任何n元组
（x1，x2，…，xj，xj+1，…，xn）都不会是问题P 的解。
三、回溯的一般步骤
回溯法正是针对这类问题，利用这类问题的 上述性质而提出来的比枚举法效率更高的算 法。
由于这是第一次用计算机证明数学定理，所以哈肯 和阿佩尔的工作，不仅是解决了一个难题，而且从 根本上拓展了人们对“证明”的理解，引发了数学 家从数学及哲学方面对“证明”的思考。
实例—n皇后问题
在一个n×n的棋盘上放置n个国际象棋中 的皇后，要求所有的皇后之间都不形成攻 击。请你给出所有可能的排布方案数。
n
4
5
6
7
8
总数
2
10
4
40
92
n皇后问题
对于n皇后问题而言，我们很难找出很合适的方法 来快速的得到解，因此，我们只能采取最基本的枚 举法来求解。
但我们知道，在n×n的棋盘上放置n个棋子的所有
回溯算法（一）
什么是回溯
入口回溯
▪迷宫游戏
回溯
➢什么是回溯法
回溯
▪回溯法是一个既带
有系统性又带有跳跃
性的的搜索算法
回溯
▪回溯法是以深度优先的方式系统地搜索问题 出口 的解, 它适用于解一些组合数较大的问题。
回溯(Trackback)是什么？
为什么回溯？
怎样回溯？
What
Why
How
一、回溯的概念
解问题P的最朴素的方法就是枚举法，即对E 中的所有n元组逐一地检测其是否满足D的全 部约束，显然，其计算量是相当大的。
回溯法的思政要点
回溯法的思政要点
回溯法（Backtracking）是一种解决问题的算法策略，它通过深度优先的方式，在问题的解空间中寻找问题的所有可能解。
回溯法的核心思想是扩展解空间，当发现当前扩展的部分不符合要求时，立即返回上一层，进而选择其他可能的分支继续，直到找到问题的解，或者完整个解空间。
1.追求真理：回溯法在解决问题时，通过穷举尝试所有可能的解，追求问题的正确解答。
这要求我们在思考问题和解决问题时，要坚持求真的态度，不断地分析和验证解的可行性，直至找到最佳的解答。
2.积极探索：回溯法在问题解空间中通过深度优先的方式进行扩展和剪枝，以找到问题的解。
这要求我们在面临困难和挑战时，要积极主动地探索解决问题的方法和策略，不怕失败和错误，敢于面对问题并主动寻找解决方案。
3.勇于创新：回溯法在问题解空间时，会根据问题的约束条件和限制进行剪枝，以减少无效的。
这要求我们在面对复杂和困难的问题时，要善于分析问题的规律和特点，勇于尝试新的思路和方法，不断创新和改进解决问题的策略。
4.学习成长：回溯法在求解问题的过程中，需要深入地理解问题的本质和求解方法，不断地总结和提高解决问题的能力。
这要求我们在解决问题的过程中，要持续学习和增长自己的知识和技能，不断改进和完善自己的解决问题的能力，实现个人的成长和进步。
综上所述，回溯法的思政要点是追求真理、积极探索、勇于创新、学习成长。
回溯法不仅仅是一种解决问题的算法策略，更是一种思维方式和学习态度。
在面对问题和困难时，我们应该以积极的态度去追求问题的真
相，不断地探索和创新解决问题的方法，通过学习和成长来提升解决问题的能力。
简述回溯法
简述回溯法
回溯法是一种解决问题的思路和方法，它通常用于在有限的选择中
搜索问题的解。
这种方法通过不断回溯，重复尝试不同的解决方案，
直到找到正确的解答，或者发现问题无解。
回溯法通常用于解决NP问题，如旅行商问题、八皇后问题等。
它的基
本思路是从初始状态开始搜索，逐步深入，直到找到解答或者无解为止。
在搜索的过程中，如果发现当前的搜索方向行不通，就会回溯到
上一个状态，尝试其他可行的方案，直到找到正确的路径。
回溯法的具体实现可以用递归来实现。
在搜索的过程中，我们需要记
录当前的状态和步骤，并根据状态的变化不断更新。
如果发现当前的
状态无法满足要求，就返回上一个状态，继续尝试其他的方案。
这种
方法可以帮助我们避免遗漏解法，同时也能够高效地找到最优解。
在实际应用中，回溯法通常分为两类：深度优先搜索和广度优先搜索。
深度优先搜索从初始状态开始，按照某种规定的搜索方向进行搜索，
直到找到一个终止状态或者遍历完所有状态。
广度优先搜索则是从初
始状态开始，逐层扩展搜索范围，直到找到一个解答或者遍历完所有
状态。
总之，回溯法是一种非常有效的求解方法，可以解决很多复杂的问题。
它的优点在于能够避免遗漏解法，同时也能够高效地找到最优解。
在
实际应用中，我们可以根据问题的具体特点来选择合适的搜索算法，并在实现过程中注意优化和剪枝，以提高搜索效率。
回溯法
回溯法一、回溯法：回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的的搜索算法。
它在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。
算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。
如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索，逐层向其祖先结点回溯。
否则，进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。
回溯法在用来求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有子树都已被搜索遍才结束。
而回溯法在用来求问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。
这种以深度优先的方式系统地搜索问题的解的算法称为回溯法，它适用于解一些组合数较大的问题。
二、算法框架：1、问题的解空间：应用回溯法解问题时，首先应明确定义问题的解空间。
问题的解空间应到少包含问题的一个（最优）解。
2、回溯法的基本思想：确定了解空间的组织结构后，回溯法就从开始结点（根结点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。
这个开始结点就成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。
在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。
这个新结点就成为一个新的活结点，并成为当前扩展结点。
如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。
换句话说，这个结点不再是一个活结点。
此时，应往回移动（回溯）至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。
回溯法即以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已没有活结点时为止。
运用回溯法解题通常包含以下三个步骤：（1）针对所给问题，定义问题的解空间；（2）确定易于搜索的解空间结构；（3）以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索；3、递归回溯：由于回溯法是对解空间的深度优先搜索，因此在一般情况下可用递归函数来实现回溯法如下：procedure try(i:integer);varbeginif i>n then 输出结果else for j:=下界 to 上界 dobeginx[i]:=h[j];if 可行{满足限界函数和约束条件} then begin 置值；try(i+1); end;end;end;说明：i是递归深度；n是深度控制，即解空间树的的高度；可行性判断有两方面的内容：不满约束条件则剪去相应子树；若限界函数越界，也剪去相应子树；两者均满足则进入下一层；二、习题：1、0-1背包：n=3,w=[16,15,15],p=[45,25,25],c=302、旅行售货员问题：某售货员要到若干城市去推销商品，已知各城市之间的路程（或旅费）。
回溯法的基本介绍以及原理
回溯法的基本介绍以及原理
回溯法是一种通过逐步试探、回溯到上一步来寻找问题解的方法。
它适用于在一个问题的解空间中搜索所有可能的解，通过深度优先的方式进行搜索。
回溯法的基本原理是：从问题的初始状态开始，不断地进行选择，当发现选择导致了无效的解或者无法继续选择时，就回溯到上一步重新进行选择。
在回溯的过程中，保存了每一步的选择，这样可以在找到一个解或者搜索完整个解空间后，利用已经保存的选择恢复出解。
具体来说，回溯法一般包含以下步骤：
1. 定义问题的解空间：也就是问题的所有可能的解组成的空间。
2. 制定问题的解空间的搜索规则：决定了在解空间中搜索的顺序和方式。
3. 利用深度优先的方式进行搜索：从问题的初始状态开始，逐步进行选择，如果选择导致了无效的解或者无法继续选择，则回溯到上一步。
4. 终止条件：当搜索完整个解空间或者找到一个解时，终止搜索。
回溯法的时间复杂度一般很高，因为它需要搜索整个解空间。
但是，通过合理的剪枝策略，可以减少搜索的路径，降低时间
复杂度。
回溯法常常应用于解决组合问题、排列问题、子集问题等涉及组合选择的问题，也可以用于解决图的遍历问题等其他类型的问题。
回溯法
回溯法之旅行商问题 • 某售货员要到若干城市去推销商品，下图显示了 各城市之间的路程，他要选定一条从驻地出发， 经过每个城市一遍，最后回到住地的路线，使总 的路程最短。（假设售货员的驻地在1） 30 • 路线图 1 2
5
6 10 4 20
3
4
上图是一个4顶点无向带权图。顶点序列1，2，4，3，1；1，3， 2，4，1 和1，4，3，2，1是该图中3条不同的周游 路线。
该问题的解空间可以组织成一棵树，从树的根结 点到任一 结点的路径定义了图G的一条周游路线
• 树状图
A 1 2 B
3
2 H 4 N D 4 I 2 O
4 E 2 J 3 P 3 K 2 Q
C
3 F 4 L 4 有解，然后进行 比较，取权值最小的解为最优解，这种方法虽 然可以求取问题的最优解，但是我们知道旅行 售货员问题是对完全图而言的，对有N个结点 的完全图，存在个不同的哈密顿回路，如果采 用枚举法求解，则要对上述数目的不同的哈密 顿回路一一进行运算且需要相互之间比较，当 N取值较小时，此种求解方法没有任何问题， 但若N值较大时，计算量则以级数级别递增， 况且没有有效的算法，所以在计算机中也较难 实现，故枚举法在大多数的实际应用中是不可 取的。
回溯法
第一小组： 徐伟伟 曾佳 马天 王雨 孙逊 庞浩瀚
LOGO
1
回溯法及基本思想
回溯法应用 我的分享
2
3
1. 回溯法
有“通用的解题法”之称。 回溯法也称试探法，它的基本思想是：从 问题的某一种状态（初始状态）出发，搜索 从这种状态出发所能达到的所有“状态”， 当一条路走到“尽头”的时候（不能再前 进），再后退一步或若干步，从另一种可能 “状态”出发，继续搜索，直到所有的“路 径”（状态）都试探过。这种不断“前进”、 不断“回溯”寻找解的方法，就称作“回溯 法”。
回溯法的几种算法框架
回溯法的几种算法框架回溯法是一种经典的求解问题的算法框架，通常用于解决组合优化、搜索和排列问题。
下面将介绍回溯法的几种常见算法框架。
1. 全排列问题：全排列问题是指对给定的一组数字或字符，求出所有可能的排列方式。
回溯法可以通过递归的方式实现。
首先选择一个初始位置，然后从剩余的数字中选择下一个位置，依次类推，直到所有位置都被填满。
当所有位置都填满时，得到一个排列。
随后继续回溯，在上一次选择的位置后面选择下一个数字，直到得到所有的排列。
2. 子集问题：子集问题是指对给定的一组数字或字符，求出所有可能的子集。
回溯法可以通过递归的方式实现。
从给定的集合中选择一个元素，可以选择将其添加到当前正在构建的子集中，也可以选择跳过。
递归地遍历所有可能的选择路径，直到得到所有的子集。
3. 组合问题：组合问题是指在给定的一组数字或字符中，取出若干个元素进行组合，求解出所有不重复的组合方式。
回溯法可以通过递归的方式实现。
从给定的集合中选择一个元素，将其添加到当前正在构建的组合中，然后以当前选择元素的下一个位置为起点，递归地构建后续的组合。
如果当前组合已经满足条件或者已经遍历完所有可能的位置，则回溯到上一次选择的位置，继续尝试其他可能的选择。
4. 搜索问题：搜索问题是指在给定的搜索空间中，找到满足特定条件的解。
回溯法可以通过递归的方式实现。
从初始状态开始，选择一个操作或移动方式，然后递归地探索所有可能的状态转移路径。
每次探索时，进行剪枝操作，排除一些不符合条件的状态。
当找到满足条件的解或搜索空间遍历完时，回溯到上一次选择的位置，继续探索其他可能的路径。
总结：回溯法是一种求解问题的经典算法框架，适用于组合优化、搜索和排列问题。
通过选择和回溯的方式，可以遍历所有可能的解空间，并找到满足特定条件的解。
在实际应用中，可以根据具体问题的特点，选择合适的算法框架和相应的优化策略，以提高算法的效率和准确性。
回溯法
回溯法回溯法(探索与回溯法)是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。
但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。
1、回溯法的一般描述可用回溯法求解的问题P，通常要能表达为：对于已知的由n元组（x1，x2，…，xn）组成的一个状态空间E={（x1，x2，…，xn）∣xi∈Si ，i=1，2，…，n}，给定关于n元组中的一个分量的一个约束集D，要求E中满足D的全部约束条件的所有n 元组。
其中Si是分量xi的定义域，且|Si| 有限，i=1，2，…，n。
我们称E中满足D的全部约束条件的任一n元组为问题P的一个解。
解问题P的最朴素的方法就是枚举法，即对E中的所有n元组逐一地检测其是否满足D的全部约束，若满足，则为问题P的一个解。
但显然，其计算量是相当大的。
我们发现，对于许多问题，所给定的约束集D具有完备性，即i元组（x1，x2，...，xi）满足D中仅涉及到x1，x2，...，xi的所有约束意味着j（j<i）元组（x1，x2，...，xj）一定也满足D中仅涉及到x1，x2，...，xj的所有约束，i=1，2，...，n。
换句话说，只要存在0≤j≤n-1，使得（x1，x2，...，xj）违反D中仅涉及到x1，x2， (x)的约束之一，则以（x1，x2，…，xj）为前缀的任何n元组（x1，x2，…，xj，xj+1，…，xn）一定也违反D中仅涉及到x1，x2，…，xi的一个约束，n≥i>j。
因此，对于约束集D具有完备性的问题P，一旦检测断定某个j元组（x1，x2，…，xj）违反D中仅涉及x1，x2，…，xj的一个约束，就可以肯定，以（x1，x2，…，xj）为前缀的任何n元组（x1，x2，…，xj，xj+1，…，xn）都不会是问题P的解，因而就不必去搜索它们、检测它们。
回溯性方案
回溯性方案引言回溯法是一种常用于解决组合问题的算法，它通过逐步构建解决方案，并在达到某个不可行解时进行回溯，寻找其他可行解。
回溯法在求解组合、排列、子集、图的遍历等问题中都有广泛的应用。
本文将介绍回溯算法的基本原理、应用场景以及一些常见的优化技巧。
基本概念回溯法是一种通过尝试所有可能的解决方案来求解问题的算法。
它遵循以下基本步骤：1.定义问题的解空间：确定问题的解空间，表示问题可能的解决方案。
2.确定约束条件：确定问题的约束条件，这些条件将约束解的可行性。
3.定义搜索策略：确定一种搜索策略，以确定如何选择下一个可行候选解。
4.回溯搜索：按照搜索策略，逐步构建解决方案，并在达到不可行解时进行回溯，寻找其他可行解。
应用场景回溯法在以下场景中有广泛的应用：1. 组合问题回溯法常用于求解组合问题，即从给定的一组元素中选取若干个元素进行组合。
比如，在一个数组中找到所有可能的组合，使得它们的和等于一个给定的目标值。
2. 排列问题回溯法也可以用于求解排列问题，即从给定的一组元素中选取若干个元素进行排列。
与组合问题不同的是，排列要求选取的元素按照一定的顺序排列。
3. 子集问题回溯法可用于求解子集问题，即从给定的一组元素中选取若干个元素进行组合，不考虑元素的顺序。
4. 图的遍历回溯法在图的遍历问题中也有应用，它通过逐步搜索图中的节点来寻找解决方案。
常见的图的遍历问题有深度优先搜索和广度优先搜索。
优化技巧为了提高回溯算法的效率，可以采用以下一些优化技巧：1. 剪枝操作在每一步的搜索过程中，可以进行剪枝操作，即根据约束条件排除一些明显不可行的解。
这样可以减少搜索空间，提高算法的效率。
2. 使用动态规划保存中间结果对于某些需要重复计算的子问题，可以使用动态规划保存中间结果，避免重复计算，提高算法效率。
3. 优化搜索顺序通过优化搜索顺序，可以使得更有可能找到可行解，从而提高算法的效率。
具体的优化策略可以根据问题的特点进行选择。
算法分析与设计回溯法
组织解空间（3）
子集和数问题
解空间由根结点到叶结点旳全部途径拟定
状态空间树
– 对于任何一种问题，一旦设想出一种状态空间 树，那么就能够先系统地生成问题状态，接着 拟定这些问题状态中旳哪些是解状态，最终拟 定哪些解状态是答案状态从而将问题解出
– 生成问题状态旳两种措施 便于问题旳描述，给出下列概念：
索过程中用剪枝函数防止无效搜索；
回溯算法旳形式描述
假设回溯算法要找出全部旳答案结点而不是仅 仅只找出一种。 ① 设(x1,x2,…,xi-1)是状态空间树中由根到一种 结点(问题状态)旳途径。 ② T(x1,x2,…,xi-1)是下述全部结点旳xi旳集合， 它使得对于每一种xi, (x1,x2,…,xi)是一条由 根到结点xi旳途径 ③ 存在某些限界函数Bi(能够表达成某些谓词)， 假如途径(x1,x2,…,xi)不可能延伸到一种答案 结点，则Bi(x1,x2,…,xi)取假值，不然取真值。
end BACKTRACK
回溯算法旳递归表达
procedure RBACKTRACK(k)
global n, X(1:n) for 满足下式旳每个X(k)
X(k) ∈T(X(1),…X(k-1)) and B(X(1),…X(k))=true do
if(X(1),…,X(k)) 是一条已到达一答案结点旳途 径
m=1+m1+m1m2+m1m2m3+…
Monte Carlo效率估计算法
procedure ESTIMATE m1; r 1; k 1 loop Tk{X(k):X(k)∈ T(X(1),…X(k-1)) and B(X(1),…X(k))} if SIZE(Tk)=0 then exit endif rr*SIZE(Tk) mm+r X(k)CHOOSE(Tk) KK+1 repeat return(m)
回溯法方法简介
回溯法方法简介回溯法（backtracking）是一种常用于解决组合优化问题和搜索问题的算法。
它通过逐步建立解决方案的过程，并在某一步发现不满足条件时回溯到前一步，尝试其他可能的选择，直至找到满足条件的解决方案或者确定无解。
回溯法的思想类似于穷举搜索，但通过一些剪枝等优化策略，可以提高搜索效率。
回溯法是许多经典算法问题的核心思想，如八皇后问题、0-1背包问题、图的着色问题等。
回溯法的过程通常包括五个步骤：1. 选择解空间；2. 约束条件；3. 判断当前解是否满足约束条件；4. 如果满足条件则记录当前解，否则回溯到前一步；5. 继续遍历其他分支，直至找到最终解或确定无解。
回溯法通常使用递归的方式来实现，其中递归函数包括参数表示当前搜索深度、当前解决方案、约束条件等信息。
在递归函数中，根据约束条件和当前解决方案，判断是否需要继续搜索或者回溯。
通过不断调用递归函数，可以逐步构建解空间，并寻找满足条件的解决方案。
回溯法的优点在于可以找到问题的所有解（或满足条件的解），适用于许多组合优化问题和搜索问题。
回溯法的搜索过程中可以使用剪枝等策略来提高效率，避免不必要的搜索。
回溯法的缺点在于可能需要遍历整个解空间，并且在某些情况下可能会导致比较大的时间复杂度。
回溯法在实际应用中有许多经典问题的解决方案。
八皇后问题是回溯法的典型案例。
八皇后问题是一个经典的棋盘游戏问题，要求在8×8的国际象棋棋盘上放置8个皇后，使得彼此之间不能相互攻击。
通过回溯法逐步尝试不同的布局，可以找到所有满足条件的解决方案。
同样，回溯法在解决0-1背包问题、图的着色问题、旅行推销员问题等组合优化问题中也有广泛的应用。
除了组合优化问题，回溯法也常用于搜索问题的解决。
在图的遍历中，可以使用回溯法来寻找从起点到终点的路径。
在人工智能领域，回溯法也常用于解决逻辑推理、规划等问题。
通过对搜索空间进行回溯和剪枝，可以高效地找到问题的解决方案。
回溯法是一种重要的算法思想，适用于解决组合优化问题和搜索问题。
回溯法和分治法
回溯法和分治法
回溯法和分治法都是计算机科学中的重要算法。
分治法(Recurrence and Divide-Conquer)是一种将问题分解为更小的子问题，然后分别解决这些子问题，最后合并子问题的解以得到原问题的解的算法。
在分治算法中，如果原问题的规模足够小，可以直接求解，否则将原问题分解为k个规模较小的子问题，然后递归地解决这些子问题。
最后将各个子问题的解合并得到原问题的解。
回溯法(Back Tracking Method)是一种通过探索所有可能的候选解来找出所有的解的算法。
在回溯算法中，每次扩大当前部分解时，都会面临一个可选的状态集合，新的部分解就通过在该集合中选择构造而成。
这样的状态集合，其结构是一棵多叉树，每个树结点代表一个可能的部分解，它的儿子是在它的基础上生成的其他部分解。
回溯法对任一解的生成，一般都采用逐步扩大解的方式。
每前进一步，都试图在当前部分解的基础上扩大该部分解。
回溯法以这种工作方式递归地在状态空间中搜索，直到找到所要求的解或解空间中已无活结点时为止。
回溯法和分治法都是基于试探的算法，它们都需要通过尝试不同的解决方案来找到最佳或可行的解决方案。
回溯法可以找出所有可能的解决方案，而分治法则可以解决大规模的问题，通过将问题分解为更小的子问题并递归地解决这些子问题来降低问题的复杂性。
第5章 回溯法
4
C 20 D
10
求赋权图G 的具有最小 权 的 Hamilton圈
B
C D B
C
D B
D
C
D
C
D
B
C
B
A
5
5.1回溯法的算法框架—基本思想
例2．定和子集问题：
已知一个正实数的集合 A={w1,w2,……wn},和正实数M．试求A的所有子集S，使得S中 的数之和等于M。 这个问题的解可以表示成0/1数组{x1,x2,……xn}，依据w1是 否属于S，x1分别取值1或0。故解空间中共有2n个元素。它的树 1 结构是一棵完全二叉树。
7
5.1回溯法的算法框架—基本思想
从例3来看，解空间的确定与我们对问题的描述有关。 如何组织解空间的结构会直接影响对问题的求解效率。这是 因为回溯方法的基本思想是通过搜索解空间来找到问题的可 行解以至最优解。 当所给的问题是从n个元素的集合S中找出满足某种性质 的子集时，相应的解空间树称为子集合树。此时，解空间有 2n 个元素，遍历子集树的任何算法均需Ω(2n)的计算时间。 如例2。 当所给的问题是确定n个元素的满足某种性质的排列时， 相应的解空间树称为排列树，此时，解空间有n!个元素。遍 历排列树的任何算法均需Ω(n!)计算时间，如例1和例3。本 章只讨论具有上两类解空间树的求解问题。
11
5.1回溯法的算法框架—递归回溯
回溯法对解空间作深度优先搜索，因此，在一般情况下 用递归方法实现回溯法。 void backtrack (int t) { if (t>n) output(x); else for (int i=f(n,t); i<=g(n,t);i++) { x[t]=h(i); if (constraint(t) && bound(t)) backtrack(t+1); } } f(n,t)和g(n,t)分别表示在当前扩展结点处未搜索过子 树的起始编号与终止编号，h(i)表示当前扩展结点处x[t]的 第i个可选值。
回溯法的使用条件和基本方法
回溯法的使用条件和基本方法
回溯法是一种基于试错的搜索算法，它的使用条件是问题具有明确的求解步骤，并且可以通过逐步求解来逼近最终答案。
基本方法包括以下步骤：
1. 定义问题的解空间：确定问题的解空间，即问题的可能解的集合。
解空间通常是一个图或树，其中每个节点表示问题的一个状态，每个边表示从一个状态转移到另一个状态的操作。
2. 确定问题的约束条件：确定问题的约束条件，即限制问题解的规则。
约束条件可以帮助缩小解空间，减少搜索的规模。
3. 搜索解空间：从解空间的根节点（通常是最初始状态）开始搜索，按照一定的搜索策略（如深度优先搜索、广度优先搜索等）遍历解空间。
在搜索过程中，如果遇到未访问过的节点，就扩展该节点，并递归地搜索其子节点。
如果遇到已经访问过的节点，则回溯到上一个节点，继续搜索其他分支。
4. 判断是否找到解：在搜索过程中，如果找到了满足约束条件的解，就停止搜索并返回该解。
如果搜索完整个解空间都没有找到解，则说明该问题无解。
5. 优化搜索效率：为了提高搜索效率，可以采用一些启发式搜索策略，如A 搜索算法、模拟退火算法等。
这些策略可以在一定程度上减少搜索的路径数量，加速搜索过程。
以上是回溯法的基本使用条件和基本方法。
在实际应用中，可以根据问题的特点选择适合的回溯法变种或改进方法，以获得更好的求解效果。
算法——回溯法
算法——回溯法回溯法回溯法有“通⽤的解题法”之称。
⽤它可以系统地搜索⼀个问题的所有解或任⼀解。
回溯法是⼀种即带有系统性⼜带有跳跃性的搜索算法。
它在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根节点出发搜索解空间树。
算法搜索⾄解空间树的任⼀结点时，先判断该节点是否包含问题的解。
如果不包含，则跳过对以该节点为根的⼦树的搜索，逐层向其它祖先节点回溯。
否则，进⼊该⼦树，继续按照深度优先策略搜索。
回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根节点的所有⼦树都已被搜索遍才结束。
回溯法求问题的⼀个解时，只要搜索到问题的⼀个解就可结束。
这种以深度优先⽅式系统搜索问题的算法称为回溯法，它是⽤于解组合数⼤的问题。
问题的解空间⽤回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。
问题的解空间⾄少包含问题的⼀个（最优）解。
例如对于有n种可选择物品的0-1背包问题，其解空间由长度为n的0-1向量组成。
该解空间包含对变量的所有可能的0-1赋值。
例如n=3时，其解空间是{(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}定义了问题的解空间后，还应该将解空间很好地组织起来，使得能⽤回溯法⽅便地搜索整个解空间。
通常将解空间组织成树或者图的形式。
例如，对于n=3时的0-1背包问题，可⽤⼀颗完全的⼆叉树表⽰其解空间，如下图。
解空间树的第i层到第i+1层边上的标号给出了变量的值。
从树根到叶⼦的任⼀路径表⽰解空间中的⼀个元素。
例如，从根节点到节点H的路径相当与解空间中的元素(1,1,1)。
回溯法的基本思想确定了解空间的组织结构后，回溯法从根节点出发，以深度优先搜索⽅式搜索整个解空间。
回溯法以这种⼯作⽅式递归地在解空间中搜索，直到找到所要求的解或解空间所有解都被遍历过为⽌。
回溯法搜索解空间树时，通常采⽤两种策略避免⽆效搜索，提⾼回溯法的搜索效率。
其⼀是⽤约束函数在当前节点（扩展节点）处剪去不满⾜约束的⼦树；其⼆是⽤限界函数剪去得不到最优解的⼦树。
对比回溯法和分支限界法
回溯法（Backtracking）和分支限界法（Branch and Bound）都是求解组合优化问题的常用算法，它们在解空间中搜索最优解的过程中有所不同。
1. 回溯法：
回溯法是一种穷举搜索的算法，通过逐步构建候选解，然后根据约束条件进行判断，如果当前的候选解不能满足约束条件，就进行回溯，撤销上一步的选择，继续搜索其他可能的解。
回溯法常用于求解排列、组合、子集等问题。
回溯法的基本思想是深度优先搜索，在搜索的过程中利用剪枝策略来减少搜索空间。
回溯法的核心是递归实现，在每一层递归中，都会进行选择、判断和回溯操作。
2. 分支限界法：
分支限界法是一种利用剪枝策略进行搜索的优化算法，它通过设置一个界限值，将搜索空间划分为多个子空间，并对每个子空间中的解进行评估。
根据评估结果，可以确定某些子空间中不可能存在更优解的情况，从而剪去这些子空间，减少搜索代价。
分支限界法的基本思想是广度优先搜索，通过优先级队列或堆结构来选择下一个扩展节点。
在搜索的过程中，根据问题的特点和限界条件，确定分支的方向，并对每个扩展节点进行评估。
相比于回溯法，分支限界法在搜索过程中可以更加高效地剪去无效子空间，从而减少不必要的搜索量。
它适用于需要在可能解空间中找到最优解或满足某个目标的问题。
总结：
回溯法是一种穷举搜索的方法，通过递归实现，在搜索过程中进行选择、判断和回溯操作；而分支限界法利用剪枝策略，在广度优先搜索的基础上，通过设定界限值来剪去无效子空间。
两种算法在实际应用中根据问题的特点和求解目标选择使用。
回溯法枚举子集
回溯法是一种通过枚举所有可能的解来求解问题的方法。
在求解子集问题时，回溯法可以按照以下步骤进行枚举：
1. 定义一个空集作为当前子集。
2. 定义一个状态数组，用于记录每个元素是否已经被选择。
初始时，将所有元素标记为未选择。
3. 定义一个递归函数，该函数将接受一个当前子集和一个状态数组作为参数。
4. 在递归函数中，首先检查当前子集是否满足问题的要求，如果满足，则将当前子集作为解输出。
5. 否则，尝试将每个未选择的元素添加到当前子集中，并更新状态数组。
6. 对于每个添加的元素，递归调用递归函数，传入更新后的当前子集和状态数组。
7. 在递归调用返回后，将添加的元素从当前子集中移除，并更新状态数组，以便尝试其他未选择的元素。
8. 重复步骤5-7，直到找到满足问题的解或者尝试了所有可能的组合。
通过回溯法枚举子集的时间复杂度取决于问题的要求和输入规模。
如果需要枚举所有可能的子集，则时间复杂度为O(2^n)，其中n是集合中元素的数量。
如果只需要枚举满足特定条件的子集，则时间复杂度可能会更低。
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回溯法回溯法也是搜索算法中的一种控制策略，但与枚举法不同的是，它是从初始状态出发，运用题目给出的条件、规则，按照深度优秀搜索的顺序扩展所有可能情况，从中找出满足题意要求的解答。
回溯法是求解特殊型计数题或较复杂的枚举题中使用频率最高的一种算法。
一、回溯法的基本思路何谓回溯法，我们不妨通过一个具体实例来引出回溯法的基本思想及其在计算机上实现的基本方法。
【例题12.2.1】n皇后问题一个ｎ×ｎ（1≤n≤100）的国际象棋棋盘上放置ｎ个皇后，使其不能相互攻击，即任何两个皇后都不能处在棋盘的同一行、同一列、同一条斜线上，试问共有多少种摆法？输入：n输出：所有分案。
每个分案为n+1行，格式：方案序号以下n行。
其中第i行（1≤i≤n）行为棋盘i行中皇后的列位置。
在分析算法思路之前，先让我们介绍几个常用的概念：1、状态（state）状态是指问题求解过程中每一步的状况。
在ｎ皇后问题中，皇后所在的行位置i(1≤i≤n)即为其时皇后问题的状态。
显然，对问题状态的描述，应与待解决问题的自然特性相似，而且应尽量做到占用空间少，又易于用算符对状态进行运算。
2、算符（operater）算符是把问题从一种状态变换到另一种状态的方法代号。
算符通常采用合适的数据来表示，设为局部变量。
n皇后的一种摆法对应1．．ｎ排列方案（a1，…，a n）。
排列中的每个元素a i对应ｉ行上皇后的列位置（1≤i≤n）。
由此想到，在ｎ皇后问题中，采用当前行的列位置i(1≤i≤n)作为算符是再合适不过了。
由于每行仅放一个皇后，因此行攻击的问题自然不存在了，但在试放当前行的一个皇后时，不是所有列位置都适用。
例如(l，ｉ)位置放一个皇后，若与前1．．l-1行中的j行皇后产生对角线攻击(｜ｊ－l｜=｜a j －i｜)或者列攻击(ｉ≠a j)，那么算符ｉ显然是不适用的，应当舍去。
因此，不产生对角线攻击和列攻击是ｎ皇后问题的约束条件，即排列（排列a1，…，a i，…，a j，…，a n）必须满足条件(｜ｊ－ｉ｜≠｜a j－a i｜) and (a i≠a j) (1≤i，j≤n)。
3、解答树（analytic tree）现在让我们先来观察一个简单的ｎ皇后问题。
设ｎ＝4，初始状态显然是一个空棋盘。
此时第一个皇后开始从第一行第一列位置试放，试放的顺序是从左至右、自上而下。
每个棋盘由４个数据表征相应的状态信息（见下图）：（××××）其中第i（1≤i≤4）个数据指明当前方案中第i个皇后置放在第i行的列位置。
若该数据为０，表明所在行尚未放置皇后。
棋盘状态的定义如下varstack：array[1‥4]of integer；{stack[i]为i行皇后的列位置}从初始的空棋盘出发，第１个皇后可以分别试放第１行的４个列位置，扩展出４个子结点。
在上图中，结点右上方给出按回溯法扩展顺序定义的结点序号。
现在我们也可以用相同方法找出这些结点的第二行的可能列位置，如此反复进行，一旦出现新结点的四个数据全非空，那就寻到了一种满足题意要求的摆法。
当尝试了所有可能方案，即获得了问题的解答，于是得到了下列图形。
该图形象一棵倒悬的树。
其初始结点v1叫根结点，而最下端的结点v3、v5、v9、v13、v16、v17称为叶结点，其中2个数据全非零的叶结点，亦即本题的目标结点。
由根结点到每一个目标结点之间，揭示了一种成功摆法的形成过程。
显然，４皇后问题存在由v9、v13表示的二种方案。
上图被称作解答树。
树中的每一结点都是当前方案中满足约束条件的元素状态。
除了根结点、叶结点以外的结点都称作分枝结点。
分枝结点愈接近根结点者，辈分愈高；反之，愈远离根结点者，辈分愈低。
上图中结点v7是结点v8的父结点（又称前件），结点v13是结点v12的子结点（又称后件）。
某结点所拥有的子结点的个数称作该结点的次数。
显而易见，所有叶结点的次数为０。
树中各结点次数最大值，被称作为该树的次数。
算符的个数即为结解答树的次数。
由上图可见，４皇后的解答树是４次树。
一棵树中的某个分枝结点也可视作为“子根”，以该结点为根的树则称作“子树”。
由以上讨论可以看出解答树的结构：1、初始状态构成（主）树的根结点。
对应于ｎ皇后来说，初始时的空棋盘即为根结点；2、除根结点以外，每个结点都具有一个、且只有一个父结点。
对应于ｎ皇后问题来说，置放i行皇后的子结点，只有在置放了前i-1行皇后的一个父结点基础上产生；3、每个非根结点都有一条路径通往根结点，其路径长度（代价）定义为这条路径的边数。
对应于ｎ皇后来说，当前行序号即为路径代价。
当路径代价为n＋１时，说明n个皇后已置放完毕，一种成功的摆法产生。
有了以上的基础知识和对ｎ皇后问题的初步分析，我们已经清楚地看到，求解ｎ皇后问题，无非就是做两件事：1、从左至右逐条树枝地构造和检查解答树t；2、检查t的结点是否对应问题的目标状态；上述两件事同时进行。
为了加快检查速度，一般规定：1、再扩展一个分枝结点前进行检查，只要它不满足约束条件，则不再构造以它为根的子树；2、已处理过的结点若以后不会再用，则不必保留。
即回溯过程中经过的结点不再保留。
例如在上图中，当我们求出第一种摆法v1－v2－v3后，由于皇后置放第三行任何列位置都会产生攻击，因此舍弃该摆法，开始寻求第二种摆法。
从上图可看出，第二条路径为v1－v2－v4－v5，v3在第二种摆法中不再用到，不必保留，应当退回到v2状态，在第二行选择尚未使用过的列位置4，扩展出v4。
一般来说，当求出一条路径后，必须从叶结点开始，沿所在路径回溯，回溯至第一个还剩有适用算符的分枝点（亦称为尚未使用过的通向右边方向的结点），从那里换上一个新算符，继续求下一条路径。
按上述规定对照上图，我们来具体分析４皇后的置放过程。
初始状态（０，０，０，０）作为根结点v1，由此出发，置第１个皇后于第１行第１列位置。
从（１，０，０，０）开始，第２个皇后相继选择了第２行的１、２列位置，由于会产生攻击，因此选择该行的列位置３放入，产生状态（１，３，０，０）。
但是第３个皇后无论放入第３行哪列位置都难逃攻击，因此只得沿第一条路径回溯至第一个尚未用过的通向右边方向的分枝点v2，以寻求第二种摆法。
从（１，０，０，０）状态换上新的列位置４，产生（１，４，０，０）。
从（１，４，０，０）选择列位置２（由于列位置１产生攻击），产生（１，４，２，０）。
由于第４个皇后无论置放第４行哪列位置都会产生攻击，第二种摆法失败，同样再从v5开始，沿第二条路径回溯。
由于v2，v4都没有未使用的满足约束条件的算符（列位置）了，因此第一个分枝点是v1，从v1的（０，０，０，０）换上位置２，产生v6的（２，０，０，０）。
这样依次使用满足约束条件的算符扩展下去，又得出第三条路径v1－v6－v7－v8－v9。
可见，v9的（２，４，１，３）是一种成功的摆法。
按上述规律不断回溯检查，直至得出第六条路径v1－v14－v17。
沿路径从v17回溯，由于v14选择尚未用过的列位置３、４都会产生攻击，因此不再剩有适用的列位置了，只得回溯至v1。
又因为v1已经选择了列位置４而无法再扩展，至此，求出了４皇后的所有可能摆法。
由上述扩展过程引出回溯法的基本思想：从左至右逐条树枝地构造和检查查找解答树，已处理过的结点若以后不会再使用则不必保留（一般说来，检查长度为n的树枝，只要保留n个结点就够了）。
若按这种方式得到一条到达树叶的树枝t，实际上就得到了一条路径。
然后沿树枝t回溯到第一个尚未使用过通往右边路径方向上的分枝点，并由此分枝点向右走一步，然后再从左至右地逐个进行构造和检查，直至达到叶子为止，这时又得到一条路径。
按这种方法搜索下去，直至求出所有路径。
显然用这种方法检查，在树枝左边的一切结点都已检查过，树枝右边的一切结点尚未产生出来。
我们把这种不断“回溯”查找解答树中目标结点的方法，称作“回溯法”。
由上述算法思想，我们很容易想到，应选择怎样一种数据结构来存放当前路径上各结点的状态和算符？它应具有“后进先出”的特征，就象食堂里的一叠盘子，每次只许一个一个地往顶上堆，一个一个地从顶上往下取。
这就是我们通常所说的栈。
栈是一种线性表，所有进栈或出栈的数据都只能在表的同一端进行，就象堆盘子和拿盘子一样，都只能在顶端“堆上”或“取下”。
这顶端叫“栈顶”，另一端叫“栈底”。
Pascal编译系统内部，保留一部分内存用作栈区，存放过程和函数的值参以及过程和函数内部所说明的局部变量。
每当一个过程和函数被启用时，系统就在栈顶分配一组值参和局部变量（进栈）。
而当该过程或函数退出时，这些局部变量或值参就被消除（退栈）。
我们为回溯法设计的一个递归过程run 就是利用系统的这一特性：procedure run（当前状态）；vari：integer；beginif 当前状态为边界then beginif 当前状态为最佳目标状态then 记下最优结果；exit；{回溯}end；{then}for i←算符最小值to 算符最大值dobegin算符i作用于当前状态，扩展出一个子状态；if (子状态满足约束条件) and (子状态满足最优性要求)then run(子状态)；end；{for}end；{run}我们在应用回溯法求所有路径的算法框架解题时，应考虑如下几个重要因素：⑴定义状态：即如何描述问题求解过程中每一步的状况。
在n皇后问题中，将行位置l作为状态。
如果扩展结点时参与运算的变量有多个，为了精简程序，增加可读性，我们一般将参与子结点扩展运算的变量组合成当前状态列入值参，以便回溯时能恢复递归前的状态，重新计算下一条路径；⑵边界条件：即在什么情况下程序不再递归下去。
在n皇后问题中，将l=n+1（产生一种成功摆法）作为边界条件。
如果是求满足某个特定条件的一条最佳路径，则当前状态到达边界时并非一定意味着此时就是最佳目标状态。
因此还须增加判别最优目标状态的条件；⑶搜索范围：在当前状态不满足边界条件的情况下，应如何设计算符值的范围。
换句话说，如何设定for 语句中循环变量的初值和终值。
在n皇后问题中，l行的列位置i作为搜索范围，即1≤i≤n；⑷约束条件和最优性要求：所谓约束条件是指，当前扩展出一个子结点后应满足什么条件方可继续递归下去；如果是求满足某个特定条件的一条最佳路径，那么在扩展出某个子状态后是否继续递归搜索下去，不仅取决于子状态是否满足约束条件，而且还取决于子状态是否满足最优性要求。
在n皇后问题中，将(l，i)置放皇后不产生攻击（att=false）作为约束条件；⑸参与递归运算的参数：将参与递归运算的参数设为递归子程序的值参或局部变量。
若这些参数的存储量大（例如数组）且初始值需由主程序传入，为避免内存溢出，则必须将其设为全局变量，且回溯前需恢复其递归前的值。